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如何求字母的取值范圍
在《二次根式》一章中，根據(jù)含有字母的代數(shù)式或等式求字母的取值范圍是常見的題型.那么如何求字母的取值范圍呢？
一、利用二次根式的定義
( http: / / www.21cnjy.com )（
( http: / / www.21cnjy.com )≥0）中被開方數(shù)
( http: / / www.21cnjy.com )≥0求解
例1　二次根式
( http: / / www.21cnjy.com )有意義，則
( http: / / www.21cnjy.com )的取值范圍是＿＿.
解析：∵
( http: / / www.21cnjy.com )有意義，
∴
( http: / / www.21cnjy.com )≥0，即
( http: / / www.21cnjy.com )≥0，
∴
( http: / / www.21cnjy.com )≤0，
又∵
( http: / / www.21cnjy.com )≥0，
∴
( http: / / www.21cnjy.com )＝0.
∴
( http: / / www.21cnjy.com )＝3.
二、利用式子中同時(shí)含有
( http: / / www.21cnjy.com )與
( http: / / www.21cnjy.com )求解
例2　若
( http: / / www.21cnjy.com )，則
( http: / / www.21cnjy.com )的取值范圍是＿＿.
解析：由條件知，
( http: / / www.21cnjy.com )與
( http: / / www.21cnjy.com )都有意義.
∴
( http: / / www.21cnjy.com ).
解得
( http: / / www.21cnjy.com )＝4.
代入已知條件，得
( http: / / www.21cnjy.com )＞3.
三、利用二次根式的非負(fù)性（
( http: / / www.21cnjy.com )≥0）求解
例3　如果
( http: / / www.21cnjy.com )成立，那么實(shí)數(shù)
( http: / / www.21cnjy.com )的取值范圍是（　　）
A　
( http: / / www.21cnjy.com )≤0
B　
( http: / / www.21cnjy.com )≤3
C　
( http: / / www.21cnjy.com )≥－3
D　
( http: / / www.21cnjy.com )≥3
解析：由已知，得
( http: / / www.21cnjy.com ).
∵等式左邊是一個(gè)算術(shù)平方根，而算術(shù)平方根的結(jié)果是非負(fù)數(shù)，
∴等式右邊
( http: / / www.21cnjy.com )≥0，解得
( http: / / www.21cnjy.com )≤3，選B.
四、利用公式
( http: / / www.21cnjy.com )求解
例4　若
( http: / / www.21cnjy.com )，則
( http: / / www.21cnjy.com )的取值范圍是（　?。?br/>A　
( http: / / www.21cnjy.com )＞1
B　
( http: / / www.21cnjy.com )＜1
C　
( http: / / www.21cnjy.com )≥1
D　
( http: / / www.21cnjy.com )≤1
解析：∵
( http: / / www.21cnjy.com )，
∴
( http: / / www.21cnjy.com )≥0，解得
( http: / / www.21cnjy.com )≥1，選C.
五、利用公式
( http: / / www.21cnjy.com )（
( http: / / www.21cnjy.com )≥0）求解
例5　若
( http: / / www.21cnjy.com )，則
( http: / / www.21cnjy.com )的取值范圍是（　?。?br/>A　
( http: / / www.21cnjy.com )＞5
B　
( http: / / www.21cnjy.com )＜5
C　
( http: / / www.21cnjy.com )≥5
D　
( http: / / www.21cnjy.com )≤5
解析：∵
( http: / / www.21cnjy.com )，
∴
( http: / / www.21cnjy.com )≥0，解得
( http: / / www.21cnjy.com )≥5，選C.
六、利用公式
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )求解
例6　等式
( http: / / www.21cnjy.com )成立的條件的是（　?。?br/>A　
( http: / / www.21cnjy.com )＜1
B　
( http: / / www.21cnjy.com )＞1
C　
( http: / / www.21cnjy.com )≤1
D　
( http: / / www.21cnjy.com )≥1
解析：∵
( http: / / www.21cnjy.com )，
∴
( http: / / www.21cnjy.com )，解得
( http: / / www.21cnjy.com )≥1，選D.
七、利用公式
( http: / / www.21cnjy.com )＝
( http: / / www.21cnjy.com )（
( http: / / www.21cnjy.com )≥0，
( http: / / www.21cnjy.com )＞0）求解
例7　若等式
( http: / / www.21cnjy.com )成立，則實(shí)數(shù)
( http: / / www.21cnjy.com )的取值范圍是＿＿.
解析：∵
( http: / / www.21cnjy.com )，
∴
( http: / / www.21cnjy.com ).
∴
( http: / / www.21cnjy.com )≥0.
八、綜合運(yùn)用公式求解
例8　如果
( http: / / www.21cnjy.com )，那么
( http: / / www.21cnjy.com )的取值范圍是＿＿.
析解：∵
( http: / / www.21cnjy.com )，
∴
( http: / / www.21cnjy.com )＝
( http: / / www.21cnjy.com ).
∴
( http: / / www.21cnjy.com ).
∴－2≤
( http: / / www.21cnjy.com )≤0.“三步六字”圍攻二次根式的加減
二次根式加減時(shí)，必須先將所給式子中的每個(gè)
( http: / / www.21cnjy.com )二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，，再將被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并，所以進(jìn)行二次根式的加減運(yùn)算時(shí)，可以分成“三步六字”圍攻，智取其值.
一、運(yùn)算過程解讀
第一步：化簡(jiǎn)——把每一個(gè)根式化簡(jiǎn)成“最簡(jiǎn)二次根式”
所謂“最簡(jiǎn)二次根式”就是二次根式必須符合如下的兩個(gè)特征：
（1）被開方數(shù)不含分母.如果被開方數(shù)是分式或分?jǐn)?shù)，可以利用
( http: / / www.21cnjy.com )，然后再分母有理化得到
( http: / / www.21cnjy.com ).如
( http: / / www.21cnjy.com ).
（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式.也就是說應(yīng)該把能開得盡方的因數(shù)或因式開出來.如
( http: / / www.21cnjy.com )
第二步：觀察——觀察被開方數(shù)相同的項(xiàng).
在第一步化簡(jiǎn)的基礎(chǔ)上，觀察尋找出被開方數(shù)相同的項(xiàng)，將它們分別聚集在一起，特別要注意一定是化簡(jiǎn)后再識(shí)別，防止出現(xiàn)認(rèn)為
( http: / / www.21cnjy.com )與
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )與
( http: / / www.21cnjy.com )被開方數(shù)是不相同錯(cuò)誤現(xiàn)象.
第三步：合并——合并同類二次根式（即被開方數(shù)相同二次根式）
與整式的合并同類項(xiàng)相似，合并同類二次根式時(shí)，只是把被開方數(shù)相同的二次根式外面的因數(shù)或因式進(jìn)行加減，根式內(nèi)部的被開方數(shù)（或式）保持不變.
二、典型案例剖析
【例1】（2009臨沂）
( http: / / www.21cnjy.com )－
( http: / / www.21cnjy.com )－
( http: / / www.21cnjy.com )
分析：因?yàn)轭}中的二次根式都不是最簡(jiǎn)二次根式，因此必須對(duì)每個(gè)二次根式先進(jìn)行化簡(jiǎn).
解：原式=
( http: / / www.21cnjy.com )－
( http: / / www.21cnjy.com )－
( http: / / www.21cnjy.com )
=3
( http: / / www.21cnjy.com )－
( http: / / www.21cnjy.com )－2
( http: / / www.21cnjy.com )
=（3
( http: / / www.21cnjy.com )－2
( http: / / www.21cnjy.com )）－
( http: / / www.21cnjy.com )
=
( http: / / www.21cnjy.com )－
( http: / / www.21cnjy.com )
【例2】（2009年新疆烏魯木齊市）計(jì)算：
( http: / / www.21cnjy.com )．
分析：本題是加減乘除的混合運(yùn)算，根據(jù)運(yùn)算順序應(yīng)當(dāng)先算有括號(hào)內(nèi)的，事實(shí)上括號(hào)內(nèi)就是二次根式的加減，可用“三步六字”去解決.
解：原式
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )．
【例3】（2009年煙臺(tái)市）化簡(jiǎn)：
( http: / / www.21cnjy.com )
分析：本題是一個(gè)較為復(fù)雜的“二次根式的加減”運(yùn)算問題，需要搞清兩個(gè)性質(zhì)，一個(gè)就是“任何不等于0的數(shù)的零次冪都等于1”，另一個(gè)就是二次根式的性質(zhì)：
( http: / / www.21cnjy.com )，還要掌握一個(gè)去括號(hào)法則：去掉括號(hào)和括號(hào)前的“－”時(shí)，括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)都要變號(hào).
解：
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )．
( http: / / www.21cnjy.com )．
( http: / / www.21cnjy.com )
創(chuàng)新展臺(tái)：
【例4】（09年邵陽(yáng)市）閱讀下列材料，然后回答問題.
在進(jìn)行二次根式運(yùn)算時(shí)，我們有時(shí)會(huì)碰上如
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )一樣的式子，其實(shí)我們還可以將其進(jìn)一步化簡(jiǎn)：
( http: / / www.21cnjy.com )＝
( http: / / www.21cnjy.com )；……①
( http: / / www.21cnjy.com )＝
( http: / / www.21cnjy.com )……②
( http: / / www.21cnjy.com )＝
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )＝
( http: / / www.21cnjy.com )　……③
以上這種化簡(jiǎn)的步驟叫做分母有理化。
( http: / / www.21cnjy.com )還可以用以下方法化簡(jiǎn)：
( http: / / www.21cnjy.com )＝
( http: / / www.21cnjy.com )……④
請(qǐng)用不同的方法化簡(jiǎn)
( http: / / www.21cnjy.com ).
參照③式得
( http: / / www.21cnjy.com )＝_________________________；
參照④式得
( http: / / www.21cnjy.com )＝___________________________.
（2）化簡(jiǎn)：
( http: / / www.21cnjy.com )。
解：（1）
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )；
（2）原式=
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
=
( http: / / www.21cnjy.com )
=
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )．二次根式常見錯(cuò)誤剖析
本文通過對(duì)一些二次根式運(yùn)算中典型錯(cuò)誤的剖
( http: / / www.21cnjy.com )析，揭示錯(cuò)誤之所在,診斷產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因，從中探尋正確的解法，以避免類似錯(cuò)誤發(fā)生，現(xiàn)舉例剖析，供讀者參考.
應(yīng)用性質(zhì)
( http: / / www.21cnjy.com )時(shí),忽視a≥0這一條件
例1
化簡(jiǎn):
( http: / / www.21cnjy.com )
錯(cuò)解:原式=2-x.
錯(cuò)解剖析:導(dǎo)致錯(cuò)解的原因是忽視了算術(shù)
( http: / / www.21cnjy.com )平方根的非負(fù)性,避免出錯(cuò)的方法是先寫出化簡(jiǎn)后的帶絕對(duì)值的代數(shù)式,再判斷絕對(duì)值中的代數(shù)式的符號(hào)然后去絕對(duì)值.
正解:原式=
( http: / / www.21cnjy.com )
對(duì)二次根式變形時(shí),將負(fù)號(hào)誤帶入根號(hào)內(nèi),造成錯(cuò)解
例2
將
( http: / / www.21cnjy.com )根號(hào)外的因式移到根號(hào)內(nèi).
錯(cuò)解:原式=
( http: / / www.21cnjy.com )
錯(cuò)解剖析:
( http: / / www.21cnjy.com )中的根式符號(hào)“-”號(hào)不能移到根號(hào)里面，因?yàn)?br/>( http: / / www.21cnjy.com )是非正數(shù)，而
( http: / / www.21cnjy.com )則是非負(fù)數(shù).
正解:原式=
( http: / / www.21cnjy.com )
三.錯(cuò)誤理解最簡(jiǎn)二次根式
例3
下列根式中,不是最簡(jiǎn)二次根式的是(
)
A.
( http: / / www.21cnjy.com )
B.
( http: / / www.21cnjy.com )
C.
( http: / / www.21cnjy.com )
D.
( http: / / www.21cnjy.com )
錯(cuò)解:
A或C.
錯(cuò)解剖析:由于最簡(jiǎn)二次根式應(yīng)滿足兩個(gè)條件:一是被開方數(shù)中不能含有開的盡方的因數(shù)或因式,二是被開方數(shù)中不能含有字母，因而A、
B、C都應(yīng)是最簡(jiǎn)二次根式.事實(shí)上,
( http: / / www.21cnjy.com )中比再含有開得盡方的因式了,
( http: / / www.21cnjy.com )盡管式子含有分母,但被開方數(shù)是2b,因而它仍是最簡(jiǎn)二次根式.而
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )被開放數(shù)中含有分母,故它不是最簡(jiǎn)二次根式.對(duì)于這類題,不可僅從表面形式上作出結(jié)論,應(yīng)深究其所具有的本質(zhì)特征才行.
正解:
D
四.錯(cuò)用分配律
對(duì)乘法分配律a(b+c)=ab+ac的變形應(yīng)用(a+b)÷d=(a+b)
( http: / / www.21cnjy.com )的錯(cuò)誤理解.
例4
計(jì)算:
( http: / / www.21cnjy.com ).
錯(cuò)解:原式=
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )
錯(cuò)解剖析:錯(cuò)解的原因是把和對(duì)除數(shù)的分配即(a+b)÷d=(a+b)
( http: / / www.21cnjy.com ),誤解為除數(shù)對(duì)和的分配.
正解:
原式=
( http: / / www.21cnjy.com )
五.不熟悉二次根式的運(yùn)算法則
例5
下列計(jì)算正確的是(
)
A.
( http: / / www.21cnjy.com )
B.
( http: / / www.21cnjy.com )
C.
( http: / / www.21cnjy.com )
D.
( http: / / www.21cnjy.com )
錯(cuò)解:
C或D.
錯(cuò)解剖析:產(chǎn)生上述錯(cuò)誤的原因在于對(duì)二次根式的運(yùn)算法則不熟悉.
A中
( http: / / www.21cnjy.com );B中
( http: / / www.21cnjy.com );
C中
( http: / / www.21cnjy.com )
D中
( http: / / www.21cnjy.com )
正解:
A
通過以上幾例可以看出,為避免二次根式問題出現(xiàn)錯(cuò)誤,應(yīng)把握準(zhǔn)幾個(gè)相關(guān)的概念:二次根式,最簡(jiǎn)二次根式以及同類二次根式等，從定義本身全面分析,獲得結(jié)果,同時(shí)要能熟練地運(yùn)用分母有理化的方法進(jìn)行化簡(jiǎn)計(jì)算,正確處理
( http: / / www.21cnjy.com ),掌握
( http: / / www.21cnjy.com ),
( http: / / www.21cnjy.com )和a=
( http: / / www.21cnjy.com )的限制條件,以保證在化簡(jiǎn)過程中不出差錯(cuò).根式問題常見錯(cuò)誤例析
在解二次要式的化簡(jiǎn)或計(jì)算問題時(shí)，常見一些同學(xué)因概念不清或忽視問題的必要條件而造成錯(cuò)誤。現(xiàn)舉例剖析如下：
一、概念不清
例1
若x+
( http: / / www.21cnjy.com )=4,則x-
( http: / / www.21cnjy.com )=
.
錯(cuò)解：(x-
( http: / / www.21cnjy.com ))2=(x+
( http: / / www.21cnjy.com ))2－4=42-4=12,∴x－
( http: / / www.21cnjy.com )=2
( http: / / www.21cnjy.com ).
評(píng)析：解題過程中忽視了平方根定義中“x2=a”,x可取正負(fù)兩個(gè)值。
正解：(x-
( http: / / www.21cnjy.com ))2=12,∴x-
( http: / / www.21cnjy.com )=±2
( http: / / www.21cnjy.com )。
二、錯(cuò)誤理解代數(shù)式的意義
例2
計(jì)算：
( http: / / www.21cnjy.com )÷
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )。
錯(cuò)解：
( http: / / www.21cnjy.com )÷
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )÷
( http: / / www.21cnjy.com )×
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )×
( http: / / www.21cnjy.com )·
( http: / / www.21cnjy.com )=5
( http: / / www.21cnjy.com )。
評(píng)析：上面解法中錯(cuò)誤地將根式
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )理解為
( http: / / www.21cnjy.com )x
( http: / / www.21cnjy.com ),前者是運(yùn)算結(jié)果，后者是一種運(yùn)算：錯(cuò)誤地理解改變了運(yùn)算順序：
( http: / / www.21cnjy.com )÷
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )相當(dāng)于
( http: / / www.21cnjy.com )÷(
( http: / / www.21cnjy.com )×
( http: / / www.21cnjy.com ))；
而
( http: / / www.21cnjy.com )×
( http: / / www.21cnjy.com )·
( http: / / www.21cnjy.com )則是(
( http: / / www.21cnjy.com )÷
( http: / / www.21cnjy.com ))·
( http: / / www.21cnjy.com )。
正解：原式=
( http: / / www.21cnjy.com )÷
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )÷
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )×
( http: / / www.21cnjy.com )=5
( http: / / www.21cnjy.com )。
三、忽視運(yùn)算法則
例3
計(jì)算：
( http: / / www.21cnjy.com )÷(
( http: / / www.21cnjy.com )-
( http: / / www.21cnjy.com ))。
錯(cuò)解：原式=
( http: / / www.21cnjy.com )÷
( http: / / www.21cnjy.com )-
( http: / / www.21cnjy.com )÷
( http: / / www.21cnjy.com )
=
( http: / / www.21cnjy.com )×
( http: / / www.21cnjy.com )-
( http: / / www.21cnjy.com )×
( http: / / www.21cnjy.com )=5
( http: / / www.21cnjy.com )-12。
評(píng)析：本題誤將乘法分配律用于除法，忽視a÷(b+c)≠a÷b+a÷c.
正解：原式=
( http: / / www.21cnjy.com )÷
( http: / / www.21cnjy.com )
=
( http: / / www.21cnjy.com )×
( http: / / www.21cnjy.com )=-6.
四、忽視“分母的有理化因式其值不能為零”
分母有理化的一般方法是分子、分母同乘以分母的有理化因式，其次是借助分解，然后約分；利用前一方法分母有理化應(yīng)注意的有理化因式值的情況。
例4
計(jì)算：x÷(1＋
( http: / / www.21cnjy.com ))(x≥-1).
錯(cuò)解：x÷(1+
( http: / / www.21cnjy.com ))=
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )-1.
評(píng)析：因x≥-1，故x=0符合題意，但當(dāng)x=0時(shí)，1-
( http: / / www.21cnjy.com )=0，此時(shí)相當(dāng)于分子分母同乘以零.故雖計(jì)算結(jié)果正確，但其過程也是錯(cuò)誤的。
正解：當(dāng)x=0時(shí)，x÷(1+
( http: / / www.21cnjy.com ))=0;
當(dāng)x≠0時(shí)，原式=
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )-1。
例5
化簡(jiǎn)
( http: / / www.21cnjy.com )。
錯(cuò)解：原式=
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )=1-
( http: / / www.21cnjy.com )。
評(píng)析因a≥0，故a可取1，而當(dāng)a=1時(shí)，1-
( http: / / www.21cnjy.com )=0，此時(shí)分母不可乘以(1-
( http: / / www.21cnjy.com ))。
正解：采用約分法：
原式=
( http: / / www.21cnjy.com )=1-
( http: / / www.21cnjy.com )。
五、忽視隱含條件
例6
已知a為實(shí)數(shù)，化簡(jiǎn)：a
( http: / / www.21cnjy.com )。
錯(cuò)解：原式=a
( http: / / www.21cnjy.com )=a·
( http: / / www.21cnjy.com )=
a·
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )。
評(píng)析：題中僅知a為實(shí)數(shù)，而沒有明確a的正負(fù)性，為此，應(yīng)從
( http: / / www.21cnjy.com )中挖掘隱含條件：-
( http: / / www.21cnjy.com )>0，∴a<0。
正解：原式=
a
( http: / / www.21cnjy.com )=a·
( http: / / www.21cnjy.com )
=a·
( http: / / www.21cnjy.com )=
—
( http: / / www.21cnjy.com )。
例7
已知a+b=－8，ab＝8，化簡(jiǎn)
( http: / / www.21cnjy.com ).
錯(cuò)解：原式=b
( http: / / www.21cnjy.com )+a
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com )。
=
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )
=6
( http: / / www.21cnjy.com )=12
( http: / / www.21cnjy.com )。
正解：注意到a+b=－8，ab=8，故a<0,b<0.
所以，原式=b
( http: / / www.21cnjy.com )+a
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com )
=﹣
( http: / / www.21cnjy.com )=﹣
( http: / / www.21cnjy.com )
=﹣6
( http: / / www.21cnjy.com )=﹣12
( http: / / www.21cnjy.com )。
六、忽視定義的前提條件
例8
若最簡(jiǎn)二次根式
( http: / / www.21cnjy.com )與
( http: / / www.21cnjy.com )是同類二次根式，求a的值。
錯(cuò)解：∵最簡(jiǎn)二次根式
( http: / / www.21cnjy.com )與
( http: / / www.21cnjy.com )是同類二次根式，
∴2a+1=3a+2,∴a=
-1。
評(píng)析：當(dāng)a=
-1時(shí)，2a+1=3a+2=
—1，此時(shí)
( http: / / www.21cnjy.com )與
( http: / / www.21cnjy.com )均無(wú)意義故滿足條件的a不存在。
例9
已知最簡(jiǎn)二次根式
( http: / / www.21cnjy.com )與
( http: / / www.21cnjy.com )，是同類二次根式，求a、b的值。
錯(cuò)解：由條件，得
( http: / / www.21cnjy.com )解得
( http: / / www.21cnjy.com )
評(píng)析：當(dāng)a=3，b=1時(shí)，
( http: / / www.21cnjy.com )已不是最簡(jiǎn)二次根式，與條件不符；此外與同類二次根式的定義也不相符。
正解：化簡(jiǎn)
( http: / / www.21cnjy.com )=2
( http: / / www.21cnjy.com )，故
( http: / / www.21cnjy.com )解得
( http: / / www.21cnjy.com )
七、忽視分母不能為零
例10
二次根式
( http: / / www.21cnjy.com )中，實(shí)數(shù)x滿足的條件是
。
錯(cuò)解：x≥3，
評(píng)析：當(dāng)x=3時(shí)，分母為0,
( http: / / www.21cnjy.com )無(wú)意義。
正解：x>3,
例11
若y=
( http: / / www.21cnjy.com )+7,求x+y的立方根。
錯(cuò)解：由條件，得x2－1=0,∴x±1。
(1)當(dāng)x=1時(shí)，y=7,x+y=8,立方根為2；
(2)當(dāng)x=
-1時(shí)，y=7,x+y=6,立方根為
( http: / / www.21cnjy.com )。
評(píng)析：當(dāng)x=
-1時(shí)，x+1=0,式子
( http: / / www.21cnjy.com )無(wú)意義。
正解：x=
1時(shí)，y=7,x+y=8,立方根為2。
八、忽視算術(shù)根的非負(fù)性
例12
化簡(jiǎn)
( http: / / www.21cnjy.com )。
錯(cuò)解：原式=
( http: / / www.21cnjy.com )=1-
( http: / / www.21cnjy.com )。
評(píng)析：
( http: / / www.21cnjy.com )表示(1-
( http: / / www.21cnjy.com ))2的算術(shù)平方根，故結(jié)果不應(yīng)為負(fù)。
正解：原式=
( http: / / www.21cnjy.com )=∣1-
( http: / / www.21cnjy.com )∣=
( http: / / www.21cnjy.com )-1。(共2張PPT)
計(jì)算:
解：關(guān)注二次根式“外移”“內(nèi)移”問題
二次根式的化簡(jiǎn)運(yùn)算是中考數(shù)學(xué)命題的
( http: / / www.21cnjy.com )熱點(diǎn)之一，它主要有兩種題目類型：一類是因式開平方后“外移”，另一類是因式平方后“內(nèi)移”。在進(jìn)行二次根式“外移”“內(nèi)移”運(yùn)算時(shí)，若能根據(jù)二次根式的性質(zhì)，結(jié)合題目特征靈活運(yùn)用，常常能使問題迎刃而解，下面將結(jié)合例題加以說明。
例1、已知x≤1，化簡(jiǎn)
( http: / / www.21cnjy.com )=
.
分析：因?yàn)閤≤1，所以1－x≥0，x－2<0.
故
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )
=1－x－
( http: / / www.21cnjy.com )=
－1。
例2、已知實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，化簡(jiǎn)b－
( http: / / www.21cnjy.com )=
。
分析：根據(jù)題意，得b>a，所以b—a>0，
故b－
( http: / / www.21cnjy.com )=b－
( http: / / www.21cnjy.com )=
b－（b－a）=b－b+a=a。
a
b
例3、若xy<0，則
( http: / / www.21cnjy.com )化簡(jiǎn)為（
）
A、x
( http: / / www.21cnjy.com )
B、－x
( http: / / www.21cnjy.com )
C、x
( http: / / www.21cnjy.com )
D、－x
分析：由
( http: / / www.21cnjy.com )，得x
( http: / / www.21cnjy.com )≥0，又因?yàn)閤y<0，所以x<0，y>0，故
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
=
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )=
—x
( http: / / www.21cnjy.com )，故應(yīng)選B。
點(diǎn)撥：在進(jìn)行二次根式“外移”運(yùn)算時(shí)，應(yīng)先把根號(hào)內(nèi)的因式寫成平方形式，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)：
( http: / / www.21cnjy.com )進(jìn)行化簡(jiǎn)。
例4、把（1－a）
( http: / / www.21cnjy.com )的根號(hào)外的因式移到根號(hào)內(nèi)，則該因式等于
。
A、
( http: / / www.21cnjy.com )
B、
( http: / / www.21cnjy.com )
C、－
( http: / / www.21cnjy.com )
D、－
( http: / / www.21cnjy.com )
分析：由（1－a）
( http: / / www.21cnjy.com )可知－
( http: / / www.21cnjy.com )>0，所以a－1<0，即a<1。
當(dāng)a<1時(shí)，1－a>0。
所以（1－a）
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )
=
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )，故應(yīng)選A。
點(diǎn)撥：在進(jìn)行二次根式
“內(nèi)移”運(yùn)
( http: / / www.21cnjy.com )算時(shí)，應(yīng)先確定根號(hào)外因式的符號(hào)，若根號(hào)外的因式是非負(fù)數(shù)，則把因式平方后移到根號(hào)內(nèi)；若根號(hào)外的因式是負(fù)數(shù)，則把負(fù)號(hào)留在根號(hào)外，再把根號(hào)外因式的相反數(shù)平方后移到根號(hào)內(nèi)進(jìn)行化簡(jiǎn)。
練習(xí)：1、若b>0，化簡(jiǎn)
( http: / / www.21cnjy.com )的結(jié)果是（
）
A、－b
( http: / / www.21cnjy.com )
B、b
( http: / / www.21cnjy.com )
C、－b
( http: / / www.21cnjy.com )
D、b
( http: / / www.21cnjy.com )
2、實(shí)數(shù)p在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡(jiǎn)
( http: / / www.21cnjy.com )
。
0
1
p
2
3、閱讀下面一道題的解答過程，請(qǐng)判斷是否正確，若不正確，請(qǐng)寫出正確答案。
已知a為實(shí)數(shù)，化簡(jiǎn)
( http: / / www.21cnjy.com )
。
解：原式=a
( http: / / www.21cnjy.com )。
答案：1、B
2、1
3、不正確，原式=（1—a）
( http: / / www.21cnjy.com )。二次根式新題型賞析
隨著課改是進(jìn)一步推進(jìn)，近年來中考試題中
( http: / / www.21cnjy.com )出現(xiàn)了不少新題型，這類問題往往給出學(xué)生一些新情境，設(shè)置一些新問題，要求學(xué)生充分發(fā)揮閱讀理解能力、應(yīng)變能力和創(chuàng)新能力解答試題，可以全面考查學(xué)生綜合素質(zhì)，這些試題已成為中考試題中的一道靚麗的風(fēng)景線。本文擬以與二次根式有關(guān)的創(chuàng)新題為例加以分析，希望對(duì)讀者有所啟發(fā)。
一、程序運(yùn)算型
例1、（荊州）有一個(gè)數(shù)值轉(zhuǎn)換器，原來如下：當(dāng)輸入的x為64時(shí)，輸出的y是（
）
A、8
B、
( http: / / www.21cnjy.com )
C、
( http: / / www.21cnjy.com )
D、
( http: / / www.21cnjy.com )
解析：64的算術(shù)平方根是8，是有理數(shù)，再取算術(shù)平方根為
( http: / / www.21cnjy.com )，是無(wú)理數(shù)，所以輸出的是
( http: / / www.21cnjy.com )，選B。
評(píng)注：以“數(shù)值轉(zhuǎn)換機(jī)”的形式考查平方根有關(guān)概念，形式新穎。這類題目不僅考查學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)的掌握情況，而且可以考察學(xué)生的綜合能力。
二、估算型
例2、（揚(yáng)州）大家知道
( http: / / www.21cnjy.com )是一個(gè)無(wú)理數(shù)，那么
( http: / / www.21cnjy.com )－1在哪兩個(gè)整數(shù)之間
A．1與2
B．2與3
C．3與4
D．4與5
解析：因?yàn)?br/>( http: / / www.21cnjy.com )，所以
( http: / / www.21cnjy.com )，所以
( http: / / www.21cnjy.com )，選A。
評(píng)注：新課標(biāo)要求：能用有理數(shù)估算一個(gè)無(wú)理數(shù)的大致范圍，估算的方法很多，可以采用平方法，作差法等等。
三、無(wú)關(guān)型
例3、（呂梁）課堂上，李老師給大家出了這樣一道題：當(dāng)
( http: / / www.21cnjy.com )時(shí)，求代數(shù)式
( http: / / www.21cnjy.com )的值．小明一看，“太復(fù)雜了，怎么算呢？”你能幫小明解決這個(gè)問題嗎？請(qǐng)你寫出具體過程．
解：原式
( http: / / www.21cnjy.com )．
所以，當(dāng)
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )時(shí)，代數(shù)式的值都是
( http: / / www.21cnjy.com )．
評(píng)注：本題看似復(fù)雜，其實(shí)簡(jiǎn)單，只要先化簡(jiǎn)，
( http: / / www.21cnjy.com )可以發(fā)現(xiàn)其結(jié)果與x
的取值無(wú)關(guān)。做完后有“柳暗花明又一村”之感。這也提示我們?cè)谠谂龅诫y題或陌生的問題時(shí)不要害怕，應(yīng)敢于探索。
四、說理型
例4、（內(nèi)江）已知實(shí)數(shù)x、y、a滿足：
( http: / / www.21cnjy.com )，試問長(zhǎng)度分別為a、y、a的三條線段能否組成一個(gè)三角形？如果能，請(qǐng)求出該三角形的面積；如果不能，請(qǐng)說明理由.
分析：要判斷能否組成三角形，
( http: / / www.21cnjy.com )關(guān)鍵是確定三邊之間的關(guān)系，而條件中給出的是一個(gè)含二次根式的等式，整體觀察可以發(fā)現(xiàn)被開放數(shù)之間存在一定的關(guān)系可用二次根式的性質(zhì)來解。
解：根據(jù)二次根式的性質(zhì)，解得，所以以長(zhǎng)為x、y、a的三條線段能組成一個(gè)三角形，且是一個(gè)直角三角形，其面積為6。
評(píng)注：本題通過整體觀察，發(fā)現(xiàn)前兩個(gè)二次根式的被開方數(shù)互為相反數(shù)，進(jìn)而得到x+y-8=0，，從而得到
( http: / / www.21cnjy.com )，再利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到相應(yīng)方程。
評(píng)注：本題全面考查了二次根式的兩個(gè)非負(fù)性，同時(shí)將二次根式與幾何問題結(jié)合在一起，考查學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題的能力。
五、規(guī)律探究型
例5、（大連）用計(jì)算器計(jì)算：
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，…，請(qǐng)你猜測(cè)
( http: / / www.21cnjy.com )的結(jié)果為______________。
解析：本題可從特殊到一般，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：
( http: / / www.21cnjy.com )=10，
( http: / / www.21cnjy.com )=100，
( http: / / www.21cnjy.com )=1000，
…，猜測(cè)
( http: / / www.21cnjy.com )的結(jié)果為10n.
評(píng)注：近幾年來具新意的以觀察探索歸納猜
( http: / / www.21cnjy.com )想為形式的新穎題脫穎而出，此類問題的設(shè)置有利于考查學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和獨(dú)立解決問題的能力，有助于引導(dǎo)學(xué)生在平時(shí)的學(xué)習(xí)過程中進(jìn)行自覺的探索，是中考必考內(nèi)容之一，這類問題形式多種多樣，可以是數(shù)形結(jié)合的，也可以是探究一組數(shù)的變化規(guī)律的，或單純圖形的變化趨勢(shì)，有助于發(fā)展學(xué)生的合情推理能力，有助于學(xué)生“符號(hào)感”的形成．
圖1《二次根式的加減》考點(diǎn)分析
中考考點(diǎn)
知道什么是同類二次根式（
( http: / / www.21cnjy.com )能判斷幾個(gè)二次根式是否為同類二次根式，并把同類二次根式的概念與方程或方程組相聯(lián)系，同時(shí)考查二次根式的加減法運(yùn)算，即合并同類二次根式）會(huì)進(jìn)行二次根式的加減法運(yùn)算。
考點(diǎn)講解
1．同類二次根式的概念：
( http: / / www.21cnjy.com )幾個(gè)二次根式都化成最簡(jiǎn)二次根式以后，如果被開方數(shù)相同，這幾個(gè)二次根式就叫做同類二次根式。同類二次根式的定義和判斷，是學(xué)好二次根式加減運(yùn)算的基礎(chǔ)和關(guān)鍵。判斷幾個(gè)二次根式是否是同類二次根式，必須滿足以下兩個(gè)條件：（1）它們都是最簡(jiǎn)二次根式；（2）它們的被開方數(shù)必須完全相同。需要強(qiáng)調(diào)的是：同類二次根式與根號(hào)前面的數(shù)或式無(wú)關(guān)。
另外，對(duì)尚未化為最簡(jiǎn)二次根式的幾個(gè)根式，被開方數(shù)不相同，并不能判定為不同類二次根式。如：
( http: / / www.21cnjy.com )與-2
( http: / / www.21cnjy.com )，它們分別可化為6
( http: / / www.21cnjy.com )、-
( http: / / www.21cnjy.com )，故它們?nèi)詾橥惗胃健?br/>2．二次根式的加減法是學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容的
( http: / / www.21cnjy.com )重點(diǎn)。二次根式的加減，實(shí)質(zhì)上就是對(duì)二次根式進(jìn)行化簡(jiǎn)與合并。合并“同類二次根式”與合并“同類項(xiàng)”類同，因此合并同類二次根式時(shí)，只把根號(hào)外的因式（數(shù)）相加，根指數(shù)和被開方數(shù)保持不變。這就是對(duì)二次根式進(jìn)行加減運(yùn)算。其步驟是：（1）對(duì)每個(gè)二次根式化簡(jiǎn)，一般先化為最簡(jiǎn)二次根式；（2）對(duì)同類二次根式進(jìn)行合并、整理即得結(jié)果。
3．原來在學(xué)習(xí)整式加減法中運(yùn)用的交換律、分配律及去括號(hào)、添括號(hào)法則在二次根式的加減法中仍然適用。
4．二次根式的加減運(yùn)算結(jié)果應(yīng)寫成最簡(jiǎn)形式，這結(jié)果或是單個(gè)最簡(jiǎn)二次根式，或是幾個(gè)不同類最簡(jiǎn)二次根式的和、差。
5．考查本節(jié)的知識(shí)，要求能判斷幾個(gè)二次根式是否為同類二次根式，并能熟練地進(jìn)行二次根式的加、減運(yùn)算。
考題評(píng)析
1．（福州市）下列二次根式中與
( http: / / www.21cnjy.com )是同類二次根式的是（
）.
（A）
( http: / / www.21cnjy.com )
（B）
( http: / / www.21cnjy.com )
（C）
( http: / / www.21cnjy.com )
（D）
( http: / / www.21cnjy.com )
考點(diǎn)：同類二次根式。
評(píng)析：要判斷同類二次根式，首先明確最簡(jiǎn)
( http: / / www.21cnjy.com )二次根式及化簡(jiǎn)二次根式的方法。然后看被開方數(shù)是否相同（技巧：將各二次根式被開方數(shù)均除以作判斷標(biāo)準(zhǔn)的最簡(jiǎn)二次根式的被開方數(shù)，結(jié)果能寫成完全平方數(shù)即是，如300÷3=100=102，故選D）。
2．（江西?。┯?jì)算：
( http: / / www.21cnjy.com )=
.
考點(diǎn)：無(wú)理數(shù)的加減
評(píng)析：運(yùn)算是減法，首先化成最簡(jiǎn)二次根式，再合并，要正確運(yùn)用法則。
3．（西安市）已知a=2+
( http: / / www.21cnjy.com )，b=
( http: / / www.21cnjy.com )-2，求下式的值：
（a4-b4）÷
( http: / / www.21cnjy.com )
考點(diǎn)：運(yùn)用二次根式和差求代數(shù)式的值（分式運(yùn)算及無(wú)理數(shù)）
評(píng)析：由于代數(shù)式比較復(fù)雜，首先要化簡(jiǎn)該代
( http: / / www.21cnjy.com )數(shù)式，即分式運(yùn)算要注意因式分解和約分，其次觀察所給的字母的值代入計(jì)算是否簡(jiǎn)單，若計(jì)算繁瑣，則利用其較簡(jiǎn)單代數(shù)式的值整體代入。
如該題可知：
( http: / / www.21cnjy.com )
a-b=4故代數(shù)式化簡(jiǎn)成與a+b和a-b有關(guān)的式子。（ab=-1等）計(jì)算。注：此方法是常用的一種技巧，要理解掌握。(共4張PPT)
1.將下列各式化成最簡(jiǎn)二次根式，并求它們的和.
解：
求和：
2.計(jì)算下列各式.
解
：二次根式錯(cuò)解分類辨析
二次根式是初中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，其中的概念和
( http: / / www.21cnjy.com )性質(zhì)都有條件限制，同學(xué)們?cè)谶\(yùn)用這些概念和性質(zhì)解題時(shí)，往往會(huì)忽視這些條件而導(dǎo)致錯(cuò)解．現(xiàn)列舉六種常見的解題錯(cuò)誤進(jìn)行分析，希望能引起同學(xué)們的注意．
一、忽視二次根式
( http: / / www.21cnjy.com )中
( http: / / www.21cnjy.com )這一隱含條件而造成錯(cuò)解
例1、化簡(jiǎn)
( http: / / www.21cnjy.com )
錯(cuò)解：
( http: / / www.21cnjy.com )
=
( http: / / www.21cnjy.com )
辨析：錯(cuò)解中忽視了
( http: / / www.21cnjy.com )＞0這一隱含條件，即
( http: / / www.21cnjy.com )＜1，此式的值應(yīng)為負(fù)值．
正解：
( http: / / www.21cnjy.com )
=
( http: / / www.21cnjy.com )
二、運(yùn)用
( http: / / www.21cnjy.com )時(shí)忽視
( http: / / www.21cnjy.com )＜0這種情形，沒有把
( http: / / www.21cnjy.com )區(qū)別開來．
例2、化簡(jiǎn)
( http: / / www.21cnjy.com )
錯(cuò)解：
( http: / / www.21cnjy.com )=1－
( http: / / www.21cnjy.com )
辨析：錯(cuò)解中沒有把
( http: / / www.21cnjy.com )區(qū)別開來，忽視了1－
( http: / / www.21cnjy.com )是一個(gè)負(fù)數(shù)這種情況．平時(shí)應(yīng)養(yǎng)成先判斷
( http: / / www.21cnjy.com )的符號(hào)，再脫去
( http: / / www.21cnjy.com )中的根號(hào)這一好的習(xí)慣．
正解：因?yàn)?－
( http: / / www.21cnjy.com )＜0
所以
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )－1
三、運(yùn)用二次根式性質(zhì)時(shí)出錯(cuò)
例3、
( http: / / www.21cnjy.com )
錯(cuò)解：
( http: / / www.21cnjy.com )
辨析：上面錯(cuò)在不明確
( http: / / www.21cnjy.com )的意義，也不明確二次根式乘法的運(yùn)算步驟．
正解：
( http: / / www.21cnjy.com )
四、忽視同類二次根式的定義
例4、已知
( http: / / www.21cnjy.com )是同類二次根式，則
( http: / / www.21cnjy.com )、b的值是（
）
A、
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )
B、
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )
C、
( http: / / www.21cnjy.com )
D、
( http: / / www.21cnjy.com )
錯(cuò)解：由
( http: / / www.21cnjy.com )解得
( http: / / www.21cnjy.com )
故選B．
辨析：兩個(gè)根式是同類二次根式，必須滿足以下兩個(gè)條件：①是最簡(jiǎn)二次根式，②被開方數(shù)相同。而
( http: / / www.21cnjy.com )不是最簡(jiǎn)二次根式，故需先將其化簡(jiǎn)．
正解：依題意：
( http: / / www.21cnjy.com )解得
( http: / / www.21cnjy.com )
故選A．
五、違背運(yùn)算規(guī)律
例5
計(jì)算：
( http: / / www.21cnjy.com )．
錯(cuò)解：原式=
( http: / / www.21cnjy.com )．
分析：對(duì)于同一級(jí)運(yùn)算，要按從左到右的順序進(jìn)行，錯(cuò)解中違反了這一規(guī)律．
正解：原式=
( http: / / www.21cnjy.com )
=
( http: / / www.21cnjy.com )
六、忽視將二次根式的計(jì)算結(jié)果化為最簡(jiǎn)二次根式
例6、
計(jì)算：
( http: / / www.21cnjy.com )。
錯(cuò)解：原式=
( http: / / www.21cnjy.com )。
分析：錯(cuò)解中的
( http: / / www.21cnjy.com )、
( http: / / www.21cnjy.com )不是最簡(jiǎn)二次根式，應(yīng)把它化為最簡(jiǎn)二次根式后，再把同類二次根式進(jìn)行合并計(jì)算出最后結(jié)果．
正解：原式=
( http: / / www.21cnjy.com )
=
( http: / / www.21cnjy.com )
=
( http: / / www.21cnjy.com )《二次根式的加減》疑難分析
1．同類二次根式:幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后,如果被開方數(shù)相同,這幾個(gè)二次根式就叫做同類二次根式,特別強(qiáng)調(diào)一定先要化成最簡(jiǎn)二次根式.
2．二次根式的加減的實(shí)質(zhì)是合并同類二次根式,整式的加減運(yùn)算中的交換律、結(jié)合律及添、去括號(hào)法則在二次根式的加減運(yùn)算中仍然適用.
3．不是同類二次根式的不能合并,如
( http: / / www.21cnjy.com ).
例題選講
例1
若兩個(gè)最簡(jiǎn)二次根式
( http: / / www.21cnjy.com )與
( http: / / www.21cnjy.com )是同類二次根式,則a、b的值是（
）
(A)a=0,b=2
(B)a=1,b=1
(C)a=0,b=2或a=1,b=1
(D)a=2,b=0
解：∵由題意得方程組
( http: / / www.21cnjy.com )解得
( http: / / www.21cnjy.com )，∴應(yīng)選(A)
評(píng)注：本例要求熟練掌握同類二次根式的意義，并構(gòu)建方程組求解.注意：同類二次根式的被開方數(shù)相同必須在最簡(jiǎn)二次根式的條件下.
例2
計(jì)算:
( http: / / www.21cnjy.com )
解：原式
( http: / / www.21cnjy.com )
評(píng)注：二次根式的加減運(yùn)算就是先將每項(xiàng)化成最簡(jiǎn)二次根式,再合并同類二次根式.
例3
若矩形的長(zhǎng)為,寬為
( http: / / www.21cnjy.com ),求矩形的的周長(zhǎng)和面積.
解:
矩形的長(zhǎng)為:
( http: / / www.21cnjy.com )
矩形的面積為:
( http: / / www.21cnjy.com )
評(píng)注：結(jié)合幾何性質(zhì),熟練的進(jìn)行二次根式的加減和乘除運(yùn)算.《二次根式的加減》錯(cuò)解分析
初學(xué)二次根式，若對(duì)于二次根式的概念或有關(guān)的運(yùn)
( http: / / www.21cnjy.com )算理解不透，則常會(huì)出現(xiàn)一些解題上的錯(cuò)誤．現(xiàn)就有關(guān)的易出現(xiàn)的錯(cuò)誤，歸納如下，希望對(duì)你的學(xué)習(xí)有幫助喲．
例1　當(dāng)
( http: / / www.21cnjy.com )時(shí)，
( http: / / www.21cnjy.com )是否是二次根式？
【錯(cuò)解】因?yàn)?br/>( http: / / www.21cnjy.com )，所以
( http: / / www.21cnjy.com )不是二次根式．
【分析】根據(jù)二次根式的定義，形如
( http: / / www.21cnjy.com )叫做二次根式．對(duì)于二次根式的理解是:（1）帶有根號(hào);（2）被開方數(shù)非負(fù)．所以二次根式是形式上的定義．所以
( http: / / www.21cnjy.com )是二次根式．
例2　化簡(jiǎn)：（1）
( http: / / www.21cnjy.com )；（2）
( http: / / www.21cnjy.com )．
【錯(cuò)解】（1）
( http: / / www.21cnjy.com )；（2）
( http: / / www.21cnjy.com )．
【分析】上述錯(cuò)解在把被開方數(shù)是和的形式模仿
( http: / / www.21cnjy.com )進(jìn)行運(yùn)算了．實(shí)際上（1）
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )；
（2）
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )=8≠4．
例3　計(jì)算
( http: / / www.21cnjy.com )．
【錯(cuò)解】
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )
【分析】錯(cuò)解在雖然結(jié)果正確，但沒有考慮
( http: / / www.21cnjy.com )的使用條件是a≥0，b≥0．實(shí)際上負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根．
正確的解法是
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )
例4　如果
( http: / / www.21cnjy.com )，則
( http: / / www.21cnjy.com )_____．
【錯(cuò)解】由
( http: / / www.21cnjy.com )，得
( http: / / www.21cnjy.com )，所以
( http: / / www.21cnjy.com )．
【分析】錯(cuò)解在沒有根據(jù)絕對(duì)值的意義全面的考慮問題．取了特殊值
( http: / / www.21cnjy.com )，實(shí)際上
( http: / / www.21cnjy.com )，所以
( http: / / www.21cnjy.com )．
例5　計(jì)算：（1）
( http: / / www.21cnjy.com )；（2）
( http: / / www.21cnjy.com )．
【錯(cuò)解】（1）
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com );
（2）
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )．
【分析】（1）錯(cuò)解沒有理解合并
( http: / / www.21cnjy.com )同類二次根式的方法:合并同類二次根式，被開方數(shù)和根指數(shù)不變．（2）錯(cuò)解在把根號(hào)外的因式與根號(hào)內(nèi)的因式直接相除．
正確的解法是：
（1）
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com );
（2）
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )．《二次根式》復(fù)習(xí)指導(dǎo)
一、考點(diǎn)精析
二次根式的定義：
一般地，式子
( http: / / www.21cnjy.com )（a≥0）叫做二次根式。
“
( http: / / www.21cnjy.com )”叫做二次根號(hào)，二次根號(hào)下的“a”叫做被開方數(shù)。
二次根式的意義
二次根式
( http: / / www.21cnjy.com )（a≥0），就是指非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根。
由算術(shù)平方根的性質(zhì)可知，當(dāng)（）a≥0時(shí)，
( http: / / www.21cnjy.com )有意義；當(dāng)a＜0時(shí)，因?yàn)樨?fù)數(shù)沒有平方根，所以
( http: / / www.21cnjy.com )沒有意義。
怎樣判定一個(gè)式子是不是二次根式。
判斷一個(gè)式子是不是二次根式，一定要緊扣定義，看所給的式子是否同時(shí)具備二次根
式的兩個(gè)特征：
帶二次根號(hào)“
( http: / / www.21cnjy.com )”。
被開放數(shù)不小于0.
只要同時(shí)滿足這兩個(gè)特征，它就是二次根式；否則，不滿足其中任何一個(gè)特征，它就
不是二次根式。
最簡(jiǎn)二次根式：符合①被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；②被開方數(shù)中不含能開得盡方的因式的二次根式叫做最簡(jiǎn)二次根式。
同內(nèi)二次根式：化簡(jiǎn)最簡(jiǎn)二次根式之后，被開方數(shù)相同的二次根式，叫做同類二次根式。
二次根式的性質(zhì)
（1）（
( http: / / www.21cnjy.com )）
( http: / / www.21cnjy.com )=
a（a≥0）
a
（a≥0）
（2）
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )=
-a
（a＜0）
（3）
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )·
( http: / / www.21cnjy.com )（a≥0,b
≥0）
（4）
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )（a≥0,b＞0）
7、二次根式的乘法
（1）算術(shù)平方根的性質(zhì)：
( http: / / www.21cnjy.com )=
a（a≥0）
對(duì)于二次根式
( http: / / www.21cnjy.com )的化簡(jiǎn)，將根號(hào)內(nèi)的完全平方式開出根號(hào)時(shí)，一般先要加上絕對(duì)
值的符合，然后再根據(jù)a的符號(hào)進(jìn)一步化簡(jiǎn)，用
( http: / / www.21cnjy.com )進(jìn)行過渡，可以避免發(fā)生錯(cuò)誤。
（2）積的算術(shù)平方根的性質(zhì)：
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )·
( http: / / www.21cnjy.com )（a≥0,b
≥0）
（3）二次根式的乘法：
( http: / / www.21cnjy.com )·
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )
（a≥0,b
≥0）
即：兩個(gè)二次根式相除，被開放數(shù)相除，根指數(shù)不變。
二次根式的加減法
二次根式的加減；就是合并同類二次根式
二次根式加減法的一般步驟：
將每一個(gè)二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式
找出其中的同類二次根式
合并根式二次根式
二次根式的混合運(yùn)算
二次根式的混合運(yùn)算順序與實(shí)數(shù)的運(yùn)算順序一樣
本節(jié)考察的試題往往以大題（混合運(yùn)算）的形式出現(xiàn)，解答題要注意步驟及每一步的依據(jù)，要特別熟悉二次根式的性質(zhì)及(
( http: / / www.21cnjy.com )＋
( http: / / www.21cnjy.com ))(
( http: / / www.21cnjy.com )－
( http: / / www.21cnjy.com ))=m－n；
( http: / / www.21cnjy.com )×
( http: / / www.21cnjy.com )=n.
二、命題趨勢(shì)
1、能熟練地掌握二次根式的概念和性質(zhì)。
2、能根據(jù)二次根式的性質(zhì)熟練的化簡(jiǎn)二次根式。
多在填空題、選擇題中出現(xiàn)，解答題中也較常見。
熟練掌握二次根式的運(yùn)算，會(huì)將分母含有一個(gè)或兩個(gè)二次根式的式子進(jìn)行分母有理化，會(huì)解與二次根式有關(guān)的化簡(jiǎn)求值題。
二次根式的混合運(yùn)算，及分母有理化在中考試卷中出現(xiàn)的頻率較多，題型選擇題、填空題和計(jì)算題，難度相對(duì)大一些，屬于中檔題較多。
三、思想方法
1、分類討論思想；2、轉(zhuǎn)化與化歸思想；3、方程思想。
四、典型題型
1、二次根式有意義的條件
例1當(dāng)x______時(shí)，二次根式
( http: / / www.21cnjy.com )在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義。
解析：二次根式
( http: / / www.21cnjy.com )在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義的條件是
( http: / / www.21cnjy.com )，即
( http: / / www.21cnjy.com )。
2、化簡(jiǎn)
( http: / / www.21cnjy.com )
例2、化簡(jiǎn)
( http: / / www.21cnjy.com )（
( http: / / www.21cnjy.com )的結(jié)果為______.
解析：原式=
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )-
( http: / / www.21cnjy.com )
又
( http: / / www.21cnjy.com )
，則
( http: / / www.21cnjy.com )
原式=
( http: / / www.21cnjy.com )
3、利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)二次根式
例3、下列式子為最簡(jiǎn)二次根式的是（
）
A、
( http: / / www.21cnjy.com )
B、－2
( http: / / www.21cnjy.com )
C、
( http: / / www.21cnjy.com )
D、
( http: / / www.21cnjy.com )
解析：8=2
( http: / / www.21cnjy.com )×2，0.3=
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，B是和的形式，所以ACD不是最簡(jiǎn)二次根式，分別可化為
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )。
4、判斷同類二次根式及合并
例4、找出下列與
( http: / / www.21cnjy.com )是同類二次根式的，并與
( http: / / www.21cnjy.com )的和是_________.
A、錯(cuò)誤！不能通過編輯域代碼創(chuàng)建對(duì)象。
B、
( http: / / www.21cnjy.com )
C、
( http: / / www.21cnjy.com )
D、
( http: / / www.21cnjy.com )－1
解析：先化為最簡(jiǎn)二次根式，再判斷，后合并。
A不符合，B為
( http: / / www.21cnjy.com )，C為2
( http: / / www.21cnjy.com )，D不是單個(gè)，所以只有C是，合并可以仿照合并同類項(xiàng)的方法。和為3
( http: / / www.21cnjy.com ).
5、二次根式的混合運(yùn)算
例5、（
( http: / / www.21cnjy.com )）－（
( http: / / www.21cnjy.com )）（
( http: / / www.21cnjy.com )）＋（
( http: / / www.21cnjy.com )）÷
( http: / / www.21cnjy.com )
解析：原式=
( http: / / www.21cnjy.com )－（18
( http: / / www.21cnjy.com )＋2
( http: / / www.21cnjy.com )－6
( http: / / www.21cnjy.com )－2
( http: / / www.21cnjy.com )）＋（
( http: / / www.21cnjy.com )）×
( http: / / www.21cnjy.com )
=
( http: / / www.21cnjy.com )－18
( http: / / www.21cnjy.com )－2
( http: / / www.21cnjy.com )＋6
( http: / / www.21cnjy.com )＋2
( http: / / www.21cnjy.com )＋
( http: / / www.21cnjy.com )＋
( http: / / www.21cnjy.com )
=－12
( http: / / www.21cnjy.com )－3
( http: / / www.21cnjy.com )＋4
( http: / / www.21cnjy.com )
6、求含二次根式的代數(shù)式的最值
例6、求
( http: / / www.21cnjy.com )的最小值
解析：
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )。此時(shí)x=5.
7、探究規(guī)律
例7、
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )，……
猜想
( http: / / www.21cnjy.com )的結(jié)果；（2）你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？請(qǐng)用含n的式子將規(guī)律表示出來。
解析：（1）
( http: / / www.21cnjy.com )=10
( http: / / www.21cnjy.com )
（2）3=2
( http: / / www.21cnjy.com )－1，8=3
( http: / / www.21cnjy.com )－1，15=4
( http: / / www.21cnjy.com )－1，……
則有
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )
五、走近生活
（1）星期天，張琪和媽媽做了一個(gè)小游戲，張琪的媽媽說“你現(xiàn)在學(xué)習(xí)了二次根式，若x表示
( http: / / www.21cnjy.com )的整數(shù)部分，y表示它的小數(shù)部分，我這個(gè)紙包里的錢數(shù)是（
( http: / / www.21cnjy.com )）y元。你猜一下這個(gè)紙包里有多少錢？若猜對(duì)了，包里的錢有你支配?！蹦阒烙卸嗌賳?？
（2）我們存款都要密碼，最好不用
( http: / / www.21cnjy.com )你的生日號(hào)。設(shè)密碼的方式很多，現(xiàn)在介紹一種好記的方法：你的年、月、日的平方根分別加上一個(gè)你喜歡的數(shù)（最好是一個(gè)一或兩位數(shù)），在分別看平方根在哪兩個(gè)整數(shù)之間，依次取這些整數(shù)組成一個(gè)密碼。
如：某人的生日為78年4月7日，他喜歡的數(shù)為58，則11
( http: / / www.21cnjy.com )，7
( http: / / www.21cnjy.com )，8
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com ).則可取密碼11127889，根據(jù)需要進(jìn)行刪減。
按照這個(gè)方法你給自己取一個(gè)密碼。
六、請(qǐng)你指出錯(cuò)誤并更正
（1）如果
( http: / / www.21cnjy.com )是二次根式，則
( http: / / www.21cnjy.com )；
（2）
( http: / / www.21cnjy.com )是二次根式；
（3）當(dāng)
( http: / / www.21cnjy.com )有意義時(shí)，
( http: / / www.21cnjy.com )的值是
( http: / / www.21cnjy.com )；
（4）已知
( http: / / www.21cnjy.com )，則
( http: / / www.21cnjy.com )；
（5）（
( http: / / www.21cnjy.com )）
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com )=3-
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com )=－1；（6）
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )=-2×（-5）=10；（7）
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )；（8）
( http: / / www.21cnjy.com )=32－17=15；
（9）
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )÷
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )÷
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )；
（10）
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )；（11）
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )=1；（12）
( http: / / www.21cnjy.com )；
（13）
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )；（14）（
( http: / / www.21cnjy.com )=2
( http: / / www.21cnjy.com )。根式化簡(jiǎn)十二法
　　含有根式的分式化簡(jiǎn)，
( http: / / www.21cnjy.com )是中考、競(jìng)賽中的常見題型．若用常規(guī)解法：分母有理化，有時(shí)會(huì)很繁瑣，甚至?xí)萑搿袄Ь场?，如能根?jù)題目本身的特點(diǎn)，采用靈活的解題技巧，則會(huì)收到事半功倍的良好效果，下面舉例說明．
　　1.先平方，再開方
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∵x>0，所以原式=x=2.
　　2.先分解，再約分
　　
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(天津競(jìng)賽)
　　
　　　
　　3.常數(shù)代換
　　
　　　
4.分子有理化
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　　5.活用乘法公式
.(山東競(jìng)賽)
　　6.依次通分
　　(廣州聯(lián)賽)
　　
　　7.逆用分式計(jì)算法則
　　.(天津競(jìng)賽)
　　
　　8.巧用倒數(shù)
　　(四川聯(lián)賽)
　　
　　
　　9.換元轉(zhuǎn)化
　　例9化簡(jiǎn)
( http: / / www.21cnjy.com ).(山東)
　　
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　　則x＋y＝2a＋2，xy＝2a＋2．于是有
　　
　　10.直接配方
　　.(上海競(jìng)賽)
　　
　　　
　　11.裂項(xiàng)相消
　　
( http: / / www.21cnjy.com ).(四川聯(lián)賽題)
　　
　　12．運(yùn)用比例性質(zhì)
　　.(全國(guó)部分省市初中數(shù)學(xué)通訊賽試題)
　　
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　　由等比性質(zhì)得
　　
( http: / / www.21cnjy.com )。二次根式規(guī)律探索題例析
數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)自主探索與合作交流是學(xué)
( http: / / www.21cnjy.com )生學(xué)習(xí)的重要方式,從而探究規(guī)律型試題滲透到各個(gè)知識(shí)點(diǎn).下面是中考數(shù)學(xué)試題,
例舉幾道與二次根式有關(guān)的規(guī)律探索題加以分析,供同學(xué)們學(xué)習(xí)時(shí)參考.
例1(遼寧大連市)用計(jì)算器計(jì)算：
( http: / / www.21cnjy.com ),
( http: / / www.21cnjy.com ),
( http: / / www.21cnjy.com ),…,請(qǐng)你猜測(cè)
( http: / / www.21cnjy.com )的結(jié)果為_________。
解析:這是一道用計(jì)算器進(jìn)行探索的規(guī)律性試題,用計(jì)算器不難算得:
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com ),
( http: / / www.21cnjy.com )的值分別是10,100,1000,從而猜測(cè)待求式的結(jié)果是10n.
說明：這是由課本16頁(yè)第10題改編的一道中考試題,其實(shí),有些中考試題就是課本典型題目或其變式,望同學(xué)們對(duì)課本中的典型題目要格外重視.
例2(廣西桂林市)在
( http: / / www.21cnjy.com )中,共有
個(gè)有理數(shù).
A.42
B.43
C.44
D.45
解析:本題逐一驗(yàn)證顯然不可能,我們不妨反過來考慮,若這些算術(shù)平方根是有理數(shù),則其被開方數(shù)應(yīng)是正整數(shù)的平方,又所有的被開方數(shù)是連續(xù)整數(shù),而442=1936,452=2025,即44<
( http: / / www.21cnjy.com )<45,所以在
( http: / / www.21cnjy.com )中,共有44個(gè)有理數(shù),選C.
例3(湖南邵陽(yáng)市)如圖1中,螺旋形是
( http: / / www.21cnjy.com )由一系列等腰直角三角形組成,其序號(hào)依次為①,②,③,④,⑤,…,則第n個(gè)等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)是
.
解析:第①,②,③,④的斜邊分別為
( http: / / www.21cnjy.com ),不難發(fā)現(xiàn):斜邊都是二次根式,且被開方數(shù)是以底數(shù)為2,指數(shù)是三角形序號(hào)的數(shù),即第n個(gè)等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)是2n.例4(廣州市)已知A=
( http: / / www.21cnjy.com )，
B=
( http: / / www.21cnjy.com )(n為正整數(shù))．當(dāng)n≤5時(shí)，有A.
解析:利用計(jì)算器計(jì)算發(fā)現(xiàn):當(dāng)n=6時(shí),A=5.5>B=
( http: / / www.21cnjy.com );當(dāng)n=7時(shí),A=6.5>B=
( http: / / www.21cnjy.com );當(dāng)n=8時(shí),A=7.5>B=
( http: / / www.21cnjy.com ),……,由此歸納出當(dāng)n≥6時(shí)，A>B.破解二次根式考題中的隱含條件
關(guān)于二次根式的考查，有一類題是專門對(duì)二次根式有意義的條件進(jìn)行的。我們熟知，二次根式
( http: / / www.21cnjy.com )(
( http: / / www.21cnjy.com )≥0)≥0。這里體現(xiàn)了二次根式的兩個(gè)非負(fù)性：即被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，根式本身也是非負(fù)數(shù)。而有許多同學(xué)解題時(shí)雖然知道這些條件，但由于考題中沒有明確給出，學(xué)生不去破解其隱含條件而導(dǎo)致解題出錯(cuò)。以下舉例說明，望給大家提個(gè)醒兒。
適合
( http: / / www.21cnjy.com )的正整數(shù)
( http: / / www.21cnjy.com )的值有(
)
說明：本題在測(cè)試中的錯(cuò)誤率達(dá)到90%以上，錯(cuò)誤現(xiàn)象不容忽視。錯(cuò)誤原因是對(duì)根式
( http: / / www.21cnjy.com )的非負(fù)性不理解。
錯(cuò)解：
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )正整數(shù)
( http: / / www.21cnjy.com )的值有2、1，選(B)
正解：
( http: / / www.21cnjy.com )（隱含條件）
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )正整數(shù)
( http: / / www.21cnjy.com )的值為3、2、1
故選(C)
例2、小明作業(yè)本上有以下四題：
①
( http: / / www.21cnjy.com )②
( http: / / www.21cnjy.com )③④，做錯(cuò)的題是(
　
)
A.
①
B.
②
C
.②④
D.
③④
說明：學(xué)生容易判斷①②正確，本題的錯(cuò)誤現(xiàn)象主要是③的變形出錯(cuò)。對(duì)于
( http: / / www.21cnjy.com )不辨別式子本身的符號(hào)，憑空認(rèn)為
( http: / / www.21cnjy.com )>
( http: / / www.21cnjy.com )導(dǎo)致錯(cuò)誤。另外，④式屬于二次根式的加減運(yùn)算，只有同類二次根式才可以合并，而
( http: / / www.21cnjy.com )與
( http: / / www.21cnjy.com )不是同類二次根式，所以不能合并。
③式的正確變形為：
( http: / / www.21cnjy.com )有意義
( http: / / www.21cnjy.com )>
( http: / / www.21cnjy.com )（隱含條件）
( http: / / www.21cnjy.com )<
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )<
( http: / / www.21cnjy.com )
選(
D
)
例3、最簡(jiǎn)二次根式
( http: / / www.21cnjy.com )與
( http: / / www.21cnjy.com )是同類二次根式，則
( http: / / www.21cnjy.com )=___
說明：本題的錯(cuò)誤現(xiàn)象是對(duì)
( http: / / www.21cnjy.com )的值能否使兩個(gè)根式有意義考慮不全面，
( http: / / www.21cnjy.com )的值應(yīng)滿足
( http: / / www.21cnjy.com )且
( http: / / www.21cnjy.com )（隱含條件）
錯(cuò)解：由題意得：
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )的值為
( http: / / www.21cnjy.com )或
( http: / / www.21cnjy.com )
正解：同上得出
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )
當(dāng)
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )時(shí)，
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )>
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )>
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
合題意，
當(dāng)
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )時(shí)，
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )<
( http: / / www.21cnjy.com )
不合題意，舍去。
( http: / / www.21cnjy.com )
例4、已知
( http: / / www.21cnjy.com )<
( http: / / www.21cnjy.com )，化簡(jiǎn)二次根式
( http: / / www.21cnjy.com )的正確結(jié)果是(
)
說明：本題的錯(cuò)誤現(xiàn)象是學(xué)生開方時(shí)直接將
( http: / / www.21cnjy.com )變?yōu)?br/>( http: / / www.21cnjy.com )，而沒有考慮
( http: / / www.21cnjy.com )的取值應(yīng)使根式有意義的條件。
正解：
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )有意義
( http: / / www.21cnjy.com )（隱含條件）
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )<
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )、
( http: / / www.21cnjy.com )異號(hào)且
( http: / / www.21cnjy.com )<
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )>
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )
　　由以上各題的解決可以看出，在二次根式問題中，我們只有對(duì)根式本身有意義的隱含條件即
( http: / / www.21cnjy.com )(
( http: / / www.21cnjy.com )≥0)≥0掌握牢固，具體問題用心分析其條件的隱含性，才能在解題時(shí)不出現(xiàn)上述錯(cuò)誤。
請(qǐng)你嘗試一下（當(dāng)心哦）：
1、最簡(jiǎn)二次根式
( http: / / www.21cnjy.com )與
( http: / / www.21cnjy.com )是同類二次根式，則
( http: / / www.21cnjy.com )=__。
2、化簡(jiǎn)二次根式
( http: / / www.21cnjy.com )的結(jié)果是(
)
A.
( http: / / www.21cnjy.com )
B.
( http: / / www.21cnjy.com )
C.
( http: / / www.21cnjy.com )
D.
( http: / / www.21cnjy.com )
3、已知是
( http: / / www.21cnjy.com )實(shí)數(shù)，且
( http: / / www.21cnjy.com )，則
( http: / / www.21cnjy.com )的值為(
)
A.13
B.7
C.3
D.13或7或3
答案：1、6
2、B
3、C

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