資源簡介

什么是一元二次方程的二次項系數、一次項系數、常數項？
難易度：★★★
關鍵詞：一元二次方程
答案：
一元二次方程的一般形式為a
( http: / / www.21cnjy.com )x2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2叫做二次項，a叫做二次項系數；bx叫做一次項，b叫做一次項系數；c叫做常數項．
【舉一反三】
典例：寫出下列一元二次方程的二次項系數、一次項系數及常數項：
(1)2x2＝3x＋5；(2)(x＋1)(x－1)＝1；(3)(x＋2)2－4＝0．
思路導引：一般來說，在做此類問題時，要
( http: / / www.21cnjy.com )先把方程化成一般形式．因為方程的二次項系數、一次項系數及常數項是在方程為一般形式下的，所以必須先整理方程．
(1)整理，得2x2－3x－5＝0．二次項系數是2，一次項系數是－3，常數項是－5．9
(2)整理
，得x2－2＝0．二次項系數是1，一次項系數是0，常數項是－2．
(3)整理，得x2＋4x＝0．二次項系數是1，一次項系數是4，常數項是0．
標準答案：（1)二次項系數是2，一次項系數是－3，常數項是－5．
(2)二次項系數是1，一次項系數是0，常數項是－2．
(3)二次項系數是1，一次項系數是4，常數項是0．應用例析：一元二次方程根與系數的關系
對于一元二次方程
( http: / / www.21cnjy.com )，當判別式△＝
( http: / / www.21cnjy.com )時，其求根公式為：
( http: / / www.21cnjy.com )；若兩根為
( http: / / www.21cnjy.com )，當△≥0時，則兩根的關系為：
( http: / / www.21cnjy.com )；
( http: / / www.21cnjy.com )，根與系數的這種關系又稱為韋達定理；它的逆定理也是成立的，即當
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )時，那么
( http: / / www.21cnjy.com )則是
( http: / / www.21cnjy.com )的兩根。一元二次方程的根與系數的關系，綜合性強，應用極為廣泛，在中學數學中占有極重要的地位，也是數學學習中的重點。學習中，老師除了要求同學們應用韋達定理解答一些變式題目外，還常常要求同學們熟記一元二次方程
( http: / / www.21cnjy.com )根的判別式
( http: / / www.21cnjy.com )存在的三種情況，以及應用求根公式求出方程
( http: / / www.21cnjy.com )的兩個根
( http: / / www.21cnjy.com )，進而分解因式，即
( http: / / www.21cnjy.com )。下面就對應用韋達定理可能出現的問題舉例做些分析，希望能給同學們帶來小小的幫助。
一、根據判別式，討論一元二次方程的根。
例1：已知關于
( http: / / www.21cnjy.com )的方程（1）
( http: / / www.21cnjy.com )有兩個不相等的實數根，且關于
( http: / / www.21cnjy.com )的方程（2）
( http: / / www.21cnjy.com )沒有實數根，問
( http: / / www.21cnjy.com )取什么整數時，方程（1）有整數解？
　　分析：在同時滿足方程（1），（2）條件的
( http: / / www.21cnjy.com )的取值范圍中篩選符合條件的
( http: / / www.21cnjy.com )的整數值。
　解：∵方程（1）有兩個不相等的實數根，
∴
( http: / / www.21cnjy.com )
解得
( http: / / www.21cnjy.com )；
∵方程（2）沒有實數根，
∴
( http: / / www.21cnjy.com )
解得
( http: / / www.21cnjy.com )；
于是，同時滿足方程（1），（2）條件的
( http: / / www.21cnjy.com )的取值范圍是
( http: / / www.21cnjy.com )
其中，
( http: / / www.21cnjy.com )的整數值有
( http: / / www.21cnjy.com )或
( http: / / www.21cnjy.com )
當
( http: / / www.21cnjy.com )時，方程（1）為
( http: / / www.21cnjy.com )，無整數根；
當
( http: / / www.21cnjy.com )時，方程（1）為
( http: / / www.21cnjy.com )，有整數根。
解得：
( http: / / www.21cnjy.com )
所以，使方程（1）有整數根的
( http: / / www.21cnjy.com )的整數值是
( http: / / www.21cnjy.com )。
　　說明：熟悉一元二次方程實數根存在條件是解答此題的基礎，正確確定
( http: / / www.21cnjy.com )的取值范圍，并依靠熟練的解不等式的基本技能和一定的邏輯推理，從而篩選出
( http: / / www.21cnjy.com )，這也正是解答本題的基本技巧。
二、判別一元二次方程兩根的符號。
　　例1：不解方程，判別方程
( http: / / www.21cnjy.com )兩根的符號。
　　分析：對于
( http: / / www.21cnjy.com )來說，往往二次項系數，一次項系數，常數項皆為已知，可據此求出根的判別式△，但△只能用于判定根的存在與否，若判定根的正負，則需要確定
( http: / / www.21cnjy.com )
或
( http: / / www.21cnjy.com )的正負情況。因此解答此題的關鍵是：既要求出判別式的值，又要確定
( http: / / www.21cnjy.com )
或
( http: / / www.21cnjy.com )的正負情況。
解：∵
( http: / / www.21cnjy.com )，∴△＝
( http: / / www.21cnjy.com )—4×2×(—7)＝65＞0
∴方程有兩個不相等的實數根。
設方程的兩個根為
( http: / / www.21cnjy.com )，
∵
( http: / / www.21cnjy.com )＜0
∴原方程有兩個異號的實數根。
說明：判別根的符號，需要把“根的判別式”和“根與系數的關系”結合起來進行確定，另外由于本題中
( http: / / www.21cnjy.com )＜0，所以可判定方程的根為一正一負；倘若
( http: / / www.21cnjy.com )＞0，仍需考慮
( http: / / www.21cnjy.com )的正負，方可判別方程是兩個正根還是兩個負根。
三、已知一元二次方程的一個根，求出另一個根以及字母系數的值。
　
例2：已知方程
( http: / / www.21cnjy.com )的一個根為2，求另一個根及
( http: / / www.21cnjy.com )的值。
　　分析：此題通常有兩種解法：一是根據方程根的定義，把
( http: / / www.21cnjy.com )代入原方程，先求出
( http: / / www.21cnjy.com )的值，再通過解方程辦法求出另一個根；二是利用一元二次方程的根與系數的關系求出另一個根及
( http: / / www.21cnjy.com )的值。
　　解法一：把
( http: / / www.21cnjy.com )代入原方程，得：
　　
( http: / / www.21cnjy.com )
　　即
( http: / / www.21cnjy.com )
　　解得
( http: / / www.21cnjy.com )
　　當
( http: / / www.21cnjy.com )時，原方程均可化為：
　　
( http: / / www.21cnjy.com )，
　　解得：
( http: / / www.21cnjy.com )
　　∴方程
( http: / / www.21cnjy.com )的另一個根為4，
( http: / / www.21cnjy.com )的值為3或—1。
　　解法二：設方程的另一個根為
( http: / / www.21cnjy.com )，
根據題意，利用韋達定理得：
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )
∵
( http: / / www.21cnjy.com )，∴把
( http: / / www.21cnjy.com )代入
( http: / / www.21cnjy.com )，可得：
( http: / / www.21cnjy.com )
∴把
( http: / / www.21cnjy.com )代入
( http: / / www.21cnjy.com )，可得：
( http: / / www.21cnjy.com )，
即
( http: / / www.21cnjy.com )
解得
( http: / / www.21cnjy.com )
∴方程
( http: / / www.21cnjy.com )的另一個根為4，
( http: / / www.21cnjy.com )的值為3或—1。
說明：比較起來，解法二應用了韋達定理，解答起來較為簡單。
例3：已知方程
( http: / / www.21cnjy.com )有兩個實數根，且兩個根的平方和比兩根的積大21，求
( http: / / www.21cnjy.com )的值。
分析：本題若利用轉化的思想，將等量關系“兩個根的平方和比兩根的積大21”轉化為關于
( http: / / www.21cnjy.com )的方程，即可求得
( http: / / www.21cnjy.com )的值。
解：∵方程有兩個實數根，
　　∴△
( http: / / www.21cnjy.com )
　　解這個不等式，得
( http: / / www.21cnjy.com )≤0
　　設方程兩根為
( http: / / www.21cnjy.com )
　　則
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )
　　∵
( http: / / www.21cnjy.com )
　　∴
( http: / / www.21cnjy.com )
　　∴
( http: / / www.21cnjy.com )
　　整理得：
( http: / / www.21cnjy.com )
　　解得：
( http: / / www.21cnjy.com )
　　又∵
( http: / / www.21cnjy.com )，∴
( http: / / www.21cnjy.com )
說明：當求出
( http: / / www.21cnjy.com )后，還需注意隱含條件
( http: / / www.21cnjy.com )，應舍去不合題意的
( http: / / www.21cnjy.com )。
四、運用判別式及根與系數的關系解題。
　　例5：已知
( http: / / www.21cnjy.com )、
( http: / / www.21cnjy.com )是關于
( http: / / www.21cnjy.com )的一元二次方程
( http: / / www.21cnjy.com )的兩個非零實數根，問
( http: / / www.21cnjy.com )和
( http: / / www.21cnjy.com )能否同號？若能同號，請求出相應的
( http: / / www.21cnjy.com )的取值范圍；若不能同號，請說明理由，
　　解：因為關于
( http: / / www.21cnjy.com )的一元二次方程
( http: / / www.21cnjy.com )有兩個非零實數根，
∴則有
( http: / / www.21cnjy.com )
∴
( http: / / www.21cnjy.com )
又∵
( http: / / www.21cnjy.com )、
( http: / / www.21cnjy.com )是方程
( http: / / www.21cnjy.com )的兩個實數根，所以由一元二次方程根與系數的關系，可得：
( http: / / www.21cnjy.com )
假設
( http: / / www.21cnjy.com )、
( http: / / www.21cnjy.com )同號，則有兩種可能：
（1）
( http: / / www.21cnjy.com )
（2）
( http: / / www.21cnjy.com )
若
( http: / / www.21cnjy.com )，
則有：
( http: / / www.21cnjy.com )；
即有：
解這個不等式組，得
∵
( http: / / www.21cnjy.com )時方程才有實樹根，∴此種情況不成立。
若
( http: / / www.21cnjy.com )
，
則有：
( http: / / www.21cnjy.com )
即有：
解這個不等式組，得；
又∵
( http: / / www.21cnjy.com )，∴當
( http: / / www.21cnjy.com )時，兩根能同號
說明：一元二次方程根與系數的關系深刻
( http: / / www.21cnjy.com )揭示了一元二次方程中根與系數的內在聯系，是分析研究有關一元二次方程根的問題的重要工具，也是計算有關一元二次方程根的計算問題的重要工具。知識的運用方法靈活多樣，是設計考察創新能力試題的良好載體，在中考中與此有聯系的試題出現頻率很高，應是同學們重點練習的內容。
六、運用一元二次方程根的意義及根與系數的關系解題。
例：已知
( http: / / www.21cnjy.com )、
( http: / / www.21cnjy.com )是方程
( http: / / www.21cnjy.com )的兩個實數根，求
( http: / / www.21cnjy.com )的值。
分析：本題可充分運用根的意義和根與系數的關系解題，應摒棄常規的求根后，再帶入的方法，力求簡解。
解法一：由于
( http: / / www.21cnjy.com )是方程
( http: / / www.21cnjy.com )的實數根，所以
( http: / / www.21cnjy.com )
設
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )與
( http: / / www.21cnjy.com )相加，得：
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )）
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )（變形目的是構造
( http: / / www.21cnjy.com )和
( http: / / www.21cnjy.com )）
根據根與系數的關系，有：
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )
于是，得：
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
∴
( http: / / www.21cnjy.com )=0
解法二：由于
( http: / / www.21cnjy.com )、
( http: / / www.21cnjy.com )是方程
( http: / / www.21cnjy.com )的實數根，
∴
( http: / / www.21cnjy.com )
∴
( http: / / www.21cnjy.com )
說明：既要熟悉問題的常規解法，也要隨時想到特殊的簡捷解法，是解題能力提高的重要標志，是努力的方向。
　　有關一元二次方程根的計算問題
( http: / / www.21cnjy.com )，當根是無理數時，運算將十分繁瑣，這時，如果方程的系數是有理數，利用根與系數的關系解題可起到化難為易、化繁為簡的作用。這類問題在解法上靈活多變，式子的變形具有創造性，重在考查能力，多年來一直受到命題老師的青睞。
七、運用一元二次方程根的意義及判別式解題。
例8：已知兩方程
( http: / / www.21cnjy.com )和
( http: / / www.21cnjy.com )至少有一個相同的實數根，求這兩個方程的四個實數根的乘積。
分析：當設兩方程的相同根為
( http: / / www.21cnjy.com )時，根據根的意義，可以構成關于
( http: / / www.21cnjy.com )和
( http: / / www.21cnjy.com )的二元方程組，得解后再由根與系數的關系求值。
解：設兩方程的相同根為
( http: / / www.21cnjy.com )，
根據根的意義，
有
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
兩式相減，得
( http: / / www.21cnjy.com )
當
( http: / / www.21cnjy.com )時，
( http: / / www.21cnjy.com )，方程的判別式
( http: / / www.21cnjy.com )
方程無實數解
當
( http: / / www.21cnjy.com )時，
有實數解
( http: / / www.21cnjy.com )
代入原方程，得
( http: / / www.21cnjy.com )，
所以
( http: / / www.21cnjy.com )
于是，兩方程至少有一個相同的實數根，4個實數根的相乘積為
( http: / / www.21cnjy.com )
說明：（1）本題的易錯點為忽略對
( http: / / www.21cnjy.com )的討論和判別式的作用，常常除了犯有默認
( http: / / www.21cnjy.com )的錯誤，甚至還會得出并不存在的解：
當
( http: / / www.21cnjy.com )時，
( http: / / www.21cnjy.com )，兩方程相同，方程的另一根也相同，所以4個根的相乘積為：
( http: / / www.21cnjy.com )；
（2）既然本題是討論一元二次方程的實根問題，就應首先確定方程有實根的條件：
( http: / / www.21cnjy.com )
且
( http: / / www.21cnjy.com )
另外還應注意：求得的
( http: / / www.21cnjy.com )的值必須滿足這兩個不等式才有意義。怎樣根據一元二次方程的一個根求另一個根？
難易度：★★★★
關鍵詞：一元二次方程
答案：
方程有一根為零時，常數項必須為零；求解字
( http: / / www.21cnjy.com )母系數的一元二次方程的問題中，二次項系數的字母必須保證二次項系數不等于零，這是解此類問題的先決條件．
【舉一反三】
典例：一元二次方程(m－1)x2＋3m2x＋(m2＋3m－4)＝0有一根為零，求m的值及另一根．
思路導引：一般來說，此類問題根據“
( http: / / www.21cnjy.com )方程有一根為零時，常數項必須為零”這一條件列出關系式求解。因為方程有一根為零，所以它的常數項m2＋3m－4＝0，解得m1＝1，m2＝－4，又因為此方程是一元二次方程，所以m－1≠0，即m≠1，所以m＝－4．把m＝－4代入方程，得－5x2＋48x＝0，解得：x1＝0，x2＝9.6，所以方程的另一根為9.6．
標準答案：m＝－4；方程的另一根為9.6．一元二次方程根與系數的關系的5種應用
一元二次方程根與系數的關系的應用是初中數
( http: / / www.21cnjy.com )學的重點內容，也是中考必考的熱門內容．與“一元二次方程根與系數的關系”有關的題型形式靈活多樣，常見的形式有下面5種，要求同學們要熟練掌握．
一，已知兩根求作新方程
例1，求一個一元二次方程，使它的兩根為
( http: / / www.21cnjy.com )、
( http: / / www.21cnjy.com )，且滿足
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )．
答案：x2+4x+3=0或x2－4x+3=0
解析：由
( http: / / www.21cnjy.com )，可得
( http: / / www.21cnjy.com )，又因為
( http: / / www.21cnjy.com )，所以
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，所以此方程為：x2+4x+3=0或x2－4x+3=0
二，已知關于兩根關系式的值，求系數．
例2，如果關于x的方程x2+mx+1=0的兩個根的差為1，那么m等于（　　）
A．±2
B．±
( http: / / www.21cnjy.com )
C．±
( http: / / www.21cnjy.com )
D．±
( http: / / www.21cnjy.com )
答案：C
解析：根據題意，方程的兩根
( http: / / www.21cnjy.com )、
( http: / / www.21cnjy.com )，滿足
( http: / / www.21cnjy.com )－
( http: / / www.21cnjy.com )＝１（設
( http: / / www.21cnjy.com )＞
( http: / / www.21cnjy.com )），所以（
( http: / / www.21cnjy.com )－
( http: / / www.21cnjy.com )）2＝１2，得
( http: / / www.21cnjy.com )．又因為，根據根與系數的關系，
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，所以
( http: / / www.21cnjy.com )，所以m=±
( http: / / www.21cnjy.com )
三，已知一元二次方程，求兩根關系式的值
例3，已知
( http: / / www.21cnjy.com )、
( http: / / www.21cnjy.com )是方程
( http: / / www.21cnjy.com )的兩個根，那么
( http: / / www.21cnjy.com )的值是（　　）
A．1
B．5
C．7
D．
( http: / / www.21cnjy.com )
答案：C
解析：根據根與系數的關系，
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，又因為
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )，所以
( http: / / www.21cnjy.com )=7．
四，已知一根，求另一根及系數
例4，已知關于x的一元二次方程x2－(k＋1)
x－6=0的一個根是2，求方程的另一根和k的值．
解析：設方程的另一根為x
( http: / / www.21cnjy.com )，由根與系數的關系：2
x
( http: / / www.21cnjy.com )=－6，解得
x
( http: / / www.21cnjy.com )=－3．
由根與系數的關系：－3+2=
k＋1，所以k=－2.．
五，知兩數和，兩數積，求兩數
例5，已知，兩數和為8，兩數積是7，求這兩數．
答案：1和7
解析，根據根與系數的關系，這兩數是方程
( http: / / www.21cnjy.com )-8x+7=0的兩根，
解得，x
( http: / / www.21cnjy.com )=1，
x
( http: / / www.21cnjy.com )=7，所以這兩數是1和7．一元二次方程根的分布
一元二次方程根的分布是二
( http: / / www.21cnjy.com )次函數中的重要內容．這部分知識在初中代數中雖有所涉及，但尚不夠系統和完整，且解決的方法偏重于二次方程根的判別式和根與系數關系定理（韋達定理）的運用．
函數與方程思想：若
( http: / / www.21cnjy.com )＝
( http: / / www.21cnjy.com )與
( http: / / www.21cnjy.com )軸有交點
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )(
( http: / / www.21cnjy.com ))＝0，
若
( http: / / www.21cnjy.com )＝
( http: / / www.21cnjy.com )(
( http: / / www.21cnjy.com ))與
( http: / / www.21cnjy.com )＝
( http: / / www.21cnjy.com )(
( http: / / www.21cnjy.com ))有交點(
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com ))
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )＝
( http: / / www.21cnjy.com )有解
( http: / / www.21cnjy.com )．
下面我們將主要結合二次函數圖像的性質，分兩種情況系統地介紹一元二次方程實根分布的充要條件及其運用．
一、一元二次方程根的基本分布——零分布
所謂一元二次方程根的零分布，指的是
( http: / / www.21cnjy.com )方程的根相對于零的關系．比如二次方程有一正根，有一負根，其實就是指這個二次方程一個根比零大，一個根比零小，或者說，這兩個根分布在零的兩側．
設一元二次方程
( http: / / www.21cnjy.com )（
( http: / / www.21cnjy.com )）的兩個實根為
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，且
( http: / / www.21cnjy.com )．
【定理1】
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )（兩個正根）
( http: / / www.21cnjy.com )，
推論：，
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )或，
上述推論結合二次函數圖像不難得到．
【定理2】，
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )，
推論：，
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )或，
　　由二次函數圖像易知它的正確性．
【定理3】
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )．
【定理4】
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )且
( http: / / www.21cnjy.com )；
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )且
( http: / / www.21cnjy.com )．
二、一元二次方程的非零分布——k分布
設一元二次方程（
( http: / / www.21cnjy.com )）的兩實根為
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，且
( http: / / www.21cnjy.com )，
k為常數，則一元二次方程根的k分布（即
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )相對于k的位置）有以下若干定理．
【定理1】
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )．
【定理2】
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )．
【定理3】
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )．
推論1
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )．
推論2
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )．
【定理4】有且僅有
( http: / / www.21cnjy.com )（或
( http: / / www.21cnjy.com )）
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )．
【定理5】
( http: / / www.21cnjy.com )或．
此定理可直接由定理4推出，請讀者自證．
【定理6】
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )或．
y
o
y
x
o
o
x一元二次方程的根與系數的關系
新版【課后作業問題】問題三、P50
隨堂練習3.
答案：
-
( http: / / www.21cnjy.com )。
【舉一反三】
典例：若方程x2-4x+3k=0的一個根為2，則另一根為______，k為______．
思路引導：將x=2代入原方程，得k=
( http: / / www.21cnjy.com )，根據一元二次方程根與系數的關系，得x1+x2=2+x2=4，所以x2=2，
標準答案：2，
( http: / / www.21cnjy.com )。如何根據一元二次方程的根求值？
難易度：★★★
關鍵詞：一元二次方程
答案：
方程的根是能使方程兩邊相等的未知數的值，即把根代入原方程，則方程兩邊相等。
【舉一反三】
典例：若x=1是關于x的一元二次方程a
x2+bx+c=0(a≠0)的一個根,求代數式2011a+b+c的值
思路導引：一般來說，如果一個數是方程的根,那
( http: / / www.21cnjy.com )么把該數代入方程,一定能使左右兩邊相等,這種解決問題的思維方法經常用到。把x=1代入到原方程中得a+b+c=0，2011a+b+c=20110=1
標準答案：1有關一元二次方程的習題二則
1．設m是不小于－1的實數，使得關于x的方程x2＋2（m－2）x＋m2－3m＋3＝0有兩個不相等的實數根x1，x2．
（1）若x12＋x22＝0，求m的值；（2）求
( http: / / www.21cnjy.com )的最大值．
分析：方程有兩個不相等的實根，
∴△＝4（m－2）2－4（m2－3m＋3）＝－4m＋4＞0，∴－1≤m＜1．
∵x1＋x2＝－2（m－2），x1x2＝m2－3m＋3．
∴（1）x12＋x22＝（x1＋x2）2－2x1x2＝4（m－2）2－2（m2－3m＋3）＝2m2－10m＋10，
∴m2－5m＋5＝0．
解得m＝
( http: / / www.21cnjy.com )．∵－1≤m＜1，∴m＝
( http: / / www.21cnjy.com )．
（2）
( http: / / www.21cnjy.com )＝
( http: / / www.21cnjy.com )．
∵x1＋x2＝－2（m－2），x1x2＝m2－3m＋3．
∴上式可化為
( http: / / www.21cnjy.com )＝2（m2－3m＋1）＝2（m－
( http: / / www.21cnjy.com )）2－
( http: / / www.21cnjy.com )．
∵－1≤m＜1，當m＝－1時，最大值為10．
點撥：本題是一道綜合性較強的綜合題，考查了根的情況、根與系數的關系以及以配方法求最值的問題．
2．在正實數范圍內，只存在一個數是關于x的方程＝3x＋k的解，求實數k的取值范圍．
解：原方程可化為2x2－3x－(k＋3)＝0　　　①
(1)當△＝0時，k＝－，x1＝x2＝；
(2)當x＝1時，由①得k＝－4，這時另一根為x＝；
(3)當方程①中兩根異號時，x1x2＝＜0，
得k＞－3，此時也有一個正實根；
(4)當方程①中有一根為0時，k＝－3，另一根為x＝．
綜上，滿足條件的k的取值范圍是：k＝－或k＝－4或k≥－3．一元二次方程的根與系數的關系
新版【課后作業問題】問題七、P51
問題解決4.
答案：
不可能是20。利用根與系數的關系可知方程的兩根之和為17，即這個三角形的兩邊之和為17，所以第三邊應小于17.
【舉一反三】
典例：三角形的三邊長分別是整數值2cm，5cm，kcm，且k滿足一元二次方程2k2－9k－5=0，求此三角形的周長．
思路引導：先解一元二次方程，求出k值，再根據題意，確定k的整數值，最后求出三角形的周長。
標準答案：解：2k2－9k－5=0
k=-
( http: / / www.21cnjy.com )或k=5
因為k為整數，則k=5
所以三角形的周長為2+5+5=12(cm)。一元三次方程的故事
　　很久以前，人們就解決了一
( http: / / www.21cnjy.com )元一次方程與一元二次方程的求解問題．然而對一元三次方程的求解卻使眾多的數學家們陷入了困境，許多人的努力都以失敗而告終．1494年，意大利數學家帕西奧利對三次方程進行過艱辛的探索后作出極其悲觀的結論．他認為在當時的數學中，求解三次方程，猶如化圓為方問題一樣，是根本不可能的．這種對以前失敗的悲嘆聲，卻成為16世紀意大利數學家迎接挑戰的號角．以此為序曲引出了我們要講述的關于三次方程求解的故事．
　　故事中第一個出場的人物
( http: / / www.21cnjy.com )是一位大學教授，名字叫費羅(Scipione
del
Ferro，1465-1526)．他在帕西奧利作出悲觀結論不久，大約在1500年左右，得到了x3＋mx＝n這樣一類缺項三次方程的求解公式．在求解三次方程的道路上，這是一個不小的成功．但出乎我們意料的是，他并沒有馬上發表自己的成果以廣為傳播自己的成功．相反，他對自己的解法絕對保密！這在“不發表即發霉”的今天，真是不可思議之事！在當時卻有其原因．那時一個人若想要保住自己的大學職位，必須在與他人的學術論爭中不落敗．因此，一個重要的新發現就成了一件論爭中處于不敗之地的有力武器．最后直到其臨終前，大約1510年左右，他才將自己的這一“殺手锏”傳給兩個人：他的女婿和他的一個學生．他那不學無術的女婿不久就將此拋之腦后了，這樣他的學生菲奧爾以這一“殺手锏”唯一傳人的角色在我們的故事中作為第二個人物露面了．菲奧爾本人的數學才能并不突出，但他卻因獨得費羅秘技而以之炫耀于世．只不過他“獨此一家，別無分店”的招牌卻沒有掛太長的時間，一個厲害的挑戰者塔塔利亞
(Niccolo
Tartaglia
of
Brescia，1499-1557)出現在他的面前．
這是我們故事中出場的第三個人物，其原名豐塔
( http: / / www.21cnjy.com )納．1512年，在一次戰亂中他被一法國兵用刀砍傷臉部，頭部口舌多處受傷，其后雖僥幸活命，卻留下了口吃的后遺癥．于是就得了“塔塔利亞”的綽號，意大利語就是“口吃者”的意思．那時他還只有13歲．然而這并沒有妨礙這位有才能的頑強的少年主要通過自學的方式在數學上達到極高的成就．1534年他宣稱自己已得到了形如
x3＋mx＝n這類沒有一次項的三次方程的解的方法．不久，菲奧爾就聽到了挑戰者的叫板聲，于是我們故事中的兩位人物開始碰面了．
　　兩人相約在米蘭進行公開比賽．雙方各出三十
( http: / / www.21cnjy.com )個三次方程的問題，約定誰解出的題目多就獲勝．塔塔利亞在1535年2月13日，在參加比賽前夕經過多日的苦思冥想后終于找到了多種類型三次方程的解法．于是在比賽中，他只用了兩個小時的時間就輕而易舉地解出了對方的所有題目，而對方對他的題目卻一題都做不出來．這樣他以30:0的戰績大獲全勝．這次輝煌的勝利為塔塔利亞帶來了轟動一時的榮譽，同時也意味著菲奧爾可以在我們的故事中以不體面的方式先行退場了．塔塔利亞為這次勝利所激勵，更加熱心于研究一般三次方程的解法．1541年，終于完全解決了三次方程的求解問題．或許是出于與費羅同樣的考慮，或許是想在進一步醞釀后寫一本關于三次方程解法的書的緣故，塔塔利亞沒有將自己的成果很快發表．于是，風波驟起，本應進入尾聲的故事，由于又一個重要人物的出場而被引入了一個完全不同的方向．
　　這位半路殺出來的“程咬金”叫卡爾達諾(G
( http: / / www.21cnjy.com )irolamo
Cardano,
1501-1576)，一位或許是數學史中最奇特的人物．他的本行是醫生，并且是一個頗受歡迎的醫生．但其才能并沒有局限于此，他在各種知識領域里顯示出自己的天賦．除了是一個極好的醫生外，他還是哲學家和數學家，同時是一個占星術家，并在這些知識領域里都獲得了重要成果．他行為有些怪異，好賭博，人品看來也不太佳．在他去世后一百年，偉大的萊布尼茲概括了他的一生：“卡爾達諾是一個有許多缺點的偉人；沒有這些缺點，他將舉世無雙．”在我們故事中卡爾達諾所要扮演的正是一個將才能與不佳的人品集于一身的不太光彩的角色．
　　在塔塔利亞與菲爾奧的競賽
( http: / / www.21cnjy.com )后不久，卡爾達諾聽說了這一故事．在此之前他對三次方程求解問題已進行過長時間的研究，卻沒有得到結果．于是可以想象得到他是多么急于想知道塔塔利亞這位解三次方程大師的奇妙技巧．為此他多次向塔塔利亞求教三次方程的解法，開始都被塔塔利亞拒絕了．但最終在卡爾達諾立下永不泄密的誓言后，他于1539年3月25日向卡爾達諾公開了自己的秘密．故事的轉折就這樣開始了．
　　卡爾達諾并沒有遵守自己的諾言
( http: / / www.21cnjy.com )，1545年他出版《大術》一書，將三次方程解法公諸于眾，從而使自己在數學界名聲鵲起．當然，如果說句公道的話，卡爾達諾的《大術》一書并非完全抄襲之作，其中也包含著他自己獨特的創造．然而，這種失信畢竟大大激怒了塔塔利亞．1546年他在《各式各樣的問題與發明》一書中嚴斥卡爾達諾的失信行為，于是一場爭吵無可避免地發生了．一時間，充滿火藥味的信件在雙方之間飛來飛去．1548年8月10日在米蘭的公開辯論使這場沖突達到白熱化．卡爾達諾在這場公開辯論中自己避不出席而是派遣了一位學生出馬．這個學生的名字叫費拉里(Ludovico
Ferrari,1522-1565)，是我們故事中出場的最后一個人物．
費拉里15歲時充當卡爾達諾的家仆．主人發現
( http: / / www.21cnjy.com )了他的出眾才能，接受他為學生和助手．18歲時接替卡爾達諾在米蘭講學．其最大的貢獻是發現四次方程的一般解法．現在這位以脾氣暴躁著稱且又忠誠的學生要報答老師的知育之恩了．在這場公開的辯論中，塔塔利亞先以三次方程的迅速解答取得優勢，而費拉里則指摘對方不能解四次方程．于是一場數學論爭逐漸演變成一場無聊的謾罵．最后客場作戰的塔塔利亞以失敗而告終，后者宣稱了自己勝利．由于卡爾達諾最早發表了求解三次方程的方法，因而數學上三次方程的解法至今仍被稱為“卡爾達諾公式”，塔塔利亞之名反而湮沒無聞了．這對塔塔利亞來說似乎是太不公平了．不過，這又怎么樣呢？在歷史上，這類爭奪優先權的論戰又何止這一樁呢？隨著時間的推移，多少年過去后，在當時對于個人如此重要的事，對后人而言卻不過是“古今多少事，都付笑談中”而已．
塔塔利亞發現的一元三次方程的解法
　　一元三次方程的一般形式是x3＋sx2＋tx＋u＝0，如果作一個橫坐標平移y＝x＋
( http: / / www.21cnjy.com )，那么我們就可以把方程的二次項消去．所以我們只要考慮形如x3＝px＋q
的三次方程．
　　假設方程的解x可以寫成x＝a－b的
( http: / / www.21cnjy.com )形式，這里a和b是待定的參數．代入方程，我們就有a3－3a2b＋3ab2－b3＝p(a－b)＋q；整理得到
a3－b3＝(a－b)(p＋3ab)＋q；由二次方程理論可知，一定可以適當選取a和
b，使得在x＝a－b的同時，3ab＋p＝0．這樣上式就成為a3－b3＝q；兩邊各乘
以27a3，就得到27a6－27a3b3＝27qa3；由p＝－3ab可知27a6
＋p＝27qa3；
這是一個關于a3的二次方程，所以可以解得a，進而可解出b和根x．一元三次方程根與系數的關系
設方程ax3＋bx2＋cx＋d＝0（a≠0）的三個根分別為x1、x2、x3．
原方程化為
( http: / / www.21cnjy.com )．
∵
x1、x2、x3是方程的三個根，
∴
( http: / / www.21cnjy.com )．
整理，得
( http: / / www.21cnjy.com )，
比較左右同類項的系數，得一元三次方程根與系數的關系是：
( http: / / www.21cnjy.com )．一元二次方程的根與系數的關系
新版【課后作業問題】問題四、P51
知識技能1.
答案：
（1）x1+x2=
( http: / / www.21cnjy.com )，x1x2=-
( http: / / www.21cnjy.com )；（2）x1+x2=-3，x1x2=-1；
【舉一反三】
典例：已知方程
( http: / / www.21cnjy.com )，則下列說中，正確的是（
）
（A）方程兩根和是1
（B）方程兩根積是2
（C）方程兩根和是-1
（D）方程兩根積比兩根和大2
思路引導：將
( http: / / www.21cnjy.com )化為一元二次方程的一般形式，x2+x-2=0，則兩根之和為-1，兩根之積為-2，故選C。
標準答案：C。學習要點：韋達定理及其應用
知識要點
1、若一元二次方程
( http: / / www.21cnjy.com )中，兩根為
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，則
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )；補充公式
( http: / / www.21cnjy.com )
2、以
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )為兩根的方程為
( http: / / www.21cnjy.com )
3、用韋達定理分解因式
( http: / / www.21cnjy.com )
例題
不解方程說出下列方程的兩根和與兩根差：
（1）
( http: / / www.21cnjy.com )
（2）
( http: / / www.21cnjy.com )
（3）
( http: / / www.21cnjy.com )
已知關于
( http: / / www.21cnjy.com )的方程
( http: / / www.21cnjy.com )，是否存在負數
( http: / / www.21cnjy.com )，使方程的兩個實數根的倒數和等于4？若存在，求出滿足條件的
( http: / / www.21cnjy.com )的值；若不存在，說明理由。
已知方程
( http: / / www.21cnjy.com )，作一個新的一元二次方程，使它的根分別是已知方程各根的平方的倒數。
解方程組
分解因式：
（1）
（2）
( http: / / www.21cnjy.com )
練習
在關于
( http: / / www.21cnjy.com )的方程
( http: / / www.21cnjy.com )中，（1）當兩根互為相反數時
( http: / / www.21cnjy.com )的值；（2）當一根為零時
( http: / / www.21cnjy.com )的值；（3）當兩根互為倒數時
( http: / / www.21cnjy.com )的值。
求出以一元二次方程
( http: / / www.21cnjy.com )的兩根的和與兩根的積為根的一元二次方程。
解方程組
( http: / / www.21cnjy.com )
分解因式
（1）
( http: / / www.21cnjy.com )=
（2）
( http: / / www.21cnjy.com )
聰明題
已知一元二次方程
( http: / / www.21cnjy.com )的兩個實數根滿足
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )分別是
( http: / / www.21cnjy.com )的
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )的對邊。（1）證明方程的兩個根都是正根；（2）若
( http: / / www.21cnjy.com )，求
( http: / / www.21cnjy.com )的度數。
2、在
( http: / / www.21cnjy.com )中，
( http: / / www.21cnjy.com )，斜邊AB=10，直角邊AC，BC的長是關于
( http: / / www.21cnjy.com )的方程
( http: / / www.21cnjy.com )的兩個實數根，求
( http: / / www.21cnjy.com )的值。
五、韋達定理的應用
1、已知方程的一個根，求另一個根和未知系數
2、求與已知方程的兩個根有關的代數式的值
3、已知方程兩根滿足某種關系，確定方程中字母系數的值
4、已知兩數的和與積，求這兩個數
5、已知方程的兩根x1，x2
，求作一個新的一元二次方程x2
–(x1+x2)
x+
x1x2
=0
6、利用求根公式在實數范圍內分解因式ax2+bx+c
=
a(x-
x1)(x-
x2)
題1：
（1）若關于x的一元二次方程2x2+5x+k=0的一根是另一根的4倍，則k=
_____
（2）已知：a,b是一元二
( http: / / www.21cnjy.com )次方程x2+2000x+1=0的兩個根，求：（1+2006a+a2)（1+2005b+b2)=
__________
解法一：（1+2006a+a2)（1+2005b+b2)
=
（1+2000a+a2
+6a)（1+2000b+b2
+5b)
=
6a 5b=30ab
解法二：由題意知
∵
a2
+2000a+1=0；
b2
+2000b+1=0
∴
a2
+1=-
2000a;
b2
+1=-
2000b
∴
（1+2006a+a2)（1+2005b+b2)
=（2006a
-
2000a)（2005b
-
2000b)
=6a 5b=30ab
∵ab=1，
a+b=-200
∴（1+2006a+a2)（1+2005b+b2)
=（ab
+2006a+a2)（
ab
+2005b+b2)
=a(b
+2006+a)
b(
a
+2005+b)
=a(2006-2000)
b(2005-2000)
=30ab
解法三：由題意知
∵
a2
+2000a+1=0；
b2
+2000b+1=0
∴
a2
+1=-
2000a;
b2
+1=-
2000b
∴
（1+2006a+a2)（1+2005b+b2)
=（2006a
-
2000a)（2005b
-
2000b)
=6a 5b=30ab
題2：
已知等腰三角形的兩條邊a,b是方程x2-（k+2）x+2
k
=0的兩個實數根,另
一條邊c=1，求k的值。一元二次方程的根與系數的關系
新版【課后作業問題】問題五、P51
知識技能2.
答案：
（1）x1=-
( http: / / www.21cnjy.com )，x2=-
( http: / / www.21cnjy.com )；（2）x1=-
( http: / / www.21cnjy.com )，x2=
( http: / / www.21cnjy.com )；
（3）x1=x2=
( http: / / www.21cnjy.com )；（4）x1=2+2
( http: / / www.21cnjy.com )，x2=2-2
( http: / / www.21cnjy.com )；
【舉一反三】
典例：解一元二次方程（1）(2x-1)2-2(2x-1)=0；（2）2x2-x-15=0．
思路引導：對于方程（1），先提公因式（2x-1），再求解即可；方程（2）運用十字相乘分解因式即可。
標準答案：解：（1）(2x-1)2-2(2x-1)=0
（2x-1）（2x-1-2）=0
2x-1=0或2x-3=0
則x1=
( http: / / www.21cnjy.com )，x2=
( http: / / www.21cnjy.com )。
（2）2x2-x-15=0
（2x+5）（x-3）=0
2x+5=0或x-3=0
則x1=-
( http: / / www.21cnjy.com )，x2=3。一元二次方程的根與系數的關系
新版【課后作業問題】問題六、P51
數學理解3.
答案：
另一個根是-
( http: / / www.21cnjy.com )，k=-7。
【舉一反三】
典例：已知x1，x2為方程
( http: / / www.21cnjy.com )的兩實根，則
( http: / / www.21cnjy.com )
思路引導：由題意，得x1+x2=-3.
將x1代入原方程，得x12+3x1+1=0，即x12=-3x1-1,
則x12-3x2+20=-3x1-1-3x2+20=-3(x1+x2)+19=-3×（-3）+19=28.
標準答案：28。一元二次方程的根與系數的關系
新版【課后作業問題】問題二、P50
隨堂練習2.
答案：
他們的答案不正確，因為小明求出的兩根之積x1x2=
( http: / / www.21cnjy.com )≠-
( http: / / www.21cnjy.com )，小華求出的兩根之和x1+x2=-6≠-
( http: / / www.21cnjy.com )。
【舉一反三】
典例：一元二次方程2x2+mx+n=0的兩根之和為4，兩根之積為-3，則m=______，n=______．
思路引導：根據一元二次方程根與系數的關系，得x1+x2=-
( http: / / www.21cnjy.com )=4，則m=-8，x1x2=
( http: / / www.21cnjy.com )=-3，則n=-6.
標準答案：-8，-6。一元二次方程的根與系數的關系
新版【課后作業問題】問題一、P50
隨堂練習1.
答案：
（1）x1+x2=3，x1x2=-1；（2）x1+x2=-
( http: / / www.21cnjy.com )，x1x2=-
( http: / / www.21cnjy.com )；
【舉一反三】
典例：一元二次方程2x2＋3x－5=0的兩根之和為______，兩根之積為______．
思路引導：一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個根是x1，x2，則x1+x2=
( http: / / www.21cnjy.com )=-
( http: / / www.21cnjy.com )，x1x2=
( http: / / www.21cnjy.com )=-
( http: / / www.21cnjy.com )。
標準答案：-
( http: / / www.21cnjy.com )，-
( http: / / www.21cnjy.com )。

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