資源簡介

怎樣用一元二次方程解決面積問題？
難易度：★★★★
關(guān)鍵詞：一元二次方程的應(yīng)用
答案：
列一元二次方程可解決幾何體面積有關(guān)的應(yīng)用題，注意舍根，面積問題還要畫圖分析。
【舉一反三】
典例：要剪一塊面積為150cm2的長方形鐵片，使它的長比寬多5cm，這塊鐵片應(yīng)該怎樣剪？

設(shè)長為xcm，則寬為（x-5）cm

列方程x（x-5）=150，即x2-5x-150=0

請(qǐng)根據(jù)列方程回答以下問題：

（1）x可能小于5嗎？可能等于10嗎？說說你的理由．
（2）完成下表：

x
10
11
12
13
14
15
16
17
…
x2-5x-150










（3）你知道鐵片的長x是多少嗎？
思路導(dǎo)引：一般來說，x2-
( http: / / www.21cnjy.com )5x-150=0的形式不能用平方根的意義和整式中的分解因式的方法去求根，但是我們可以用一種新的方法──“夾逼”方法求出該方程的根．（1）x不可能小于5．理由：如果x<5，則寬（x-5）<0，不合題意．x不可能等于10．理由：如果x=10，則面積x2-5x-150=-100，也不可能．
（2）

x
10
11
12
13
14
15
16
17
……
x2-5x-150
-100
-84
-66
-46
-24
0
26
54
……

（3）鐵片長x=15cm
標(biāo)準(zhǔn)答案：（1）x不可能小于5．理由：如果x<5，則寬（x-5）<0，不合題意．
x不可能等于10．理由：如果x=10，則面積x2-5x-150=-100，也不可能。
（2）

x
10
11
12
13
14
15
16
17
……
x2-5x-150
-100
-84
-66
-46
-24
0
26
54
……

（3）鐵片長x=15cm點(diǎn)擊中考中一元二次方程的應(yīng)用
構(gòu)造一元二次方程模型解決實(shí)際問題是中考的熱點(diǎn)之一，下面以2004年部分中考試題為例加以說明．
一、市場經(jīng)營問題
例1、某商場今年2月份的營業(yè)額為400萬元，3月份的營業(yè)額比2月份增加了
( http: / / www.21cnjy.com )，5月份的營業(yè)額達(dá)到633.6萬元，求3月份到5月份營業(yè)額的平均月增長率．
解：設(shè)3月份至5月份營業(yè)額的平均月增長率為
( http: / / www.21cnjy.com )．由題意，得
( http: / / www.21cnjy.com )，
整理，得
( http: / / www.21cnjy.com )，
解得
( http: / / www.21cnjy.com )（不合題意，舍去）．
所以，3月份到5月份營業(yè)額的平均月增長率為
( http: / / www.21cnjy.com )．
二、農(nóng)業(yè)稅問題
例2、今年，我國政府為減輕農(nóng)民負(fù)擔(dān)
( http: / / www.21cnjy.com )，決定在5年內(nèi)免去農(nóng)業(yè)稅，某鄉(xiāng)今年人均上繳農(nóng)業(yè)稅25萬，若兩年后人均上繳農(nóng)業(yè)稅為16萬，假設(shè)這兩年降低的百分率相同．
（1）求降低的百分率；
（2）小紅家有4人，明年小紅家減少多少農(nóng)業(yè)稅？
（3）小紅所在的鄉(xiāng)約有16
000農(nóng)民，問該鄉(xiāng)農(nóng)民明年減少多少農(nóng)業(yè)稅？
解：（1）設(shè)降低的百分率為
( http: / / www.21cnjy.com )，由題意，得
( http: / / www.21cnjy.com )，解得
( http: / / www.21cnjy.com )（不合題意，舍去）．
（2）小紅家減少的農(nóng)業(yè)稅額為
( http: / / www.21cnjy.com )（元）．
（3）全鄉(xiāng)減少的農(nóng)業(yè)稅額為
( http: / / www.21cnjy.com )（元）．
三、環(huán)保問題
例3、據(jù)某城市的統(tǒng)計(jì)資料顯示，到20
( http: / / www.21cnjy.com )03年末該城市堆積的垃圾已達(dá)50萬噸，不但侵占了大量土地，而且已成為一個(gè)重要的污染源，從2004年起，該城市采取有力措施嚴(yán)格控制垃圾的產(chǎn)生量，但根據(jù)預(yù)測，每年仍將產(chǎn)生3萬噸的新垃圾，垃圾處理已成為該城市建設(shè)中的一個(gè)重要問題．
（1）若2000年末該城市堆積的垃圾為30萬噸，則2001年初至2003年末產(chǎn)生的垃圾總量為　　萬噸．已知2001年產(chǎn)生的垃圾量為5萬噸，求從2001年初至2003年末產(chǎn)生的垃圾量的年平均增長率是多少？（參考數(shù)據(jù)：
( http: / / www.21cnjy.com )；結(jié)果保留兩個(gè)有效數(shù)字）
（2）若2004年初，該城市新建的
( http: / / www.21cnjy.com )垃圾處理廠投入運(yùn)行，打算到2008年底前把所堆積的新、舊垃圾全部處理完，則該廠平均每年至少需處理垃圾多少萬噸？
解：（1）由題意，得
( http: / / www.21cnjy.com )（萬噸）．
設(shè)從2001年初至2003年末產(chǎn)生的垃圾量的年平均增長率為
( http: / / www.21cnjy.com )．由題意，得
( http: / / www.21cnjy.com )，
解這個(gè)方程，得
( http: / / www.21cnjy.com )（不合題意，舍去），即
( http: / / www.21cnjy.com )．
（2）
( http: / / www.21cnjy.com )（萬噸）．
四、幾何問題
例4、如圖，正方形
( http: / / www.21cnjy.com )的邊長為
( http: / / www.21cnjy.com )，劃分成
( http: / / www.21cnjy.com )個(gè)小正方形格．將邊長為
( http: / / www.21cnjy.com )（
( http: / / www.21cnjy.com )為整數(shù)，且
( http: / / www.21cnjy.com )）的黑白兩色正方形紙片按圖中的方式黑白相間地?cái)[放，第一張
( http: / / www.21cnjy.com )的紙片正好蓋住正方形
( http: / / www.21cnjy.com )左上角的
( http: / / www.21cnjy.com )個(gè)小正方形格，第二張紙片蓋住第一張紙片的部分恰好為
( http: / / www.21cnjy.com )的正方形．如此擺放下去，最后直到紙片蓋住正方形
( http: / / www.21cnjy.com )的右下角為止．
請(qǐng)你認(rèn)真觀察思考后，回答下列問題：
（1）由于正方形紙片邊長
( http: / / www.21cnjy.com )的取值不同，完成擺放時(shí)所使用正方形紙片的張數(shù)也不同，請(qǐng)?zhí)顚懴卤恚?br/>紙片的邊長
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
使用的紙片張數(shù)
（2）設(shè)正方形
( http: / / www.21cnjy.com )被紙片蓋住的面積（重合部分只計(jì)一次）為
( http: / / www.21cnjy.com )，未被蓋住的面積為
( http: / / www.21cnjy.com )．
①當(dāng)
( http: / / www.21cnjy.com )時(shí)，求
( http: / / www.21cnjy.com )的值；
②是否存在使得
( http: / / www.21cnjy.com )的
( http: / / www.21cnjy.com )值，若存在，請(qǐng)求出這樣的
( http: / / www.21cnjy.com )值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
解：（1）依次為：
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )．
（2）
( http: / / www.21cnjy.com )．
①當(dāng)
( http: / / www.21cnjy.com )時(shí)，
( http: / / www.21cnjy.com )，
所以
( http: / / www.21cnjy.com )．
②若
( http: / / www.21cnjy.com )時(shí)，則有
( http: / / www.21cnjy.com )，即
( http: / / www.21cnjy.com )，解之，得
( http: / / www.21cnjy.com )（舍去）．
所以當(dāng)
( http: / / www.21cnjy.com )時(shí)，
( http: / / www.21cnjy.com )，即這樣的
( http: / / www.21cnjy.com )值是存在的．日常生活中一元二次方程的應(yīng)用
當(dāng)今社會(huì)正處在市場經(jīng)濟(jì)的時(shí)代，我們的
( http: / / www.21cnjy.com )日常生活中經(jīng)常會(huì)遇到各種經(jīng)營、銷售、利潤、房產(chǎn)等問題．我們知道數(shù)學(xué)來源于生活，又應(yīng)用于我們的生活，新課程的改革實(shí)驗(yàn)也要求同學(xué)們能用一些所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)解決生活中的實(shí)際問題，體會(huì)到數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，下面我們就最近所學(xué)的“一元二次方程在日常生活中應(yīng)用“看兩個(gè)實(shí)例，以求對(duì)同學(xué)們有所幫助．
問題1：聯(lián)華超市將進(jìn)貨單價(jià)為40元的商品
( http: / / www.21cnjy.com )如果按50元銷售，就能賣出500個(gè)，但如果這種商品每個(gè)漲價(jià)1元，其銷售量就減少10個(gè)，如果你是超市的經(jīng)理的話，為了賺得8000元的利潤，你覺得售價(jià)應(yīng)定為多少？這時(shí)應(yīng)進(jìn)貨多少個(gè)？
分析：我們知道商品的定價(jià)和進(jìn)貨量應(yīng)
( http: / / www.21cnjy.com )該根據(jù)市場的行情而定，如果定價(jià)過高，超越了消費(fèi)者心理承受力的話，恐怕消費(fèi)者無人問津，銷售商只能自認(rèn)倒霉了；定價(jià)過低的話，利潤過低、甚至虧本的話，銷售商也就劃不來的．上述問題中如果銷售價(jià)按照單價(jià)50元的話，每個(gè)利潤是10元，可以賣出500個(gè)，共可獲利5000元，無法完成利潤8000元的目標(biāo)，所以只有提高單價(jià)并控制適當(dāng)?shù)膯蝺r(jià)，才可以完成獲得利潤5000元任務(wù)．
解：設(shè)該種商品的單價(jià)為（50+x）元，則每個(gè)的利潤是
( http: / / www.21cnjy.com )元，銷售數(shù)量為（500-10x）個(gè)，由題意得方程：
( http: / / www.21cnjy.com )；
整理得：
( http: / / www.21cnjy.com )；解之得：
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )
故這個(gè)商品的單價(jià)可定為60元時(shí)，其
( http: / / www.21cnjy.com )進(jìn)貨量為500-10×10=400個(gè)；當(dāng)這個(gè)商品的單價(jià)定為80元時(shí)，其進(jìn)貨量為500-10×30=200個(gè)．
注：如果同學(xué)們以后學(xué)了二次函數(shù)內(nèi)容的話，還可以知道當(dāng)單價(jià)定為70元時(shí)，獲得的最大利潤為8100元．
問題2：某地開發(fā)區(qū)為改善居民的住房條件，每年要建一批新的住房，人均住房面積逐年增加（人均住房面積=
( http: / / www.21cnjy.com )，單位平方米/人）．
該開發(fā)區(qū)2002年至2004年，每年年底人口總數(shù)和人均住房面積的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖所示，
請(qǐng)根據(jù)此提供的信息解答下面問題：
（1）該區(qū)2003年和2004年兩年中哪一年比上一年增加的住房面積多？多增加多少平方米？
（2）由于經(jīng)濟(jì)發(fā)展需要，預(yù)計(jì)
( http: / / www.21cnjy.com )到2006年底，該地區(qū)人口總數(shù)將比2004年底增加2萬，為使到2006年底地區(qū)人均住房面積達(dá)到11平方米/人，試求2005年和2006年這兩年該地區(qū)住房總面積的年增長率應(yīng)達(dá)到百分之幾？
分析：隨著我們國家經(jīng)濟(jì)迅
( http: / / www.21cnjy.com )速發(fā)展，經(jīng)濟(jì)實(shí)力的不斷強(qiáng)大，廣大人民的住房條件正在得到不斷的改善，生活水平正在得到不斷地提高．我們從上述問題的圖象中可以獲取一些信息：
年度
人口
人均住房面積（平方米/人）
總面積（萬平方米）
比上一年增加數(shù)（萬平方米）
2002
17
9
153
/
2003
18
9.6
172.8
19.8
2004
20
10
200
27.2
解：（1）2004年比2003年增加的住房多，多增加了7.4平方米．
（2）設(shè)住房總面積年平均增長率應(yīng)達(dá)到x，由題意得：
( http: / / www.21cnjy.com )；
解得：
( http: / / www.21cnjy.com )℅；
( http: / / www.21cnjy.com )（不合題意，舍去）．
答略．
應(yīng)該說一元二次方程在日常生活中的應(yīng)用應(yīng)該說是非常廣泛的，還有諸如儲(chǔ)蓄、利稅問題等，同學(xué)們有興趣的話還可以作更多的研究．
0
17
2004
2003
2002
18
年
20
萬人
開發(fā)區(qū)近三年人口變化圖
0
2002
2003
2004
9
9.6
10
平方米/人
年
開發(fā)區(qū)近三年人均住房面積變化曲線看看古代一元二次方程應(yīng)用題
我國古代對(duì)代數(shù)的研究，特別是對(duì)方程解法的
( http: / / www.21cnjy.com )研究，有著優(yōu)良的傳統(tǒng)，并取得了重要成果。古代文獻(xiàn)中有很多的方程應(yīng)用型問題，題的內(nèi)容來自生活，新穎有趣，有很高的數(shù)學(xué)價(jià)值和欣賞價(jià)值．本文列舉幾例供同學(xué)們賞析。
例1、我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝在127
( http: / / www.21cnjy.com )5年提出的一個(gè)問題：“直田積(矩形面積)八百六十四步(平方步)，只云闊(寬)不及長一十二步(寬比長少一十二步)，問闊及長各幾步．”
　　解：設(shè)闊(寬)為x步，則長為(x+12)步．根據(jù)題意，列出方程x(x+12)＝864．
展開，整理，得x2+12x-864＝0，解這個(gè)方程，得x1＝24，x2＝-36(舍去)，x1+12＝36．
答：矩形的闊(寬)為24步，長為36步．
例2、《九章算術(shù)》“勾股”章有一題：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙東行，甲南行十步而斜東北與乙會(huì)．問甲乙行各幾何．”
　　大意是說：已知甲、乙二人同時(shí)
( http: / / www.21cnjy.com )從同一地點(diǎn)出發(fā)，甲的速度為7，乙的速度為3．乙一直向東走，甲先向南走10步，后又斜向北偏東方向走了一段后與乙相遇．那么相遇時(shí)，甲、乙各走了多遠(yuǎn)？
　　解：如圖1所示，設(shè)甲、乙二人出發(fā)后
( http: / / www.21cnjy.com )時(shí)相遇，根據(jù)題意，得
( http: / / www.21cnjy.com )，其中
( http: / / www.21cnjy.com )．
　　則由勾股定理，得
( http: / / www.21cnjy.com )．
　　解這個(gè)方程，得
( http: / / www.21cnjy.com )（舍去）．
　　那么甲走的路程是：
( http: / / www.21cnjy.com )（步）；
　　乙走的路程是：
( http: / / www.21cnjy.com )（步）．
　　例3、《九章算術(shù)》“勾股”章有一題：“今有戶高多于廣六尺八寸，兩隅相去適一丈．問戶高、廣各幾何．”
　　大意是說：已知長方形門的高比寬多6尺8寸，門的對(duì)角線長1丈，那么門的高和寬各是多少？
　　解：如圖2所示，設(shè)門的寬為
( http: / / www.21cnjy.com )尺，則高為
( http: / / www.21cnjy.com )尺，
　　根據(jù)題意，得
( http: / / www.21cnjy.com )．
　　即
( http: / / www.21cnjy.com )．
　　解此方程，得
( http: / / www.21cnjy.com )（舍去）．
　　此時(shí)
( http: / / www.21cnjy.com )．
　　所以門高為
( http: / / www.21cnjy.com )尺，門寬是
( http: / / www.21cnjy.com )尺．
　　例4、印度古算書中有
( http: / / www.21cnjy.com )這樣一首詩：“一群猴子分兩隊(duì)，高高興興在游戲，八分之一再平方，蹦蹦跳跳樹林里；其余十二嘰喳喳，伶俐活潑又調(diào)皮，告我總數(shù)共多少，兩隊(duì)猴子在一起．”
　　大意是說：一群猴子分成兩隊(duì)，一隊(duì)猴子數(shù)是猴子總數(shù)的的平方，另一隊(duì)猴子數(shù)是12，那么猴子總數(shù)是多少？你能解決這個(gè)問題嗎？
　　解：設(shè)猴子總數(shù)為
( http: / / www.21cnjy.com )只，根據(jù)題意，得
( http: / / www.21cnjy.com )，
　　解此方程，得
( http: / / www.21cnjy.com )．
所以，猴子總數(shù)為
( http: / / www.21cnjy.com )只或
( http: / / www.21cnjy.com )只。
圖2
1丈
甲
乙
北
東
圖1如何列一元二次方程解動(dòng)點(diǎn)問題？
難易度：★★★★
關(guān)鍵詞：一元二次方程的應(yīng)用
答案：
運(yùn)動(dòng)變化的題目需要在動(dòng)中找靜，準(zhǔn)確把握數(shù)量關(guān)系，并注重檢驗(yàn)解的合理性。
【舉一反三】
【舉一反三】
典例：如圖，在△ABC中，∠B=
( http: / / www.21cnjy.com )90°，點(diǎn)P從點(diǎn)B開始，沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始，沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)，如果AB=6cm，BC=12cm，P、Q都從B點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，幾秒后△PBQ的面積等于8cm2？

思路導(dǎo)引：一般來說，此類問題需找一靜點(diǎn)，找出數(shù)量關(guān)系式。
設(shè)x秒后△PBQ的面積等于8cm2

則PB=x，BQ=2x

依題意，得：x·2x=8

x2=8

根據(jù)平方根的意義，得x=±2
( http: / / www.21cnjy.com )

即x1=2
( http: / / www.21cnjy.com )，x2=-2
( http: / / www.21cnjy.com )

可以驗(yàn)證，2
( http: / / www.21cnjy.com )和-2
( http: / / www.21cnjy.com )都是方程
( http: / / www.21cnjy.com )x·2x=8的兩根，但是移動(dòng)時(shí)間不能是負(fù)值．
所以2
( http: / / www.21cnjy.com )秒后△PBQ的面積等于8cm2．
標(biāo)準(zhǔn)答案：2
( http: / / www.21cnjy.com )秒．承包獲利
　　某人承包水庫養(yǎng)魚1萬條，為了了解魚的生長
( http: / / www.21cnjy.com )情況，第一次網(wǎng)出25條，平均每條重2.2千克；第二次網(wǎng)出40條，平均每條重2.4千克；第三次網(wǎng)出35條，平均每條重2.6千克．問：（1）該水庫中魚的總重量約是多少千克？（2）若不論大小，全部按每千克7.5元出售，他能收入多少元？（3）若把魚分類出售，大魚每千克10元，小魚每千克6元，則水庫中大魚總重量不低于多少時(shí)，承包人賣魚所得收入才能不低于按每千克7.5元出售所得收入？
分析：本題是應(yīng)用統(tǒng)計(jì)知識(shí)對(duì)生活中的問題進(jìn)行觀察、評(píng)估與決策，生活氣息濃．本題主要檢查學(xué)生對(duì)加權(quán)平均數(shù)公式
( http: / / www.21cnjy.com )，（f1＋f2＋…＋fk＝n）的意義的理解和應(yīng)用．有利于培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力．其具體的思路是：
　　（1）由于已知水庫中有1萬條魚，要想知道這些魚的總重量，只要知道平均每條魚的重量即可．因此，可以運(yùn)用統(tǒng)計(jì)方法，通過抽查水庫中部分魚的重量，來估計(jì)水庫中每條魚的重量．所以水庫中魚的總重量＝平均每條魚的重量×魚的條數(shù)，即
( http: / / www.21cnjy.com )，也即
( http: / / www.21cnjy.com )
．
　　（2）用水庫中魚的總重量乘售魚單價(jià)．
　　（3）思路一：把問題轉(zhuǎn)化為“水庫中大魚總重量為多少時(shí)，承包人賣魚所得收入與按每千克7.5元出售所得收入相等”，通過列方程解決問題．
　　思路二：先列出承包人收入與水庫中大魚總重量之間的函數(shù)關(guān)系式，列出不等式來解．
　　解：（1）
( http: / / www.21cnjy.com )
（千克）．
　　答：該水庫中魚的總重量約為24200千克．
　　（2）
( http: / / www.21cnjy.com )
（元）．
　　答：不論大小，全部按每千克7.5元出售，水庫承包人能收入181500元．
　　（3）解法一：設(shè)水庫中大魚質(zhì)量為x千克時(shí)，承包人分類售魚收入與（2）中收入相同，根據(jù)題意，得
　　
( http: / / www.21cnjy.com )
．
　　解這個(gè)方程，得
( http: / / www.21cnjy.com )
．
　　答：水庫中大魚總重量不低于9075千克時(shí)，承包人分類售魚收入才能不低于按每千克7.5元出售的收入．
　　解法二：設(shè)水庫中大魚重量為q千克，承包人售魚收入為y元，則有
　　
( http: / / www.21cnjy.com )．
要使承包人分類售魚收入不低于（2）中收入，必須有
( http: / / www.21cnjy.com )
．
　　解這個(gè)不等式，得q≥9075．
　　答：水庫中大魚總重量不低于9075千克時(shí)，承包人賣魚收入才能不低于每千克7.5元出售的收入．
　　我們學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)，還為了利用有關(guān)知識(shí)和統(tǒng)計(jì)思想方法來解決現(xiàn)實(shí)生活中的問題．列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟是什么？
難易度：★★★
關(guān)鍵詞：一元二次方程的應(yīng)用
答案：
：根據(jù)例題分析，列一元一次方程解應(yīng)用題的方法和步驟如下：
(1)仔細(xì)審題，透徹理解題意。即弄清已知量、未知量及其相互關(guān)系，并用字母(如x)表示題中的一個(gè)合理未知數(shù)；
(2)根據(jù)題意找出能夠表示應(yīng)用題全部含義的一個(gè)相等關(guān)系。(這是關(guān)鍵步驟)；
(3)根據(jù)相等關(guān)系，正確列出方程，即
( http: / / www.21cnjy.com )所列方程應(yīng)滿足兩邊的量要相等；方程兩邊代數(shù)式的單位要相同；題中條件要充分利用，不能漏也不能將一個(gè)條件重復(fù)利用等；
(4)根據(jù)方程的同解性原理，解方程，求出未知數(shù)的值；
(5)檢驗(yàn)后完整寫出答案。
【舉一反三】
典例：某輛汽車在公路上行駛，它行駛的路程s（m）和時(shí)間t（s）之間的關(guān)系為：s=10t+3t2，那么行駛200m需要多長時(shí)間
思路導(dǎo)引：一般來說，此類問題按照列一元
( http: / / www.21cnjy.com )二次方程解應(yīng)用題的一般步驟進(jìn)行求解。這是一個(gè)加速運(yùn)運(yùn)，根據(jù)已知的路程求時(shí)間，因此，只要把s=200代入求關(guān)系t的一元二次方程即可。當(dāng)s=200時(shí)，3t2+10t=200，3t2+10t-200=0

解得t=
( http: / / www.21cnjy.com )（s）
標(biāo)準(zhǔn)答案：行駛200m需
( http: / / www.21cnjy.com )s．一類由籬笆圍成兔舍問題的再思考
教材中的例習(xí)題都是專家精心挑選或獨(dú)巨匠
( http: / / www.21cnjy.com )心命制的,具有典型性,示范性或遷移再生的特性,解決問題之后，若能大膽地聯(lián)想變化問題的相關(guān)條件,或通過變換問題的情景向縱深進(jìn)行拓廣和延伸,挖掘蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法,再次經(jīng)歷問題變化過程的探索與思考,可大大提高解決問題的能力.本文以一道關(guān)于“構(gòu)建養(yǎng)兔柵欄”的數(shù)學(xué)問題為例加以剖析，以饗讀者.
【引例】
如圖，利用一面墻（墻的長度不限），用20m長籬笆，怎樣圍成一個(gè)面積為50m2矩形兔舍場地？
分析：設(shè)圍成長方形的長（與兔舍的墻平行的一邊）為xm.根據(jù)題意，得x·
( http: / / www.21cnjy.com )
=50，解之，得x1=x2=10
所以當(dāng)圍成長方形的寬為5m
長為10m時(shí)，矩形兔舍面積為50m2。
從上述的解答過程中，我們發(fā)現(xiàn)給出的墻面的長
( http: / / www.21cnjy.com )度不限，因此對(duì)解出所需的籬笆長沒有影響，只要解符合實(shí)際意義（正實(shí)數(shù)）即可。若給出的墻面的長度有限制，必然制約著問題的解（這是因?yàn)閴γ娑虝r(shí)，就不能圍城兔舍）請(qǐng)看變式1：
拓展1：學(xué)生生物課外活動(dòng)小組
( http: / / www.21cnjy.com )要在兔舍外面開辟一個(gè)面積為20m2的長方形活動(dòng)場地，它的一邊靠墻，其余3邊利用13m的舊圍欄，已知兔舍墻面寬6m，問圍成長方形的長和寬各是多少？
分析：設(shè)圍成長方形的寬（與兔舍的墻垂直的一邊）是xm.根據(jù)題意，得x·(13-2x)=20，解之，得x1=4，x2=
( http: / / www.21cnjy.com )
當(dāng)長方形的寬為4m或
( http: / / www.21cnjy.com )m，故相應(yīng)的兔舍的長5m或，由于兔舍的墻面寬6m，所以當(dāng)長為8m時(shí)，超過墻寬，不滿足要求，應(yīng)舍去.所以圍成長方形的長和寬分別為4m、5m..
從拓展1的解答過程中，我們很容易發(fā)現(xiàn)墻面的寬度對(duì)解的影響不容忽視，因而在未明確告知墻的長度時(shí)，需對(duì)墻長分類討論.請(qǐng)同學(xué)們給出如下問題探討.
拓展2、學(xué)生生物課外活動(dòng)小組要在兔舍外
( http: / / www.21cnjy.com )面開辟一個(gè)面積為20m2的長方形活動(dòng)場地，為了節(jié)約材料，它的一邊靠墻，其余3邊利用13m的舊圍欄，已知兔舍墻面寬a
m，（1）求圍成長方形的長和寬各是多少？（2）題中兔舍墻面寬a
m對(duì)題目的解有怎樣的制約作用？
從提高兔舍經(jīng)濟(jì)效益方面考慮，我們?cè)噲D利用現(xiàn)有的原材料建造一個(gè)面積最大的兔舍活動(dòng)場地請(qǐng)你判斷下面構(gòu)建能實(shí)現(xiàn)嗎？
拓展2、試用“13m的舊圍欄圍城長方形，并使兔舍場地的面積最大(假設(shè)墻寬沒有限制條件)？能建造出面積為22㎡的兔舍活動(dòng)場地嗎？”
分析：設(shè)圍成長方形的寬（與兔舍的墻垂直的一邊）是xm.
根據(jù)題意，x·(13-2x)=22,即2
x2－13
x+22=0
因?yàn)椤?（-13）2－4×2×22<0,方程無實(shí)數(shù)解，所以不能建造出面積為22㎡的兔舍活動(dòng)場地。
如果出現(xiàn)養(yǎng)兔場的兩邊靠墻怎樣建造才能使所圍兔場的面積最大呢？
拓展3、如圖，用長為13m的籬笆，兩面靠墻圍成矩形的養(yǎng)兔場，能建造出面積為22㎡的兔舍活動(dòng)場地嗎？
解答由讀者完成.
嘗試練習(xí)：某農(nóng)場要建一個(gè)長方形的養(yǎng)雞場
( http: / / www.21cnjy.com )，雞場的一邊靠墻（墻長25米），另3邊用木蘭圍城，木欄長40米，（1）雞場的面積能達(dá)到180米2嗎？能達(dá)到200米2嗎？（2）雞場的面積能達(dá)到250米2嗎？如果能，請(qǐng)給出設(shè)計(jì)方案，如果不能，請(qǐng)說明理由.如何列一元二次方程解直角三角形？
答案：
很多幾何題求邊時(shí)，用方程思想解決，而相等關(guān)系多由勾股定理提供，掌握本題很重要，體現(xiàn)了“幾何問題代數(shù)化”。
【舉一反三】

典例：一個(gè)直角三角形，斜邊
( http: / / www.21cnjy.com )，兩條直角邊長相差
( http: / / www.21cnjy.com )，求這個(gè)直角三角形的兩條直角邊的長。
思路導(dǎo)引：一般來說，此類問題根據(jù)直角三角形三邊關(guān)系。在Rt△中，三邊a，b，c滿足
( http: / / www.21cnjy.com )，這是構(gòu)造方程的相等關(guān)系。設(shè)一條直角邊長為x
cm，則另一條邊長為
( http: / / www.21cnjy.com )。根據(jù)題意列方程
( http: / / www.21cnjy.com )，
解得
( http: / / www.21cnjy.com )（不合題意，舍去）。
( http: / / www.21cnjy.com )。
標(biāo)準(zhǔn)答案：兩條直角邊長分別是8cm和4cm。一元二次方程的應(yīng)用題
本節(jié)課的內(nèi)容涉及三方面的內(nèi)容：數(shù)字問題、面積問題、增長率或降低率的問題。下面就這三方面的內(nèi)容作進(jìn)一步的說明和補(bǔ)充。
一、數(shù)字問題
解決此類問題的關(guān)鍵是正確而巧妙地設(shè)
( http: / / www.21cnjy.com )未知數(shù)，一般采用間接設(shè)的方法。多位數(shù)字用各數(shù)位上的數(shù)字與其數(shù)位值的乘積的和表示，如百、十、個(gè)位數(shù)字分別為a,b,c的三位數(shù)可表示為100a
+
10b
+
c。
注意：
1、連續(xù)整數(shù)的表示方法：通常設(shè)中間
( http: / / www.21cnjy.com )的數(shù)為x，再用含x的代數(shù)式表示其他的數(shù)，根據(jù)連續(xù)整數(shù)相鄰兩個(gè)數(shù)相差1的特征，可分別設(shè)前一個(gè)數(shù)為x—1，后一個(gè)數(shù)為x+1。
2、連續(xù)奇（偶）數(shù)的表示方法：通常設(shè)中間一個(gè)
( http: / / www.21cnjy.com )數(shù)為x，再用含x
的代數(shù)式表示其他的數(shù)，根據(jù)
連續(xù)奇（偶）數(shù)相鄰兩個(gè)數(shù)相差2的特征，可分別設(shè)前一個(gè)數(shù)為x-2，后一個(gè)數(shù)為x+2。
二、面積問題
面積問題是一元二次方程中常
( http: / / www.21cnjy.com )見的問題，通常是求線段的長度，如長方形的長或?qū)挼鹊取４祟悊栴}的等量關(guān)系即為幾何圖形的面積公式，如長×寬=長方形面積。解決此類問題的關(guān)鍵就是如何用未知數(shù)x表示公式中的未知量，如利用未知數(shù)表示長方形的長或?qū)挕?br/>三、增長率、降低率的問題
1、增長率問題是在某個(gè)數(shù)
( http: / / www.21cnjy.com )據(jù)的基礎(chǔ)上，連續(xù)增長兩次得到新的數(shù)據(jù)。此類問題的等量關(guān)系是a（1+增長率）2=b，其中a表示增長前的數(shù)據(jù)，b表示增長后的數(shù)據(jù)。
2、降低率問題是在某個(gè)數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，連
( http: / / www.21cnjy.com )續(xù)降低兩次得到新的數(shù)據(jù)。此類問題的等量關(guān)系是a（1-降低率）2=b，其中a表示降低前的數(shù)據(jù)，b表示降低后的數(shù)據(jù)。
四、補(bǔ)充相關(guān)中考新題型
1、春秋旅行社為吸引市民組團(tuán)去天水灣風(fēng)景區(qū)旅游，推出了如下收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)：
某單位組織員工去天水灣風(fēng)景區(qū)旅游，共支付給春秋旅行社旅游費(fèi)用27000元，請(qǐng)問該單位這次共有多少員工去天水灣風(fēng)景區(qū)旅游？
解：設(shè)該單位這次共有名員工去天水灣風(fēng)景區(qū)旅游，
因?yàn)?br/>( http: / / www.21cnjy.com )，所以員工人數(shù)一定超過25人。
可得方程
( http: / / www.21cnjy.com )
整理，得
( http: / / www.21cnjy.com )
解得：
( http: / / www.21cnjy.com )。
當(dāng)
( http: / / www.21cnjy.com )時(shí)，
( http: / / www.21cnjy.com )，故舍去
( http: / / www.21cnjy.com )
當(dāng)
( http: / / www.21cnjy.com )時(shí)，
( http: / / www.21cnjy.com )，符合題意
答：該單位這次共有30名員工去天水灣風(fēng)景區(qū)旅游。
2、將一條長為20cm的鐵絲剪成兩段，并以每一段鐵絲的長度為周長做成一個(gè)正方形．
(1)要使這兩個(gè)正方形的面積之和等于17cm2，那么這段鐵絲剪成兩段后的長度分別是多少
(2)兩個(gè)正方形的面積之和可能等于12cm2嗎
若能，求出兩段鐵絲的長度；若不能，請(qǐng)說明理由．
（1）解：設(shè)剪成兩段后其中一段為xcm，則另一段為（20-x）cm
由題意得：
( http: / / www.21cnjy.com )
解得：
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )
當(dāng)
( http: / / www.21cnjy.com )時(shí)，20-x=4
當(dāng)
( http: / / www.21cnjy.com )時(shí)，
20-x=16
答：（略）
（2）不能
理由是：
( http: / / www.21cnjy.com )
整理得：
( http: / / www.21cnjy.com )
∵
△=
( http: / / www.21cnjy.com )
∴此方程無解
即不能剪成兩段使得面積和為12cm2
如果人數(shù)不超過25人，人均旅游費(fèi)用為1000元
如果人數(shù)超過25人，每增加1人，人均旅游費(fèi)用降低20元，但人均旅游費(fèi)用不得低于700元如何列一元二次方程解決利潤問題？
難易度：★★★
關(guān)鍵詞：一元二次方程的應(yīng)用
答案：
利潤問題中常用用到的公式是：（1）單位利潤×銷量＝總利潤
（2）總利潤=總銷售額-總成本
【舉一反三】
典例：黃崗百貨商店服裝柜銷售中發(fā)現(xiàn)：“寶樂”
( http: / / www.21cnjy.com )牌童裝平均每天可售出20件，每件盈利40元，為迎接“六·一”，商場決定降價(jià)，擴(kuò)大銷售量，增加盈利，減少庫存。經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：如果每件童裝每降價(jià)4元，那么每天平均可多售8件，要想每天平均在銷售這種童裝上盈利1200元，那么每件童裝應(yīng)降價(jià)多少元？
思路導(dǎo)引：一般來說，此類問題為經(jīng)濟(jì)類問題應(yīng)用，應(yīng)找準(zhǔn)數(shù)量關(guān)系。要切實(shí)理解減少庫存是本題需要。

解：設(shè)每件童裝應(yīng)降價(jià)x元，根據(jù)題意，

( http: / / www.21cnjy.com )

( http: / / www.21cnjy.com )

解得：
( http: / / www.21cnjy.com )

因要減少庫存，∴
( http: / / www.21cnjy.com )，
標(biāo)準(zhǔn)答案：每件童裝應(yīng)降價(jià)20元。如何列一元二次方程解決平移問題？
答案：
平移是物體運(yùn)動(dòng)的一種形式，恰當(dāng)?shù)钠揭仆墚a(chǎn)生事半功倍的效果。
【舉一反三】
典例：某中學(xué)有一塊長為a米，寬為b米的矩形場地，計(jì)劃在該場地上修建寬都是2米的兩條互相垂直的道路,余下的四塊矩形小場地建成草坪。
（1）如圖，請(qǐng)分別寫出每條道路的面積（用含a或含b的代數(shù)式表示）
（2）已知a:b=2:1，并且四塊草坪的面積之和為312米2
，試求原來矩形場地的長和寬各為多少米？
思路導(dǎo)引：一般來說，此類問題應(yīng)表示出圖形中的面積，特別注意重合部分。
雖然表示出兩條道路的面積為2a米
( http: / / www.21cnjy.com )2
和2b米2，但由于兩條道路有重合的部分，草坪的面積是矩形場地的面積減去兩條道路的總面積(2x+4x-4)
米2.
（1）這兩條道路的面積分別為2a米2
和2b米2
（2）設(shè)b=x米，則a=2x米，由題意可得
x 2x-(2x+4x-4)=312
即x2-3x-154=0
(x-)2=
( http: / / www.21cnjy.com )
所以x-
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )或x-
( http: / / www.21cnjy.com )=-
( http: / / www.21cnjy.com )
整理得：x1=14
,x2=-11
(舍負(fù)根)
所以b=14
,a=28
即矩形的長為28米，寬為14米。
標(biāo)準(zhǔn)答案：（1）這兩條道路的面積分別為2a米2
和2b米2（2）矩形的長為28米，寬為14米。如何列一元二次方程解翻番問題？
答案：
關(guān)于翻番問題，應(yīng)清晰地知道翻一番，即為原來數(shù)值的兩倍，翻兩番即為原數(shù)值的四倍。
【舉一反三】
典例：黨的十六大提出全面建設(shè)小康社會(huì)，加快推進(jìn)社會(huì)主義現(xiàn)代化，力爭國民生產(chǎn)總值以2020年比2000年翻兩番．在本世紀(jì)的頭二十年（2001年~2020年），要實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，以十年為單位計(jì)算，設(shè)每個(gè)十年的國民生產(chǎn)總值的增長率都是
( http: / / www.21cnjy.com )，那么
( http: / / www.21cnjy.com )滿足的方程為（
）
A．
( http: / / www.21cnjy.com )
B．
( http: / / www.21cnjy.com )
C．
( http: / / www.21cnjy.com )
D．
( http: / / www.21cnjy.com )
思路導(dǎo)引：一般來說，此類問題注意翻番的
( http: / / www.21cnjy.com )特點(diǎn)。翻一番，即為原來數(shù)值的兩倍，翻兩番即為原數(shù)值的四倍。設(shè)2000年生產(chǎn)總值為a，則2010年的生產(chǎn)總值為a(1+x),2020年的生產(chǎn)總值為a(1+x)2
列方程得：a
( http: / / www.21cnjy.com )a,即
( http: / / www.21cnjy.com )
標(biāo)準(zhǔn)答案：B如何用
一元二次方程解決增長率問題？
答案：求增長率問題時(shí)，應(yīng)正確運(yùn)用增長率公式：
( http: / / www.21cnjy.com )
【舉一反三】
典例：市政府計(jì)劃2年內(nèi)將人均住房面積由現(xiàn)在的10m2提高到14.4m，求每年人均住房面積增長率．
思路導(dǎo)引：一般來說，此類問題應(yīng)先分析數(shù)量關(guān)系式，正確運(yùn)用增長率的公式，設(shè)出相關(guān)未知數(shù)，表示關(guān)系式。

設(shè)每年人均住房面積增長率為x．一年后人
( http: / / www.21cnjy.com )均住房面積就應(yīng)該是10+10x=10（1+x）；二年后人均住房面積就應(yīng)該是10（1+x）+10（1+x）x=10（1+x）2

解：設(shè)每年人均住房面積增長率為x，

則：10（1+x）2=14.4

（1+x）2=1.44

直接開平方，得1+x=±1.2

即1+x=1.2，1+x=-1.2

所以，方程的兩根是x1=0.2=20%，x2=-2.2

因?yàn)槊磕耆司》棵娣e的增長率應(yīng)為正的，因此，x2=-2.2應(yīng)舍去．

所以，每年人均住房面積增長率應(yīng)為20%．
標(biāo)準(zhǔn)答案：每年人均住房面積增長率應(yīng)為20%．一元二次方程公共根問題
若已知若干個(gè)一元二次方程有公共根，求方程系數(shù)的問題，叫一元二次方程的公共根問題，兩個(gè)一元二次方程只有一個(gè)公共根的解題步驟：
設(shè)公共根為α，則α同時(shí)滿足這兩個(gè)一元二次方程；
用加減法消去α2的項(xiàng)，求出公共根或公共根的有關(guān)表達(dá)式；
把共公根代入原方程中的任何一個(gè)方程，就可以求出字母系數(shù)的值或字母系數(shù)之間的關(guān)系式．
例1
已知一元二次方程x2-4x+k=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
求k的取值范圍．
如果k是符合條件的最大整數(shù)，且一元二次方程x2-4x+k=0與x2+mx-1=0有一個(gè)相同的根，求此時(shí)m的值．
解析：（1）∵一元二次方程x2-4x+k=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
∴△=16-4k＞0，∴k＜4
（2）當(dāng)k=3時(shí)，解x2-4x+3=0得x1=3，x2=1
當(dāng)x=3時(shí)，32+m·3-1=0，m=-
當(dāng)x=1時(shí)，12+m·1-1=0，m=0
例2
若兩個(gè)關(guān)于x的方程x2+x+a=0與x2+ax+1=0只有一個(gè)公共的實(shí)數(shù)根，求a的值
解：設(shè)兩個(gè)方程的公共根為α，則有α2+α+a=0
①
α2+aα-1=0
②
①-②得（1-a）α+a-1=0，即（1-a）（α-1）=0
因?yàn)橹挥幸粋€(gè)公共根，所以a≠1，所以α=1
把α=1代入x2+x+a=0得12+1+a=0，a=-2
例3
已知a＞2，b＞2，試判斷關(guān)于x的方程x2-（a+b）x+ab=0與x2-abx+（a+b）=0有沒有公共根，請(qǐng)說明理由．
分析：判斷兩個(gè)方程是否有公共解，常假設(shè)有公共根，代入兩個(gè)方程整理，求出這個(gè)解，再檢驗(yàn)，如有矛盾方程的公共根不存在．
解：不妨設(shè)關(guān)于x的方程x2-（a+b）x+ab=0與x2-abx+（a+b）=0有公共根，設(shè)有x0，則有
整理，可得（x0+1）（a+b-ab）=0
∵a＞2，b＞2，∴a+b≠ab，∴x0=-1
把x0=-1代入①得，1+a+b+ab=0這是不可能的
所以，關(guān)于x的兩個(gè)方程沒有公共根．
①
②購物中的一元二次方程
現(xiàn)實(shí)生活中，只要你有一雙善于發(fā)現(xiàn)
( http: / / www.21cnjy.com )的慧眼，你就會(huì)驚奇的感覺到：生活，時(shí)時(shí)刻刻都充滿著數(shù)學(xué)，整個(gè)生活就是用數(shù)學(xué)那美麗的花環(huán)編織起來的，絢麗多彩，讓人陶醉。
下面，請(qǐng)同學(xué)們欣賞！

例1
某商場銷售一批名牌襯
( http: / / www.21cnjy.com )衫．平均每天可售出20件，每件盈利40元，為了擴(kuò)大銷售，增加盈利，盡快減少庫存，商場決定采取適當(dāng)降價(jià)措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫每降價(jià)1元，商場平均每天多售出2件。

求：(1)若商場平均每天要盈利1
200元，每件襯衫應(yīng)降價(jià)多少元

(2)若要使商場平均每天盈利最多，請(qǐng)你幫助設(shè)計(jì)方案．

解：(1)設(shè)每件襯衫應(yīng)降價(jià)x元，則(40-x)(20+2x)＝l200
整理，得x2-30x+200＝0
解得x1＝10，x2＝20

因?yàn)橐M快減少庫存，∴x＝20

(2)商場每天盈利(40-x)(20+2x)＝-2(x-15)2+1250

當(dāng)x＝15時(shí)，商場盈利最多，共1250元．
答：(1)每件襯衫應(yīng)降價(jià)20元．(2)每件襯衫降價(jià)15元時(shí)，商場盈利最多。
點(diǎn)評(píng)：商場購物是我們每個(gè)人都經(jīng)歷過的事情，但你注意、觀察、感悟過嗎？
例2
某型號(hào)的手機(jī)連續(xù)兩次降價(jià)，每個(gè)售價(jià)由原來的1185元降到了580元。設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為x，則，列方程正確的是(
)
A.
580(1+x)2＝1185
B.1185(1+x)2=580
C.580(1-x)2=1185
D.1185(1-x)2=580

分析：由題意得：1185(1-x)2=580
解：D
點(diǎn)評(píng)：購買手機(jī)這件事情也充滿著數(shù)學(xué)，你看生活是多么的有意思啊！
例3
某電視機(jī)廠2001
( http: / / www.21cnjy.com )年生產(chǎn)一種彩色電視機(jī)，每臺(tái)成本3000元，由于該廠不斷進(jìn)行技術(shù)革新，連續(xù)兩年降低成本，至2003年這種彩色電視機(jī)每臺(tái)成本僅1920元．問平均每年降低成本百分之幾

分析：設(shè)每年降低成本的百分率為。x，
( http: / / www.21cnjy.com )那么2002年的成本為3000(1-x)元，2003年的成本為3000(1-x)2元．根據(jù)題意可列方程3000(1-x)
2＝1920

解：設(shè)平均每年降低成本的百分率為x，依題意列方程3
000(1-x)
2＝l920

答：平均每年降低成本20％。
點(diǎn)評(píng)：平均降低率問題與平均增長率問題類似，只要把平均增長率公式a(1+x)＝b中的“+”號(hào)換成“-”號(hào)即可。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：用一元二次方程解決問題
列一元二次方程解實(shí)際應(yīng)用題的一般步驟
具體的步驟一般是：
審題：仔細(xì)閱讀題目，分析題意，明確題目要求，弄清已知量，未知量以及他們之間的關(guān)系
設(shè)未知數(shù)：一種方法是直接設(shè)所要求的量x，另一種是設(shè)與所求量有關(guān)系的，且具有關(guān)鍵性作用的未知量為x,即所求量可以用x表示出來
列代數(shù)式：用含有x的代數(shù)式表示出有關(guān)的未知量。
列方程：根據(jù)題目已知量和未知量的關(guān)系列出方程
解方程：利用配方法，公式法，因式分解法等求出未知量的值。
檢驗(yàn)：應(yīng)用題中未知量的允許值往往有一定的限制，因此除了檢驗(yàn)未知數(shù)的值是否滿足所列出的方程外，還必須檢驗(yàn)它在實(shí)際問題中是否有意義
寫出答案：根據(jù)題意，選擇合理的答案
1、平均增長率方面的應(yīng)用題
平均增長率的公式：
( http: / / www.21cnjy.com )（a為起始量，b為終止量，n為增長的次數(shù)，x為平均增長率）.類似的，還有降低率問題，
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )（a為起始量，b為終止量，n為增長的次數(shù)，x為平均增長率）.
2、利潤方面的應(yīng)用題
總利潤=總銷售價(jià)—總成本
總利潤=單個(gè)的利潤×總銷售量
3、與幾何圖形有關(guān)的一元二次方程的應(yīng)用題
與幾何圖形有關(guān)的一元二次
( http: / / www.21cnjy.com )方程的應(yīng)用題主要是將數(shù)字與數(shù)字之間的關(guān)系隱藏在圖形中，這樣的圖形主要有三角形，四邊形（以后還有圓），涉及三角形的三邊關(guān)系、三角形全等、面積的計(jì)算、體積的計(jì)算、勾股定理等.
解答此類問題時(shí)，關(guān)鍵是把
( http: / / www.21cnjy.com )實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，這就要求我們認(rèn)真的分析題意，把實(shí)際問題中的已知條件和未知條件歸結(jié)到某一個(gè)幾何圖形中，然后用幾何原理來尋找他們之間的關(guān)系。
在解題時(shí)，聯(lián)想圖形中有關(guān)的幾何定理，面積和公式，這里運(yùn)用了數(shù)行結(jié)合和化歸的思想。
4、數(shù)字問題
數(shù)的表示方法：
（1）三個(gè)連續(xù)的整數(shù)，設(shè)中間的一個(gè)為x，，則其余兩個(gè)分別為x-1,x+1.
(2)
三個(gè)連續(xù)的偶數(shù)（或奇數(shù)），設(shè)中間的一個(gè)為x，則其余的兩個(gè)分別為x-2，x+2.
（3）兩位數(shù)=十位上的數(shù)字×10+個(gè)位上的數(shù)字
（4）三位數(shù)=百位上的數(shù)字×100+十位上的數(shù)字×10+個(gè)位上的數(shù)字
【例1】
在一幅長80cm，寬50cm的矩形圖畫的四周鑲一條金色的紙邊，
制成一幅矩形的掛圖，如圖所示，如果要使整個(gè)面積是5400cm2，設(shè)金色紙邊的寬為x
cm，那么x滿足的方程為（
）
A.
( http: / / www.21cnjy.com )
B.
( http: / / www.21cnjy.com )
C.
( http: / / www.21cnjy.com )
D.
( http: / / www.21cnjy.com )
【例2】一個(gè)三位數(shù)，十位上的數(shù)字比個(gè)
( http: / / www.21cnjy.com )位上的數(shù)字大3，百位上的數(shù)字等于個(gè)位上的數(shù)字的平方，如果這個(gè)三位數(shù)比它的個(gè)位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字之積的25倍大202，則這個(gè)三位數(shù)是__________________.
【例3】
某商店如果將進(jìn)貨價(jià)為8元的商
( http: / / www.21cnjy.com )品按每件10元出售，每天可銷售200件，現(xiàn)采用提高售價(jià)，減少進(jìn)貨量的方法增加利潤，如果這件商品每件漲0.5元，其銷售量就會(huì)減少10件，那么將售價(jià)定位多少時(shí)，才能使所賺利潤為640元？
【例4】
制造一種產(chǎn)品，原來每件的成本為100元，由于連續(xù)兩次降低生產(chǎn)成本，現(xiàn)在每件的成本為81元，則平均每次降低成本的（
）
A.
8.5%
B.9%
C.9.5
%
D.10%
【例5】
某大學(xué)為改善校園環(huán)境，計(jì)劃在一塊長為80cm，寬為60cm
的矩形場地的中央建一塊矩形網(wǎng)球場.網(wǎng)球場占地面積為3500m
( http: / / www.21cnjy.com ),四周為寬度相等的人行步道，求人形步道的寬度.與一元二次方程有關(guān)的閱讀理解題
近幾年來，閱讀理解題頻頻出現(xiàn)在全國各
( http: / / www.21cnjy.com )地的中考試題中，成為試卷中一個(gè)耀眼的亮點(diǎn)，關(guān)于解閱讀理解題，我總結(jié)了三句精要：“閱讀是重點(diǎn)，理解是難點(diǎn)，應(yīng)用是關(guān)鍵”．本文結(jié)合同學(xué)們學(xué)習(xí)的一元二次方程，精選近幾年的中考題，談?wù)勯喿x理解題的求解要領(lǐng)，旨在對(duì)同學(xué)們的學(xué)習(xí)和中考都能有所幫助．
例1
（福建省三明市05年中考模擬題）閱讀并解答下列問題：
（1）如下表，方程1、方程2、方程3、……是按一定規(guī)律排列的一列方程，解方程1，并把它的解填在表中的空白處：
序號(hào)
方程
方程的解
1
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
2
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
3
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
……
……
……
……
（2）若方程
( http: / / www.21cnjy.com )的解是x1＝6，x2＝10，求a、b的值，該方程是不是（1）中所給出的一列方程中的一個(gè)方程？如果是，它是第幾個(gè)方程？
（3）請(qǐng)寫出這列方程中的第n個(gè)方程和它的解，并驗(yàn)證所寫出的解適合第n個(gè)方程．
簡析：本例是可化為一元二次方
( http: / / www.21cnjy.com )程的分式方程，好在八（下）第10章我們有“分式方程”（可化為一元一次方程的分式方程）墊底，其難度就降低多了．作為閱讀理解題，重點(diǎn)是閱讀，閱讀可分兩輪：（1）疏通性閱讀，即讀懂題意；（2）要領(lǐng)性閱讀，即有的放矢地抓住要領(lǐng)．難點(diǎn)是理解，理解可分兩層：（1）給定一列方程的排列規(guī)律；（2）分式方程的兩個(gè)正根與參變數(shù)a、b之間的內(nèi)在聯(lián)系．關(guān)鍵是應(yīng)用，應(yīng)用體現(xiàn)兩步：（1）第（2）小題求解中的求a、b（視a、b為未知數(shù)）值和對(duì)方程位序的判斷；（2）把這列方程按規(guī)律從特殊拓廣到一般．
略解：（1）x1＝3，x2＝4；（2）a＝12，b＝5，是第四個(gè)方程；
（3）
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )．驗(yàn)證略．
例2　（廈門市03年中考題）閱讀下面的例題：
解方程
( http: / / www.21cnjy.com )．
解：（1）當(dāng)x≥0時(shí)，原方程化為
( http: / / www.21cnjy.com )，解得
( http: / / www.21cnjy.com )（不合題意，舍去）．
（2）當(dāng)x＜0時(shí)，原方程化為
( http: / / www.21cnjy.com )，解得
( http: / / www.21cnjy.com )（不合題意，舍去），
( http: / / www.21cnjy.com )．
所以原方程的根是
( http: / / www.21cnjy.com )．
參照例題解方程
( http: / / www.21cnjy.com )，得到此方程的根是_________．
簡析：本例是含有絕對(duì)值符號(hào)的一元二次方程，且為填空題，這類題目在競賽中亦頻頻出現(xiàn)，求解時(shí)請(qǐng)效仿例題，注意分類討論．
略解：應(yīng)填寫
( http: / / www.21cnjy.com )（具體求解過程留給讀者仿閱讀材料自行完成）．
評(píng)注：該例屬于方法模擬型閱讀理解題，解題過程中請(qǐng)注意以下幾點(diǎn)：
（1）理解閱讀材料中的因
( http: / / www.21cnjy.com )果關(guān)系；（2）注意閱讀材料中隱含的數(shù)學(xué)思想方法；（3）重視閱讀材料中與新知識(shí)伴隨的方法；（4）除模仿閱讀材料中的方法外，還要注意遷移發(fā)展，探索有創(chuàng)造性的解題方法．
作為練習(xí)與鞏固，請(qǐng)同學(xué)們完成以下兩道練習(xí)題．
練習(xí)1　方程1：
( http: / / www.21cnjy.com )；方程2：
( http: / / www.21cnjy.com )；
方程3：
( http: / / www.21cnjy.com )；……方程k．
（1）解方程1；
（2）先根據(jù)方程1、2、3中所反映的某種規(guī)律寫出方程k，再根據(jù)方程1的結(jié)果，提出對(duì)方程k的解的情況的猜想，并說明你猜想的理由．
練習(xí)2：先閱讀下面的例題及解答過程，然后解答后面的問題．
例題：若方程
( http: / / www.21cnjy.com )與
( http: / / www.21cnjy.com )有相同的根，求k的值及相同的根．
解：設(shè)相同的根為α，則有
( http: / / www.21cnjy.com )．
所以
( http: / / www.21cnjy.com )，即
( http: / / www.21cnjy.com )．
（1）當(dāng)k≠6時(shí)，α＝1，代入原方程可求得
( http: / / www.21cnjy.com )；
（2）當(dāng)k＝6時(shí)，代入原方程中，兩方程均為
( http: / / www.21cnjy.com )，解得
( http: / / www.21cnjy.com )．
故當(dāng)k≠6時(shí)，有一個(gè)相同的根是α＝1；當(dāng)k＝6時(shí)，它們兩根都相同，是－1和7．
請(qǐng)你依照上面的解答，完成下題：
已知m為非負(fù)實(shí)數(shù)，當(dāng)m取什么值時(shí)，關(guān)于x的方程
( http: / / www.21cnjy.com )與
( http: / / www.21cnjy.com )僅有一個(gè)相同的實(shí)根？
（為了便于讀者閱讀，這里附上參考答案．練習(xí)1（1）方程1：解得
( http: / / www.21cnjy.com )，經(jīng)檢驗(yàn)
( http: / / www.21cnjy.com )是原方程的增根，舍去，故方程1無解；（2）方程k為
( http: / / www.21cnjy.com )，根據(jù)方程1的結(jié)果，可猜想方程k無解，這是因?yàn)榻夥匠蘫得
( http: / / www.21cnjy.com )，而當(dāng)
( http: / / www.21cnjy.com )時(shí)，公分母
( http: / / www.21cnjy.com )，故方程k無解．練習(xí)2，設(shè)相同的根為α，則由題意我們有
( http: / / www.21cnjy.com )．所以
( http: / / www.21cnjy.com )．即
( http: / / www.21cnjy.com )．（1）當(dāng)m≠1時(shí)，α＝1，代入原方程求得m＝0；（2）當(dāng)m＝1時(shí)，代入原方程，兩方程均為
( http: / / www.21cnjy.com )，解得
( http: / / www.21cnjy.com )，即它們的兩根都相同，不合題意，舍去，故只有當(dāng)m＝0時(shí)，兩方程僅有一個(gè)相同的實(shí)根．）如何列一元二次方程解行程問題？
難易度：★★★★★
關(guān)鍵詞：一元二次方程的應(yīng)用
答案：
行程問題應(yīng)把握好路、速度、時(shí)間三者之間的關(guān)系，設(shè)置恰當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)列出正確的關(guān)系式，求解時(shí)注意實(shí)際問題中不合理的解要舍去。
【舉一反三】
典例：2008年5月1日，目前世界
( http: / / www.21cnjy.com )上最長的跨海大橋——杭州灣跨海大橋通車了．通車后，蘇南A地到寧波港的路程比原來縮短了120千米．已知運(yùn)輸車速度不變時(shí)，行駛時(shí)間將從原來的3時(shí)20分縮短到2時(shí)．
（1）求A地經(jīng)杭州灣跨海大橋到寧波港的路程．
（2）若貨物運(yùn)輸費(fèi)用包括
( http: / / www.21cnjy.com )運(yùn)輸成本和時(shí)間成本，已知某車貨物從A地到寧波港的運(yùn)輸成本是每千米1.8元，時(shí)間成本是每時(shí)28元，那么該車貨物從A地經(jīng)杭州灣跨海大橋到寧波港的運(yùn)輸費(fèi)用是多少元？
（3）A地準(zhǔn)備開辟寧波方向的外運(yùn)路
( http: / / www.21cnjy.com )線，即貨物從A地經(jīng)杭州灣跨海大橋到寧波港，再從寧波港運(yùn)到B地．若有一批貨物（不超過10車）從A地按外運(yùn)路線運(yùn)到B地的運(yùn)費(fèi)需8320元，其中從A地經(jīng)杭州灣跨海大橋到寧波港的每車運(yùn)輸費(fèi)用與（2）中相同，從寧波港到B地的海上運(yùn)費(fèi)對(duì)一批不超過10車的貨物計(jì)費(fèi)方式是：一車800元，當(dāng)貨物每增加1車時(shí)，每車的海上運(yùn)費(fèi)就減少20元，問這批貨物有幾車？
思路導(dǎo)引：一般來說，此類問題應(yīng)根據(jù)路程、速度、時(shí)間三者關(guān)系列出等量關(guān)系式。
解：（1）設(shè)
( http: / / www.21cnjy.com )地經(jīng)杭州灣跨海大橋到寧波港的路程為
( http: / / www.21cnjy.com )千米，
由題意得，解得．
( http: / / www.21cnjy.com )地經(jīng)杭州灣跨海大橋到寧波港的路程為180千米．
（2）
( http: / / www.21cnjy.com )（元），
( http: / / www.21cnjy.com )該車貨物從
( http: / / www.21cnjy.com )地經(jīng)杭州灣跨海大橋到寧波港的運(yùn)輸費(fèi)用為380元．
（3）設(shè)這批貨物有
( http: / / www.21cnjy.com )車，
由題意得
( http: / / www.21cnjy.com )，
整理得
( http: / / www.21cnjy.com )，
解得
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )（不合題意，舍去），
( http: / / www.21cnjy.com )這批貨物有8車．
標(biāo)準(zhǔn)答案：（1）A地經(jīng)杭州灣跨海大橋到寧波港的路程為180千米．
（2）該車貨物從
( http: / / www.21cnjy.com )地經(jīng)杭州灣跨海大橋到寧波港的運(yùn)輸費(fèi)用為380元
（3）這批貨物有8車．如何列一元二次方程求數(shù)字問題？
答案：
一般來說，常用的是十進(jìn)制計(jì)數(shù)法。十位數(shù)字是a，個(gè)數(shù)字是b，則這個(gè)兩位數(shù)可表示為：10a+b。如123=1×100+2×10+3×1;
【舉一反三】
典例：兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)積為288，求這兩個(gè)數(shù)。
思路導(dǎo)引：一般來說，此類問題應(yīng)分析數(shù)字的特點(diǎn)。兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)差2，可設(shè)x，
( http: / / www.21cnjy.com )。設(shè)這兩個(gè)偶數(shù)分別為x，x+2，根據(jù)題意，
( http: / / www.21cnjy.com )，解得：
( http: / / www.21cnjy.com )。
( http: / / www.21cnjy.com )。
標(biāo)準(zhǔn)答案：這兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)是16，18或－18，－16。《用一元二次方程解決問題》
1、導(dǎo)讀：
一元二次方程解應(yīng)用題是列一元一次
( http: / / www.21cnjy.com )方程解應(yīng)用題的繼續(xù)和發(fā)展，從根本上講，則是為了解決實(shí)際問題的需要，比如在幾何、物理及其他學(xué)科中，許多問題都要化歸到一元二次方程問題來解決．
　　2、列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟是
　　(1)審題．分析題意，找出已知量和未知量，弄清它們之間的數(shù)量關(guān)系．
　　(2)設(shè)未知數(shù)．一般采取直接設(shè)法，有的要間接設(shè)．
　　(3)列出方程．要注意方程兩邊的數(shù)量相等．方程兩邊的代數(shù)式的單位相同．
　　(4)解方程．應(yīng)注意一
( http: / / www.21cnjy.com )元二次方程的解，有可能不符合題意，如線段的長度不能為負(fù)數(shù)，降低率不能大于100％．因此，解出方程的根后，一定要進(jìn)行檢驗(yàn)．
　　3、掌握常見相關(guān)問題的數(shù)量關(guān)系及其表示方法
　　(1)三連續(xù)整數(shù)：若設(shè)中間的一個(gè)為x，則另兩個(gè)分別為x－1，x＋1．
　　三連續(xù)偶數(shù)(奇數(shù))：若設(shè)中間的一個(gè)為x，則另兩個(gè)分別為x－2，x＋2．
　　(2)三位數(shù)的表示方法：設(shè)百位、十位、個(gè)位上的數(shù)字分別為a、b、c，則這個(gè)三位數(shù)為100a＋10b＋c．
　　(3)增長率問題：設(shè)基數(shù)為a，平均增長率為x，則一次增長后的值為a(1＋x)，二次增長后的值為a(1＋x)2．
　　降低率問題：若基數(shù)為a，降低率為x，則一次降低后的值為a(1－x)，二次降低后的值為a(1－x)2．
　　(4)三角形、梯形、特殊的平行四邊形的面積公式也是列一元二次方程的依據(jù)．
4、典例析解：
在列方程解應(yīng)用題的過程中，審題是解決
( http: / / www.21cnjy.com )問題的基礎(chǔ)，找出相等關(guān)系列方程是解決問題的關(guān)鍵，恰當(dāng)靈活地設(shè)元直接影響著列方程與解方程的難易，所以要根據(jù)不同的具體情況把握好解題的每一步．
　　例1．將進(jìn)貨單價(jià)為40元
( http: / / www.21cnjy.com )的商品按50元售出時(shí)，就能賣出500個(gè)．已知這種商品每個(gè)漲價(jià)1元，其銷售量就減少10個(gè)，問為了賺得8
000元的利潤，售價(jià)應(yīng)定為多少？這時(shí)應(yīng)進(jìn)貨多少個(gè)？
　　析解：如果按單價(jià)50元售出，每個(gè)利潤是10元，賣出500個(gè)，只能賺得5
000元．為了賺得8
000只．只能漲價(jià)，但要適度，否則銷售量就少得太多．其中的等量關(guān)系是：每個(gè)商品的利潤×銷售量=
8
000（元）．這里的關(guān)鍵是如何表示出每個(gè)商品的利潤和銷售量的問題．可設(shè)商品的單價(jià)是
( http: / / www.21cnjy.com )元，則每個(gè)商品的利潤是
( http: / / www.21cnjy.com )元，銷售量是
( http: / / www.21cnjy.com )個(gè)．由題意列方程為
( http: / / www.21cnjy.com )
解之得，
( http: / / www.21cnjy.com )．
因此，售價(jià)定為60元時(shí)，進(jìn)貨是400個(gè)，售價(jià)定為80元時(shí)，進(jìn)貨是200個(gè)．
例2．某電腦公司2000年的各項(xiàng)經(jīng)營收入中
( http: / / www.21cnjy.com )，經(jīng)營電腦配件的收入為600萬元，占全年經(jīng)營總收入的40%，該公司預(yù)計(jì)2002年經(jīng)營總收入要達(dá)到2
160萬元，且計(jì)劃從2000年到2002年，每年經(jīng)營總收入的年增長率相同，問2001年預(yù)計(jì)經(jīng)營總收入為多少萬元？
析解：運(yùn)用基本關(guān)系式：基數(shù)（1+平均增長率）n=實(shí)際數(shù)．
首先要求（或表示）出基數(shù)=600÷40%．
設(shè)2001年預(yù)計(jì)經(jīng)營總收入為
( http: / / www.21cnjy.com )萬元，每年經(jīng)營總收入的年增長率為
( http: / / www.21cnjy.com )．
由題意列方程為
( http: / / www.21cnjy.com )
解之得　所以2001年預(yù)計(jì)經(jīng)營總收入為1
800萬元．古希臘三大幾何問題
　　傳說大約在公元前400年
( http: / / www.21cnjy.com )，古希臘的雅典流行疫病，為了消除災(zāi)難，人們向太陽神阿波羅求助，阿波羅提出要求，說必須將它神殿前的立方體祭壇的體積擴(kuò)大1倍，否則疫病會(huì)繼續(xù)流行．人們百思不得其解，不得不求教于當(dāng)時(shí)最偉大的學(xué)者柏拉圖，柏拉圖也感到無能為力．這就是古希臘三大幾何問題之一的倍立方問題．用數(shù)學(xué)語言表達(dá)這就是：已知一個(gè)立方體，求作一個(gè)立方體，使它的體積是已知立方體的2倍．另外兩個(gè)著名問題是三等分任意角和化圓為方的問題．
　　古希臘三大幾何問題既引人入勝，又十
( http: / / www.21cnjy.com )分困難．問題的妙處在于它們從形式上看非常簡單，而實(shí)際上卻有著深刻的內(nèi)涵．它們都要求作圖只能使用圓規(guī)和無刻度的直尺，而且只能有限次地使用直尺和圓規(guī)．但直尺和圓規(guī)所能作的基本圖形只有：過兩點(diǎn)畫一條直線、作圓、作兩條直線的交點(diǎn)、作兩圓的交點(diǎn)、作一條直線與一個(gè)圓的交點(diǎn)．某個(gè)圖形是可作的就是指從有限個(gè)點(diǎn)出發(fā)，可以通過有限個(gè)上述基本圖形復(fù)合得到．這一過程中隱含了近代代數(shù)學(xué)的思想．經(jīng)過兩千多年的艱苦探索，
數(shù)學(xué)家們終于弄清楚了這三個(gè)古典難題是“不可能用尺規(guī)完成的作圖題”．認(rèn)識(shí)到有些事情確實(shí)是不可能的，這是數(shù)學(xué)思想的一大飛躍．
　　然而，一旦改變了作圖的條件，問題則會(huì)變
( http: / / www.21cnjy.com )成另外一個(gè)樣子．比如直尺上如果有了刻度，則倍立方體和三等分任意角就都是可作的了．?dāng)?shù)學(xué)家們?cè)谶@些問題上又演繹出很多故事．直到最近，中國數(shù)學(xué)家和一位有志氣的中學(xué)生，先后解決了美國著名幾何學(xué)家佩多提出的關(guān)于“生銹圓規(guī)”（即半徑固定的圓規(guī)）的兩個(gè)作圖問題，為尺規(guī)作圖增添了精彩的一筆．

展開更多......

收起↑