資源簡介

由博弈產生的科學——概率
概率的產生帶有許多傳奇色彩，正如著名的數學家拉普拉斯所說的那樣：一門開始于研究博弈中輸贏機會的學問，居然成為人類文化中最重要的科學，這無疑是令人驚訝的事情，這門科學就是概率．真正為概率奠定基礎的是17世紀兩位法國著名的數學家帕斯卡和費馬．據說他們對當時一些博弈中提出的古怪問題進行了認真的討論，發現這種偶然現象的規律用以往的數學方法無法解決，必須開創和發展新方法，并預見到這種新方法將會對自然科學和哲學產生深刻的影響．
古怪問題的其中之一是“賭金分配問題”，它直接推動了概率的產生．對與之類似的問題有的同學也許并不陌生，在上學期的教科書中曾經提到過它，現在讓我們再回顧一下．比如，兩個人做擲硬幣游戲，擲出正面甲得1分，擲出反面乙得1分，先得到3分的人將贏得一個大蛋糕．如果游戲因故中途結束，此時甲得了2分，乙得了1分，他們該如何分配這個蛋糕呢？
甲乙二人對“蛋糕的如何分”發生了爭論．乙說：“再擲出一次正面你就獲勝，而再擲出兩次反面我就獲勝，因此你應得塊蛋糕，我應得塊．”“這不公平．”甲對此提出不滿，“即使下一次擲出了反面，我們兩人也是各得2分，各自得到塊蛋糕．何況下一次還有一半的可能擲出正面，所以我應得塊蛋糕，你應得塊．”
歷史上，也曾有人對類似這樣的問題發生過爭論，他們最后決定去請教帕斯卡和費馬．沒想到這個問題居然一下子難住了兩位大數學家，他們竟為此整整考慮了3年，最后終于解決了這個問題．
同學們，你們一定想知道問題的答案，下面我們就嘗試著討論一下：假如上面的游戲繼續下去，只要最多再擲兩次硬幣就一定能分出輸贏．再擲兩次硬幣會發生什么結果呢？你完全可以用學過的知識解決它，利用“樹狀圖”試一試！列出“樹狀圖”后我們會發現，一共有四種可能的結果（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反），其中前三種結果都是甲先得到3分，只有最后一種結果才能使乙先得到3分，因此，甲應得塊蛋糕，乙應得塊蛋糕．
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-頻率與概率的關系
在我們的日常生活中存在著大量隨機事件，我們已經學習了用列表法和樹形圖法求某些隨機事件發生的概率，但是當試驗的所有可能結果不是有限個，或者各種可能結果發生的可能性不相等時，如何確定某些隨機事件發生概率的大小呢 25.3節我們主要學習通過試驗體會“某一隨機事件發生的頻率無限的接近于理論概率”這一重要規律，以及運用隨機事件出現的頻率估計隨機事件發生的概率大小的重要方法.
一、關于在試驗中感悟“頻率穩定于概率”這一規律
通過大量的課內和課外的反復試驗，我們發現盡管隨機事件在每次試驗中發生與否具有不確定性，但只要保持試驗不變，當試驗次數很大時，那么這一事件出現的頻率就會隨著試驗次數的增大而趨于穩定，這個穩定值就可以作為該事件在每次試驗中發生的可能性(即概率)的一個估計值．例如從一副52張(沒有大小王)的牌中每次抽出一張，然后放回洗勻再抽，在這個試驗中，我們可以發現，雖然每次抽取的結果是隨機的、無法預測的，是一個隨機事件，但是隨著試驗次數的增加，出現每一種花色牌的頻率都穩定在25％左右，因此我們可以用平穩時的頻率估計牌在每次抽出時的可能性，即概率的大小.
二、關于用頻率估計概率的大小
在隨機事件中.雖然每次試驗的結果都是隨機的、無法預測的，但是不確定事件的發生并非完全沒有規律.隨著試驗次數的增加，隱含的規律會逐漸顯現，事件出現的頻率會逐漸穩定到某一個值.大量試驗表明：當試驗次數足夠多時，事件A發生的頻率會穩定到它發生的概率的大小附近，所以，我們常用頻率估計事件發生的概率．用頻率估計事件發生的概率時，需要說明以下幾點：
(1)頻率和概率是兩個不同的概念，二者既有區別又有聯系.事件的概率是一個確定的常數，而頻率是不確定的，當試驗次數較少時，頻率的大小搖擺不定，當試驗次數增大時，頻率的大小波動變小，并逐漸穩定在概率附近.
(2)通過試驗用頻率估計概率的大小，方法多種多樣，但無論選擇哪種方法，都必須保證試驗應在相同的條件下進行，否則結果會受到影響.在相同條件下，試驗的次數越多，就越有可能得到較準確的估計值，但每個人所得的值并不一定相同.
(3)頻率和概率在試驗中可以非常接近，但不一定相等，兩者存在一定的偏差是正常的，也是經常的.如隨機拋擲一枚硬幣時，理論上“落地后國徽面朝上”發生的概率為，可拋擲1000次硬幣，并不能保證落地后恰好500次圍徽面朝上，但經大量的重復試驗發現，“落地后國徽面朝上”發生的頻率就在附近波動．
(4)事件的概率需要用穩定時的頻率來估計．它需要做充分多的試驗才能較準確.需要注意的是一次試驗的結果是隨機的、無法預測的，不受概率的影響.
(5)我們不但可以運用事件出現的頻率來估計這一事件在每次試驗中發生概率的大小，同樣，當我們預知某一事件在每次試驗中發生的概率大小的值，就可以知道當試驗次數很大時這一事件出現的頻率逐漸會接近于這個概率值
此外還應補充的一點是，雖然用試驗的方法可以幫助我們估計隨機事件發生的機會的大小，但有時手邊恰好沒有相關實物，或者用實物進行試驗困難很大時.我們就需要用替代物進行模擬試驗．進行模擬試驗時應注意：(1)模擬試驗的多樣性，即同一試驗可以有多種多樣的替代物；(2)模擬試驗必須在相同的條件下進行.
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1用列舉法求概率課標解讀
一、課標要求
包括用列表法求概率和用畫樹狀圖法求概率等內容．《義務教育數學課程標準（2011年版）》對本節相關內容提出的教學要求如下：
能通過列表、畫樹狀圖等方法列出簡單隨機事件所有可能的結果，以及指定事件發生的所有可能結果，了解事件的概率．
二、課標解讀
1．用列舉法求概率是在第二學段定性描述隨機現象發生可能性基礎上，對隨機事件發生的可能性（概率）進行定量研究．對于試驗只涉及一個因素或只需要一步完成的，可以采用直接列舉的方法．而當試驗涉及兩個或兩個以上因素時，直接列舉容易造成試驗可能結果的重復或遺漏，而采用列表和畫樹狀圖來輔助列舉，則可以條理清楚、不重不漏地列舉試驗的結果，而且容易找出指定事件所包含的試驗結果．從而可以利用概率的古典定義，計算簡單隨機事件的概率，深化對概率意義的認識．
2．這里所說的列表法，是通過建立二維表格，將試驗涉及的兩個因素的所有結果，分別寫在表頭的橫行和豎列中，而將表頭中所列出的結果按序排列在表中，就可以不重不漏地列出這兩個因素所組成的所有可能結果．教學中要讓學生體會列表法的作用，弄清列表法是針對涉及兩個因素或是分兩步實施的試驗．對于涉及到三個因素或分三步完成的試驗，這種列二維表格的方法則不適用．
3．畫樹狀圖法是一種借助圖形的形式列舉試驗結果的又一方法，它能夠更好地體現分步思考的結果．和列表法相比，它的適用性更加廣泛，其不僅適用每個試驗包含兩個子結果的情形，更適用于每個試驗子結果數超過兩個的情形．理論上講，只要試驗涉及的因素有限，且每個因素可能出現的結果有限，畫樹狀圖法都可以列舉出試驗所有的可能結果．但過多的層次和過多的結果數，除了增加列舉的難度，對學生理解概率的意義沒有太大的幫助．所以，教學中畫樹狀的問題不宜超過三步．
4．無論是用列表法還是畫樹狀圖法，目的都是能夠清晰地、有條理地、不重不漏地列舉試驗的所有可能結果，以滿足古典概率定義的條件．教學中應該與學生一起歸納兩種方法求概率的一般步驟．
5．概率與現實生活的聯系比較緊密．這一領域的內容對學生來說應該是充滿趣味性和吸引力的．教學中應該結合實際情況，挖掘身邊的一些素材，選擇典型的、學生感興趣的和富有時代氣息的現實問題作為例子，在解決這些實際問題的過程中培養隨機觀念，學習計算概率的方法，理解概率的意義，體會概率與實際生活的密切聯系，調動學生學習概率知識的積極性，提高他們應用知識解決問題的能力．
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1例析用概率知識討論游戲公平性
用概率知識討論游戲公平性的題目在近幾年的中考試卷中層出不窮，今舉數例，供同學們學習時參考.
一、雙轉盤游戲
例1.
（蘭州市）有兩個可以自由轉動的均勻轉盤A、B，分別被分成4等份、3等份，并在每份內均標有數字，如圖所示，丁洋和王倩同學用這兩個轉盤做游戲，游戲規則如下：
①分別轉動轉盤A和B；②兩個轉盤停止后，將兩個指針所指份內的數字相加（如果指針恰好停在等分線上，那么重轉一次，直到指針指向某一份為止；③如果和為0，丁洋獲勝，否則王倩獲勝．
（1）用列表法（或樹狀圖）求丁洋獲勝的概率；
（2）你認為這個游戲對雙方公平嗎？請說明理由．
分析：要求丁洋獲勝的概率，則需要求出轉動兩個轉盤停止后，指針所指的兩個數字之和為0的可能的結果數及所有可能的結果數，從而求出其概率，對于第（2）問，看雙方獲勝的概率是否相等即可.
解：（1）每次游戲可能出現的所有結果列表如下：
轉盤B轉盤A
0
-1
-2
0
（0，0）
（0，-1）
（0，-2）
1
（1，0）
（1，-1）
（1，-2）
2
（2，0）
（2，-1）
（2，-2）
3
（3，0）
（3，-1）
（3，-2）
根據表格，共有12種可能的結果，其中和為0的有三種：（0，0），（1，-1），（2，-2）．
故丁洋獲勝的概率為P==．
（2）這個游戲不公平．
因為丁洋獲勝的概率為，王倩獲勝的概率為，故游戲對雙方不公平．
評注：要判斷游戲規則是否公平，則需判斷游戲雙方獲勝的概率是否相等，只有雙方獲勝的概率相等時，游戲才公平，否則，誰獲勝的概率大，游戲就對誰有利.
二、摸球游戲
例2.（衡陽）A、B兩個口袋中均有3個分別標有數字1、2、3的相同的球，甲、乙兩人進行玩球游戲．
游戲規則是：甲從A袋中隨機摸一個球，乙從B袋中隨機摸一個球，當兩個球上所標數字之和為奇數時，則甲贏，否則乙贏．問這個游戲公平嗎 為什么
分析：可以利用列表法或畫樹狀圖法來幫助分析問題.
解：不公平
下面列舉所有可能出現的結果：
由此可知，和為奇數有4種，和為偶數有5種
∴甲贏的概率為4/9，乙贏的概率為5/9
∴不公平
評注：列舉的方法有列表法和畫樹狀圖兩種方法.一般地.畫樹狀圖法適用于求兩步及兩步以上的隨機事件的概率，列表法只適用于求兩步實驗的隨機事件的概率.列表時要注意列全所有可能出現的結果.
除了上面所列舉的兩種情況外，還有撲克牌游戲（如《計算概率的幾種方法》中的例4）擲骰子游戲，剪子、包袱、錘游戲等，這里就不一一說明了.請同學們自己結合相關題目仔細體會.
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2轉盤游戲中的概率問題
轉盤游戲是同學們很熟悉的游戲，其中蘊涵的概率知識非常豐富，越來越多成為中考題的背景材料，頻頻出現中考的題目中，現舉例進行說明：
一、一個轉盤中的概率問題
例1（海南）右圖是一個被等分成6個扇形可自由轉動的轉盤，轉動轉盤，當轉盤停止后，指針指向紅色區域的概率是　　　　　．
分析：由于一個圓平均分成6個相等的扇形，而轉動的轉盤又是自由停止的，所以指針指向每個扇形的可能性相等，即有6種等可能的結果，在這6種等可能結果中，指針指向寫有紅色的扇形有三種可能結果，所以指針指到紅色的概率是，也就是
解：
點評：由概率的定義求概率是常用方法，即找到某一事件的所有等可能出現的結果，然后找到這一事件發生的等可能結果，利用兩者作商，就可以求出這個事件的概率。
二、兩個轉盤的概率問題
例2
有兩個可以自由轉動的均勻轉盤，都被分成了3等份，并在每份內均標有數字，如圖所示．規則如下：
①分別轉動轉盤；
②兩個轉盤停止后，將兩個指針所指份內的數字相乘（若指針停止在等份線上，那么重轉一次，直到指針指向某一份為止）．
（1）用列表法（或樹狀圖）分別求出數字之積為3的倍數和數字之積為5的倍數的概率；
（2）小亮和小蕓想用這兩個轉盤做游戲，
他們規定：數字之積為3的倍數時，小亮得2分；數字之積為5的倍數時，小蕓得3分．這個游戲對雙方公平嗎？請說明理由；認為不公平的，試修改得分規定，使游戲對雙方公平．
分析：對于多步發生的事件，我們通常可以用列表法
或樹狀圖來求概率，用列表示來求概率時，用橫行來表示一步的
所有等可能結果；用豎列來表示另一步的所有等可能結果，用樹狀圖主要求三步或三步以上的事件求概率。游戲是否公平關鍵就看小亮和小蕓的每次得分，若兩人的每次得分相等，則游戲公平，否則游戲不公平。
解：（1）每次游戲可能出現的所有結果列表如下：
轉盤B的數字轉盤A的數字
4
5
6
1
（1，4）
（1，5）
（1，6）
2
（2，4）
（2，5）
（2，6）
3
（3，4）
（3，5）
（3，6）
表格中共有9種等可能的結果，則數字之積為3的倍數的有五種，其概率為；數字之積為5的倍數的有三種，其概率為．
（2）這個游戲對雙方不公平．
小亮平均每次得分為（分），
小蕓平均每次得分為（分）．
，游戲對雙方不公平．
修改得分規定為：若數字之積為3的倍數時，小亮得3分；若數字之積為5的倍數時，小蕓得5分即可．
點評：修改規則，使游戲變得公平這類問題，對于概率不同的問題，可以通過修改事件，來達到概率相同的目的，對于得分問題，既可以修改事件，又可以修改得分規定，來達到游戲公平。
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1運用概率對血緣關系進行分析
日本電視連續劇《血疑》，是圍繞著血型的疑問而展開的．劇中的四個主要人物，相良、理惠、幸子和光夫的血型均為AB，RH陰性．他們之間的血緣關系是：幸子為相良與理惠所生，光夫為相良與多加子所生．多加子的血型在劇中雖說沒有亮相，但從科學角度分析，也不應當是任意的．
《血疑》的故事情節，當然是虛構的，本文想從科學的角度研究一下《血疑》中的血型結構，究竟有多大的現實可能性．
1990年美籍奧地利生物學家朗德斯特納（Land—steiner）發現了血球的凝結現象．此后，學者們又陸續發現了人類的血液可以按照凝結與否而分為若干大類，并稱之為血型．1924年，波斯汀（Bernstein）提出了“三復等位基因“的學說．這一著名學說的要點是：人類的血型受體細胞第七對染色體中的A基因，B基因和O基因控制．在一個位點上，A，B，C三種基因必居其一．這樣，在受精過程中，兩條染色體相配，可以表現出六種基因的基本組合，OO，OA，OB，AA，AB，BB．由于A，B基因屬于顯性，O基因屬于隱性，所以A，B能表現出來，O卻不能表現出來．因此，上述六種基因組合中，OA與AA均表現為A型，OB與BB均表現為B型加上O型（OO）與AB型，一共有四種表現型：
據有關資料統計，世界上不同人種中的血型分布有很大的不同．以黃色人種為例，血型為A的占，血型為B的占，AB的占，O型占．血型中Rh陰性者占．
由于《血疑》的故事是發生在黃種人的日本，所以在人口中出現AB，Rh陰性的概率為：
，即萬分之八，
而同是AB，Rh陰性的相良和理惠結合的概率為：．他們的子女的血型，按奧地利遺傳學家孟德爾（Mendel，1822～1884）的分離自由組合定律，可能有A型，Ｂ型和AB型三種．由下圖可知，由下圖可知，自由組合中AB型占．注意到幸子是女生，又其血型不僅是AB型，而且還是Rh陰性等各種獨立的限制，可得這一情形出現的概率為：
．
綜合上述，相良、理惠及其女兒幸于這一血緣鏈中，三者血型均為AB，Rh陰性的概率為：
．
現在看另一條血緣鏈．由于相良和光夫父子的血型都是AB型，因而盡管不知道母親多加子的血型，但可以肯定她的血型不會是O型．因為如若是O型，就不可能分離組合出AB型的子代．這樣，多加子的血型組合基因只能是AO，AA，BO，
BB，
AB五種．
對多加子的上述五種可能的血型基因組合，像前面那樣利用孟德爾分離組合定律，逐一加以計算．考慮到黃種人的多加子，能夠獲得各種基因組合的百分比，便可算得光夫血型為AB，Rh陰性的概率如下表：
多加子血型基因
血型基因所占比例
相應光夫AB，Rh陰性概率
AO
AA
BO
BB
AB
這就是說，在相良血型為AB的前提下，光夫血型為AB，Rh陰性的概率為：．
最后，我們來研究相良、理惠、幸子和光夫四人血型同為AB，Rh陰性的可能性．很明顯，幸子與光夫之間的血型，是不可能沒有關系的．因為他們畢竟是同父異母的兄妹．所以，當我們算得相良、理惠和幸子的血型同為AB，Rh陰性的概率之后，繼而計算光夫的血型概率時，就必須考慮“同父”的條件．好在當我們計算時，已經把相良血型是AB
作為前提．于是，我們終于得出四人血型同為AB，Rh陰性的概率：
．
五千億分之一！這比千載難逢的“生日相同五同胞”的概率還要小三十倍．因此，我們可以斷言：電視劇《血疑》中的血型結構，完全是一種臆造和夸張，在現實世界上是不可能發生的．這就是關于電視連續劇《血疑》的質疑的科學結論．
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1怎樣分配才合理
17世紀的一天，保羅與著名的賭徒梅爾睹錢，每人拿出6枚金幣，比賽開始后，保羅勝了一局，梅爾勝了兩局，這時一件意外的事中斷了他們的賭博，于是他們商量這12枚金幣應怎樣分配才合理.
保羅認為，根據勝的局數，他應得總數的，即4枚金幣，梅爾得總數的，即8枚金幣；但精通賭博的梅爾認為他贏的可能性大，所以他應得全部賭金，于是，他們請求數學家帕斯卡評判，帕斯卡又求教于數學家費爾馬，他們一致的裁決是：保羅應分3枚金幣，梅爾應分9枚.
帕斯卡是這樣解決的：如果再玩一局，或是梅爾勝，或是保羅勝,如果梅爾勝，那么他可以得全部金幣(記為1)；如果保羅勝，那么兩人各勝兩局，應各得金幣的一半(記為).由這一局中兩人獲勝的可能性相等，因此梅爾得金幣的可能性應該是兩種可能性大小的一半，即梅爾為(1+)÷2=，保羅為(0+)÷2＝.所以保羅為（0+）÷2=.所以梅爾分9枚，保羅分3枚.
費爾馬是這樣考慮的：如果再玩兩局，會出現四種可能的結果：(梅爾勝，保羅勝)；(保羅勝，梅爾勝)；(梅爾勝，梅爾勝)；(保羅勝，保羅勝).其中前三種結果都是梅爾勝，只有第四種結果保羅才能取勝.所以梅爾取勝的概率為，保羅取勝的概率為，所以梅爾分9枚，保羅分3枚.
帕斯卡和費爾馬還研究了有關這類隨機事件的更一般的規律，由此開始了概率論的早期研究工作.
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1用列表法求簡單隨機事件的概率
一、列表法求簡單隨機事件的概率
突破建議：
1．如果試驗所涉及的因素包含兩個，或試驗的完成需要兩步進行時，采用直接列舉容易造成重復和遺漏，而用列表法則可以避免上述問題．
2．教學中要盡量設計一些貼近學生實際的問題，幫助學生建立基本模型，歸納列表的方法及利用列表法求概率的一般步驟．
3．列表法求概率的基本方法，概括起來可以是一列（列表）；二數（對試驗可能產生的所有結果和所求事件出現的可能結果進行計數）；三算（利用古典概率的定義，進行計算）．
例1
小聰、小明和小慧設計了一個游戲：同時擲兩枚硬幣，如果都是正面朝上，小聰羸；如果都是反面朝上，小明贏；如果是一正一反，小慧贏．你來判斷一下，這個游戲公平嗎？
解析：這個問題貼近學生實際生活，試驗中涉及兩個因素，每個因素只有兩個取值，最后可能產生的結果數量不多，用直接列舉的方法，可以實現．但如果學生忽略了區分兩個硬幣，則易出現錯誤判斷．因而在列舉試驗結果時，可以預先對兩枚硬幣進行編號硬幣1和硬幣2，這樣可以將所有情況一一列舉出來：正1正2（記為事件A）；正1反2；反1正2；反1反2（記為事件B），顯然這四種情況出現的可能性相等．因而P(A)=，P(B)=，而一正一反（記為事件C）的結果共有2種，所以P(C)=．由于三個事件的概率不同，因而這個游戲是不公平的．教學中，可以讓學生嘗試建立一個二維表格，將表頭的橫行表示擲第一枚硬幣所有可能的兩種結果，豎列則表示擲第二枚硬幣所有可能的兩種結果，每個格中就可以依據先后次序表示擲兩枚硬幣的一種可能結果．通過表格，可以更加直觀地看到，所有結果共有4個，且這4
個結果出現的可能性相等．
二、確定試驗的分步實施或涉及因素準確列表
突破建議：
1．教學中教師要引導學生對需要進行列舉試驗結果的問題進行分析，弄清每個試驗所涉及的因素．對于只涉及兩個因素（或分兩步實施）的試驗，且每個因素的取值個數較多時，優選列表法，讓學生體會列表法的作用．
2．列表法是依據試驗涉及的兩個因素（或是兩個步驟），將它們分別作為表格的橫縱表頭，而將實驗的所有結果寫在表格之中，從而實現不重不漏地列舉出所有結果．在用列表法時，寫在表格內的結果一定要注意區分兩個因素或確定分步實施的先后次序，這樣才能保證試驗結果的等可能性．在具體教學中，要做一些適當的變式練習，以鞏固學生對列表法的應用，但要注意控制難度，不要引入結果種數太多的試驗．
例2
同時拋擲兩枚質地均勻的骰子，計算下列事件的概率：
(1)兩個骰子的點數相同；
(2)兩個骰子的點數的和是9；
(3)至少有一個骰子的點數為2．
解析：在這個問題中也是涉及到了兩個因素（第一枚骰子和第二枚骰子），而每個因素的取值個數較多，達到6種，如果直接列舉會比較復雜，而且可能會出現重復或遺漏．因而可以采用列表格的形式，將第一枚骰子的所有結果作為表頭的橫行，將第二枚骰子的所有可能結果作為表頭的縱列，并按序將兩枚骰子共同組成的所有可能結果填入表格中．通過表格發現共有36種結果，而且它們的可能性相等．在此基礎上，找出上面問題中三個具體事件包含的試驗結果，利用古典概率的定義不難求出三個事件發生的概率．
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1例析用列表法或樹狀圖求事件的概率
列表法或樹狀圖是查找事件所有可能結果的非常有效的方法，要根據“求某事件的概率”的題目的具體特點，選用列表法或畫樹狀圖法，找出事件所有等可能結果，才能正確解決這類問題。
利用列舉法求概率的關鍵在于正確列舉出實驗結果的各種可能性，當事件只有一步或涉及一個因素時，通常用直接列舉法。
例1（天門市）2006年6月5日是中國第一個“文化遺產日”，某中學承辦了“責任與使命——親近文化遺產，傳承文明火炬”的活動，其中有一項“抖空竹”的表演，已知有塑料、木質兩種空竹，甲、乙、丙三名同學各自隨機選用其中的一種空竹。求甲、乙、丙三名學生恰好選擇同一種空竹的概率。
解析：三名同學的選擇可以選擇塑料和木質兩種，我們可以將選擇情況用列舉法及樹狀圖解決。
解：設塑料—A，木質—B。
P（M）=
例2（濟南市）在一個不透明的盒子中放有四張分別寫有數字1，2，3，4的紅色卡片和三張分別寫有數字1，2，3的藍色卡片，卡片除顏色和數字外完全相同。
（1）從中任意抽取一張卡片，求該卡片上寫有數字1的概率；
（2）將3張藍色卡片取出后放入另外一個不透明的盒子內，然后在兩個盒子內各任意抽取一張卡片，以紅色卡片上的數字作為十位數，藍色卡片上的數字作為個位數組成一個兩位數，求這個兩位數大于22的概率。
解：（1）在7張卡片中共有兩張卡片寫有數字1
從中任意抽取一張卡片，卡片上寫有數字1的概率是。
（2）組成的所有兩位數列表為：
1
2
3
4
1
11
21
31
41
2
12
22
32
42
3
13
23
33
43
或列樹狀圖為：
這個兩位數大于22的概率為
練一練：
1、（大連市）為豐富學生的校園文化生活，振興中學舉辦了一次學生才藝比賽，三個年級都有男、女各一名選手進入決賽。初一年級選手編號為男1號、女1號，初二年級選手編號為男2號、女2號，初三年級選手編號為男3號、女3號。比賽規則是男、女各一名選手組成搭檔展示才藝。
（1）用列舉法說明所有可能出現搭擋的結果；
（2）求同一年級男、女選手組成搭檔的概率；
（3）求高年級男選手與低年級女選手組成搭檔的概率。
參考答案：
解：（1）方法一：樹狀圖：
共9種等可能結果；
方法二：列表：
男1號
男2號
男3號
女1號
男1號，女1號
男2號，女1號
男3號，女1號
女2號
男1號，女2號
男2號，女2號
男3號，女2號
女3號
男1號，女3號
男2號，女3號
男3號，女3號
共9種等可能結果；
（2）所有等可能的結果為9種，同一年級男、女選手組成搭檔的情況有3種：男1號、女1號，男2號、女2號，男3號、女3號。
（同一年級男、女選手組成搭檔）。
（3）所有等可能的結果為9種，高年級男選手與低年級女選手組成搭檔的情況有3種：男3號、女2號，男3號、女1號，男2號、女1號。
（高年級男選手與低年級女選手組成搭檔）
十位數
個位數
男
選
手
組
合
搭
檔
女
選
手
PAGE
1下一個百萬富翁就是你？
“下一個百萬富翁就是你!”這句響亮的且極具誘惑力的話是彩票的廣告詞.花上幾元錢,買一張彩票,然后就中了幾百萬乃至上千萬的巨額獎金,這大概是很多人夢寐以求的事.可是這樣的機會有多大呢
我們以前段時間比較流行的中國體育福利彩票為例來計算一下.買一注彩票,你只需在0到9的10個數字中任意選取7個,可以重復.在每一期開獎時有一個專門的搖獎機按順序隨機搖出7個標有數字的小球,如果你買的號碼與開獎的號碼一致,那你就中了特等獎,其獎金最高是500萬元.可是,當我們計算這種搖獎方式能產生出多少種不同的情況時,我們會嚇一跳:10×10×10×10×10×10×10=10000000種!這就是說,假如你只買了一注彩票,7個號碼按順序與開獎號碼完全一致的機會是一千萬分之一.一千萬分之一是一個什么樣的概念呢 如果每星期你堅持花20元買10注彩票,那你在每19230年中有贏得一次大獎的機會;即使每星期堅持花2000元買1000注,也大致需要每192年才有一次中大獎的機會.這幾乎是單靠人力所不能完成的,獲大獎僅是我們期盼的偶然中的偶然事件.即數學上歸為小概率事件之列.
概率理論從賭博中發展而來,又反過來成為賭場老板賺錢的強大工具.進入賭場的人總是相信自己運氣十足,孰不知賭場莊家早已利用概率規律為他們設下了陷阱.例如,很多賭場里的老虎機上都頂著跑車,下面寫著告示,告訴賭客已經有多少人玩了游戲,車還沒送出,暗示現在輪到你的機會大增.但這其實是賭場利用概率規律為賭徒設下的一個誘惑陷阱.概率里有一個重要的規律就是隨機事件的獨立性,在隨機事件中下次事件發生與否與上次事件是沒關系的.
但人們通常都對這個規律無知無覺,很多情況下,人們因為前面已經有了大量的未中獎人群而去買彩票或參與到游戲中去.實際上,只要得大獎的規則沒有變化,每人是否幸運,和前面的人是否中獎毫無關系,并不會因為前面人沒中獎你就多了中獎的機會.莊家在參與賭博時已經設計好了一個有利于自己的概率,而很多玩家卻渾然不知.
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1利用樹狀圖或列表法求概率。
答案：
畫樹狀圖是列舉事件的所有可能結果的重要方法。樹狀圖是將實驗中的第一步的結果寫在第一層，第二步的結果寫在第二層，以此類推，把所有事件可能的結果一一列出，其特點直觀又有條理性。
列表法也是列舉隨機事件的所有可能結果的重要方法，當事件涉及兩步時，將其中一個步驟作為行，另一個步驟作為列，列出表格，最后將事件所有可能的結果列在表格中。
【舉一反三】
典題：（2014·舟山）有三輛車按1，2，3編號，舟舟和嘉嘉兩人可任意選坐一輛車．則兩人同坐3號車的概率為　　．
思路導引：根據題意畫出樹狀圖，得出所有的可能，進而求出兩人同坐3號車的概率．
標準答案：解：由題意可畫出樹狀圖：
，
所有的可能有9種，兩人同坐3號車的概率為：．
故答案為：．
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www.象棋比賽陣容
少年宮請來了一位象棋大師，他對少年象棋隊的隊員們做了一些輔導之后，決定與少年棋手來幾盤棋賽。大師的棋藝高出少年棋手好多好多，怎么能比呢？不要緊，大師下的是盲棋——不看棋盤，由別人將對手的走著告訴大師，大師再把自己的走著告訴這個人，由他代走。
比賽作了這樣的約定：由少年象棋隊挑出兩名隊員，輪流與大師賽棋，共賽三盤。如果能連勝大師兩盤，就算少年棋隊勝。注意：是連勝兩盤，不是共勝兩盤。
假定少年棋手甲能勝大師的概率是0．75，乙能勝大師的概率是0．5，那么少年棋隊應該用“甲—乙—甲”，還是用“乙—甲—乙”的陣容來對付大師呢？
“當然用‘甲—乙—甲’陣容啦！甲是我隊最好的隊員嘛！”少年棋隊的隊員們一致這樣看。
其實，“甲—乙—甲”陣容戰勝大師（連勝兩盤）的概率比“乙—甲—乙”陣容戰勝大師的概率要小一些。
為什么呢？我們在這里只做一些直觀的解釋。
用“甲—乙—甲”陣容參戰，最佳的棋手可以上場兩次，看來好像是有利的。但是，我們現在的規則是：連勝兩盤才能算少年隊贏。用這個陣容，即使甲勝了兩盤，也沒用，因為不是“連勝”兩盤。
要連勝兩盤，必須在第二盤比賽中取勝，因此第二盤比賽是關鍵。而“乙—甲—乙”陣容，就是把最佳選手安排在最關鍵的場合，所以是較好的方案。
拼圖游戲中的概率
記得小的時候，母親和我經常用5張同樣規格的硬紙片做拼圖游戲，正面如圖1所示，背面完全一樣，將它們背面朝上攪勻后，先抽取一張后，放回攪勻，再抽取第二張．規則如下：
當兩張硬紙片上的圖形可拼成電燈或小人時，我贏；
當兩張硬紙片上的圖形可拼成房子或小山時，母親贏（如圖2）．
結果總是母親贏得多，而我贏的少。
問題：游戲規則對雙方公平嗎？請說明理由；若你認為不公平，如何修改游戲規則才能使游戲對雙方公平？
房子
電燈
小山
小人
（圖2）
（圖1）
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1例析用列舉法解轉盤概率題
轉盤游戲涉及的隨機事件發生的概率問題，通常用列舉法來解．列舉的方法有兩種：列表法和畫樹狀圖法．現以中考題為例，加以說明．
例1（廣東省廣州市中考題）如圖1，甲轉
( http: / / www.21cnjy.com )盤被分成3個面積相等的扇形、乙轉盤被分成2個面積相等的扇形．小夏和小秋利用它們來做決定獲勝與否的游戲．規定小夏轉甲盤一次、小秋轉乙盤一次為一次游戲（當指針指在邊界線上時視為無效，重轉）．
（1）小夏說：“如果兩個指針所指區域內的數之和為6或7，則我獲勝；否則你獲勝”．按小夏設計的規則，請你寫出兩人獲勝的可能性肚分別是多少
（2）請你對小夏和小秋玩的這種游戲設計一種公平的游戲規則，并用一種合適的方法(例如：樹狀圖，列表)說明其公平性．
解：（用列表法來解）
（1）所有可能結果為：
甲
1
1
2
2
3
3
乙
4
5
4
5
4
5
和
5
6
6
7
7
8
由表格可知，小夏獲勝的可能為：
( http: / / www.21cnjy.com )；小秋獲勝的可能性為：
( http: / / www.21cnjy.com )．
（2）同上表，易知，和的可能性中，有三個奇數、三個偶數；三個質數、三個合數．
因此，游戲規則可設計為：如果和為奇數，小夏勝；為偶數，小秋勝．（答案不唯一）
例2（江蘇常州中考題）小穎為九
( http: / / www.21cnjy.com )年級1班畢業聯歡會設計了一個“配紫色”的游戲：圖2是兩個可以自由轉動的轉盤，每個轉盤被分成面積相等的幾個扇形，游戲者同時轉動兩個轉盤，兩個轉盤停止轉動時，若有一個轉盤的指針指向藍色，另一個轉盤的指針指向紅色，則“配紫色”成功，游戲者獲勝，求游戲者獲勝的概率．
解法1：用表格說明
轉盤2轉盤1
紅色
藍色
紅1
（紅1，紅）
（紅1，藍）
紅2
（紅2，紅）
（紅2，藍）
藍色
（藍，紅）
（藍，藍）
解法2：用樹狀圖來說明
所以配成紫色得概率為P(配成紫色)＝
( http: / / www.21cnjy.com )，所以游戲者獲勝得概率為
( http: / / www.21cnjy.com )．
做一做，體驗中考：
1．（湖北省十堰市）小莉和小慧用如圖3
( http: / / www.21cnjy.com )所示的兩個轉盤做游戲，轉動兩個轉盤各一次，若兩次數字和為奇數，則小莉勝；若兩次數字和為偶數，則小慧勝．這個游戲對雙方公平嗎？試用列表法或樹狀圖加以分析．
2．（山東省青島市）小明和小亮用如下（圖4
( http: / / www.21cnjy.com )）的同一個轉盤進行“配紫色”游戲．游戲規則如下：連續轉動兩次轉盤，如果兩次轉盤轉出的顏色相同或配成紫色（若其中一次轉盤轉出藍色，另一次轉出紅色，則可配成紫色），則小明得1分，否則小亮得1分．你認為這個游戲對雙方公平嗎？請說明理由；若不公平，請你修改規則使游戲對雙方公平．
答案：1．P(小莉獲勝)＝
( http: / / www.21cnjy.com )，這個游戲對雙方公平．
2．P（小明獲勝）＝
( http: / / www.21cnjy.com )，P（小亮獲勝）＝
( http: / / www.21cnjy.com )．∴小明的得分為
( http: / / www.21cnjy.com )×1＝
( http: / / www.21cnjy.com )，小亮的得分為
( http: / / www.21cnjy.com )×1＝
( http: / / www.21cnjy.com )．∵
( http: / / www.21cnjy.com )＞
( http: / / www.21cnjy.com )，∴游戲不公平．修改規則不惟一，如若兩次轉出顏色相同或配成紫色，則小明得4分，否則小亮得5分．
圖1
圖2
紅
藍
藍
紅
紅
開始
紅1
紅2
藍色
紅（紅1，紅）
藍（紅1，藍）
紅（紅2，紅）
藍（紅2，藍）
紅（藍，紅）
藍（藍，藍）
圖3
圖4
藍
黃
紅消息的傳播
現在假定在某一個有200人的小村莊，開始有一個人向三個人傳出某種消息；第二天，聽到消息的三個人中，有一個人把消息傳了開去，不過，他也只傳了三個人。第三天，剛聽到消息的三個人中，也只有一個人把消息傳開去，而且也只傳了三個人……
在這樣的假定下，傳播的速度似乎并不十分快。因為不是一傳三，三傳九，九傳二十七……而是每天只傳三個，半個月至多不過傳了45人，不到全村人數的四分之一。
但是，有一個出乎意料的情況，半個月之后，幾乎必定有人重復聽到這一消息。因為根據計算，經過15次傳播之后，至少有一人重復聽到消息的概率達到99．45％。
你信不信？如果有疑問，可以設計一則試驗來驗證這個結論。
準備200張卡片，在上面分別寫上1，2，3，…，200，將卡片裝入布袋里。
第一次從布袋里盲目地取出一張，把號碼記下。這個號碼就算是信息的發布者。暫時不放回。
第二次，從布袋中盲目取出三張，記下號碼。這算是第一批聽到消息的三個人。留一張暫時不放回（這張卡片代表下一次傳播消息的人），另兩張放回。
把第一張卡片放回，然后第三次從布袋中盲目取三張卡片，記下號碼。這算是第二批聽到消息的三個人。留一張暫時不放回，其余兩張放回。
把第二次摸出的并暫時留下的一張卡片放回，然后第四次從布袋中摸……
看一下，15次后，有沒有被重復摸出的？
上述消息傳播問題是很有實用價值的。比如，在醫療事業中，必須十分注意疾病的重復感染問題，因為傳染病的傳播就像消息傳播一樣，重復聽到消息的可能性很大，說明重復感染的可能性也是很大的。
——摘自《初中新課標優秀教案》（有改動）
生日相同的故事
有一次，美國數學家伯格米尼去觀看世界杯足球賽，在看臺上隨意挑選了22名觀眾，叫他們報出自己的生日，結果竟然有兩人的生日是相同的，使在場的球迷們感到吃驚。
還有一個將軍也作了一次試驗。一天他與一群高級軍官用餐,席間大家天南地北地閑聊。慢慢地,話題轉到生日上來。他說:“我們來打個賭。我說,我們之間有兩個人的生日相同。”
“賭輸了,罰酒三杯!”在場的軍官們都很感興趣,“行！”在場的各人把生日一一報出，結果沒有生日恰巧相同的。
“快！你可得罰酒啊！”
突然，一個女傭在門口說：“先生，我的生日正巧與那邊的將軍一樣”。
大家傻了似的望望女傭。他趁機賴掉了三杯罰酒。
——摘自《初中新課標優秀教案》（有改動）
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1用樹狀圖或列表法求概率解決實際問題
答案：
運用這兩種方法解決實際問題，要考慮事件涉及到的因素，當事件有兩個因素時，用列表法比較簡單；當事件中涉及到3個或更多因素時，選用畫樹狀圖較為簡單。
【舉一反三】
典題：（2014·隴南）在一個不透明的布袋里裝有4個標號為1、2、3、4的小球，它們的材質、形狀、大小完全相同，小凱從布袋里隨機取出一個小球，記下數字為x，小敏從剩下的3個小球中隨機取出一個小球，記下數字為y，這樣確定了點P的坐標（x，y）．
（1）請你運用畫樹狀圖或列表的方法，寫出點P所有可能的坐標；
（2）求點（x，y）在函數y=﹣x+5圖象上的概率．
思路導引：（1）首先根據題意畫出表格，即可得到P的所以坐標；
（2）然后由表格求得所有等可能的結果與數字x、y滿足y=﹣x+5的情況，再利用概率公式求解即可求得答案
標準答案：解：列表得：
（1）點P所有可能的坐標有：（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3）共12種；

（2）∵共有12種等可能的結果，其中在函數y=﹣x+5圖象上的有4種，
即：（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）
∴點P（x，y）在函數y=﹣x+5圖象上的概率為：P=．
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1用頻率估計概率典例解析
隨機事件發生的可能性的大小可以通過大量的重復實驗去探索.通過頻率的穩定性來揭示隨機事件發生的可能性的大小，在大量的實驗中，某個事件發生的頻率穩定一個常數，此常數叫該隨機事件發生的概率.
例1在一個不透明的口袋里裝有只有顏色不同的黑、白兩種顏色的球共20只,
某學習小組做摸球實驗,
將球攪勻后從中隨機摸出一個球記下顏色,
再把它放回袋中,
不斷重復.
下表是活動進行中的一組統計數據：
摸球的次數
100
150
200
500
800
1000
摸到白球的次數
58
96
116
295
484
601
摸到白球的頻率
0.58
0.64
0.58
0.59
0.605
0.601
(1)
請估計：當很大時,
摸到白球的頻率將會接近
；
(2)
假如你去摸一次,
你摸到白球的概率是
,摸到黑球的概率是
；
(3)
試估算口袋中黑、白兩種顏色的球各有多少只
(4)
解決了上面的問題,
小明同學猛然頓悟,
過去一個懸而未決的問題有辦法了.
這個問題是:
在一個不透明的口袋里裝有若干個白球,
在不允許將球倒出來數的情況下,
如何估計白球的個數(可以借助其他工具及用品)
請你應用統計與概率的思想和方法解決這個問題，寫出解決這個問題的主要步驟及估算方法.
分析:本題是一道根據摸球實驗頻率估算概率的試題,利用摸球次數最多1000次的頻率去估計接近值,利用這個值代替概率值即可解決問題.
解:
(1)由表格可知,當n≥500時,頻率值穩定在0.6左右,由此,當n很大時,摸到白球的頻率將會接近0.6.
(2)摸到白球的概率是0.6,這時摸到黑球的概率為1-0.6=0.4.
(3)白球個數為:20×0.6=12(只),黑球個數為20×0.4=8(只)或20-12=8(只).
(4)方案一:①添加:向口袋中添加一定數目的黑球,并充分攪勻;
②實驗:進行大數次的摸球實驗(有返回),記錄摸到黑球和白球的次數,分別計算頻率.由頻率估計概率;③估算:.球的總個數×摸到白球的概率=白球的個數.
方案二:
①標記:從口袋中摸出一定數目的白球做上標記,然后放回口袋并充分攪勻;
②實驗:進行大數次的摸球實驗(有返回),記錄摸到有標記球的次數,計算頻率,由頻率估算概率.
③估算:.
例2王強與李剛兩位同學在學習“概率”時.做拋骰子(均勻正方體形狀)實驗，他們共拋了54次，出現向上點數的次數如下表：
向上點數
1
2
3
4
5
6
出現次數
6
9
5
8
16
10
(1)請計算出現向上點數為3的頻率及出現向上點數為5的頻率.
(2)王強說：“根據實驗，一次試驗中出現向上點數為5的概率最大.”
李剛說：“如果拋540次，那么出現向上點數為6的次數正好是100次.”
請判斷王強和李剛說法的對錯.
(3)如果王強與李剛各拋一枚骰子.求出現向上點數之和為3的倍數的概率.
分析:本題是一道與頻率與概率有關的試題,解決問題的關鍵要理解概率與頻率的計算方法.根據表格信息可知，拋了54次，向上的點數為3共出現了5次，向上點數為5的共出現了16次，由此可計算出相應的頻率.通過列表或畫數狀圖的方法可求到向上點數之和為3的倍數的概率.
解：(1)出現向上點數為3的頻率為，出現向上點數為5的頻率為.
(2)因為擲一次骰子點數1，2，3，4，5，6出現向上具有等可能性，所以王強說法不對，雖然投擲54次出現點數6向上的頻數是，但頻率不一定等于概率，因為擲一次骰子，點數6向上的概率是，所以李剛的說法也不正確的.
(3)通過畫樹狀圖或列表可得王強與李剛各拋一枚骰子.求出現向上點數之和為3的倍數的概率
評注:通過試驗來估算不確定事件發生的概率大小,通常是在試驗次數越多,事件發生的頻率值逐漸穩定時,才可以將這個頻率的穩定值作為該事件發生的概率.
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1頻率與概率的含義
答案：
在試驗中，每個對象出現的頻率程度不同，我們稱每個對象出現的次數為頻率，而每個對象出現的次數與總次數的比值為頻率，即頻率=。
把事件發生的可能性大小的數值，稱為事件發生的概率。
【舉一反三】
典題：（2014·黔東南州）擲一枚質地均勻的硬幣10次，下列說法正確的是
（
）
A．可能有5次正面朝上
B．必有5次正面朝上
C．擲2次必有1次正面朝上
D．不可能10次正面朝上
思路導引：擲一次硬幣正面朝上的可能性為，可能是正面朝上，也可能是反面朝上。擲2次硬幣不一定有1次正面朝上，C錯誤；擲10次硬幣可能10次正面朝上，D錯誤；不一定有5次正面朝上，B錯誤；擲10次硬幣可能有5次正面朝上，A正確。
標準答案：A。
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www.概率論的產生和發展的歷史
概率論產生于十七世紀，本來是由保險事業的發展而產生的，但是來自于賭博者的請求，卻是數學家們思考概率論問題的源泉．
早在1654年，有一個賭徒梅累向當時的數學家帕斯卡提出一個使他苦惱了很久的問題：“兩個賭徒相約賭若干局，誰先贏局就算贏，全部賭本就歸誰．但是當其中一個人贏了局，另一個人贏了
局的時候，賭博中止．問：賭本應該如何分法才合理？”后者曾在1642年發明了世界上第一臺機械加法計算機．
三年后，也就是1657年，荷蘭著名的天文、物理兼數學家惠更斯企圖自己解決這一問題，結果寫成了《論機會游戲的計算》一書，這就是最早的概率論著作．
近幾十年來，隨著科技的蓬勃發展，概率論大量應用到國民經濟、工農業生產及各學科領域．許多興起的應用數學，如信息論、對策論、排隊論、控制論等，都是以概率論作為基礎的．
概率論和數理統計是一門隨機數學分支，它們是密切聯系的同類學科．但是應該指出，概率論、數理統計、統計方法又都各有它們自己所包含的不同內容．
概率論——是根據大量同類隨機現象的統計規律，對隨機現象出現某一結果的可能性作出一種客觀的科學判斷，對這種出現的可能性大小做出數量上的描述；比較這些可能性的大小、研究它們之間的聯系，從而形成一整套數學理論和方法．
數理統計——是應用概率的理論來研究大量隨機現象的規律性；對通過科學安排的一定數量的實驗所得到的統計方法給出嚴格的理論證明；并判定各種方法應用的條件以及方法、公式、結論的可靠程度和局限性．使我們能從一組樣本來判定是否能以相當大的概率來保證某一判斷是正確的，并可以控制發生錯誤的概率．
統計方法——是以上提供的方法在各種具體問題中的應用，它不去注意這些方法的理論根據、數學論證．
應該指出，概率統計在研究方法上有它的特殊性，和其它數學學科的主要不同點有：
第一，由于隨機現象的統計規律是一種集體規律，必須在大量同類隨機現象中才能呈現出來，所以，觀察、試驗、調查就是概率統計這門學科研究方法的基石．但是，作為數學學科的一個分支，它依然具有本學科的定義、公理、定理的，這些定義、公理、定理是來源于自然界的隨機規律，但這些定義、公理、定理是確定的，不存在任何隨機性．
第二，在研究概率統計中，使用的是“由部分推斷全體”的統計推斷方法．這是因為它研究的對象——隨機現象的范圍是很大的，在進行試驗、觀測的時候，不可能也不必要全部進行．但是由這一部分資料所得出的一些結論，要全體范圍內推斷這些結論的可靠性．
第三，隨機現象的隨機性，是指試驗、調查之前來說的．而真正得出結果后，對于每一次試驗，它只可能得到這些不確定結果中的某一種確定結果．我們在研究這一現象時，應當注意在試驗前能不能對這一現象找出它本身的內在規律．
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1用頻率估計概率課標解讀
一、課標要求
用頻率估計概率一節包括兩個課時，本課是在學生已經學習了用列舉法求概率的基礎上，進一步研究用頻率估計概率．《義務教育數學課程標準（2011年版）》對用頻率估計概率一節相關內容提出的教學要求是：
1．能夠通過隨機試驗，獲得事件發生的頻率；
2．知道通過大量重復試驗，可以用頻率估計概率；
3．了解頻率與概率的區別與聯系．
二、課標解讀
1．本章知識結構如下圖所示：
本節介紹用頻率估計概率．由前兩節可知，對于結果個數有限且每個結果等可能的隨機試驗中的事件，我們可以用列舉法去概率．教科書這一節從統計試驗結果頻率的角度去研究一些隨機試驗中事件的概率，此方法求概率不受列舉法求概率的兩個條件的限制．
2．理解用頻率估計概率方法的合理性和必要性
教科書設置了一個投幣試驗，一方面要求學生親自動手試驗獲得數據，從數據中發現規律；另一方面還給出歷史上投幣試驗的數據，為學生發現規律提供幫助．通過學生的親自動手試驗和歷史數據，學生能夠用自己在統計中學過的頻率知識來研究投擲一枚硬幣時“正面向上”的頻率的大小．學生自主可以發現，在大量重復投擲一枚硬幣時，“正面向上”的頻率在0．5的左右擺動，一般地，隨著投擲次數的增加，頻率會呈現出一定的穩定性：在0．5的左右擺動的幅度會越來越小．這個穩定值和用古典概型求出的概率理論值0．5是一致的，從而說明用頻率估計概率方法的合理性．通過這個試驗，也讓學生從頻率的角度進一步認識概率的意義，概率反映的規律是針對大量重復試驗而言．但試驗的次數再多，也很難保證試驗的結果與理論值相等．讓學生明白這一點，認識到概率的思維方式與確定性思維方式的差異，從而建立良好的隨機觀念．
由于用頻率估計概率不受隨機試驗中可能結果數有限和各種結果發生等可能的限制，適用的范圍比列舉法更廣．
3．頻率與概率的聯系
初學概率的學生容易混淆概率與頻率兩個概念，更不容易理解兩者的聯系與區別．在一定條件下，大量重復進行同一試驗時，事件A發生的頻率會在某一個常數附近波動，即頻率具有隨機性．試驗的次數越多，波動越小，這個性質就是頻率的穩定性，這個常數就是事件A發生的概率P（A）．人們常把試驗次數很大時事件發生的頻率作為概率的近似值．頻率與概率是兩個對立的概念，事件的概率是一個客觀存在的常數，事件的頻率是一個與試驗次數、試驗者都有關的一組波動的變數，而概率的統計定義是把頻率的穩定值看作概率的近似值，因為頻率與概率的差異永遠存在，但隨著試驗次數的增大，這個差異會越來越小，頻率由量變到質變成為概率，反映了變量與常量的辯證統一的思想．
用概率的統計定義時，概率會取不同的近似值，但一個事件發生的概率不會有兩個不同的值．事件發生的概率是一個客觀存在的數值，反映了事件本身固有的屬性．
4．重視學生動手實驗
數學課程標準指出：有效的數學教學活動是教師教與學生學的統一，應體現“以人為本”的理念，促進學生的全面發展．學生獲得知識，必須建立在自己思考的基礎上，可以通過接受學習的方式，也可以通過自主探索等方式；學生在獲得知識技能的過程中，只有親身參與教師精心設計的教學活動，進一步體會概率與統計的關系，才能在數學思考、問題解決和情感態度方面得到發展．教師應成為學生學習活動的組織者、引導者、合作者，為學生的發展提供良好的環境和條件．因勢利導、適時調控、努力營造師生互動、生生互動、生動活潑的課堂氛圍，形成有效的學習活動．
應鼓勵學生動手實驗，不應教給學生這樣一種觀念:
只有運用理論的方法才能得到正確的解答．概率、事件的可能性的測量，可以理論地和實驗地確定．也可以借助計算機（器）進行模擬活動、處理數據，正確理解隨機事件發生的不確定性及其頻率的穩定性，更好地體會頻率與概率的意義．
為了讓學生通過具體的試驗操作獲得一定的活動經驗，體會隨機試驗中頻率的隨機性以及大量重復試驗中頻率的穩定性，進而加強對概率意義的理解，教科書在25．3節設置了一個投擲硬幣的試驗，為學生提供一個體驗隨機試驗的機會．由于在這個試驗中需要獲得的投擲次數相對較多，因此這里需要發動全體學生積極參與，動手試驗，靠集體的力量快速地獲得試驗頻率．
在學習用頻率估計概率這部分內容時，一方面要鼓勵學生親自動手，集體合作，這主要是針對一些比較簡單的試驗，比如說投幣試驗、圖釘試驗等；另一方面也鼓勵學生采用模擬方法進行試驗，特別是利用計算機或計算器進行模擬試驗．我們知道，為了提高頻率估計概率精度，需要進行大量的重復試驗，這樣的試驗是極其費時費力的，因此應該鼓勵學生使用現代信息技術．比如“實驗與探究
的估計”，其實是用計算器或計算機產生隨機數的方法進行模擬．通過模擬試驗，學生既可以感受到概率知識廣泛的應用性，而且也有利于學生進一步理解概率的意義．
概率與生活的密切聯系，生活中的素材充滿了趣味性和吸引力，教學時要注意挖掘學生身邊的素材，讓學生親身參與到實踐活動中，在解決問題的過程中，進一步加強對隨機概念的培養．

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1每種彩票中獎的概率有多大
概率是表示一個事件發生的可能性的大小．了解事件發生的概率，我們可以解決實際生活中的一些實際問題，如我們可以通過計算概率來判斷彩票中獎機會的可能性的大小．
例1
某種彩票規定：每發行100萬份，設立特等獎1名，一等獎10名，二等獎100名，三等獎1000名，四等獎10000名.然后隨機搖出中獎號碼.小李花了2元錢買了1份，
（1）請計算一下小李中各種獎的概率分別是多少
（2）請計算小李中獎的概率是多少
（3）如果他想使中獎的概率達到以上，至少需要花多少元 (設各種獎可以兼得)
析解：（1）(特等獎)；(一等獎)；
(二等獎)；(三等獎)；(四等獎)．
（2）因為只要中各獎項中的一種都算中獎，所以中獎的概率為
(中獎)．
（3）設購買份彩票可使中獎概率提高到，則，解得．所以至少需要花元．
例2某種彩票的購買及中獎的方法是：買一注彩票時任選一個位數(每一位數字從這個數字中選一個)，如果抽簽所得到的位數與你購買的這注彩票的位數數字相同且排列也相同，那么就中了大獎，問購買一注此種彩票中大獎的概率是多少
析解：選定第一位數時它的概率為，同樣選定第二位數時也是從個數字中選取一個，概率是，……，依次類推，選定這個7位數的概率是：
．
所以購買一注此種彩票中大獎的概率是．
例3
有一種彩票是“選”，規則是從這個數中任選個數，如果所選的個數，不計順序，與開獎的個數完全吻合，那么就中了一等獎.當你購買一注這種彩票時，中獎的概率是多少？
析解：從中選個數正好是中獎的個數中的一個的概率是，
再從剩余的個數中選個數正好是中獎的個數中剩余個數中的個的概率是．
再從剩余的個數中選個數，正好是中獎的個數中剩余個數中的個的概率是．
再從剩余的個數中選個數，正好是中獎的個數中剩余個數中的個的概率．
最后從剩余的個數中選中最后一個中獎的數字的概率是．
所以在“選”這種彩票中，中大獎的概率為：
．
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1以游戲為載體的概率中考題
隨著新課程標準的實施，概率作為新增加的內容，已成為各種考試的重點，備受命題者的青睞，已成為中考命題的熱點.現就部分省市中考題，精選三例簡析如下，供同學們參考：
一.商場促銷
例1
(山東省青島)在一次促銷活動中，某商場為了吸引顧客，設立了一個可以自由轉動的轉盤（如圖1，轉盤被平均分成16份），并規定：顧客每購買100元的商品，
就能獲得一次轉動轉盤的機會．如果轉盤停止后，指針正好對準紅色、黃色、綠色區域，那么顧客就可以分別獲得50元、30元、20元的購物券，憑購物券可以在該商場繼續購物．如果顧客不愿意轉轉盤，那么可以直接獲得購物券10元．
（1）求每轉動一次轉盤所獲購物券金額的平均數；
（2）如果你在該商場消費125元，你會選擇轉轉盤還是直接獲得購物券？說明理由．
分析:(1)根據獲50元、30元、20元獎的概率和獎金數即可計算出每轉動一次轉盤所獲購物券金額的平均數；（2）比較轉動一次轉盤所獲購物券金額的平均數與10元購物券的大小可以得出答案。
解：⑴
每轉動一次轉盤所獲購物券金額的平均數為：
（元）；
⑵
∵11.875元＞10元，
∴選擇轉轉盤．
評注：以商家抽獎事件為背景，用概率對摸獎行為進行科學指導，體現了“人人學有價值的數學”的課程理念.
二.
觀光采摘游活動
例2
（金華市）水果種植大戶小方，為了吸引更多的顧客，組織了觀光采摘游活動.每一位來采摘水果的顧客都有一次抽獎機會：在一只不透明的盒子里有A、B、C、D四張外形完全相同的卡片，抽獎時先隨機抽出一張卡片，再從盒子中剩下的3張中抽取第二張.（1）請你利用樹狀圖（或列表）的方法，表示前后兩次抽得的卡片所有可能的情況；（2）如果抽得的兩張卡片是同一種水果圖片就可獲得獎勵，那么得到獎勵的概率是多少？
分析:本題可以利用樹狀圖（或列表）的方法，表示出前后兩次抽得的卡片所有可能的情況，然后代入公式計算即可.
解：（1）方法一：列表得
A
B
C
D
A
（A，B）
（A，C）
（A，D）
B
（B，A）
（B，C）
（B，D）
C
（C，A）
（C，B）
（C，D）
D
（D，A）
（D，B）
（D，C）
方法二：畫樹狀圖
（2）獲獎勵的概率：．
評注：在列舉所有可能出現的情況時要做到不重不漏，否則概率的計算不準確。
三.轉盤游戲
例3
(湖南懷化)“六一”兒童節前夕，我市某縣“關心下一代工作委員會”決定對品學兼優的“留守兒童”進行表彰，某校八年級8個班中只能選兩個班級參加這項活動，且8（1）班必須參加，另外再從其他班級中選一個班參加活動．8（5）班有學生建議采用如下的方法：將一個帶著指針的圓形轉盤分成面積相等的4個扇形，并在每個扇形上分別標上1，2，3，4四個數字，轉動轉盤兩次，將兩次指針所指的數字相加，（當指針指在某一條等分線上時視為無效，重新轉動）和為幾就選哪個班參加，你認為這種方法公平嗎？請說明理由．
分析：本題可以利用列表法，列出該游戲所有的可能結果.游戲是否公平關鍵是看對游戲各方的概率是否相等，通過計算即可判斷出來.
解：方法不公平
說理方法1：（用表格說明）
1
2
3
4
1
2
3
4
5
2
3
4
5
6
3
4
5
6
7
4
5
6
7
8
所以，八（2）班被選中的概率為：，八（3）班被選中的概率為：，
八（4）班被選中的概率為：，八（5）班被選中的概率為：，
八（6）班被選中的概率為：，八（7）班被選中的概率為：，
八（8）班被選中的概率為：，所以這種方法不公平.
說理方法2（用樹狀圖說明）
所以，八（2）班被選中的概率為：，八（3）班被選中的概率為：，
八（4）班被選中的概率為：，八（5）班被選中的概率為：，
八（6）班被選中的概率為：，八（7）班被選中的概率為：，
八（8）班被選中的概率為：，所以這種方法不公平.
評注:本題是考查概率的計算問題,然后是概率決策問題,它通過概率計算,看這個游戲的概率是否相等，若相等,就公平;若不相等，就不公平.
紅
黃
黃
綠
綠
綠
綠
圖1
圖2
開始
A
B
C
D
（A，B）
（A，C）
（A，D）
B
A
C
D
（B，A）
（B，C）
（B，D）
C
A
B
D
（C，A）
（C，B）
（C，D）
D
A
B
C
（D，A）
（D，B）
（D，C）
1
4
3
2
圖3
第一次
和
第二次
1
2
3
4
開始
1　2
2　3
3　4
4　5
1　3
2　4
3　5
4　6
1　4
2　5
3　6
4　7
1　5
2　6
3　7
4　8
和
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1用頻率估計概率的實際應用
當實驗的所有可能結果不是有限個，或各種可能結果發生的可能性不相等時，我們可以通過統計頻率來估計概率．有些實際問題，往往需要用頻率來估計概率的思想來解決．請看：
例1
為了估計水塘中的魚數，養魚者首先從魚塘中捕獲n條魚，在每一條魚身上做好記號后把這些魚放歸魚塘．再從魚塘中打撈a條魚，如果在這a條魚中有b條魚是有記號的，則魚塘中魚的條數可估計為．你認為這種估計方法有道理嗎？為什么？
析解：本題主要考查利用頻率估計概率的有思想方法．第二次撈出的a條魚中帶記號的b條魚所占的比例為，不妨設魚塘中有m條魚，則第一次撈出的n條魚占總數的比為．根據用樣本估計總體的統計思想，可得＝，所以m＝．
例2
王老漢為了與客戶簽訂購銷合同，對自己的魚塘中的魚的總質量進行估計．第一次撈出100條魚，稱得質量約為184㎏，并將每條魚都做上記號，在回魚塘中．當它們混合與魚群后，又撈出200條，稱得質量為416㎏，且有記號的魚有20條．
（1）請你估計一下，魚塘中的魚有多少條？
（2）請你計算一下，魚塘中的魚的總質量大約是多少㎏？
解：（1）設魚塘中有魚x條，則根據題意，得
＝．解得x＝1000．
因此，可以估計魚塘中共有1000條魚．
（2）第一次打撈的魚平均質量為：184÷100＝1.84（㎏）．
第二次打撈的魚中沒有作記號的魚有（200－20）條，總質量為416－1.84×20＝379.2（㎏）．
∴魚塘中的每條魚的平均質量為：
（184＋379.2）÷（200－20＋100）≈2.011（㎏）．
因此，魚塘中魚的總質量為：2.011×1000＝2011（㎏）．
評析：在統計的過程中，為了使所得的結果比較準確、減少誤差，應將統計過程的步驟細化，例如上述過程中求每條魚的平均質量．求魚塘中每條魚的平均質量，還會出現如下兩種結果：
（1）（184＋416）÷（100＋200）＝2（㎏）．
（2）（184＋416－1.84×10）÷（100＋200－20）＝2.077（㎏）．
這兩種結果都不如上面的結果準確．但在實際生活中利用（184＋416）÷（100＋200），求平均質量還是很實用的．
再者，像本題這樣不宜多次試驗或不可能多次試驗的實際問題，必須利用樣本估計總體．
試一試：
1．為了研究某地區的生態環境，生物學家在該自然區做了如下的實驗：在該地區第一次捕捉了100只雀鳥，然后做上記號放回該地區．經過一段時間，再從該地區捕捉了同樣的雀鳥100只，發現其中標有記號的雀鳥有5只．你能根據以上實驗估計一下，該地區這種雀鳥的數量嗎？
2．質量檢查員準備從一批產品中抽取10件進行檢查，如果是隨機抽取，為了保證每件產品被檢的機會均等．
（1）請采用計算器模擬實驗的方法，幫質檢員抽取被檢產品；
（2）如果沒有計算器，你能用什么方法抽取被檢產品？
簡解：
1．設該地區有這種雀鳥x只，則，解得x＝2000（只）．所以該地區有這種雀鳥2000只．
2．（1）利用計算器模擬產生隨機數與這批產品編號相對應，產生10個號碼即可；（2）利用摸球游戲或抽簽等．
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1用頻率估計概率典例解析
用頻率求概率的估計值是中考必考知識點.中考試卷中出現了不少的概率問題,在具體情景中展示數學的整體性，下面舉幾例看看概率問題在中考中的體現.
例1.某農場中學八年級的同學，就“每年過生日時，你是否會向母親道一聲‘謝謝’”這個問題，對本年級66名同學進行了調查.調查結果如表1.
表1
否
否
否
有時
否
否
否
是
否
有時
有時
否
否
有時
有時
是
否
有時
否
否
有時
有時
否
有時
否
否
有時
有時
有時
否
否
否
有時
有時
是
是
有時
有時
否
否
否
是
否
否
否
是
否
否
否
否
否
否
否
否
有時
否
否
否
否
否
是
是
是
否
是
否
（1）請你整理表1中的信息，填寫表2.（頻率保留四個有效數字）
（2）選擇適當的統計圖描述這組數據.
（3）通過對這組數據的分析，你有何感想？（用一兩句話表示即可）
表2
回答內容
頻數
頻率
是
有時
否
解：（1）如表3.
表3
回答內容
頻數
頻率
是
10
0.1515
有時
17
0.2576
否
39
0.5909
（2）如圖1所示（作出條形、扇形、折線統計圖或頻數分布直方圖均可）.
（3）從上面的數據可以看出，現在的孩子對父母的感恩之情比較淡薄，學校和社會應加強這方面的教育.（答案不唯一，有積極意義即可）
評注：解此類題目往往要先對數據進行整理和計算，然后用所學的知識進行分析，提出合理化建議，一般結論不唯一，只要建議合理就行.
例2．某燈泡廠生產了100箱燈泡，從中隨機抽取了10箱，發現這10箱中不合格的燈泡數分別是3，2，4，3，2，1，2，3，0，1，你能估計出這100箱燈泡中大約有多少個壞燈泡？
解：（3+2+4+3+2+1+2+3+0+1）÷10=2.1，
2.1×100=210．
答：這100箱燈泡中約含有210個次品．
評注：燈泡實驗的次數即是頻數，頻數m對總次數n的比即為頻率，當實驗次數很大時，事件發生的頻率呈現穩定性，這時可用事件發生的頻率來估計壞燈泡的概率.
例3.
2006年2月23日《南通日報》公布了2000～2005年南通市城市居民人均可支配收入情況（如圖2所示）.
（1）求南通市城市居民人均可支配收入的中位數.
（2）哪些年份南通市城市居民人均可支配收入比上年增加了1000元以上？
（3）如果從2006年開始，南通市城市居民人均可支配收入每年比上年增加a元，到2008年底可達到18000元，求a的值.
解：（1）中位數（8640+9598）÷2=9119（元）
（2）由折線圖知：2004年和2005年南通市城市居民人均可支配收入比上年增加了1000元以上.
（3）可列方程：12384+3a=18000.解得a=1872.
評注：這是一道與城市居民人均可支配收入的問題，與實際生活息息相關，此題創設了一個較新的情境，不僅要求學生掌握相關的知識點，還要求學生用數學的眼光看待周圍的世界，這正是新課標所倡導的．
例4.四張撲克牌的牌面如圖①所示，將撲克牌洗均勻后，如圖②背面朝上放置在桌面上.
（1）若隨機抽取一張撲克牌，則牌面數字恰好為5的概率是_____________；
（2）規定游戲規則如下：若同時隨機抽取兩張撲克牌，抽到兩張牌的牌面數字之和是偶數為勝；反之，則為負.你認為這個游戲是否公平？請說明理由.
解：（1）
（2）不公平.
畫樹狀圖如圖所示：
所以P（和為偶數）＝，
P（和為奇數）＝
因為P（和為偶數）≠P（和為奇數），
所以游戲不公平.
評注：畫樹形圖是列舉的有效方法，但若列舉是分步進行且是步步遞推的，用樹形圖列舉法統計多位數個數效率更高，本題考查概率知識，這種試題在近幾年的中考試卷中出現頻率極高，應予以重點關注.
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1中考概率計算題賞析
綜觀近兩年中考試卷中的概率計算題，題材新穎，貼近生活，難易適中，符合課標要求，現歸類整理如下，供同學們賞析．
一、利用概率公式計算
例1
學校門口經常有小販搞摸獎活動．某小販在一只黑色的口袋里裝有只有顏色不同的只小球，其中紅球只，黃球只，綠球只，其余為白球．攪拌均勻后，每元摸個球．獎品的情況標注在球上（如下圖）：
（1）如果花元摸個球，那么摸不到獎的概率是多少？
（2）如果花元同時摸個球，那么獲得元獎品的概率是多少？
解：（1）∵白球的個數為，
∴摸不到獎的概率是：．
（2）獲得元的獎品只有一種可能即同時摸出兩個黃球，
∴獲得元獎品的概率是：．
二、利用列舉法計算概率
例2
如圖是從一副撲克牌中取出的兩組牌，分別是黑桃和方塊，將它們背面朝上分別重新洗牌后，從兩組牌中各摸出一張，那么摸出的兩張牌的牌面數字之和等于的概率是多少？請你用列舉法（列表或畫樹狀圖）加以分析說明．
解：可以用下表列舉所有可能得到的牌面數字之和：
方塊黑桃
從上表可知，共有種情況，每種情況發生的可能性相同，而兩張牌的牌面數字之和等于的情況共出現次，因此牌面數字之和等于的概率為．
例3四張大小、質地均相同的卡片上分別標有數字，現將標有數字的一面朝下扣在桌子上，從中隨機抽取一張（不放回），再從桌子上剩下的3張中隨機抽取第二張．
（1）用畫樹狀圖的方法，列出前后兩次抽得的卡片上所標數字的所有可能情況；
（2）計算抽得的兩張卡片上的數字之積為奇數的概率是多少？
解：（1）
（2）（積為奇數）=．
三、利用綜合法計算概率
例4
某電腦公司現有三種型號的甲品牌電腦和兩種型號的乙品牌電腦．希望中學要從甲、乙兩種品牌電腦中各選購一種型號的電腦．
（1）寫出所有選購方案（利用樹狀圖或列表方法表示）；
（2）如果（1）中各種選購方案被選中的可能性相同，那么型號電腦被選中的概率是多少？
解：（1）樹狀圖如下：
列表如下：
有6種可能結果：（A，D），（A，E），（B，D），
（B，E），（C，D），（C，E）．
（2）因為選中A型號電腦有2種方案，即（A，D）（A，E），所以A型號電腦被選中的概率是．
例5
將分別標有數字的三張卡片洗勻后，背面朝上放在桌面上．
（1）隨機地抽取一張，求（奇數）；
（2）隨機地抽取一張作為十位上的數字（不放回），再抽取一張作為個位上的數字，能組成哪些兩位數？恰好是“”的概率為多少？
解：（1）（奇數）＝．
（2）樹狀圖為：
從而得到所組成的兩位數有個：．
因此恰好是“”的概率為：．
8元的獎品
5元的獎品
1元的獎品
無
獎品
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1用列舉法求概率課標要求
包括用列表法求概率和用畫樹狀圖法求概率等內容．《義務教育數學課程標準（2011年版）》對本節相關內容提出的教學要求如下：
能通過列表、畫樹狀圖等方法列出簡單隨機事件所有可能的結果，以及指定事件發生的所有可能結果，了解事件的概率．
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1
中國極育出版網
www.生活與概率
公元1052年4月，儂智高起兵反宋。當朝
( http: / / www.21cnjy.com )皇帝宋仁宗決定派遣大將狄青去平定叛亂。當時路途艱險，軍心不穩，狄青取勝的把握不大。為了鼓舞士氣，狄青便設壇拜神，說：“這次出兵討伐叛軍，勝敗沒有把握，是吉是兇，只好由神明決定了。是吉的話，那我隨便擲100個銅錢，神明保佑，正面定然會全部朝上；只要有一個背面朝上，那我們就難以制敵，只好回朝了。”
左右官員誠惶誠恐，勸道：“大將軍，運氣再好
( http: / / www.21cnjy.com )，100個銅錢，總不會個個正面朝上，如果有背面朝上，豈不動搖軍心？如果不戰而回朝，那更是違抗圣旨。請大將軍三思而行！”此時的狄青已是胸有成竹，叫心腹拿來一袋銅錢，在千萬人的注視下，舉手一揮，把銅錢全部拋向空中，100個銅錢居然鬼使神差地全部朝上。頓時，全軍歡呼，聲音響徹山野。由于士兵個個認定神靈護佑，戰斗中奮勇爭先，僅一次戰役，就收回了失地，大功告成。
那么，那100個銅錢究竟是怎么回事呢？原來
( http: / / www.21cnjy.com )，狄青那100個銅錢正反兩面都是正面的圖案，使得正面朝上的機會為100％，從而鼓舞了士氣，大軍獲勝。
以上只是古人利用簡單的概率
( http: / / www.21cnjy.com )知識獲利。其實，從古到今，概率就與人們的生活息息相關。如今，還有許多不法分子利用人們對概率的不了解牟取暴利。下面，我們就以“機會型”賭博，簡要地講一下如何計算概率以及概率的重要性。
“機會型”賭博規則如下：每個參加者每次
( http: / / www.21cnjy.com )先付賭金1元，然后將3枚骰子一起擲出。他可以賭某一個點數，譬如賭“1”點。如果三枚骰子中出現一個“1”點，莊家除把賭金發還外，再獎一元；如果出現兩個“1”點，發還賭金外，再獎兩元；如果全是“1”，那么發還賭金，再獎三元。
看起來，一枚骰子賭“1”點，取勝的可能性是
( http: / / www.21cnjy.com )；那么兩枚骰子就是
( http: / / www.21cnjy.com )的可能性，三枚就是
( http: / / www.21cnjy.com )。即使是一元對一元的獎勵，機會也是均等的，何況還可能是2倍、3倍獎勵的可能性，自然對參加者有利。其實，這只是一個假象。
我們來計算一下，三枚骰子一起擲，會出現怎樣的情況。見表1。
表1
3枚骰子可能出現的總結果
6×6×6＝216
三枚點數各不相同的可能
6×5×4＝120
三枚點數完全相同的可能
6
其他可能
216－120－6＝90
一個參加者，假設他總是賭“1”點，
( http: / / www.21cnjy.com )如果賭了216次，那么他能有幾次獲獎呢？先來看只有一枚出現“1”點的情況：出現“1”點的骰子可能是第一枚，也可能是第二枚或第三枚，共有三種可能；而其余兩枚不出現“1”點的可能性有5×5＝25種，所以共有3×25＝75種可能。這75種可能出現時，它可獲2元，那么總共可獲75×2＝150元。再來看出現兩枚“1”點的可能性：可以出現在第一枚和第二枚，也可以是第一枚和第三枚，還可以是第二枚和第三枚，也是三種可能；而另一枚骰子不出現“1”點只有5種可能，所以共有15種可能。這時，每次他可獲3元，共45元。最后，三枚都出現“1”點的只有一種可能，這時，它可獲4元。
這樣，216次，他共獲150＋45
( http: / / www.21cnjy.com )＋4＝199元。但每次先付一元，他一共付了216元。所以，一般來說，他會輸216－199＝17元，占總金額的7.9％。
我們再來看看莊家的情況。根據前面的分析過程，
( http: / / www.21cnjy.com )假使有6人參加賭博，每人分別賭“1”、
“2”、……“6”點，并假定每人進行了216次，則莊家共收了6×216＝1296元，一共付出了720＋450＋24＝1194元，凈賺1296－1194＝102元，占總金額的7.9％。
通過概率的計算，我們看到贏的一定是莊家。看清了賭博的真面目，我們就應該抵制賭博。
同樣我們可以利用概率計算動物的壽命，以烏龜的壽命為例，如表2：
表2
年齡/歲
存活概率
年齡/歲
存活概率
0
1.00
140
0.70
20
0.92
160
0.61
40
0.90
180
0.51
60
0.89
200
0.39
80
0.87
220
0.08
100
0.83
240
0.04
120
0.78
260
0.0003
根據表2內容，再計算出，活
( http: / / www.21cnjy.com )滿20歲的烏龜有0.87÷0.92×100％＝95％的概率可活到80歲，活滿120歲的烏龜有0.39÷0.87×100％＝50％的概率可活到200歲。
同理，通過大量調查數據獲得人類的壽命表，保險公司便可算出保險費率。
以上兩個例子說明，概率與
( http: / / www.21cnjy.com )人們的生活息息相關，只要你熟練地掌握了概率的知識，并應用到日常生活中去，我想你就能做到較好地把握機會，將勝算牢牢地掌握在自己的手中。理解實驗頻率與理論概率
在七、八年級時，我們已經認識了一些簡單的隨機事件發生的可能性的大小（概率），現在我們繼續學習和探究實驗頻率與理論概率之間的關系.正確認識實驗頻率與理論概率的關系應從以下三個方面理解：
一、理解隨機事件的偶然性與必然性
隨機事件是指在一定的條件下可能發生也可能不發生的事件，具有偶然性.如一個袋子里裝有個紅球，個白球，個黃球，它們除顏色外，其他都相同.從中任意取一個球，取到的可能是白球，也可能是其他兩種顏色的球.取到白球這個事件就是一個隨機事件.隨機事件在一次實驗中，可能發生，也有可能不發生.在實際問題中，常常要求我們能夠確切地判斷某個事件發生的可能性的大小.某個事件發生的可能性的大小是該事件本身所固有的特性，可以通過大量重復實驗來認識它.在大量的重復實驗中，隨機事件的發生與否具有內部規律性，這個規律可用理論概率來表示.
二、理解頻率的穩定性
隨機事件發生的可能性的大小可以通過大量的重復實驗去探索.通過頻率的穩定性來揭示隨機事件發生的可能性的大小.如上面的摸球事件，如果在10次摸球中白球出現了1次，則為此事件在10次實驗中出現的頻率.如果分別摸球10次，20次，100次，…….計算出每次實驗的頻率，從計算頻率結果可以發現，實驗次數較少時，摸到白球的頻率是不穩定的，但隨著實驗次數的增加，頻率會明顯地呈現出穩定性.
當實驗的次數很大時，可以發現一個隨機事件發生的頻率總是在每個常數附近擺動，也就是頻率呈現出穩定性.隨著實驗次數的不斷增加，擺動的程度越來越小.在大量的實驗中，某個事件發生的頻率穩定一個常數，此常數叫該隨機事件發生的概率.
三、理解頻率與概率
拋擲一枚硬幣，理論上“落地后國徽朝上”發生的概率是，但拋擲100次硬幣，不一定是50次國徽朝上.我們通過大量的實驗發現，實驗頻率并不一定等于理論概率.頻率是變化的，理論概率是穩定的，雖然多次實驗的頻率逐漸穩定于其理論概率，但也可能無論做多少次實驗，實驗頻率仍然是理論概率的一個近似值，而不能等同于理論概率，兩者之間存在著一定的偏差.
四、理解概率與統計的關系
概率這一概念是建立在頻率這一統計量穩定性基礎上的，而統計又離不開概率理論的支撐.統計推斷、估計等統計方法的合理性和科學性都依賴概率理論的嚴密性.用實驗的方法估計隨機事件發生的概率等活動本身就是一個統計活動，如“池塘里有多少條魚”的估計方法的理論依據就是概率問題.
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1研究不確定事件的學問
擲硬幣具有一定的規律，在大量的擲硬幣的重復試驗中，正面朝上的次數約等于拋擲總次數的50%．其他偶然事件是否也有它固有的規律(出現的“可能性”)有一門專門的學問，叫做“概率論”，它是數學中別有風味的一個分支．
什么是概率呢？簡單地說就是某一個不確定事件發生的可能性大小，用一個數值表示出來，這個數值就叫做這一個不確定事件發生的“概率”．例如，擲一枚硬幣出現正面的可能性大約是50%，我們就說這一事件發生的概率是0.5．
概率是一個數值，但它又是一個十分“特殊”的數值．對于概率的含義，一定要有正確的理解，否則就有可能鬧出笑話來．
仍以擲硬幣“出現正面”這一不確定事件為例，我們已經知道它的概率是0.5．但是這一數值并不是指我們每擲兩次硬幣，總有一次出現正面，而是指擲足夠多次硬幣(比如10000次)，出現正面的次數大致上是投擲總次數的一半(5000次上下)．
有這樣一則笑話——
一次，一位病人到醫生那里就診．那位醫生在檢查完病情以后說：
“你病的很重，這種病是‘九死一生’的啊！”
“上帝，我快完了！”病人幾乎被嚇昏了．
“不過，你是可以活的．”
“有什么根據呢？”
“因為你找到了我．”
“我知道你醫術高明，我真不知怎樣報答您……”
“不，不是我醫術高明，而是因為我已經醫治過九個患有這種病的病人，他們都死了——所以，你一定能活的．”
“……”
你們看出來了嗎？那位醫生正是錯誤地解釋了“概率”的意義，才使他所作出的結論成了笑話．事實上，一個人患了上述那種疾病，后果有兩種可能：生和死．生也好，死也好，都可看成偶然事件．由于這種疾病是“九死一生”的，因此，可以認為患這種病的病人活的概率是0.1，死的概率是0.9．但是，按照概率的正確含義，它只能說是在相當多，比如說10000個病人中，大致有1000個能活下來，而不能保證每10個這種病人，必定是9個死1個活．
現在，你對于概率是什么已經有了大概的了解，那么，就不會出現醫生的笑話啦．
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1用頻率估計概率課標要求
用頻率估計概率一節包括兩個課時，本課是在學生已經學習了用列舉法求概率的基礎上，進一步研究用頻率估計概率．《義務教育數學課程標準（2011年版）》對用頻率估計概率一節相關內容提出的教學要求是：
1．能夠通過隨機試驗，獲得事件發生的頻率；
2．知道通過大量重復試驗，可以用頻率估計概率；
3．了解頻率與概率的區別與聯系．
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1
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www.用抽取法估計概率
答案：
解決此類問題有兩種方法：（1）從袋中隨機摸出一個球，記下顏色，然后將其放回袋中，重復這一過程，進行多次試驗，記錄某種顏色球出現的次數，利用頻率估計這種球的數目；（2）從袋中一次摸出10個球，求出其中某一顏色球的個數與10的比值，再將球放回袋中，不斷重復上述過程，利用平均概率估算這一顏色球的數目.
【舉一反三】
典題：一個不透明口袋中有6個紅色的小正方體和若干個黃色的小正方體，小正方體處顏色外其他都相同，從口袋中隨機摸出一個正方體，記下顏色后再把它放回口袋中，不斷重復上述過程，共模了300次，其中有100次摸到紅顏色小正方體，則口袋中大約有____個黃色小正方體.
思路導引：解設口袋中有x個小正方體，根據題意，得，得x=18,18-6=12.
標準答案：12.
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www.解決游戲是否公平問題。
答案：
解決游戲是否公平需先計算出各自的概率，通過比較概率的大小得出是否公平。使不公平的游戲變得公平的方法是通過調整分值使之公平。
【舉一反三】
典題：（2014·懷化）甲、乙兩名同學做摸球游戲，他們把三個分別標有1，2，3的大小和形狀完全相同的小球放在一個不透明的口袋中．
（1）求從袋中隨機摸出一個球，標號是1的概率；
（2）從袋中隨機摸出一個球然后放回，搖勻后在隨機摸出一球，若兩次摸出的球的標號之和為偶數時，則甲勝；若兩次摸出的球的標號之和為奇數時，則乙勝．試分析這個游戲公平嗎？請說明理由．
思路導引：（1）共有3種可能，符合條件有1種，即可得出結果；（2）列出表格得出所有可能，得出甲獲勝，乙獲勝的概率，最后確定游戲是否公平。
標準答案：解：（1）P（標號是1）=.
（2）這個游戲不公平，理由如下：
把游戲可能出現標號的所有可能性（兩次標號之和）列表如下：

第一次第二次
1
2
3
1
2
3
4
2
3
4
5
3
4
5
6
P（和為偶數）=，P（和為奇數）=，
二者不相等，說明游戲不公平。

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1布豐的投針試驗
公元1777年的一天，法國科學家布豐（D．Buffon1707-1788）的家里賓客滿堂，原來他們是應主人的邀請前來觀看一次奇特試驗的。
試驗開始，但見年已古稀的布豐先生興致勃勃地拿出一張紙來，紙上預先畫好了一條條等距離的平行線。接著他又抓出一大把原先準備好的小針，這些小針的長度都是平行線間距離的一半。然后布豐先生宣布：“請諸位把這些小針一根一根往紙上扔吧！不過，請大家務必把扔下的針是否與紙上的平行線相交告訴我。”
客人們不知布豐先生要干什么，只好客隨主意，一個個加入了試驗的行列。一把小針扔完了，把它撿起來又扔。而布豐先生本人則不停地在一旁數著、記著，如此這般地忙碌了將近一個鐘頭。最后，布豐先生高聲宣布：“先生們，我這里記錄了諸位剛才的投針結果，共投針2212次，其中與平行線相交的有704次。總數2212與相交數704的比值為3.142。”說到這里，布豐先生故意停了停，并對大家報以神秘的一笑，接著有意提高聲調說：“先生們，這就是圓周率π的近似值！”
眾賓嘩然，一時議論紛紛，個個感到莫名其妙。“圓周率π？這可是與圓半點也不沾邊的呀！”
布豐先生似乎猜透了大家的心思，得意洋洋地解釋道：“諸位，這里用的是概率的原理，如果大家有耐心的話，再增加投針的次數，還能得到π的更精確的近似值。不過，要想弄清其間的道理，只好請大家去看敝人的新作了。”說著布豐先生揚了揚自己手上的一本《或然算術試驗》的書。
π在這種紛紜雜亂的場合出現，實在是出乎人們的意料，然而它卻是千真萬確的事實。由于投針試驗的問題，是布豐先生最先提出的，所以數學史上就稱它為布豐問題。布豐得出的一般結果是：如果紙上兩平行線間相距為d，小針長為，投針的次數為n，所投的針當中與平行線相交的次數是m，那么當n相當大時有：
在上面故事中，針長等于平行線距離d的一半，所以代入上面公式簡化
我想，喜歡思考的讀者，一定想知道布豐先生投針試驗的原理，下面就是一個簡單而巧妙的證明。
找一根鐵絲彎成一個圓圈，使其直徑恰好等于平行線間的距離d。可以想象，對于這樣的圓圈來說，不管怎么扔下，都將和平行線有兩個交點。因此，如果圓圈扔下的次數為n次，那么相交的交點總數必為2n。
現在設想把圓圈拉直，變成一條長為πd的鐵絲。顯然，這樣的鐵絲扔下時與平行線相交的情形要比圓圈復雜些，可能有4個交點、3個交點、2個交點、1個交點，甚至于都不相交。
由于圓圈和直線的長度同為πd，根據機會均等的原理，當它們投擲次數較多，且相等時，兩者與平行線組交點的總數可望是一樣的。這就是說，當長為πd的鐵絲扔下n次時，與平行線相交的交點總數應大致為2n。
現在再來討論鐵絲長為的情形。當投擲次數n增大的時候，這種鐵絲跟平行線相交的交點總數m應當與長度成正比，因而有：
m＝k
式中k是比例系數。
為了求出k來，只需注意到，對于＝πd的特殊情形，有m＝2n。于
這便是著名的布豐公式。
親愛的讀者，你不妨一試。
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1利用概率的定義解題
在實際生活中，我們經常來描述一件事情發生可能性的大小，表示一個事情發生的可能性的大小的這個數，叫做概率．為了幫助大家對概率這個概念的認識，以便更好地利用這個定義解決實際問題，現舉幾例．
例1
九年級6班有48名學生，其中男生30人，班上每個同學的名字都各寫在一個大小形狀相同的小卡片上，放在一個盒子里搖勻．
張老師隨便從盒子中取出一個小卡片，那么每個同學的名字被抽到的概率是多少？
男同學的名字被抽到的概率是多少？
女同學的名字被抽到的概率是多少？
若張老師已經從盒子中抽出10名同學的名字，其中4個男同學的名字，把這10個卡片放在一邊，再從盒子中抽出其它卡片，當他抽第七個卡片時，女同學的名字被抽到的概率是多少？
分析：全班有48名同學，男生30名，則女生有18名，當張老師從盒子中抽寫有每個同學名字的卡片時，全班48個學生的名字被抽到的機會是均等的．
解：（1）（抽到每個學生的名字）=；
（2）（抽到男同學的名字）=；
（3）（抽到女同學的名字）=1－；
（4）（抽到女同學的名字）=．
例2
口袋中裝有2個紅球、3個白球和5個黑球，除了顏色不同外，其它都相同，攪勻后從中摸出一個球．
1．（1）摸出的是紅球的概率是多少？
（2）摸出的是白球的概率是多少？
（3）摸出的是黑球的概率是多少？
2．假設第一次摸到的是白球，將其放在外邊，再從口袋中摸出一個球，則摸出的是黑球的概率是多少？
分析：已知口袋中共有2+3+5=11個球，它們被摸到的機會是均等的．
解：1．（1）（紅球）=；
（2）（白球）=；
（3）（黑球）=；
2．（黑球）=.
練一練：1．圖1表示某班21位同學衣服上口袋的數目．若任選一位同學，則其衣服上口袋數目為5的概率是
．
圖1
2．某班的聯歡會上，設有一個搖獎節目,獎品為鋼筆、圖書、和糖果，標于一個轉盤的相應區域，(如圖2)（轉盤被相應分成四個區域）轉盤可以自由轉動．參與者轉動轉盤，當轉盤停止時，指針落在哪一區域，就獲得哪種獎品，則獲得鋼筆的概率______．
圖2
3．某商店舉辦有獎銷售活動，辦法如下：凡購貨滿100元者得獎券一張，多購多得．每10000張獎券為一個開獎單位，設特等獎1個，一等獎50個，二等獎100個．那么買100元商品的中獎概率是（　　）
．
．
．
．
答案：1．；
2．；
3．D
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2例說概率計算的技巧
概率計算是新教材的一個新內容和新亮點，概率計算問題與其它問題一樣也有一些技巧，現舉例如下：
例1
同時拋擲枚硬幣，計算三個正面都朝上的概率．
分析：由于每個硬幣朝上的面只有正面和反面兩種情況，因而可以通過畫樹型圖：
從圖中我們可以清楚地看到三枚硬幣出現的情況有：“正正正”、“正正反”、“正反正”、“正反反”、“反正正”、“反正反”、“反反正”、“反反反”共種，其中三個都是正面的“正正正”只有一種，因此，三個正面都朝上的概率是．
同樣，三個反面都朝上的概率也是，既有正面也有反面朝上的概率是．
例2
四只螞蟻分別從正方形的四個頂點同時沿正方形的邊爬行，如果它們的速度相同，那么這四只螞蟻不相撞的概率是多少？
分析：許多人的解法是：將每只螞蟻可能爬行的方向按順時針和逆時針一一羅列出來，然后確定不相撞的情形（都按順時針或逆時針方向爬行）求解．而事實上，我們可以先確定第一只螞蟻爬行的方向，為了不相撞，其余三只螞蟻爬行的方向必須與第一只相同，而每只螞蟻爬行方向與第一只相同的可能性都是，因此，三只螞蟻爬行與第一只都相同的可能性是，這就是四只螞蟻不相撞的概率．
例3
某班有名同學，求這名同學中至少有兩位同學生日相同的概率．
分析：直接入手很難，先求名同學生日互不相同的概率．把個同學按號數１至進行編號，天按月日至月日依次記為第天，第天，……，第天．假設號是第天出生的，那么號與號不同生日，他只能在余下的天中選一天，因此，
號與號不同生日的概率是；假設號是第天出生的，那么號和號不同生日，她只能在余下的天中選一天，因此，號與號、號生日不同的概率是；……；依此類推，號與號生日不同的概率是．
因此，人生日互不相同的概率是（今后將會學到），
故人中至少有兩人生日相同的概率為．
因此，名同學中有生日相同的概率約為．
正
反正
正
正
正
反正
反正
硬幣
硬幣１
反正
正
反正
反正
硬幣３
正正
反正
正
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1細做模擬實驗
明辨頻率與概率
頻率和概率是兩個不同的概念，二者既有區別又有聯系，事件發生的概率是一個確定的值，而頻率是不確定的．我們可以通過實驗用頻率估計概率的大小，當實驗次數較少時，頻率的大小搖擺不定，當實驗次數增大時，頻率的大小波動變小，逐漸穩定在概率附近，此時它會非常接近于頻率，但不一定會相等．我們通常利用概率來預測不確定事件進行多次試驗后頻率的穩定值；反過來，利用平穩的頻率也可以估計相應的概率，進而解決實際問題．現以08年中考題為例作分析和說明，或許會對同學們有所啟發．
一、摸球實驗估計球的個數
例1（甘肅省蘭州市）在一個不透明的布袋中，紅色、黑色、白色的玻璃球共有40個，除顏色外其它完全相同．小明通過多次摸球試驗后發現其中摸到紅色球、黑色球的頻率穩定在15%和45%，則口袋中白色球的個數可能是
（
）
A．24
B．18
C．16
D．6
解析：由于在多次試驗后摸到紅球、黑球的頻率穩定在15%和45%，因此我們就可以估計紅球可能有（個）；紅球可能有（個）；則口袋中白色球的個數就可能是（個）．故本題選擇C．
例2（遼寧省大連市）某活動小組為了估計裝有5個白球和若干個紅球（每個球除顏色外都相同）的袋中紅球接近多少個，在不將袋中球倒出來的情況下，分小組進行摸球試驗，兩人一組，共20組進行摸球實驗．其中一位學生摸球，另一位學生記錄所摸球的顏色，并將球放回袋中搖勻，每一組做400次試驗，匯兌起來后，摸到紅球次數為6000次．
（1）估計從袋中任意摸出一個球，恰好是紅球的概率是多少？
（2）請你估計袋中紅球接近多少個？
解析：（1）由題意可知，該活動小組共做了次實驗，摸到紅球的頻率為，該頻率就可以近似地看成是摸到紅球的概率
因此從袋中任意摸出一個紅球的概率是．
（2）白球有5個，因此我們可以估計該口袋中球的總數是（個），
那么口袋中的白球大約有（個）
二、擲骰子實驗判斷結論正誤
例3
（貴陽市）小穎和小紅兩位同學在學習“概率”時，做投擲骰子（質地均勻的正方體）實驗，他們共做了60次實驗，實驗的結果如下：
朝上的點數
1
2
3
4
5
6
出現的次數
7
9
6
8
20
10
（1）計算“3點朝上”的頻率和“5點朝上”的頻率．
（2）小穎說：“根據實驗，一次實驗中出現5點朝上的概率最大”；小紅說：“如果投擲600次，那么出現6點朝上的次數正好是100次．”小穎和小紅的說法正確嗎？為什么？
解析：（1）
根據頻率的計算方法，有：
“3點朝上”出現的頻率是；
“5點朝上”出現的頻率是.
（2）小穎的說法是錯誤的．這是因為雖然在本次實驗中“5點朝上”的頻率最大，但不能說明“5點朝上”這一事件發生的概率最大．只有當實驗的次數足夠大時，該事件發生的頻率穩定在事件發生的概率附近．小紅的判斷也是錯誤的，因為事件發生具有隨機性，并不是“6點朝上”發生的頻率總為，故投擲600次“6點朝上”的次數不一定是100次．
三、投棋子實驗估計其概率值
例4（廣東中山市）一粒木質中國象棋子“兵”，它的正面雕刻一個“兵”字，它的反面是平的，將它從一定高度下擲，落地反彈后可能是“兵”，也可能是“兵”字面朝下.由于棋子的兩面不均勻，為了估計“兵”字面朝上的概率，某實驗小組做了棋子下擲實驗，實驗數據如下表：
請將數據圖補充完整；
實驗次數
20
40
60
80
100
120
140
160
“兵”字面朝上頻數
14
38
47
52
66
78
88
相應頻率
0．7
0.45
0.63
0.59
0.52
0.56
0.55
（2）畫出“兵”字面朝上的頻率分布折線圖；
（3）如果實驗繼續進行下去，根據表的數據，這個實驗的頻率將穩定在它的概率附近，請你估計這個概率是多少？
解析：（1）當實驗次數是40時，對應的頻率是0.45，所以“兵”字面朝上的頻數是40×0.45=18；當實驗次數是120時，“兵”字面朝上的頻數是66，相應的頻率是66÷120=0.55．
（2）所畫的頻率分布折線圖如圖所示．
（3）根據表中數據以及頻率分布折線圖可以發現，如果繼續實驗可以發現實驗的頻率將穩定0.55左右，由此可估計“兵”字面朝上的概率為0.55．
總之，解決頻率與概率有關問題,需要正確理解頻率、頻數以及實驗次數之間的關系，注意只有當實驗的次數比較多時，實驗的頻率才能穩定在相應的概率附近．我們特別要注意的是：實驗的頻率不等同于理論概率．
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