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如何用分解因式法解一元二次方程
作為分解因式法解一元二次方程是解一元二
( http: / / www.21cnjy.com )次方程的首選方法那么如何才能正確地運用分解因式滾過來解一元二次方程呢？一般來說，有下列幾個步驟：①將方程右邊化為零；②將方程左邊分解為兩個一次因式乘積；③令每個因式分別等于零，得到兩個一元一次方程；④解這兩個一元一次方程，它們的解就是原方程的解.正確舉幾例說明：
例1　解方程：x2
－6x－16＝0.
分析　由于－16＝－8×2，且－8+2＝－6.所以可以考慮運用分解因式法求解.
解　原方程的左邊分解因式，得(x－8)(x+2)＝0.
即x－8＝0，或x+2＝0.解得x1＝8，x2＝－2.
例2　解方程：x2＋(
( http: / / www.21cnjy.com )－
( http: / / www.21cnjy.com ))x－
( http: / / www.21cnjy.com )＝0.
分析　考慮－
( http: / / www.21cnjy.com )＝
( http: / / www.21cnjy.com )(－
( http: / / www.21cnjy.com ))，所以，原方程可以利用分解因式法求解.
解　原方程的左邊分解因式，得(x+
( http: / / www.21cnjy.com ))(x－
( http: / / www.21cnjy.com ))＝0.
即x+
( http: / / www.21cnjy.com )＝0，或x－
( http: / / www.21cnjy.com )＝0.解得x1＝－
( http: / / www.21cnjy.com )，x2＝
( http: / / www.21cnjy.com ).
例3　解關于x的方程：x2+2(p－q)x－4pq＝0.
分析　由于－4pq＝2p(－2q)，而2p+(－2q)＝2(p－q)，所以原方程可以考慮利用分解因式求解.
解　原方程的左邊分解因式，得(x+2p)(x－2q)＝0.
即x+2p＝0，或x－2q＝0.解得x1＝－2p，x2＝2q.
例4　解關于x的方程：x2－a(3x－2a+b)＝0.
分析　方程中x是未知數，其它字母均為字母
( http: / / www.21cnjy.com )系數.若用公式法解含有字母系數的一元二次方程時，計算量大，容易出錯.考慮原方程通過整理變形后可以利用分解因式得到兩個一次因式的乘積，于是可以求解.
解　原方程化為x2－3ax－(b2+ab－2a2)＝0，由于b2+ab－2a2＝(b+2a)(b－a).
所以方程的左邊分解因式，得[x－(2a+b)][x－(a－b)]＝0，
即x－(2a＋b)＝0，或x－(a－b)＝0，所以x1＝2a+b，x2＝a－b.
綜上所述，分解因式法解一元二次方程的理論根據
( http: / / www.21cnjy.com )是，如果兩個因式的積等于零，那么，這兩個因式至少要有一個等于零.它是解一元二次方程最常用的方法.一般來說，能用分解因式法的一元二次方程應盡量用分解因式法，其法快速、方便，準確率高，當分解因式法實在困難時，再考慮運用公式法等.如何學好配方法
配方法是數學中一種很重要的思想方法，它的主要用途是用來求一元二次方程的解．那么怎樣用配方法解一元二次方程？先讓我們來看一個例子吧．
例
用配方法解方程4x2－12x－1=0．
分析：我們知道形如(x+a)2=b
( http: / / www.21cnjy.com )(b≥0)的方程可以用直接開平方法求解．如果方程4x2－12x－1=0能化成這種形式，不也就可以用直接開平方法求解了嗎？通過觀察，發現式子(x+a)2=b中等號左邊為二次項系數為1的一個多項式的完全平方形式，右邊為常數項，于是考慮先把方程4x2－12x－1=0的二次項系數化為1，再把常數項移到方程的右邊，然后把方程左邊配成完全平方形式，再用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫做配方法．
解：二次項系數化為1，得
( http: / / www.21cnjy.com )．移項，得
( http: / / www.21cnjy.com )．配方，得
( http: / / www.21cnjy.com )，即
( http: / / www.21cnjy.com )．兩邊開平方，得
( http: / / www.21cnjy.com )，即
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )．解得
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )．
由此可見，配方法是以完全平方公式為理論依
( http: / / www.21cnjy.com )據，以開平方法為目標的一個變形過程．其一般步驟為：（1）二次項系數不為1，先把二次項系數化為1即在方程兩邊同除以二次項的系數；（2）移項：使方程左邊只含二次項與一次項，右邊為常數項；（3）配方：在方程兩邊都加上一次項系數一半的平方，把方程化為(x+a)2=b的形式；（4）當b≥0時，再用開平方法解變形得到的這個方程．
用配方法求一元二次方程的解時，常出現
( http: / / www.21cnjy.com )“①對于二次項系數不為1的方程，沒有把二次項系數化為1，就直接進行配方；②配方時，沒有在方程兩邊同時加上一次項系數一半的平方．”這兩個方面的錯誤．
錯解1：移項，得4x2－12x=1．配方，得4x2－12x+
( http: / / www.21cnjy.com )=1+
( http: / / www.21cnjy.com )，即
( http: / / www.21cnjy.com )．兩邊開平方，得x－6=
( http: / / www.21cnjy.com )．解得
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )．
剖析：用配方法解一元二次方程時，若二次項系數不為1，應先把它化為1，再進行配方．錯解1未做好這一準備工作就急于配方而致錯．
錯解2：二次項系數化為1，得
( http: / / www.21cnjy.com )．移項，得x2－3x=
( http: / / www.21cnjy.com )．配方，得x2－3x+
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com )，即
( http: / / www.21cnjy.com )，解得
( http: / / www.21cnjy.com )．
剖析：用配方法解方程的關鍵是配方，而配
( http: / / www.21cnjy.com )方的核心待原方程的左邊化為“x2+bx”的形式后，在方程的兩邊都加上一次項系數一半的平方，使方程的左邊變為完全平方式．錯解2只在方程的兩邊加上一次項系數一半，而沒有把一半平方．韋達與韋達定理
數學在許多人眼里是很抽象、復雜
( http: / / www.21cnjy.com )的，但在這些復雜現象的背后卻往往有著非常和諧、自然的規律，如果能更多地理解和掌握這些規律，就會對數學有更深刻的認識。很多迷戀數學的人就是被數學的這一特點所吸引，韋達便是其中的一員。
韋達于1540年生于法國普瓦圖地區，1560
( http: / / www.21cnjy.com )年就讀于法國普瓦圖大學，是大學法律系的畢業生。畢業后長期從事法律工作，一直到1603年去世，數學始終是韋達的業余愛好，并且達到了酷愛的程度。
韋達研究二次方程時，已經注
( http: / / www.21cnjy.com )意到，如果一次項的系數是兩個數之和的相反數，而常數項是這兩個數的乘積，則這兩個數就是這個方程的根。由于時代的局限，他當時沒能從理論上證明它，但他的數學思想和他的數學著作都大大充實了數學寶庫。1615年(此時，韋達已逝世12年，這些著作是由后人整理的)發表的韋達的著作《論方程的整數與修正》是一部方程論的專著，書中對一元三次方程、一元四次方程的解法做出了改進，并揭示了方程根與系數的關系。其中不僅包括一元二次方程的根與系數的關系，還包含了一元n次方程根與系數的關系：
　　如果一元n次方程anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=0的n個根是x1,
x2,
…,
xn,
那么
　　
　　人們為了紀念他，把這個關系稱為“韋達定理”。
　　一元二次方程根與系數的關系，就是上述定理在n=2時的情況。
下面是關于韋達的兩則趣事。
與羅門的較量：比利時的數學
( http: / / www.21cnjy.com )家羅門曾提出一個45次方程的問題向各國數學家挑戰。法國國王便把該問題交給了韋達，韋達當時就得出一解，回家后一鼓作氣，很快又得出了22解。答案公布，震驚了數學界。韋達又回敬了羅門一個問題。羅門苦思冥想數日方才解出，而韋達卻輕而易舉地作了出來，為祖國爭得了榮譽，他的數學造詣由此可見一斑。
韋達的“魔法”：在法國和西班牙的戰爭
( http: / / www.21cnjy.com )中，法國人對于西班牙的軍事動態總是了如指掌，在軍事上總能先發制人，因而不到兩年功夫就打敗了西班牙。可憐西班牙的國王對法國人在戰爭中的“未卜先知”十分惱火又無法理解，認為是法國人使用了“魔法”。原來，是韋達利用自己精湛的數學方法，成功地破譯了西班牙的軍事密碼，為他的祖國贏得了戰爭的主動權。另外，韋達還設計并改進了歷法。所有這些都體現了韋達作為大數學家的深厚功底。如何用配方法解一元二次方程
難易度：★★★★
關鍵詞：一元二次方程的解法
答案：
用配方法解方程ax2+bx+c=0
(a≠0)
，先將常數c移到方程右邊：ax2+bx=-c
，將二次項系數化為1：x2+
( http: / / www.21cnjy.com )x=-
( http: / / www.21cnjy.com )，方程兩邊分別加上一次項系數的一半的平方：x2+
( http: / / www.21cnjy.com )x+(
( http: / / www.21cnjy.com ))2=-
( http: / / www.21cnjy.com )+(
( http: / / www.21cnjy.com ))2
方程左邊成為一個完全平方式：(x+
( http: / / www.21cnjy.com ))2=
( http: / / www.21cnjy.com )，
當b2-4ac≥0時，x+
( http: / / www.21cnjy.com ) =±
( http: / / www.21cnjy.com )，
∴x=
( http: / / www.21cnjy.com ) (這就是求根公式)
【舉一反三】
典例：用配方法解下列方程：
x2－12x+5=0;思路導引：一般來說，此類問題應按配方法的步驟：(1)將二次項系數化為1；(2)將常數項與二次項、一次項分開在等式兩邊；(3)方程兩邊都加上一次項系數一半的平方，即可化為(x＋a)2＝k的形式，然后用開平方法求解．移項，得x2－12x=－5,配方，得x2－12x+36=－5+36,(x－6)2=31，解這個方程，
標準答案：配方法重點講解
一、何謂配方法
配方法就是將一個一元二次方程通過配方，將其轉化為
( http: / / www.21cnjy.com )的形式，當
( http: / / www.21cnjy.com )時，即可運用直接開平方法求得一元二次方程的解。
配方法不僅是解一元二次方程的一個重要且基本的方法，而且在數學的其他領域也有著廣泛的應用。
二、配方法的理論依據
配方法的理論依據是完全平方公式：
( http: / / www.21cnjy.com )。用
( http: / / www.21cnjy.com )代替公式中的
( http: / / www.21cnjy.com )，則有
( http: / / www.21cnjy.com )。
應用時要注意等號左右兩邊的特征：左邊是關于
( http: / / www.21cnjy.com )的二次三項式，且二次項的系數為1，常數項等于一次項系數一半的平方，即
( http: / / www.21cnjy.com )。
三、注意事項
在把二次三項式中二次項的系數化為1和常數項化為平方形式時，要時刻注意保持恒等變形。
四、應用舉例
例1
證明關于
( http: / / www.21cnjy.com )的方程
( http: / / www.21cnjy.com )，不論
( http: / / www.21cnjy.com )為何值，該方程都是一元二次方程。
證明：
( http: / / www.21cnjy.com )。
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )。
( http: / / www.21cnjy.com )不論
( http: / / www.21cnjy.com )為何值，都有
( http: / / www.21cnjy.com )。
( http: / / www.21cnjy.com )不論
( http: / / www.21cnjy.com )為何值，關于
( http: / / www.21cnjy.com )的方程
( http: / / www.21cnjy.com )都是一元二次方程。
說明：⑴在解形如把
( http: / / www.21cnjy.com )配方的這類問題時，需要注意：將二次項的系數化為1時，應根據乘法的分配律各項都提出2，而不是將各項都除以2。提出2是恒等變形，原式的值沒有改變；都除以2是運算變形，原式的值改變了。⑵對二次項系數為1的二次三項式配方時，需要加上“一次項系數一半的平方”。但要注意：為了使代數式的值不變，必須再減去這個“一次項系數一半的平方。”
例2
用配方法解下列方程：
⑴
( http: / / www.21cnjy.com )；⑵
( http: / / www.21cnjy.com )。
分析：方程⑴的系數已經是1，所以直接移項、配方、求解即可；方程⑵則需要先將二次項的系數化為1。
解：⑴移項，得
( http: / / www.21cnjy.com )。
配方，得
( http: / / www.21cnjy.com )，即
( http: / / www.21cnjy.com )。
( http: / / www.21cnjy.com )。
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )。
⑵請同學們完成。答案：
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )。
說明：⑴系數化為1是用配方法解一元二次方程的首要步驟，要保證其正確性；
⑵配方法解一元二次方程的關鍵步驟是：方程左右兩邊都加上一次項系數一半的平方。
⑶一次項系數的符號決定了方程左邊的完全平方式中，是兩數差的平方還是兩數和的平方。
例3
已知
( http: / / www.21cnjy.com )，求
( http: / / www.21cnjy.com )的值。
分析：仔細觀察方程左邊代數式的特征，可以發現，通過配方可將原式化為兩個非負數之和為0的形式，然后根據非負數的性質來解答。
解：原式可化為
( http: / / www.21cnjy.com )，即
( http: / / www.21cnjy.com )。
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )。
例4
若
( http: / / www.21cnjy.com )，求關于
( http: / / www.21cnjy.com )的一元二次方程
( http: / / www.21cnjy.com )的解。
分析：因為二次項的系數中含有字母
( http: / / www.21cnjy.com )，又已知該方程為一元二次方程，所以求解時應注意使二次項的系數不為0。
解：
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )。
又
( http: / / www.21cnjy.com )該方程為一元二次方程，
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )。
( http: / / www.21cnjy.com )原方程可化為
( http: / / www.21cnjy.com )。化簡，得
( http: / / www.21cnjy.com )。配方，得
( http: / / www.21cnjy.com )。
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )。什么形式的一元二次方程可以用直接開平方法來解？
難易度：★★★
關鍵詞：一元二次方程的解法
答案：
方程可化為一邊是含未知數的完全平方式,另一邊是一個常數,那么就可以用直接開平方法來求解.
直接開平方法的理論依據是平方根的定義及性質
【舉一反三】
典例：解方程x
2+6x+9=2
思路導引：一般來說，解一元二次方程應先觀察特點，再確定用什么方法求解。
原式可變為完全平方：（x+3）2=2，直接開平方，得：x+3=±
( http: / / www.21cnjy.com )，即x+3=
( http: / / www.21cnjy.com )，x+3=-
( http: / / www.21cnjy.com )

所以，方程的兩根x1=-3+
( http: / / www.21cnjy.com )，x2=-3-
( http: / / www.21cnjy.com )
標準答案：x1=-3+
( http: / / www.21cnjy.com )，x2=-3-
( http: / / www.21cnjy.com )如何用換元法解一元二次方程？
難易度：★★★★
關鍵詞：一元二次方程的解法
答案：
在考查一元二次方程解法的同時，還可
( http: / / www.21cnjy.com )以考查、換元法、閱讀分析能力等。換元的目的是將原方程變形為較簡單易解的方程，解出換元后的未知數還應代入所換元的關系式，求出原方程的解。
【舉一反三】
典例：閱讀材料：為解方程(x2－1)2－5(x2－1)＋4＝0，我們可以將x2－1看作一個整體，然后設x2－1＝y……①，那么原方程可化為y2－5y＋4＝0，解得y1＝1，y2＝4．當y＝1時，x2－1＝1，∴x2＝2，∴x＝±
( http: / / www.21cnjy.com )；當y＝4時，x2－1＝4，∴x2＝5，∴x＝±
( http: / / www.21cnjy.com )，故原方程的解為x1＝
( http: / / www.21cnjy.com )，x2＝
( http: / / www.21cnjy.com )，x3＝
( http: / / www.21cnjy.com )，x4＝
( http: / / www.21cnjy.com )．
解答問題：(1)上述解題過程，在由原方程得到方程①的過程中，利用_________法達到了解方程的目的，體現了轉化的數學思想；
(2)請利用以上知識解方程x4－x2－6＝0．
思路導引：一般來說，此類問題應細心讀題，弄清題意。易知上述解一元二次方程用的是換元法，本題通過換元，達到了降次的目的。
(1)換元法
(2)設x2＝y，那么原方程可化為y2－y－6＝0
，解得y1＝3，y2＝－2
，當y＝3時，x2＝3，∴x＝±
( http: / / www.21cnjy.com )
，當y＝－2時，x2＝－2不符合題意，舍去.∴原方程的解為：x1＝
( http: / / www.21cnjy.com )，x2＝
( http: / / www.21cnjy.com )
。
標準答案：(1)換元法（2）x1＝
( http: / / www.21cnjy.com )，x2＝
( http: / / www.21cnjy.com )一元二次方程根的判別式的應用
一元二次方程根的判別式是一個重要的知識點，有極為廣泛的應用．下面舉例說明判別式的幾種常見應用．
一、判斷方程根的情況
例1
方程
( http: / / www.21cnjy.com )的根的情況是（
）
（A）有兩個不相等的實數根
（B）無實數根
（C）有兩個相等的實數根
（D）有一個根為零
分析：由
( http: / / www.21cnjy.com )知方程有兩個不相等的實數根．
二、證明方程根的情況
例2
已知關于
( http: / / www.21cnjy.com )的方程
( http: / / www.21cnjy.com )，求證：無論
( http: / / www.21cnjy.com )取什么數，這個方程總有兩個不相等的實數根．
分析：由
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )，所以不論
( http: / / www.21cnjy.com )為何實數，方程總有兩個不相等的實數根．
三、判斷方程中未知系數的取值范圍
例3
已知關于
( http: / / www.21cnjy.com )的一元二次方程
( http: / / www.21cnjy.com )有兩個不相等的實數根，求
( http: / / www.21cnjy.com )的取值范圍．
分析：由題意得
( http: / / www.21cnjy.com )解得
( http: / / www.21cnjy.com )且
( http: / / www.21cnjy.com )．
所以
( http: / / www.21cnjy.com )的取值范圍是
( http: / / www.21cnjy.com )且
( http: / / www.21cnjy.com )．
四、確定二次三項式是完全平方式的條件
例4
已知關于
( http: / / www.21cnjy.com )的二次三項式
( http: / / www.21cnjy.com )是一個完全平方式，求
( http: / / www.21cnjy.com )的值．
分析：因關于
( http: / / www.21cnjy.com )的二次三項式
( http: / / www.21cnjy.com )是一個完全平方式，故關于
( http: / / www.21cnjy.com )的方程
( http: / / www.21cnjy.com )有兩個相等的實數根，所以
( http: / / www.21cnjy.com )，解得
( http: / / www.21cnjy.com )．
五、討論兩函數圖象的交點情況
例5
直線
( http: / / www.21cnjy.com )與雙曲線
( http: / / www.21cnjy.com )有沒有交點？若有，求出交點坐標；若沒有，請說明理由．
分析：要判斷直線與雙曲線有沒有交點，只要看它們的解析式組成的方程組有沒有實數根，即看消去
( http: / / www.21cnjy.com )的方程
( http: / / www.21cnjy.com )有無實數解，易知
( http: / / www.21cnjy.com )28>0,故直線與雙曲線有交點．
一元二次方程根的判別式還有其它方面的應用
( http: / / www.21cnjy.com ),這里不在一一舉例,但同學們學習時要注意根的判別式與其它知識之間的聯系和區別,掌握將所研究的問題轉化為一元二次方程問題的方法，通過對知識的歸納、整理進一步提高分析問題解決問題的能力．什么是直接開平方法？
難易度：★★★
關鍵詞：一元二次方程的解法
答案：
直接開平方法就是用直接開平方求解一元二次方程的方法。用直接開平方法解形如(x-m)2=n
(n≥0)的方程，其解為x=m±
( http: / / www.21cnjy.com ).
【舉一反三】
典例：解方程(3x+1)2=9
思路導引：一般來說，直接開平方法適用于解化為x2＝a形式的方程，當a≥0時，方程有實數解；當a＜0時，方程沒有實數解。此方程可用直接開平方法解。(3x+1)2=9
，
∴3x+1=±3(注意不要丟解)
，
∴3x=-1±3，
∴原方程的解為
( http: / / www.21cnjy.com )
標準答案：
( http: / / www.21cnjy.com )巧用配方法解題
配方法是一元二次方程解法中非
( http: / / www.21cnjy.com )常重要的一種方法，其實質是一種恒等變形，它通過加上并且減去相同的項，把算式的某些項配成完全n次方的形式，通常是指配成完全平方式．
配方法的在中學數學中的應用非常廣泛，主要有以下幾個方面．
一、用配方法解方程
例1
解方程：2x2－3x+1=0．
分析：用配方法解一元二次方程的一般步驟是：
1．將二次項的系數化為1；
2．移項，使含未知數的項在左邊，常數項在右邊；
3．配方，方程兩邊都加上一次項系數一半的平方；
4．將方程化為(x+m)2=n的形式；
5．用直接開平方法進行求解（n<0無解）．
解：方程兩邊都除以2，得
( http: / / www.21cnjy.com )
移項，得
( http: / / www.21cnjy.com )
配方，得
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，
即
( http: / / www.21cnjy.com )或
( http: / / www.21cnjy.com )
所以x1=1，
( http: / / www.21cnjy.com )
二、用配方法分解因式
例2
把x2+4x-1分解因式．
分析：在原式中加上4的同時又減去4．
解：原式=x2+4x+4-4-1=x2+4x+4-5
=(x+2)2-
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )
三、用配方法求代數式的值
例3
已知實數a，b滿足條件：
( http: / / www.21cnjy.com )，求—ab的平方根．
分析：一個方程含有兩個未知數，看
( http: / / www.21cnjy.com )似無法求出a，b．但仔細觀察發現，等式左邊可以分成兩組分別配方，正好得到兩個完全平方式的和為0，利用非負數的性質可求出a，b的值．
解：∵
( http: / / www.21cnjy.com )，
∴
( http: / / www.21cnjy.com )，
即
( http: / / www.21cnjy.com )，
∴
( http: / / www.21cnjy.com )
∴±
( http: / / www.21cnjy.com )
四、用配方法求代數式的最大（小）值
例4
代數式2x2-3x-1有最大值或最小值嗎？求出此值．
分析：代數式2x2-3x-1的值隨x的變化
( http: / / www.21cnjy.com )而變化，但有某一個值可能是其最小（大）的，如果我們將其變形為一個常數和一個完全平方式的和，便可求出其最小（大）值．
解：2x2-3x-1=2(x2-
( http: / / www.21cnjy.com )x)-1=2(x-
( http: / / www.21cnjy.com ))2+
( http: / / www.21cnjy.com )
∴當
( http: / / www.21cnjy.com )時，
( http: / / www.21cnjy.com )有最小值0，
∴當
( http: / / www.21cnjy.com )時，2x2-3x-1有最小值為
( http: / / www.21cnjy.com )．
五、用配方比較兩個代數式的大小
例5
對于任意史實數x，試比較兩個代數式3x3-2x2-4x+1與3x3+4x+10的值的大小．
分析：比較兩個代數式的大小，可以作差比
( http: / / www.21cnjy.com )較，本題兩個代數式相減后，可以得到一個二次三項式，將此二次三項式配方后，即可判斷差的正負，從而可以判斷兩個代數式的值的大小．
解：（3x2-2x2-4x+1）-（3x3+4x+10）
=-2x2-8x-9=-2(x+2)2-1<0，
所以對于任意實數x，恒有
3x3-2x2-4x+1<3x3+4x+10．
六、用配方法證明等式和不等式
例6
已知方程中(a2+b2)x2-2b(a+c)x+b2+c2=0中字母a，b，c都是實數．
求證：
( http: / / www.21cnjy.com )
分析：一個方程含有四個未知數，看似
( http: / / www.21cnjy.com )無法求出a，b，c，x．但仔細觀察發現，方程左邊可以分成兩組分別配方，正好得到兩個完全平方式的和為0，利用非負數的性質可求出a，b，c，x之間的關系．
證明：原方程坐標拆成兩個二次三項式為：(a2x2-2abx+b2)+(b2x2-2bcx+c2)=0，
∴(ax-b)2+(bx-c)2=0．
∵a，b，c，x都是實數，
∴(ax-b)2≥0,(bx-c)2≥0．
∴ax-b=0,bx-c=0．
∴
( http: / / www.21cnjy.com )利用配方法解題舉例
作為一個重要的數學方法，配方法在中學數學中的應用極為廣泛，下面舉例說明．
　　一、用于因式分解
　　例1
分解因式：
　　(1)x4+4；
　　(2)a2-4ab+3b2-2bc-c2
　　解：(1)原式＝x4+4x2+4-4x2
　　＝(x2+2)2-(2x)2
　　＝(x2+2x+2)(x2-2x+2)．
　　(2)原式＝(a2-4ab+4b2)-(b2+2bc+c2)
　　＝(a-2b)2-(b+c)2
　　＝(a-b+c)(a-3b-c)．
　　二、用于求值
　　例2
已知x2+y2+4x-6y+13＝0，x，y為實數，則xy＝_______．
　　解：由已知等式配方，得(x+2)2+(y-3)2＝0．
　　因x，y為實數，故x＝-2，y＝3．
　　故xy＝(-2)3＝-8．
　　三、用于化簡根式
　　
( http: / / www.21cnjy.com )
　　
( http: / / www.21cnjy.com )
　　
( http: / / www.21cnjy.com )
　　
( http: / / www.21cnjy.com )
　　四、用于解方程(組)
　　例4
解方程(x2+2)(y2+4)(z2+8)＝64xyz(x，y，z均為正實數)．
　　解：原方程變形，得
　　x2y2z2+4x2z2+2y2z2+8z2+8x2y2+32x2+16y2+64-64xyz＝0．
　　各自配方，得(xyz-8)2+2(4x-yz)2+4(2y-xz)2+8(z-xy)2＝0．
　　
　　
　　解：顯然，x＝y＝z＝0適合方程組．
　　當x≠0，y≠0，z≠0時，原方程組可變形為：
　　
　　
　　
( http: / / www.21cnjy.com )
　　∴
x＝1，y＝1，z＝1．
　　
　　五、用于求最值
　　
　　解：所求式變形配方，得
　　
( http: / / www.21cnjy.com )
　　
( http: / / www.21cnjy.com )
　　∴
當x＝1時，y有最小值1．
　　六、用于證明恒等式
　　例7
四邊形的四條邊長a，b，c，d滿足等式a4+b4+c4+d4＝4abcd．求證：a＝b＝c＝d．
　　證明：已知等式變形，得
　　a4-2a2b2+b4+c4-2c2d2+d2+2a2b2+2c2d2-4abcd＝0．
　　配方，得(a2-b2)2+(c2-d2)2+2(ab-cd)2＝0．
　　∴
a2＝b2，c2＝d2，ab＝cd．故a＝b＝c＝d．
　　七、用于證明不等式
　　例8
若a，b，c為實數，求證：a2+b2+c2-ab-bc-ac≥0．
　　證明：∴2(a2+b2+c2-ab-bc-ac)
　　＝(a2-2ab+b2)+(b2-2bc+c2)+(a2-2ac+c2)
　　＝(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2≥0，
　　∴
a2+b2+c2-ab-bc-ac≥0．
　　八、用于判定幾何圖形的形狀
　　例9
已知a，b，c是△ABC的三邊，且a2+b2+c2-ab-bc-ca＝0，試判定△ABC的形狀．
　　解：仿上例，已知等式可化為(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2＝0．
　　∴
a-b＝0，b-c＝0，c-a＝0．即
a＝b＝c．
　　故
△ABC是等邊三角形．用配方法解一元二次方程的一般步驟是什么？
難易度：★★★
關鍵詞：一元二次方程的解法
答案：
用配方法解已化成一般形式
( http: / / www.21cnjy.com )的一元二次方程的一般步驟是：(1)將方程的兩邊都除以二次項的系數，把方程的二次項系數化成1；(2)將常數項移到方程右邊；(3)方程兩邊都加上一次項系數一半的平方；(4)當右邊是非負數時，用直接開平方法求出方程的根．
【舉一反三】
典例：用配方法解方程x2-2x-8=0;
思路導引：一般來說，通過配成完全平方式的
( http: / / www.21cnjy.com )形式解一元二次方程的方法，叫作配方法；配方的目的是為了降次，把一元二次方程轉化為兩個一元一次方程.移項，得x2-2x=8,x2-2x+1=9,配方，得(x-1)2=9.解這個方程，得x-1=±3,即x1=4,x2=-2.
標準答案：x1=4,x2=-2.如何“變形換元”配方？
難易度：★★★
關鍵詞：一元二次方程的解法
答案：
解較為復雜的一元二次方程時，可用一個未知數代替方程中的一個整式，將原方程轉化為一個較簡單的一元二次方程，再求解。
【舉一反三】
典例：用配方法解方程（6x+7）2（3x+4）（x+1）=6
思路導引：一般來說，此類問題需要變形換元。因為如果展開（6x+7）2，那么方程就變得很復雜，如果把（6x+7）看為一個數y，那么（6x+7）2=y2，其它的3x+4=
( http: / / www.21cnjy.com )（6x+7）+
( http: / / www.21cnjy.com )，x+1=
( http: / / www.21cnjy.com )（6x+7）-
( http: / / www.21cnjy.com )，因此，方程就轉化為y的方程，像這樣的轉化，我們把它稱為換元法．設6x+7=y，則3x+4=
( http: / / www.21cnjy.com )y+
( http: / / www.21cnjy.com )，x+1=
( http: / / www.21cnjy.com )y-
( http: / / www.21cnjy.com )，依題意，得：y2（
( http: / / www.21cnjy.com )y+
( http: / / www.21cnjy.com )）（
( http: / / www.21cnjy.com )y-
( http: / / www.21cnjy.com )）=6，去分母，得：y2（y+1）（y-1）=72，y2（y2-1）=72，
y4-y2=72，y2-
( http: / / www.21cnjy.com )）2=
( http: / / www.21cnjy.com )，y2-
( http: / / www.21cnjy.com )=±
( http: / / www.21cnjy.com )，
y2=9或y2=-8（舍），
∴y=±3，當y=3時，6x+7=3
6x=-4
x=-
( http: / / www.21cnjy.com )；當y=-3時，6x+7=-3
6x=-10
x=-
( http: / / www.21cnjy.com )，所以，原方程的根為x1=-
( http: / / www.21cnjy.com )，x2=-
( http: / / www.21cnjy.com )。
標準答案：原方程的根為x1=-
( http: / / www.21cnjy.com )，x2=-
( http: / / www.21cnjy.com )怎樣利用因式分解法解一元二次方程
？
難易度：★★★
關鍵詞：一元二次方程的解法
答案：
當把一元二次方程的一邊化為0，而另一
( http: / / www.21cnjy.com )邊可以分解成兩個一次因式的積時，就可以用因式分解法來解這個方程。要清楚使乘積ab=0的條件是a=0或b=0。
【舉一反三】
典例：解方程
1.x2－25=0
2.(x+1)2=(2x－1)2
3.x2－2x+1=4
4.x2=4x
思路導引：一般來說，此類問題應先轉化為一般式，再進行因式分解。
1.解：(x+5)(x－5)=0
∴x+5=0或x－5=0
∴x1=5,x2=－5
2.解：(x+1)2－(2x－1)2=0
(x+1+2x－1)(x+1－2x+1)=0
∴3x=0或－x+2=0，∴x1=0,x2=2
3.解：x2－2x－3=0
(x－3)(x+1)=0
∴x－3=0或x+1=0，
∴x1=3,x2=－1
4.解：x2－4x=0
x(x－4)=0
∴x=0或x－4=0，
∴x1=0,x2=4
標準答案：（1）x1=5,x2=－5（2）x1=0,x2=2（3）x1=3,x2=－1（4）x1=0,x2=4解一元二次方程的基本思想是什么？
難易度：★★★
關鍵詞：一元二次方程的解法
答案：
解一元二次方程的基本思想方法是通過“降次”將它化為兩個一元一次方程。
【舉一反三】
典例：解方程x
2+4x+4=1
思路導引：一般來說，此類
( http: / / www.21cnjy.com )問題應想辦法“降次”。很清楚，x2+4x+4是一個完全平方公式，那么原方程就轉化為（x+2）2=1．x+2=±1，x1=-1;x2=-3
標準答案：x1=-1;x2=-3配方法解一元二次方程
解一元二次方程的基本思想是降次，把一元二
( http: / / www.21cnjy.com )次方程“降次”為兩個一元一次方程.通過解兩個一元一次方程，到達求解的目的.而配方法是解一元二次方程的基礎方法，且又是一種重要的方法，下面讓我們一起來理解配方法在解一元二次方程中的應用.
1．知識點撥
配方法:通過配成完全平方式來解一元二次方程的方法,叫做配方法.
配方法的基本思想：通過配方來降次,將方程轉換為(x+n)2=P(P≥0),進而轉化為x+n=
( http: / / www.21cnjy.com )達到求解的目的.
配方的基本步驟:①方程兩邊同除以二次項的系數,將二次的系數化為1;②移項:把常數項單獨移到方程的右邊;③配方:方程兩邊都加上一次項系數一半的平方,把原方程化為(x+n)2=P(P≥0);④求解:將方程(x+n)2=P(P≥0)化為兩個一元一次方程:x+n=
( http: / / www.21cnjy.com ),進而求出方程的解.
2．應用體驗
例1
用配方法解方程x2+10x-8=0.
分析:方程的特點是二次項的系數等于1,可以先移項,再配方求解.
解:移項,得x2+10x=8,
配方,得x2+10x+52=8+52,
即(x+5)2=33,
所以x+5=±
( http: / / www.21cnjy.com )
所以x1=-5+
( http: / / www.21cnjy.com ),x2=-5-
( http: / / www.21cnjy.com )
點評:配方的關鍵是方程兩邊加上一次項系數的平方的一半.
例2
用配方法解方程-
( http: / / www.21cnjy.com )x2+x+2=0。
分析：觀察方程的特點可知，二次項的系數不為1，可在方程的兩邊同乘除-2，將二次項的系數化為1，然后再配方求解。
解：化二次項系數為1，得x2-2x-4=0，
移項，得x2-2x=4，
方程的兩邊都加上一次項系數一半的平方，得x2-2x+1=4+1，
即(x-1)2=5,
所以x-1=
( http: / / www.21cnjy.com ),
所以x1=1+
( http: / / www.21cnjy.com ),x2=1-
( http: / / www.21cnjy.com ).
點評:本題求接的關鍵是將二次項系數化為1.
3.
親自嘗試
(1)
用配方法解方程2x2-12x-182=0.
(2)
用配方法解方程x(x+4)=8x+12.
答案:
(1)
x1=13,x2=-7;
(2)
x1=6,x2=-2.配方法在解題中的巧妙的應用
配方法是一種重要的數學方法，它
( http: / / www.21cnjy.com )既是恒等變形的重要手段，又是研究相等關系，討論不等關系的常用技巧，還是挖掘題目當中隱含條件的有力工具。它不僅可以用來解一元二次方程,，而且在數學的其他領域也有著廣泛的應用，下面分別闡述如下：
用于求字母的值
例1
已知
( http: / / www.21cnjy.com )則x,y的值分別為______.
分析:可將含x,y的方程化為兩個非負數和為0的形式,從而求出兩個未知數的值.
∵
( http: / / www.21cnjy.com )∴
( http: / / www.21cnjy.com )
∴
( http: / / www.21cnjy.com )∵
( http: / / www.21cnjy.com )∴xy+2=0,x-3=0,∴xy=-2,x=3.
將x=3代入xy=-2中解得
( http: / / www.21cnjy.com )∴
x=3,
( http: / / www.21cnjy.com )
用于證明代數式非負
例2
用配方法證明:不論x為任何實數,代數式
( http: / / www.21cnjy.com )的值恒大于0.
分析：本題主要考查利用配方法說明代數式的值恒大于0,說明一個二次三項式恒大于0的方法是通過配方將二次三項式化成“
( http: / / www.21cnjy.com )+正數”的形式.
證明:
∵
( http: / / www.21cnjy.com ),
又∵
( http: / / www.21cnjy.com ),∴
( http: / / www.21cnjy.com )
∴不論x為任何實數,代數式
( http: / / www.21cnjy.com )的值恒大于0.
用于比較大小
例3
若代數式
( http: / / www.21cnjy.com )則M-N的值(
)
A.
一定是負數
B.一定是正數
C.
一定不是負數
D.一定不是正數
分析:
M-N=
( http: / / www.21cnjy.com )
=
( http: / / www.21cnjy.com )
=
( http: / / www.21cnjy.com )故選B.
用于因式分解
例4
分解因式:
( http: / / www.21cnjy.com )=_____________.
分析:原式=
( http: / / www.21cnjy.com )
=
( http: / / www.21cnjy.com )
用于判定三角形的形狀
例5
已知a、b、c是△ABC的三邊，且滿足
( http: / / www.21cnjy.com )，則△ABC的形狀為_______________.
分析:等式兩邊乘以2,得
( http: / / www.21cnjy.com )
配方，得
( http: / / www.21cnjy.com )
即
( http: / / www.21cnjy.com )
由非負數的性質得a-b=0,b-c=0,c-a=0,
a=b,b=c,c=a,即a=b=c.
故△ABC是等邊三角形.
用于求代數式的最值
例6
利用配方法求
( http: / / www.21cnjy.com )的最大值或最小值.
分析:求最大值或最小值,必須將它們化成
( http: / / www.21cnjy.com )的形式,然后再判斷,當a＞0時,它有最小值c;當a＜0時,它有最大值c.
解:
( http: / / www.21cnjy.com )
∵
( http: / / www.21cnjy.com )∴
( http: / / www.21cnjy.com )
故它的最小值是-9.
評注:配方法是求一元二次方程根的一種方法,也是推導求根公式的工具,并且也是解決其他問題的方法.其用途相當廣泛.聚焦一元二次方程的兩種解法
一元二次方程的解法是這一部分內容的重點．解法各有特點，只有準確把握，解方程時才會得心應手．直接開平方法適宜于解形如
( http: / / www.21cnjy.com )的方程；而因式分解法適合的方程是：一邊為零而另一邊易于分解成兩個一次因式的積的方程(其依據是若ab=0，則a=0，或b=0)．在遇到不同形式的方程時，要根據方程的特點選擇恰當的方法求解．掌握它的解法并不困難，但由于各種原因，同學們初學時會出現如下錯誤：
　例1
解方程x2＝4
　　誤解：x＝2．
　　錯誤原因：對非負數的平方根的概念不清．
　　正確的解是x1＝2，x2＝-2．
　例2
解方程(x-1)2＝x-1
　　誤解：x-1＝1，x＝2
　　錯誤原因：兩邊同除以含有字母的代數式，引起失根．
　　正確的解：(x-1)2-(x-1)＝0，(x-1)(x-2)＝0，∴x1＝1，x2＝2．
　例3
解方程x2-2x+1＝0
　　誤解：(x-1)2＝0，∴x＝1．
　　錯誤原因：一元二次方程若有實數根，則必定有兩個根．
　　正確的解：(x-1)2＝0∴x1＝x2＝1．
　例4
解方程：x2-3x＝0，
　　
( http: / / www.21cnjy.com )
　　
( http: / / www.21cnjy.com )
　　
( http: / / www.21cnjy.com )
方程的解就是“能使方程左右兩邊的
( http: / / www.21cnjy.com )值相等的未知數的值”．在方程沒有解出之前，未知數x就是它的代表．解方程，就是通過“變”把方程的解“解放”出來，以致最終能成為x＝？的形式，而“變”的規則是必須使方程的解始終保持一樣．解一元二次方程，首要的問題是通過變形把x解出，怎么變？除了分母、括號、系數等障礙以外，最重要的是次數！怎樣把二次降成一次？或者開平方，或者分解因式，這是兩種最基本的降次方法．什么是一元二次方程的求根公式？
難易度：★★★★
關鍵詞：一元二次方程的解法
答案：
用一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式x＝
( http: / / www.21cnjy.com )(b2－4ac≥0)，這種解一元二次方程的方法叫做公式法
【舉一反三】
典例：某數學興趣小組對關于x的方程（m+1）
( http: / / www.21cnjy.com )+（m-2）x-1=0提出了下列問題．
若使方程為一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程．
思路導引：一般來說，求根公式是針對一元二次方程的一般形式來說的，使用求根公式時，必須先把方程化成一般形式，才能正確地確定各項系數，在應用公式之前，先計算出b2－4ac的值，當b2－4ac≥0時，代入公式求出方程的根；當b2－4ac＜0時，方程沒有實數根，這時就不必再代入公式了．存在．根據題意，得：m2+1=2，m2=1
m=±1，當m=1時，m+1=1+1=2≠0；當m=-1時，m+1=-1+1=0（不合題意，舍去），∴當m=1時，方程為2x2-1-x=0，a=2，b=-1，c=-1，
b2-4ac=（-1）2-4×2×（-1）=1+8=9，x=
( http: / / www.21cnjy.com )，x1=1，x2=-
( http: / / www.21cnjy.com )。
標準答案：該方程是一元二次方程時，m=1，兩根x1=1，x2=-
( http: / / www.21cnjy.com )．求根公式法解一元二次方程的五個注意點
大家知道，一般地，對于一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)，當b2－4ac≥0時，方程有兩個實數根：x1,2＝
( http: / / www.21cnjy.com )；當b2－4ac＜0時，方程沒有實數根.盡管如此，我們在具體求解時還應注意以下幾個問題：
一、注意化方程為一般形式
　　例1　解方程：6x2+3x＝(1+2x)(2+x).
　　分析　將原方程整理成一元二次方程的一般形式后確定a、b、c的值，代入求根公式求解.
解　原方程可化為：4x2－x－2＝0.
因為a＝4，b＝－1，c＝－2，所以b2－4ac＝(－1)2－4×4×(－2)＝33＞0.
所以x＝
( http: / / www.21cnjy.com )＝
( http: / / www.21cnjy.com )＝
( http: / / www.21cnjy.com )，
即x1＝
( http: / / www.21cnjy.com )，x2＝
( http: / / www.21cnjy.com ).
說明　對于結構較為復雜的一元二次方程，一定要依據有關知識將其化為一般形式，然后才能想到運用求根公式.
　　二、注意方程有實數根的前提條件是b2－4ac≥0
例2　解方程：3x2＝5x－4.
分析　先移項，化原方程為一般形式，確定a、b、c的值，再估算一下b2－4ac的值.
解　移項，得3x2－5x+4＝0.
因為a＝3，b＝－5，c＝4，所以b2－4ac＝－23＜0，因此一元二次方程無實數解.
說明　由本題的求解過程，我們可以看出在解一元二次方程時，化一元二次方程為一般形式，確定a、b、c的值后，估算一下b2－4ac的值非常重要，不然就有可能出現下列的錯誤：x1,2＝
( http: / / www.21cnjy.com )＝
( http: / / www.21cnjy.com ).
三、注意a、b、c的確定應包括各自的符號
例3　解方程：2x2－5x+1＝0.
分析　已知方程已經是一般形式，只要對號入座地寫出a、b、c，再求b2－4ac的值，最后即求解.
解　因為a＝2、b＝－5、c＝1，所以b2－4a＝(－5)2－4×2×1＝17＞0.
所以x＝
( http: / / www.21cnjy.com )＝
( http: / / www.21cnjy.com )＝
( http: / / www.21cnjy.com )，
即x1＝
( http: / / www.21cnjy.com )，x2＝
( http: / / www.21cnjy.com ).
說明　確定出a、b、c的值，應注意兩個問題：一是要化原方程為一般形式，二是要注意連同a、b、c本身的符號，特別是“－”號更不能漏掉.
四、注意一元二次方程如果有根，應有兩個
例4　解方程：x(x－2
( http: / / www.21cnjy.com ))+3＝0.
分析　將原方程化為一般形式后代入求根公式.
解　原方程可化為x2－2
( http: / / www.21cnjy.com )x+3＝0.因為a＝1、b＝－2
( http: / / www.21cnjy.com )、c＝3，所以b2－4a＝(－2
( http: / / www.21cnjy.com ))2－4×1×3＝0.
所以x＝
( http: / / www.21cnjy.com )＝
( http: / / www.21cnjy.com )＝
( http: / / www.21cnjy.com ).
所以x1＝x2＝
( http: / / www.21cnjy.com ).
　　說明　當b2－4a＝0時表明原方程有兩個相等的實數根，所以在具體作答時不能出現x＝
( http: / / www.21cnjy.com )的錯誤.
　　五、求解出的根應注意適當化簡
例5　解方程：2x2－2x－1＝0.
　　分析　因為a＝2，b＝－2，c＝－1，所以b2－4ac＝(－2)2－4×2×(－1)＝12.
所以x＝
( http: / / www.21cnjy.com )＝
( http: / / www.21cnjy.com )＝
( http: / / www.21cnjy.com ).
所以x1＝
( http: / / www.21cnjy.com )，x2＝
( http: / / www.21cnjy.com ).
　　說明　本題利用求根公式求得的結果時應約去分子與分母中的公約數，以便使結果簡便，值得注意的是，在化簡時一定要注意不能出現差錯.
下面幾道題目供同學們自己練習：
用求根公式解下列方程：
1，x2－3x＋2＝0.
2，x2+2x＝3.
3，9x2+10x－4＝0.
4，10y2－12y+1＝0.
5，3x(x－1)＋2x＝2.
6，
x2+
( http: / / www.21cnjy.com )x－4＝0.
7，(x－
( http: / / www.21cnjy.com ))2＝4
( http: / / www.21cnjy.com )x.
8，3x(x－2)＝2(x－2).
用求根公式解下列關于x的方程：
9，x2+2ax+a2－b2＝0.
10，x2+2(p－q)x－4pq＝0.
　　11，(a2－b2)x2－4abx＝a2－b2(a2－b2≠0).
12，
(x+a)(x－b)+(x－a)(x+b)＝2a(ax－b).
參考答案：1，x1＝1，x2＝2；2，x1＝－3，x2＝1；3，x＝
( http: / / www.21cnjy.com )；4，x＝
( http: / / www.21cnjy.com )；5，x1＝1，x2＝
( http: / / www.21cnjy.com )；6，x＝
( http: / / www.21cnjy.com )；7，x1＝x2＝－
( http: / / www.21cnjy.com )；8，x1＝2，x2＝
( http: / / www.21cnjy.com )，9，x1＝－a－b，x2＝－a+b；10，x1＝－2p，x2＝2q；11，x1＝－
( http: / / www.21cnjy.com )，x2＝
( http: / / www.21cnjy.com )；12，x1＝0，x2＝a2.配方法的幾何解釋
課本中，我們利用了配方法解一元二次方程．實際上，配方法不僅可以用來解一元二次方程，在其他方面還有很多應用．
配方法，顧名思義，就是利用添項
( http: / / www.21cnjy.com )或拆項的方法，結合已有項，構造完全平方式．回顧以往知識，我們曾經利用圖形面積驗證完全平方公式，那么，能否也用圖形面積解釋配方法解方程的過程呢？
下面我們用幾何方法來求方程x2＋1
( http: / / www.21cnjy.com )0x＝39的解，把x2＋10x解釋為右圖中多邊形ABCDEF的面積，為了求出x，我們考慮把這塊圖形補成一個正方形，為此必須補上正方形DCGE．從圖中可以看出，正方形DCGE的面積為52（它恰好等于原方程中一次項系數一半的平方），由于整個正方形的面積為39＋25＝64，可知這個正方形的邊長為8，又由圖形可知邊長為x＋5，故x＝3．
這里，我們直觀地看到了配方的幾何意義．但求得的解是不完備的，你發現問題了嗎？對了，受幾何圖形的限制，我們只能求出方程的正數解．
B
A
C
D
E
F
G
5
x
x
5
52
x2
5x
5x用公式法、分解因式法解方程的誤區
公式法、分解因式法是解一元二次方程的兩種重要的方法，熟練掌握這兩種方法非常重要.為了幫助你學好這兩種解法，現就解題中易出現的錯誤分析如下：
一、應用公式法時，忽視a、b、c的符號.
例1
解方程2x2-6x=1.
錯解：因為a=2，b=6，c=1，
所以b2-4ac=36-8=28>0，
所以x1=
( http: / / www.21cnjy.com )，
x2=
( http: / / www.21cnjy.com ).
所以方程的解為x1=
( http: / / www.21cnjy.com )，x2=
( http: / / www.21cnjy.com ).
分析：錯解在運用公式法解
( http: / / www.21cnjy.com )一元二次方程時，將b、c的符號搞錯.用公式法解一元二次方程，先將方程化為一般形式，然后再確定a、b、c的值，最后代入求根公式.
正解：將方程化為一般形式為：2x2-6x=1=0，
這里a=2，b=-6，c=-1，
b2-4ac=(-6)2-4×1×(-1)=40，
所以x1=
( http: / / www.21cnjy.com )，x2=
( http: / / www.21cnjy.com ).
提示：一元二次方程是解決實
( http: / / www.21cnjy.com )際問題中的一種重要的工具，而解方程又是本章的一個重要組成部分，是列一元二次方程解實際的基礎，應熟練理解其解法，避免出現解題過程中的錯誤.
二、理解不透，公式用錯
例2
解方程2x2-3x=2.
錯解：因為a=2，b=-3，c=-2，
所以x=
( http: / / www.21cnjy.com )，所以x1=1，x2=-4.
剖析：利用公式法解一元二次方程，
( http: / / www.21cnjy.com )要熟練掌握公式的特征，錯解沒有理解公式的特征，當b=-3時，出現了-b=-3的錯誤，且分母中的2a，當a=2時，2a=4，而錯解等于2了.
正解：a=2，b=-3，c=-2，
所以x1=
( http: / / www.21cnjy.com )=2，x2=
( http: / / www.21cnjy.com )
提示：利用公式法解方程的關鍵是正確找出a、b、c的值，且熟練把握公式的特征.
三、解法混淆，求解不當
例3
解方程(2x-1)(3x+2)=1.
錯解：
由方程，得2x-1=1或3x+2=1，解得x1=1，x2=-
( http: / / www.21cnjy.com ).
剖析：
錯解在對分解因式法解決一元
( http: / / www.21cnjy.com )二次方程理解不對.用分解因式法解一元二次方程，右邊必須為0，左邊是兩個一次因式積的形式.而已知方程是右邊是1.本題要將方程化為一般形式，然后選擇恰當的解法.
正解：方程化為6x2+x-3=0，
利用公式，得x1=
( http: / / www.21cnjy.com )，x2=
( http: / / www.21cnjy.com ).
提示：
解一元二次方程的基本方法有三
( http: / / www.21cnjy.com )種，根據方程的不同特點可選擇恰當的方法.無論用哪種方法求解，最好把求到的解代入原方程檢驗一下，這樣可以避免錯誤.
四、違背性質
出現失根
例4
解方程2x(x-3)=3(x-3).
錯解：方程兩邊都除以x-3，得2x=3，所以x=
( http: / / www.21cnjy.com )，即原方程的解為x=
( http: / / www.21cnjy.com ).
剖析：我們知道一元二次方程若有實數根，則實數根有兩個.錯解在解方程兩邊同除以含有未知數的整式.求到方程的一個根，造成失根現象.
正解：
方程化為(x-3)(2x-3)=0，解得x1=3，x2=
( http: / / www.21cnjy.com ).
提示：一元二次方程的根一般分三種情況：
(1)有兩個不相等的實數根；
(2)有兩個相等的實數根；
(3)沒有實數根.當求到一個實數根時，應考慮可能出現失掉一個根.配方法學習問答
甲：配方法是一種什么方法？
乙：配方法是運用配方進行解題的方法．
甲：配方是怎么一回事？是不是象醫藥師把幾種藥配成一個方子？
乙：不！配方，顧名思義，這里的方是指平方
( http: / / www.21cnjy.com )，配方就是要把一個式子配成完全平方的形式，其做法和醫藥師搭配藥方的確有點類似，你知道醫藥師是如何配方的嗎？
甲：我只知道他是將幾味可以搭配的中草藥湊合在一起．
乙：醫藥師配方時就是把幾味可
( http: / / www.21cnjy.com )以搭配的草藥湊合在一起，形成了一個方子．在我們數學中的配方也是要把幾個可以搭配的式子湊合在一起，形成一個完全平方．
甲：能不能舉個例子？
乙：例如，在多項式
( http: / / www.21cnjy.com )中，你說哪幾項可以搭配成完全平方式？
甲：第一、三、四項吧？
乙：正是這三項，把它們搭配在一起，變為
( http: / / www.21cnjy.com )．然后把括號內這三項配成完全平方，又變成了
( http: / / www.21cnjy.com )，這就是配方．
甲：配方的關鍵是什么呢？
乙：配方的關鍵是找出可以搭配成方的三項
( http: / / www.21cnjy.com )，然后運用完全平方公式把它們配成
( http: / / www.21cnjy.com )．
甲：對于
( http: / / www.21cnjy.com )，如何找出可以搭配成方的三項呢？
乙：這三項直接搭配顯然不成方是吧？
甲：是啊，我也這樣想的，那該怎么辦呢？
乙：如果把1換作9那怎么樣？
甲：把1換作9，這三項就是
( http: / / www.21cnjy.com )，它們恰好等于
( http: / / www.21cnjy.com )，太妙了！可這里是1而不是9呀？
乙：天上要是掉下個9那又如何？
甲：天上要是掉下個9，此時
( http: / / www.21cnjy.com )變成了
( http: / / www.21cnjy.com )，再把第一、二、四項搭配組成
( http: / / www.21cnjy.com )，然后配成
( http: / / www.21cnjy.com )，那可真是天助我也！但此時……
乙：此時怎么樣？
甲：不大合適吧？
乙：為什么？
甲：
( http: / / www.21cnjy.com )與原式
( http: / / www.21cnjy.com )不相等呀？
乙：對！配方追求的是公正、公平、平等的完美變形，象這種與原式不相等的變形不能稱之為配方．那你想一想：如何讓
( http: / / www.21cnjy.com )與原式
( http: / / www.21cnjy.com )相等呢？
甲：
( http: / / www.21cnjy.com )比
( http: / / www.21cnjy.com )多了個9．啊！對了，只須再把
( http: / / www.21cnjy.com )減去9就可以了．
乙：對極了．你能不能把這個配方過程寫出來？
甲：沒問題，你看：
( http: / / www.21cnjy.com )＝
( http: / / www.21cnjy.com )＝
( http: / / www.21cnjy.com )．
乙：很好！現在你對配方還有什么問題嗎？
甲：我想這一題還有另一種配法？
乙：還有新的配法？你說說看．
甲：你看：
( http: / / www.21cnjy.com )
＝
( http: / / www.21cnjy.com )．
乙：錯了！
甲：怎么會呢？
乙：看來你對配方還沒有真正的理解．配方一般是對二次三項式
( http: / / www.21cnjy.com )而言的，把
( http: / / www.21cnjy.com )寫成
( http: / / www.21cnjy.com )這種形式才叫做配方．這里的
( http: / / www.21cnjy.com )是常數．
甲：
( http: / / www.21cnjy.com )不也是
( http: / / www.21cnjy.com )這種形式嗎？
乙：形式沒有錯，可這里的
( http: / / www.21cnjy.com )卻不是常數．
甲：你是說配方后，帶平方后面那個尾巴不能帶字母
( http: / / www.21cnjy.com )？
乙：是的．
甲：那象
( http: / / www.21cnjy.com )如何配方呢？
乙：這已經是配方的形式了．
甲：它怎么和你說的
( http: / / www.21cnjy.com )這種形式不同呢？
乙：你說哪里不同？
甲：
( http: / / www.21cnjy.com )這種形式帶有括號，而
( http: / / www.21cnjy.com )卻沒有．
乙：你如果喜歡它帶括號就讓它帶上嘛，你看：
( http: / / www.21cnjy.com )，這不是一樣嗎？
甲：啊，原來如此．對于一般的二次三項式
( http: / / www.21cnjy.com )的配方，可有公式能夠套用？
乙：有．我們只須把系數
( http: / / www.21cnjy.com )的值代入
( http: / / www.21cnjy.com )中進行計算就得到
( http: / / www.21cnjy.com )的配方形式．
甲：這個公式是怎么推出來的？
乙：有兩種辦法．第一：
( http: / / www.21cnjy.com )
＝
( http: / / www.21cnjy.com )
＝
( http: / / www.21cnjy.com )
＝
( http: / / www.21cnjy.com )
＝
( http: / / www.21cnjy.com )．
甲：這種推導太復雜了，有沒有簡單一點的？
乙：你看：
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )．
是不是簡單些？
甲：的確簡單些．可還是復雜．你能不能告訴我配方的要領？不然這兩個公式太難記了．
乙：是的．這兩個公式的確不好記．我建議你去讀一讀《甲乙對話配方法和求根公式》那篇文章，讀后也許就明白了．配方法的拓展與解析
配方法是對數學式子進行一
( http: / / www.21cnjy.com )種定向變形（配成“完全平方”）的技巧，通過配方找到已知和未知的聯系，從而化繁為簡。何時配方，需要我們適當預測，并且合理運用“裂項”與“添項”、“配”與“湊”的技巧，從而完成配方。有時也將其稱為“湊配法”。
最常見的配方是進行恒等變形，使數學式子出現完全平方。配方法的配方依據是二項完全平方公式(a＋b)
( http: / / www.21cnjy.com )＝a
( http: / / www.21cnjy.com )＋2ab＋b
( http: / / www.21cnjy.com )，將這個公式靈活運用，可得到各種基本配方形式，如：
a
( http: / / www.21cnjy.com )＋b
( http: / / www.21cnjy.com )＝(a＋b)
( http: / / www.21cnjy.com )－2ab＝(a－b)
( http: / / www.21cnjy.com )＋2ab；
a
( http: / / www.21cnjy.com )＋ab＋b
( http: / / www.21cnjy.com )＝(a＋b)
( http: / / www.21cnjy.com )－ab＝(a－b)
( http: / / www.21cnjy.com )＋3ab。
配方法在數學的教與學中有著廣泛的應
( http: / / www.21cnjy.com )用。在初中階段它主要適用于：一元二次方程、二次函數、二次代數式的討論與求解。經過幾年的教學實踐發現：很多情況下用配方法解一元二次方程或者求二次函數的頂點坐標要比用公式法簡單實用。
在應用配方法解一元二次方程（ax2+bx+c=0）時有兩種做法：
一種是先移走常數項，然后方程兩邊同時除以二次項的系數，把二次項系數化為1，再兩邊同時加上一次項系數（除以二次項系數后的）一半的平方，把原方程化成(x＋m)
( http: / / www.21cnjy.com )=n(n≥0)的形式，再兩邊同時開方，把一元二次方程轉化為一元一次方程。
典型例題：2x2+6x-3=0
解法1：移項得：2x2+6x=3
兩邊同時除以2得：
( http: / / www.21cnjy.com )
兩邊同時加
( http: / / www.21cnjy.com )得:
( http: / / www.21cnjy.com )
所以：
( http: / / www.21cnjy.com )
開方得：
( http: / / www.21cnjy.com )或
( http: / / www.21cnjy.com )
解得：
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
另一種方法是先移走常數項，然后通過“湊”與“配”進行配方。
解法2：移項得：2x2+6x=3
原方程變為：
( http: / / www.21cnjy.com )
即原方程化為：
( http: / / www.21cnjy.com )
兩邊同時開方得：
( http: / / www.21cnjy.com )或
( http: / / www.21cnjy.com )
解得：
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
與用配方法解一元二次方程不同的是，在用配方法求二次函數
( http: / / www.21cnjy.com )的頂點坐標時，要把二次項和一次項看作一個整體，提出（而不是除以）二次項的系數，再進行配方，但配方時與解一元二次方程的配方有所不同。
典型例題2：用配方法求
( http: / / www.21cnjy.com )的頂點坐標
解：
( http: / / www.21cnjy.com )
=
( http: / / www.21cnjy.com )
=
( http: / / www.21cnjy.com )
=
( http: / / www.21cnjy.com )
=
( http: / / www.21cnjy.com )
如上例，用配方法求二次函
( http: / / www.21cnjy.com )數頂點坐標時，不是等號兩邊同時加上一次項系數一半的平方，而是在中括號里加上一次項系數一半的平方，但為了保持原有的二次函數不變，必須在中括號里再減去一次項系數一半的平方。這是學生在以后學習用配方法求二次函數頂點坐標時經常與用配方法解一元二次方程相混淆的地方，也是學生經常出錯的地方。
另外配方法在二次代數式的討論與求解中應用也非常廣泛。
典型例題3：用配方法證明:無論x為何實數，代數式
( http: / / www.21cnjy.com )的值恒大于零。
與用配方法求二次函數的頂點坐標類似，此題也是把二次項和一次項看作一個整體，并對其進行配方。解法如下:
∵
( http: / / www.21cnjy.com )
=
( http: / / www.21cnjy.com )
=
( http: / / www.21cnjy.com )＞0
∴無論x為何實數，代數式
( http: / / www.21cnjy.com )的值恒大于零。
典型例題4：若
( http: / / www.21cnjy.com )，求
( http: / / www.21cnjy.com )的值。
此題可以運用“裂項”與“湊”的技巧
( http: / / www.21cnjy.com )，把-20xy裂成-18xy與-2xy的和，來完成配方，并根據完全平方式為非負數的性質把二元二次方程化為二元一次方程組。其解法如下：
∵
( http: / / www.21cnjy.com )
∴
( http: / / www.21cnjy.com )
即
( http: / / www.21cnjy.com )
∴
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
∴
( http: / / www.21cnjy.com )
典型例題5：（2005
卡西歐杯
( http: / / www.21cnjy.com )
全國初中數學競賽）若M=3x2-8xy+9y2-4x+6y+13(x,y是實數)，則M的值一定是（
）
A
正數
B負數
C零
D整數
精析：先將元多項式轉化成幾個完全平方式的和的形式，然后就其結構特征進行合理的分析、推理，可達到目的。
解：因為M=3x2-8xy+9y2
( http: / / www.21cnjy.com )-4x+6y+13=2（x-2y）2+（x-2）2+（y+3）2≥0并且2（x-2y）2,（x-2）2,（y+3）2這三個式子不能同時為0，所以M〉0，故選A。
典型例題6
化簡二次根式
( http: / / www.21cnjy.com )
精析：復合二次根式的化簡是競賽中比較常見的問題，化簡的關鍵是將被開方數化成完全平方的形式，要用到配方的思想。
解：
同理可得
所以，原式=8
典型例題7
已知三角形的三邊a,b,c滿足a2+b2+c2=ab+ac+bc,請你判斷這個三角形的形狀。
精析：確定三角形的形狀，主
( http: / / www.21cnjy.com )要是討論三條邊之間的關系。代數式a2+b2+c2=ab+ac+bc之中蘊含了完全平方式，我們要重新拆項，組合如下：
2a2+2b2+2c2=2ab+2ac+2bc
2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc=0
a2-2ab
+b2+
a2-2ac+
c2+b2-2bc+c2=0
(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2=0
所以a=b=c
三角形是等邊三角形一元二次方程求根公式的推導
創新是一個學生學習數學的靈魂，是學業成績不
( http: / / www.21cnjy.com )斷提高的不竭動力．因此，同學們在數學學習的過程中，要
懷疑權威——書本和老師，不人云亦云．敢于對同一個問題要另辟途徑，探求問題的存在規律，只有這樣，我們的數學發展水平才能不斷提高．
比如，我們課本對一元二次方程求根公式的推導是通過配方法得到的，即：
對于方程ax2+bx+c=0(a≠0)
(1)方程兩邊同除以a得：x2+
( http: / / www.21cnjy.com )x+
( http: / / www.21cnjy.com )=0
(2)將常數項移到方程的右邊得：x2+
( http: / / www.21cnjy.com )x=﹣
( http: / / www.21cnjy.com )
(3)方程兩邊同時加上(
( http: / / www.21cnjy.com ))2得：x2+
( http: / / www.21cnjy.com )x+(
( http: / / www.21cnjy.com ))2=(
( http: / / www.21cnjy.com ))2﹣
( http: / / www.21cnjy.com )
(4)左邊寫成完全平方式，右邊通分得：(x
+
( http: / / www.21cnjy.com ))2=
( http: / / www.21cnjy.com )
由a≠0得，4
a2＞0，所以，當b2－4ac≥0時，
( http: / / www.21cnjy.com )≥0，
所以，x=
( http: / / www.21cnjy.com )
除了上述推導方法外，不知道同學們是否思考過：還有其他方法嗎？
多思出智慧，多練出成績．我們也可以這樣推導：
方法1：ax2+bx+c=0(a≠0)
方程兩邊同乘以4a得：4
a2x2+4abx+4ac=0
方程兩邊同時加上b2得：4
a2x2+4abx+4ac+b2=b2
把4ac移到方程的右邊得：4
a2x2+4abx+
b2=b2－4ac
將左邊寫成完全平方式得：(2ax+b)2=
b2－4ac
當b2－4ac≥0時，有：
2ax+b=±
( http: / / www.21cnjy.com )
所以，2ax=﹣b±
( http: / / www.21cnjy.com )
因為，a≠0
所以，x=
( http: / / www.21cnjy.com )
方法2：ax2+bx+c=0(a≠0)
移項得：ax2+bx=﹣c
方程兩邊同乘以a得：a2x2+abx=﹣ac
方程兩邊同時加上(
( http: / / www.21cnjy.com ))2得：a2x2+abx+(
( http: / / www.21cnjy.com ))2=(
( http: / / www.21cnjy.com ))2﹣ac
整理得：(ax+
( http: / / www.21cnjy.com ))2=
( http: / / www.21cnjy.com )﹣ac
即：(ax+
( http: / / www.21cnjy.com ))2=
( http: / / www.21cnjy.com )
當b2－4ac≥0時，
ax+
( http: / / www.21cnjy.com )=±
( http: / / www.21cnjy.com )
即：x=
( http: / / www.21cnjy.com )
同學們，沒有做不到，只怕想不到．對于任何問題，大家都要想一想：這個問題還有其他的解法嗎？問題都可以得到圓滿的解決．如何綜合運用完全平方式、算術根、絕對值的非負性等知識求值？
難易度：★★★★
關鍵詞：一元二次方程的解法
答案：
在用完全平方式、算術根、絕對值的非負性等知識解一元二次方程及求代數式的值的時候，應注意正確地運用各知識點之間的互動關系，列出正確的關系式。
【舉一反三】
典例：設a、b、c都是實數，且滿足(2－a)2+
( http: / / www.21cnjy.com )+|c+8|=0，ax2+bx+c=0，求代數式x2+x+1的值.
思路導引：一般來說，此類問題應先求出a、b、c的值，然后即可解方程，最后求代數式的值.由題意，得
解得
∵ax2+bx+c=0，∴2x2+4x－8=0,
即x2+2x－4=0,解得x1=－1+
( http: / / www.21cnjy.com ),x2=－1－
( http: / / www.21cnjy.com ).
當x=－1+
( http: / / www.21cnjy.com )時，x2+x+1=6－
( http: / / www.21cnjy.com ),
當x=－1－
( http: / / www.21cnjy.com )時，x2+x+1=6+
( http: / / www.21cnjy.com ).
標準答案：當x=－1+
( http: / / www.21cnjy.com )時，x2+x+1=6－
( http: / / www.21cnjy.com ).

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