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依米書院學科教師輔導講義
全等三角形輔助線的作法
一．中點類輔助線作法
見到中線(中點)，我們可以聯想的內容無非是倍長中線或者是與中點有關的一條線段，尤其是在涉及線段的等量關系時，倍長中線的應用更是較為常見，常見添加方法如下圖（
是底邊的中線)．
二．角平分線類輔助線作法
有下列三種作輔助線的方式：
1．由角平分線上的一點向角的兩邊作垂線；
2．過角平分線上的一點作角平分線的垂線，從而形成等腰三角形；
3．，這種對稱的圖形應用得也較為普遍．
三．截長補短類輔助線作法
截長補短法，是初中數學幾何題中一種輔助線的添加方法，也是把幾何題化難為易的一種思想．所謂“截長”，就是將三者中最長的那條線段一分為二，使其中的一條線段等于已知的兩條較短線段中的一條，然后證明其中的另一段與已知的另一條線段相等；所謂“補短”，就是將一個已知的較短的線段延長至與另一個已知的較短的長度相等，然后求出延長后的線段與最長的已知線段的關系．有的是采取截長補短后，使之構成某種特定的三角形進行求解．
題模一：角平分線類
例2.1.1如圖，，平分，平分，點在上．
①探討線段、和之間的等量關系．
②探討線段與之間的位置關系．
例2.1.2如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，若AD=2DC，請你判斷∠A與∠DBC之間的數量關系并證明你的結論
例2.1.3如圖，已知，，BD為∠ABC的平分線，CE⊥BE，求證：．
題模二：中點類
例2.2.1已知：△ABC中，AD是BC邊上的中線，，，試求AD的取值范圍．
例2.2.2如圖所示，在中，，延長到，使，為的中點，連接、，求證：．
例2.2.3如圖，在四邊形ABCD中，，，BD平分∠ABC，求證：．
題模三：截長補短類
例2.3.1如圖所示，是邊長為的正三角形，是頂角為的等腰三角形，以為頂點作一個的，點、分別在、上，求的周長．
例2.3.2閱讀下列材料：
如圖1，在四邊形ABCD中，已知∠ACB=∠BAD=105°，∠ABC=∠ADC=45°.求證：CD=AB.
小剛是這樣思考的：由已知可得，∠CAB=30°，∠DAC=75°，∠DCA=60°，∠ACB+∠DAC=180°，由求證及特殊角度數可聯想到構造特殊三角形.即過點A作AE⊥AB交BC的延長線于點E，則AB=AE，∠E=∠D.
在△ADC與△CEA中，
∵
∴△ADC≌△CEA，
得CD=AE=AB.
請你參考小剛同學思考問題的方法，解決下面問題：
如圖2，在四邊形ABCD中，若∠ACB+∠CAD=180°，∠B=∠D，請問：CD與AB是否相等？若相等，請你給出證明；若不相等，請說明理由.
例2.3.3如圖，在中，，是的平分線，且，求的度數．
隨練2.1已知：如圖，在△ABC中，，，BE⊥AE．求證：．
隨練2.2如圖所示，已知中，平分，、分別在、上．，．求證：∥．
隨練2.3已知中，，、分別平分和，、交于點，試判斷、、的數量關系，并加以證明．
隨練2.4如圖，在△ABC中，，，P、Q分別在BC、CA上，并且AP、BQ分別是∠BAC、∠ABC的角平分線．求證：
（1）；
（2）．
隨練2.5五邊形ABCDE中，，，，求證：AD平分∠CDE．
隨練2.6如圖，△ABC中，，AD是BC邊上的高，如果，我們就稱△ABC為“高和三角形”．請你依據這一定義回答問題：
（1）若，，則△ABC____
“高和三角形”（填“是”或“不是”）；
（2）一般地，如果△ABC是“高和三角形”，則與之間的關系是____，并證明你的結論
隨練2.7如圖所示，，是的中點，，，求證．
作業1已知：，OM是∠AOB的平分線，將三角板的直角頂點P在射線OM上滑動，兩直角邊分別與OA、OB交于C、D．
（1）PC和PD的數量關系是__________．
（2）請你證明（1）得出的結論．
作業2已知：如圖，E是BC的中點，點A在DE上，且．
求證：．
作業3如圖，在中，D為BC邊上的中點，AE平分交BC于E，交AC于F，，，求CF的長．
作業4如圖，在△ABC中，，AD平分∠BAC，求證：．
作業5已知：如圖，△ABC中，，BD平分∠ABC，BC上有動點P．
（1）DP⊥BC時（如圖1），求證：；
（2）DP平分∠BDC時（如圖2），BD、CD、CP三者有何數量關系？
作業6已知等腰，，的平分線交于，則．
作業7如圖，在△ABC中，，D是三角形外一點，且，．求證：
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