資源簡介

列一元二次方程解幾何圖形問題
代數、幾何的綜合題一直是中考的熱點，用代數方法解幾何問題，是初中數學的一種重要思想.在解幾何題時，如果能根據幾何問題中的數量關系，恰當地建立一元二次方程模型，并借助一元二次方程的相關知識來求解，定能收到事半功倍的效果.下面舉例說明.
一、利用勾股定理建立一元二次方程模型
例1.(深圳中考題)在△ABC中，AB邊上的中線CD=3，AB=6，BC+AC=8，則△ABC的面積為______________________.
分析：對于本題，先畫出圖形，判斷出△ABC為直角三角形后，再利用勾股定理建立一元二次方程模型求邊長.
解：如圖，在△ABC中，CD是AB邊上的中線，
∵
CD=3，AB=6，
∴AD=BD=3，
∴CD=AD=BD.
∴∠A=∠ACD，∠B=∠BCD.
∵∠A＋∠B＋∠ACD＋∠BCD=180°.
∴∠A＋∠B=90°.
∴△ABC為直角三角形，
∴AC2＋BC2=AB2=36.
又∵BC+AC=8，
∴設BC的長為，則.
∴，整理，得.
解得.
∴，.或，.
∴·.
說明：本題主要考查直角三角形中線的有關性質、一元二次方程的相關知識以及綜合分析、解答問題的能力.
二、利用面積公式建立一元二次方程模型
例2.
(遼寧十一市中考題)如圖，在寬為20m，長為32m的矩形地面上修筑同樣寬的道路(圖中陰影部分)，余下的部分種上草坪．要使草坪的面積為，求道路的寬．(部分參考數據：，，)
分析：本題是一道典型的列一元二次方程解決的實際應用問題.下面從兩個角度給出如下的解法.
解法(1)：由題意轉化為右圖，設道路寬為米.
根據題意，
可列出方程為.
整理得.
解得(舍去)，.
答：道路寬為米.
解法(2)：由題意轉化為右圖，設道路寬為米，根據題意列方程得：
.
整理得：.
解得：，(舍去).
答：道路寬應是米.
說明：把不規則的圖形轉化為規則的圖形是解決這類問題的關鍵所在，同時整體代換的思想方法在解題中起著化難為易的作用，同學們應該既能理解它，又會應用它.
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1什么是一元二次方程的根？
答案：
使方程兩邊相等的未知數的值，叫做這個方程的解，一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。一元二次方程可以無解，若有解，就一定有兩個解。
【舉一反三】
典例：下面哪些數是方程2x2+10x+12=0的根？

-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4．
思路導引：一般來說，要判定一個數是否是方
( http: / / www.21cnjy.com )程的根，只要把其代入等式，使等式兩邊相等即可．將上面的這些數代入后，只有-2和-3滿足方程的等式，所以x=-2或x=-3是一元二次方程2x2+10x+12=0的兩根．
標準答案：x=-2或x=-3是一元二次方程2x2+10x+12=0的兩根．怎樣用一元二次方程解決面積問題？
答案：

列一元二次方程可解決幾何體面積有關的應用題，注意舍根，面積問題還要畫圖分析。
【舉一反三】
典例：要剪一塊面積為150cm2的長方形鐵片，使它的長比寬多5cm，這塊鐵片應該怎樣剪？

設長為xcm，則寬為（x-5）cm

列方程x（x-5）=150，即x2-5x-150=0

請根據列方程回答以下問題：

（1）x可能小于5嗎？可能等于10嗎？說說你的理由．
（2）完成下表：

x
10
11
12
13
14
15
16
17
…
x2-5x-150










（3）你知道鐵片的長x是多少嗎？
思路導引：一般來說，x2-5x-150=0的形式不能用平方根的意義和整式中的分解因式的方法去求根，但是我們可以用一種新的方法──“夾逼”方法求出該方程的根．（1）x不可能小于5．理由：如果x<5，則寬（x-5）<0，不合題意．x不可能等于10．理由：如果x=10，則面積x2-5x-150=-100，也不可能．
（2）

x
10
11
12
13
14
15
16
17
……
x2-5x-150
-100
-84
-66
-46
-24
0
26
54
……

（3）鐵片長x=15cm
標準答案：（1）x不可能小于5．理由：如果x<5，則寬（x-5）<0，不合題意．
x不可能等于10．理由：如果x=10，則面積x2-5x-150=-100，也不可能。
（2）

x
10
11
12
13
14
15
16
17
……
x2-5x-150
-100
-84
-66
-46
-24
0
26
54
……

（3）鐵片長x=15cm
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1用數學思想方法解一元二次方程問題
數學思想是數學知識的精髓，是數學內容的一種本質認識，它在學習和運用數學知識的過程中，起著觀念性的指導作用．下面舉例說明數學思想在一元二次方程中的應用．
一、轉化思想
有一些題目按照一般的解題思路去思考，往往比較煩瑣．若根據知識間內在的聯系，恰當地把題目中的數量關系從一種形式轉化為另一種形式，問題就可能比較順利地得到解決，這就是轉化的思想方法．它能夠幫助我們打開思路，把一個較復雜或陌生的問題轉化成一個已經解過的比較簡單或熟悉的問題．
例1
解方程
分析：此方程不能直接求解，可將方程整理轉化為一般形式，易知方程可直接用因式分解法求解．
解：整理，得，即
所以
二、整體思想
整體的思想方法，就是將注意力和著眼點放在問題的整體上或把一些相互聯系的量作為整體來處理的思想方法．有些一元二次方程問題，可根據其特點，采用整體處理的方法，不僅可避免復雜的計算，而且還達到了解決問題的目的．
例2
已知的值為9，則代數式的值為（
）
（A）4
（B）6
（C）8
（D）10
解：由=9得，
所以．故應選D．
三、分類討論思想
當我們研究的問題包含多種可能情況，不能一概而論時，必須按可能出現的所有情況來區別討論，得出各種情況下相應的結論，這種處理問題的思想方法稱為分類思想．它既是一種數學思想方法，又是一種重要的解題策略．
例3
當為何值時，關于的方程有實數根？
解：因為題中沒明確方程的次數，需討論：
（1）當，即時，方程為一元二次方程，
因方程有實數根，所以解得．
所以，當且時，一元二次方程有實數根
（2）當，即時，方程為實數根為
總上可知，當時，方程有實數根．
四、建模思想
數學模型是一種常見的解決實際問題的思想方法，其實質是從實際問題中提取出關鍵性的基本量，將其轉化為數學問題來表達，并進行推理、計算、論證等，最后得出結論．
例4　市政府為了解決市民看病難的問題，決定下調藥品的價格．某種藥品經過連續兩次降價后，由每盒200元下調至128元，求這種藥品平均每次降價的百分率是多少？
解：設這種藥品平均每次降價的百分率是，根據題意，得
解得（不合題意，舍去），
答：這種藥品平均每次降價的百分率是20%．
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1如何列一元二次方程求數字問題？
答案：
一般來說，常用的是十進制計數法。十位數字是a，個數字是b，則這個兩位數可表示為：10a+b。如123=1×100+2×10+3×1;
【舉一反三】
典例：兩個連續偶數積為288，求這兩個數。
思路導引：一般來說，此類問題應分析數字的特點。兩個連續偶數差2，可設x，。設這兩個偶數分別為x，x+2，根據題意，，解得：。。
標準答案：這兩個連續偶數是16，18或－18，－16。
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www.因式分解法教材分析
教材首先通過實際問題得到方程10x－4.9x2=0，讓學生思考解決方程的方法除了之前所學習過的配方法和公式法以外，是否還有更簡單的方法解方程，通過分析,則或得到啟發，利用提取公因式法將一元二次方程化成兩個一次項的乘積為零．然后引導學生思考：上述方法是如何讓方程從二次降到一次的？讓學生體會到解一元二次方程的基本策略是降次，因式分解法將一個一元二次方程轉化為兩個一次式乘積為零的形式實現降次，從而引出本節課學習的內容．
通過教材中的兩道例題，進一步深化鞏固用因式分解法求解一元二次方程，合理的選擇適當的方法可以簡化解題過程．
學生在利用因式分解法解方程式往往會在因式分解上存在著一定的困難，從而不能將方程化成兩個一次式乘積為零的形式．另外在面對一元二次方程時，缺乏對方程結構的觀察，從而在方法的選擇上欠佳，缺乏解決問題的靈活性，增加了計算的難度，降低了計算的準確性．
基于以上分析，確定出本節課的教學重點：會用因式分解法解特殊的一元二次方程．
本節課的難點：學會觀察方程特征，選用適當方法解決一元二次方程．
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www.趣題兩則
1、一元二次方程與數學家
巴拿赫是波蘭數學家，是泛函分析的奠基人之一.1945年8月31，巴拿赫病故于烏克蘭的利沃夫.人們為了紀念這位偉大的數學家，特編下面這一道關于他生平的智力問題：
巴拿赫病故于1945年8月31日。他在世時某年年份恰好是他當時年齡的平方。問：他是哪年出生的？
解：設他在世時某年年齡為x，則[(x2-x)+x]≤1945,且x為自然數.
其出生年份為：x2-x=x(x-1)，
他在世時年齡為：1945-x(x-1).
由，則x應為44或略小于44的自然數.
當x=44時，由x(x-1)=44×43=1892，算得他在世時年齡為1945-1892=53；
當x=43時，由x(x-1)=43×42=1806，算得他在世時年齡為1945-1806=139；
若x再取小，其在世年齡越大，顯然不合理.
所以x=44，即他生于1892年，終年53歲.
2、閱讀材料
已知p2-p-1=0,1-q-q2=0,且pq≠1,求的值.
解：由p2-p-1=0及1-q-q2=0,可知p≠0,
q≠0。
又∵pq≠1,∴p≠
∴1-q-q2=0可變形為()2--1=0
根據p2-p-1=0和()2--1=0，可知p和是方程x2-x-1=0的兩個不相等的實數根，則p+=1，
∴=1
根據閱讀材料所提供的方法，解答下面的問題。
已知：2m2-5m-1=0,
,且m≠n,求的值.
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1什么是直接開平方法？
答案：
直接開平方法就是用直接開平方求解一元二次方程的方法。用直接開平方法解形如(x-m)2=n
(n≥0)的方程，其解為x=m±.
【舉一反三】
典例：解方程(3x+1)2=9
思路導引：一般來說，直接開平方法適用于解化為x2＝a形式的方程，當a≥0時，方程有實數解；當a＜0時，方程沒有實數解。此方程可用直接開平方法解。(3x+1)2=9
，
∴3x+1=±3(注意不要丟解)
，
∴3x=-1±3，
∴原方程的解為
標準答案：
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www.一元二次方程的應用解讀
1、導讀：
一元二次方程解應用題是列一元一次方程解應用題的繼續和發展，從根本上講，則是為了解決實際問題的需要，比如在幾何、物理及其他學科中，許多問題都要化歸到一元二次方程問題來解決．
　　2、列一元二次方程解應用題的一般步驟是
　　(1)審題．分析題意，找出已知量和未知量，弄清它們之間的數量關系．
　　(2)設未知數．一般采取直接設法，有的要間接設．
　　(3)列出方程．要注意方程兩邊的數量相等．方程兩邊的代數式的單位相同．
　　(4)解方程．應注意一元二次方程的解，有可能不符合題意，如線段的長度不能為負數，降低率不能大于100％．因此，解出方程的根后，一定要進行檢驗．
　　3、掌握常見相關問題的數量關系及其表示方法
　　(1)三連續整數：若設中間的一個為x，則另兩個分別為x－1，x＋1．
　　三連續偶數(奇數)：若設中間的一個為x，則另兩個分別為x－2，x＋2．
　　(2)三位數的表示方法：設百位、十位、個位上的數字分別為a、b、c，則這個三位數為100a＋10b＋c．
　　(3)增長率問題：設基數為a，平均增長率為x，則一次增長后的值為a(1＋x)，二次增長后的值為a(1＋x)2．
　　降低率問題：若基數為a，降低率為x，則一次降低后的值為a(1－x)，二次降低后的值為a(1－x)2．
　　(4)三角形、梯形、特殊的平行四邊形的面積公式也是列一元二次方程的依據．
4、典例析解：
在列方程解應用題的過程中，審題是解決問題的基礎，找出相等關系列方程是解決問題的關鍵，恰當靈活地設元直接影響著列方程與解方程的難易，所以要根據不同的具體情況把握好解題的每一步．
　　例1．將進貨單價為40元的商品按50元售出時，就能賣出500個．已知這種商品每個漲價1元，其銷售量就減少10個，問為了賺得8
000元的利潤，售價應定為多少？這時應進貨多少個？
　　析解：如果按單價50元售出，每個利潤是10元，賣出500個，只能賺得5
000元．為了賺得8
000只．只能漲價，但要適度，否則銷售量就少得太多．其中的等量關系是：每個商品的利潤×銷售量=
8
000（元）．這里的關鍵是如何表示出每個商品的利潤和銷售量的問題．可設商品的單價是元，則每個商品的利潤是元，銷售量是個．由題意列方程為
解之得，．
因此，售價定為60元時，進貨是400個，售價定為80元時，進貨是200個．
例2．某電腦公司2000年的各項經營收入中，經營電腦配件的收入為600萬元，占全年經營總收入的40%，該公司預計2002年經營總收入要達到2
160萬元，且計劃從2000年到2002年，每年經營總收入的年增長率相同，問2001年預計經營總收入為多少萬元？
析解：運用基本關系式：基數（1+平均增長率）n=實際數．
首先要求（或表示）出基數=600÷40%．
設2001年預計經營總收入為萬元，每年經營總收入的年增長率為．
由題意列方程為
解之得　所以2001年預計經營總收入為1
800萬元．
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1如何用配方法解一元二次方程
答案：
用配方法解方程ax2+bx+c=0
(a≠0)
，先將常數c移到方程右邊：ax2+bx=-c
，將二次項系數化為1：x2+x=-
，方程兩邊分別加上一次項系數的一半的平方：x2+x+()2=-+()2
方程左邊成為一個完全平方式：(x+
)2=
，
當b2-4ac≥0時，x+ =±，
∴x= (這就是求根公式)
【舉一反三】
典例：用配方法解下列方程：x2－12x+5=0;思路導引：一般來說，此類問題應按配方法的步驟：(1)將二次項系數化為1；(2)將常數項與二次項、一次項分開在等式兩邊；(3)方程兩邊都加上一次項系數一半的平方，即可化為(x＋a)2＝k的形式，然后用開平方法求解．移項，得x2－12x=－5,配方，得x2－12x+36=－5+36,(x－6)2=31，解這個方程，
標準答案：
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www.趣題兩則
1、一元二次方程與數學家
巴拿赫是波蘭數學家，是泛函分析的奠基人之一.1945年8月31，巴拿赫病故于烏克蘭的利沃夫.人們為了紀念這位偉大的數學家，特編下面這一道關于他生平的智力問題：
巴拿赫病故于1945年8月31日。他在世時某年年份恰好是他當時年齡的平方。問：他是哪年出生的？
解：設他在世時某年年齡為x，則[(x2-x)+x]≤1945,且x為自然數.
其出生年份為：x2-x=x(x-1)，
他在世時年齡為：1945-x(x-1).
由，則x應為44或略小于44的自然數.
當x=44時，由x(x-1)=44×43=1892，算得他在世時年齡為1945-1892=53；
當x=43時，由x(x-1)=43×42=1806，算得他在世時年齡為1945-1806=139；
若x再取小，其在世年齡越大，顯然不合理.
所以x=44，即他生于1892年，終年53歲.
2、閱讀材料
已知p2-p-1=0,1-q-q2=0,且pq≠1,求的值.
解：由p2-p-1=0及1-q-q2=0,可知p≠0,
q≠0。
又∵pq≠1,∴p≠
∴1-q-q2=0可變形為()2--1=0
根據p2-p-1=0和()2--1=0，可知p和是方程x2-x-1=0的兩個不相等的實數根，則p+=1，
∴=1
根據閱讀材料所提供的方法，解答下面的問題。
已知：2m2-5m-1=0,
,且m≠n,求的值.
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1配方法及其應用
配方法是一元二次方程解法中非常重要的一種方法，其實質是一種恒等變形，它通過加上并且減去相同的項，把算式的某些項配成完全n次方的形式，通常是指配成完全平方式．
配方法的在中學數學中的應用非常廣泛，主要有以下幾個方面．
一、用配方法解方程
例1
解方程：2x2－3x+1=0．
分析：用配方法解一元二次方程的一般步驟是：
1．將二次項的系數化為1；
2．移項，使含未知數的項在左邊，常數項在右邊；
3．配方，方程兩邊都加上一次項系數一半的平方；
4．將方程化為(x+m)2=n的形式；
5．用直接開平方法進行求解（n<0無解）．
解：方程兩邊都除以2，得
移項，得
配方，得，
，
即或
所以x1=1，
二、用配方法分解因式
例2
把x2+4x-1分解因式．
分析：在原式中加上4的同時又減去4．
解：原式=x2+4x+4-4-1=x2+4x+4-5
=(x+2)2-=
三、用配方法求代數式的值
例3
已知實數a，b滿足條件：，求—ab的平方根．
分析：一個方程含有兩個未知數，看似無法求出a，b．但仔細觀察發現，等式左邊可以分成兩組分別配方，正好得到兩個完全平方式的和為0，利用非負數的性質可求出a，b的值．
解：∵，
∴，
即，
∴
∴±
四、用配方法求代數式的最大（小）值
例4
代數式2x2-3x-1有最大值或最小值嗎？求出此值．
分析：代數式2x2-3x-1的值隨x的變化而變化，但有某一個值可能是其最小（大）的，如果我們將其變形為一個常數和一個完全平方式的和，便可求出其最小（大）值．
解：2x2-3x-1=2(x2-x)-1=2(x-)2+
∴當時，有最小值0，
∴當時，2x2-3x-1有最小值為．
五、用配方比較兩個代數式的大小
例5
對于任意史實數x，試比較兩個代數式3x3-2x2-4x+1與3x3+4x+10的值的大小．
分析：比較兩個代數式的大小，可以作差比較，本題兩個代數式相減后，可以得到一個二次三項式，將此二次三項式配方后，即可判斷差的正負，從而可以判斷兩個代數式的值的大小．
解：（3x2-2x2-4x+1）-（3x3+4x+10）
=-2x2-8x-9=-2(x+2)2-1<0，
所以對于任意實數x，恒有
3x3-2x2-4x+1<3x3+4x+10．
六、用配方法證明等式和不等式
例6
已知方程中(a2+b2)x2-2b(a+c)x+b2+c2=0中字母a，b，c都是實數．
求證：
分析：一個方程含有四個未知數，看似無法求出a，b，c，x．但仔細觀察發現，方程左邊可以分成兩組分別配方，正好得到兩個完全平方式的和為0，利用非負數的性質可求出a，b，c，x之間的關系．
證明：原方程坐標拆成兩個二次三項式為：(a2x2-2abx+b2)+(b2x2-2bcx+c2)=0，
∴(ax-b)2+(bx-c)2=0．
∵a，b，c，x都是實數，
∴(ax-b)2≥0,(bx-c)2≥0．
∴ax-b=0,bx-c=0．
∴
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1怎樣根據一元二次方程的一個根求另一個根？
答案：

方程有一根為零時，常數項必須為零；求解字母系數的一元二次方程的問題中，二次項系數的字母必須保證二次項系數不等于零，這是解此類問題的先決條件．
【舉一反三】

典例：一元二次方程(m－1)x2＋3m2x＋(m2＋3m－4)＝0有一根為零，求m的值及另一根．
思路導引：一般來說，此類問題根據“方程有一根為零時，常數項必須為零”這一條件列出關系式求解。因為方程有一根為零，所以它的常數項m2＋3m－4＝0，解得m1＝1，m2＝－4，又因為此方程是一元二次方程，所以m－1≠0，即m≠1，所以m＝－4．把m＝－4代入方程，得－5x2＋48x＝0，解得：x1＝0，x2＝9.6，所以方程的另一根為9.6．
標準答案：m＝－4；方程的另一根為9.6．
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www.注意：不可忽視二次項系數
【例1】已知方程（m－1）+2x－m=0是關于x的二次方程，則（　　）
(A)m=－3　　　(B)m=－1　　　(C)m=3或m=1　　　(D)m=－3或m=1
錯解：由二次方程的概念，得
m2+2m－1=2,即m2+2m－3=0，
∴（m+3）(m－1)=0,
∴m=－3或m=1。
故選D。
【錯解分析】由二次方程概念知，二次項系數不為零，m－1≠0,
∴m≠1.
以上正是由于忽略了這一點，而誤入陷阱。因此，正確的應該是選A。
【例2】
當m取何值時，關于x的方程mx2+2x=x2－5是一元二次方程？
錯解：當m≠0時，mx2+2x=x2－5是一元二次方程.
【錯解分析】錯誤原因是沒正確理解一元二次方程的概念，判斷一元二次方程必須先將方程化為一般形式.
正解：原方程可化為（m－1）x2+2x+5=0.
∵
m－1≠0，
∴
m≠1.
∴
當m≠1時，原方程是一元二次方程.
【例3】已知關于x的一元二次方程（k+4）x2+3x+k2+3k－4=0的一個根為0，求k的值.
錯解：∵
方程（k+4）x2+3x+k2+3k－4=0的一個根為0.
∴
k2+3k－4=0.
解這個方程，得
k1=－4，k2=1.
【錯解分析】錯誤原因是忽略“一元二次方程”的限制條件“k+4≠0”.
正解：∵
方程（k+4）x2+3x+k2+3k－4=0的一個根為0.
∴
k2+3k－4=0.
∴
k1=－4，k2=1.
又∵
原方程是關于x的一元二次方程，
∴
k+4≠0.
∴
k≠－4.
∴
k＝1
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1聚焦一元二次方程的兩種解法
一元二次方程的解法是這一部分內容的重點．解法各有特點，只有準確把握，解方程時才會得心應手．直接開平方法適宜于解形如的方程；而因式分解法適合的方程是：一邊為零而另一邊易于分解成兩個一次因式的積的方程(其依據是若ab=0，則a=0，或b=0)．在遇到不同形式的方程時，要根據方程的特點選擇恰當的方法求解．掌握它的解法并不困難，但由于各種原因，同學們初學時會出現如下錯誤：
　例1
解方程x2＝4
　　誤解：x＝2．
　　錯誤原因：對非負數的平方根的概念不清．
　　正確的解是x1＝2，x2＝-2．
　例2
解方程(x-1)2＝x-1
　　誤解：x-1＝1，x＝2
　　錯誤原因：兩邊同除以含有字母的代數式，引起失根．
　　正確的解：(x-1)2-(x-1)＝0，(x-1)(x-2)＝0，∴x1＝1，x2＝2．
　例3
解方程x2-2x+1＝0
　　誤解：(x-1)2＝0，∴x＝1．
　　錯誤原因：一元二次方程若有實數根，則必定有兩個根．
　　正確的解：(x-1)2＝0∴x1＝x2＝1．
　例4
解方程：x2-3x＝0，
　　
　　
　　
方程的解就是“能使方程左右兩邊的值相等的未知數的值”．在方程沒有解出之前，未知數x就是它的代表．解方程，就是通過“變”把方程的解“解放”出來，以致最終能成為x＝？的形式，而“變”的規則是必須使方程的解始終保持一樣．解一元二次方程，首要的問題是通過變形把x解出，怎么變？除了分母、括號、系數等障礙以外，最重要的是次數！怎樣把二次降成一次？或者開平方，或者分解因式，這是兩種最基本的降次方法．
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1如何學好配方法
配方法是數學中一種很重要的思想方法，它的主要用途是用來求一元二次方程的解．那么怎樣用配方法解一元二次方程？先讓我們來看一個例子吧．
例
用配方法解方程4x2－12x－1=0．
分析：我們知道形如(x+a)2=b(b≥0)的方程可以用直接開平方法求解．如果方程4x2－12x－1=0能化成這種形式，不也就可以用直接開平方法求解了嗎？通過觀察，發現式子(x+a)2=b中等號左邊為二次項系數為1的一個多項式的完全平方形式，右邊為常數項，于是考慮先把方程4x2－12x－1=0的二次項系數化為1，再把常數項移到方程的右邊，然后把方程左邊配成完全平方形式，再用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫做配方法．
解：二次項系數化為1，得．移項，得．配方，得，即．兩邊開平方，得，即，．解得，．
由此可見，配方法是以完全平方公式為理論依據，以開平方法為目標的一個變形過程．其一般步驟為：（1）二次項系數不為1，先把二次項系數化為1即在方程兩邊同除以二次項的系數；（2）移項：使方程左邊只含二次項與一次項，右邊為常數項；（3）配方：在方程兩邊都加上一次項系數一半的平方，把方程化為(x+a)2=b的形式；（4）當b≥0時，再用開平方法解變形得到的這個方程．
用配方法求一元二次方程的解時，常出現“①對于二次項系數不為1的方程，沒有把二次項系數化為1，就直接進行配方；②配方時，沒有在方程兩邊同時加上一次項系數一半的平方．”這兩個方面的錯誤．
錯解1：移項，得4x2－12x=1．配方，得4x2－12x+=1+，即．兩邊開平方，得x－6=．解得，．
剖析：用配方法解一元二次方程時，若二次項系數不為1，應先把它化為1，再進行配方．錯解1未做好這一準備工作就急于配方而致錯．
錯解2：二次項系數化為1，得．移項，得x2－3x=．配方，得x2－3x+=+，即，解得．
剖析：用配方法解方程的關鍵是配方，而配方的核心待原方程的左邊化為“x2+bx”的形式后，在方程的兩邊都加上一次項系數一半的平方，使方程的左邊變為完全平方式．錯解2只在方程的兩邊加上一次項系數一半，而沒有把一半平方．
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1配方法解一元二次方程
解一元二次方程的基本思想是降次，把一元二次方程“降次”為兩個一元一次方程.通過解兩個一元一次方程，到達求解的目的.而配方法是解一元二次方程的基礎方法，且又是一種重要的方法，下面讓我們一起來理解配方法在解一元二次方程中的應用.
1．知識點撥
配方法:通過配成完全平方式來解一元二次方程的方法,叫做配方法.
配方法的基本思想：通過配方來降次,將方程轉換為(x+n)2=P(P≥0),進而轉化為x+n=達到求解的目的.
配方的基本步驟:①方程兩邊同除以二次項的系數,將二次的系數化為1;②移項:把常數項單獨移到方程的右邊;③配方:方程兩邊都加上一次項系數一半的平方,把原方程化為(x+n)2=P(P≥0);④求解:將方程(x+n)2=P(P≥0)化為兩個一元一次方程:x+n=,進而求出方程的解.
2．應用體驗
例1
用配方法解方程x2+10x-8=0.
分析:方程的特點是二次項的系數等于1,可以先移項,再配方求解.
解:移項,得x2+10x=8,
配方,得x2+10x+52=8+52,
即(x+5)2=33,
所以x+5=±
所以x1=-5+,x2=-5-
點評:配方的關鍵是方程兩邊加上一次項系數的平方的一半.
例2
用配方法解方程-x2+x+2=0。
分析：觀察方程的特點可知，二次項的系數不為1，可在方程的兩邊同乘除-2，將二次項的系數化為1，然后再配方求解。
解：化二次項系數為1，得x2-2x-4=0，
移項，得x2-2x=4，
方程的兩邊都加上一次項系數一半的平方，得x2-2x+1=4+1，
即(x-1)2=5,
所以x-1=,
所以x1=1+,x2=1-.
點評:本題求接的關鍵是將二次項系數化為1.
3.
親自嘗試
(1)
用配方法解方程2x2-12x-182=0.
(2)
用配方法解方程x(x+4)=8x+12.
答案:
(1)
x1=13,x2=-7;
(2)
x1=6,x2=-2.
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1專題練習：一元二次方程根與系數的關系
知識考點：
掌握一元二次方程根與系數的關系，并會根據條件和根與系數的關系不解方程確定相關的方程和未知的系數值。
經典例題：
【例1】關于的方程的一個根是－2，則方程的另一根是
；＝
。
分析：設另一根為，由根與系數的關系可建立關于和的方程組，解之即得。
答案：，－1
【例2】、是方程的兩個根，不解方程，求下列代數式的值：
（1）
（2）
（3）
略解：（1）＝＝
（2）＝＝
（3）原式＝＝＝
【例3】已知關于的方程有兩個實數根，并且這兩個根的平方和比這兩個根的積大16，求的值。
分析：有實數根，則△≥0，且，聯立解得的值。
略解：依題意有：
由①②③解得：或，又由④可知≥
∴舍去，故
探索與創新：
【問題一】已知、是關于的一元二次方程的兩個非零實數根，問：與能否同號？若能同號請求出相應的的取值范圍；若不能同號，請說明理由。
略解：由≥0得≤。，≥0
∴與可能同號，分兩種情況討論：
（1）若＞0，＞0，則，解得＜1且≠0
∴≤且≠0
（2）若＜0，＜0，則，解得＞1與≤相矛盾
綜上所述：當≤且≠0時，方程的兩根同號。
【問題二】已知、是一元二次方程的兩個實數根。
（1）是否存在實數，使成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由。
（2）求使的值為整數的實數的整數值。
略解：（1）由≠0和△≥0＜0
∵，
∴
∴，而＜0
∴不存在。
（2）＝＝，要使的值為整數，而為整數，只能取±1、±2、±4，又＜0
∴存在整數的值為－2、－3、－5
跟蹤訓練：
一、填空題：
1、設、是方程的兩根，則①＝
；②
＝
；③＝
。
2、以方程的兩根的倒數為根的一元二次方程是
。
3、已知方程的兩實根差的平方為144，則＝
。
4、已知方程的一個根是1，則它的另一個根是
，的值是
。
5、反比例函數的圖象經過點P（、），其中、是一元二次方程
的兩根，那么點P的坐標是
。
6、已知、是方程的兩根，則的值為
。
二、選擇題：
1、如果方程的兩個實根互為相反數，那么的值為（
）
A、0
B、－1
C、1
D、±1
2、已知≠0，方程的系數滿足，則方程的兩根之比為（
）
A、0∶1
B、1∶1
C、1∶2
D、2∶3
3、已知兩圓的半徑恰為方程的兩根，圓心距為，則這兩個圓的外公切線有（
）
A、0條
B、1條
C、2條
D、3條
4、已知，在△ABC中，∠C＝900，斜邊長，兩直角邊的長分別是關于的方程：的兩個根，則△ABC的內切圓面積是（
）
A、
B、
C、
D、
5、菱形ABCD的邊長是5，兩條對角線交于O點，且AO、BO的長分別是關于的方程：的根，則的值為（
）
A、－3
B、5
C、5或－3
D、－5或3
三、解答題：
1、證明：方程無整數根。
2、已知關于的方程的兩個實數根的倒數和等于3，關于的方程有實根，且為正整數，求代數式的值。
3、已知關于的方程……①有兩個不相等的實數根，且關于的方程……②沒有實數根，問：取什么整數時，方程①有整數解？
4、已知關于的方程
（1）當取何值時，方程有兩個不相等的實數根？
（2）設、是方程的兩根，且，求的值。
5、已知關于的方程只有整數根，且關于的一元二次方程的兩個實數根為、。
（1）當為整數時，確定的值。
（2）在（1）的條件下，若＝2，求的值。
6、已知、是關于的一元二次方程的兩個非零實根，問：、能否同號？若能同號，請求出相應的取值范圍；若不能同號，請說明理由。
參考答案
一、填空題：
1、①2；②；③7；
2、；3、±18；
4、2，2；
5、（－2，－2）
6、43；
二、選擇題：ABCDA
三、解答題：
1、略證：假設原方程有整數根，由可得、均為整數根，
∵
∴、均為奇數
但應為偶數，這與相矛盾。
2、，
3、
4、（1）；（2）
5、（1）＝0，－1；（2）當＝0時，；當時，
6、能同號，≤且≠0
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5配方法的幾何解釋
課本中，我們利用了配方法解一元二次方程．實際上，配方法不僅可以用來解一元二次方程，在其他方面還有很多應用．
配方法，顧名思義，就是利用添項或拆項的方法，結合已有項，構造完全平方式．回顧以往知識，我們曾經利用圖形面積驗證完全平方公式，那么，能否也用圖形面積解釋配方法解方程的過程呢？
下面我們用幾何方法來求方程x2＋10x＝39的解，把x2＋10x解釋為右圖中多邊形ABCDEF的面積，為了求出x，我們考慮把這塊圖形補成一個正方形，為此必須補上正方形DCGE．從圖中可以看出，正方形DCGE的面積為52（它恰好等于原方程中一次項系數一半的平方），由于整個正方形的面積為39＋25＝64，可知這個正方形的邊長為8，又由圖形可知邊長為x＋5，故x＝3．
這里，我們直觀地看到了配方的幾何意義．但求得的解是不完備的，你發現問題了嗎？對了，受幾何圖形的限制，我們只能求出方程的正數解．
B
A
C
D
E
F
G
5
x
x
5
52
x2
5x
5x
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www.配方法重點講解
一、何謂配方法
配方法就是將一個一元二次方程通過配方，將其轉化為的形式，當時，即可運用直接開平方法求得一元二次方程的解。
配方法不僅是解一元二次方程的一個重要且基本的方法，而且在數學的其他領域也有著廣泛的應用。
二、配方法的理論依據
配方法的理論依據是完全平方公式：。用代替公式中的，則有。
應用時要注意等號左右兩邊的特征：左邊是關于的二次三項式，且二次項的系數為1，常數項等于一次項系數一半的平方，即。
三、注意事項
在把二次三項式中二次項的系數化為1和常數項化為平方形式時，要時刻注意保持恒等變形。
四、應用舉例
例1
證明關于的方程，不論為何值，該方程都是一元二次方程。
證明：。
，。
不論為何值，都有。
不論為何值，關于的方程都是一元二次方程。
說明：⑴在解形如把配方的這類問題時，需要注意：將二次項的系數化為1時，應根據乘法的分配律各項都提出2，而不是將各項都除以2。提出2是恒等變形，原式的值沒有改變；都除以2是運算變形，原式的值改變了。⑵對二次項系數為1的二次三項式配方時，需要加上“一次項系數一半的平方”。但要注意：為了使代數式的值不變，必須再減去這個“一次項系數一半的平方。”
例2
用配方法解下列方程：
⑴；⑵。
分析：方程⑴的系數已經是1，所以直接移項、配方、求解即可；方程⑵則需要先將二次項的系數化為1。
解：⑴移項，得。
配方，得，即。
。，。
⑵請同學們完成。答案：，。
說明：⑴系數化為1是用配方法解一元二次方程的首要步驟，要保證其正確性；
⑵配方法解一元二次方程的關鍵步驟是：方程左右兩邊都加上一次項系數一半的平方。
⑶一次項系數的符號決定了方程左邊的完全平方式中，是兩數差的平方還是兩數和的平方。
例3
已知，求的值。
分析：仔細觀察方程左邊代數式的特征，可以發現，通過配方可將原式化為兩個非負數之和為0的形式，然后根據非負數的性質來解答。
解：原式可化為，即。
，，。
例4
若，求關于的一元二次方程的解。
分析：因為二次項的系數中含有字母，又已知該方程為一元二次方程，所以求解時應注意使二次項的系數不為0。
解：，。
又該方程為一元二次方程，，，。
原方程可化為。化簡，得。配方，得。
，，，。
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1怎樣利用因式分解法解一元二次方程
？
答案：
當把一元二次方程的一邊化為0，而另一邊可以分解成兩個一次因式的積時，就可以用因式分解法來解這個方程。要清楚使乘積ab=0的條件是a=0或b=0。
【舉一反三】
典例：解方程
1.x2－25=0
2.(x+1)2=(2x－1)2
3.x2－2x+1=4
4.x2=4x
思路導引：一般來說，此類問題應先轉化為一般式，再進行因式分解。
1.解：(x+5)(x－5)=0
∴x+5=0或x－5=0
∴x1=5,x2=－5
2.解：(x+1)2－(2x－1)2=0
(x+1+2x－1)(x+1－2x+1)=0
∴3x=0或－x+2=0，∴x1=0,x2=2
3.解：x2－2x－3=0
(x－3)(x+1)=0
∴x－3=0或x+1=0，
∴x1=3,x2=－1
4.解：x2－4x=0
x(x－4)=0
∴x=0或x－4=0，
∴x1=0,x2=4
標準答案：（1）x1=5,x2=－5（2）x1=0,x2=2（3）x1=3,x2=－1（4）x1=0,x2=4
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www.韋達與韋達定理
數學在許多人眼里是很抽象、復雜的，但在這些復雜現象的背后卻往往有著非常和諧、自然的規律，如果能更多地理解和掌握這些規律，就會對數學有更深刻的認識。很多迷戀數學的人就是被數學的這一特點所吸引，韋達便是其中的一員。
韋達于1540年生于法國普瓦圖地區，1560年就讀于法國普瓦圖大學，是大學法律系的畢業生。畢業后長期從事法律工作，一直到1603年去世，數學始終是韋達的業余愛好，并且達到了酷愛的程度。
韋達研究二次方程時，已經注意到，如果一次項的系數是兩個數之和的相反數，而常數項是這兩個數的乘積，則這兩個數就是這個方程的根。由于時代的局限，他當時沒能從理論上證明它，但他的數學思想和他的數學著作都大大充實了數學寶庫。1615年(此時，韋達已逝世12年，這些著作是由后人整理的)發表的韋達的著作《論方程的整數與修正》是一部方程論的專著，書中對一元三次方程、一元四次方程的解法做出了改進，并揭示了方程根與系數的關系。其中不僅包括一元二次方程的根與系數的關系，還包含了一元n次方程根與系數的關系：
　　如果一元n次方程anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=0的n個根是x1,
x2,
…,
xn,
那么
　　
　　人們為了紀念他，把這個關系稱為“韋達定理”。
　　一元二次方程根與系數的關系，就是上述定理在n=2時的情況。
下面是關于韋達的兩則趣事。
與羅門的較量：比利時的數學家羅門曾提出一個45次方程的問題向各國數學家挑戰。法國國王便把該問題交給了韋達，韋達當時就得出一解，回家后一鼓作氣，很快又得出了22解。答案公布，震驚了數學界。韋達又回敬了羅門一個問題。羅門苦思冥想數日方才解出，而韋達卻輕而易舉地作了出來，為祖國爭得了榮譽，他的數學造詣由此可見一斑。
韋達的“魔法”：在法國和西班牙的戰爭中，法國人對于西班牙的軍事動態總是了如指掌，在軍事上總能先發制人，因而不到兩年功夫就打敗了西班牙。可憐西班牙的國王對法國人在戰爭中的“未卜先知”十分惱火又無法理解，認為是法國人使用了“魔法”。原來，是韋達利用自己精湛的數學方法，成功地破譯了西班牙的軍事密碼，為他的祖國贏得了戰爭的主動權。另外，韋達還設計并改進了歷法。所有這些都體現了韋達作為大數學家的深厚功底。
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1邑方幾何
在《九章算術》“勾股”章中有這樣一個問題：
“今有邑方不知大小，各中開門。出北門二十步有木。出南門十四步，折而西行一千七百七十五步見木。問邑方幾何。”
題目大意是：有一方城，四邊正中各有一門，距北門20步處有一樹木。出南門南行14步，再轉向西行1775步，剛好看到樹木。求方城邊長。
A
D
H
G
E
K
F
B
C
圖中HA=20步，KC=14步，CB=1775步，求FG
設FG=x
根據題意，RtAHD∽RtACB
因此有
即
x2+34x-71000=0
解得x1=250,
x2=-284(不合，舍去)
所以方城的邊長為250步。
從上面可以看到其實此題是一個可化為一元二次方程的分式方程的求解問題。解可化為一元二次方程的分式方程的方法，與解可化為一元一次方程的分式方程的方法是相同的。通常是先去分母化為一元二次方程，然后再解出原方程的根。
下面是大數學家歐拉的《代數引論》里的一個有趣的題目，你能解決嗎
？
兩個農婦共帶100個雞蛋上市。兩人所帶雞蛋個數不等，但賣得的錢數相同。第一個農婦對第二個農婦說：“如果咱們兩人的雞蛋交換，我可以賣15個克羅索（德國古代的一種貨幣）。”第二個農婦答道：“可是如果咱們倆的雞蛋交換，我就只能賣得20/3個克羅索。”試問：這兩個農婦各帶了多少個雞蛋
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-怎樣討論一個整式方程是否是一元二次方程？
答案：
一元二次方程有三個特點：(1)只含有一個未知數；(2)未知數的最高次數是2；(3)是整式方程．如果不是一般形式，則化為一般形式進行討論。
【舉一反三】
典例：關于x的整式方程(m－1)x2＋(2m－1)x＋4＝0是一元二次方程嗎
思路導引：一般來說，要判別原方程是否是一元二次方程，易想到用定義，滿足條件：(1)整式方程；(2)方程中只含有一個未知數；(3)未知數的最高次數2．原方程顯然滿足(1)、(2)．由于不知m是怎樣的實數，所以不一定滿足(3)．因此，需分類探討．當m－1≠0，即m≠1時，原方程是一元二次方程．當m－1＝0，即m＝1時，原方程是x＋4＝0是一元一次方程．
標準答案：當m≠1時，原方程是一元二次方程．當m＝1時，是一元一次方程。
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www.如何
“變形換元”配方？
答案：

解較為復雜的一元二次方程時，可用一個未知數代替方程中的一個整式，將原方程轉化為一個較簡單的一元二次方程，再求解。
【舉一反三】
典例：用配方法解方程（6x+7）2（3x+4）（x+1）=6
思路導引：一般來說，此類問題需要變形換元。因為如果展開（6x+7）2，那么方程就變得很復雜，如果把（6x+7）看為一個數y，那么（6x+7）2=y2，其它的3x+4=（6x+7）+，x+1=（6x+7）-，因此，方程就轉化為y的方程，像這樣的轉化，我們把它稱為換元法．設6x+7=y，則3x+4=y+，x+1=y-，依題意，得：y2（y+）（y-）=6，去分母，得：y2（y+1）（y-1）=72，y2（y2-1）=72，
y4-y2=72，y2-）2=，y2-=±，
y2=9或y2=-8（舍），
∴y=±3，當y=3時，6x+7=3
6x=-4
x=-；當y=-3時，6x+7=-3
6x=-10
x=-，所以，原方程的根為x1=-，x2=-。
標準答案：原方程的根為x1=-，x2=-
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www.用公式法、分解因式法解方程的誤區
公式法、分解因式法是解一元二次方程的兩種重要的方法，熟練掌握這兩種方法非常重要.為了幫助你學好這兩種解法，現就解題中易出現的錯誤分析如下：
一、應用公式法時，忽視a、b、c的符號.
例1
解方程2x2-6x=1.
錯解：因為a=2，b=6，c=1，
所以b2-4ac=36-8=28>0，
所以x1=，
x2=.
所以方程的解為x1=，x2=.
分析：錯解在運用公式法解一元二次方程時，將b、c的符號搞錯.用公式法解一元二次方程，先將方程化為一般形式，然后再確定a、b、c的值，最后代入求根公式.
正解：將方程化為一般形式為：2x2-6x=1=0，
這里a=2，b=-6，c=-1，
b2-4ac=(-6)2-4×1×(-1)=40，
所以x1=，x2=.
提示：一元二次方程是解決實際問題中的一種重要的工具，而解方程又是本章的一個重要組成部分，是列一元二次方程解實際的基礎，應熟練理解其解法，避免出現解題過程中的錯誤.
二、理解不透，公式用錯
例2
解方程2x2-3x=2.
錯解：因為a=2，b=-3，c=-2，
所以x=，所以x1=1，x2=-4.
剖析：利用公式法解一元二次方程，要熟練掌握公式的特征，錯解沒有理解公式的特征，當b=-3時，出現了-b=-3的錯誤，且分母中的2a，當a=2時，2a=4，而錯解等于2了.
正解：a=2，b=-3，c=-2，
所以x1==2，x2=
提示：利用公式法解方程的關鍵是正確找出a、b、c的值，且熟練把握公式的特征.
三、解法混淆，求解不當
例3
解方程(2x-1)(3x+2)=1.
錯解：
由方程，得2x-1=1或3x+2=1，解得x1=1，x2=-.
剖析：
錯解在對分解因式法解決一元二次方程理解不對.用分解因式法解一元二次方程，右邊必須為0，左邊是兩個一次因式積的形式.而已知方程是右邊是1.本題要將方程化為一般形式，然后選擇恰當的解法.
正解：方程化為6x2+x-3=0，
利用公式，得x1=，x2=.
提示：
解一元二次方程的基本方法有三種，根據方程的不同特點可選擇恰當的方法.無論用哪種方法求解，最好把求到的解代入原方程檢驗一下，這樣可以避免錯誤.
四、違背性質
出現失根
例4
解方程2x(x-3)=3(x-3).
錯解：方程兩邊都除以x-3，得2x=3，所以x=，即原方程的解為x=.
剖析：我們知道一元二次方程若有實數根，則實數根有兩個.錯解在解方程兩邊同除以含有未知數的整式.求到方程的一個根，造成失根現象.
正解：
方程化為(x-3)(2x-3)=0，解得x1=3，x2=.
提示：一元二次方程的根一般分三種情況：
(1)有兩個不相等的實數根；
(2)有兩個相等的實數根；
(3)沒有實數根.當求到一個實數根時，應考慮可能出現失掉一個根.
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1應用例析：一元二次方程根與系數的關系
對于一元二次方程，當判別式△＝時，其求根公式為：；若兩根為，當△≥0時，則兩根的關系為：；，根與系數的這種關系又稱為韋達定理；它的逆定理也是成立的，即當，時，那么則是的兩根。一元二次方程的根與系數的關系，綜合性強，應用極為廣泛，在中學數學中占有極重要的地位，也是數學學習中的重點。學習中，老師除了要求同學們應用韋達定理解答一些變式題目外，還常常要求同學們熟記一元二次方程根的判別式存在的三種情況，以及應用求根公式求出方程的兩個根，進而分解因式，即。下面就對應用韋達定理可能出現的問題舉例做些分析，希望能給同學們帶來小小的幫助。
一、根據判別式，討論一元二次方程的根。
例1：已知關于的方程（1）有兩個不相等的實數根，且關于的方程（2）沒有實數根，問取什么整數時，方程（1）有整數解？
　　分析：在同時滿足方程（1），（2）條件的的取值范圍中篩選符合條件的的整數值。
　解：∵方程（1）有兩個不相等的實數根，
∴
解得；
∵方程（2）沒有實數根，
∴
解得；
于是，同時滿足方程（1），（2）條件的的取值范圍是
其中，的整數值有或
當時，方程（1）為，無整數根；
當時，方程（1）為，有整數根。
解得：
所以，使方程（1）有整數根的的整數值是。
　　說明：熟悉一元二次方程實數根存在條件是解答此題的基礎，正確確定的取值范圍，并依靠熟練的解不等式的基本技能和一定的邏輯推理，從而篩選出，這也正是解答本題的基本技巧。
二、判別一元二次方程兩根的符號。
　　例1：不解方程，判別方程兩根的符號。
　　分析：對于來說，往往二次項系數，一次項系數，常數項皆為已知，可據此求出根的判別式△，但△只能用于判定根的存在與否，若判定根的正負，則需要確定
或的正負情況。因此解答此題的關鍵是：既要求出判別式的值，又要確定
或的正負情況。
解：∵，∴△＝—4×2×(—7)＝65＞0
∴方程有兩個不相等的實數根。
設方程的兩個根為，
∵＜0
∴原方程有兩個異號的實數根。
說明：判別根的符號，需要把“根的判別式”和“根與系數的關系”結合起來進行確定，另外由于本題中＜0，所以可判定方程的根為一正一負；倘若＞0，仍需考慮的正負，方可判別方程是兩個正根還是兩個負根。
三、已知一元二次方程的一個根，求出另一個根以及字母系數的值。
　
例2：已知方程的一個根為2，求另一個根及的值。
　　分析：此題通常有兩種解法：一是根據方程根的定義，把代入原方程，先求出的值，再通過解方程辦法求出另一個根；二是利用一元二次方程的根與系數的關系求出另一個根及的值。
　　解法一：把代入原方程，得：
　　
　　即
　　解得
　　當時，原方程均可化為：
　　，
　　解得：
　　∴方程的另一個根為4，的值為3或—1。
　　解法二：設方程的另一個根為，
根據題意，利用韋達定理得：
，
∵，∴把代入，可得：
∴把代入，可得：
，
即
解得
∴方程的另一個根為4，的值為3或—1。
說明：比較起來，解法二應用了韋達定理，解答起來較為簡單。
例3：已知方程有兩個實數根，且兩個根的平方和比兩根的積大21，求的值。
分析：本題若利用轉化的思想，將等量關系“兩個根的平方和比兩根的積大21”轉化為關于的方程，即可求得的值。
解：∵方程有兩個實數根，
　　∴△
　　解這個不等式，得≤0
　　設方程兩根為
　　則，
　　∵
　　∴
　　∴
　　整理得：
　　解得：
　　又∵，∴
說明：當求出后，還需注意隱含條件，應舍去不合題意的。
四、運用判別式及根與系數的關系解題。
　　例5：已知、是關于的一元二次方程的兩個非零實數根，問和能否同號？若能同號，請求出相應的的取值范圍；若不能同號，請說明理由，
　　解：因為關于的一元二次方程有兩個非零實數根，
∴則有
∴
又∵、是方程的兩個實數根，所以由一元二次方程根與系數的關系，可得：
假設、同號，則有兩種可能：
（1）
（2）
若，
則有：
；
即有：
解這個不等式組，得
∵時方程才有實樹根，∴此種情況不成立。
若
，
則有：
即有：
解這個不等式組，得；
又∵，∴當時，兩根能同號
說明：一元二次方程根與系數的關系深刻揭示了一元二次方程中根與系數的內在聯系，是分析研究有關一元二次方程根的問題的重要工具，也是計算有關一元二次方程根的計算問題的重要工具。知識的運用方法靈活多樣，是設計考察創新能力試題的良好載體，在中考中與此有聯系的試題出現頻率很高，應是同學們重點練習的內容。
六、運用一元二次方程根的意義及根與系數的關系解題。
例：已知、是方程的兩個實數根，求的值。
分析：本題可充分運用根的意義和根與系數的關系解題，應摒棄常規的求根后，再帶入的方法，力求簡解。
解法一：由于是方程的實數根，所以
設，與相加，得：
）
（變形目的是構造和）
根據根與系數的關系，有：
，
于是，得：
∴=0
解法二：由于、是方程的實數根，
∴
∴
說明：既要熟悉問題的常規解法，也要隨時想到特殊的簡捷解法，是解題能力提高的重要標志，是努力的方向。
　　有關一元二次方程根的計算問題，當根是無理數時，運算將十分繁瑣，這時，如果方程的系數是有理數，利用根與系數的關系解題可起到化難為易、化繁為簡的作用。這類問題在解法上靈活多變，式子的變形具有創造性，重在考查能力，多年來一直受到命題老師的青睞。
七、運用一元二次方程根的意義及判別式解題。
例8：已知兩方程和至少有一個相同的實數根，求這兩個方程的四個實數根的乘積。
分析：當設兩方程的相同根為時，根據根的意義，可以構成關于和的二元方程組，得解后再由根與系數的關系求值。
解：設兩方程的相同根為，
根據根的意義，
有
兩式相減，得
當時，
，方程的判別式
方程無實數解
當時，
有實數解
代入原方程，得，
所以
于是，兩方程至少有一個相同的實數根，4個實數根的相乘積為
說明：（1）本題的易錯點為忽略對的討論和判別式的作用，常常除了犯有默認的錯誤，甚至還會得出并不存在的解：
當時，，兩方程相同，方程的另一根也相同，所以4個根的相乘積為：；
（2）既然本題是討論一元二次方程的實根問題，就應首先確定方程有實根的條件：
且
另外還應注意：求得的的值必須滿足這兩個不等式才有意義。
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2用配方法解一元二次方程的一般步驟是什么？
答案：
用配方法解已化成一般形式的一元二次方程的一般步驟是：(1)將方程的兩邊都除以二次項的系數，把方程的二次項系數化成1；(2)將常數項移到方程右邊；(3)方程兩邊都加上一次項系數一半的平方；(4)當右邊是非負數時，用直接開平方法求出方程的根．
【舉一反三】
典例：用配方法解方程x2-2x-8=0;
思路導引：一般來說，通過配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫作配方法；配方的目的是為了降次，把一元二次方程轉化為兩個一元一次方程.移項，得x2-2x=8,x2-2x+1=9,配方，得(x-1)2=9.解這個方程，得x-1=±3,
即x1=4,x2=-2.
標準答案：x1=4,x2=-2.
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1
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www.配方法學習問答
甲：配方法是一種什么方法？
乙：配方法是運用配方進行解題的方法．
甲：配方是怎么一回事？是不是象醫藥師把幾種藥配成一個方子？
乙：不！配方，顧名思義，這里的方是指平方，配方就是要把一個式子配成完全平方的形式，其做法和醫藥師搭配藥方的確有點類似，你知道醫藥師是如何配方的嗎？
甲：我只知道他是將幾味可以搭配的中草藥湊合在一起．
乙：醫藥師配方時就是把幾味可以搭配的草藥湊合在一起，形成了一個方子．在我們數學中的配方也是要把幾個可以搭配的式子湊合在一起，形成一個完全平方．
甲：能不能舉個例子？
乙：例如，在多項式中，你說哪幾項可以搭配成完全平方式？
甲：第一、三、四項吧？
乙：正是這三項，把它們搭配在一起，變為．然后把括號內這三項配成完全平方，又變成了，這就是配方．
甲：配方的關鍵是什么呢？
乙：配方的關鍵是找出可以搭配成方的三項，然后運用完全平方公式把它們配成．
甲：對于，如何找出可以搭配成方的三項呢？
乙：這三項直接搭配顯然不成方是吧？
甲：是啊，我也這樣想的，那該怎么辦呢？
乙：如果把1換作9那怎么樣？
甲：把1換作9，這三項就是，它們恰好等于，太妙了！可這里是1而不是9呀？
乙：天上要是掉下個9那又如何？
甲：天上要是掉下個9，此時變成了，再把第一、二、四項搭配組成，然后配成，那可真是天助我也！但此時……
乙：此時怎么樣？
甲：不大合適吧？
乙：為什么？
甲：與原式不相等呀？
乙：對！配方追求的是公正、公平、平等的完美變形，象這種與原式不相等的變形不能稱之為配方．那你想一想：如何讓與原式相等呢？
甲：比多了個9．啊！對了，只須再把減去9就可以了．
乙：對極了．你能不能把這個配方過程寫出來？
甲：沒問題，你看：
＝＝．
乙：很好！現在你對配方還有什么問題嗎？
甲：我想這一題還有另一種配法？
乙：還有新的配法？你說說看．
甲：你看：
＝．
乙：錯了！
甲：怎么會呢？
乙：看來你對配方還沒有真正的理解．配方一般是對二次三項式而言的，把寫成這種形式才叫做配方．這里的是常數．
甲：不也是這種形式嗎？
乙：形式沒有錯，可這里的卻不是常數．
甲：你是說配方后，帶平方后面那個尾巴不能帶字母？
乙：是的．
甲：那象如何配方呢？
乙：這已經是配方的形式了．
甲：它怎么和你說的這種形式不同呢？
乙：你說哪里不同？
甲：這種形式帶有括號，而卻沒有．
乙：你如果喜歡它帶括號就讓它帶上嘛，你看：，這不是一樣嗎？
甲：啊，原來如此．對于一般的二次三項式的配方，可有公式能夠套用？
乙：有．我們只須把系數的值代入中進行計算就得到的配方形式．
甲：這個公式是怎么推出來的？
乙：有兩種辦法．第一：
＝
＝
＝
＝．
甲：這種推導太復雜了，有沒有簡單一點的？
乙：你看：
．
是不是簡單些？
甲：的確簡單些．可還是復雜．你能不能告訴我配方的要領？不然這兩個公式太難記了．
乙：是的．這兩個公式的確不好記．我建議你去讀一讀《甲乙對話配方法和求根公式》那篇文章，讀后也許就明白了．
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1如何根據一元二次方程的根求值？
答案：
方程的根是能使方程兩邊相等的未知數的值，即把根代入原方程，則方程兩邊相等。
【舉一反三】
典例：若x=1是關于x的一元二次方程a
x2+bx+c=0(a≠0)的一個根,求代數式2011a+b+c的值
思路導引：一般來說，如果一個數是方
( http: / / www.21cnjy.com )程的根,那么把該數代入方程,一定能使左右兩邊相等,這種解決問題的思維方法經常用到。把x=1代入到原方程中得a+b+c=0，2011a+b+c=20110=1
標準答案：1什么是一元二次方程？
答案：
在一個等式中，只含有一個未知數，且未知數的最高次數是2的整式方程叫做一元二次方程。
【舉一反三】
典例：指出下列方程中哪些是一元二次方程：
(1)5x2＋6＝3x(2x＋1)；(2)8x2＝x；(3)y3－y－1＝0；
(4)4x2－3y＝0；(5)－x2＝0；(6)x(5x－1)＝x(x＋3)＋4x2．
思路導引：一般來說，判斷一個方
( http: / / www.21cnjy.com )程是不是一元二次方程，首先要對方程進行整理，化成一般形式，然后再根據條件：①整式方程；②只含有一個未知數；③未知數的最高次數為2．只有當這三個條件缺一不可時，才能判斷為一元二次方程．
解：(1)去括號，得5x2＋6＝6x2＋3x，移項、合并同類項，得x2＋3x－6＝0，
∴此方程是一元二次方程．
(2)移項，得8x2－x＝0，∴此方程是一元二次方程．
(3)因為未知數的最高次數是3，∴此方程不是一元二次方程．
(4)∵方程中含有兩個未知數，∴它不是一元二次方程．
(5)∵a＝－1≠0，∴它是一元二次方程．
(6)整理，得4x＝0，∴它不是一元二次方程．
標準答案：（1）（2）（5）是一元二次方程，（3）（4）（6）不是一元二次方程。4
用因式分解法求解一元二次方程
閱讀資料庫：
故事:追求忘我
不要把自己當作鼠，否則肯定被貓吃。
１８５８年，瑞典的一個富豪人家生下了一個女兒。然而不久，
孩子染患了一種無法解釋的癱瘓癥，喪失了走路的能力。一次，女孩和家人一起乘船旅行。船長的太太給孩子講船長有一只天堂鳥，她被這只鳥的描述迷住了，極想親自看一看。于是保姆把孩子留在甲板上，自己去找船長。孩子耐不住性子等待，她要求船上的服務生立即帶她去看天堂鳥。那服務生不知道她的腿不能走路，而只顧帶著她一道去看那只美麗的小鳥。奇跡發生了，孩子因為過度地渴望，竟忘我地拉住服務生的手，慢慢地走了起來。從此，孩子的病便痊愈了。女孩子長大后，又忘我地投入到文學創作中，最后成為第一位獲諾貝爾文學獎的女性，也就是茜爾瑪．拉格蘿芙。
溫馨提示：忘我是走向成功的一條捷徑，只是在這種壞境中，人才會超越自身的束縛，釋放出最大的能量。
(二)今天，教師應該怎樣上課
我認為，教師主要應具備三種能力，即更新自我的能力、教會學生學習的能力和科學評價學生的能力。這三種能力都會集中表現在課堂教學中。今天，我們教師應該怎樣上課？應該怎樣使教師的能力在課堂教學中有效地發揮出來？應該怎樣評價教師的課堂教學？下面，我從教學管理的角度，談談我的認識，供教育管理者評價教師課堂教學工作時參考。
一、課堂教學要有“三聲”
課堂是教師工作、學生學習的主陣地，怎樣構建高效課堂，怎樣提高課堂教學質量，是每一名教師所追求的基本目標。有一次，我問一位很優秀的教師：“你上課成功的最大秘訣是什么？”那位教師告訴我：“課堂教學中，當我的心與學生的心融在了一起，教學肯定成功！”這位教師的話對我們很有啟發，課堂教學的效率，實際上就表現在教師“用心”教和學生“用心”學上。師生之心相融，才能實實在在地獲得教學的成功。
在課堂教學中，怎樣做到師生心心相融呢？我提倡，課堂教學要有“三聲”：
1、課堂教學中要有“笑聲”
我們有些教師上課，嚴肅有余，活潑不夠。課堂“火藥”味太濃。課堂上教師老繃著臉，想用嚴厲來鎮住學生。有時課堂上會出現斥責聲、挖苦聲，甚至出現哭聲（不是感動）。可想而知，這樣的課堂，教學活動只會停滯或低效。課堂教學中要有“笑聲”，我們要懂得，師生之笑能舒緩緊張情緒，激發師生教學的積極心態，形成和諧的教學氛圍。教師要樹立歡樂課堂的觀念，使課堂有教學內容引發的笑聲；有教學情境設置引發的笑聲；有教師幽默語言引發的笑聲；有學生機敏語言動作引發的笑聲。。。。。。有笑聲的課堂，師生關系和諧，學生注意力集中，學生學習參與度更大。我認為，每一節課，教師至少要讓學生笑一次。心理學研究證明，人在快樂中學習，學習更主動，接受知識更快。有笑聲的課堂教學，教學效率會更高。
2、課堂教學中要有“贊美聲”
我們有些教師上課，習慣于做“糾錯”的工作（這也是必要的）,教學中經常出現“批評聲”、“嘆息聲”，這樣容易造成學生“無聲”。其實，課堂就是學生出錯的地方，教師要允許學生出錯，如果沒有錯，那就不需要教學了。教學中，我們要改變那種一味批評糾錯的方式，用激勵贊揚之聲來促使師生進入教學的積極興奮狀態。課堂教學中要有“贊美聲”，教學中要有師生對教學內容的贊美；要有教師對學生學習進步和取得成績的贊美；要有學生對教師精湛教學技藝的贊美；要有學生對學生學習創新的贊美……這些“贊美”，催發師生學習進取精神，激活師生沉淀的潛力，提高師生的美感品位。這樣教學，使教學的內涵更加豐富，師生教學互動更為融洽，必將提高教學的有效性。
3、課堂教學中要有“驚訝聲”
我們有些教師上課，比較注重教學任務按部就班地完成，但教學沒有特點，少有亮點。有的教師只強調學生的機械記憶（對某些知識是必需的），容易使學生產生學習上的“枯燥感”，學習缺乏激情。課堂教學中要有“驚訝聲”，我們要明白，每一教學內容必有令學生“驚訝之處”。這要看教師是否能夠挖掘教學內容并巧妙設置情景。教師本身也能呈現“驚訝之舉”，這要看教師是否具有較高的素質并拿出教學絕活。“好奇”是孩子們的天性，課堂教學要激發學生的驚奇感，要引發學生的驚訝聲。這樣的教學，能夠引導學生學習自覺性，培養學生的探索精神，啟迪學生的創新意識。有驚訝聲的課堂，教學質量一定很高。
課堂教學中的“三聲”，能夠拉近教師與學生的距離，使教師與學生心心相通，心心相融。這時的教學定能迸發出成功的火花！
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1學習一元二次方程概念的常見誤點展示
1、判定方程是否為一元二次方程時，忽略a≠0的條件
例1、m為何值時，方程
( http: / / www.21cnjy.com )是關于x的一元二次方程。
錯解：要使方程是關于x的一元二次方程，則x的最高次冪是2，即m2－2=2，解得m=±2，因此，當m=±2時，原方程是關于x的一元二次方程。
剖析：此解犯了顧此失彼的錯誤，沒有考慮二次項系數m+2≠0這一條件，事實上，當m=－2時，原方程為一元一次方程，并非一元二次方程。
正解：要使方程是關于x的一元二次方程，則x的最高次冪是2，且二次項系數不為零，即
( http: / / www.21cnjy.com )解得m=2，因此，當m=2時，原方程是關于x的一元二次方程。
點評：a≠0是一元二次方程一般形式中的一個重要組成部分，因為方程ax2+bx+c=0只有a≠0時，才是一元二次方程。
2、確定一元二次方程各項系數時，不將方程化為一般形式或漏寫符號
例2、確定一元二次方程3x2=5x－1各項的系數。
錯解一：二次項系數為3，一次項系數為5，常數項為－1。
錯解二：將原方程化為3x2－5x
+1=0，所以二次項系數為3，一次項系數為5，常數項為1。
剖析：錯解一是沒有將方程化為一般形式
( http: / / www.21cnjy.com )；錯解二雖然將方程化為了一般形式，但在確定系數時，忽略了前面的“－”，這兩個錯誤都是同學們初學時常犯的錯誤，希引以為戒，杜絕重蹈覆轍。古詩文與一元二次方程
在《九章算術》及其它古代文獻中有很多的方程應用型問題，題的內容來自生活，新穎有趣，有很高的數學價值和欣賞價值．本文列舉幾例供同學們賞析．
例1
《九章算術》“勾股”章有一題：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙東行，甲南行十步而斜東北與乙會．問甲乙行各幾何．”
大意是說：已知甲、乙二人同時從同一地點出發，甲的速度為7，乙的速度為3．乙一直向東走，甲先向南走10步，后又斜向北偏東方向走了一段后與乙相遇．那么相遇時，甲、乙各走了多遠？
解：如圖1所示，設甲、乙二人出發后時相遇，根據題意，得
，其中．
則由勾股定理，得．
解這個方程，得（舍去）．
那么甲走的路程是：（步）；
乙走的路程是：（步）．
例2
《九章算術》“勾股”章有一題：“今有戶高多于廣六尺八寸，兩隅相去適一丈．問戶高、廣各幾何．”
大意是說：已知長方形門的高比寬多6尺8寸，門的對角線長1丈，那么門的高和寬各是多少？
解：如圖2所示，設門的寬為尺，則高為尺，
根據題意，得．
即．
解此方程，得（舍去）．
此時．
所以門高為尺，門寬是尺．
例3
印度古算書中有這樣一首詩：“一群猴子分兩隊，高高興興在游戲，八分之一再平方，蹦蹦跳跳樹林里；其余十二嘰喳喳，伶俐活潑又調皮，告我總數共多少，兩隊猴子在一起．”
大意是說：一群猴子分成兩隊，一隊猴子數是猴子總數的的平方，另一隊猴子數是12，那么猴子總數是多少？你能解決這個問題嗎？
解：設猴子總數為只，根據題意，得，
解此方程，得．
所以，猴子總數為只或只．
下面請欣賞一道借用蘇軾詩詞《念奴嬌·赤壁懷古》的頭兩句改編而成的中考試題（江西贛州），本題強調對古文化詩詞的閱讀理解，貫通了數學的實際應用，不失為一道有創新的應用型好題．
例4
解讀詩詞（通過列方程，算出周瑜去世時的年齡）
大江東去浪淘盡，千古風流數人物，
而立之年督東吳，早逝英年兩位數，
十位恰小個位三，個位平方與壽符，
哪位學子算得快，多少年華屬周瑜？
解：設周瑜去世時年齡的個位數字為，則十位數字為，
根據題意，得，所以．
當時，年齡為，非而立之年，舍去；當時，年齡為，合題意．
點評：在課改春風的吹拂下，中考試題不斷進行創新是一道亮麗的風景線，并且還出現了如上例的文筆靈動的文史背景綜合題，知識的綜合性考查再次得以提升，望同學們仔細體會．
圖2
1丈
甲
乙
北
東
圖1
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2一元二次方程根與系數的關系的5種應用
一元二次方程根與系數的關系的應用是初中數學的重點內容，也是中考必考的熱門內容．與“一元二次方程根與系數的關系”有關的題型形式靈活多樣，常見的形式有下面5種，要求同學們要熟練掌握．
一，已知兩根求作新方程
例1，求一個一元二次方程，使它的兩根為、，且滿足，．
答案：x2+4x+3=0或x2－4x+3=0
解析：由，可得，又因為，所以，，所以此方程為：x2+4x+3=0或x2－4x+3=0
二，已知關于兩根關系式的值，求系數．
例2，如果關于x的方程x2+mx+1=0的兩個根的差為1，那么m等于（　　）
A．±2
B．±
C．±
D．±
答案：C
解析：根據題意，方程的兩根、，滿足－＝１（設＞），所以（－）2＝１2，得．又因為，根據根與系數的關系，
，，所以，所以m=±
三，已知一元二次方程，求兩根關系式的值
例3，已知、是方程的兩個根，那么的值是（　　）
A．1
B．5
C．7
D．
答案：C
解析：根據根與系數的關系，
，，又因為=，所以=7．
四，已知一根，求另一根及系數
例4，已知關于x的一元二次方程x2－(k＋1)
x－6=0的一個根是2，求方程的另一根和k的值．
解析：設方程的另一根為x，由根與系數的關系：2
x=－6，解得
x=－3．
由根與系數的關系：－3+2=
k＋1，所以k=－2.．
五，知兩數和，兩數積，求兩數
例5，已知，兩數和為8，兩數積是7，求這兩數．
答案：1和7
解析，根據根與系數的關系，這兩數是方程-8x+7=0的兩根，
解得，x=1，
x=7，所以這兩數是1和7．
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1中考中的一元二次方程
一元二次方程的有關知識是初中代數中的重點內容，以一元二次方程為背景的中考題更是推陳出新．本文以近年中考試題，將其考點作簡要分析，供同學們學習參考．
考點一、有關概念定義問題
例1
已知是關于的一元二次方程，則有（
）
．
．
．
．為任意實數
解：由一元二次方程的定義知
，即．選．
例2
已知關于的方程的一個根是，則另一個根是
，=
．
簡解：將代入求得，從而求得另一個根為．
評注：
一元二次方程有關概念定義問題通常有兩種情形：一是考查一元二次方程的定義，此時要注意二次項系數這一條件；二是考查一元二次方程根的定義，一般有正用、逆用兩種題型．
考點二、有關方程的解法問題
例3
方程的根是
．
解：(因式分解法)原方程得．
例4
方程的解為
(
)
．
．
．
．
解：(直接開平法)，由原方程得，
．選．
評注：有關方程的解法要求根據方程的特點靈活選用具體方法，講究解法技巧，講究準確、迅速．
考點三、有關根的的判別式問題
例5
下列方程有實數根的是
(
)
．
．
．
．
簡解：通過計算各方程“”的值，選．
例6
已知關于的方程有兩個相等的實數根，求的值．
簡解：由題意，得
．
解得
．
評注：
一元二次方程的根的判別式主要有兩個用途：一是不解方程，判斷方程的根的情況（如例5）；二是利用方程的根的情況，確定方程中某一待定系數的取值范圍（如例6）．
考點四、有關根與系數的關系問題
例7
已知方程的兩根為，求的值．
解：，
∴．
例8
以為根的一元二次方程是
．
解：∵．
．
∴所求作的方程為．
評注：此類考題主要考查根與系數關系的定理及逆定理，并綜合運用代數式恒等變形及配方等到數學思想方法的能力．
考點五、綜合應用問題
例9
某集團公司為適應市場競爭，趕超世界先進水平，每年將銷售總額的8%，作為新產品開發的研究資金，該集團公司2002年投入新產品開發的研究資金是4000萬元，2004年銷售總額是7.2億元，求該集團公司2002年和2004年的年銷售總額的平均增長率．
解：設該公司2002年和2004年的年銷售總額的平均增加率為x．
該公司2002年銷售總額為
4000÷8%=50000(萬元)=5(億元)．
根據題意得5(1+)2=7.2
解得，因為不合題意，所以只取．
答：略．
評注：本題主要考查列方程解應用題的一般步驟及方法，是典型的增長率問題且十分貼近生活．
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13
用公式法求解一元二次方程
閱讀資料庫：
（一）、故事：
斷箭
　　不相信自己的意志，永遠也做不成將軍。
春秋戰國時代，一位父親和他的兒子出征打仗。父親做了將軍，兒子還是馬前卒。又一陣號角吹響，戰鼓雷鳴了，父親莊嚴地拖起一個箭囊，其中插著一只箭。父親正重對兒子說：“這是家襲寶箭，佩帶身邊，力量無窮，但千萬不可抽出來。”
那是一個極其精美的箭囊，厚牛皮打制，鑲著幽幽泛光的銅邊兒，再看露出的箭尾，一眼便能認定用上等的孔雀羽毛制作。兒子喜上眉梢，貪婪地推想箭桿、箭頭的模樣，耳旁仿佛嗖嗖地箭聲掠過，敵方的主帥應聲折馬而斃。
果然，佩帶寶箭的兒子英勇非凡，所向披靡。當鳴金收兵的號角吹響時，兒子再也禁不住得勝的豪氣，完全背棄了父親的叮囑，強類的欲望驅使著他呼地一聲就拔出寶箭，試圖看個究竟，驟然間他驚呆了。一只斷箭，箭囊里裝著一只折斷的箭。“我一直刳著只斷箭打仗呢！”兒子嚇出可一身冷汗，仿佛頃刻間失去支柱的房子，轟然意志坍塌了。結果不言自明，兒子慘死于亂軍之中。
拂開蒙蒙的硝煙，父親揀起那柄斷箭，沉重地啐一口道：“不相信自己的意志，永遠也做不成將軍。”把勝利寄托在一只寶箭上，多么愚蠢，而當一個人把生命的核心與把柄交給別人，又多么危險！
溫馨提示：自己才是一只箭，若要它堅韌，若要它鋒利，若要它百步穿楊，百發百中，磨礪它，拯救它的都只有自己。
（二）、數學家華羅庚
“數學，如音樂一樣，以奇才輩出而著稱，這些人即便沒有受過正規的教育也才華橫溢。雖然華羅庚謙虛地避免使用奇才這個詞，但它卻恰當地描述了這位杰出的中國數學家。”──G·B·Kolata
華羅庚是一個傳奇式的人物，是一個自學成才的數學家。
他1910年11月12日出生于江蘇省金壇縣一個城市貧民的家庭，1985年6月12日，中國數學屆隕滅一顆巨星－華羅庚在日本講學時不幸因心肌梗塞逝世了。
華羅庚是蜚聲中外的數學家。他是中國解析數論、典型群、矩陣幾何學、自守與多復便函數等多方面研究的創始人與開拓者。他的著名學術論文《典型域上的多元復變函數論》，由于應用了前人沒有用過的方法，在數學領域內做了開拓性的工作，于1957年榮獲我國科學一等獎。他研究的成果被國際數學界命名為“華氏定理”，“布勞威爾－加當－華定理”。華羅庚一生精勤不倦，奮斗不息，著作很多，研究領域很廣。他共發表學術論文約二百篇，專著有《堆壘素數論》、《高等數學引論》、《指數和的估計及其在數論中的應用》、《典型群》、《多復變數函數論中的典型域的分析》、《數論引導》、《數值積分及其應用》、《從單位圓談起》、《優選法》、《二階兩個自變數兩個未知函數的常系數偏微分方程》、《華羅庚論文選集》等12部。
陳景潤 （1933－1996）福建福州人，1953年畢業于廈門大學數學系，中國科學院數學研究所研究員。主要從事解析數論方面的研究，并在哥德巴赫猜想研究方面取得國際領先的成果。50年代對高斯圓內格點、球內格點、塔里問題與華林問題作了重要改進。60年代以來對篩法及其有關重要問題作了深入研究，1966年5月證明了命題“1＋2”，將200多年來人們未能解決的哥德巴赫猜想的證明大大推進了一步。這一結果被國際上譽為“陳氏定理”；其后又對此作了改進，將最小素數從原有的80推進到16，深受稱贊。
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1《一元二次方程的根與系數的關系》學習要點
知識要點
1、若一元二次方程中，兩根為，，則，
；補充公式
2、以，為兩根的方程為
3、用韋達定理分解因式
例題
不解方程說出下列方程的兩根和與兩根差：
（1）
（2）
（3）
已知關于的方程，是否存在負數，使方程的兩個實數根的倒數和等于4？若存在，求出滿足條件的的值；若不存在，說明理由。
已知方程，作一個新的一元二次方程，使它的根分別是已知方程各根的平方的倒數。
解方程組
分解因式：
（1）
（2）
練習
在關于的方程中，
（1）當兩根互為相反數時的值；
（2）當一根為零時的值；
（3）當兩根互為倒數時的值。
求出以一元二次方程的兩根的和與兩根的積為根的一元二次方程。
解方程組
分解因式
（1）=
（2）
聰明題
已知一元二次方程的兩個實數根滿足，，，分別是的，，的對邊。
（1）證明方程的兩個根都是正根；
（2）若，求的度數。
在中，，斜邊AB=10，直角邊AC，BC的長是關于的方程的兩個實數根，求的值。
五、韋達定理的應用
1、已知方程的一個根，求另一個根和未知系數
2、求與已知方程的兩個根有關的代數式的值
3、已知方程兩根滿足某種關系，確定方程中字母系數的值
4、已知兩數的和與積，求這兩個數
5、已知方程的兩根x1，x2
，求作一個新的一元二次方程x2
–(x1+x2)
x+
x1x2
=0
6、利用求根公式在實數范圍內分解因式ax2+bx+c
=
a(x－
x1)(x－
x2)
題1：
（1）若關于x的一元二次方程2x2+5x+k=0的一根是另一根的4倍，則k=
_____
（2）已知：a,b是一元二次方程x2+2000x+1=0的兩個根，求：（1+2006a+a2)（1+2005b+b2)=
__________
解法一：（1+2006a+a2)（1+2005b+b2)
=
（1+2000a+a2
+6a)（1+2000b+b2
+5b)
=
6a 5b=30ab
解法二：由題意知
∵
a2
+2000a+1=0；
b2
+2000b+1=0
∴
a2
+1=－
2000a;
b2
+1=－
2000b
∴
（1+2006a+a2)（1+2005b+b2)
=（2006a
－
2000a)（2005b
－
2000b)
=6a 5b=30ab
∵ab=1，
a+b=－200
∴（1+2006a+a2)（1+2005b+b2)
=（ab
+2006a+a2)（
ab
+2005b+b2)
=a(b
+2006+a)
b(
a
+2005+b)
=a(2006－2000)
b(2005－2000)
=30ab
解法三：由題意知
∵
a2
+2000a+1=0；
b2
+2000b+1=0
∴
a2
+1=－
2000a;
b2
+1=－
2000b
∴
（1+2006a+a2)（1+2005b+b2)
=（2006a
－
2000a)（2005b
－
2000b)
=6a 5b=30ab
題2：
已知等腰三角形的兩條邊a,b是方程x2－（k+2）x+2
k
=0的兩個實數根,另
一條邊c=1，求k的值。
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1因式分解法重難點突破
一、會用因式分解法解特殊的一元二次方程
突破建議
1．首先注重課堂的引入，從實際問題出發，貼近學生的生活，激發學生的學習興趣．
2．對于方程的解法給孩子們思考的空間，讓他們從已有的知識出發，用配方法和公式法尋求方程的解，教師不要過于主觀的馬上給出因式分解法，剝奪了孩子思考的空間，使學習過于被動．
3．引導孩子觀察方程的結構，從如果，則有或的結論得到啟發，主動思考解決問題的過程，利用提取公因式的方法可以將方程化為兩個一次項的乘積為零的形式．
4．通過一系列的相互聯系的問題串，將學生零散的思維系統化，通過例題的進一步訓練，學生加深對方法的理解，歸納出因式分解法解一元二次方程的一般步驟，突破難點．
二、學會觀察方程特征，選用適當方法解決一元二次方程
突破建議
例　解下列方程：
（1）；
（2） .

解析：題目（1）學生可能會回答將括號打開，然后利用配方法或公式法，也有些學生會觀察到如果將當作一個整體，利用提取公因式的方法直接就化為兩個一次式乘積為零的形式．
題目（2）的方程需要先進行移項，將方程化為右側等于零的結構，然后得到一個平方差的結構，利用平方差公式將一元二次方程化為兩個一次式的乘積為零的結構．
在解題的過程中，通過對例題的完成，加深學生對解方程方法的理解：
1．學生能夠體會到解一元二次方程的方法是不唯一的．
2．配方法和公式法適用于所有的方程，而因式分解法對并不適用于所有的方程．
3．遇到方程應該注意觀察方程的結構，選擇合理的方法，降低計算量，提高準確性．
4．雖然方法不同，但是三種方法的基本思想都是降次．
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1根據方程特點
選用最佳解法
我們學習了一元二次方程的三種解法：配方法、公式法和因式分解法．這三種方法各有千秋，在解一元二次方程時可根據方程的特點，選用最佳解法．
一、當一元二次方程的二次項系數為1，一次項的系數是偶數時，可考慮使用配方法．
例1　解方程（1）；
（2）．
解：（1）原方程配方得，
即，所以，
所以．
（2）方程化為，
配方，得，即，
所以，所以．
練一練：（1）；（2）．
二、如果一元二次方程缺少常數項，或方程的右邊為0，左邊很容易分解因式，可考慮用因式分解法．
例2
　解方程（1）；
（2）．
解：，所以或，
所以．
（2）方程化為，
即，，
所以，或，所．
練一練:：（1）；
（2）．
三、如果用以上兩種方法都不易求解時，可考慮用公式法求解．
例3
　解方程（1）；
（2）．
解：（1）方程化為，
因為，
所以，
所以，所以，．
（2）方程化為，
這里，
，
所以，所以，．
練一練：解方程（1）；（2）．
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1
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www.配方法的拓展與解析
配方法是對數學式子進行一種定向變形（配成“完全平方”）的技巧，通過配方找到已知和未知的聯系，從而化繁為簡。何時配方，需要我們適當預測，并且合理運用“裂項”與“添項”、“配”與“湊”的技巧，從而完成配方。有時也將其稱為“湊配法”。
最常見的配方是進行恒等變形，使數學式子出現完全平方。配方法的配方依據是二項完全平方公式(a＋b)＝a＋2ab＋b，將這個公式靈活運用，可得到各種基本配方形式，如：
a＋b＝(a＋b)－2ab＝(a－b)＋2ab；
a＋ab＋b＝(a＋b)－ab＝(a－b)＋3ab。
配方法在數學的教與學中有著廣泛的應用。在初中階段它主要適用于：一元二次方程、二次函數、二次代數式的討論與求解。經過幾年的教學實踐發現：很多情況下用配方法解一元二次方程或者求二次函數的頂點坐標要比用公式法簡單實用。
在應用配方法解一元二次方程（ax2+bx+c=0）時有兩種做法：
一種是先移走常數項，然后方程兩邊同時除以二次項的系數，把二次項系數化為1，再兩邊同時加上一次項系數（除以二次項系數后的）一半的平方，把原方程化成(x＋m)=n(n≥0)的形式，再兩邊同時開方，把一元二次方程轉化為一元一次方程。
典型例題：2x2+6x-3=0
解法1：移項得：2x2+6x=3
兩邊同時除以2得：
兩邊同時加得:
所以：
開方得：或
解得：
另一種方法是先移走常數項，然后通過“湊”與“配”進行配方。
解法2：移項得：2x2+6x=3
原方程變為：
即原方程化為：
兩邊同時開方得：或
解得：
與用配方法解一元二次方程不同的是，在用配方法求二次函數的頂點坐標時，要把二次項和一次項看作一個整體，提出（而不是除以）二次項的系數，再進行配方，但配方時與解一元二次方程的配方有所不同。
典型例題2：用配方法求的頂點坐標
解：
=
=
=
=
如上例，用配方法求二次函數頂點坐標時，不是等號兩邊同時加上一次項系數一半的平方，而是在中括號里加上一次項系數一半的平方，但為了保持原有的二次函數不變，必須在中括號里再減去一次項系數一半的平方。這是學生在以后學習用配方法求二次函數頂點坐標時經常與用配方法解一元二次方程相混淆的地方，也是學生經常出錯的地方。
另外配方法在二次代數式的討論與求解中應用也非常廣泛。
典型例題3：用配方法證明:無論x為何實數，代數式的值恒大于零。
與用配方法求二次函數的頂點坐標類似，此題也是把二次項和一次項看作一個整體，并對其進行配方。解法如下:
∵
=
=＞0
∴無論x為何實數，代數式的值恒大于零。
典型例題4：若，求的值。
此題可以運用“裂項”與“湊”的技巧，把-20xy裂成-18xy與-2xy的和，來完成配方，并根據完全平方式為非負數的性質把二元二次方程化為二元一次方程組。其解法如下：
∵
∴
即
∴，
∴
典型例題5：（2005
卡西歐杯
全國初中數學競賽）若M=3x2-8xy+9y2-4x+6y+13(x,y是實數)，則M的值一定是（
）
A
正數
B負數
C零
D整數
精析：先將元多項式轉化成幾個完全平方式的和的形式，然后就其結構特征進行合理的分析、推理，可達到目的。
解：因為M=3x2-8xy+9y2-4x+6y+13=2（x-2y）2+（x-2）2+（y+3）2≥0并且2（x-2y）2,（x-2）2,（y+3）2這三個式子不能同時為0，所以M〉0，故選A。
典型例題6
化簡二次根式
精析：復合二次根式的化簡是競賽中比較常見的問題，化簡的關鍵是將被開方數化成完全平方的形式，要用到配方的思想。
解：
同理可得
所以，原式=8
典型例題7
已知三角形的三邊a,b,c滿足a2+b2+c2=ab+ac+bc,請你判斷這個三角形的形狀。
精析：確定三角形的形狀，主要是討論三條邊之間的關系。代數式a2+b2+c2=ab+ac+bc之中蘊含了完全平方式，我們要重新拆項，組合如下：
2a2+2b2+2c2=2ab+2ac+2bc
2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc=0
a2-2ab
+b2+
a2-2ac+
c2+b2-2bc+c2=0
(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2=0
所以a=b=c
三角形是等邊三角形
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1一元二次方程中考新題型
一元二次方程是初中數學學習的重要知識塊，并且經常和其它的數學知識相結合，顯示出多姿多彩的表現形式，考查題型也多種多樣．各地中考試題很好地把握了新課改的要求，出現了許多亮點，現從中采擷幾例，供同學們鑒賞．
一、開放型
例1（常德）已知一元二次方程有一個根是2，那么這個方程可以是（填上你認為正確的一個方程即可）．
解析：首先構造方程的一個根為，然后在的兩邊同乘以，展開得，或兩邊同乘以，…，展開后都可以得到一個一元二次方程．
點評：本題是一道考查學生發散思維能力的試題，特點是答案不惟一，解答這類試題必須借助定義既是判定定理，又是性質定理的思路進行逆向操作．
二、定義型
例2
（蘭州）在實數范圍內定義一種運算“”，其規則為，根據這個規則，方程的解為
．
解析：仿照規則，可以發現操作規律是求“”前后兩項的平方差，故為，此方程為一元二次方程，運用因式分解法，可求得，．
點評：本題定義了一種新運算，用一種特定的符號“”形成一種特定操作，解答這類試題必須仔細觀察條件中給出的規則，弄清運算前后的的變化規律．
三、探索型
例3（海淀）已知下列（為正整數）個關于的一元二次方程：
（1）請解上述一元二次方程<1>、<2>、<3>、<>；
（2）請你指出這個方程的根具有什么共同特點，寫出一條即可．
解析：（1）<1>，所以
<2>，所以
<3>，所以
……
<>，所以
（2）比如：共同特點是：都有一個根為1；都有一個根為負整數；兩個根都是整數根等．
點評：本題從解方程出發，探索具有某種特點的方程的解題規律及方程根與系數之間的關系，注重了對學生觀察、類比及聯想等數學思想方法的考查．
四、應用型
例4（遼寧）
如圖1，在寬為20m，長為32m的矩形地面上修筑同樣寬的道路（圖中陰影部分），余下的部分種上草坪．要使草坪的面積為，求道路的寬．（部分參考數據：，，）
解析：本題是一道典型的利用一元二次方程解決實際問題的題目，下面
從兩個不同角度給出解答：
解法（1）：由題意轉化為右圖2，設道路寬為米．
根據題意，可列出方程為
．
整理，得．
解得（舍去），
答：道路寬為米．
解法（2）：由題意轉化為右圖3，設道路寬為米，
根據題意列方程得：
．
整理，得．
解得：，（舍去）．
答：道路寬應是米
點評：把不規則的圖形轉化為規則圖形是解決這類問題的關鍵，同時
整體代換的思想方法在解題中起到化難為易的作用．
從以上各地中考試題中可以看出，一元二次方程各個知識點的考查出現了新趨勢，題目新穎、情景豐富，既考查了基本知識的掌握情況，也考查了同學們探索、思維能力，因此在學習中要注意知識的梳理，有的放矢，以便順利過關．
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用公式法求解一元二次方程
新版【課后作業問題】問題二、P43
隨堂練習2.
答案：
（1）x1=，x2=；（2）x1=x2=-；
（3）x1=，x2=-；（4）沒有實數根。
【舉一反三】
典例：用公式法解一元二次方程，正確的應是(
)．
A．x=
B．x=
C．x=
D．x=
思路引導：先將方程化成一元二次方程的一般形式x2-2x-=0，b2-4ac=5＞0，所以x=。
標準答案：B。
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www.幫你認識一元二次方程
一元二次方程的定義
一元二次方程有三個特點：(1)只含有一個未知數；(2)未知數的最高次數是2；(3)是整式方程．要判斷一個方程是否為一元二次方程，先看它是否為整式方程，若是，再對它進行整理．如果能整理為(a≠0)的形式，則這個方程就為一元二次方程．
一元二次方程的一般形式
我們把(a≠0)叫做一元二次方程的一般形式，特別注意二次項系數一定不為0，b、c可以為任意實數，包括可以為0，即一元二次方程可以沒有一次項，常數項．(a≠0)，(a≠0)，
(a≠0)都為一元二次方程．
例1如果關于x的方程有解，則m的取值范圍是(
)
A.m<3
B.m≤3
C.m<3且m≠2
D.m≤3且m≠2
解析：此題是關于x的方程有解時，求m的取值范圍，應分二次項系數m-2=0與m-2≠0兩種情況討論。
當m-2=0即m=2時，方程化為-2x+1=0其解為。
當m-2≠0，即m≠2，要使方程有解，則
,得m≤3,且m≠2
綜合所述，當方程有解時m≤3。
選B。
點撥：已知方程根的情況求系數的取值范圍，這類問題在求解時，應根據方程根的情況，利用判別式建立不等式（或方程），解得m的取值范圍（或值）；同時還應特別注意二次項系數不為零這一保證方程是一元二次方程的隱含條件.
例2在一幅長80cm，寬50cm的矩形風景畫的四周鑲一條金色紙邊，制成一幅矩形掛圖，如圖所示，如果要使整個掛圖的面積是5400cm2，設金色紙邊的寬為xcm，那么x滿足的方程是（
）
A．x2+130x-1400=0
B．x2+65x-350=0
C．x2-130x-1400=0
D．x2-65x-350=0
解析：由題意可列方程（2x+50）（2x+80）=5400，
化簡可得x2+65x-350=0，故選B．
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1如何根據一元二次方程的定義，確定未知數的取值？
答案：
一元二次方程定義中，一元是指只含有一個未知數，二次指未知數的最高次數是2。
【舉一反三】
典例：已知：關于x的方程
(2m-1)x2-(m-1)x=5m
是一元二次方程,
求：m的取值范圍.
思路導引：一般來說，此類問題根據定義：未知數的最高次數2．∵
原方程是一元二次方程，∴
2m-1≠0，∴
m≠
( http: / / www.21cnjy.com )
.
標準答案：m≠
( http: / / www.21cnjy.com )如何列一元二次方程解直角三角形？
答案：
很多幾何題求邊時，用方程思想解決，而相等關系多由勾股定理提供，掌握本題很重要，體現了“幾何問題代數化”。
【舉一反三】

典例：一個直角三角形，斜邊，兩條直角邊長相差，求這個直角三角形的兩條直角邊的長。
思路導引：一般來說，此類問題根據直角三角形三邊關系。在Rt△中，三邊a，b，c滿足，這是構造方程的相等關系。設一條直角邊長為x
cm，則另一條邊長為。根據題意列方程
，
解得
（不合題意，舍去）。。
標準答案：兩條直角邊長分別是8cm和4cm。
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www.關于估算的指導思想
“估算”在求解實際生活中一些較為復雜的方
( http: / / www.21cnjy.com )程時應用廣泛。因初中學生所學知識面所限，在本節課中讓學生體會用“夾逼”的思想解決一元二次方程的解或近似解的方法。其具體的指導思想是：將一元二次方程變形為一般形式：ax2+bx+c=0，分別將x1,x2代入等式左邊，當獲得的值為一正、一負時，方程必定有一根x0，而且x1
＜x0
＜x2。這是因為，當ax12+bx1+c＜0（或＞0）而ax22+bx2+c＞0（或＜0）且在x1到x2之間由小變大時，ax2+bx+c的值也將由小于0（或大于0），逐步變成大于0（或小于0），其間ax2+bx+c的值必有為0的時候，此時的x值就是原方程的根x0。
時間允許的前提下，建議老師們可以講述如下例題，以讓學生更好地理解估算的指導思想。
例：不解方程，估計方程x2-4x-1=0的根的大小（精確到0.1）。
解：分別取x=-0.3與x=-0.2時，有
( http: / / www.21cnjy.com )(-0.3)2-4×(-0.3)-1=0.09+1.2-1=0.29＞0，(-0.2)2-4×(-0.2)-1=-0.16＜0。于是，方程x2-4x-1=0必有一根在－0.3和-0.2之間。
分別取x=4.2與x=4.3時，有4.22
( http: / / www.21cnjy.com )-4×4.2-1=-0.16＜0，4.32-4×4.3-1=0.29＞0。于是，方程x2-4x-1=0必有一根在4.2和4.3之間。
注：如若不能選準所取的x的值，也就無法進行估算，因此，本例中x取的值－0.3、－0.2以及4.2、4.3，是在多次進行實驗的基礎上獲得的。在估算根的范圍時，要進一步提高精確度，這里可以分別考慮取x＝
( http: / / www.21cnjy.com )＝-0.25和取x=
( http: / / www.21cnjy.com )=4.25時，x2-4x-1的正負情況，這樣根的估計就縮小了范圍，不斷重復以上工作，精確度就會逐步提高。
當然，在估計之初，你是不可
( http: / / www.21cnjy.com )能得到這么好的數據的，你一般可以隨便估計一個數，如0，發現0的時候，左邊小于0，而x正得很多或者負得很多時，對應的左邊的值大于0，因此可以再選取兩個絕對值比較大的數，這樣可以估計出兩個根的范圍，再逐步逼近。解析“一元二次方程的根與系數的關系”中考題
一元二次方程的根與系數的關系，在中考中多以填空、選擇、解答題的形式出現，考查的頻率較高，也常與幾何、二次函數等問題結合考查，是考試的熱點，它是方程理論的重要組成部分。而且，今后的試題可能將此部分內容融入到代數變形、函數和幾何等問題之中。
例1、（廣西南寧）已知一元二次方程x2－2x＋1=0的兩個根為x1、x2，則x1＋x2＋x1·x2的值為（
）
A、3
B、2
C、－3
D、－2
精析：由根與系數的關系，得：x1＋x2=2
，x1·x2=1
。
∴x1＋x2＋x1·x2=2＋1=3
。
答：A
例2、（浙江溫州）已知x1、x2是一元二次方程
x2－x－3=0的兩個根，那么x12＋x22
的值是（
）
A、1
B、5
C、7
D、
精析：由根與系數的關系，得：x1＋x2=1
，x1·x2=－3
。
∴x12
＋x22=（x1
＋x2
）2－2
x1·x2
=1+6=7。
答：C
例3、（江蘇南通）已知關于x的方程x2－kx＋k2＋n=0有兩個不相等的實根x1、x2，且（2x1
＋x2）2－8（2x1
＋x2）＋15=0。
⑴求證：n﹤0;
⑵設用k的代數式表示x1;
⑶當n=－3時，求k的值。
精析：⑴Δ﹥0;
⑵2x1
＋x2是x2－8x＋15=0的根；
⑶當n=－3時，x1是x2－kx＋k2－3=0的一個實數根。
解：⑴∵Δ=
k2－4（
k2＋n）=－3
k2－4n﹥0,
∴
n﹤－k2
.
又
－k2
≤0
，
∴
n﹤0
.
⑵由根與系數的關系，得：x1＋x2=k.
由（2x1
＋x2
）2－8（2x1
＋x2
）＋15=0,解得
2x1
＋x2=3或2x1
＋x2=5。
當2x1
＋x2=3即x1
＋（x1
＋x2）=3時，得x1=3－k；
當2x1
＋x2=5即x1
＋（x1
＋x2）=5時，得x1=5－k。
⑶當n=－3時，x1是x2－kx＋k2－3=0的一個實數根。
當x1=3－k時，則有（3－k）
2－k（3－k）＋k2－3=0,
即k2－3k＋2=0,解得k1=1,
k2=2.
當k=2時，原方程變為x2－2x＋1=0，不合題意，舍去。
∴
k=1。
當x1=5－k時，則有（5－k）
2－k（5－k）＋k2－3=0,
即3k2－15k＋22=0，此方程無實數根。
綜上所述，所求的k的值為1。
例4、（北京）已知關于x的方程
x2－2mx＋3m=0有兩個實數根是x1、x2，且（x1
－x2
）2=16。如果關于x的另一個方程
x2－2mx＋6m－9=0的兩個實數根都在x1和x2之間，求m的值。
精析：本題主要考查了一元二次方程的根與系數的關系和一元二次方程的解法及分類的思想方法。
解：∵x1、x2是方程x2－2mx＋3m=0的兩個實數根，
∴x1＋x2=2m
，x1·x2=3m。
∵（x1
－x2
）2=16，
∴（x1
＋x2
）2－4
x1·x2
=16。
∴（2m
）2－12m
=16。
即m
2－3m－4
=0。
解得m1=－1,
m2=4
⑴當m=－1時，方程x2－2mx＋3m=0為方程x2＋2x－3=0
解得x1=－3,
x2=1
方程
x2－2mx＋6m－9=0為方程x2＋2x－15=0
解得x1’=－5,
x2’=3.
∵－5,
3不在－3和1之間，∴m=－1不合題意，舍去。
⑵當m=4時，方程x2－2mx＋3m=0為方程x2－8x＋12=0
解得x1=2,
x2=6
方程
x2－2mx＋6m－9=0為方程x2－8x＋15=0
解得x1’=3,
x2’=5.
∵3,
5都在2和6之間，∴m=4
綜上所述，得m的值為4。
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1一元二次方程公共根問題
若已知若干個一元二次方程有公共根，求方程系數的問題，叫一元二次方程的公共根問題，兩個一元二次方程只有一個公共根的解題步驟：
設公共根為α，則α同時滿足這兩個一元二次方程；
用加減法消去α2的項，求出公共根或公共根的有關表達式；
把共公根代入原方程中的任何一個方程，就可以求出字母系數的值或字母系數之間的關系式．
例1
已知一元二次方程x2-4x+k=0有兩個不相等的實數根，
求k的取值范圍．
如果k是符合條件的最大整數，且一元二次方程x2-4x+k=0與x2+mx-1=0有一個相同的根，求此時m的值．
解析：（1）∵一元二次方程x2-4x+k=0有兩個不相等的實數根
∴△=16-4k＞0，∴k＜4
（2）當k=3時，解x2-4x+3=0得x1=3，x2=1
當x=3時，32+m·3-1=0，m=-
當x=1時，12+m·1-1=0，m=0
例2
若兩個關于x的方程x2+x+a=0與x2+ax+1=0只有一個公共的實數根，求a的值
解：設兩個方程的公共根為α，則有α2+α+a=0
①
α2+aα-1=0
②
①-②得（1-a）α+a-1=0，即（1-a）（α-1）=0
因為只有一個公共根，所以a≠1，所以α=1
把α=1代入x2+x+a=0得12+1+a=0，a=-2
例3
已知a＞2，b＞2，試判斷關于x的方程x2-（a+b）x+ab=0與x2-abx+（a+b）=0有沒有公共根，請說明理由．
分析：判斷兩個方程是否有公共解，常假設有公共根，代入兩個方程整理，求出這個解，再檢驗，如有矛盾方程的公共根不存在．
解：不妨設關于x的方程x2-（a+b）x+ab=0與x2-abx+（a+b）=0有公共根，設有x0，則有
整理，可得（x0+1）（a+b-ab）=0
∵a＞2，b＞2，∴a+b≠ab，∴x0=-1
把x0=-1代入①得，1+a+b+ab=0這是不可能的
所以，關于x的兩個方程沒有公共根．
①
②
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1用一元二次方程模型解決市場經濟問題
義務教育階段的數學課程標準明確指出：“學會運用數學的思維方式去觀察、分析現實社會，去解決日常生活中和其他學科學習中的問題，增強應用數學的意識”．為此，我們要在平時的學習中，善于用數學的眼光來觀察現實生活，用數學的知識來解決身邊的問題．
一、商品盈利問題
例1
某百貨商場服裝柜在銷售中發現“寶樂”牌童裝平均每天可售出20件，每件盈利40元．為了迎接“六·一”兒童節，商場決定采取適當的降價措施，擴大銷售量，增加盈利，減少庫存．經市場調查發現：如果每件童裝每降價4元，那么平均每天就可多售出8件．要想平均每天在銷售這種童裝上盈利1200元，那么每件童裝應降價多少元？
命題意圖：本題考查一元二次方程解應用題及分析問題和解決實際問題的能力．
思路分析：解決本題的關鍵是根據“每天所賣童裝件數×每件童裝贏利＝每件贏利1200元”關系式建立方程．不妨設每件降價元，可知在每天售20件，每天盈利40元的基礎上，根據每降價4元，就多售8件得降價元，多售件，即售件，相應每件盈利減少元，即盈利元，列出方程并求解，對所求結果，還要結合“減少庫存”進行取舍，從而得到最后結果．
解：設降價元，則，解得，由于要減少庫存，故降價越多，售出越多，庫存越少，故取．
答：每件降價20元．
二、教育經費投入問題
例2
“國運興衰，系于教育”，圖中給出了我國從1998----2002年每年教育經費投入的情況．
(1)由圖可見，1998---2002年的五年內，我國教育經費呈現出
趨勢；
(2)根據圖中所給數據，求我國從1998年到2002年教育經費的年平均數；
(3)如果我國的教育經費從2002年的5480億元，增加到2004年的7891億元，那么這兩年的教育經費平均年增長率為多少？(結果精確到，)
命題意圖：本題考查學生的閱讀理解能力和觀察圖象捕捉數據信息的能力及列方程解應用題．
思路分析：(1)從圖中數據來看，數據一年比一年大，由此可得，教育經費是逐年增加的；(2)教育經費的年平均數為這幾年教育經費之和除以年數即可；(3)設這兩年的教育經費平均年增長率為，那么年教育經費投入為億元，年教育經費投入為億元，于是就可以根據題意列出方程．
解：(1)逐年增加；
(2)(億元)；
(3)設這兩年的教育經費平均年增長率為，
則有，，
，所以，
所以，(不合題意舍去)．
三、風景畫的裝飾問題
例3
在一幅長為80cm，寬為50cm的矩形風景畫的四周鑲一條金色紙邊，制成一幅矩形掛圖．如圖所示，如果要使整個掛圖的面積是5400cm2，請你求出金色紙邊的寬為多少cm？
命題意圖：本題考查學生矩形面積的掌握情況，并用方程模型來解決．
思路分析：設金色紙邊的寬為cm，那么整個掛圖的長為cm，寬為cm，再由矩形面積公式得方程，解之后需檢驗所的值是否滿足題意．
解：設金色紙邊的寬為cm，依題意，得：，整理，得，解之，得，因為，所以不合題意應舍去．
答：金色紙邊的寬為5cm．
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
2949
3349
3849
4638
5480
億元
年份
1998
1999
2000
2001
2002
80cm
50cm
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1配方法的幾何解釋
課本中，我們利用了配方法解一元二次方程．實際上，配方法不僅可以用來解一元二次方程，在其他方面還有很多應用．
配方法，顧名思義，就是利用添項或拆項的方法，結合已有項，構造完全平方式．回顧以往知識，我們曾經利用圖形面積驗證完全平方公式，那么，能否也用圖形面積解釋配方法解方程的過程呢？
下面我們用幾何方法來求方程x2＋10x＝39的解，把x2＋10x解釋為右圖中多邊形ABCDEF的面積，為了求出x，我們考慮把這塊圖形補成一個正方形，為此必須補上正方形DCGE．從圖中可以看出，正方形DCGE的面積為52（它恰好等于原方程中一次項系數一半的平方），由于整個正方形的面積為39＋25＝64，可知這個正方形的邊長為8，又由圖形可知邊長為x＋5，故x＝3．
這里，我們直觀地看到了配方的幾何意義．但求得的解是不完備的，你發現問題了嗎？對了，受幾何圖形的限制，我們只能求出方程的正數解．
B
A
C
D
E
F
G
5
x
x
5
52
x2
5x
5x
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1
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www.日常生活中一元二次方程的應用
當今社會正處在市場經濟的時代，我們的日常生活中經常會遇到各種經營、銷售、利潤、房產等問題．我們知道數學來源于生活，又應用于我們的生活，新課程的改革實驗也要求同學們能用一些所學的數學知識解決生活中的實際問題，體會到數學的應用價值，下面我們就最近所學的“一元二次方程在日常生活中應用“看兩個實例，以求對同學們有所幫助．
問題1：聯華超市將進貨單價為40元的商品如果按50元銷售，就能賣出500個，但如果這種商品每個漲價1元，其銷售量就減少10個，如果你是超市的經理的話，為了賺得8000元的利潤，你覺得售價應定為多少？這時應進貨多少個？
分析：我們知道商品的定價和進貨量應該根據市場的行情而定，如果定價過高，超越了消費者心理承受力的話，恐怕消費者無人問津，銷售商只能自認倒霉了；定價過低的話，利潤過低、甚至虧本的話，銷售商也就劃不來的．上述問題中如果銷售價按照單價50元的話，每個利潤是10元，可以賣出500個，共可獲利5000元，無法完成利潤8000元的目標，所以只有提高單價并控制適當的單價，才可以完成獲得利潤5000元任務．
解：設該種商品的單價為（50+x）元，則每個的利潤是元，銷售數量為（500-10x）個，由題意得方程：；
整理得：；解之得：，
故這個商品的單價可定為60元時，其進貨量為500-10×10=400個；當這個商品的單價定為80元時，其進貨量為500-10×30=200個．
注：如果同學們以后學了二次函數內容的話，還可以知道當單價定為70元時，獲得的最大利潤為8100元．
問題2：某地開發區為改善居民的住房條件，每年要建一批新的住房，人均住房面積逐年增加（人均住房面積=，單位平方米/人）．
該開發區2002年至2004年，每年年底人口總數和人均住房面積的統計結果如圖所示，
請根據此提供的信息解答下面問題：
（1）該區2003年和2004年兩年中哪一年比上一年增加的住房面積多？多增加多少平方米？
（2）由于經濟發展需要，預計到2006年底，該地區人口總數將比2004年底增加2萬，為使到2006年底地區人均住房面積達到11平方米/人，試求2005年和2006年這兩年該地區住房總面積的年增長率應達到百分之幾？
分析：隨著我們國家經濟迅速發展，經濟實力的不斷強大，廣大人民的住房條件正在得到不斷的改善，生活水平正在得到不斷地提高．我們從上述問題的圖象中可以獲取一些信息：
年度
人口
人均住房面積（平方米/人）
總面積（萬平方米）
比上一年增加數（萬平方米）
2002
17
9
153
/
2003
18
9.6
172.8
19.8
2004
20
10
200
27.2
解：（1）2004年比2003年增加的住房多，多增加了7.4平方米．
（2）設住房總面積年平均增長率應達到x，由題意得：
；
解得：℅；（不合題意，舍去）．
答略．
應該說一元二次方程在日常生活中的應用應該說是非常廣泛的，還有諸如儲蓄、利稅問題等，同學們有興趣的話還可以作更多的研究．
0
17
2004
2003
2002
18
年
20
萬人
開發區近三年人口變化圖
0
2002
2003
2004
9
9.6
10
平方米/人
年
開發區近三年人均住房面積變化曲線
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1如何列一元二次方程解翻番問題？
答案：
關于翻番問題，應清晰地知道翻一番，即為原來數值的兩倍，翻兩番即為原數值的四倍。
【舉一反三】
典例：黨的十六大提出全面建設小康社會，加快推進社會主義現代化，力爭國民生產總值以2020年比2000年翻兩番．在本世紀的頭二十年（2001年~2020年），要實現這一目標，以十年為單位計算，設每個十年的國民生產總值的增長率都是，那么滿足的方程為（
）
A．
B．
C．
D．
思路導引：一般來說，此類問題注意翻番的特點。翻一番，即為原來數值的兩倍，翻兩番即為原數值的四倍。設2000年生產總值為a，則2010年的生產總值為a(1+x),2020年的生產總值為a(1+x)2
列方程得：aa,即
標準答案：B
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www.什么是一元二次方程的二次項系數、一次項系數、常數項？
答案：
一元二次方程的一般形式為
( http: / / www.21cnjy.com )ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2叫做二次項，a叫做二次項系數；bx叫做一次項，b叫做一次項系數；c叫做常數項．
【舉一反三】
典例：寫出下列一元二次方程的二次項系數、一次項系數及常數項：
(1)2x2＝3x＋5；(2)(x＋1)(x－1)＝1；(3)(x＋2)2－4＝0．
思路導引：一般來說，在做此類問題時，要
( http: / / www.21cnjy.com )先把方程化成一般形式．因為方程的二次項系數、一次項系數及常數項是在方程為一般形式下的，所以必須先整理方程．
(1)整理，得2x2－3x－5＝0．二次項系數是2，一次項系數是－3，常數項是－5．9
(2)整理
，得x2－2＝0．二次項系數是1，一次項系數是0，常數項是－2．
(3)整理，得x2＋4x＝0．二次項系數是1，一次項系數是4，常數項是0．
標準答案：（1)二次項系數是2，一次項系數是－3，常數項是－5．
(2)二次項系數是1，一次項系數是0，常數項是－2．
(3)二次項系數是1，一次項系數是4，常數項是0．3
用公式法求解一元二次方程
新版【課后作業問題】問題三、P43
隨堂練習3.
答案：
6,8,10.
【舉一反三】
典例：直角三角形的兩邊分別為3和4，第三邊是方程x2―7x＋10=0的解，則第三邊的長為(
)．
A．2
B．5
C．2或5
D．無法確定

思路引導：用公式法解一元二次方程，得x1=2，x2=5，且能構成直角三角形，則x=5.
標準答案：B。
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www.韋達其人
一元二次方程的根與系數的關系，常常也稱作韋達定理，這是因為該定理一般被認為是16世紀法國最杰出的數學家韋達發現的。　
　
韋達1540年出生在法國東部的普瓦圖的韋特奈。他早年學習法律，曾以律師身份在法國議會里工作，韋達不是專職數學愛，但他非常喜歡在政治生涯的間隙和工作余暇研究數學，并做出了很多重要貢獻，成為那個時代最偉大的數學家。韋達是第一個有意識地和系統地使用字母表示數的人，并且對數學符號進行了很多改進。他在1591年所寫的《分析術引論》是最早的符號代數著作。是他確定了符號代數的原理與方法，使當時的代數學系統化并且把代數學作為解析的方法使用。因此，他獲得了“代數學之父”之稱。他還寫下了《數學典則》（1579年）、《應用于三角形的數學定律》（1579年）等不少數學論著。韋達的著作，以獨特形式包含了文藝復興時期的全部數學內容。只可惜韋達著作的文字比較晦澀難懂，在當時不能得到廣泛傳播。在他逝世后，才由別人匯集整理并編成《韋達文集》于1646年出版。韋達1603年卒于巴黎，享年63歲。下面是關于韋達的兩則趣事：
一、與羅門的較量
　　比利時的數學家羅門曾提出一個45次方程的問題向各國數學家挑戰。法國國王便把該問題交給了韋達，韋達當時就得出一解，回家后一鼓作氣，很快又得出了22解。答案公布，震驚了數學界。韋達又回敬了羅門一個問題。羅門苦思冥想數日方才解出，而韋達卻輕而易舉地作了出來，為祖國爭得了榮譽，他的數學造詣由此可見一斑。
二、韋達的“魔法”
　　在法國和西班牙的戰爭中，法國人對于西班牙的軍事動態總是了如指掌，在軍事上總能先發制人，因而不到兩年功夫就打敗了西班牙。可憐西班牙的國王對法國人在戰爭中的“未卜先知”十分腦火又無法理解，認為是法國人使用了“魔法”。原來，是韋達利用自己精湛的數學方法，成功地破譯了西班牙的軍事密碼，為他的祖國贏得了戰爭的主動權。另外，韋達還設計并改進了歷法。所有這些都體現了韋達作為大數學家的深厚功底。
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1如何用分解因式法解一元二次方程
作為分解因式法解一元二次方程是解一元二次方程的首選方法那么如何才能正確地運用分解因式滾過來解一元二次方程呢？一般來說，有下列幾個步驟：①將方程右邊化為零；②將方程左邊分解為兩個一次因式乘積；③令每個因式分別等于零，得到兩個一元一次方程；④解這兩個一元一次方程，它們的解就是原方程的解.正確舉幾例說明：
例1　解方程：x2
－6x－16＝0.
分析　由于－16＝－8×2，且－8+2＝－6.所以可以考慮運用分解因式法求解.
解　原方程的左邊分解因式，得(x－8)(x+2)＝0.
即x－8＝0，或x+2＝0.解得x1＝8，x2＝－2.
例2　解方程：x2＋(－)x－＝0.
分析　考慮－＝(－)，所以，原方程可以利用分解因式法求解.
解　原方程的左邊分解因式，得(x+)(x－)＝0.
即x+＝0，或x－＝0.解得x1＝－，x2＝.
例3　解關于x的方程：x2+2(p－q)x－4pq＝0.
分析　由于－4pq＝2p(－2q)，而2p+(－2q)＝2(p－q)，所以原方程可以考慮利用分解因式求解.
解　原方程的左邊分解因式，得(x+2p)(x－2q)＝0.
即x+2p＝0，或x－2q＝0.解得x1＝－2p，x2＝2q.
例4　解關于x的方程：x2－a(3x－2a+b)＝0.
分析　方程中x是未知數，其它字母均為字母系數.若用公式法解含有字母系數的一元二次方程時，計算量大，容易出錯.考慮原方程通過整理變形后可以利用分解因式得到兩個一次因式的乘積，于是可以求解.
解　原方程化為x2－3ax－(b2+ab－2a2)＝0，由于b2+ab－2a2＝(b+2a)(b－a).
所以方程的左邊分解因式，得[x－(2a+b)][x－(a－b)]＝0，
即x－(2a＋b)＝0，或x－(a－b)＝0，所以x1＝2a+b，x2＝a－b.
綜上所述，分解因式法解一元二次方程的理論根據是，如果兩個因式的積等于零，那么，這兩個因式至少要有一個等于零.它是解一元二次方程最常用的方法.一般來說，能用分解因式法的一元二次方程應盡量用分解因式法，其法快速、方便，準確率高，當分解因式法實在困難時，再考慮運用公式法等.
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1解一元二次方程課標解讀
一、課標要求
包括配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程．《義務教育數學課程標準（2011年版）》對解一元二次方程一節相關內容提出的要求如下。
1．理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解數字系數的一元二次方程．
2．會用一元二次方程根的判別式判別方程是否有實根和兩個實根是否相等．
3．了解一元二次方程的根與系數的關系．
二、課標解讀
1．學生已經學習一元一次方程的解法和實際應用，知道可以利用運算律、等式的基本性質，通過去括號、移項、合并同類項等求出它的解．學生還學過二元一次方程組以及三元一次方程組的解法和實際應用，知道可以通過消元，將它們轉化為一元一次方程．從數學知識的內部發展看，二元、三元一次方程組可以看成是對一元一次方程在“元”上的推廣．自然地，如果在次數上做推廣，首先就是一元二次方程．類比二（三）元一次方程組的解法，可以想到：能否將一元二次方程轉化為一元一次方程？如何轉化？因此，利用什么方法將“二次”降為“一次”，這是本章學習的另一條主線．
與一元一次方程、二元一次方程組的解法相比，一元二次方程的解法涉及更多的知識，可以根據方程的具體特點，選擇相關的知識和方法，對方程進行求解．這是培養學生的思維品質，特別是思維的敏捷性、靈活性、深刻性的機會．根據《課程標準（2011年版）》的規定，教科書著重介紹了配方法、公式法和因式分解法等一元二次方程的解法，而且限定解數字系數的一元二次方程．
2．解一元二次方程的基本策略是降次，即通過配方、因式分解等，將一個一元二次方程轉化為兩個一元一次方程來解．具體地，根據平方根的意義，可得出方程和的解法；通過配方，可將一元二次方程轉化為的形式再解；一元二次方程的求根公式，就是對方程配方后得出的．如能將分解為兩個一次因式的乘積，則可令每個因式為0來解．
一元二次方程的三種解法——配方法、公式法和因式分解法各有特點．一般地，配方法是推導一元二次方程求根公式的工具．掌握了公式法，就可以直接用公式求一元二次方程的根了．當然，也要根據方程的具體特點，選擇適當的解法，因式分解法就顯示了這樣的靈活性．配方法是一種重要的、應用廣泛的數學方法，如后面研究二次函數時也要用到它．在推導求根公式的過程中，從到再到，是方程形式的不斷推廣，體現了從特殊到一般的過程；而求解方程的過程則是將推廣所得的方程轉化為已經會解的方程，體現了化歸思想．顯然，這個過程對于培養學生的推理能力、運算能力等都是很有作用的．
3．與《課程標準（實驗稿）》相比，《課程標準（2011年版）》重新強調了一元二次方程根的判別式和一元二次方程根與系數關系的重要性，要求“會用一元二次方程根的判別式判別方程是否有實根和兩個實根是否相等”，“了解一元二次方程的根與系數的關系”，這是需要注意的一個變化．這里不僅是為了一元二次方程理論的完整性，更重要的是為了解決初高中銜接問題．實際上，一元二次方程根的判別式、一元二次方程根與系數關系在高中數學中有著廣泛的應用，是學習高中數學的必備基礎．
教科書先以一個設計人體雕像的實際問題作為開篇，并在第一節中又給出兩個實際問題，通過建立方程，并引導學生思考這些方程的共同特點，從而歸納得出一元二次方程的概念、一般形式，給出一元二次方程根的概念．在這個過程中，通過歸納具體方程的共同特點，定義一元二次方程的概念，體現了研究代數學問題的一般方法；一般形式也是對具體方程從“元”（未知數的個數）、“次數”和“項數”等角度進行歸納的結果；a
≠0的規定是由“二次”所要求的，這實際上也是從不同側面理解一元二次方程概念的契機．
一元二次方程的解法，包括配方法、公式法和因式分解法等，是全章的重點內容之一．教科書在第二節中，首先通過實際問題，建立了一個最簡單的一元二次方程，并利用平方根的意義，通過直接開平方法得到方程的解；然后將它一般化為，通過分類討論得到其解的情況，從而完成解一元二次方程的奠基．接著，教科書安排“探究”欄目，自然引出解并總結出“降次”的策略，從而為用配方法解比較復雜的一元二次方程做好鋪墊，然后教科書重點講解了配方的步驟，并歸納出通過配方將一元二次方程轉化為后的解的情況．以配方法為基礎，教科書安排了“探究”欄目，引導學生自主地用配方法解一般形式的一元二次方程 (a≠0)，得到求根公式．最后，通過實際問題，獲得一個顯然可以用“提取公因式法”而達到“降次”目的的方程，從而引出因式分解法解一元二次方程，并在“歸納”欄目中總結出幾種解法的基本思路、各自特點和適用范圍等．上述過程的思路自然，體現了從簡單的、特殊的問題出發，通過逐步推廣而獲得復雜的、一般的問題，并通過將一般性問題化歸為特殊問題，獲得這一類問題的解．這是具有普適性的數學思想方法．
由于限定在實數范圍，因此對求根公式，首先要關注判別式的討論．這是使學生領悟分類討論數學思想方法的契機．
另一方面，求根公式不僅直接反映了方程的根由系數唯一確定（系數a，b，c確定，方程就確定，其根自然就唯一確定），而且也反映了根與系數的聯系．這里體現了一種多角度看問題的思想觀點，而根與系數的聯系表達非常簡潔．教科書仍然采用從特殊到一般的方法，先討論“將方程化為的形式，，與p，q之間的關系”，在“+，”的啟發下，利用求根公式求和，進而得到根與系數的關系．讓學生學習根與系數的關系，不僅能深化對一元二次方程的理解，提高用一元二次方程分析和解決問題的能力，而且也是培養學生發現和提出問題的能力的機會．根與系數的關系是求根公式的自然延伸，得出它的過程并不復雜，而其中蘊含的思想很重要．所以，對于根與系數的關系，教科書著重在其數學思想的啟發和引導上，而對用根與系數的關系去解決問題，嚴格地控制了難度．
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12.1
認識一元二次方程學習要點
學習目標：
1、要求學生會根據具體問題列出一元二次方程，會識別一元二次方程及各部分名稱。
2、會用估算的方法探索一元二次方程的解或近似解。
學習重難點：
重點：
1、認識產生一元二次方程知識的必要性。
2、探索一元二次方程的解或近似解。
難點：
1、列方程的探索過程。
2、培養學生的估算意識和能力。
學習要點：
學習目標1
1、會根據實際問題列出方程
2、一元二次方程的定義
只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的整式方程叫做一元二次方程。
從一元二次方程的定義可知，一元二次方程需具備以下三個條件：
(1)只含有一個未知數，即未知數有且只有一個。如果方程中未知數的個數多于1個，那么它就不是一元二次方程。
(2)未知數的最高次數是2，即未知
( http: / / www.21cnjy.com )數的最高次數不能低于2，也不能高于2。但方程中是否存在一次項或常數項，并沒有提出要求。因此，可將方程進行降冪排列，觀察未知數的最高次數是否為2。
(3)方程的兩邊是整式。整式是單項式和多項式的統稱。說明分母不能含有未知數，被開數不能含有未知數。
3、一元二次方程的一般形式及各部分名稱
一般形式：
( http: / / www.21cnjy.com )
各部分名稱：
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )分別稱為一元二次方程的二次項、一次項和常數項，a，b分別稱為二次項系數和一次項系數。
4、判斷一個方程是不是一元二次方程時應注意的問題
(1)判斷一個方程是否是一元二次
( http: / / www.21cnjy.com )方程，應以化簡后的結果為準。如化簡前含有未知數是2次的項，但是化簡后未知數最高次數是1，那它就不是一元二次方程。
(2)當方程中含有字母系數(又叫參數)時，應區分未知數和字母。如“關于x的方程……”，則表明x是未知數，而方程中其它字母均是常數。
(3)“×元×次方程”中的“元”指未知數，“次”指未知數的最高次數。
學習目標2
5、用估算的方法探索一元二次方程的解或近似解
一元二次方程的解：能使一元二次方程兩邊相等的未知數的值叫一元二次方程的解(或根)。
近似計算的重要思想——“夾逼”思想。
注意：(1)估算的精度不適過高。
(2)計算時提倡使用計算器。一元二次方程的特點是什么？
答案：
一元二次方程有三個特點：(1)只含有一個未知數；(2)未知數的最高次數是2；(3)是整式方程．
【舉一反三】
典例：求證：關于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不論m取何值，該方程都是一元二次方程．
思路導引：一般來說，元二次方程的概
( http: / / www.21cnjy.com )念中“只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2”是對化成一般形式之后而言的。要證明不論m取何值，該方程都是一元二次方程，只要證明m2-8m+17≠0即可．
標準答案：證明：m2-8m+17=（m-4）2+1

∵（m-4）2≥0

∴（m-4）2+1>0，即（m-4）2+1≠0
∴不論m取何值，該方程都是一元二次方程．購物中的一元二次方程
現實生活中，只要你有一雙善于發現的慧眼，你就會驚奇的感覺到：生活，時時刻刻都充滿著數學，整個生活就是用數學那美麗的花環編織起來的，絢麗多彩，讓人陶醉。
下面，請同學們欣賞！
例1
某商場銷售一批名牌襯衫．平均每天可售出20件，每件盈利40元，為了擴大銷售，增加盈利，盡快減少庫存，商場決定采取適當降價措施，經調查發現，如果每件襯衫每降價1元，商場平均每天多售出2件。
求：(1)若商場平均每天要盈利1
200元，每件襯衫應降價多少元
(2)若要使商場平均每天盈利最多，請你幫助設計方案．
解：(1)設每件襯衫應降價x元，則(40－x)(20+2x)＝l200
整理，得x2－30x+200＝0
解得x1＝10，x2＝20
因為要盡快減少庫存，∴x＝20
(2)商場每天盈利(40－x)(20+2x)＝－2(x－15)2+1250
當x＝15時，商場盈利最多，共1250元．
答：(1)每件襯衫應降價20元．(2)每件襯衫降價15元時，商場盈利最多。
點評：商場購物是我們每個人都經歷過的事情，但你注意、觀察、感悟過嗎？
例2
某型號的手機連續兩次降價，每個售價由原來的1185元降到了580元。設平均每次降價的百分率為x，則，列方程正確的是(
)
A.
580(1+x)2＝1185
B.1185(1+x)2=580
C.580(1－x)2=1185
D.1185(1－x)2=580
分析：由題意得：1185(1－x)2=580
解：D
點評：購買手機這件事情也充滿著數學，你看生活是多么的有意思啊！
例3
某電視機廠2001年生產一種彩色電視機，每臺成本3000元，由于該廠不斷進行技術革新，連續兩年降低成本，至2003年這種彩色電視機每臺成本僅1920元．問平均每年降低成本百分之幾
分析：設每年降低成本的百分率為。x，那么2002年的成本為3000(1－x)元，2003年的成本為3000(1－x)2元．根據題意可列方程3000(1－x)
2＝1920
解：設平均每年降低成本的百分率為x，依題意列方程3
000(1－x)
2＝l920
答：平均每年降低成本20％。
點評：平均降低率問題與平均增長率問題類似，只要把平均增長率公式a(1+x)＝b中的“+”號換成“－”號即可。
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1點擊中考中一元二次方程的應用
構造一元二次方程模型解決實際問題是中考的熱點之一，下面以部分中考試題為例加以說明．
一、市場經營問題
例1、某商場今年2月份的營業額為400萬元，3月份的營業額比2月份增加了，5月份的營業額達到633.6萬元，求3月份到5月份營業額的平均月增長率．
解：設3月份至5月份營業額的平均月增長率為．由題意，得
，
整理，得，
解得（不合題意，舍去）．
所以，3月份到5月份營業額的平均月增長率為．
二、農業稅問題
例2、今年，我國政府為減輕農民負擔，決定在5年內免去農業稅，某鄉今年人均上繳農業稅25萬，若兩年后人均上繳農業稅為16萬，假設這兩年降低的百分率相同．
（1）求降低的百分率；
（2）小紅家有4人，明年小紅家減少多少農業稅？
（3）小紅所在的鄉約有16
000農民，問該鄉農民明年減少多少農業稅？
解：（1）設降低的百分率為，由題意，得
，解得（不合題意，舍去）．
（2）小紅家減少的農業稅額為（元）．
（3）全鄉減少的農業稅額為（元）．
三、環保問題
例3、據某城市的統計資料顯示，到2003年末該城市堆積的垃圾已達50萬噸，不但侵占了大量土地，而且已成為一個重要的污染源，從2004年起，該城市采取有力措施嚴格控制垃圾的產生量，但根據預測，每年仍將產生3萬噸的新垃圾，垃圾處理已成為該城市建設中的一個重要問題．
（1）若2000年末該城市堆積的垃圾為30萬噸，則2001年初至2003年末產生的垃圾總量為　　萬噸．已知2001年產生的垃圾量為5萬噸，求從2001年初至2003年末產生的垃圾量的年平均增長率是多少？（參考數據：；結果保留兩個有效數字）
（2）若2004年初，該城市新建的垃圾處理廠投入運行，打算到2008年底前把所堆積的新、舊垃圾全部處理完，則該廠平均每年至少需處理垃圾多少萬噸？
解：（1）由題意，得（萬噸）．
設從2001年初至2003年末產生的垃圾量的年平均增長率為．由題意，得
，
解這個方程，得
（不合題意，舍去），即．
（2）（萬噸）．
四、幾何問題
例4、如圖，正方形的邊長為，劃分成個小正方形格．將邊長為（為整數，且）的黑白兩色正方形紙片按圖中的方式黑白相間地擺放，第一張的紙片正好蓋住正方形左上角的個小正方形格，第二張紙片蓋住第一張紙片的部分恰好為的正方形．如此擺放下去，最后直到紙片蓋住正方形的右下角為止．
請你認真觀察思考后，回答下列問題：
（1）由于正方形紙片邊長的取值不同，完成擺放時所使用正方形紙片的張數也不同，請填寫下表：
紙片的邊長
使用的紙片張數
（2）設正方形被紙片蓋住的面積（重合部分只計一次）為，未被蓋住的面積為．
①當時，求的值；
②是否存在使得的值，若存在，請求出這樣的值；若不存在，請說明理由．
解：（1）依次為：，，，，．
（2）．
①當時，，
所以．
②若時，則有，即，解之，得（舍去）．
所以當時，，即這樣的值是存在的．
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1求根公式法解一元二次方程的五個注意點
大家知道，一般地，對于一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)，當b2－4ac≥0時，方程有兩個實數根：x1,2＝；當b2－4ac＜0時，方程沒有實數根.盡管如此，我們在具體求解時還應注意以下幾個問題：
一、注意化方程為一般形式
　　例1　解方程：6x2+3x＝(1+2x)(2+x).
　　分析　將原方程整理成一元二次方程的一般形式后確定a、b、c的值，代入求根公式求解.
解　原方程可化為：4x2－x－2＝0.
因為a＝4，b＝－1，c＝－2，所以b2－4ac＝(－1)2－4×4×(－2)＝33＞0.
所以x＝＝＝，
即x1＝，x2＝.
說明　對于結構較為復雜的一元二次方程，一定要依據有關知識將其化為一般形式，然后才能想到運用求根公式.
　　二、注意方程有實數根的前提條件是b2－4ac≥0
例2　解方程：3x2＝5x－4.
分析　先移項，化原方程為一般形式，確定a、b、c的值，再估算一下b2－4ac的值.
解　移項，得3x2－5x+4＝0.
因為a＝3，b＝－5，c＝4，所以b2－4ac＝－23＜0，因此一元二次方程無實數解.
說明　由本題的求解過程，我們可以看出在解一元二次方程時，化一元二次方程為一般形式，確定a、b、c的值后，估算一下b2－4ac的值非常重要，不然就有可能出現下列的錯誤：x1,2＝＝.
三、注意a、b、c的確定應包括各自的符號
例3　解方程：2x2－5x+1＝0.
分析　已知方程已經是一般形式，只要對號入座地寫出a、b、c，再求b2－4ac的值，最后即求解.
解　因為a＝2、b＝－5、c＝1，所以b2－4a＝(－5)2－4×2×1＝17＞0.
所以x＝＝＝，
即x1＝，x2＝.
說明　確定出a、b、c的值，應注意兩個問題：一是要化原方程為一般形式，二是要注意連同a、b、c本身的符號，特別是“－”號更不能漏掉.
四、注意一元二次方程如果有根，應有兩個
例4　解方程：x(x－2)+3＝0.
分析　將原方程化為一般形式后代入求根公式.
解　原方程可化為x2－2x+3＝0.因為a＝1、b＝－2、c＝3，所以b2－4a＝(－2)2－4×1×3＝0.
所以x＝＝＝.
所以x1＝x2＝.
　　說明　當b2－4a＝0時表明原方程有兩個相等的實數根，所以在具體作答時不能出現x＝的錯誤.
　　五、求解出的根應注意適當化簡
例5　解方程：2x2－2x－1＝0.
　　分析　因為a＝2，b＝－2，c＝－1，所以b2－4ac＝(－2)2－4×2×(－1)＝12.
所以x＝＝＝.
所以x1＝，x2＝.
　　說明　本題利用求根公式求得的結果時應約去分子與分母中的公約數，以便使結果簡便，值得注意的是，在化簡時一定要注意不能出現差錯.
下面幾道題目供同學們自己練習：
用求根公式解下列方程：
1，x2－3x＋2＝0.
2，x2+2x＝3.
3，9x2+10x－4＝0.
4，10y2－12y+1＝0.
5，3x(x－1)＋2x＝2.
6，
x2+x－4＝0.
7，(x－)2＝4x.
8，3x(x－2)＝2(x－2).
用求根公式解下列關于x的方程：
9，x2+2ax+a2－b2＝0.
10，x2+2(p－q)x－4pq＝0.
　　11，(a2－b2)x2－4abx＝a2－b2(a2－b2≠0).
12，
(x+a)(x－b)+(x－a)(x+b)＝2a(ax－b).
參考答案：1，x1＝1，x2＝2；2，x1＝－3，x2＝1；3，x＝；4，x＝；5，x1＝1，x2＝；6，x＝；7，x1＝x2＝－；8，x1＝2，x2＝，9，x1＝－a－b，x2＝－a+b；10，x1＝－2p，x2＝2q；11，x1＝－，x2＝；12，x1＝0，x2＝a2.
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1剖析一元二次方程的概念
一、一元二次方程的概念及剖析
1.定義
只含有一個未知數,并且未知數的最高次數是2的整式方程叫做一元二次方程.
2.剖析
從一元二次方程的定義可知,一元二次方程需具備以下三個條件:
(1)只含有一個未知數,即未知數有且只有一個.如果方程中未知數的個數多于1個,那么它就不是一元二次方程.
(2)未知數的最高次數是2,即未知數
( http: / / www.21cnjy.com )的最高次數不能低于2,也不能高于2.但方程中是否存在一次項或常數項,并沒有提出要求.因此,可將方程進行降冪排列,觀察未知數的最高次數是否為2.
(3)方程的兩邊是整式.整式是單項式和多項式的統稱.說明分母不能含有未知數,被開數不能含有未知數.
只要某個方程不符合以上三條中的一條,那它就不是一元二次方程.反之,是一元二次方程,那么它就一定滿足以上三個條件.
3.注意
(1)判斷一個方程是否是一
( http: / / www.21cnjy.com )元二次方程,應以化簡后的結果為準.如化簡前含有未知數是2次的項,但是化簡后未知數最高次數是1,那它就不是一元二次方程.
(2)當方程中含有字母系數(又叫參數)時,應區分未知數和字母.如“關于x的方程……”,則表明x是未知數,而方程中其它字母均是常數.
(3)“×元×次方程”中的“元”指未知數,“次”指未知數的最高次數.
4.典例
例1
下列方程中,關于x的一元二次方程是(
)
A.3(x+1)2=2(x+1)
B.
( http: / / www.21cnjy.com )=0
C.ax2+bx+c=0
D.x2+2x=x2-1
解:因B中的分母含有未知數,所以它不是一
( http: / / www.21cnjy.com )元二次方程.C中字母a沒有強調不為0,若a=0,則C中未知數的最高次數低于2,因此,不能肯定C中的方程是否是一元二次方程.D中方程化簡后是一元一次方程.只有A中的方程符合一元二次方程的三個條件.故選A.
例2
方程(m+2)x|m|+3mx+1=0是關于x的一元二次方程,則(
)
A.m=±2
B.m=2
C.m=-2
D.m≠±2
解:由于一元二次方程中未知數的最高
( http: / / www.21cnjy.com )次數是2,所以|m|=2,即m=±2.但當m=-2時,原方程變為-6x+1=0,它是一元一次方程,不合題意,舍去.當m=2時,原方程變為4x2+6x+1=0,它是一元二次方程,故選B.
二、與一元二次方程的相關概念及剖析
1.概念
把方程化成形式ax2+bx+c=0(a≠0),這種形式叫一元二次方程的一般形式.
2.剖析
(1)一元二次方程的一般
( http: / / www.21cnjy.com )形式是將方程變形和整理后的一種很有規律的表達形式,它的左邊是未知數的二次三項式的降冪排列,且其中a通常寫成大于0的形式,而右邊是0.
(2)當一元二次方程化成一般形式后,左
( http: / / www.21cnjy.com )邊的三個單項式ax2,bx,c分別叫做二次項,一次項和常數項;且常數a,b分別叫二次項系數和一次項系數.
(3)一元二次方程的一般形式是用配方法或公式法求一元二次方程根的基礎.
3.典例
例3
把方程(
( http: / / www.21cnjy.com )1-3x)(x+3)=2x2+1化為一元二次方程的一般形式,并寫出二次項,二次項系數,一次項,一次項系數及常數項.
解:原方程化為一般形式是:
( http: / / www.21cnjy.com )5x2+8x-2=0(若寫成-5x2-8x+2=0,則不符合人們的習慣),其中二次項是5x2,二次項系數是5,一次項是8x,一次項系數是8,常數項是-2(因為一元二次方程的一般形式是三個單項式的和,所以不能漏寫單項式系數的負號).根據一元二次方程根的情況確定系數的取值范圍？
答案：
這部分題目特別容易忽視判別式這一隱含條件.實際上一元二次方程有兩個實數根,則必然有這一條件.根據此方程有兩個實數根,可先列出不等式，再確定系數。
【舉一反三】
典例：已知是一元二次方程的兩個實數根，且滿足不等式，求實數的取值范圍.
思路導引：一般來說，此類問題應先判定根的情況。∵一元二次方程有兩個實數根,
∴，即，
∵

∴

∵

∴

∴
標準答案：
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www.如何用一元二次方程解決增長率問題？
答案：求增長率問題時，應正確運用增長率公式：
【舉一反三】
典例：市政府計劃2年內將人均住房面積由現在的10m2提高到14.4m，求每年人均住房面積增長率．
思路導引：一般來說，此類問題應先分析數量關系式，正確運用增長率的公式，設出相關未知數，表示關系式。

設每年人均住房面積增長率為x．一年后人均住房面積就應該是10+10x=10（1+x）；二年后人均住房面積就應該是10（1+x）+10（1+x）x=10（1+x）2

解：設每年人均住房面積增長率為x，

則：10（1+x）2=14.4

（1+x）2=1.44

直接開平方，得1+x=±1.2

即1+x=1.2，1+x=-1.2

所以，方程的兩根是x1=0.2=20%，x2=-2.2

因為每年人均住房面積的增長率應為正的，因此，x2=-2.2應舍去．

所以，每年人均住房面積增長率應為20%．
標準答案：每年人均住房面積增長率應為20%．
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www.配方法的拓展與解析
配方法是對數學式子進行一種定向變形（配成“完全平方”）的技巧，通過配方找到已知和未知的聯系，從而化繁為簡。何時配方，需要我們適當預測，并且合理運用“裂項”與“添項”、“配”與“湊”的技巧，從而完成配方。有時也將其稱為“湊配法”。
最常見的配方是進行恒等變形，使數學式子出現完全平方。配方法的配方依據是二項完全平方公式(a＋b)＝a＋2ab＋b，將這個公式靈活運用，可得到各種基本配方形式，如：
a＋b＝(a＋b)－2ab＝(a－b)＋2ab；
a＋ab＋b＝(a＋b)－ab＝(a－b)＋3ab。
配方法在數學的教與學中有著廣泛的應用。在初中階段它主要適用于：一元二次方程、二次函數、二次代數式的討論與求解。經過幾年的教學實踐發現：很多情況下用配方法解一元二次方程或者求二次函數的頂點坐標要比用公式法簡單實用。
在應用配方法解一元二次方程（ax2+bx+c=0）時有兩種做法：
一種是先移走常數項，然后方程兩邊同時除以二次項的系數，把二次項系數化為1，再兩邊同時加上一次項系數（除以二次項系數后的）一半的平方，把原方程化成(x＋m)=n(n≥0)的形式，再兩邊同時開方，把一元二次方程轉化為一元一次方程。
典型例題：2x2+6x-3=0
解法1：移項得：2x2+6x=3
兩邊同時除以2得：
兩邊同時加得:
所以：
開方得：或
解得：
另一種方法是先移走常數項，然后通過“湊”與“配”進行配方。
解法2：移項得：2x2+6x=3
原方程變為：
即原方程化為：
兩邊同時開方得：或
解得：
與用配方法解一元二次方程不同的是，在用配方法求二次函數的頂點坐標時，要把二次項和一次項看作一個整體，提出（而不是除以）二次項的系數，再進行配方，但配方時與解一元二次方程的配方有所不同。
典型例題2：用配方法求的頂點坐標
解：
=
=
=
=
如上例，用配方法求二次函數頂點坐標時，不是等號兩邊同時加上一次項系數一半的平方，而是在中括號里加上一次項系數一半的平方，但為了保持原有的二次函數不變，必須在中括號里再減去一次項系數一半的平方。這是學生在以后學習用配方法求二次函數頂點坐標時經常與用配方法解一元二次方程相混淆的地方，也是學生經常出錯的地方。
另外配方法在二次代數式的討論與求解中應用也非常廣泛。
典型例題3：用配方法證明:無論x為何實數，代數式的值恒大于零。
與用配方法求二次函數的頂點坐標類似，此題也是把二次項和一次項看作一個整體，并對其進行配方。解法如下:
∵
=
=＞0
∴無論x為何實數，代數式的值恒大于零。
典型例題4：若，求的值。
此題可以運用“裂項”與“湊”的技巧，把-20xy裂成-18xy與-2xy的和，來完成配方，并根據完全平方式為非負數的性質把二元二次方程化為二元一次方程組。其解法如下：
∵
∴
即
∴，
∴
典型例題5：若M=3x2-8xy+9y2-4x+6y+13(x,y是實數)，則M的值一定是（
）
A
正數
B負數
C零
D整數
精析：先將元多項式轉化成幾個完全平方式的和的形式，然后就其結構特征進行合理的分析、推理，可達到目的。
解：因為M=3x2-8xy+9y2-4x+6y+13=2（x-2y）2+（x-2）2+（y+3）2≥0并且2（x-2y）2,（x-2）2,（y+3）2這三個式子不能同時為0，所以M〉0，故選A。
典型例題6
化簡二次根式
精析：復合二次根式的化簡是競賽中比較常見的問題，化簡的關鍵是將被開方數化成完全平方的形式，要用到配方的思想。
解：
同理可得
所以，原式=8
典型例題7
已知三角形的三邊a,b,c滿足a2+b2+c2=ab+ac+bc,請你判斷這個三角形的形狀。
精析：確定三角形的形狀，主要是討論三條邊之間的關系。代數式a2+b2+c2=ab+ac+bc之中蘊含了完全平方式，我們要重新拆項，組合如下：
2a2+2b2+2c2=2ab+2ac+2bc
2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc=0
a2-2ab
+b2+
a2-2ac+
c2+b2-2bc+c2=0
(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2=0
所以a=b=c
三角形是等邊三角形
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-關于估算的指導思想
“估算”在求解實際生活中一些較為復雜的方
( http: / / www.21cnjy.com )程時應用廣泛。因初中學生所學知識面所限，在本節課中讓學生體會用“夾逼”的思想解決一元二次方程的解或近似解的方法。其具體的指導思想是：將一元二次方程變形為一般形式：ax2+bx+c=0，分別將x1,x2代入等式左邊，當獲得的值為一正、一負時，方程必定有一根x0，而且x1
＜x0
＜x2。這是因為，當ax12+bx1+c＜0（或＞0）而ax22+bx2+c＞0（或＜0）時，在x1到x2之間由小變大時，ax2+bx+c的值也將由小于0（或大于0），逐步變成大于0（或小于0），其間ax2+bx+c的值必有為0的時候，此時的x值就是原方程的根x0。
時間允許的前提下，建議老師們可以講述如下例題，以讓學生更好地理解估算的指導思想。
例：不解方程，估計方程x2-4x-1=0的根的大小（精確到0.1）。
解：分別取x=-0.3與x=
( http: / / www.21cnjy.com )-0.2時，有(-0.3)2-4×(-0.3)-1=0.09+1.2-1=0.29＞0，(-0.2)2-4×(-0.2)-1=-0.16＜0。于是，方程x2-4x-1=0必有一根在－0.3和-0.2之間。
分別取x=4.2與x=4.3時，有4.
( http: / / www.21cnjy.com )22-4×4.2-1=-0.16＜0，4.32-4×4.3-1=0.29＞0。于是，方程x2-4x-1=0必有一根在4.2和4.3之間。
注：如若不能選準所取的x的值，也就無法進行估算，因此，本例中x取的值－0.3、－0.2以及4.2、4.3，是在多次進行實驗的基礎上獲得的。在估算根的范圍時，要進一步提高精確度，這里可以分別考慮取x＝
( http: / / www.21cnjy.com )＝-0.25和取x=
( http: / / www.21cnjy.com )=4.25時，x2-4x-1的正負情況，這樣根的估計就縮小了范圍，不斷重復以上工作，精確度就會逐步提高。
當然，在估計之初，你是不可能得到這么好
( http: / / www.21cnjy.com )的數據的，你一般可以隨便估計一個數，如0，發現0的時候，左邊小于0，而x正得很多或者負得很多時，對應的左邊的值大于0，因此可以再選取兩個絕對值比較大的數，這樣可以估計出兩個根的范圍，再逐步逼近。學習要點：一元二次方程的應用
列一元二次方程解實際應用題的一般步驟
具體的步驟一般是：
審題：仔細閱讀題目，分析題意，明確題目要求，弄清已知量，未知量以及他們之間的關系
（2）設未知數：一種方法是直接設所要求的量x，另一種是設與所求量有關系的，且具有關鍵性作用的未知量為x,即所求量可以用x表示出來
列代數式：用含有x的代數式表示出有關的未知量。
列方程：根據題目已知量和未知量的關系列出方程
解方程：利用配方法，公式法，因式分解法等求出未知量的值。
（6）檢驗：應用題中未知量的允許值往往有一定的限制，因此除了檢驗未知數的值是否滿足所列出的方程外，還必須檢驗它在實際問題中是否有意義
（7）寫出答案：根據題意，選擇合理的答案
1、平均增長率方面的應用題
平均增長率的公式：（a為起始量，b為終止量，n為增長的次數，x為平均增長率）.類似的，還有降低率問題，（a為起始量，b為終止量，n為增長的次數，x為平均增長率）.
2、利潤方面的應用題
總利潤=總銷售價—總成本
總利潤=單個的利潤×總銷售量
3、與幾何圖形有關的一元二次方程的應用題
與幾何圖形有關的一元二次方程的應用題主要是將數字與數字之間的關系隱藏在圖形中，這樣的圖形主要有三角形，四邊形（以后還有圓），涉及三角形的三邊關系、三角形全等、面積的計算、體積的計算、勾股定理等.
解答此類問題時，關鍵是把實際問題數學化，這就要求我們認真的分析題意，把實際問題中的已知條件和未知條件歸結到某一個幾何圖形中，然后用幾何原理來尋找他們之間的關系。
在解題時，聯想圖形中有關的幾何定理，面積和公式，這里運用了數行結合和化歸的思想。
4、數字問題
數的表示方法：
（1）三個連續的整數，設中間的一個為x，，則其余兩個分別為x-1,x+1.
(2)
三個連續的偶數（或奇數），設中間的一個為x，則其余的兩個分別為x-2，x+2.
（3）兩位數=十位上的數字×10+個位上的數字
（4）三位數=百位上的數字×100+十位上的數字×10+個位上的數字
【例1】
在一幅長80cm，寬50cm的矩形圖畫的四周鑲一條金色的紙邊，
制成一幅矩形的掛圖，如圖所示，如果要使整個面積是5400cm2，設金色紙邊的寬為x
cm，那么x滿足的方程為（
）
A.
B.
C.
D.
【例2】一個三位數，十位上的數字比個位上的數字大3，百位上的數字等于個位上的數字的平方，如果這個三位數比它的個位上的數字與十位上的數字之積的25倍大202，則這個三位數是__________________.
【例3】
某商店如果將進貨價為8元的商品按每件10元出售，每天可銷售200件，現采用提高售價，減少進貨量的方法增加利潤，如果這件商品每件漲0.5元，其銷售量就會減少10件，那么將售價定位多少時，才能使所賺利潤為640元？
【例4】
制造一種產品，原來每件的成本為100元，由于連續兩次降低生產成本，現在每件的成本為81元，則平均每次降低成本的（
）
A.
8.5%
B.9%
C.9.5
%
D.10%
【例5】
某大學為改善校園環境，計劃在一塊長為80cm，寬為60cm
的矩形場地的中央建一塊矩形網球場.網球場占地面積為3500m,四周為寬度相等的人行步道，求人形步道的寬度.
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1一元二次方程求根公式的推導
創新是一個學生學習數學的靈魂，是學業成績不斷提高的不竭動力．因此，同學們在數學學習的過程中，要
懷疑權威——書本和老師，不人云亦云．敢于對同一個問題要另辟途徑，探求問題的存在規律，只有這樣，我們的數學發展水平才能不斷提高．
比如，我們課本對一元二次方程求根公式的推導是通過配方法得到的，即：
對于方程ax2+bx+c=0(a≠0)
(1)方程兩邊同除以a得：x2+x+=0
(2)將常數項移到方程的右邊得：x2+x=﹣
(3)方程兩邊同時加上()2得：x2+x+()2=()2﹣
(4)左邊寫成完全平方式，右邊通分得：(x
+)2=
由a≠0得，4
a2＞0，所以，當b2－4ac≥0時，≥0，
所以，x=
除了上述推導方法外，不知道同學們是否思考過：還有其他方法嗎？
多思出智慧，多練出成績．我們也可以這樣推導：
方法1：ax2+bx+c=0(a≠0)
方程兩邊同乘以4a得：4
a2x2+4abx+4ac=0
方程兩邊同時加上b2得：4
a2x2+4abx+4ac+b2=b2
把4ac移到方程的右邊得：4
a2x2+4abx+
b2=b2－4ac
將左邊寫成完全平方式得：(2ax+b)2=
b2－4ac
當b2－4ac≥0時，有：
2ax+b=±
所以，2ax=﹣b±
因為，a≠0
所以，x=
方法2：ax2+bx+c=0(a≠0)
移項得：ax2+bx=﹣c
方程兩邊同乘以a得：a2x2+abx=﹣ac
方程兩邊同時加上()2得：a2x2+abx+()2=()2﹣ac
整理得：(ax+)2=﹣ac
即：(ax+)2=
當b2－4ac≥0時，
ax+=±
即：x=
同學們，沒有做不到，只怕想不到．對于任何問題，大家都要想一想：這個問題還有其他的解法嗎？問題都可以得到圓滿的解決．
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13
用公式法求解一元二次方程
新版【課后作業問題】問題一、P43
隨堂練習1.
答案：
（1）有兩個不相等實數根；（2）沒有實數根；（3）有兩個相等的實數根。
【舉一反三】
典例：方程2x2-3x+1=0有(
)．
A．有兩個不相等的實數根
B．有兩個相等的實數根
C．無實根
D．以上說法都不對。
思路引導：根據題意，確定該方程b2-4ac=1，可知方程有兩個不相等的實數根。
標準答案：B。
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www.如何列一元二次方程解決平移問題？
答案：
平移是物體運動的一種形式，恰當的平移往往能產生事半功倍的效果。
【舉一反三】
典例：某中學有一塊長為a米，寬為b米的矩形場地，計劃在該場地上修建寬都是2米的兩條互相垂直的道路,余下的四塊矩形小場地建成草坪。
（1）如圖，請分別寫出每條道路的面積（用含a或含b的代數式表示）
（2）已知a:b=2:1，并且四塊草坪的面積之和為312米2
，試求原來矩形場地的長和寬各為多少米？
思路導引：一般來說，此類問題應表示出圖形中的面積，特別注意重合部分。
雖然表示出兩條道路的面積為2a米2
和2b米2，但由于兩條道路有重合的部分，草坪的面積是矩形場地的面積減去兩條道路的總面積(2x+4x-4)
米2.（1）這兩條道路的面積分別為2a米2
和2b米2
（2）設b=x米，則a=2x米，由題意可得
x 2x-(2x+4x-4)=312
即x2-3x-154=0
(x-)2=
所以x-=或x-=-
整理得：x1=14
,x2=-11
(舍負根)
所以b=14
,a=28
即矩形的長為28米，寬為14米。
標準答案：（1）這兩條道路的面積分別為2a米2
和2b米2（2）矩形的長為28米，寬為14米。
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用公式法求解一元二次方程
新版【課后作業問題】問題五、P43
知識技能2.
答案：
（1）x1=1+，x2=1-；（2）x1=2，x2=-；
（3）x1=，x2=；（4）沒有實數根。
【舉一反三】
典例：用公式法解一元二次方程。（1）x2＋4x－3=0；
（2）
2x－1=－2x2。
思路引導：將方程化為一元二次方程的一般形式，判斷b2-4ac的值，再根據求根公式x=，解答即可。
標準答案：解：（1）x2＋4x－3=0
a=1，b=4，c=-3
所以b2-4ac=16+12=28，
x=
=-2±，
x1=-2+，x2=-2-。
（2）
2x－1=－2x2
原方程化為2x2+2x-1=0
a=2，b=2，c=-1
所以b2-4ac=4+8=12，
x=
，
x1=，x2=。
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1解一元二次方程課標要求
包括配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程．《義務教育數學課程標準（2011年版）》對解一元二次方程一節相關內容提出的要求如下。
1．理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解數字系數的一元二次方程．
2．會用一元二次方程根的判別式判別方程是否有實根和兩個實根是否相等．
3．了解一元二次方程的根與系數的關系．
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www.什么形式的一元二次方程可以用直接開平方法來解？
答案：

方程可化為一邊是含未知數的完全平方式,另一邊是一個常數,那么就可以用直接開平方法來求解.
直接開平方法的理論依據是平方根的定義及性質
【舉一反三】
典例：解方程x
2+6x+9=2
思路導引：一般來說，解一元二次方程應先觀察特點，再確定用什么方法求解。
原式可變為完全平方：（x+3）2=2，直接開平方，得：x+3=±，即x+3=，x+3=-

所以，方程的兩根x1=-3+，x2=-3-
標準答案：x1=-3+，x2=-3-
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www.用公式法求解一元二次方程學習要點
學習目標：
1、會一元二次方程的求根公式的推導。
2、會用求根公式解一元二次方程。
學習重難點：
重點：
公式的推導和用公式法解一元二次方程。
難點：
求根公式的推導。
學習要點：
1、求根公式的推導
ax2+bx+c=0
(a≠0)
方程兩邊都作以a，得
x2+x+=0
移項，得：
x2+x=－
配方，得：
x2+x+()2=－+()2
即：(x+)2=
∵a≠0，所以4a2>0
當b2－4ac≥0時，得
x+=±
EQ
\R(,)
=±
∴x=(此式稱為求根公式)
一般地，對于一元二次方程ax2+bx+c=0
(a≠0)
當b2－4ac≥0時，它的根是
x=
注意：當b2－4ac<0時，一元二次方程無實數根。
2、公式法
利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。
3、利用求根公式解一元二次方程的步驟
應用求根公式解一元二次方程，通常應把方程寫成一般形式，并寫出a、b、c的數值以及計算b－4ac的值。當熟練掌握求根公式后，可以簡化求解過程。
4、一元二次方程的判別式
我們把b－4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0
(a≠0)的根的判別式。
表示方法：
5、利用一元二次方程根的判別式判斷方程根的情況
(1)
當b2－4ac＞0時，方程有兩個不相等的實數根：
(2)
當b2－4ac=0時，方程有兩個相等的實數根：
(3)
當b2－4ac<0時，方程沒有實數根。
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1巧變一元二次方程
一些條件中含有(或可轉化為)一元二次
( http: / / www.21cnjy.com )方程的題目，往往不是去解這個二次方程，而是對方程進行適當的變形來代換，從而使問題易于解決．現舉例說明如下．
1.把方程
( http: / / www.21cnjy.com )變形為
( http: / / www.21cnjy.com )或
( http: / / www.21cnjy.com )，代換后使之轉化關系或整體的消去
( http: / / www.21cnjy.com )．
例1
已知
( http: / / www.21cnjy.com )是方程
( http: / / www.21cnjy.com )的根，則
( http: / / www.21cnjy.com )的值為__________．
解:由題設知
( http: / / www.21cnjy.com )，
原式=
( http: / / www.21cnjy.com )．
2.
把方程
( http: / / www.21cnjy.com )變形為
( http: / / www.21cnjy.com )，代換后使降冪或升冪.
例2
設
( http: / / www.21cnjy.com )，則
( http: / / www.21cnjy.com )=__________．
解:
由題設得
( http: / / www.21cnjy.com )，整理得
( http: / / www.21cnjy.com )．
所以，原式=
( http: / / www.21cnjy.com )．
3.
把方程
( http: / / www.21cnjy.com )直接作零值代換，使問題化繁為簡.
例3
若
( http: / / www.21cnjy.com )是方程
( http: / / www.21cnjy.com )的兩個根，那么(
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )的值等于____________．
解:由題設知
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )及
( http: / / www.21cnjy.com )
所以，原式=
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
=
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
=
( http: / / www.21cnjy.com )
=
( http: / / www.21cnjy.com )

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