資源簡介

《探索勾股定理》中考考點對接
中考考點解讀
本節內容在中考中主要考查應用勾股定理求線段的長度，多以選擇題、填空題的形式出現，另外，在一些綜合計算題、實際應用題中有時也會涉及勾股定理的應用，今后勾股定理仍是中考考查的重點。
中考真題剖析
1. 【中考真題】（廣東肇慶中考）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=12，AC=9，則AB= .
解析：本題考查勾股定理的運用，注意：在直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．
根據勾股定理得，所以有故AB=15.
【對接點】教材第4頁習題1.1第1題。
【點睛】中考題和教材習題都是勾股定理的直接應用，題目較為基礎，直接代入數據計算即可.
2.【湖南懷化中考】如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC的角平分線交BC于點D，AB=5，BC=6，則AD= .
分析：首先根據等腰三角形的性質：等腰三角形的三線合一，求出DB=DC=BC，AD⊥BC，再利用勾股定理求出AD的長.
解：解：∵AB=AC，AD是∠BAC的角平分線，
∴DB=DC=CB=3，AD⊥BC，
在Rt△ABD中，
∵AD2+BD2=AB2，
∴AD==4，
故答案為：4．
【對接點】教材第4頁習題1.1第4題.
【點睛】中考題源于教材，本中考題與教材習題的解答思路完全相同，都是根據等腰三角形的性質推出結論，符合勾股定理的條件，再利用勾股定理求解.
3.中考真題實戰演練
選擇題
1） （黔西南州）一直角三角形的兩邊長分別為3和4．則第三邊的長為（　　）
A．5 B． C． D．5或
2）（濱州）已知△ABC中，AB=17，AC=10，BC邊上的高AD=8，則邊BC的長為（　　）
A．21 B．15 C．6 D．以上答案都不對
3）（杭州）如果直角三角形的三條邊為2，4，a，那么a的取值可以有（　　）
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
填空題
1）（桂林）如圖，在△ABC中，CA=CB，AD⊥BC，BE⊥AC，AB=5，AD=4，則AE= ．
2）（濱州）在△ABC中，∠C=90°，AB=7，BC=5，則邊AC的長為 ．
3）（佳木斯）等腰三角形一腰長為5，一邊上的高為3，則底邊長為 ．

參考答案
選擇題
1）解：（1）當兩邊均為直角邊時，由勾股定理得，第三邊為5，
（2）當4為斜邊時，由勾股定理得，第三邊為，
故選D．
2）解：在直角三角形ABD中，根據勾股定理，得BD=15；
在直角三角形ACD中，根據勾股定理，得CD=6．
當AD在三角形的內部時，BC=15+6=21；
當AD在三角形的外部時，BC=15-6=9．則BC的長是21或9．
故選D．
3）解：當4是斜邊時，a=2；
當2，4均為直角邊時，a=2；
所以a的取值可以有2個，故選C．
填空題
1）解：∵在△ABC中，CA=CB，AD⊥BC，BE⊥AC，
∴AD=BE=4，
∵AB=5，
∴AE=
=3，
故答案為：3．
2）解：∵∠C=90°，AB=7，BC=5，
∴AC==
=2．
故答案為：2．
3）
1　探索勾股定理
1．勾股定理的探索
如圖，在單位長度為1的方格紙中畫一等腰直角三角形，然后向外作三個外正方形：
觀察圖形可知：
(1)各正方形的面積：正方形①的面積S1為1，正方形②的面積S2為1，正方形③的面積S3為2；
(2)各正方形面積之間的關系：S1＋S2＝S3；
(3)由此得到等腰直角三角形兩直角邊與斜邊之間的關系是：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．
【例1】 如圖，Rt△ABC在單位長度為1的正方形網格中，它的外圍是以它的三條邊為邊長的正方形．回答下列問題：
(1)a2＝__________，b2＝__________， c2＝__________；
(2)a，b，c之間有什么關系？(用關系式表示)
分析：a2等于以BC為邊長的正方形的面積16，b2等于以AC為邊長的正方形的面積9，c2等于以AB為邊長的正方形的面積25.
解：(1)16　9　25　(2)a2＋b2＝c2.
釋疑點 網格中求正方形的面積
求以AB為邊長的正方形的面積時，可把它放到以正方形格點為頂點的正方形CDEF(如圖)中去，它的面積等于正方形CDEF的面積減去它外圍的4個小直角三角形的面積．
2．勾股定理
(1)勾股定理的有關概念：如圖所示，我們用勾(a)和股(b)分別表示直角三角形的兩條直角邊，用弦(c)來表示斜邊．
(2)勾股定理的內容：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．即：勾2＋股2＝弦2.
(3)勾股定理的表示方法：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，則a2＋b2＝c2.
辨誤區 應用勾股定理的幾個誤區
(1)勾股定理的前提是直角三角形，對于非直角三角形的三邊之間則不存在此種關系．
(2)利用勾股定理時，必須分清誰是直角邊，誰是斜邊．尤其在記憶a2＋b2＝c2時，此關系式只有當c是斜邊時才成立．若b是斜邊，則關系式是a2＋c2＝b2；若a是斜邊，則關系式是b2＋c2＝a2.
(3)勾股定理有許多變形，如c是斜邊時，由a2＋b2＝c2，得a2＝c2－b2，b2＝c2－a2等．熟練掌握這些變形對我們解決問題有很大的幫助．
【例2－1】 在△ABC中，∠C＝90°，
(1)若a＝3，b＝4，則c＝__________；
(2)若a＝6，c＝10，則b＝__________；
(3)若a∶b＝3∶4，c＝5，則a＝__________，b＝__________.
解析：因為在△ABC中，∠C＝90°，所以有關系式a2＋b2＝c2.在此關系式中，涉及到三個量，利用方程的思想，可“知二求一”．
(1)c2＝a2＋b2＝32＋42＝52，則c＝5；
(2)b2＝c2－a2＝102－62＝82，則b＝8；
(3)若a∶b＝3∶4，可設a＝3x，b＝4x，
于是(3x)2＋(4x)2＝52.
化簡，得9x2＋16x2＝25，
即25x2＝25，x2＝1，x＝1(x＞0)．
因此a＝3x＝3，b＝4x＝4.
答案：(1)5　(2)8　(3)3　4
談重點 用勾股定理求邊長
這是一組關于勾股定理應用的計算題，由勾股定理可知，在直角三角形中只要已知兩邊長，就可以求出直角三角形第三邊的長．
【例2－2】 有一飛機在空中水平飛行，某一時刻剛好飛到一個男孩頭頂正上方4 000 m處，過了20 s，飛機距離這個男孩頭頂5 000 m，那么飛機每時飛行多少千米？
分析：根據題意，可以先畫出圖形．
如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4 000 m，AB＝5 000 m.
欲求飛機每時飛行多少千米，就須知道其20 s時間里飛行的路程，即圖中CB的長．
由于△ABC的斜邊AB＝5 000 m，AC＝4 000 m，這樣BC就可以通過勾股定理得出，這里一定要注意單位的換算．
解：如圖，AB＝5 000 m＝5 km，AC＝4 000 m＝4 km，
故由勾股定理得BC2＝AB2－AC2＝52－42＝9，
即BC＝3 km.
因為飛機20 s飛行3 km，所以它每小時飛行的距離為×3＝540(km)．
3．勾股定理的驗證
方法1：用四個相同的直角三角形(直角邊為a，b，斜邊為c)構成如圖所示的正方形．
由“大正方形的面積＝小正方形的面積＋4個直角三角形的面積”，得
(a＋b)2＝c2＋4×ab.
化簡可得：a2＋b2＝c2.
方法2：用四個相同的直角三角形(直角邊為a，b，斜邊為c)構成如圖所示的正方形．
由“大正方形的面積＝小正方形的面積＋4個直角三角形的面積”，得
c2＝(b－a)2＋4×ab.
化簡可得：a2＋b2＝c2.
方法3：用兩個完全相同的直角三角形(直角邊為a，b，斜邊為c)構成如圖所示的梯形．
由“梯形面積等于三個直角三角形面積之和”可得：
(a＋b)(a＋b)＝2×ab＋c2.
化簡可得：a2＋b2＝c2.
說明：勾股定理的驗證還有很多方法．
我明白了！在一些幾何問題中，利用圖形經過割補拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積就不會改變．
對啊! 利用拼圖來驗證勾股定理,就是根據同一種圖形(或兩個全等的圖形)面積的不同表示方法列出等式，從而推導出勾股定理.
【例3】 在北京召開的第24屆國際數學家大會的會標取材于我國古代數學家趙爽的《勾股圓方圖》，它是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形(如圖所示)．如果大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，直角三角形的較短直角邊為a，較長直角邊為b，那么(a＋b)2的值為(　　)．
A．169 B．144 C．100 D．25
解析：根據圖形面積的和差關系，4個直角三角形的面積＝大正方形面積－小正方形面積＝13－1＝12，可知4×ab＝12，即2ab＝12，由勾股定理得a2＋b2＝13，
所以(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝13＋12＝25.
答案：D
4．利用勾股定理求長度
利用勾股定理求長度，關鍵是找出直角三角形或構造直角三角形，把實際問題轉化為直角三角形的問題．
常見的方法有：
(1)利用高(作垂線)構造直角三角形；
(2)利用已知直角構造直角三角形；
(3)利用勾股定理構造直角三角形．
已知直角三角形的兩邊，求第三邊，關鍵是弄清已知什么邊，求什么邊，用平方和還是用平方差．
【例4】 如圖①，校園內有兩棵樹，相距12 m，一棵樹高13 m，另一棵樹高8 m，一只小鳥從一棵樹的頂端飛到另一棵樹的頂端，至少要飛多少米？
圖①
分析：分別用AB，CD表示兩棵樹，如圖②，得到梯形ABCD，過D作AB的垂線，垂足為E，可構造出Rt△AED，利用勾股定理解決．
解：如圖②，作DE⊥AB于點E，
圖②
∵AB＝13 m，CD＝8 m，
∴AE＝5 m.
由BC＝12 m，得DE＝12 m.
∵在Rt△ADE中，AD2＝AE2＋DE2，
∴AD＝13 m.
∴小鳥從一棵樹的頂端飛到另一棵樹的頂端，至少要飛13 m．
5.利用勾股定理求面積
(1)利用勾股定理求面積，關鍵是注意轉化思想的應用．把所求的面積轉化到已知的數量關系中去．
如求圖中陰影部分的面積，可轉化為中間正方形的面積，而中間正方形的面積等于右側直角三角形短直角邊的平方，借助于右側的直角三角形，利用勾股定理解答即可．
(2)利用勾股定理求面積，還要注意整體思想的應用．
【例5】 如圖，小李準備建一個蔬菜大棚，棚寬4 m，高3 m，長20 m，棚的斜面用塑料薄膜遮蓋，不計墻的厚度，請計算陽光透過的最大面積．
分析：要求陽光透過的最大面積即塑料薄膜的面積，需要求出它的另一邊AB的長是多少，可以借助勾股定理求出．
解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AB2＝AC2＋BC2＝32＋42＝52，即AB＝5(m)．
故矩形塑料薄膜的面積是5×20＝100(m2)．
點評：勾股定理是以直角三角形存在(或添加輔助線可以構造的)為基礎的；表示直角三角形邊長的a，b，c并非是一成不變的，c并不一定就是斜邊的長．
6．勾股定理與方程相結合的應用
(1)在進行直角三角形的有關計算時，一般要運用勾股定理，在運用過程中，有時直接運用，有時是通過勾股定理來列方程求解．
具體問題如下：
①已知直角三角形的兩邊，求第三邊的長；
②說明線段的平方關系；
③判斷三角形的形狀或求角的大小；
④解決實際問題．
(2)利用勾股定理解決生活中的實際問題時，關鍵是利用轉化的思想把實際問題轉化為數學模型(直角三角形)，利用列方程或方程組來解決．
(3)勾股定理與代數中的平方差公式相結合，解決此類問題可以先根據勾股定理列出關于兩直角邊的數量關系式，再通過恒等變形巧妙求解．
【例6】 如圖，滑桿在機械槽內運動，∠ACB為直角，已知滑桿AB長2.5 m，頂端A在AC上運動，量得滑桿下端B距C點的距離為1.5 m，當端點B向右移動0.5 m時，求滑桿頂端A下滑了多少米？
分析：注意滑桿AB在滑動過程中長度保持不變，同時注意∠ACB為直角這一條件．在Rt△ABC中，應用勾股定理求得AC；在Rt△ECD中，應用勾股定理求得EC，兩者之差即為所求．
解：設AE的長為x m，由題意，得CE＝(AC－x) m.
∵AB＝DE＝2.5 m，BC＝1.5 m，∠C＝90°，
∴AC2＝AB2－BC2＝2.52－1.52＝22.
∴AC＝2 m.
∵BD＝0.5 m，∴CD＝CB＋BD＝1.5＋0.5＝2 m.
在Rt△ECD中，
CE2＝DE2－CD2＝2.52－(1.5＋0.5)2＝1.52.
∴2－x＝1.5 m，x＝0.5 m，
即AE＝0.5 m.
∴滑桿頂端A下滑了0.5 m．
探索勾股定理典型例題1
在兩千多年前我國古算術上記載有“勾三股四弦五”.你知道它的意思嗎？
它的意思是說：如果一個直角三角形的兩條直角邊長分別為3和4個長度單位，那么它的斜邊的長一定是5個長度單位，而且3、4、5這三個數有這樣的關系：32+42=52.
（1）請你動動腦筋，能否驗證這個事實呢？該如何考慮呢？
（2）請你觀察下列圖形，直角三角形ABC的兩條直角邊的長分別為AC=7，BC=4，請你研究這個直角三角形的斜邊AB的長的平方是否等于42+72？
參考答案
（1）邊長的平方即以此邊長為邊的正方形的面積，故可通過面積驗證.分別以這個直角三角形的三邊為邊向外做正方形，如右圖：AC=4，BC=3,
S正方形ABED=S正方形FCGH－4SRt△ABC
=(3+4)2－4××3×4=72－24=25
即AB2=25，又AC=4，BC=3，
AC2+BC2=42+32=25
∴AB2=AC2+BC2
（2）如圖（圖見題干中圖）
S正方形ABED=S正方形KLCJ－4SRt△ABC=(4+7)2－4××4×7=121－56=65=42+72
探索勾股定理典型例題2
下圖甲是任意一個直角三角形ABC，它的兩條直角邊的邊長分別為a、b,斜邊長為c.如圖乙、丙那樣分別取四個與直角三角形ABC全等的三角形，放在邊長為a+b的正方形內.
①圖乙和圖丙中（1）（2）（3）是否為正方形？為什么？
②圖中（1）（2）（3）的面積分別是多少？
③圖中（1）（2）的面積之和是多少？
④圖中（1）（2）的面積之和與正方形（3）的面積有什么關系？為什么？
由此你能得到關于直角三角形三邊長的關系嗎？
參考答案
①圖乙、圖丙中（1）（2）（3）都是正方形.易得（1）是以a為邊長的正方形，（2）是以b為邊長的正方形，（3）的四條邊長都是c，且每個角都是直角，所以（3）是以c為邊長的正方形.
②圖中（1）的面積為a2,(2)的面積為b2,(3)的面積為c2.
③圖中（1）（2）面積之和為a2+b2.
④圖中（1）（2）面積之和等于（3）的面積.
因為圖乙、圖丙都是以a+b為邊長的正方形，它們面積相等，（1）（2）的面積之和與（3）的面積都等于（a+b)2減去四個Rt△ABC的面積.
由此可得：任意直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，即勾股定理.
勾股定理 教材分析 第1課時
勾股定理把幾何圖形中直角三角形的形的特征轉化成數量關系，為幾何圖形與數量關系之間搭建橋梁發揮了重要作用．由于直角圖形的普遍性，勾股定理在實際應用中及其重要．
?
教科書安排了對勾股定理的觀察、計算、猜想及證明過程，首先簡略講述了畢達哥拉斯從觀察地面圖案的面積關系發現勾股定理的傳說，并讓學生也去觀察同樣的圖案，通過研究等腰直角三角形這種特殊直角三角形的面積關系，發現它的三邊之間的數量關系，在進一步的探究中，又讓學生對一般直角三角形進行計算，計算以直角三角形兩直角邊為邊長的小正方形的面積和等于以斜邊為邊長的正方形的面積，進而得到這些直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，然后，對更一般的結論提出了猜想．并用趙爽證法加以證明，這是一個典型的從特殊到一般的思想方法，這樣安排有利于學生認識結論研究的探究過程（觀察、想象、計算、猜想、證明），激發學生對結論的探索興趣和熱情，培養學生發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力和嚴密審慎的思考習慣．
?
歷史上對勾股定理的證明的研究很多，得到了很多證明方法．教科書正文中介紹了3世紀三國時期中國數學家趙爽的證明方法．這是一種面積證法，依據是圖形在經過適當切割后再另拼接成另個新圖形，切割拼接前后圖形的各部分的面積之和不變，即利用面積不變的關系和對圖形面積的不同算法得到等量關系．在教科書中，主要是將邊長分別為、的兩個正方形切割成四個直角三角形和一個小正方形，其中，直角三角形兩直角邊分別為、，面積都等于；小正方形的邊長為,面積為．這樣，由于從而證明了勾股定理．
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本節課的教學重點是勾股定理的探究和證明．
勾股定理 重難點突破 第1課時
1．發現直角三角形三邊之間的關系
?
突破建議
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1．教科書首先讓學生探索發現解直角三角形三邊之間的關系，即兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，然后證明上述關系成立，最后讓學生運用勾股定理解決問題．學生直接發現直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，有一定的難度，因此，教學時，先讓學生發現以直角三角形兩直角邊為邊長的正方形的面積和以斜邊為邊長的正方形的面積之間的關系．從等腰直角三角形入手，容易發現數量關系．
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2．結合畢達哥拉斯的傳說故事，可以提高學生學習的興趣，另外，其中的圖案對學生發現規律也有一定的提示作用．教學時，要引導學生先觀察地磚中等腰直角三角形與周邊直角三角形、正方形的關系，兩看看等腰直角三角形三邊所在的正方形的面積之間的關系，然后得出猜想．
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3．讓學生探究幾個一般的直角三角形，這幾個直角三角形是在正方形網格背景下的，看看是否有相同的數量關系．在這個“探究”欄目中，關鍵是計算以斜邊為邊長的正方形的面積．圖中以斜邊為邊長的兩個正方形的面積可以如下求出：
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?
也可以由四個直角三角形的面積加上一個小正方形的面積求出：
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???
?
2．勾股定理的探究與證明
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突破建議
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1．在地板圖案中，由于等腰直角三角形都是全等的，利用面積相等的思路比較容易觀察出等腰直角三角形兩直角邊的平方和等于以斜邊的平方．要注意引導學生觀察、猜想，得出結論．
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2． 在一般情況下直角三角形還有上述關系嗎？為在得到結論。需要在網格背景下，進行實驗操作，利用割補法，也能探索發現，比較特殊（主要是網格背景下直角三角形邊長取整數）的直角三角形的三邊之間也有相同的數量關系．從而說明猜想的正確性．
?
3．實驗方法得到的結論是否可靠，需要理論證明．勾股定理的證明方法很多，教科書介紹的是我國古代數學家趙爽的證法，這是一種面積證法．在前面正方形網格中比較容易發現等腰直角三角形及一般直角三角形的三邊關系．由于以前沒有系統地講過面積理論，學生對面積證法的推理根據會感覺不太明確．教學時，先要說明趙爽的證明思路：兩直角邊所在的正方形的面積之和等于斜邊所在的正方形的面積．所以，要先作一個直角三角形，再將兩直角邊所在的正方形面積拼在一起，圖形在經過適當的切割后再另拼接后，新圖形的面積與原圖形的面積是相等的．由趙爽弦圖可知，以斜邊為邊長的正方形由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成．由此考慮以直角邊為邊長的兩個正方形連在一起的圖形是否也由四個全等的直角三角形和一個正方形組成．教科書中圖17．1-6展示了圖形切割拼接的過程，從而由圖形的面積關系得到了勾股定理的證明．
勾股定理 教材分析 第2 課時
勾股定理在解決實際問題中有廣泛的應用價值，在證明幾何結論中則起著非常重要的作用,在教學中應引起充分的重視．
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在運用勾股定理解決實際問題的過程中，先要找出直角三角形（有時也需要構建直角三角形），再找出其三邊，看看兩邊是否已知，求哪條邊．要讓學生熟練掌握在直角三角形中已知兩邊求第三邊的方法，不過，目前所掌握的只是工具很有限，因此只能求解一些較簡單的實際問題．
勾股定理 重難點突破 第2課時
利用勾股定理，解決求直角三角形邊的問題．
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突破建議
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1．明確勾股定理應用的條件：直角三角形；知二求一．教學時，要充分讓學生明確，應用勾股定理時，要在直角三胸形中進行，一般三角形不能用勾股定理，同時，勾股定理是研究直角三角形三邊關系，要知道兩邊，才能求出第三邊．因此，勾股定理的應用，先要找直角三角形，有時，直角三角形不能直接找到，還要通過想象、構造得出直角三角形，其次是找其三邊．
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2．想象、構造直角三角形．
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例　一個門框的尺寸如圖所示，一塊長3m，寬2．2m的長方形薄木板能否從門框內通過？為什么？
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解析? 這是一個實際應用問題，可以看出，木板的長邊和短邊都超過了門框的高，薄木板橫著或豎著都不能從門框內通過，只能試試斜著能否通過．將門框看作長方形，那么長方形的對角線是門框能通過的最大長度．求出對角線的長，與木板的短邊比較，如果對角線的長超過木板的短邊，薄木板就能順利通過門框，否則，就不能通過．
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將門框抽象成一個長為1m，寬為2m的長方形,實際問題就抽象成一個數學問題．具體地，長方形有直角，連接對角線,就可以構造直角三角形，該實際問題抽象成已知一個直角三角形的兩條直角邊的長，求斜邊長的數學問題，而這個問題可以用勾股定理來求解．
?
3．注意直角三角形的運動變化．
?
在進行例2的教學時，通過學生分析、討論，兩直角三角形的斜邊（即梯子的長度）是沒有變化的，只有兩直角邊產生了變化（其中一條直角邊是梯子頂端靠在墻面上的高度，另一條直角邊是梯腳離墻腳的距離）．只比較梯子頂端下滑的距離和梯腳滑動的距離就知道結論是否正確了．
勾股定理
教學分析與建議
主要內容
勾股定理在數學的發展歷史上起過重要的作用，在現實世界中也有著廣泛的應用。它的發現、證明和應用都蘊涵著豐富的數學的、文化的內涵。它是幾何學中的重要的定理之一。
教材為學生設計了自主探索勾股定理內容以及驗證它的素材和空間，教學中要使學生經歷觀察、歸納、猜想和驗證的數學發現過程
教材的設計過程中，希望學生能夠利用方格紙探索勾股定理內容，并且能利用拼圖驗證勾股定理，再次就是通過測量獲得勾股定理的逆定理
教材提供了較為豐富的歷史的或現實的例子，以展示勾股定理及其逆定理的應用，體現其文化價值。當然限于學生的已有知識，問題解決中所涉及的數據均為完全平方數，本章更多的關注學生對勾股定理及其逆定理的理解和應用，不追求復雜計算。
二、評價建議
關注對探索勾股定理等活動的評價。一方面要關注學生是否積極參與，是否能與同伴進行有效合作交流；另一方面也要關注學生在活動中能否進行積極的思考，能否探索出解決問題的方法，是否能夠進行積極的思考，在活動中學生所表現出的歸納，概括能力，學生是否能夠有條理地表達活動過程和所獲得的結論等。
關注考查對勾股定理及其逆定理的理解和應用。注意評價時，不應以復雜運算為主，我們應更另關注學生對有關結論的正確使用。
三、教學目標
l．經歷探索勾股定理及一個三角形是直角三角形的條件的過程，發展合情推理能力，體會數形結合的思想；
2．掌握勾股定理，了解利用拼圖驗證勾股定理的方法，并能運用勾股定理解決一些實際問題；
3．掌握判斷一個三角形是直角三角形的條件，并能運用它解決一些實際問題；
4．通過實例了解勾股定理的歷史和應用，體會勾股定理的文化價值。
四、教材特點
勾股定理是反映自然界基本規律的一條重要結論，它有著悠久的歷史，在數學發展中起過重要的作用，在現實世界中也有著廣泛的應用。勾股定理的發現、驗證和應用蘊涵著豐富的文化價值。勾股定理從邊的角度進一步刻畫了直角三角形的特征，通過對勾股定理的學習，學生將在原有的基礎上對直角三角形有進一步的認識和理解。
為了使學生能更好地認識勾股定理、發展推理能力，教科書設計了在方格紙上通過計算面積的方法探索勾股定理的活動，同時又安排了用拼圖的方法驗證勾股定理的內容，試圖讓學生經歷觀察、歸納、猜想和驗證的數學發現的過程，同時也滲透了代數運算與幾何圖形之間的關系（如將a2,b2,c2與正方形的面積聯系起來，再由比較同一正方形面積的幾種不同的代數表示得到勾股定理）。
勾股定理的逆定理也有著重要的地位，但在本章中不要求學生從邏輯上對定理與逆定理進行一般的認識，因此，教科書中沒有給出勾股定理逆定理的名稱，而是稱之為直角三角形的判別條件。教科書以歷史上古埃及人作直角的方法引人“三角形的三邊長如果滿足a2+b2=c2是否能得到一個直角三角形”的問題，然后通過讓學生按已知數據作出三角形，并測量三角形三個內角的度數來獲得一個三角形是直角三角形的有關邊的條件。
為了讓學生更好地體會勾股定理及逆定理在解決實際問題中的作用，教科書提供了較為豐富的歷史的或現實的例子來展示它們的應用，體現了它們的文化價值。限于學生已有的知識，有關應用中涉及的數均為完全平方數，本章更多關注的是對勾股定理的理解和實際應用，而不追求計算上的復雜。在學生學習了無理數之后，可以再利用勾股定理解決一些涉及無理數運算的實際問題。
五、課時安排建議
1．探索勾股定理 2課時
2．一定是直角三角形嗎 1課時
3．勾股定理的應用 1課時
六、具體內容分析
探索勾股定理（第一課時）
本節核心內容：勾股定理及它的探索過程
在教學中，我們可以通過介紹我國數學家華羅庚的建議——向宇宙發射勾股定理的圖形與外星人聯系，并說明勾股定理是我國古代數學家于2000年前就發現了的，激發學生對勾股定理的興趣和自豪感，引入課題．其中課本中的，做一做”采用的是數方格的方法； “議一議”對歸納基礎的加強；“想一想”是一個有趣的實際問題；
教科書設計了在方格紙上通過計算面積的方法探索勾股定理的活動，教師應鼓勵學生充分經歷這一觀察、歸納、猜想的過程！鼓勵學生嘗試求出方格中三個正方形的面積，比較這三個正方形的面積，由此得到直角三角形三邊的關系，通過對幾個特殊例子的考察歸納出直角三角形三邊之間的一般規律，運用自己的語言表達探索過程和所得結論．當然教學時，教師也可以根據學生的實際情況，設計其他的探索情景。
勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的數量關系，是直角三角形的一個重要性質．如有條件，還可以利用計算機（幾何畫板軟件動態顯示）的優越條件，提供足夠充分的典型材料——形狀大小、位置發生變化的各種直角三角形，讓學生觀察分析，歸納概括，探索出直角三角形三邊之間的關系式，并通過與銳角、鈍角三角形的對比，強調直角三角形的這個特有性質，啟發學生獨立分析問題、發現問題、總結規律的教學方法．
教學中要注意：a，多采取小組合作討論的方式b, 給學生留下充分的探索實踐的時間和空間c,介紹相關的背景材料
2，探索勾股定理（第二課時）
本節核心內容：用拼圖來驗證勾股定理及其一個簡單運用。
在勾股定理的探索和驗證過程中，數形結合的思想有較多的體現．教師在教學中應注意滲透這種思想，鼓勵學生從代數表示聯想到有關的幾何圖形，由幾何圖形聯想到有關的代數表示，這有助于學生認識數學的內在聯系。例如，在探索勾股定理的過程中，教師應引導學生由正方形的面積想到a2,b2,c2，而在勾股定理的驗證過程中，教師又應引導學生由數“a2+b2=c2想到正方形的面積。” 在教學中，“議一議”使學生進一步體會直角三角形三邊的關系，要給學生充分的討論空間。
勾股定理的發現、驗證及應用的過程蘊涵了豐富的文化價值，古代很多國家和民族都對勾股定理有不同程度的認識和了解，我國是最早了解勾股定理的國家之一．當考慮等腰直角三角形的斜邊時，這一定理又導致了無理數的產生一數學歷史上的第一次數學危機。教師應鼓勵每一個學生閱讀教科書提供的勾股定理的歷史，并可以向學生再展示一些歷史資料。教師還可以引導學生自己從書籍、網絡上查閱資料，了解更多的有關勾股定理的內容，體會它的文化價值．
3，一定是直角三角形嗎
本節的核心內容是：掌握直角三角形的判別條件。
課本創設了古埃及人利用結繩的方法作出直角，教師還可以創設其他現實情境或鼓勵學生自己尋找有關問題，進一步展現勾股定理和逆定理在解決問題中的作用，認識現實世界中蘊涵著豐富的數學信息。在教學中，“做一做”是用計算、畫圖再測量的方法歸納出勾股定理的逆定理。歸納的基礎應盡可能的厚實一些，但此處有一定的作圖困難。教師可對其正確性予以說明。還要讓學生熟悉一些常用的勾股數。
勾股定理的應用
本節的核心內容是：勾股定理及其判別條件的簡單運用。
這一節內容，可以讓學生先自主探索，再引導其考慮側面展開圖來解決問題，培養空間觀念。本節課要以教師為主導，以學生為主體，以知識為載體，以培養學生的思維能力，動手能力，探究能力為重點的教學思想。在課堂教學中，盡量為學生提供“做中學”的空間，小組合作，探究交流得到了真正體現。數學源于生活，并運用于生活是整節課的一條暗線貫穿其中。
這節課的目標具體的可以分為：
1、初步運用勾股定理及直角三角形的判別條件（即勾股定理的逆定理）解決簡單的實際問題。
2、能在實際問題中構造直角三角形，提高建模能力，進一步深化對構造法和代數計算法和理解。
3、在解決實際問題的過程中，體驗空間圖形展開成平面圖形時，對應的點，線的位置關系，從中培養空間觀念。
4、在解決實際問題的過程中，進一步培養從“形”到“數”和從“數”到“形”的轉化，培養學生的轉化、推理能力。
5、通過研究勾股定理的歷史，了解中華民族文化的發展對數學發展的貢獻，激發學生的愛國熱情和學習數學的興趣。
總之，我們要培養學生從空間到平面的想象能力，運用數學方法解決實際問題的創新能力及探究意識。
勾股定理
1．解析：主要考查利用勾股定理求直角三角形的邊長．各小題答案依次是：（1）；（2）；（3）．
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2．解析：本題是勾股定理在實際問題中的應用．相當于已知直角三角形的兩直角邊的長，求斜邊長．根據勾股定理得折斷處到木桿頂端的長為加上3，可知木桿折斷之前應為8m．答案是：8m．
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3．解析：本題是幾何問題，主要考查利用勾股定理求直角三角形的邊長．根據勾股定理得答案是：2.5．
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4．解析：本題考查勾股定理在實際問題中的應用．求兩孔中心的距離相當于已知直角三角形兩直角邊的長，求斜邊的長．依題意知，根據勾股定理得．于是，兩孔中心的距離為43.4mm．
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5．解析：本題主要考查利用勾股定理解決實際應用問題．相當于已知直角三角形的斜邊與一條直角邊，求另一條直角邊．根據勾股定理得，故點A到電線桿底部B的距離是4.9m．
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6．解析：本題考查利用勾股定理畫出長為（為正整數）的線段．利用勾股定理可以發現，直角邊長為2，4的直角三角形的斜邊長為．由此可以依照如下方法在數軸上畫出表示的點．如圖，在數軸上找出表示4的點A，過點A作直線l垂直于OA，在l上取點B，使，以原點O為圓心，以OB為半徑作弧，弧與數軸的交點C即為表示的點．
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7．解析：本題主要考查利用勾股定理求解含特殊角的直角三角形的邊長問題．
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（1）是直角三角形中30°角所對的直角邊，故，根據勾股定理得；（2）容易推出圖形是等腰三角形，兩直角邊相等，故于是，，
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8．解析：本題主要考查三角形的面積公式和利用勾股定理求直角三角形的邊長．各小題答案如下：（1）；（2）根據勾股定理得；（3）由可得，
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．
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9．解析：本題主要考查勾股定理的應用．實際是利用勾股定理求等腰三角形底邊上的高．根據勾股定理得，故高的長為82mm．
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10．解析：本題主要考查勾股定理在實際問題中的應用．題給圖形是截面圖，抽象成數學問題，相當于求解直角三角形的邊長問題．設水的深度為尺，則蘆葦的長度為尺，根據勾股定理得解得于是，水的深度是12尺，蘆葦的長度是13尺．
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11．解析：本題考查特殊直角三角形邊之間的數量關系及勾股定理的應用．直角三角形中，30°角所對直角邊的長等于斜邊的一半，設，則，根據勾股定理得，解得所以斜邊的長
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12．解析：主要考查正方形的面積公式和勾股定理的應用．先根據面積關系確定大正方形的邊長，然后根據勾股定理得到分割的方法．因為5個小正方形的面積之和為5，所以大正方形的面積為5，可得大正方形的邊長為，容易發現，直角邊的長為2，1的直角三角形的斜邊長為，這就提示我們，分割和拼接方法分別如圖1和圖2所示．
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13．解析：本題主要考查勾股定理的應用．由勾股定理得到，直角邊上的兩個半圓的面積的和等于斜邊上半圓的面積．運用上述結論可得，陰影部分的面積就是直角三角形的面積．證明如下：，，．
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因為根據勾股定理得所以
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14．解析：本題主要考查勾股定理的應用、全等三角形的判定方法及等腰直角三角形的性質．證明如下：
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證法一：如圖1，連接BD．
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又
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在Rt中，得
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即
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證法二：如圖2，作由題給條件可知，
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在Rt中，根據勾股定理得
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在等腰Rt和等腰Rt中，根據勾股定理得，
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又
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而
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勾股定理的發現與證明
中國最早的一部數學著作——《周髀算經》的開頭，記載著一段周公向商高請教數學知識的對話：
周公問：“我聽說您對數學非常精通，我想請教一下：天沒有梯子可以上去，地也沒法用尺子去一段一段丈量，那么怎樣才能得到關于天地的數據呢？”
商高回答說：“數的產生來源于對方和圓這些形體的認識。其中有一條原理：當直角三角形的一條直角邊‘勾’等于3，另一條直角邊‘股’等于4的時候，那么它的斜邊‘弦’就必定是5。這個原理是大禹在治水的時候就總結出來的呵。”
從上面所引的這段對話中，我們可以清楚地看到，我國古代的人民早在幾千年以前就已經發現并應用勾股定理這一重要的數學原理了。稍懂平面幾何的讀者都知道，所謂勾股定理，就是指在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。
勾股定理在西方被稱為畢達哥拉斯定理，相傳是古希臘數學家兼哲學家畢達哥拉斯于公元前550年首先發現的。其實，我國古代得到人民對這一數學定理的發現和應用，遠比畢達哥拉斯早得多。如果說大禹治水因年代久遠而無法確切考證的話，那么周公與商高的對話則可以確定在公元前1100年左右的西周時期，比畢達哥拉斯要早了五百多年。其中所說的勾3股4弦5，正是勾股定理的一個應用特例（32+42=52）。所以現在數學界把它稱為勾股定理，應該是非常恰當的。
在稍后一點的《九章算術一書》中，勾股定理得到了更加規范的一般性表達。書中的《勾股章》說；“把勾和股分別自乘，然后把它們的積加起來，再進行開方，便可以得到弦。”??? 中國古代的數學家們不僅很早就發現并應用勾股定理，而且很早就嘗試對勾股定理作理論的證明。最早對勾股定理進行證明的，是三國時期吳國的數學家趙爽。趙爽創制了一幅“勾股圓方圖”，用形數結合的方法，給出了勾股定理的詳細證明。
趙爽的這個證明可謂別具匠心，極富創新意識。他用幾何圖形的截、割、拼、補來證明代數式之間的恒等關系，既具嚴密性，又具直觀性，為中國古代以形證數、形數統一、代數和幾何緊密結合、互不可分的獨特風格樹立了一個典范。以后的數學家大多繼承了這一風格并且代有發展。例如稍后一點的劉徽在證明勾股定理時也是用的以形證數的方法，只是具體圖形的分合移補略有不同而已。
中國古代數學家們對于勾股定理的發現和證明，在世界數學史上具有獨特的貢獻和地位。尤其是其中體現出來的“形數統一”的思想方法，更具有科學創新的重大意義。事實上，“形數統一”的思想方法正是數學發展的一個極其重要的條件。正如當代中國數學家吳文俊所說：“在中國的傳統數學中，數量關系與空間形式往往是形影不離地并肩發展著的......十七世紀笛卡兒解析幾何的發明，正是中國這種傳統思想與方法在幾百年停頓后的重現與繼續。”
勾股定理課標解讀
1．在研究三角形時，我們前面研究了三角形的角的關系（三角形三內角和定理）和三角形的三邊關系（任何兩邊的和大于第三邊），但三角形的邊的關系只是不等關系，有的三角形邊之間是否有相等關系呢？這是勾股定理提出的思考前提．
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2．勾股定理指出了直角三角形三邊之間的數量關系，將形的特征與數量關系密切聯系起來，為幾何圖形與數量關系之間搭建橋梁發揮了重要作用．
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3．勾股定理的探索過程，是數與形的有機結合，是數學探索的典范．是從觀察到想象、從發現到猜想、從特殊到一般、從定性到定量、從實驗到理論證明的過程．
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4．借助圖形的面積研究相關數量關系是我國古代數學研究中經常采用的重要方法．充分展示了我國古人的智慧．可借助對勾股定理的多種證明方法，加強對面積法的理解．
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5．直角三角形有很多性質，勾股定理是其中最重要的定理之一．用它可以解決直角三角形中邊的計算問題，是解直角三角形的重要依據，在生產生活中用途很廣．它不僅在數學中，而且在其他自然科學中也被廣泛地應用．在實際應用時，要注意的是：一是注意找到或構建直角三角形，二是找三條邊，已知兩條邊，才能求出第三條邊．
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6．有勾股定理作基礎，可以作出長為（為非負整數）的線段，進而在數軸上畫出表示的數，從而加深對“實數與數軸上的點一一對應”的理解．
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7．我國古代在數學方面有許多杰出的研究成果，許多成就為世界所矚目，并得到了高度評價．在數學教學中，應結合教學內容，適當介紹我國古代數學成就，培養學生的愛國熱情和民族自豪感．
《探索勾股定理》學習指導
一、學習要點
勾股定理背景
我國是最早發現勾股定理的國家，據《周髀算經》記載，我國數學家早在公元前1120年就對對勾股定理有了明確認識。勾股定理從發現到現在已有三千年的歷史，在西方它被稱為畢達哥拉斯定理，但它的發現時間卻比中國晚了幾百年。勾股定理把直角三角形這個幾何圖形與三邊長的數量關系聯系在一起，體現了數形結合的思想。
舊知回顧
1.直角三角形兩個銳角關系：直角三角形的兩個銳角互余。
2.三角形三邊關系定理：三角形任意兩邊之和大于第三邊，三角形任意兩邊之差小于第三邊。
目標導航
重點：經歷探索勾股定理及驗證勾股定理的過程，了解探索勾股定理的各種方法及其內在聯系，進一步發展空間概念和合情推理能力。
難點：掌握勾股定理，知道該定理反映了直角三角形三邊間的數量關系，它是直角三角形的重要性質之一，并能運用勾股定理解決一些實際問題。
考點：能運用勾股定理由已知直角三角形的兩邊長求第三邊的長。
二、學習引導
嘗試通過測量、數格子等方法探索得到勾股定理
1）動手在紙上作出幾個直角三角形，分別測量它們的三條邊，填寫好下表．觀察三條邊的平方有什么關系？(其中a、b是兩直角邊長，c是斜邊長)
a2
b2
c2
可能的關系
2）如圖所示，思考以下幾個問題
圖1-2中，如何計算直角三角形三邊的平方（即正方形面積），是否滿足探究方法一中猜想的數量關系？
圖1-3中，如何計算正方形面積？ 思考后根據以下提示計算。
①直接數出正方形內部所包含的完整的小方格的個數，而將不足一個小方格的都算作半個。
②將不足一個方格的部分進行適當拼湊，以拼湊出若干個完整的小方格。
③將斜邊上的正方形劃分為若干個邊長為整數的直角三角形，再利用三角形面積公式求得。
④在斜邊上的正方形的邊長上各補一個直角三角形，得到一個大的正方形。
結論：我們古代把直角三角形中較短的直角邊稱為 ，較長的直角邊稱為 ，斜邊稱為 ．從而得到著名的勾股定理： ．如果用a、b和c分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊，那么 ．
通過拼圖驗證勾股定理
為了計算圖1-4中大正方形的面積，對這個大正方形適當進行了割補，如1-5和1-6所示，思考：
①將所有三角形和正方形的面積用a，b，c的關系式表示出來；
圖1-5：
圖1-6：
②兩圖中正方形ABCD的面積分別為多少？有哪些表示方式？
圖1-5：
圖1-6：
方式：
③分別用兩圖驗證勾股定理。
學以致用
1）求出下列直角三角形中未知邊的長度。
2）求斜邊長17厘米、一條直角邊長15厘米的直角三角形的面積。
3）我方偵察員小王在距離東西向公路400m處偵察，發現一輛敵方騎車在公路上疾馳.他趕緊拿出紅外測距儀，測得汽車與他相距400m，10s后，騎車與他相距500m，你能幫小王計算出敵方汽車的速度嗎？
思考
前面已討論了直角三角形的三邊滿足的關系，那么銳角三角形或鈍角三角形的三邊也滿足這一關系嗎？通過數格子的方法驗證。
結論：銳角三角形中，；鈍角三角形中，
練一練
必做題：
1、如圖，隔湖有兩點A、B，從與BA方向成直角的BC方向上的點C，測得AB=40cm,CB=30cm，求AC的長度。
（第1題圖） （第2題圖）
2、一高為2.5米的木梯,架在高為2.4米的墻上(如圖)，這時梯腳與墻的距離是多少?
3、已知直角三角形兩直角邊BC和AC的長分別為3cm和4cm，那么高CD有多長？
選做題：
4、若一個直角三角形的一條直角邊長為7，其它兩條邊長為兩個連續整數，則這個直角三角形的周長是 。
5、如圖，有一個長方體紙盒，長、寬、高分別為15cm、8cm、5cm，請你估算一下，能否把一根長為18cm的鉛筆放入這個紙盒里面？
第一章第一節勾股定理
第1課時 1.1勾股定理（1）
1、我國是最早發現勾股定理的國家之一．早在三千多年前，周朝數學家商高就提出，將一根直尺折成一個直角．如果勾（即直角三角形中較短的直角邊）等于3，股（即直角三角形中較長的直角邊）等于4，那么弦（即直角三角形中的斜邊）等于5，即“勾三、股四、弦五”，它被記載于我國古代著名的數學著作《周髀算經》中，在這本書中的另一處，還記載了勾股定理的一般形式．因此，我們也把勾股定理稱為商高定理，而把商高稱為“勾股先師”．在西方，把勾股定理又稱為“畢達哥拉斯”定理．相傳二千多年，希臘著名數學家畢達哥拉斯學派首先證明了勾股定理，因此他們還舉行了一次空前規模的慶祝活動，宰殺了一百頭牲畜．但因此也引發了數學的第一次危機——邊長為1的正方形的對角線的長度不能用整數或分數來表示．
關于勾股定理的記載還有很多，同學們如果有興趣，可查閱有關這方面的資料。
所以說勾股定理有著悠久的歷史，它反映了古代人民的聰明才智．
例如：高24米的天線桿，在離地面9米處斷裂，如果線桿底部仍和地面垂直，頂部到底部的距離唯一嗎？如何解決？
解答：上半截桿高24-9=15米，即直角三角形的斜邊為15米，一條直角邊為9米，由勾股定理可得152-92=144，所以，另一直角邊長為12米。
2、如圖是2002年8月在北京召開的國際數學家大會的會標示意圖，取材于我國古代數學著作<勾股圓方圖》它是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形。請你拼出如圖所示的圖形并，根據面積驗證勾股定理。
解：設直角三角形邊長如圖：則
整理得
3、?勾股定理又稱商高定理或畢達哥拉斯定理。據記載，最早給出勾股數的是巴比倫人，在一塊公元前18世紀的泥板上刻有十五組勾股數，至今已有三千七百多年。我國古書《周髀算經》記述了約公元前110年周公和商高的對話中，明確提出"勾三股四弦五"的關系，因此在我國稱為商高定理。最早給出證明的是畢達哥拉斯學派，所以得名為"畢達哥拉斯定理"。畢達哥拉斯(Pythagiras，約公元前580-前500年)是古希臘數學家，約在公元前530年建立了自己的學派。相傳，畢達哥拉斯學派找到勾股定理的證明后，歡喜若狂，殺了一百頭牛祭神，由些又有"百牛定理"之稱。公元前三世紀，歐幾里得(Euclid,公元前330-前275年)，古希臘數學家，在《幾何原本》中把勾股定理列為命題47，他給出的證法成為近兩千年來教科書中通用的證法。勾股定理的證法極多，據有記載的已達四百多種，是到目前為止證法最多的定理。勾股定理在數學中占有重要地位，特別是它的應用導致了無理數的發現。
4、《周髀算經》算經十書之一。約成書于公元前二世紀，原名《周髀》，它是我國最古老的天文學著作，主要闡明當時的蓋天說和四分歷法。唐初規定它為國子監明算科的教材之一，故改名《周髀算經》。《周髀算經》在數學上的主要成就是介紹了勾股定理及其在測量上的應用。原書沒有對勾股定理進行證明，其證明是三國時東吳人趙爽在《周髀注》一書的《勾股圓方圖注》中給出的。 《周髀算經》使用了相當繁復的分數算法和開平方法。
探索勾股定理的教法建議
1．注重使學生經歷探索勾股定理的過程．
教科書設計了在方格紙上通過計算面積的方法探索勾股定理的活動，教師應鼓勵學生充分經歷這一觀察、歸納、猜想的過程，鼓勵學生嘗試求出方格中三個正方形的面積，比較這三個正方形的面積，由此得到直角三角形三邊的關系，通過對幾個特殊例子的考察歸納出直角三角形三邊之間的一般規律，運用自己的語言表達探索過程和所得結論．教學時，教師也可以根據學生的實際情況，設計其他的探索情景．通過觀察、實踐、推理、交流等獲得結論，發展空間觀念和推理能力．
教師還可以讓每一個學生任意畫一個直角三角形，驗證自己的發現，并在此基礎上得到結論．在這個過程中，學生體驗到由特例歸納猜想、由特例檢驗猜想的過程．教師最后可以向學生說明，這個發現是可以證明的．
教學中，教師可以首先向學生滲透一下歸納與驗證的關系（歸納的結論不一定正確，需要進一步驗證）．在驗證過程中，教師要引導學生進行聯想，將形的問題與數的問題聯系起來；要鼓勵學生大膽地拼擺，對于學生可能拼擺出來的與圖1－7不同的圖形，教師都應給予鼓勵．對于教科書中給出的圖1—7，教師可以聯系整式運算的有關知識，讓學生自己推導出勾股定理．
2．注重創設豐富的現實情境，體現勾股定理的廣泛應用．
勾股定理在現實世界中有著較為廣泛的應用，教師應充分利用教科書中的素材讓學生體會這種應用．教師還可以創設其他現實情境或鼓勵學生自己尋找有關問題，進一步展現勾股定理在解決問題中的作用，認識現實世界中蘊涵著豐富的數學信息．
3．盡可能地介紹有關勾股定理的歷史，體現其文化價值．
勾股定理的發現、驗證及應用的過程蘊涵了豐富的文化價值，古代很多國家和民族都對勾股定理有不同程度的認識和了解，我國是最早了解勾股定理的國家之一．當考慮等腰直角三角形的斜邊時，這一定理又導致了無理數的產生——數學歷史上的第一次數學危機．
教師應鼓勵每一個學生閱讀教科書提供的勾股定理的歷史，還可以向學生詳細介紹一些有關勾股定理的歷史、人類對它的研究、它的廣泛應用等，以激發學生的學習欲望，使他們了解勾股定理對人類發展的重要作用，體會它的重大意義和文化價值．教師還可以引導學生自己從書籍、網絡上查閱資料，了解更多的有關勾股定理的內容，體會它的文化價值．
4．注意滲透數形結合的思想．
在勾股定理的探索和驗證過程中，數形結合的思想有較多的體現．教師在教學中應注意滲透這種思想，鼓勵學生從代數表示聯想到有關的幾何圖形，由幾何圖形聯想到有關的代數表示，這有助于學生認識數學的內在聯系．例如，在探索勾股定理的過程中，教師應引導學生由正方形的面積想到，而在勾股定理的驗證過程中，教師又應引導學生由數想到正方形的面積．
5. 本節的重點是探索勾股定理，并能用它來解決一些簡單的問題．難點是勾股定理的發現， 能運用拼圖的方法證明勾股定理．
勾股定理是反映自然界基本規律的一條重要結論，它有著悠久的歷史，在數學發展中起過重要的作用，在現實世界中也有著廣泛的應用．勾股定理的發現、驗證和應用蘊涵著豐富的文化價值．勾股定理從邊的角度進一步刻畫了直角三角形的特征，通過對勾股定理的學習，學生將在原有的基礎上對直角三角形有進一步的認識和理解．
為了使學生能更好地認識勾股定理、發展推理能力，教科書設計了在方格紙上通過計算面積的方法探索勾股定理的活動，同時又安排了用拼圖的方法驗證勾股定理的內容，試圖讓學生經歷觀察、歸納、猜想和驗證的數學發現的過程，同時也滲透了代數運算與幾何圖形之間的關系（如將與正方形的面積聯系起來，再由比較同一正方形面積的幾種不同的代數表示得到勾股定理）
數學家故事·畢達哥拉斯
　　無論是解說外在物質世界，還是描寫內在精神世界，都不能沒有數學!最早悟出萬事萬物背后都有數的法則在起作用的，是生活在2500年前的畢達哥拉斯。
　　畢達哥拉斯出生在愛琴海中的薩摩斯島(今希臘東部小島)，自幼聰明好學，曾在名師門下學習幾何學、自然科學和哲學。以后因為向往東方的智慧，經過萬水千山來到巴比倫、印度和埃及，吸收了阿拉伯文明和印度文明甚至中國文明的豐富營養，大約在公元前530年又返回薩摩斯島。后來又遷居意大利南部的克羅通，創建了自己的學派，一邊從事教育，一邊從事數學研究。
　　畢達哥拉斯(Pythagoras,572 BC-497 BC)古希臘數學家、哲學家。
　　畢達哥拉斯和他的學派在數學上有很多創造，尤其對整數的變化規律感興趣。例如，把(除其本身以外)全部因數之和等于本身的數稱為完全數(如6，28，496等)，而將本身大于其因數之和的數稱為盈數；將小于其因數之和的數稱為虧數。他們還發現了“直角三角形兩直角邊平方和等于斜邊平方”，西方人稱之為畢達哥拉斯定理，我國稱為勾股定理。當今數學上又有“畢達哥拉斯三元數組”的概念，指的是可作為直角三角形三條邊的三數組的集合。
在幾何學方面，畢達哥拉斯學派證明了“三角形內角之和等于兩個直角”的論斷；研究了黃金分割；發現了正五角形和相似多邊形的作法；還證明了正多面體只有五種——正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體和正二十面體。
　　畢達哥拉斯學派認為數最崇高，最神秘，他們所講的數是指整數。“數即萬物”，也就是說宇宙間各種關系都可以用整數或整數之比來表達。但是，有一個名叫希帕索斯的學生發現，邊長為1的正方形，它的對角線()卻不能用整數之比來表達。這就觸犯了這個學派的信條，于是規定了一條紀律：誰都不準泄露存在 (即無理數)的秘密。天真的希帕索斯無意中向別人談到了他的發現，結果被殺害。但很快就引起了數學思想的大革命。科學史上把這件事稱為“第一次數學危機”。希帕索斯為殉難留下的教訓是：科學是沒有止境的，誰為科學劃定禁區，誰就變成科學的敵人，最終被科學所埋葬。
　　可惜，朝氣蓬勃的畢達哥拉斯，到了晚年不僅學術上趨向保守，而且政治上反對新生事物，最后死于非命。
《探索勾股定理》方法學習

【例1】 在△ABC中，已知∠B=90°,∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c,且a=5，b=12，求c2．
【分析】
由∠B=90°,知b才是斜邊（如圖），所以a2＋c2= b2,注意不要受思維定勢（勾股定理的表達式：）的影響而誤認為c是斜邊
【解答】
由∠B=90°,則知b是Rt△ABC的斜邊，
由勾股定理，得c2===119．
【總結】我們在運用勾股定理時，首先要正確識別哪個角是直角，從而確定哪條邊是斜邊，然后準確寫出勾股定理表達式進行求解．
【例2】如圖，在△ABC中，AB = 25，AC = 30，BC邊上的高AD = 24，求BC的長.
【分析】本例不能直接求出BC的長，但通過觀察圖形可以發現BC邊上的高AD把△ABC分成了兩個直角三角形，可以分別在兩個直角三角形中救出BD、DC的長，從而救出BC的長。
【解答】在直角三角形ABD中，由勾股定理，得
BD 2=AB2－AD2=252－242=49，所以BD=7 ；
在直角三角形ADC中，由勾股定理，得
CD 2=AC2－AD2=302－242=324，所以CD=18.
所以，BC = BD + DC = 7 + 18 = 25.
【總結】在直角三角形中已知兩條邊可以應用勾股定理救出第三條邊，要注意發現題目中的直角三角形，從而找到解題的思路。

【例1】用四個全等的直角三角形可以拼成如圖所示的圖形，這個圖形被稱為“弦圖”，最早是由三國時期的數學家趙爽在為《周髀算經》作注時給出的．
　　觀察，你能驗證嗎？把你的驗證過程寫下來，并與同伴進行交流．
【分析】仔細觀察圖形，可以看出圖中以為邊的正方形面積有兩種不同表示形式：即可以利用邊長為C來表示也可以用四個直角三角形的面積加上中間小正方形的面積來表示。
【解答】由圖可知
正方形==．
　　正方形=，所以．
【總結】本例通過拼圖來驗證勾股定理，體現了“數形結合”的思想，需要對圖形進行細致觀察、分析，如圖形中小正方形的邊長為．
【例2】如圖如果以正方形ABCD的對角線AC為邊作第二個正方形ACEF，再以對角線AE為邊作第三個正方形AEGH，如此下去，…己知正方形ABCD的面積為1，按上述方法所作的正方形的面積依次為為正整數），那么第8個正方形的面積=
【分析】求解這類題目的關鍵策略是：從特殊到一般，即先通過觀察幾個特殊的數式中的變數與不變數，得到一般規律，再利用其一般規律求解所要解決的問題．
照此規律可知：
觀察數、2、4、8、16得于是可得
因此
【解答】填：128.
【總結】本題利用了正方形是由兩個全等的等腰直角三角形構成這個特點，在解題時要注意分析圖形的構成。
【例1】在一棵樹的米高處有兩只猴子，其中一只爬下樹走向離樹米的池塘，而另一只爬到樹頂后直撲池塘，如果兩只猴子經過的距離相等，問這棵樹有多高？
【分析】根據題意畫出圖形，再在直角三角形中運用勾股定理構建方程求解．
【解答】如圖，為樹頂， ，為池塘，，設的長是，則樹高．因為，所以，在中，，所以．故，解得．所以，即樹高15米．
【總結】勾股定理的本身就是數形結合的體現，求解時它又與方程緊密相聯．
【例2】在中，，邊上的高，試求的長．
　　【分析】三角形中某邊上的高既可以在三角形內部，也可以在三角形外部，只有將這兩種情況全面考慮才能正確解答本題．
【解答】當在內部時，如圖（1），由勾股定理，得
　　，即．
　　，即．
　　則．
　　當在外部時，如圖（2）
　　同樣，由勾股定理可求得
　　．
　　．
　　故的長為25或7．
【總結】本題在考查勾股定理的同時，也考查了對三角形高的位置情況的認識。

《探索勾股定理》知識點解讀
知識點1：勾股定理（重點）
★勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。如果用a，b，c分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊，那么。該定理反映了直角三角形的三邊關系。（古代把直角三角形中較短的直角邊稱為“勾”，較長的直角邊稱為“股”，斜邊稱為“弦”）
■溫馨提示①勾股定理應用的前提是這個三角形必須是直角三角形，解題時，只能是在同一個直角三角形中時，才能利用它求第三邊邊長。
例：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，求AB的長。
解：在Rt△ABC中，根據勾股定理，得
AB2=AC2+BC2=52+122=169，所以AB=13.
②在式子中，a代表直角三角形的兩條直角邊，c代表斜邊，它們之間的關系不能弄錯。應用勾股定理時，要注意確定哪條邊是直角三角形的最長邊，也就是斜邊。在Rt△ABC中，斜邊未必一定是c，當∠A=90°時，當∠C=90°時，
例：在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，求AB2的值。
解：當∠C=90°時，AB2=AC2+BC2=32+42=25；
當∠A=90°時，AB2=BC2-AC2=42-32=7
③遇到直角三角形中的線段求值問題，要首先想到勾股定理。勾股定理把“數”與“形”有機地結合起來，把直角三角形這一“形”與三邊關系這一“數”結合起來，是數形結合思想方法的典型。
④勾股定理的變式：
在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，則
例：如圖，已知等腰△ABC的腰AB=AC=10 cm，底邊BC=12 cm，AD是∠BAC的平分線，則AD的長是 cm.
解析 ∵AB=AC，AD是∠BAC的平分線，
∴AD⊥BC，BD=CD=BC=6（cm）
在Rt△ABD中，由勾股定理知 AD=
答案 8
知識點2：勾股定理的驗證（難點）
★勾股定理的驗證方法很多，可以用測量計算，可以用代數式的變形，可以用幾何證明，也可以用面積（拼圖）證明，其中拼圖證明是最常見的一種方法。
說明：（1）探索勾股定理時找面積相等是關鍵。
（2）由面積之間的等量關系，并結合圖形進行代數變形可推導出勾股定理。
（3）拼圖法是探索勾股定理的有效方法，一般應遵循以下步驟：
拼出圖形→寫出圖形面積的表達式→找出等量關系→恒等變形→推導出勾股定理。
例：如圖是美國第20任總統加菲爾德于1876年給出的一種驗證勾股定理的辦法，你能利用它驗證勾股定理嗎？
分析：通過構造一個圖形，利用兩種方法計算該圖形的面積，
從而得到一個關于三邊長a，b，c之間的關系式，這種方法
習慣稱為“算兩次”。
解：
解題關鍵：兩個全等的直角三角形按上圖擺放可得到一個大的直角梯形，而中間得到一個等腰直角三角形（由全等易證出）。
知識點2：勾股定理的應用（重點）
★已知直角三角形任意兩邊的長度，利用勾股定理可以求出第三邊的長度。
應用勾股定理應注意的三個問題：
（1）勾股定理是直角三角形所特有的重要定理之一，即應用勾股定理的前提條件是“在直擊三角形中”；
（2）應用勾股定理時，必須分清斜邊和直角邊；
（3）不能直接用勾股定理解決問題時，可以通過添加輔助線的辦法構造出直角三角形，再利用勾股定理解答。
例：如圖，有兩棵樹，一棵高10 m，另一棵高4 m，兩樹相距8 m，一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，問小鳥至少要飛行多少米？
解：由題意可畫出如圖所示的圖形，作DE⊥AB，垂足為E，則∠BED=90°，AE=CD，DE=AC，其中AB=10 m，AC=8 m，CD=4 m，
所以BE=AB-AE=AB-CD=10-4=6（m）.
在Rt△BDE中，由勾股定理，得BD2=BE2+DE2=62+82=100.
所以BD=10 m.
答：小鳥至少要飛行10 m.
解題關鍵：對于實際問題，要仔細分析題意，從所給信息中抽象出直角三角形，再用勾股定理計算出所求線段的長.
1.1探索勾股定理
勾股定理是平面幾何中的一個重要定理，它揭示了直角三角形三邊之間的數量關系，把形的特征——三角形中一個角是直角，轉化成數量關系——三邊之間滿足。利用它可以解決直角三角形中的許多計算問題，是解直角三角形的主要根據之一。它在理論上有重要的地位，在實際中有很大的用途，因而這一節課的教學就顯得相當重要。
對“勾股定理”的教學，筆者做如下的設計：
一、復習性導語，自然引入(時間：7—8分鐘)
我們知道，任意三角形的三條邊必須滿足定理：三角形的兩邊之和大于第三邊。對于等腰三角形和等邊三角形的邊，除滿足三邊關系定理外，它們還分別存在著兩邊相等和三邊相等的特殊關系。那么對于直角三角形的邊，除滿足三邊關系定理外，它們之間也存在著特殊的關系，這就是我們這一節要研究的問題：勾股定理。
這一段導語的目的是，既復習舊知識：三角形兩邊之和大于第三邊，又很自然地引出新問題：勾股定理。這時，讓學生帶著問題去閱讀課文的第一、二自然段。
二、拼圖證明，直觀易懂(時間：13—15分鐘)
勾股定理的證明方法很多，采用哪種方法直觀易懂地使定理得到證明，是本節課教學的難點，為解決這個難點，我們設計這樣一則填空題：
用兩直角邊是a、b，斜邊是c的四個全等直角三角形拼成圖1。
觀察圖形并思考、填空：
1．拼成的圖中有_______個正方形，______個直角三角形。
2．圖中大正方形的邊長為_______，小正方形的邊長為_______。
3．圖中大正方形的面積為_______，小正方形的面積為_______，四個直角三角形的面積為_______。
4．從圖中可以看到大正方形的面積等于小正方形的面積與四個直角三角形的面積之和，于是可列等式為_______，將等式化簡、整理，得_______。
學生討論、回答，教師及時點撥，并適時引導，使學生正確地完成填空題。
對于勾股定理的證明，我們沒有采用教師講解的方法去完成，而是設計了一組思考填空題，讓學生在思考、填空的過程中完成該定理的證明。
勾股定理的證明是本節的難點，教科書采用將八個全等的直角三角形拼成兩個圖形的方法進行證明，既繁瑣，又費時。筆者所采用的證明方法，在初二學生目前所學的有限知識中，是一種較簡便的證明方法，比教科書上介紹的證明方法省時易懂。
三、精選練習，掌握應用(時間：20—22分鐘)
勾股定理的應用是本節教學的重點，一定要讓學生熟練地掌握在直角三角形中已知兩邊求第三邊的方法，為此，可設計下列三組具有梯度性的練習：
練習1(填空題)
已知在Rt△ABC中，∠C=90°。
①若a=3，b=4，則c=________；
②若a=40，b=9，則c=________；
③若a=6，c=10，則b=_______；
④若c=25，b=15，則a=________。
練習2(填空題)
已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10。
①若∠A=30°，則BC=______，AC=_______；
②若∠A=45°，則BC=______，AC=_______。
練習3
已知等邊三角形ABC的邊長是6cm。求：
(1)高AD的長；
(2)△ABC的面積。
練習1是在學生剛剛了解了勾股定理的內容后，已知兩邊求第三邊的練習。這時應提醒學生注意：∠C=90°，則c是斜邊，邊a、b是直角邊。以便學生正確運用勾股定理求第三邊。
練習2是學生在初步掌握了在直角三角形中已知兩邊求第三邊的方法以后，有所提高的一組練習，既要用到30°直角三角形和45°直角三角形的性質，又要用到勾股定理。
練習3綜合性較強，它既要結合圖形的性質，又要用到勾股定理和三角形的面積公式。
這三組練習緊緊圍繞本節的重點而設置，學生完成這三組練習后，對勾股定理的應用就有了較深刻的認識，在學了四邊形和一元二次方程后，應用范圍將逐步擴大。
教學后記

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