資源簡介

相似三角形中的開放性問題
相似三角形是初中數學中的一個非常重要的知識點，由于相似三角形中對應頂點的不確定性，導致了在很多問題中出現多解的情況，即答案不是唯一確定的，下面舉幾例簡單加以說明，希望能對同學們有所幫助。
1．尋找三角形相似的條件
例1．如圖1，分別是的邊上的點，請你添加一個條件，使與相似，你添加的條件是
．
分析：在△ADE與△ABC中，有一個公共角∠A，根據三角形相似的判定定理，要使△ADE∽△ABC，只要兩個三角形中另有一組角對應相等或∠A的夾邊對應成比例就可以了．
解：只需添加條件：∠B＝∠AED或∠C＝∠ADE或等等．
說明：本題添加的條件不唯一，是一道典型的條件開放題．本題添加的條件還可以是上面所寫條件的等價形式，如，AC AE＝AB AD．
2．尋找相似三角形
例2.
已知:如圖2，
△ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，連結DE并延長交BC的延長線于點F，連結DC、BE．若∠BDE+∠BCE=180°．
(1)寫出圖中三對相似三角形(注意:不得加字母和線)；
(2)請在你所找出的相似三角形中選取一對，說明他們相似的理由．
分析:
在一對角相等的條件下，如果有另一對角相等，那么兩個三角形相似，或相等角的對應邊成比例，也可得到兩個三角形相似．
∵∠BDE+∠BCE=180°，
∠BDE+∠ADE=180°，
∴∠ADE=∠ACB，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB
．
∴又∵∠A=∠A，
∴△AEB∽△ADC．
∵∠BDE+∠BCE=180°，∠BCE+∠ECF=180°，
∴∠ECF=∠BDE，
∴△CEF∽△DBF．
∴又∵∠F=∠F，
∴△FEB∽△FCD．
由此得到四對相似三角形，只要寫出其中三個即可．
解答:(1)△ADE∽△ACB，
△AEB∽△ADC，
△CEF∽△DBF，
△FEB∽△FCD中任意三對即可．
(2)證明略．
說明：本題是一道結論開放題，要找出相似三角形，應從相似三角形的判定條件入手進行分析，先考慮是否有兩對角對應相等的三角形，再分析兩邊對應成比例且夾角相等的三角形．
3．構造格陣中的相似三角形
例3.
如圖3，已知格點，請在圖2中分別畫出與相似的格點和格點，并使與的相似比等于2，而與的相似比等于．(說明：頂點都在網格線交點處的三角形叫做格點三角形．友情提示：請在畫出的三角形的頂點處標上相對應的字母！)
分析：各邊的長分別為1，，，與的相似比等于2，因此各邊的長分別為2，，，各邊的長分別為，，5.
解：如圖4(所作圖形只需符合題意即可)
說明：當相似比確定后，△A1B1C1的形狀就確定了，但△A1B1C1可以有多個不同的位置．而設定不同的相似比，又可以得到不同的相似三角形．另外，本題也可以利用“兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似”的判定定理求解，從題目條件可知∠ACB＝135°，故只需把AB、BC的長求出，然后再設相似比即可求解．
4．分割相似三角形
例4.
已知：在直角坐標系中的位置如圖5所示，為的中點，點為折線上的動點，線段把分割成兩部分．問：點在什么位置時，分割得到的三角形與相似？
(注：在圖上畫出所有符合要求的線段，并求出相應的點的坐標)．
分析：由于原△AOB為直角三角形，要使分割得到的三角形與相似，故線段PC必須與原三角形的三條邊垂直，因此我們需要考慮三種情況.
解：過作，垂足是，則．
點坐標是．過作，垂足是，
則．點坐標是．
過作，垂足是（如圖6），
則，．
易知，
，．
點坐標是．
符合要求的點有三個，其連線段分別是（如圖6）．
說明：本題在分割三角形中，充分考慮了直角三角形的特點，利用相似三角形的性質來分割圖形．
圖1
A
B
C
D
E
B
A
C
D
E
F
圖2
A
B
C
圖3
A
B
C
圖4
1
1
圖5
1
1
圖
6
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1什么是兩條線段的比？
難易度：★★★
關鍵詞：兩條線段的比
答案：
如果選用同一個長度單位量得兩條線段AB,CD的長度分別是m，n，那么就說這兩條線段的比AB:CD=m:n，或寫成
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )。
【舉一反三】
典題：在比例尺為1:500000的地圖上，量得甲乙兩地的長度是3cm，求甲乙兩地的實際距離。
思路導引：由圖上距離為3cm，根據比例尺=
( http: / / www.21cnjy.com )，求出實際距離。
標準答案：解：設甲乙兩地的實際距離為xcm，則1:500000=3:x，得x=150000，即x=15（km）
所以甲乙兩地的實際距離15km。比例求值的常用方法
一、運用比例的性質
對已知的等式，利用比例的性質，如比例的基本性質、含比性質、等比性質進行變形，進而求出所求式子的值。
例1
已知：=，則=
。
分析：本題可以由比例的基本性質、合比性質、等比性質解。
解法一：根據比例的基本性質，得
2（x-y）=y
所以2x=3y，所以=
解法二：根據合比性質，得
=，即=
解法三：把原等式變形為=
根據等比性質，得
=，=，所以=
點評：解法三是利用等比性質求解的，解題過程比較簡捷，對于所求比中對應項字母系數相同時，易采用等比性質來求。
二、等比設值法
對于有等比條件求比值的題目，可設等比為k，把每個比的前項用k與比的后項的積表示，將其代入所求式中，求出其值。
例2
已知==，求的值。
分析：已知是個等比，設其為k，用k表示x、y、z,將x、y、z代入所求式即可求值。
解：設===k，則x=2k，y=5k，z=7k
∴==
點評：本題也可利用等比性
( http: / / www.21cnjy.com )質來解，但比較煩瑣，而用等比設值法來求，顯得比較簡捷，因此，求解等比條件求值問題，若用等比性質來解，需進行復雜的變形，這時選用等比設值法來解比較好。另外，對等比條件的證明題，運用等比設值法往往可獲得巧解。
三、代入消元法
在求一個比的值時，可根據已知等式，
( http: / / www.21cnjy.com )用一個字母表示其他字母，并代入所求的比中，使比的前項、后項都用同一個字母表示，并整理，約去這個字母，求出其比的值。
已知x：y：z=1：2：3，求的值.
分析：因已知比中有1，故可用x表示其它字母,然后代入所求式即可求值。
解：∵x：y=1：2，所以y=2x
∵x：z=1：3，所以z=3x
∴==-
點評：對于已知比式中有1
( http: / / www.21cnjy.com )時，可用1所對應的字母表示其它字母，然后代入所求式求值比較簡捷。若沒有1時，可增設字母k，如本題設x=k,y=2k,z=3k。
四、特殊值法
例4
若==，則=
。
分析；本題是填空題，故可取為特殊值代入所求式中，求出其值。
解：取a=2，b=3，c=4滿足已知條件
則==。
點評：對于求比值的填空題、選擇題，選取滿足已知條件的值，代入所求式中，求出其值。什么是黃金分割？
難易度：★★★
關鍵詞：黃金分割、黃金-分割點、黃金比
答案：
點C把線段AB分成兩條線段AC和BC，如果
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )，那么稱線段AB被點C黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點，AC與AB的比叫做黃金比．
【舉一反三】
典題：已知線段AB=1，點C是AB上一點，且AC=
( http: / / www.21cnjy.com )，問點C是線段AB的黃金分割點嗎？為什么？
思路導引：若滿足
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( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )，則點C是線段AB的黃金分割點，若不滿足，則不是。
標準答案：點C是線段AB的黃金分割點。理由：由AB=1，AC=
( http: / / www.21cnjy.com )，得
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )，所以點C是線段AB的黃金分割點。相似三角形課標要求
內容包括相似三角形的判定、性質和應用，是全章的重點內容．《義務教育數學課程標準（2011年版）》對本節相關內容提出的教學要求如下：
1．掌握基本事實：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例；
2．了解相似三角形的判定定理：兩角分別相等的兩個三角形相似；兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似；三邊成比例的兩個三角形相似；了解相似三角形判定定理的證明；
3．了解相似三角形的性質定理：相似三角形對應線段的比等于相似比；面積比等于相似比的平方．
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www.如何利用線段的比值求比例式的值？
難易度：★★★★★
關鍵詞：線段的比-比例式的值
答案：
解決此類問題的方法是：引進一個參數k，把線段比中的字母用含k的式子表示，再代入比例式求值。
【舉一反三】
典題：已知a:b:c=2:3:5,求
( http: / / www.21cnjy.com )的值。
思路導引：由a:b:c=2:3:5，設a=2k,b=3k,c=5k,再將a、b、c代入
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標準答案：解：根據題意，設a=2k,b=3k,c=5k,則
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( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )=1.相似多邊形的性質的應用
　　1、相似多邊形的性質
　?。?）相似多邊形中，對應的三角形相似，其相似比等于原相似多邊形的相似比．
　?。?）相似多邊形中，對應線段的比等于相似比．
　?。?）相似多邊形周長的比等于相似比；面積的比等于相似比的平方．
　　2、重要方法
　　相似多邊形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方，運用這兩個性質解決實際問題時，一定要弄清他們的關系，并努力把實際問題與之聯系，從而把實際問題簡單化.
　　相似三角形的性質（1）回答了相似三角形中所有對應線段都構成比例的問題，這個性質為我們今后證明線段的比例式提供了極大的方便．性質（2）、（3）揭示了相似三角形的周長、面積與相似比的關系，利用它可以解決相似三角形中有關周長和面積的問題，這里要注意這些性質的靈活運用．如：兩個相似三角形的相似比，等于它的周長比；也等于它們的面積比的算術平方根．
　　例1　一個多邊形的邊長分別為2，3，4，5，6，另一個多邊形和這個多邊形相似，其最短邊長為6，則最長邊長為　　　　　　　　　　　　　　　　　?。ā　。?br/>　　A．12　　　B．18　　　C．24　　　D．30
　　【思路與技巧　由相似多邊形對應邊成比例，設最長邊為x.
　　∴，∴2x=36,x=18.
　　答案　B
　　點評　本題根據相似多邊形的對應邊成比例的性質，第一個多邊形的最短邊與第二個多邊形的最短邊，第一個多邊形的最長邊與第二個多邊形的最長邊分別是對應邊，切記不可將對應關系弄錯．
　　例2　如圖在□ABCD中，AB=6，AD=4，EF∥AD，若□ABCD∽□EFDA，求AE的長．

　　思路與技巧（1）圖形中有幾對相似的平行四邊形？為什么？對應邊分別是什么？
　　（2）AE的對應邊應是哪條線段？為什么？
　?。?）試一試：求S□ABCD∶S□EFDA的值.
　　解　∵EF∥AD，四邊形ABCD是平行四邊形，
　　AD=4
∴EF=AD=4，
　　∵□ABCD∽□EFDA，
　　∴
（相似多邊形對應邊成比例），
　　又∵AB=6，
　　　∴
∴
.
　　點評　由相似的條件，可知AE的對應邊是DA，一般的在條件中，若使用的是相似符號，則對應邊則是確定的，因此書寫相似多邊形時，對應的字母要寫在對應的位置上.
　　例3　已知：如圖，正方形ABCD中，E是AC上一點，EF⊥AB于F，EG⊥AD于G，AB=6，AE∶EC=2∶1，
求S四邊形AFEG．
　　思路與技巧?。?）四邊形AFEG是什么圖形？為什么？
　　（2）AE∶EC的值與哪兩條線段的比相等？為什么？如何求出AF的長？
　?。?）任意的兩個正方形都相似嗎？為什么？所有的矩形都相似嗎？所有的菱形都相似嗎？
　　解　∵正方形ABCD，EF⊥AB，EG⊥AD
　　∴EF∥CB，EG∥DC
　　∵∠1=∠2=45°
∴EF=AF
　　∵∠FAG=90°，∴AFEG是正方形，
　　∴正方形ABCD∽正方形AFEG，
　　∴S正ABCD∶S正AFEG=AB2∶AF2
　　（相似多邊形的面積比等于相似比的平方），
　　在△ABC中，EF∥CB
∴AE∶EC=AF∶FB=2∶1，
　　又AB=6
∴AF=4
∴S正ABCD∶S正AFEG=36∶16，
　　∴
.
　　點評　本題中的正方形是特殊的多邊形，但在一般的多邊形中，一定要注意對應關系．
　　（1）相似多邊形的對應邊的比，等于相似比的平方；
　?。?）所有的正方形都是相似的，此題中只須證出四邊形AFEG是正方形，即可得到它與正方形ABCD相似
　　例4　已知：如圖所示，△ABC中，DE//FG//BC．
　　（1）若AD=DF=FB，求S1:S2:S3；
　?。?）若S1:S2:S3=1:8:27，求AD:DF:FB．
　　思路與技巧　注意在（2）中，不能由S1:S2=1:8，
就得出AD:DF=1:，因為此處不能直接運用面積的比等于相似比的平方，S1,S2不是兩個相似三角形的對應面積．
　　解　
　　
　　（1）
　　
　　令，則，
　　
　　
　　
　　
　?。?）
　　∴可設，則
　　
　　
　　∴AD:AF:AB=1:3:6
　　AD:DF:FB=1:2:3.
　　點評　根據相似形，實施比例轉化，應用面積比等于相似比的平方．
　　例5　如圖所示，△ABC的面積為16，，D為AB上任一點，F為BD的中點，DE//BC，FG//BC，分別交AC于E、G，設AD=x．
　?。?）把△ADE的面積S1，用含x的代數式表示；
　?。?）把梯形DFGE的面積S2，用含x的代數式表示．
　　思路與技巧　轉化為相似三角形，利用其性質解決．
　　解答：（1）
　　，即
　　
　　（2）
　　
∵F為BD的中點，
　　
　　
　　
　　
　　.
　　例6　如圖所示，已知O是四邊形ABCD的一邊AB上的任意一點，EH//AD，HG//DC，GF//BC．試說明四邊形EFGH與四邊形ABCD是否相似，并說明你的理由．
　　思路與技巧　證明兩個四邊形的對應邊成比例，對應角相等．
　　解答：四邊形四邊形．
　　理由：因為，所以，
　　所以，
　　所以
　　又因為，所以，
　　所以，所以．
　　而，所以．
　　因為，所以，
　　所以．
　　而，所以．
　　設，
　　所以，
　　所以，
　　所以
　　因此，
　　
　　所以四邊形四邊形．
　　點評　通過圖形的分割，轉化為三角形問題加以研究．
　　例7　已知：ABCD是梯形，AB//DC，對角線AC，BD交于E，ΔDCE的面積與ΔCEB的面積比為1∶3．
　　求：ΔDCE的面積與ΔABD的面積比．
　　分析：題目中已知條件是面積比，要求的也是面積比，因此根據圖形找到面積之間的關系是很重要的．ΔDCE與ΔCEB是等高三角形，因此面積比為底的比，而ΔDCE與ΔABE是相似三角形，面積的比等于相似比的平方，又可證出ΔADE與ΔBCE的面積相等，這樣ΔDCE與ΔABD的面積比就可求了．
　　解　∵SΔ
DCE∶SΔCEB=1∶3,而ΔDCE與ΔCEB是等高三角形，
　　∴DE∶EB=1∶3，
　　∵DC//AB，
∴ΔDCE∽ΔBAE，
　　∴SΔDCE∶SΔBAE=(DE∶EB)2=1∶9，
　　∵ΔADC與ΔBDC為等底、等高三角形，
　　∴SΔADC=SΔBDC，
　　∴SΔADC-SΔDCE=SΔBDC-SΔDCE，
　　∴SΔAED=SΔBEC
　　設SΔDCE=k,
則SΔAED=SΔBEC=3k,
SΔBAE=9k,
　　∴SΔABD=SΔABE+SΔADE=12k,
　　∴SΔDCE∶SΔABD=1∶12.
　　點評　相似三角形的面積比等于相似比的平方，計算時不要丟掉平方；若從面積比求相似三角形的相似比，則要注意開平方．
　　例8　如圖，有一邊長為5cm的正方形ABCD和等腰△PQR，PQ=PR=5cm，QR=8cm，點B、C、Q、R在同一條直線l上，當C、Q兩點重合時，等腰△PQR以1cm/秒的速度沿直線l按箭頭所示方向開始勻速運動，t秒后正方形ABCD與等腰△PQR重合部分的面積為Scm2，解答下列問題：
　?。?）當t=3秒時，求S的值；
　?。?）當t=5秒時，求S的值；
　　思路與技巧　本題考點有等腰三角形；正方形；相似三角形．
　　第一問，思路，作PE
QR，E為垂足，運用相似三角形的性質，面積比第于相似比的平方，可求出面積．
　　第二問方法與第一問類似，但是要注意圖形的位置．
　　解?。?）：作PE⊥QR，E為垂足
　　∵PQ=PR，
　　∴QE=RE=QR=4.
　　∴PE=
=3.
　　當t=3時，QC=3．設PQ與DC交于點G.
　　∵PE∥DC，
　　∴△QCG∽△QEP，∴=()2.
　　∵S△QEP=
×4×3=6，
　　∴S=()2×6=(cm2).
　?。?）當t=5時，QC＝5，B、C兩點重合，CR=3，設PR與DC交于G.
　　由△RCG∽△REP，可求出S△RCG=.
　　S=12-=
(cm2).
　　點評　本題是代數，幾何綜合問題，等腰三角形，正方形等多種知識，解答本題的基本思想是數形結合，構造函數，用運動觀點考慮．每種情況畫一圖形，結合圖形，認真分析，實現數形結合的思想．
PAGE紙張的大小
如圖，將一張長、寬之比為的矩形紙ABCD依次不斷對折，可以得到矩形紙BCFE，AEML，GMFH，LGPN．
(1)矩形ABCD、BCFE、AEML、GMFH、LGPN長與寬的比改變了嗎？
(2)在這些矩形中，有成比例的線段嗎？
(3)你認為這些大小不同的矩形相似嗎？
事實上，這些矩形都是相似四邊形，它們長與寬的比始終保持不變，有趣的是，印刷業經常提及的對開、4開、8開、16開……的紙正是按照上面的方式，將一整張平板紙依次不斷對折所得到的，只不過廠家通常將一整張平板紙的尺寸近似取出787×1092mm（即長1092mm、寬787mm），有時也用850mm×1156mm,
890mm×1240mm等規格。
紙張尺寸是將紙張的長寬規范成固定的比例尺寸來使用。目前在國際間最常使用的是ISO所制定的標準，并將尺寸冠以編號例如A4、B5等等。在不同年代，全球各地也有當地通用的紙張尺寸。在書籍、卡片、信封以及日常書寫用紙上，使用統一的紙張尺寸大大提高了生活便利性。
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B判定三角形相似的方法全攻略
判定三角形相似的方法有五種：
一、由定義判定：三個角對應相等，三邊對應成比例的兩三角形相似.
二、由三邊的比判定三角形相似
1、判定定理：如果兩個三角形的三組對應邊的比相等，那么這兩個三角形相似.簡單地說三邊對應成比例的兩個三角形相似.
2、推理形式：如圖1所示，在△ABC和△中，如果，那么△ABC∽△.
類比拓展：由三邊的比判定三角形相似的方法與判定三角形全等的“SSS”方法類似，只是把三邊對應相等，改為三組對應邊成比例即可.
例1
如圖2，小正方形的邊長均為1，則下圖中的三角形(陰影部分)與△ABC相似的為(
)
解析:由于正方形邊長均為1，在△ABC中，AC=，BC=2，AB=;圖A中三角形三邊長為1，而與△ABC三邊的比分別為顯然它們不相等;圖B中三角形三邊長為1，與△ABC的三邊的比分別為故對應邊的比相等;同樣的道理可以得出在圖C和圖D中的兩個三角形三邊分別與△ABC三邊的比不相等.故選B.
三、由兩邊和夾角判定三角形相似
1、判定方法：如果兩個三角形的兩組對應邊的比相等，且夾角相等，那么這兩個三角形形似.簡單說成，兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似.
2、推理形式：如圖1，在△ABC和△中，如果那么△ABC∽△.
例2
如圖3，在4×4的正方格中，△ABC和△DEF的頂點都在邊長為1的小正方形的頂點上.
(1)填空：∠ABC=_____，BC=_____;
(2)判斷△ABC與△DEF是否相似，并證明你的結論.
解析：(1)利用正方形對角線平分一組對角的性質可得∠ABC=，由勾股定理得BC=;
(2)△DEF中，∠DEF=，分別計算△ABC的邊AB、BC和△DEF的邊DE、EF，AB=2，BC=；EF=2，DE=.∵∴
且∠ABC=∠DEF=，∴△ABC∽△DEF.
技巧點撥：本題是網格中的形似問題，首先要用正方形的性質和勾股定理求出相等的角和邊長.再利用兩組對邊的比相等，夾角相等的兩個三角形相似來判斷，本題的另一種方法就是利用三邊的比對應相等的兩個三角形相似來判斷，本題的易錯點是不少同學認為：因為
，故這兩個三角形不相似.網格中的數學問題是近幾年中考的熱點題型，預計這類問題在今后的中考中有所加強.
四、由兩角判定三角形相似
1、判定方法：如果一個三角形的兩個角與另一三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似，簡單地說：兩角對應相等，兩個三角形相似。
2、推理格式：如圖1，在△ABC和△中，如果，那么△ABC∽△.
品思感悟：由兩個角判定三角形形似的方法是所有方法中最常見的方法，應用時關鍵是找準對應角，一般地公共角、對頂角、同角的余角（或補角）都是相等的，解題時應注意挖掘題中的條件.
例3如圖4，已知△PMN是等邊三角形，∠APB=，你能得出：嗎？
分析：欲得出，只需說明即只需證明△AMP∽△PNB.
證明：∵△PMN是等邊三角形
∴∠PMN=∠PNM=，
又∵∠PMA+∠PMN=∠PNB+∠PNM=，
∴∠PMA=∠PNB=，
∴∠A+∠1=，∠1+∠2=-=，
∴∠A+∠1=∠1+∠2，
∴∠A=∠2，
∴△APM∽△PBN，
∴∴.
A
B
C
圖1
B
A
圖2
A
C
B
C
D
P
圖4
2
1
N
M
B
A
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3解決測量高招多
近幾年來測量問題備受中考命題者的青睞，而且測量的方法很多.本文將舉例介紹幾種解答這類問題的方法.
利用相似三角形的性質測量物體的高度或寬度
例1.如圖1，學校的圍墻外有一旗桿，甲在操場上的處直立3高的竹竿，
乙從處退到處，恰好看到竹竿頂端與旗桿頂端重合，量得，乙的眼睛到地面的距離，丙在處也直立3高的竹竿，乙從處后退6到處，恰好看到竹竿頂端與旗桿頂端也重合，量得，求旗桿的高.
圖1
分析：本題考察了相似三角形中比例線段的應用，難度稍大，表現在圖形復雜，數據較多.設乙的水平視線與旗桿、竹竿的交點分別為，，.經細致分析，發現問題集中在與，與上，且這兩對三角形均相似，于是可設相關線段，由，可得
①
由，有.②
由①，②聯立方程組，解得{故旗桿的高為9+1.5=10.5（）.
評注：利用相似三角形的性質可以測量物體的高度，在測量過程中，要學會數學建模的思想，畫出示意圖，必要時設輔助未知數列方程（組）求解.
特別提示：這種測量的關鍵是構造和實物相似的三角形，但必須考慮周邊的環境，方案設計必須切實可行.
構造相似三角形測量河的寬度
例2.
如圖2，為了測量一條河的寬度，測量人員在對岸岸邊點P處觀察到一根柱子，再在他們所在的這一側岸上選點A和B，使得B，A，P在一條直線上，且與河岸垂直，隨后確定點C，D，使CA⊥BP，BD⊥BP.由觀測可以確定CP與BD的交點為D，他們測得AB=45，BD=90，AC=60，從而確定河寬PA=90，你認為他們的結論對嗎？
圖2
分析：因為CA⊥BP，BD⊥BP，所以可得.則有，即.解得PA=90（）.又因為PA垂直于河岸，所以PA的長即為河的寬度.故他們的結論正確.
評注：測量河寬的常用方法是在平地上選點，構造相似三角形，測出相關數據，根據相似三角形的對應邊成比例來求解.常構造如下兩種相似三角形（AB為河寬）：
圖3
圖4
圖3中，可先測量BD，BC，CE的長，再求AB的長；圖4中，可先測量AC，DC，DE的長，再求AB的長.
特別提示：選點的位置必須恰當，否則在理論上成立而實際操作不具可行性，出現類似在水中測線段的長的情況.利用分類思想解決相似三角形問題
分類思想是數學學科中比較常用的一種方法。分類過程中必須要有一定的標準，爭取做到不丟到任何一種情況。相似三角形問題中就存在著一些需要分類討論的問題。
例題1、要做兩個形狀相同的三角形框架，其中一個三角形框架的三邊長分別是4、5、6，另一個三角形框架的一邊長為2，怎樣選料可以使這兩個三角形框架相似？
分析：題目中只是說明這兩個三角形相似，但是并沒有說明長度為2的邊與已知三邊長度的三角形中哪一條邊是對應邊，所以應該分成三種情況進行考慮。
解：設另一個三角形的另外兩條邊長分別是x、y。
當長度為2的邊與長度為4的邊是對應邊時，
根據題意得，所以，；
當長度為2的邊與長度為5的邊是對應邊時，
根據題意得，所以，；
當長度為2的邊與長度為6的邊是對應邊時，
根據題意得，所以，；
答；另外兩條邊的長度可以是，或者，或者，。
例題2、如圖1所示，正方形ABCD的邊長為1，P是CD邊的中點，點Q在線段BC上，當△ADP與△QCP相似時，求出BQ的長度。
分析：本道題目當中，由正方形ABCD可知，∠C=∠D=90°,構成的兩個直角三角形相似在對應順序上就有兩種可能，即△ADP∽△PCQ或者△ADP∽△QCP，所以在解題過程中也要從兩個角度進行考慮。
解：∵∠C=∠D=90°,
（1）當△ADP∽△PCQ時，，即，
∴，∴。
（2）當△ADP∽△QCP時，，即，
∴，∴。
所以當△ADP與△QCP相似時，或者。
練習：如圖所示，在正方形ABCD中，P是CD上一個動點（與C、D不重合），使三角尺的直角頂點與點P重合，并且一條直角邊始終經過點B，另一條直角邊與正方形的某一邊所在的直線相交于點E。探究：觀察操作結果，哪一個三角形與△BPC相似？并說明你的理由。
圖1
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2三角形相似判定方法的匯總及選用
一.相似三角形的判定方法:
(1)定義法:對應角相等,對應邊的比相等的兩個三角形相似.
(2)平行法:平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長線)相交,所構成的三角形與原三角形相似.
(3)判定定理1:如果兩個三角形的三組對應邊的比相等,那么這兩個三角形相似.
(4)判定定理2:如果兩個三角形的兩組對應邊的比相等,并且相應的夾角相等,那么這兩個三角形相似.
(5)判定定理3:如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等,那么這兩個三角形相似.
注意:①在兩個三角形中，只要滿足兩個角對應相等,那么這兩個三角形相似,證明時,關鍵是尋找對應角;②一般地,公共角、對頂角、同角的余角(或補角)都是相等的，在證明過程中要特別注意，這一判定方法是三角形相似的最常用的方法.
二.合理選擇判定方法
在運用相似三角形的判定定理解幾何問題時，要注意定理的選擇，即①已知有一角相等時，可選擇判定定理2
或判定定理3；②已知有兩邊的比相等時，可選擇判定定理1或判定定理2.還應注意形似三角形判定定理的作用，即①可以用來判定兩個三角形相似；②間接證明角相等，線段成比例：間接地為計算線段長度及角的大小創造條件.
例1：如圖1，點D在△ABC的邊AB上，滿足怎樣的條件時，△ACD∽△ABC？試分別加以舉例.
分析：此題屬于探索性問題，由相似三角形的判定方法可知：△ACD與△ABC已有公共角∠A,要使這兩個三角形相似，可根據相似三角形的判定方法尋找一個條件即可.
解：當滿足以下三個條件之一時，△ACD∽△ABC.
條件一：∠ACD=∠B;
條件二：∠ADC=∠ACB;
條件三：
反思：本題探索的問題是相似三角形的判別方法，在探索兩個三角形形似時，用分析法，可先證明△ACD∽△ABC然后尋找兩個三角形中邊的關系或角的關系即可.
例2:如圖2,已知△ABC中,D、E在BC上，且BD=DE=EC=AC，指出圖中相似三角形,并證明你的結論.
分析:先利用排除法找到不可能形似的,再證明相似的,
△ACE是等腰直角三角形,所以不可能同其他三角形相似;又△ACD是直角三角形,所以不可能和非直角三角形△ADE、△ABD、△ABE相似；又△ACD和△ACB對應邊的比不相等,所以一也不可能相似;因為∠AED=∠BEA，所以△AED和△BEA可能相似.
證明:設AC=CE=ED=DB=a.
即.∠AED=∠BEA，
△AED∽△BEA.
反思:對于具體問題，一定要靈活處理.因為此題出現三角形較多,首先要“快刀斬亂麻”去掉那些不可能相似的三角形，再來檢驗那些可能相似的三角形.
例3:(06蘇州)如圖3，梯形ABCD中．AB∥CD．AB=2CD，E,F分別是AB，BC的中點.EF與BD相交于點M．
(1)求證：△EDM∽△FBM；(2)若DB=9，求BM．
分析：(1)從已知條件中易推出BE=CD,BE∥CD,于是根據一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形，得四邊形DCBE是平行四邊形.因此CB∥DE,故可推出△EDM∽△FBM.
(2)利用(1)中的△EDM∽△FBM，可得而F為BC的中點，得DE=2BF,DM=2EB.故BM為所求.
解：(1)∵E是AB的中點,∴AB=2EB.
∵AB∥CD,∴四邊形CBED為平行四邊形,∴
CB∥DE.
∴∠DEM=∠BFM,
∠EDM=∠FBM.
∴△EDM∽△FBM.
(2)
∵△EDM∽△FBM,
∴.∵F是BC的中點,∴
DE=2BF.
∴DM=2BM,∴BM=
反思:遇到有平行條件時,通常利用平行線的性質;借助平行線的性質,找相等的角來證明三角形相似.
例4:如圖4,已知在△ABC中,
∠C=D、E分別為AB、BC上的點,且求證:DE⊥AB.
分析:證垂直的方法很多,我們已知當一個三角形與已知直角三角形全等,那么這個三角形也是直角三角形,類似地,我們也可以通過證一個三角形與已知三角形相似來證明垂直問題，而由∠B為公共角,
可得△ABC∽△EBD,故問題得證.
證明:
∵∠B=∠B,
∴△ABC∽△EBD.
∴∠EDB=∠C.
又∵∠C=∴∠EDB=
∴DE⊥AB.
反思:若將題設里的與結論DE⊥AB交換后,該如何證明 請與同伴交流你的證明思路.
圖1
D
C
B
A
C
E
D
B
A
圖2
圖3
E
D
C
B
A
圖4
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3用分類討論思想解相似圖形難題
所謂分類討論思想就是根據問題可能存在的多種情況進行討論，防止出現漏解的一種數學思想.它能使同學們的思維日趨嚴謹。它的應用大致可分為四個步驟：（1）確定分類對象；（2）合理進行分類；（3）逐步進行討論；（4）歸納討論結果，得出正確結論.下面舉幾例說明分類討論思想在相似圖形中的應用.
例1
已知a、b、c為非零實數，且滿足,則一次函數的圖象一定經過（
）.
A
第一、二、三象限
B
第二、四象限
C
第一象限
D
第二象限
分析：本題主要考察一次函數圖象性質的靈活應用，但如果思維不周的話，就容易漏掉的情形，因此可按和兩種情況討論.
解：（1）當時，,此時，圖象過第二、四象限；
（2）當時，應用等比性質可以得出：
,此時的圖象過第一、二、三象限，結合兩種情況，函數圖象一定過第二象限，故選D.
例2
已知線段,若第四條線段與它們成比例式，則這樣的線段有幾條？
分析：因為第四條線段大小不定，所以應用分類討論思想，利用比例的基本性質：兩內項之積等于兩外項之積，把分類點定為讓第四條線段分別與三條線段相乘，既可得到正確答案.
解：設第四條線段為d,讓d分別與1、2、3相乘，得
,所以這樣的線段有三條，分別為
例3
三角形一條高分這個三角形為兩個相似三角形，那么這個三角形為（
）.
A
直角三角形
B
等腰三角形
C
等腰直角三角形
D
等腰三角形或直角三角形
分析：因為只知道兩個三角形相似，并沒有指定頂點間的對應關系，所以存在多種可能，所以可以把分類點定在頂點對應上.
解：（1）已知AD⊥BC，如圖（1）所示，若△ABD∽△ACD，則有∠B=∠C,所以AB=AC,所以△ABC為等腰三角形.
（2）已知AD⊥BC，如圖（2）所示，若△ABD∽△CAD，所以∠B=∠CAD,∠C=∠BAD,又因為∠CAD+∠BAD+∠B+∠C=,所以∠CAD+∠BAD=，即∠BAC=，此時△ABC為直角三角形，綜合上述兩種情況，△ABC為等腰三角形或直角三角形，故選D.
例4
一個鋼筋三角架三邊長分別為20cm,50cm,60cm,現要再做一個與之相似的鋼筋三角架，而現在只有30cm,50cm的兩根，現要求其中一根為一邊，從另一根上截下兩段（允許剩余，損耗不計）作另兩邊，則不同的截法有（
）種.
分析：因為只要求兩三角形相似，所以存在多種可能，首先在截哪根上，可以發現只能截取50cm的一根，因為若截30dm的一根，則不滿足三角形的三邊關系：“兩邊之和大于第三邊”.故只能截取50cm。其次，30cm的一邊可以與任何的一邊對應，可以就其繼續展開討論.
解：（1）若截取30cm為一邊，用50cm作另一邊，不成立，是因為不滿足兩邊之和大于第三邊，故只能截取50cm作另兩邊.
（2）因為30cm可以與三邊分別對應，設截取的第三邊分別為：,1)當30cm與20cm對應時，有,解之得：,因為75+90>50,故做不成三角形.2）當30cm與50cm對應時，有,解之得：12+36<50,成立.3）當30cm與60cm對應時，有，解之得：,10+25<50,成立。綜上所述，不同的截法有兩種，故選B.
例5
已知△ABC∽△ADE,AE=3,EC=5,BC=7,求DE的長.
分析：因為題中并未提供圖形，所以應該想到存在兩種可能，即“A”字型和“X”字型，這個題的分類點就是圖形的多變性.
解：（1）如圖3所示：因為△ABC∽△ADE，所以所以所以.
（2）如圖4所示，△ABC∽△ADE所以所以，所以，綜上所述，DE的長為或.
例6
如圖5，∠ACB=∠D=,AB=a,AC=b,AD=c,當線段a、b、c之間滿足什么關系時，圖中所示的三角形相似？
分析：此題中Rt△ABC和Rt△ADC三邊均可用a、b、c表示，所以要使其相似，只要依據它們的兩直角邊對應成比例就可確定a、b、c之間的關系，但由于沒有告訴我們兩個三角形邊、角之間的對應關系，所以應根據邊的對應關系分兩種情況展開討論.
解：因為∠ACB=∠D=，
所以BC=,DC=所以，（1）當時，△ABC∽△ACD，所以整理后得：
（2）當時，△ABC∽△C
AD,所以,整理后得：.
所以當a、b、c滿足或時兩三角形相似.
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2活用線段比解決問題
在實際生活中有大量的比例線段，求解成比例線段，應根據題意列出比例式，然后通過列方程求解，下面舉例說明.
例1
在比例尺為1∶80
( http: / / www.21cnjy.com )00的某學校地圖上，如果矩形運動場的圖上尺寸是1
cm×2
cm，那么矩形運動場的實際尺寸應為【
】
A.80
m×160
m
B.8
m×16
m
C.800
m×160
m
D.80
m×800
m
分析：根據比例尺的定義即得.
解：設矩形運動場的實際長為x
cm，寬為y
cm，則由圖上尺寸與實際尺寸對應成比例，得
( http: / / www.21cnjy.com )，
所以x=16000（cm）=160（m），
( http: / / www.21cnjy.com )，所以y=8000（cm）=80（m），
即y·x=80
m×160
m.
故選A.
跟蹤訓練1　小亮家有大小兩臺電
( http: / / www.21cnjy.com )視機，它們的顯示屏對角線之比為18∶29，有一次電視屏幕出現了京九鐵路的路線圖，小亮在大電視機屏幕上量得京九鐵路的路線圖的長度為34.8
cm，那么小電視機的屏幕上京九鐵路的路線圖的長度為多少？　
例2
王剛利用樹影
( http: / / www.21cnjy.com )測量校園內的樹高，他在某一時刻測得小樹高為1.5米，其影長為1.2米，當他測量教學樓旁的一棵大樹影長時，因大樹靠近教學樓，有一部分影子在墻上，經測量，地面部分影長為6.4米，墻上影長為1.4米，那么這棵大樹高是多少？
分析：本題應根據同一時刻物高與影長成比例求解，分兩步來進行.第一步，先求墻影是1.4米的實際影長；第二步，求大樹的高.
解：設墻影是1.4米的實際影長為x米，大樹高為y米，則
( http: / / www.21cnjy.com )，解得x=1.12.又
( http: / / www.21cnjy.com )，解得y=9.4.
所以這棵大樹高是9.4米.
說明：同一時刻物高與影長成比例是解這類題的關鍵.
跟蹤訓練2　在相同時刻的物高與
( http: / / www.21cnjy.com )影長成比例.小明的身高為1.5
m，在地面上的影長為2
m，同時一古塔在地面上的影長為40
m，則古塔高為【
】
　　A.60
m
B.40
m
　　C.30
m
D.25
m　
答案
1.21.6
cm　
2．C相似三角形中的網格問題
關于網格的數學問題越來越多，例如尋找對稱點、對稱圖形、相似圖形以及利用格點進行面積計算等等，都已經成為近幾年中考試題的考點問題。其中使用頻率比較高的是利用勾股定理進行三角形的有關計算，全等及相似三角形的判定。
例題1、已知圖1和圖2中的每個小正方形的邊長都是1個單位。
（1）將圖1中的格點△ABC，先向右平移3個單位，再向上平移2個單位，得到△A1B1C1，請你在圖1中畫出△A1B1C1。
（2）在圖2中畫出一個與格點△DEF相似但相似比不等于1的格點三角形。
分析：畫全等的格點三角形比較容易，只需要弄清楚三個頂點之間的位置關系，然后就可以畫出另一個三角形。但是畫相似三角形就比較困難，關鍵是計算出△DEF的三邊的長度，然后找一個不等于1的相似比，比如相似比為2，計算出新三角形三邊長或計算出其一邊長后，利用平移得出新三角形。
答案：（1）
（2）答案不唯一
例題2、如圖3，4×4的正方形方格中，△ABC的頂點A、B、C在單位正方形的頂點上。請在圖中畫一個△A1B1C1，使△A1B1C1∽△ABC（相似比不為1），且點A1、B1、C1都在單位正方形的頂點上。
分析：可以先求出△ABC的三邊的長，根據“三邊對應成比例，兩三角形相似”的判斷條件，設定一個相應的相似比，再求出△A1B1C1的三邊的長，再畫出△A1B1C1。
解：在△ABC中，AB＝，BC＝2，AC＝。
設相似比為或。
可得所求三角形的邊長分別為1、、或者2、、。
所以可以構造出不同的符合條件的三角形。如圖4中的△A1B1C1和△A2B2C2。
說明：當相似比確定后，△A1B1C1的形狀就確定了，但△A1B1C1可以有多個不同的位置。而設定不同的相似比，又可以得到不同的相似三角形。
另外，本題可以利用“兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似”的判斷條件來畫圖，從題目條件可知∠ABC＝135°，所以只需把AB、BC的長求出，然后再設相似比即可求解。
練習：1、如圖所示，每個大正方形均由邊長為1的小正方形組成，則下列圖形中的三角形（陰影部分）與△ABC相似的是（
）。
2、如圖所示，正方形網格中有一條簡筆畫“魚”，請你以點O為位似中心將魚放大，使新畫出來的“魚”和原來圖形的對應線段的比是2：1。（不要求寫畫法）
圖2
F
D
E
A
B
C
圖1
圖2
F
D
E
A
B
C
圖1
A1
B1
C1
圖3
A
B
C
A1
C
B
A
B1
C1
A2
B2
C2
圖4
A
B
C
D
A
B
C
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1走進生活感受相似
數學源于生活，生活中處處有數學，下面我們來看看生活中如何用相似來解決問題！
一、巧測高度
例1
如圖，小明用一直尺測量樹高，即拿一個直尺MN豎直放在一只眼睛的前面，然后向后移動，到只看見樹頂C和根部E后停止移動，這時小明離樹的距離是8米，眼睛到直尺的距離是0.4米，直尺的長度是0.2米，你能求出這棵樹有多高嗎？
分析：由題意可知，MN∥CE，所以△AMN∽△ACE，從而根據“相似三角形對應高的比等于相似比”可求得此題.
解：由MN∥CE，則△AMN∽△ACE．所以，即．解得CE＝4．所以這棵樹的高度為4米．
跟蹤訓練1　如圖是小明設計的用手電來測量古城墻高度的示意圖，在點P處放一水平的平面鏡，光線從點A出發經平面鏡反射后剛好反射到古城墻CD的頂端C處，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且測得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米，那么該城墻的高度是【
】
A．6米　　
B．8米　
C．18米　
D．24米
二、設計方案　
例2　如右圖，某建筑物地基是一個邊長為30米的正六邊形.要環繞地基開辟綠化帶，使綠化帶的面積和地基面積相等，請你給出設計方案.（畫圖并標注尺寸）
分析：因為建筑物地基是正六邊形，所以可環繞地基開辟一個正六邊形的綠化帶.由題意“綠化帶的面積和地基面積相等”，可知大正六邊形的面積是地基面積的2倍.
解：顯然，這兩個正六邊形相似，設正六邊形綠化帶的邊長為x米，則有（）2＝，即有.解得x≈42.
由此可得設計方案為：環繞正六邊形地基開辟一個外邊邊長約為42米的綠化帶（設計圖案如上圖所示）.
請同學們開動腦筋，設計出更加合理、優美的方案.
跟蹤訓練2　一塊直角三角形木板ABC的一條直角邊AB為1.5
m，另一條直角邊BC為2
m，要把它加工成一個面積最大的正方形桌面，小明打算按圖（1）進行加工，小華準備按圖（2）進行加工，他們誰的加工方案符合要求？
答案
1．B　
2．小明的加工方案符合要求．
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1網格中的位似
網格中的位似是近年來中考試卷的一個亮點，由于它的諸多條件都可以從正方形網格中挖掘出來，因而是一種探究性較強的新題型.這類問題考查了學生的觀察能力、猜想能力、探究能力，體現了新課標以學生為主體，重過程、重方法、重能力的精神.
例1
（四川成都）如圖1，小“魚”與大“魚”是位似圖形，已知小“魚”上一個“頂點”的坐標為，那么大“魚”上對應“頂點”的坐標為（
）
A.
B.
C.
D.
分析:本題考查位似變換和旋轉變換.觀察“小魚”和“大魚”的位置發現,“小魚”放大2倍并繞坐標原點旋轉后與“大魚”完全重合,所以若“小魚”上一個“頂點”的坐標為,放大2倍為（2a,2b）,再旋轉后為（-2a,-2b）,故選C.
評注:位似是特殊的相似,本題考查了同學們對位似變換知識的理解和運用.位似變換中,對應點連線經過位似中心,而對應點到位似中心的距離比等于位似比是關鍵.
例2
(四川綿陽)如圖2，△ABC三個頂點的坐標分別為A（2，2），B（4，2），C（6，4），以原點O為位似中心，將△ABC縮小，使變換后得到的△DEF與△ABC對應邊的比為1∶2，則線段AC的中點P變換后對應的點的坐標為
．
分析:∵
A（2，2），C（6，4），∴線段AC的中點P的坐標為（4,3）.
∴△DEF與△ABC是以原點O為位似中心，位似比
∴點P變換后對應的點的坐標或
評注:在平面直角坐標系中,如果位似變換是以原點為位似中心,相似比為k,那么位似圖形對應點的坐標的比為k或-k.
例3
（山東威海）線段在平面直角坐標系中的位置如圖3所示，為坐標原點，若線段上一點的坐標為，則直線與線段的交點的坐標為
．
分析:觀察圖3可發現,線段AB、CD是以原點O為位似中心的位似圖形.設網格中最小正方形的邊長為1,則對應點A、D的坐標分別為（-1，-2）、（2，4）.
∴位似比為-2.∴直線OP與線段CD的交點的坐標為（-2a，-2b）.
評注:本題利用位似圖形求點的坐標,簡單快捷.
例4
（山西太原）如圖4，在的網格中，每個小正方形的頂點叫做格點，
的頂點都在格點上，請在網格中畫出的一個位似圖形，使兩個圖形以為位似中心，且所畫圖形與的位似比為．
分析:分別畫出點A、B關于點O且位似比為2:1的對應點,連結三點即為所求,如圖5中△.
評注:已知位似中心及位似比畫位似圖形，關鍵是確定已知圖形上所有關鍵點的對應點.
圖1
圖2
圖3
A
B
O
圖5
A
B
O
圖4
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1如何作位似圖形
　　位似圖形是以相似形為基礎，研究圖形的放大或縮小的問題，那么如何才能作出放大或縮小后的圖形呢？現以2006年的兩道中考試題為例說明如下：
例1（淮安市）如圖1，已知O是坐標原點，B，C兩點的坐標分別為（3，－1），（2，1）．
（1）以O點為位似中心在y軸的左側將△OBC放大到兩倍（即新三角形與原三角形的相似比為2），畫出圖形．
（2）分別寫出B，C兩點的對應點B′，C′的坐標．
（3）如果△OBC內部一點M的坐標為（x，y），寫出M的對應點M′的坐標．
分析　由于所畫新三角形與原
( http: / / www.21cnjy.com )三角形的相似比為2，就是說新三角形是放大的圖形，即頂點的橫坐標之比和縱坐標之比都應該是－2∶1，于是以下兩個問題京可以進一步解決了．
解（1）因為所畫新三角形與原三角形的
( http: / / www.21cnjy.com )相似比為2，所以新三角形與原三角形的對應頂點的橫坐標之比和縱坐標之比都是－2∶1．由此可畫出圖形，如圖1所示．
（2）由（1）可得，B，C兩點的對應點B′，C′的坐標分別為（－6，2），（－4，－2）．
（3）由（1）可得，點M（x，y）的對應點M′的坐標（－2x，－2y）．
說明　兩個多邊形不僅相似，而
( http: / / www.21cnjy.com )且對應頂點的連線相交于一點，像這樣的相似圖形叫做位似圖形，這個交點叫做位似中心，這時的相似比又稱為位似比．求解本題的關鍵是要能以某一點為位似中心作位似圖形．
例2（廣東?。┤鐖D2，圖中的小方格都是邊長
( http: / / www.21cnjy.com )為1的正方形，
△ABC與△A′B′C′是關于點O為位似中心的位似圖形，它們的頂點都在小正方形的頂點上．
（1）畫出位似中心點O；
（2）求出△ABC與△A′B′C′的位似比；
（3）以點O為位似中心，再畫一個△A1B1C1，使它與△ABC的位似比等于1.5．
分析（1）要畫出△ABC與△A′B′C′是關于點O為位似中心O，只要連結其對應點找到其交點即為所求；（2）由AB＝，A′B′＝得，AB∶A′B′＝1∶2；（3）要以點O為位似中心，再畫一個△A1B1C1，使它與△ABC的位似比等于1．5，就是說OA1∶OA＝OB1∶OB＝OC1∶OC＝1∶1.5，從而分別確定了A1，B1，C1，順次連結A1B1，B1C1，C1A1即得．
解（1）分別連結A′A，B′B，C′C，并分別延長交于點O，點O即為所求，如圖2；
（2）因為小方格都是邊長為1的正方形，所以由勾股定理，得AB＝，A′B′＝，所以AB∶A′B′＝1∶2，即位似比為
1∶2；
（3）分別在OA，OB，OC
( http: / / www.21cnjy.com )上取A1，B1，C1，使OA1∶OA＝OB1∶OB＝OC1∶OC＝1∶1.5，再順次連結A1B1，B1C1，C1A1，則△A1B1C1即為所求的三角形，如圖7．
說明　位似圖形上任意一對對應點
( http: / / www.21cnjy.com )到位似中心的距離之比等于位似比．利用位似的方法，可以把一個多邊形放大或縮小，在作位似變換時，可以把位似中心取在多邊形的外部，內部、多邊形的邊或頂點上．求解本題的關鍵是要能根據圖形確定位似中心．
圖2
O
C1
A1
B1
O
2
-2
-5
x
y
B
C
C′
B′
圖1相似三角形中的動態問題
相似三角形的問題中，有些問題屬于動態問題，并且這類問題是近年來的主流問題。在解決這種問題的過程中，應該考慮到運動的整個過程，考慮到圖形中哪些內容是不斷發生改變的，哪些內容是不發生變化的，從中找出規律，從而解題。
例題1、如圖所示，正方形ABCD的邊長為2，AE=BE，MN=1。線段MN的兩個端點分別在CB、CD上滑動，并且△AED與以M、N、C為頂點的三角形相似，試求出符合條件的CM的長。
分析：本道題目是一個動態問題，△AED的形狀雖然已經固定，但是因為線段MN的兩個端點可以在CB、CD上滑動，所以△MCN的形狀就不能固定。但是因為這兩個三角形都是直角三角形，所以頂點A和頂點C是對應點，至于頂點D是和頂點M還是頂點N對應，就很難確定，又因為題目中只是說明“△AED與以M、N、C為頂點的三角形相似”，沒有嚴格的表明對應頂點分別是哪三對，所以只能分成兩種情況進行考慮。
解：第一種情況，如圖1所示，當△AED∽△CMN時。
∵AE=BE，正方形ABCD的邊長為2，
∴，AD=2。
在Rt△AED中，
∵△AED∽△CMN，
∴。
∴，
∴。
第二種情況，如圖2所示，當△AED∽△CNM時。
∵AE=BE，正方形ABCD的邊長為2，
∴，AD=2。
在Rt△AED中，
∵△AED∽△CNM，
∴。
∴，
∴。
例題2、如圖所示，∠C＝90°，BC＝8㎝，AC︰AB＝3︰5，點P從點B出發，沿BC向點C以2㎝/s的速度移動，點Q從點C出發沿CA向點A以1㎝/s的速度移動，如果P、Q分別從B、C同時出發，過多少秒時，以C、P、Q為頂點的三角形恰與△ABC相似。
解：∵∠C=90°，BC=8，AC:AB=3:5，
∴設AC=3x，則AB=5x。
根據勾股定理得，
即，。
∵x為正數，∴只取，∴AC=6，AB=10。
設經過y秒后，△CPQ∽△CBA，此時BP=2y，CQ=y。
∵CP=BC－BP=8－2y，CB=8，CQ=y，CA=6。
∵△CPQ∽△CBA，
∴。
∴，
∴y=2.4。
設經過y秒后，△CPQ∽△CAB，此時BP=2y，CQ=y。
∴CP=BC－BP=8－2y。
∵△CPQ∽△CAB，
∴。
∴，
∴。
所以，經過2.4秒或者經過后兩個三角形都相似。
練習：如圖所示，在正方形ABCD中，P是CD邊上的一個動點（與C、D不重合），使三角尺的直角頂點與點P重合，并且一條直角邊始終經過點B，另一條直角邊與正方形的某一條邊所在的直線相交于點E。探究：觀察操作結果，哪一個三角形與△BPC相似？并說明你的結論。
圖1
圖2
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1學好相似多邊形的性質
一．相似多邊形的性質
1.相似多邊形對應角相等．對應邊成比例；
2.相似三角形對應高的比．對應角平分線的比和對應中線的比都等于相似比.
3.相似多邊形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方.
溫馨提示：（1）對于相似多邊形問題，一
( http: / / www.21cnjy.com )般是通過添加輔助線（如對角線），將其轉化為相似三角形的問題來解決.（2）此三條性質可以簡單記做“相似多邊形的對應角相等，對應邊成比例”，這是揭示相似多邊形邊．角關系的重要結論，利用這一結論可以解決很多與相似多邊形有關的問題，下面結合例題予以分類剖析，供同學們參考：
二．相似多邊形性質的應用
1．已知相似多邊形的某些邊求相似比
例1
四邊形ABCD的四邊長分別是3．4．
( http: / / www.21cnjy.com )7．9，四邊形ABCD∽四邊形A′B′C′D′，其最長邊是15，則四邊形ABCD與四邊形A′B′C′D′的相似比是
.
分析：相似多邊形對應邊的比稱為相似比，要求相似比關鍵是找出對應邊.9是四邊形ABCD的最長邊，15是四邊形A′B′C′D′的最長邊，因此，它們是對應邊，所以四邊形ABCD與四邊形A′B′C′D′的相似比是9：15，即.
解：填.
2．已知相似多邊形的某些邊求邊
例2
已知四邊形ABCD與四邊形A1B1C1
D1相似，如圖1，求BC．CD的長.
分析：根據“兩個多邊形相似，對應邊之比相等”列方程求解.
解：由于兩個四邊形相似，它們的對應邊之比相等，所以
，解得，.
3．已知相似多邊形的某些角求角
例3已知梯形ABCD∽梯形A′B′C′D′，∠A=62°，∠C′=110°，求∠D′．∠B的度數.
分析：根據“兩個多邊形相似，對應角相等”可輕而易舉地求到對應角的度數.
解：因為梯形ABCD∽梯形A′B′C′D′，所以∠A′=∠A=62°，
因為A′B′∥C′D′，所以∠D′＋∠A′=180°，所以∠D′=180°－62°=118°．
因為∠C′＋∠B′=180°，所以∠B′=70°，所以∠B=∠B′=70°．
圖1
36
A
BA
CA
DA
A1
B1A
C1A
D1A
4
6相約“相似三角形”
和探索“相似的條件”
我們已經認識了形狀相同的圖形，結識了相似多邊形，下面讓我們一起來研究最簡單的相似圖形――相似三角形，來探索兩個三角形相似的條件吧。
一．相似三角形的概念
三角對應相等，三邊對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形。
溫馨提示：
全等三角形是相似三角形的特例，兩者之間有如下關系：
（1）全等三角形是相似比為1的相似三角形；相似三角形不一定全等；
（2）全等三角形要求對應邊相等；相似三角形要求對應邊成比例。
因此，我們可以通過將全等三角形與相似三角形進行類比，來學習和掌握相似三角形的相關知識?，F將三角形全等的判別方法與三角形相似的條件列表比較如下：
三角形全等的條件
三角形相似的條件
ASA，AAS
兩角對應相等
SAS
兩邊對應成比例且夾角相等
SSS
三邊對應成比例
二．探索“三角形相似的條件”
1．條件比拼
判定兩個三角形相似，除了運用相似三角形的定義外，常用的方法還有以下三種：
（1）兩角對應相等的兩個三角形相似．
（2）三邊對應成比例的兩個三角形相似．
（3）兩邊對應成比例，且夾角相等的兩個三角形相似．
2．指點迷津
在利用相似三角形解決問題時，常用到以下幾個基本圖形：
（1）平行型：條件中若有平行線，可直接得兩三角型相似，如沒有平行線，可添加平行線，構造平行型相似三角形．如：如圖1，DE//BC，則△ABC∽△ADE。
（2）斜交型：條件中若有一對角相等，可考慮在找一對角相等，應用相似三角形方法1（兩角對應相等的兩個三角形相似），或找等角的夾邊對應成比例，應用相似三角形的方法3（兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似）．如：如圖2，若∠1=∠B或∠2=∠ACB，則△ABC∽△ACD（或△ABC∽△ADE）。
（3）垂直型：若有一對直角出現在條件中，可考慮再找一對等角，使用方法1；或者證明斜邊、直角邊對應成比例．
如：如圖3（1），AB⊥AC，AD⊥BC，則△ABD∽△CBA∽△CAD；如圖3（2），AB⊥AC，ED⊥BC，則△ABC∽△DEC。
溫馨提示：在解與相似三角形有關的問題時，可以通過尋找基本圖形來確定相似三角形，也可以通過添加輔助線構造基本圖形得到相似三角形，從而使問題得到解決。
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1位似課標解讀
一、課標要求
包括位似圖形和直角坐標系中的位似圖形．《義務教育數學課程標準（2011年版）》對位似一節相關內容提出的要求是：
1．了解圖形的位似，知道利用位似可以將一個圖形放大或縮小．
2．在直角坐標系中，探索并了解將一個多邊形的頂點坐標（有一個頂點為原點、有一個邊在橫坐標軸上）分別擴大或縮小相同倍數時所對應的圖形與原圖形是位似的．
二、課標解讀
1．課標定位于讓學生知道位似是一種變換，一種可以將圖形放大或縮小的變換，強化了圖形變換的意識，在學習位似之前，學生已經學移、旋轉（含中心對稱）、軸對稱三種變換，變換前后兩個圖形是全等形．在學習了相似形的知識后，還有必要讓學生了解：初等幾何變換還有相似變換，其中最簡單的是位似變換，它是可以把圖形放大縮小的一種變換．這種變換在生活中的例子除了在放映機、照相機等成像過程中常見外，還可以用位似變換來設計藝術字．
幾何圖形的直觀，為運用圖形運動的方法研究圖形性質提供了有利條件．通過圖形的運動探索發現并確認圖形的一些性質，有助于學生發展幾何直觀能力和空間觀念，有利于學生提高研究圖形性質的興趣、體會研究圖形性質可以有不同的方法．學生通過觀察圖形的共同特點，從而歸納出位似圖形的概念和簡單特性，體現了研究幾何問題的一般方法．對于圖形的概念學習，尤其要注重概念的生成過程和基本含義，并且將圖形的相似、位似與簡單作圖等內容巧妙地結合在一起，讓學生進一步體會圖形相似、位似的應用價值和豐富的內涵，有意識地培養學生積極的情感和態度，促進學生觀察、操作、分析、概括等一般能力和審美意識的發展．
2．學生已經學過在平面上建立直角坐標系，在直角坐標系中確定圖形的位置：如用坐標描述點的位置、刻畫一個簡單圖形的位置等．之后學習了在直角坐標系中進行圖形的運動，并描述運動后圖形的位置及其對應頂點坐標之間的關系：如把一個多邊形沿坐標軸平移、或以坐標軸為對稱軸進行軸對稱變換后，能用坐標描述圖形的位置，并體會對應頂點坐標之間的關系．本節的主要內容是在直角坐標系中把一個多邊形放大或縮小，并且變化后的圖形與原圖形是位似圖形．這實際上是圖形的位似變換，有助于學生體會如何在坐標系中畫一個圖形的位似圖形．經過這種變換，“對應頂點的坐標之間的關系”是顯然的，但給出的多邊形的頂點坐標以整數為宜，以避免給畫圖帶來不便．
本節內容是在平面直角坐系下研究位似圖形的點的坐標的變化特點及應用這個特點畫圖，是在平面直角坐標系下研究相似變換的基礎．在學習本節課前學生已學習了在平面直角坐標系中畫平移、軸對稱和旋轉（中心對稱），由于一般的相似變換在平面直角坐標系下的描述比較復雜，所以只研究平面直角坐標系下的位似變換，而且是位似中心在原點的特殊情況，也是最簡單的情況．在生活和生產中有時需要放大（或縮小）一個圖形，利用位似（特別是利用平面直角坐系下的位似）可以很方便地將一個圖形放大或縮?。?br/>本節可以采用“問題情境──探究規律──歸納規律──解釋應用”的基本模式，在探究歸納部分，由于要畫的圖較多，學生畫圖然后總結會需要很長時間，所以老師可以通過畫板演示（利用畫板可以很方便地讓圖形動起來，有利于學生發現數量關系），學生觀察歸納的方法，讓學生經歷了知識的形成與應用過程，從而更好的理解平面直坐標系下位似圖形的點的坐標變化特點及利用這個特點畫出平面直角坐標系下的位似圖形，發展學生應用數學的意識，增強學生學好數學的愿望和信心．
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1相似三角形的古老應用
“圖形的相似”是初中數學內容之一，其中相似三角形的判定、性質和應用是其中最重要的內容。從歷史上看，相似三角形很早就已經被人們所認識。在巴比倫泥版文獻中已經出現相似三角形的應用問題；公元前6世紀，古希臘薩莫斯島上的工程師歐帕里諾斯（Eupalinos）在負責隧道開掘時已經運用了相似三角形的性質；泰勒斯已經會運用相似三角形來進行測量。
歐幾里得、海倫的有關著作中都有利用相似三角形性質進行測量的問題。我國漢代的遠距離測量技術也正是建立在相似三角形性質之上的。
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1
中國極育出版網
www.如何根據黃金分割的意義求線段的長？
難易度：★★★★★
關鍵詞：黃金分割-線段的長
答案：
利用黃金分割求線段的長，首先確定黃金分割點的位置，再根據黃金比求出線段的長。
【舉一反三】
典題：如圖，已知線段AB=6cm，點C和D都是線段AB的黃金分割點，求線段CD的長。
思路導引：由于點C和D都是線段AB的黃金分割點，AB=6cm，得出AD和BC的長度，由AD+BC-AB求出CD的長度。
標準答案：解：因為點D是線段AB的黃金分割點，所以
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )，得AD=3（
( http: / / www.21cnjy.com )-1），同理BC=3（
( http: / / www.21cnjy.com )-1），所以CD=AD+BC-AB==6
( http: / / www.21cnjy.com )-12.相似三角形中的創新題型
相似知識，是近幾年中考命題中的一個重要內容之一，試題設計新穎，除了考察相似圖形的叛定、計算之外，開放型、探索型、動態型等創新題備受寵愛，它們能從不同的角度，多層次的考查學生的能力，下面舉幾例加以說明.
一、開放型
例1
已知△ABC中，P是AB邊上一點，連接CP，要使△APC∽△ACB，則應添加的條件是
.
分析：開放型問題分為條件開放型、
結論開放型.本題是一個條件開放型問題
問題.注意該題中隱含的條件的使用，既公共角∠A，因此根據三角形相似的判定方法：“有兩個角對應相等的兩個三角形相似”和“兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似”兩條思路進行思考，這是一個開放型題.
解：（1）∠APC=∠ACB，或∠ACP=∠B時，可得三角形相似.
（2）時，可得三角形相似.
二、分類討論型
例2
△ABC中，AB=12，AC=8，P是
AC中點，過點P的直線交AB于點Q，
若以A，P，Q為頂點的三角形和△ABC相
似，則AQ的長為（
）
分析：由于以A，P，Q為頂點的三角形和△ABC有公共角，由相似的判定方法，可使用兩角對應相等的三角形相似，可構造另一組角相等，在此，應該分類討論，既過P點的直線有兩條：（1）過點P做PQ∥BC，由相似三角形的性質可得：.(2)過P做∠APQ=∠ABC，交AB于Q，此時△ABC∽△APQ，，故應選B.
三、動態探索型
例3
在四邊形ABCD中，∠A=∠C=90°，M為BD上任一點，ME⊥AB于E，MF⊥CD于F，那么.
A
1
B
2
C
D
分析：由于M在BD上自由運動，
所以ME，MF總在變化，因此直
接求是不可能的，所
以應將比值進行轉化，變動為靜.
解：∵ME⊥AB
∴∠MEA=∠A=90°
又∵∠MBA=∠DBA，∴△ABD∽△EBM
∴，同理可得則原式=，故選（A）.
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1平行線分線段成比例的基本事實教材分析
是在學生認識相似圖形，了解相似多邊形的性質及判定的基礎上進行學習的，是本章的重點內容．
首先，教材編寫者給出了相似三角形的定
( http: / / www.21cnjy.com )義．根據定義，要判定兩個三角形相似，必須同時滿足三個角分別相等，三條邊成比例；接著，類比判定三角形全等存在簡便方法（SSS，SAS，ASA，AAS等），提出判定相似三角形是否也存在簡便方法的問題；接下來，教材編寫者設置了一個“探究”，通過探究，給出了平行線分線段成比例的基本事實，然后將其應用于三角形中，得到推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應線段成比例．平行線分線段成比例的基本事實及其推論，是判定三角形相似的第一個定理（平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似）的基礎．
本節課的教學重點是，平行線分線段成比例的基本事實及其在三角形中的應用；教學難點應該是，平行線分線段成比例基本事實的探究．相似三角形的古老應用
“圖形的相似”是初中數學內容之一，其中相似三角形的判定、性質和應用是其中最重要的內容。從歷史上看，相似三角形很早就已經被人們所認識。在巴比倫泥版文獻中已經出現相似三角形的應用問題；公元前6世紀，古希臘薩莫斯島上的工程師歐帕里諾斯（Eupalinos）在負責隧道開掘時已經運用了相似三角形的性質；泰勒斯已經會運用相似三角形來進行測量。
歐幾里得、海倫的有關著作中都有利用相似三角形性質進行測量的問題。我國漢代的遠距離測量技術也正是建立在相似三角形性質之上的。
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1自相似
下圖看上去很特別．圖中畫些什么呢？
首先看到，在圖的右邊醒目位置，畫了一個女孩．她正站在畫板前面，神采奕奕，提筆作畫（這是第一個女孩）．
其次看到，女孩在畫中所表現的，是她自己正在繪畫的情形．所以她的畫中有一位和她一模一樣的女孩，正在擺著與她同樣的姿勢，站在畫板前面，提筆作畫（這是第二個女孩）．
女孩畫中的女孩，所畫的當然也是她自己正在繪畫的情形．所以，在畫中女孩的畫里，也有一位一模一樣的女孩，以同樣的姿勢，正在作畫（這是第三個女孩）．
畫中女孩畫中的女孩，畫的還是同樣的畫．所以，在畫中女孩畫中女孩的畫里，同樣有一個一模一樣的女孩，以同樣的姿勢，正在作同樣的畫（這是第四個女孩）．
在繪制同一幅圖形的過程中，如果下一步產生的圖形總是與上一步的圖形相似，那么這種現象叫做自相似．
上圖就是一幅自相似的圖形．只要有足夠細的筆，這種自相似的過程可以任意繼續表現下去．
起初，自相似現象偶爾被應用于廣告或宣傳畫，用來吸引行人停足觀看．后來發現，自然界中其實存在很多自相似現象．例如雪花的形成、樹木的生長、土地干旱形成的地面裂紋等等．有一門新興的數學分支，叫做分形幾何學，對自相似圖形進行了富有成效的研究．
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1看看古人如何測量太陽的高度
我國是世界文明古國，具有悠久的文化歷史，在古代就曾研究過相似三角形的應用.在魏晉時期數學家劉徽所著的《海島算經》，記錄了古人利用相似三角形測量太陽高度的方法．
兩千多年前，漢朝天文學家在夏至這一天的同一時刻，在南北相距1000里的A，B兩地分別測出一根8尺長的竹竿AC，BD的影長AE＝m尺，BF＝n尺（如圖所示）．設此時的太陽高空的T點處，它到地面的垂直距離為TM．根據他們的測算，竹竿影長BF與AE相差0．1尺，即n-m=0.1,據此就能測出太陽的高度TM．
他們是這樣做的：連接DC并延長，交TM于點N，則DN⊥TM．
設NT＝x里，CN＝y里，
易得△TNC∽△CAE，所以，即.①
同理，△TND∽△DBF，所以，即.②
②－①，得.
因為n-m＝0．1，等式左右兩邊分子、分母的單位分別相同，
所以由比例的性質，得x=＝80000（里）．
所以太陽的高度TM為80000里零8尺．
這種測量方法在古代叫做“重差術”．遺憾的是，當時的人們誤認為天是圓的，地是方的，覺得地面是平的，從而導致了計算結果是錯誤的.現在我們都知道，太陽和地球是兩個近似橢圓形的球體，二者之間的平均距離為14960萬千米．雖然如此，但這種測量物高的基本方法是正確的．
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1《比例線段》典型例題
例題1.
已知四條線段a、b、c、d的長度，試判斷它們是否是成比例線段？
（1）；
（2）．
例題2.
如圖，．
（1）求出AB、BC、AC的長．
（2）把上述三個點的橫坐標、縱坐標都乘以2，得到的坐標，求出的長．
（3）這些線段成比例嗎？
例題3．已知，求
例題4．已知，求的值
例題5．若，則的值是__________
例題6．設，求的值
例題7．如果，求：的值
例題8．線段，滿足，求的值
例題9．如圖，已知，在中，、分別是、上的點，并且
，的周長為12cm，求：的周長
參考答案
例題1
分析
觀察四條線段是否成比例時，首先要把四條線段的單位都化成一致的單位，再把它們按從小到大的順序排列，由比例線段的基本性質知，即如果第一、四兩個數的積等于第二四兩個數的積，則四條線段成比例，否則不成比例．
解答
（1），
，
∴，
∴四條線段成比例．
（2），
，
∴這四條線段不成比例．
例題2
分析
利用勾股定理可以求出這些線段的長．
解答
（1），．
（2），
，
，
．
（3），
∴，
這些線段成比例．
例題3．解答：由比例的基本性質得
說明
本題考查比例的基本性質，易錯點是由化成比例式時錯成，解題關鍵是運用比例的基本性質，本題還可以運用合比性質求解。
例題4．解答：設，則，，
說明
本題考查比例的性質，解題關鍵是設，將、、統一成。
例題5．解法1：，，，
解法2：設，則
由，
得
解法3
，
說明
本題考查比例的性質，解題關鍵是靈活運用比例的性質
例題6．錯解：
正解：當時，
當時，
或－1
說明
錯解中忽視了的情形
例題7．分析
可設，則、、均可用來表示，把它代入欲求值的代數式中，就可以求出它的值
解答
設，
則，，，
說明
設比例式的比值為的（比例系數），這是解比例式常用的有效方法，要注意掌握。
例題8．分析
要直接求出比較困難，我們不妨先利用比例的基本性質，求得與的關系式，再求與的比值
解答
，
例題9．分析
的周長，則由給出的比例式，可以用表示
解答，
即的周長等于8cm三角形相似的“基本圖形”
幾何圖形大都由基本圖形復合而成,因此熟悉三角形相似的基本圖形,有助于快速準確地識別相似三角形,從而順利找到解題思路和方法.
一、平行線型
如圖1、圖2,若DE∥BC,則
△ADE∽△ABC,形象地說圖1為“A”型,圖2為“X”型,故稱之為平行線型的基本圖形.
例1
如圖3,在平行四邊形ABCD中,E是AB延長線上一點,連結DE交AC于G，交BC于F,則圖中相似三角形(不含全等三角形)共有____對.
二、相交線型
如圖5、圖6,若∠AED=∠B,則△ADE∽△ABC,稱之為相交線型的基本圖形.
例2
如圖7,D、E分別為△ABC的邊AC、AB上一點，BD,CE交于點O,且,試問△ADE與△ABC相似嗎 如果是,請說明理由.
三、母子型
將圖5中的DE向下平移至點C,則得圖8,有△ACD∽△ABC,稱之為“子母”型的基本圖形.特別地,令∠ACB=,CD則為斜邊上高(如圖9),
則有△ACD∽△ABC∽△CBD.
例3
如圖10,在△ABC中,P為AB上一點,要使△APC∽△ACB,還需具備的一個條件
是________.
四、旋轉型
將圖5中的△ADE繞點A旋轉一定角度,則得圖11,稱之為旋轉型的基本圖形.
例4
如圖12,
∠1=∠2,∠3=∠4,試說明△ABC∽△DBE.
參考答案
例1:
析解:
本題圖中有兩組平行線,故存在平行線型的基本圖形,把它們一一分離出來,如圖
4(1)—(4).但由于△ADE∽△BFE∽
CFD,故共有5對相似三角形.
例2：
析解:容易看出△ADE與△ABC是相交線型基本圖形中的兩個三角形.因∠A為公共角,故考慮再找一對對應角相等.而由條件及∠BOE=∠COD,∠DOE=∠COB,可同時得到相交線型的△BOE∽△COD,
DOE∽△COB.所以∠EBO=∠DCO,∠DEO=∠CBO,所以∠ADE=∠DCO+∠DEO=∠EBO+∠CBO=∠ABC.故△ADE∽△ABC.
例3：
析解:本題為開放題,答案不為一.注意到△APC與△ACB屬于子母型基本圖形,而∠A為公共角,故還需具備的一個條件是
∠PCA=∠B或∠APC=∠ACB或AC2=AP×AB(即).
例4：
析解:觀察發現圖12是旋轉型的基本圖形.因已知∠3=∠4,則∠ABC=∠DBE,可再找∠BAC=∠BDE或∠5=∠6,
而由條件都不易直接找到.
但易得另一對旋轉型基本圖形△ABD∽△CBE,從而得.又∠ABC=∠DBE,故得△ABC∽△DBE.
D
C
G
F
A
B
E
圖3
D
C
D
C
D
D
C
G
F
F
G
A
F
A
B
E
B
E
A
E
(1)
(2)
(3)
(4)
圖4
A
E
D
D
E
A
B
C
B
C
圖5
圖6
A
E
O
D
B
C
圖7
A
A
D
B
C(E)
B
C
圖8
圖9
D
1
P
A
B
C
圖10
A
D
E
B
C
圖11
A
1
3
D
5
B
4
2
C
E
圖12
6
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3什么是比例線段？
難易度：★★★
關鍵詞：比例線段
答案：
四條線段a，b，c，d中，如果a與b的比等于c與d的比，即
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )，那么這四條線段a，b，c，d，叫做成比例線段，簡稱比例線段。
【舉一反三】
典題：下面各組線段（1）3cm，4cm，5
( http: / / www.21cnjy.com )cm，7cm；（2）2cm，8cm，3cm，4cm；（3）6cm，12cm，7cm，14cm。中＿＿組是成比例線段。
思路導引：（1）（2）不滿足
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )，所以組內四條線段不成比例；(3) 因為
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )，滿足題意，正確。
標準答案：（3）.成比例線段的應用
活動一：
1、教師活動：畫一個Rt△ABC，作斜邊上的高CD，交AB于D點，提問：
（1）哪些線段的比值相等？
（2）△ABC、△ACD、△CBD有什么特點？
2、學習活動：
（1）小組合作交流，求出三角形中各邊的長，討論得出成比例的線段。
（2）回答結論：它們是形狀相同、大小不同的直角三角形。
活動二：
已知線段a，b，c，d成比例，那么成立嗎？
解：成立。理由如下：
∵
a，b，c，d成比例，
∴
∴
÷，得
活動三：
已知△ABC的三邊分別為a，b，c，且（a-c）：（a+b）：（c-b）＝-2：7：1，試判斷△ABC的形狀。
解：由題意，得
設，
則
解得
因為
即
所以此三角形是直角三角形。相似圖形與相似多邊形教材分析
本節課的教材分為兩部分，主要介紹了相似圖形和相似多邊形的概念，并給出了相似多邊形的性質．
教材首先列舉了生活中具有形狀相同形象的物體，緊接著把形狀相同的圖形定義為相似圖形，然后指出放大和縮小這兩種操作與相似圖形之間的關系．接下來，教材給出了特殊的相似圖形──相似多邊形的定義，并由定義得到判定兩個變數相同的多邊形是相似多邊形的方法，以及相似多邊形的性質——對應角相等、對應邊成比例．
相似是生活中常見的現象，日常生活中到處都存在著相似的例子，相似圖形的性質在實際中也有著廣泛的應用．為了讓學生認識到這一點，并增強學生發現問題、解決問題的能力，教科書結合具體內容融入了大量實際背景和問題．如在概念引入的環節，為了讓學生建立對相似圖形的直觀認識，教材不僅在章頭圖呈現了兩張不同尺寸同底版的萬里長城照片，還在本節給出了汽車和它的模型、大小不同的足球等形象，并通過放映電影、復印機復印等實例讓學生感受相似圖形與放大、縮小兩種操作的關系．所以在本節課的教學過程中，應該緊密結合實際，讓學生充分體會數學與實際生活的聯系．
本節課的教學，首先要充分利用教材所提供的實際生活中的實例，使學生能夠理解相似圖形的概念；其次以描述圖形特征的方式給出相似多邊形的概念，讓學生從概念出發自主的探究出相似多邊形的性質．
本節課的教學重點是：相似圖形與相似多邊形的概念．
本節課的教學難點是：相似多邊形的性質．
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1教你如何求比值
相似圖形是數學中的一個非常
( http: / / www.21cnjy.com )重要的內容，它揭示了圖形之間的大小及位置關系，不僅在數學中占有重要的地位，而且在其他自然科學中也有著極其廣泛的作用.在學習相似圖形前，我們必須掌握線段的比，這是學習相似圖形的入門功課，下面將總結出如何求比值的方法，我們一起來看看吧！
一、運用比例的性質
對已知的等式，利用比例的性質，如比例的基本性質、合比性質、等比性質進行變形，進而求出所求式子的值.
例1　已知
( http: / / www.21cnjy.com )，則
( http: / / www.21cnjy.com )=_______.
分析：本題可以由比例的等比性質解決.
解：把原等式變形為
( http: / / www.21cnjy.com ).
根據等比性質，得
( http: / / www.21cnjy.com )，即
( http: / / www.21cnjy.com ).所以
( http: / / www.21cnjy.com ).
點評：本題是利用等比性質求解的，解題過程比較簡捷.對于所求比中對應項字母系數相同時，易采用等比性質來求解.
跟蹤訓練1　已知
( http: / / www.21cnjy.com )，則
( http: / / www.21cnjy.com )=________.
二、等比設值法
例2　若
( http: / / www.21cnjy.com )，求
( http: / / www.21cnjy.com )的值.
分析：我們可以利用題中給出的等量關系，通過設參數k求解.
解：設
( http: / / www.21cnjy.com )=k，則x=4k，y=5k，z=6k.
所以
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com ).
點評：此種方法盡管增設了參數k，但在變形過程中k又會自行消失，參數起到了很好的橋梁作用.
跟蹤訓練2　已知
( http: / / www.21cnjy.com )，求：
（1）
( http: / / www.21cnjy.com )；（2）
( http: / / www.21cnjy.com ).
三、代入消元法
在求一個比的值時，可根據
( http: / / www.21cnjy.com )已知等式，用一個字母表示其他字母，并代入所求的比中，使比的前項、后項都用同一個字母表示，整理后約去這個字母，求出比的值.
例3　已知x∶y∶z=1∶2∶3，求
( http: / / www.21cnjy.com )的值.
分析：因已知比中有1，故可用x表示其他字母，
然后代入所求式即可求值.
解：因為x∶y=1∶2，所以y=2x.因為x∶z=1∶3，所以z=3x.所以
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com ).
點評：若已知比式中有1，可用1
( http: / / www.21cnjy.com )所對應的字母表示其他字母，然后代入所求式求值比較簡捷.若沒有1，可增設字母k，如本題可設x=k，y=2k，z=3k然后仿照例2
求解.
跟蹤訓練3　已知x∶y∶z=4∶5∶7，求
( http: / / www.21cnjy.com )的值.
四、特殊值法
例4　若
( http: / / www.21cnjy.com )，則
( http: / / www.21cnjy.com )=________.
分析：本題是填空題，故可取特殊值代入所求式中，求出其值.
解：取a=2，b=3，c=4滿足已知條件.
所以
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com ).
點評：對于求比值的填空題、選擇題，選取滿足已知條件的值，代入所求式中求值，比較簡單、快捷.
跟蹤訓練4　若
( http: / / www.21cnjy.com )，則
( http: / / www.21cnjy.com )=______.
答案
1.2　
2．（1）
( http: / / www.21cnjy.com )；（2）7　
3．
( http: / / www.21cnjy.com )　
4．
( http: / / www.21cnjy.com )位似課標要求
包括位似圖形和直角坐標系中的位似圖形．《義務教育數學課程標準（2011年版）》對位似一節相關內容提出的要求是：
1．了解圖形的位似，知道利用位似可以將一個圖形放大或縮小．
2．在直角坐標系中，探索并了解將一個多邊形的頂點坐標（有一個頂點為原點、有一個邊在橫坐標軸上）分別擴大或縮小相同倍數時所對應的圖形與原圖形是位似的．
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www.如何添加條件使兩三角形相似？
難易度：★★★
關鍵詞：相似三角形
答案：
此題是一類開放題，答案不唯一。解決的關鍵在于準確把握相似三角形的三種判定方法，再依據已知條件進行條件的添加。
【舉一反三】

典例：如圖，D，E分別是△ABC的邊AB，AC上的點，請你添加一個條件，使△ABC與△AED相似，你添加的條件是
．
思路導引：一般來講，解決本題要理解此題是一類開放題，答案不唯一。解決的關鍵在于準確把握相似三角形的三種判定方法，再依據已知條件進行條件的添加。
標準答案：如∠ADE=∠C或∠AED=∠B或DE∥BC等等
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1
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www.相似三角形課標解讀
一、課標要求
內容包括相似三角形的判定、性質和應用，是全章的重點內容．《義務教育數學課程標準（2011年版）》對本節相關內容提出的教學要求如下：
1．掌握基本事實：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例；
2．了解相似三角形的判定定理：兩角分別相等的兩個三角形相似；兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似；三邊成比例的兩個三角形相似；
了解相似三角形判定定理的證明；
3．了解相似三角形的性質定理：相似三角形對應線段的比等于相似比；面積比等于相似比的平方．
二、課標解讀
1．對于“基本事實：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例”《義務教育數學課程標準（2011年版）》提出的要求是掌握，即要求學生在探索理解的基礎上能把它應用于新的對象，如將其應用于三角形中即可得到推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應線段成比例．在此基礎上，通過平移的方法，利用定義得到三角形相似的一個判定定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似．對于該基本事實，教學中應注意把握難度，不強調基本事實在判定線段成比例的應用．
2．對于“相似三角形的判定定理：兩角分別相等的兩個三角形相似；兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似；三邊成比例的兩個三角形相似”
《義務教育數學課程標準（2011年版）》提出的要求是了解，所以教學中應該結合具體實例，類比全等三角形的判定方法，讓學生根據兩個三角形的特征，能夠進行識別即可．教學中可以重點講解三邊對應成比例的兩個三角形相似的判定方法，使學生再次經歷幾何結論的發現、驗證和證明過程．而對于其他判定方法可以用類似的方法進行研究．對于相似三角形判定定理的證明為選學內容，課標要求為了解，但對其證明不做考試要求．
3．對于
“相似三角形的性質定理：相似三角形對應線段的比等于相似比；面積比等于相似比的平方．”
《義務教育數學課程標準（2011年版）》提出的要求是了解．這里所說的對應線段通常是指對應邊上的高、對應邊上的中線和對應角平分線，三角形的周長是三邊的和，因而相似三角形的周長比也等于相似比．教學中可以重點講解對應高的比等于相似比，其他性質可由學生發現并證明；對于面積比和相似比之間關系的理解，一些學生容易出現錯誤，教學中要指導學生進行相似三角形面積比的代數推導，明確三角形的邊及邊上的高是同時進行放大或縮小的，因而面積比等于相似比的平方．
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1平行線分線段成比例的基本事實重難點突破
一、平行線分線段成比例的基本事實的探究
突破建議
1．平行線分線段成比例的
( http: / / www.21cnjy.com )基本事實，是后續學習相似三角形的判定的重要基礎．對于這一基本事實的探究，可以從等距平行線入手，這樣可以使學生更容易發現對應線段的比的關系，在此基礎上通過改變平行線間的距離，再由學生動手測量、計算，進而發現事實．
2．實際教學中，可以使用媒
( http: / / www.21cnjy.com )體技術，通過改變平行線的間距和被截線與平行線的夾角，進行動態演示，在圖形的變化過程中發現對應線段的比不變的本質，從而更好地驗證這一基本事實．
例1?。?）如圖1，兩條直線m，
( http: / / www.21cnjy.com )n被三條平行線a，b，c所截，其中三條平行線的間距相等．通過觀察、度量，你能說出AB、BC、DE、EF這四條線段的關系嗎？

（2）如圖2，兩條直線m，n被三條
( http: / / www.21cnjy.com )平行線a，b，c所截，其中三條平行線的間距不相等．通過觀察、度量，你能說出AB、BC、DE、EF這四條線段的關系嗎？
解析：圖1中，三條平行線間距相等，學
( http: / / www.21cnjy.com )生易于觀察和分析對應線段間的關系，圖2是在圖1的基礎上由特殊到一般，通過觀察、度量、計算等手段，發現和認定對應線段的比相等．
二、平行線分線段成比例基本事實應用于三角形中
突破建議
1．探究平行線分線段成比例的基本事
( http: / / www.21cnjy.com )實，主要目的是為了利用它的推論證明三角形相似的第一個定理．在條件允許時，易采用信息技術手段，通過平移被截線到特殊位置，形成三角形兩邊或其延長線被平行線所截的兩種情形，可以使學生迅速將平行線分線段成比例的基本事實應用于三角形中．
2．實際教學中，應當引導學生挖掘將平行
( http: / / www.21cnjy.com )線分線段成比例的基本事實應用于三角形中的兩種基本圖形──“A”和“X”型，并能正確識別對應線段，從而通過列出相應的比例式，求未知線段的長．
例2?。?）如圖3，在△ABC中，DE∥BC，AC=6
，AB=5，EC=2．求AD和BD的長．
圖3
（2）如圖4，ED∥BC，AB=6，AC=8，AD=2，求AE的長．
圖4
解析：兩個問題中，都是將平行線分
( http: / / www.21cnjy.com )線段成比例的基本事實的推論的應用．兩個問題放在一起，一方面讓學生進一步熟悉基本圖形，另一方面通過對比，能夠正確寫出比例式，從而求出未知線段長．如何利用比的性質確定三角形的形狀？
難易度：★★★★★
關鍵詞：線段的比-三角形形狀
答案：
綜合利用比的性質求出三角形各邊的關系或各邊的長度，再確定三角形的形狀。

【舉一反三】
典題：已知a、b、c是△ABC的三邊滿足
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )，且a+b+c=17，
試判斷△ABC的形狀。
思路導引：由已知給出的關系式，求出a、b、c的長度，再確定△ABC的形狀。
標準答案：解：根據比例性質：因為
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )，所以
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )，又因為a+b+c=17，所以
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )=3
即a=7，b=5，c=5，所以△ABC是等腰三角形。
用物理知識來研究位似圖形
我們知道，要想學好物理知識，就必須有一定的數學基礎；然而反過來，要學好數學，有時又必須運用物理知識，才能更好地解決數學問題，特別地是運用物理知識來幫助我們解決數學中的位似圖形問題.為了幫助同學們及時地掌握這些知識，現分類舉例說明，供參考.
一、幻燈機
例1
小華同學自制了一個簡易的幻燈機，其工作情況如圖1所示，幻燈片與屏幕平行，光源到幻燈片的距離是30cm，幻燈片到屏幕的距離是150cm，幻燈片上小樹的高度是10cm，則屏幕上小樹的高度是（
）
A.50cm
　　
B.500cm
　　
C.60cm
　　　D.600cm
簡析　由于幻燈片與屏幕平行，則光源與幻燈片的上下兩個端點所組成的三角形和光源與屏幕上小樹的上下兩個端點所組成的三角形相似，于是有＝，所以小樹高度＝60（cm）.故應選C.
說明　幻燈機是物理中常用的教具之一，它能把精制的畫片投到銀幕上，能夠在一定的程度上激發同學們的學習興趣，然而它的工作原理就利用的是位似圖形的性質.對應高之比等于它的位似比.
二、杠桿問題
例2
馬戲團讓獅子和公雞表演蹺蹺板節目.蹺蹺板支柱AB的高度為1.2米.
（1）若吊環高度為2米，支點A為蹺蹺板PQ的中點，獅子能否將公雞送到吊環上？為什么？
（2）若吊環高度為3.6米，在不改變其他條件的前提下移動支柱，當支點A移到蹺蹺板PQ的什么位置時，獅子剛好能將公雞送到吊環上？
簡析　如圖3.（1）獅子能將公雞送到吊環上.當獅子將蹺蹺板P端按到底時可得到Rt△PHQ，因為AB為△PHQ的中位線，AB＝1.2（米），所以QH＝2.4＞2（米）.（2）支點A移到蹺蹺板PQ的三分之一處（PA＝PQ），獅子剛好能將公雞送到吊環上.如圖3，△PAB∽△PQH，，所以QH＝3AH＝3.6（米）.
　　說明　物理中的杠桿是說，若將一木頭抬起一端，另一端放在地上（不滑動），在抬高的過程中，所用的力始終豎直向上，想辦法求出力的大小并說明它的變化情況，這就用到了力學原理和位似圖形的性質.
三、小孔成像
　　例3　根據圖4中尺寸(AB∥A′B′，可以知道物像A′B′的長與物AB的長之間的關系是____.
　　簡析　要求像A′B′的長與物AB的長之間的關系，由小孔成像的原理可知，小孔O是位似中心，兩條光線AA′和BB′形成了兩個相似三角形△OAB和△OA′B′.即＝＝＝.所以AB＝3A′B′.
　　說明　小孔成像是光的直線傳播現象中的應該典型現象，現在我們用一個蠟燭通過小孔成像的原理在暗箱里成一個倒立的像.
　　四、平面鏡成像
例4
檢查視力時，規定人與視力表之間的距離為5m.如圖5.現因房間兩面墻的距離為3m，因此使用平面鏡來解決房間小的問題.若使墻面鏡子能呈現完整的視力表，如圖6，由平面鏡成像原理，作出了光路圖，其中視力表AB的上下邊沿A、B發出的光線經平面鏡MM′的上下邊沿反射后射入人眼C處，如果視力表的全長為0.8m，請計算出鏡長至少為多少米
簡析　根據平面鏡成像原理，作CD⊥MM′，垂足為D,，并延長交A′B′于E.因為AB∥MM′∥A′B′，所以CE⊥A′B′.所以△CMM′∽△CA′B′.所以＝.又CD＝5－3＝2，CE＝5，A′B′＝AB＝0.8，所以＝，所以MM′＝0.32(m).所以鏡長至少為0.32m.
　　說明　知道平面鏡的成像原理，構造出位似圖形是求解本題的關鍵.
圖2
圖1
圖4
圖3
圖6
圖5
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1相似三角形中的操作題
實驗操作性題目，一般先設置材料背景，讓學生在通過實際操作的基礎上設計有關問題.使學生在數學活動中，通過手腦并用，獲得初步體驗，促進學生生動、活潑、積極主動的發展，這類題對學生的能力有更高的要求，有利于培養學生的創新能力和實踐能力，現從07年中考試題中采擷兩例與相似有關的操作題，供讀者參考.
例1
(07樂山)如圖1，在矩形中，AB=4，AD=10.直角尺的直角頂點P在AD上滑動時（點P與A，D不重合），一直角邊經過點C，另一直角邊AB交于點E．我們知道，結論“Rt△AEP∽Rt△DPC”成立．
（1）當∠CPD=時，求AE的長；
（2）是否存在這樣的點P，使△DPC的周長等于△AEP周長的倍？若存在，求出DP的長；若不存在，請說明理由．
分析:本題考查相似三角形的性質和解直角三角形的有關知識.
（1）在Rt△DPC中，
根據∠CPD的正切求PD，進而求AP，再根據“Rt△AEP∽Rt△DPC”，對應直角邊成比例求得AE的長;(2)存在性探索題目，假設滿足條件的點P存在，設DP=x，
則AP=10-x，仍然根據“Rt△AEP∽Rt△DPC”，對應直角邊成比例求得AE的長，若求得的AE≤4，說明存在，否則不存在.
解:（1）在Rt△PCD中，由得
∴AP=AD-PD=10-，
由Rt△AEP∽Rt△DPC知∴
（2）假設存在滿足條件的點P，設DP=x，則AP=10-x.
由Rt△AEP∽Rt△DPC知∴解得x=8，此時AP=2，AE=4符合題意．
評注:存在型問題的解題思路是:先假定探索的對象存在，以此為依據進行計算或推理，若推出矛盾，則假定是錯誤的，從而給出否定的結論，否則給出肯定的結論.
例2
(07蕪湖)如圖2，在直角坐標系中△ABC的A、B、C三點坐標為A(7，1)、B(8，2)、C(9，0)．
(1)
請在圖中畫出△ABC的一個以點P
(12，0)為位似中心，相似比為3的位似圖形(要求與△ABC同在P點一側);
(2)求線段BC的對應線段所在直線的解析式．
分析:
(1)
點P
(12，0)為位似中心，相似比為3，于是在射線PC截取=3PC，連接PA并延長，在射線PA上截取，同理找出，順次連接，△即為所求.(2)欲求線段所在直線的解析式，需求和點的坐標，這可通過兩三角形相似來實現.
解:(1)畫出，如圖3所示．
(2)作BD軸，
軸，垂直分別是D，E點．∴∥BD．
∴．
∵B(8，2)，∴，．
∴．∵與△ABC的相似比為3，∴．∴．∴，PE=12．
∵PO=12．，∴E與O點重合，線段在y軸上．∴點坐標為(0，6)．
同理:．又∵=，∴．
∴．∴點坐標為(3，0)．
設線段所在直線的解析式為．則
∴．∴線段所在直線解析式為．
評注:位似是特殊的相似，本題考查了同學們對位似變換知識的理解和運用.位似變換中，對應點連線經過位似中心，而對應點到位似中心的距離比等于位似比是關鍵.
快樂套餐:
1.(07杭州)如圖4，用放大鏡將圖形放大，應該屬于（　?。?br/>Ａ．相似變換
Ｂ．平移變換
Ｃ．對稱變換
Ｄ．旋轉變換
2.(07成都)如圖5，小“魚”與大“魚”是位似圖形，已知小“魚”上一個“頂點”的坐標為，那么大“魚”上對應“頂點”的坐標為(
)
A.
B.
C.
D.
3.(07青島)如圖6是小孔成像原理的示意圖，根據圖中標注的尺寸，如果物體AB的高度為36cm，那么它在暗盒中所成的像CD的高度應為
cm.
4.(07仙桃)小華在距離路燈6米的地方，發現自己在地面上的影長是2米，如果小華的身高為1.6米，那么路燈離地面的高度是
米.
5.(07荊州)如圖7是一張簡易的活動小餐桌，現測的OA
＝OB＝30㎝，OC＝OD＝50㎝，桌面離地面的高度是40㎝，則兩條桌腿的張角∠COD的度數為
．
參考答案:1.
Ａ
2.
C
3.16
4.
6.4
5.
120°提示:如圖1，
過點O作OF⊥CD，延長FO交AB于E，
∵OA＝OB＝30㎝，OC＝OD＝50㎝，∴，∵∠AOB=∠DOC，∴△AOB∽△DOC，
∴∴∴OF=25㎝.
∴OF=OD，
∴∠ODF=，∴∠DOF=，∴∠COD=2∠DOF
=.
P
A
E
B
C
D
圖1
圖2
圖3
（第3題
圖4
圖6
D
C
B
A
40㎝
O
圖7
圖5
D
C
B
A
40㎝
O
圖1
E
F比例線段錯解診斷
比例線段是相似三角形的基礎
( http: / / www.21cnjy.com )，是勾通代數與幾何計算的橋梁，初學這部分內容，有的同學由于對比例線段的概念、比例的基本性質等理解不深，掌握不扎實，或缺乏慎重考慮，時常出現各種各樣的錯誤，現將同學們作業中常見的錯例歸類剖析，望能對大家的學習有所幫助.
一、忽視單位的統一
例1
A、B兩地的實際距離AB=300m，畫在圖上的距離A/B/=5cm，求圖上距離與實際距離的比.
錯解：圖上距離與實際距離的比是A/B/:AB=5:300=1:60.
診斷：出現癥狀的原因是沒有先統
( http: / / www.21cnjy.com )一單位.事實上，求兩條線段的比，就是求出這兩條線段用同一單位量得的線段長度之比，這里要注意兩點：如果給出的線段長度單位不同，則必須先化成同一長度單位后再求線段的比；二是兩條線段的比總是正數，如在運用中出現負數，必須舍去，結果一般化為最簡整數比.
正解：因為AB=300m=30000cm，所以圖上距離與實際距離的比是A/B/:AB=5:30000=6000.
二、忽視成比例線段的順序性
例2
已知三條線段的長分別為1cm、2cm、cm,如果另外一條線段與它們是成比例線段,試求出另外一條線段的長.
錯解:設另一條線段的長為ccm,則1：2=：x，解得x=2.
診斷:在題目中并沒有明確成比例線段的排列順序
( http: / / www.21cnjy.com ),就要考慮到所求的線段可能在不同的位置上,所以要分類討論.本題也可以按照等積式求解,在這三個數中仍選兩個數相乘,等于剩余的一個與的乘積.即.利用它們求出的值.
正解:設另一條線段的長為xcm,有下列三種情況:
①1：=2：x，解得x=2；
②x：1=2:
,解得x=;
③2:1=:x,解得x=.
綜上所述,另外一條線段的長是2cm或cm或cm.
三、忽視等比性質的條件
例3
已知，求x的值.
錯解：因為，所以
診斷：運用等比性質的條件是分母之和不能等于0，而這里并沒有說明a+b+c≠0，所以應分情況討論.
正解：（1）當a+b+c≠0時，；
（2）當a+b+c=0時，有c=—(a+b)，所以=-1.
所以x的值為或-1.位似與顯微鏡的發展
我們的眼睛能看到數百萬光年外的星系，卻不一定能看到眼前細小的物體。在大尺度上觀察物質的運動，毫無疑問能得到強烈的美感。那么從極其微小的尺度上呢？威廉·布萊克在一首詩中寫道：
一花一世界，一沙一天堂，掌中握無限，霎那成永恒。
——《天真的預言》(Auguries
of
Innocence)，1863
如果除去其中的神秘主義和宗教意味，那么這首詩恰好與微觀世界的某些特點不謀而合。例如一朵花包含數以萬計的細胞，而一粒沙確實是由無數的氧原子和硅原子組成的(SiO2)。
不過，即使把一朵花握于掌中，你也決不會肉眼分辨出其中的“世界”。一個視力正常的人，只能看清大約25厘米之外的物體，如果繼續靠近，晶狀體就無法把物體的像正確的投影在視網膜上。即使在25厘米的明視距離上，你也只擁有1分的分辨率?；蛘哒f，在這個距離上，你恰好能把兩條相距0.075毫米的線分開。從生物學的角度可以解釋這種現象。當兩條線的距離小于0.075毫米的時候，它們的像就會落在視網膜的同一個視覺感受器—視錐細胞或者視桿細胞—上面。那么你就沒法把它們分辨開來。
很早以前，人們就知道某些光學裝置能夠“放大”物體。比如在《墨經》里面就記載了能放大物體的凹面鏡。至于凸透鏡是什么時候發明的，可能已經無法考證。凸透鏡——有的時候人們把它稱為“放大鏡”——能夠聚焦太陽光，也能讓你看到放大后的物體，這是因為凸透鏡能夠把光線偏折。你通過凸透鏡看到的其實是一種幻覺，嚴格的說，叫做虛像。當物體發出的光通過凸透鏡的時候，光線會以特定的方式偏折。當我們看到那些光線的時候，或不自覺地認為它們仍然是沿筆直的路線傳播。結果，物體就會看上去比原來大。
單個凸透鏡能夠把物體放大幾十倍，這遠遠不足以讓我們看清某些物體的細節。公元13世紀，出現了為視力不濟的人準備的眼鏡——一種玻璃制造的透鏡片。隨著籠罩歐洲一千年的黑暗消失，各種新的發明紛紛涌現出來，顯微鏡(microscope)就是其中的一個。大約在16世紀末，荷蘭的眼鏡商詹森(Zaccharias
Janssen)和他的兒子把幾塊鏡片放進了一個圓筒中，結果發現通過圓筒看到附近的物體出奇的大，這就是現在的顯微鏡和望遠鏡的前身。
詹森制造的是第一臺復合式顯微鏡。使用兩個凸透鏡，一個凸透鏡把另外一個所成的像進一步放大，這就是復合式顯微鏡的基本原理。如果兩個凸透鏡一個能放大10倍，另一個能放大20倍，那么整個鏡片組合的的放大倍數就是10
20=200倍。
復合式顯微鏡
1665年，英國科學家羅伯特·胡克(人們可能更熟悉他的另一個發現：胡克定律)用他的顯微鏡觀察軟木切片的時候，驚奇的發現其中存在著一個一個“單元”結構。胡克把它們稱作“細胞”。不過，詹森時代的復合式顯微鏡并沒有真正顯示出它的威力，它們的放大倍數低得可憐。荷蘭人安東尼·馮·列文虎克(Anthony
Von
Leeuwenhoek
，1632-1723)制造的顯微鏡讓人們大開眼界。列文虎克自幼學習磨制眼鏡片的技術，熱衷于制造顯微鏡。他制造的顯微鏡其實就是一片凸透鏡，而不是復合式顯微鏡。不過，由于他的技藝精湛，磨制的單片顯微鏡的放大倍數將近300倍，超過了以往任何一種顯微鏡。
當列文虎克把他的顯微鏡對準一滴雨水的時候，他驚奇的發現了其中令人驚嘆的小小世界：無數的微生物游曳于其中。他把這個發現報告給了英國皇家學會，引起了一陣轟動。人們有時候把列文虎克稱為“顯微鏡之父”，嚴格的說，這不太正確。列文虎克沒有發明第一個復合式顯微鏡，他的成就是制造出了高質量的凸透鏡鏡頭。
在接下來的兩個世紀中，復合式顯微鏡得到了充分的完善，例如人們發明了能夠消除色差(當不同波長的光線通過透鏡的時候，它們折射的方向略有不同，這導致了成像質量的下降)和其他光學誤差的透鏡組。與19世紀的顯微鏡相比，現在我們使用的普通光學顯微鏡基本上沒有什么改進。原因很簡單：光學顯微鏡已經達到了分辨率的極限。
如果僅僅在紙上畫圖，你自然能夠“制造”出任意放大倍數的顯微鏡。但是光的波動性將毀掉你完美的發明。即使消除掉透鏡形狀的缺陷，任何光學儀器仍然無法完美的成像。人們花了很長時間才發現，光在通過顯微鏡的時候要發生衍射——簡單的說，物體上的一個點在成像的時候不會是一個點，而是一個衍射光斑。如果兩個衍射光斑靠得太近，你就沒法把它們分辨開來。顯微鏡的放大倍數再高也無濟于事了。對于使用可見光作為光源的顯微鏡，它的分辨率極限是0.2微米。任何小于0.2微米的結構都沒法識別出來。
提高顯微鏡分辨率的途徑之一就是設法減小光的波長，或者，用電子束來代替光。根據德布羅意的物質波理論，運動的電子具有波動性，而且速度越快，它的“波長”就越短。如果能把電子的速度加到足夠高，并且匯聚它，就有可能用來放大物體。
1938年，德國工程師Max
Knoll和Ernst
Ruska制造出了世界上第一臺透射電子顯微鏡(TEM)。1952年，英國工程師Charles
Oatley制造出了第一臺掃描電子顯微鏡(SEM)。電子顯微鏡是20世紀最重要的發明之一。由于電子的速度可以加到很高，電子顯微鏡的分辨率可以達到納米級(10-9m)。很多在可見光下看不見的物體——例如病毒——在電子顯微鏡下現出了原形。
用電子代替光，這或許是一個反常規的主意。但是還有更令人吃驚的。1983年，IBM公司蘇黎世實驗室的兩位科學家Gerd
Binnig和Heinrich
Rohrer發明了所謂的掃描隧道顯微鏡(STM)。這種顯微鏡比電子顯微鏡更激進，它完全失去了傳統顯微鏡的概念。
諾貝爾獎：Ernst
Ruska，Gerd
Binnig和Heinrich
Rohrer(從左至右)分別因為發明電子顯微鏡和掃描隧道顯微鏡而分享1986年的諾貝爾物理學獎。
很顯然，你不能直接“看到”原子。因為原子與宏觀物質不同，它不是光滑的、滴溜亂轉的小球，更不是達·芬奇繪畫時候所用的模型。掃描隧道顯微鏡依靠所謂的“隧道效應”工作。如果舍棄復雜的公式和術語，這個工作原理其實很容易理解。隧道掃描顯微鏡沒有鏡頭，它使用一根探針。探針和物體之間加上電壓。如果探針距離物體表面很近——大約在納米級的距離上——隧道效應就會起作用。電子會穿過物體與探針之間的空隙，形成一股微弱的電流。如果探針與物體的距離發生變化，這股電流也會相應的改變。這樣，通過測量電流我們就能知道物體表面的形狀，分辨率可以達到單個原子的級別。
因為這項奇妙的發明，Binnig和Rohrer獲得了1986年的諾貝爾物理學獎。這一年還有一個人分享了諾貝爾物理學獎，那就是電子顯微鏡的發明者Ruska。
據說，幾百年前列文虎克把他制作顯微鏡的技術視為秘密。今天，顯微鏡——至少是光學顯微鏡——已經成了一種非常普通的工具，讓我們了解這個小小的大千世界。
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1正確運用相似三角形的“對應”關系
在證兩個三角形相似時，和證兩個三角形全等一樣，通常把表示對應頂點的字母寫在對應的位置上，這樣可以比較容易地找出相似三角形的對應角和對應邊．
這段注意含義深刻，不僅對學生初學相似三角形時提出了書寫的要求，為今后證明兩個三角形相似帶來方便，而且對解決一類相似三角形中答案不唯一問題的解法，具有指導性意義，下面舉例說明．
例1
在△ABC中，AB=9，AC=12，BC=18，D為AC上一點，DC=AC，在AB上取一點E，得到△ADE，若圖中的兩個三角形相似，則DE的長是______。
簡析：根據題設條件，兩個三角形相似的對應性沒有明確，具有結論的不確定性，因而應分兩種情況解答此題．
簡解：①若D點的對應點為C點時，(ED∥BC)(圖1)
即△AED∽△ABC，
∴DE=6
②若D點的對應點為B時，(∠ADE=∠B)(圖2)
即△ADE∽△ABC
∴
DE=8
∴DE的長為8或6．
例2
如圖3，在兩個直角三角形中，∠ABC=∠ADC=90°，AC=，AD=2，試求AB的長，使得這兩個直角三角形相似。
簡析：因為題設只要求兩個直角三角形相似，并沒有指明具體的對應關系．同樣具有結論的不確定性，因此本題應分兩種情況解答．
簡解：(1)當△ABC∽△ACD時
∴AB=3．
(2)當△ABC∽△CAD時
例3
如圖4，直角梯形ABCD中，AB=7，AD=2，BC=3，如果邊AB上的點P使得以P、A、D為頂點的三角形和以P、B、C為頂點的三角形相似，那么這樣的點P的個數是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
解：根據題設條件，三角形相似應考慮兩種情況：
①當△PAD∽△PBC時，設AP=x，
則PB=7-x，
②當△PAD∽△CBP時，
解得x1=1，x2=6．
因此，滿足題設條件的點P有3個，所以應選C．
評析：如果未注意到題目中以P、A、D為頂點的三角形與以P、B、C為頂點的三角形相似未限制頂點的對應關系這一點，就會片面考慮一種相似關系而被誘誤．因此解答這類答案不唯一的試題，應注意相似三角形的對應關系，正確運用概念，養成從多角度看問題的習慣，才能防止錯誤．
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3相似三角形中的操作題
實驗操作性題目，一般先設置材料背景，讓學生在通過實際操作的基礎上設計有關問題.使學生在數學活動中，通過手腦并用，獲得初步體驗，促進學生生動、活潑、積極主動的發展，這類題對學生的能力有更高的要求，有利于培養學生的創新能力和實踐能力，現從07年中考試題中采擷兩例與相似有關的操作題，供讀者參考.
例1
(07樂山)如圖1，在矩形中，AB=4，AD=10.直角尺的直角頂點P在AD上滑動時(點P與A，D不重合)，一直角邊經過點C，另一直角邊AB交于點E．我們知道，結論“Rt△AEP∽Rt△DPC”成立．
(1)當∠CPD=時，求AE的長；
(2)是否存在這樣的點P，使△DPC的周長等于△AEP周長的倍？若存在，求出DP的長；若不存在，請說明理由．
分析:本題考查相似三角形的性質和解直角三角形的有關知識.
(1)在Rt△DPC中，根據∠CPD的正切求PD，進而求AP，再根據“Rt△AEP∽Rt△DPC”，對應直角邊成比例求得AE的長;(2)存在性探索題目，假設滿足條件的點P存在，設DP=x，
則AP=10-x，仍然根據“Rt△AEP∽Rt△DPC”，對應直角邊成比例求得AE的長，若求得的AE≤4，說明存在，否則不存在.
解:(1)在Rt△PCD中，由得
∴AP=AD-PD=10-，
由Rt△AEP∽Rt△DPC知∴
(2)假設存在滿足條件的點P，設DP=x，則AP=10-x.
由Rt△AEP∽Rt△DPC知∴解得x=8，此時AP=2，AE=4符合題意．
評注:存在型問題的解題思路是:先假定探索的對象存在，以此為依據進行計算或推理，若推出矛盾，則假定是錯誤的，從而給出否定的結論，否則給出肯定的結論.
例2
(07蕪湖)如圖2，在直角坐標系中△ABC的A、B、C三點坐標為A(7，1)、B(8，2)、C(9，0)．
(1)
請在圖中畫出△ABC的一個以點P
(12，0)為位似中心，相似比為3的位似圖形(要求與△ABC同在P點一側);
(2)求線段BC的對應線段所在直線的解析式．
分析:
(1)
點P
(12，0)為位似中心，相似比為3，于是在射線PC截取=3PC，連接PA并延長，在射線PA上截取，同理找出，順次連接，△即為所求.(2)欲求線段所在直線的解析式，需求和點的坐標，這可通過兩三角形相似來實現.
解:(1)畫出，如圖3所示．
(2)作BD軸，
軸，垂直分別是D，E點．∴∥BD．
∴．
∵B(8，2)，∴，．
∴．∵與△ABC的相似比為3，∴．∴．∴，PE=12．
∵PO=12．，∴E與O點重合，線段在y軸上．∴點坐標為(0，6)．
同理:．又∵=，∴．
∴．∴點坐標為(3，0)．
設線段所在直線的解析式為．則
∴．∴線段所在直線解析式為．
評注:位似是特殊的相似，本題考查了同學們對位似變換知識的理解和運用.位似變換中，對應點連線經過位似中心，而對應點到位似中心的距離比等于位似比是關鍵.
快樂套餐:
1.(杭州)如圖4，用放大鏡將圖形放大，應該屬于(
)
A．相似變換
B．平移變換
C．對稱變換
D．旋轉變換
2.(成都)如圖5，小“魚”與大“魚”是位似圖形，已知小“魚”上一個“頂點”的坐標為，那么大“魚”上對應“頂點”的坐標為(
)
A.
B.
C.
D.
3.(青島)如圖6是小孔成像原理的示意圖，根據圖中標注的尺寸，如果物體AB的高度為36cm，那么它在暗盒中所成的像CD的高度應為
cm.
4.(仙桃)小華在距離路燈6米的地方，發現自己在地面上的影長是2米，如果小華的身高為1.6米，那么路燈離地面的高度是
米.
5.(荊州)如圖7是一張簡易的活動小餐桌，現測的OA
＝OB＝30㎝，OC＝OD＝50㎝，桌面離地面的高度是40㎝，則兩條桌腿的張角∠COD的度數為
．
參考答案:
1.
A
2.
C
3.16
4.
6.4
5.
120°提示:如圖1，
過點O作OF⊥CD，延長FO交AB于E，
∵OA＝OB＝30cm，OC＝OD＝50cm，∴，∵∠AOB=∠DOC，∴△AOB∽△DOC，
∴∴∴OF=25cm
∴OF=OD，
∴∠ODF=，∴∠DOF=，∴∠COD=2∠DOF
=.
圖6
D
C
B
A
40㎝
O
圖7
圖5
D
C
B
A
40㎝
O
圖1
E
F
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1比例的性質是什么？
難易度：★★★
關鍵詞：比例的性質
答案：
如果
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )，那么ad=bc；如果ad=bc(a,b,c,d都不等于0),那么
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )。
【舉一反三】
典題：已知:
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com ),求
( http: / / www.21cnjy.com )的值。
思路導引：根據比例的基本性質，把比例式化成等積式，再用含有其中一個字母的代數式表示另一個字母，然后利用代入法求解。
標準答案：由
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )，得m=9n，所以
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )=9.《相似多邊形》典型例題
例題1
在如圖所示的相似四邊形中，求未知邊x、y的長度和角的大小．
例題2
所有的正方形都相似嗎？為什么？所有的矩形都相似嗎？為什么？
例題3
所有的正方形都相似嗎？為什么？所有的矩形都相似嗎？為什么？
例題4
已知下圖中的兩個四邊形相似，找出圖中的成比例線段，并用比例式表示．
例題5
圖中的兩個多邊形相似嗎？說說你的理由．
例題6
下面給出的兩個四邊形是相似的，請寫出它們的對應角和對應邊．
例題7
已知圖中的兩個梯形相似，求出未知邊x、y、z的長度和的度數．
例題8
在如圖所示的相似四邊形中，求未知邊x、y的長度和角的大?。?br/>參考答案
例題1
解答
∵兩個四邊形相似，它們的對應邊成比例，對應角相等．
∴，
∴．
．
例題2
解答：所有的正方形都相似，因為正方形的每個角都是90°，因此對應角都相等，而每一個正方形的邊長都相等，因此對應邊成比例．
所有的矩形不一定相似，雖然所有的矩形的角都相等，但對應的邊不一定成比例，因此，矩形不一定相似．
例題3
解答：所有的正方形都相似，因為正方形的每個角都是90°，因此對應角都相等，而每一個正方形的邊長都相等，因此對應邊成比例．
所有的矩形不一定相似，雖然所有的矩形的角都相等，但對應的邊不一定成比例，因此，矩形不一定相似．
例題4
解答
例題5
解答
不相似．
，而，不可能有“對應角相等”．
例題6
解答
例題7
分析
解題中要充分利用相似多邊形的特征和梯形的性質．
解答
由于對應邊成比例，所以．
所以．
由于對應角相等，所以
，
．
例題8
解答
∵兩個四邊形相似，它們的對應邊成比例，對應角相等．
∴，∴．．如何確定某條線段的黃金分割點？
難易度：★★★★★
關鍵詞：黃金分割點的畫法
答案：
如右圖所示，設AB是已知線段，
（1)以線段AB為邊作正方形ABCD；
(2)取AD的中點E，連接EB；
(3)延長DA至F，使EF=EB；
（4)以線段AF為邊作正方形AFGH。
則點H為線段AB的黃金分割點．
【舉一反三】
典題：利用正方形可以做出線段的黃金分割點，根據上圖，證明點H是線段AB的黃金分割點。
思路導引：證明點H是線段AB的黃金分割點，只要得出
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )即可。
標準答案：
證明：設AB=1，則AE=
( http: / / www.21cnjy.com ),BE=
( http: / / www.21cnjy.com ),EF=EB=
( http: / / www.21cnjy.com ),所以AF=
( http: / / www.21cnjy.com )-
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com ),所以AF=AH=
( http: / / www.21cnjy.com ),BH=AB-AH=1-
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com ),得
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )，
所以，點H是線段AB的黃金分割點。如何證明黃金矩形？
難易度：★★★★★
關鍵詞：黃金矩形
答案：
一個矩形的寬與長之比為
( http: / / www.21cnjy.com )，那么這個矩形被稱為黃金矩形。
【舉一反三】
典題：寬與長之比為
( http: / / www.21cnjy.com )的矩形叫黃金矩形，黃金矩形令人賞心悅目，它給我們以協調、勻稱的美感，如果在一個黃金矩形里畫一個正方形，那么留下的矩形還是黃金矩形嗎？請證明你的結論，
思路導引：只要能得出
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )，就能說明四邊形ECDF是黃金矩形，否則不是。
標準答案：留下的矩形是黃金矩形
因為四邊形ABEF是正方形，得AB=DC=AF，又因為
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com ),所以
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com ),即點F是線段AD的黃金分割點。所以
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com ),即
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )，所以矩形ECDF是黃金矩形。相似多邊形學習導航
一．認識“形狀相同的圖形”
1．形狀相同的圖形：形狀相同的圖形就是兩個圖形的形狀完全一樣，而圖形的大小和位置不一定相同.
溫馨提示：判斷兩個圖形是否形狀相同時，應注意考察圖形的變化特征，抓住問題的關鍵.
2．畫形狀相同的圖形的方法：畫形狀相同的圖形，實際上就是將圖形放大或縮小，利用方格紙或利用坐標的變化放大或縮小圖形是車形狀相同圖形的兩種常用的準確的方法.
二．結識“相似多邊形”
1．相似多邊形的定義
若兩個多邊形的各角對應相等，各邊對應成比例，則這兩個多邊形就叫做相似多邊形.
溫馨提示：（1）兩個多邊形的邊數不同，則兩個多邊形一定不相似；
（2）兩個邊數相同的多邊形，必須具備以下兩個條件：①對應角相等；②對應邊成比例；這是兩個相似多邊形的本質特征.
（3）邊數相同的正多邊形一定相似；
（4）在記兩條多邊形相似時，應把表示對應頂點的字母寫在對應的位置上.
2.
靈活掌握相似多邊形的性質
相似多邊形有以下性質：
（1）
兩個相似多邊形的對應角相等、對應邊成比例.
（2）
兩個相似多邊形的周長比等于相似比、面積比等于相似比的平方.
溫馨提示：①相似多邊形的對應邊的比叫做相似比.
②全等的多邊形是相似比為1的相似多邊形；
③求兩個相似多邊形的相似比時，要注意兩個圖形的順序：若相似多邊形甲與乙相似，若甲與乙的相似比為，則乙與甲相似比為.
三.學會利用定義判定兩個多邊形是不是相似
判定兩個多邊形是不是相似，主要是利用定義，特別需要注意的是，必須同時滿足兩個條件才行，否則就會出錯.
四.典例分析
例1
已知矩形ABCD，長8m，寬6m，又知矩形ABEF的面積為21，試問：矩形ABCD與矩形ECDF相似嗎？并說明理由.
分析：因為兩個四邊形都是矩形，所以只要判斷對應邊的比是不是相等即可.
解：因為矩形ABEF的面積為21，所以AB·BE=21,所以
，所以EC=BC－BE=.因為,,所以,又因為矩形的四個角都是直角，所以矩形ABCD與矩形ECDF的四個角都對應相等，所以矩形ABCD∽矩形ECDF.
例2
已知梯形ABCD中，EF∥AD，且AD=m,BC=n，若梯形ABCD∽梯形EBCF，求EF的長.
分析：因為兩個梯形是相似的，所以可以直接利用相似的性質來求EF的長.
解：因為梯形ABCD∽梯形EBCF，所以所以所以.
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2判斷兩個相似三角形中的錯誤
判斷兩個圖形相似，應正確理解相似圖形的判斷方法，若判斷方法把握不準確，判斷就有可能出錯喲！
例1下面各組中的兩個三角形一定相似的為______
①都有一個角是50°的兩個等腰三角形
②
都有一個角是120°的兩個等腰三角形
③都有一個角是60°的
兩個等腰三角形
④都有一個角90°的等腰三角形
錯解：①，④.
分析:要判斷兩個三角形相似相似，應根據三角形相似的判斷方法,判斷已知條件中是否具備兩個三角形相似的條件.觀察①中的兩個等腰三角形,由于50°的角可以是底角,也可以是頂角,當作為頂角時,兩個底角分別是65°,65°;當作為底角時,兩外兩個角分別是50°,80°,當第一個三角形中的50°是頂角度數,第二個三角形的50°是底角度數,則這兩個三角形不相似.觀察②可知,120°的角只能是等腰三角形的頂角,這樣的兩個三角形的底角也相等,所以滿足這個條件的兩個三角形相似;觀察③中的兩個三角形一定是等邊三角形,兩個三角形一定形似;觀察④中的兩個三角形是等腰直角三角形,兩個三角形一定相似.
正解:②④③
.
例2
在△ABC和△A′B′C′中,已知AB=6cm,AC=8cm.BC=10cm,
A′B′=24cm,
A′C′=18cm,B′C′=30cm,試判斷△ABC與△A′B′C′是否相似,并說明理由.
錯解:△ABC與△A′B′C′不相似.理由:,,,
，所以△ABC與△A′B′C′不相似.
分析:本題已知兩個三角形的邊長,要判斷這兩個三角形是否相似,應判斷兩個三角形的最短邊與最短邊的比,中等邊與中等邊的比,最長邊與最長邊的比是否相等,而不要思維定勢把AB與A′B′,AC與A′C′,BC與B′C′是對應邊.
正解:因為,,,
所以，所以△ABC∽△A′C′B′.
例3
已知△ABC△A′B′C′,∠A=50°,∠A′=50°,AB=8,BC=15,A′B′=16,B′C′=30,請問這兩個三角形是否相似.請說明你判斷的理由.
錯解:
因為∠A=∠A′=50°,且,
所以△ABC與△A′B′C′相似.
分析:根據邊角對應關系判斷兩個三角形相似,應具備“兩邊對應成比例，且夾角相等”，本題中雖然，但BC，B′C′分別是∠A，∠A′的對邊，不滿足“兩邊對應成比例，且夾角相等”，，不能由此來判斷△ABC與△A′B′C′相等．
正解：△ABC與△A′B′C′不一定相似，因為∠A=∠A′=50°，但不知道是否等于，所以根據已知條件不能確定△ABC與△A′B′C′相似．
例4
在△ABC和△A′B′C′中，已知∠A=∠A′=45°，∠B=26°，∠B′=109°，則有(
)．
(A)△ABC∽△A′B′C′
(B)△ABC∽△A′C′B′
(C)△ABC∽△C′A′B′
(D)△ABC與△A′B′C′不相似
錯解：因為∠A=∠A′，但∠B≠∠B′，∠C≠∠C′，所以△ABC與△A′B′C′不相似.故選(D).
分析：在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′是對應角，但∠B與∠B′不一定是對應角，不能由∠B≠∠B′，∠C≠∠C′而臆斷兩個三角形不相似,實際上,本題中.
∠B=∠C′.
正解：因為∠A=45°，∠B=26°，
所以∠C=180°-∠A-∠B=109°，所以∠C=∠B′，
又∠A=∠A′，所以△ABC∽△A′C′B′(兩組對應角分別對應相等的兩個三角形全等).
所以選(B).
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2如何學好位似圖形
位似圖形是新課標中新增加的內容，具有較高的實用價值.那么如何學好呢
一、理解位似圖形及有關概念
如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且每組對應點所在的直線都經過同一點，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形(如圖1)，這個點叫做位似中心，這時的相似比又稱為位似比.
溫馨提示:(1)位似圖形是相似圖形的特例，不僅要求形狀形同，而且還要求對應點的連線相交于同一點.因此位似圖形一定是相似圖形，但相似圖形不一定是位似圖形.
(2)如圖1，位似圖形上任意兩組對應點連線的交點或其延長線的交點就是位似中心，位似中心和兩對對應點構成“A型”或“X型”的相似三角形.
二、掌握位似圖形的性質
位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等于位似比.
如圖1，△ABC與△是位似圖形，且位似比為k，則=k.
三、會作一個圖形的位似圖形
作一個圖形的位似圖形，就是作一個與已知圖形相似的具有特殊位置的圖形，方法有多種:比如“橡皮筋法”，“方格紙法”，“平行線法”等，但常用的方法是根據“位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等于位似比”來作.其基本步驟是:選定位似中心——連點——延長——截倍(分)等，而得到放大或縮小的圖形，新圖形與原圖形就是位似圖形.
例
將圖2中的四邊形ABCD放大，使得放大前后對應線段的比為1∶2.
分析:作出四邊形ABCD的位似圖形，使新圖與原圖的位似比為2∶1，即可得到符合要求的圖形.
解:如圖2:①任取一點O;
②以點O為端點作射線OA，OB，OC，OD;
③分別在射線OA，OB，OC，OD上取點，，，，使O∶OA=O∶
OB=O∶
OC
=O∶OD=2∶1;
④連接，，，.則四邊形就是所求的圖形(即四邊形與四邊形ABCD是位似比為2∶1的位似圖形).
溫馨提示:抓住位似比是畫位似圖形的關鍵.由于位似中心可以任意選取，因此答案不唯一，畫出一種即可.
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1一道有趣的相似問題的變式及應用
題目：已知AC⊥AB，BD⊥AB，AD與BC交于點E，過E作EF⊥AB于F，試說明.
解：因為AC⊥AB，BD⊥AB，EF⊥AB，
所以AC∥BD∥EF.
所以△AEF∽△ADB，△BEF∽△BCA.
所以EF：BD=AF：AB，EF：AC=BF：AB.
即AF=，BF=，
所以AF+BF=AB，
所以AB=AB，
所以.
把題目的結論再變化一下就得到：EF=，這個等式有何應用呢？
應用一：如圖2所示，兩根電線桿都垂直于地面，分別在高為10米的C處和高為15米的D處用鋼索將兩根電線桿固定，求鋼索AD與鋼索BC的交點E處離地面的高度EF.
有了上面的結論，很容易就得到EF===6（米）.
應用二：如圖3所示，在兩棟樓房之間的草坪中有一棵樹，已知樓房AB的高度為12米，樓房CD的高度為18米，從A處看樓頂C處正好通過樹頂E，而從D處看樓頂B處也正好通過樹頂E，求這棵樹的高度.
根據上面的計算方法，很容易就得到樹的高度大約是7.2米.
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1拓展小知識：比例
比例
如果兩個數的比值與另兩個數的比值相等，就說這四個數成比例。
比例的基本性質
a:b=c:d→ad=bc。(也可反
( http: / / www.21cnjy.com )推)
如果a:b=c:d,那么（a±b）:（c±d）:
如果a:b=c:d=···=m:n（b+d+···+n≠0），那么（a+c+···+m）:（b+d+···+n）=a:b
比例線段
1.兩條線段的長度比叫做這兩條
( http: / / www.21cnjy.com )線段的比
2.在同一單位下，四條線段長度為a、b、c、d，其關系為a:b=c:d，那么，這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段。
3.一般地，如果三個數a,b,c滿足比例式a:b=b:c,則b就叫做a,c的比例中項。（不難看出，此時b^2=ac，即此時b是ac的幾何平均數）
4.d叫做a,b,c的第四比例項。（此時a,b,c的書寫有順序性，必須按順序寫，若b:a=c:d，則就要寫成d是b,a,c的第四比例項）
5.可由ad=bc推出a:b=c:d;a:c=b:d;d:b=c:a和d:c=b:a
比例尺
1、概念：
比例尺是表示圖上距離比實地距離縮
( http: / / www.21cnjy.com )小或擴大的程度。公式為：比例尺=圖上距離與實際距離的比。比例尺有三種表示方法:數字式，線段式，和文字式。三種表示方法可以互換。一般講，大比例尺地圖，內容詳細，幾何精度高，可用于圖上測量。小比例尺地圖，內容概括性強，不宜于進行圖上測量。
用公式表示為：比例尺=圖上距離/實際距離。比例尺通常有三種表示方法。
2.表示方法：
（1）數字式，用數字的比例
( http: / / www.21cnjy.com )式或分數式表示比例尺的大小。例如地圖上1厘米代表實地距離500千米，可寫成：1∶50,000,000或寫成：1/50,000,000。
（2）線段式，在地圖上畫一條線段，并注明地圖上1厘米所代表的實際距離。
（3）文字式，在地圖上用文字直接寫出地圖上1厘米代表實地距離多少米，如：圖上1厘米相當于地面距離500米，或五萬分之一。
三種表示方法可以互換。必須化單位。
在繪制地圖和其他平面圖的時候
( http: / / www.21cnjy.com )，需要把實際距離按一定的比縮?。ɑ驍U大），再畫在圖紙上。這時，就要確定圖上距離和相對應的實際距離的比。一幅圖的圖上距離和實際距離的比，叫做這幅圖的比例尺。
比例尺公式：
圖上距離=實際距
( http: / / www.21cnjy.com )離×比例尺　
實際距離=圖上距離÷比例尺，比例尺=圖上距離÷實際距離.（在比例尺計算中要注意單位間的換算）
（1千米=1×1000米=1×100000厘米）
單位換算：圖上用厘米，實地用千米，厘米換千米，去五個零；千米換厘米，在千的基礎上再加兩個零。
3.使用方法：
根據地圖上的比例尺，
( http: / / www.21cnjy.com )可以量算圖上兩地之間的實地距離；根據兩地的實際距離和比例尺，可計算兩地的圖上距離；根據兩地的圖上距離和實際距離，可以計算比例尺。
根據地圖的用途，所
( http: / / www.21cnjy.com )表示地區范圍的大小、圖幅的大小和表示內容的詳略等不同情況，制圖選用的比例尺有大有小。地圖比例尺中的分子通常為1，分母越大，比例尺就越小。通常比例尺大于十萬分之一的地圖稱為大比例尺地圖；比例尺介于十萬分之一至一百萬分之一之間的地圖，稱為中比例尺地圖；比例尺小于百萬分之一的地圖，稱為小比例尺地圖。在同樣圖幅上，比例尺越大，地圖所表示的范圍越小，圖內表示的內容越詳細，精度越高；比例尺越小，地圖上所表示的范圍越大，反映的內容越簡略，精確度越低。（此可簡記為“大小詳、小大略”方便應用）地理課本和中學生使用的地圖冊中的地圖，多數屬于小比例尺地圖。怎樣學好相似多邊形的性質
相似多邊形的性質是相似圖形的重點，熟練把握相似圖形的性質是解決有關問題的關鍵.下面相似多邊形的性質及應用分析如下：
一、性質解讀
1．相似三角形對應高的比，對應角平分線的比和對應中線的比都等于相似比.
2．相似三角形周長的比等于相似比，面積比等于相似比的平方.
3．相似多邊形周長的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方.
提示：（1）當已知相似三角形的高時，應想到相似三角形對應高的比等于對應邊的比；當已知相似三角形的中線時，應想到相似三角形對應中線的比等于對應邊的比.
（2）當已知相似三角形的一組對應邊的比，并知道了一個三角形的周長，求另一個三角形周長時，應想到“相似三角形周長的比等于對應邊的比”.已知一個三角形的面積，求另一個三角形的面積時，應想到“相似三角形的面積比等于相似比的平方”.
（3）相似多邊形周長的比等于相似比，面積比等于相似比的平方，常應用到矩形相似和菱形相似等問題的解決.相似多邊形對應邊的比等于面積比的算術平方根.
二、應用舉例
例1
已知：△ABC的三邊長分別為5、12、13，和△ABC相似的△A′B′C′的最大邊長為26，求△A′B′C′的周長.
分析：本題已知△ABC與△A′B′C′相似，可知兩個相似三角形的最長邊為對應邊，由此可求到兩個三角形的相似比，根據“相似三角形周長比等于相似比”可計算出△A′B′C′的面積.
解：
因為△ABC的最長邊長為13，△A′B′C′最長邊長為26，所以△ABC與△A′B′C′的相似比為13：26=1：2，
設△A′B′C′的周長為x，則，解得x=60.
所以△A′B′C′的周長為60.
例2如圖，在正方形網格（每個小正方形的邊長為1）上有和，這兩個三角形相似嗎？如果相似，求出和的面積比．
分析：要判斷兩個三角形是否相似，觀察圖形可知，這兩個三角形有一對對應角為135°，只要計算這個角的兩邊，即可根據“兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似”來判定相似，根據“相似三角形的面積比等于相似比的平方”求到兩個三角形的面積比.
解：因為A1C1=4，A2C2=2，所以，A1B1=2，A2B2=，所以，
又因為∠B1A1C1=∠B2A2C2=135°，所以△A1B1C1∽△A2B2C2，
所以和的面積比為4．
例3
已知五邊形ABCDE∽五邊形A′B′C′D′E′，兩個五邊形的最長邊分別是35cm和14cm，它們的周長差為60cm，那么這兩個五邊形的周長分別是多少？
分析：相似多邊形的相似比等于對應邊的比，已知這兩個五邊形的最長邊為35cm和14cm，那么這兩個相似五邊形的相似比為35：14=5：2，設大五邊形的周長為xcm，用x的代數式表示出小五邊形周長，則根據周長比等于形似比可求到這兩個五邊形的周長.
解：設大五邊形的周長為xcm，則小五邊形的周長為(x-60)cm,
根據相似多邊形的性質可得,解得x=100,所以x-60=40,
所以這兩個五邊形的周長分別100cm和40cm.
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1相似多邊形中轉化思想的應用
轉化思想是數學中比較常用的一種想法，在相似多邊形問題中經常將相似多邊形的問題轉化為相似三角形進行考慮。解決此類問題時，一般都要從已知條件出發，通過作輔助線，將多邊形分割成幾個三角形，再根據三角形相似的性質解決問題。
例題：如圖所示，點E在正方形ABCD的邊CD上運動，AC和BE相交于點F。（1）如圖1所示，點E運動到DC的中點時，求△ABF與四邊形ADEF的面積之比；（2）如圖2所示，當點E運動到CE:ED=2:1時，求△ABF與四邊形ADEF的面積之比；（3）請你利用上述圖形，提出一個類似的問題。
分析：要想求四邊形的面積，可以將其轉化為求三角形的面積，在根據相似三角形的性質，求出三角形面積之間的關系。
解:（1）如圖1所示，連結DF。
∵點E是DC的中點，
∴。
根據題意可以得出△FEC∽△FBA，所以。
∵
∴。
（2）如圖2所示，連結DF。
與（1）同理可知，。
所以。
（3）提問舉例：
①當點E運動到CE:ED=5:1時，求△ABF與四邊形ADEF的面積之比；
②當點E運動到CE:ED=3:2時，求△ABF與四邊形ADEF的面積之比；
③當點E運動到CE:ED=m:n（m、n是正整數）時，求△ABF與四邊形ADEF的面積之比。
練習：如圖在梯形ABCD中，AB∥CD，CE平分∠BCD，CE⊥AD于點E，DE=2AE，若△CED的面積為1。求四邊形ABCE的面積。
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1相似三角形錯解分析
相似三角形具有對邊成比例，對角相等，相似三角形對應高的比等于相似比，相似三角形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方等性質.在利用相似三角形解決問題，一定注意結合圖形，正確利用相似三角形的性質解決實際問題，不要出現下列一些錯誤.
例1
如圖1，在△ABC中，AB=10cm，BC=20cm，點P從點A開始沿AB邊向B點以2cm/s的速度移動，點Q從點B開始沿BC邊向點C，以4cm/s的速度移動，如果點P，Q分別從A、B同時出發，問經過幾秒鐘，△PBQ與△ABC相似.
錯解：設經過ts時，△PBQ與△ABC相似，則AP=2t，BQ=4t，BP=10-2t，當△PBQ∽△ABC時，有，即，所以t=2.5.
分析：本題錯解考慮問題不完整，出現漏解，本題除了△PBQ∽△ABC外，在實際運動中還可能出現△QBP∽△ABC.所以兩種情況都要考慮到.
正解：設經過ts時，△PBQ與△ABC相似，則AP=2t，BQ=4t，BP=10-2t，
（1）如圖1,
當△PBQ∽△ABC時，有，即，所以t=2.5.
圖1
圖2
（2）如圖2,當△QBP∽△ABC時，有，即，所以t=1.
綜上可知，經過2.5s或1s時，△PBQ和△ABC相似.
評注：與運動有關的相似三角形問題，常出現兩個解的情況，所以解決這類問題中，一定要注意可能存在的多解情況.否則，可能出現漏解而致誤.
例2
如圖3，在△ABC中，，AB=12，BC=8，DE//AB，已知△DCE的面積等于4，求四邊形ABED的面積.
錯解：由，可得，
因為DE//AB，所以△CDE∽△CAB，
所以，
因為S△DCE=4，所以S△CAB=6，所以SABED面積為6-4=2.
分析：錯解在沒有把握住相似三角形的面積比等于相似比的平方這一性質.把相似三角形的面積比當成相似比而造成錯解.
正解：由，可得，
因為DE//AB，所以△CDE∽△CAB，
所以，
因為S△CDE=4，所以S△CAB=9，
所以S四邊形ABED=9-4=5.
圖3
評注：解決相似三角形問題，把握住相似三角形的面積是解決問題的重要組成部分.特別要注意相似三角形的面積比等于相似比的平方的理解與應用.
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1相似形問題常見錯解剖析
相似形是初中幾何的重要內容之一,現將同學們在學習相似形的過程中經常出現判定定理、性質定理混淆不清及思考問題不周全等各種原因所造成的錯解列舉如下,供同學們借鑒.　
一.審題不細造成失誤
　
例1.已知線段AB=2mm，CD=6cm，則AB∶CD=
.
　
錯解：∵AB=2，CD=6，
　∴AB∶CD=2∶6=1∶3.
　
剖析：要根據比的有關定義統一兩線段的長度單位，解題中應注意首先統一長度單位.
　
正解：∵AB=2mm，CD=6cm=60mm，
　∴AB∶CD=2∶60=1∶30.
二.
用定義考慮不全造成失誤
　
例2
如圖，在四邊形ABCD與四邊形EFGH中，∠A=80°，∠B=90°，∠C=120°，∠F=90°，∠G=120°，∠H=70°，四邊形ABCD與四邊形EFGH相似嗎？
　
錯解：在四邊形ABCD中，由∠A=80°，∠B=90°，∠C=120°，
　得∠D=70°；
　在四邊形EFGH中，
　由∠F=90°,∠G=120°，∠H=70°，
　得∠E=80°.
　∴
∠A=∠E，∠B=∠F，∠C=∠G，∠D=∠H.
　∴
四邊形ABCD與四邊形EFGH相似.
　
剖析：
不能準確地由相似形的定義判定相似.要判定兩個圖形是否相似，要看對應角是否相等，對應邊是否成比例，二者缺一不可.
　
正解：在四邊形ABCD中，由∠A=80°，∠B=90°，∠C=120°，得∠D=70°；
　在四邊形EFGH中，由∠F=90°∠G=120°，∠H=70°，得∠E=80°.
　∴
∠A=∠E，∠B=∠F，∠C=∠G，
　∠D=∠H，但是根據已知條件無法判定對應邊是否成比例.
　∴
四邊形ABCD與四邊形EFGH不一定相似.
三.應用性質解題時出現的失誤
　
例3
如圖，在△ABC中，DE∥BC，，求AD∶DB.
　　錯解1：∵，
　∴
AD∶DB=1∶2.
　
錯解2：∵，
　∴.
　∴
AD
∶
AB=1∶25.
　∴
AD
∶
DB=1∶24.
　
剖析：（1）
忽略相似三角形的面積比等于相似比的平方；
　（2）有時錯認為在由面積求相似比時，不開方反而平方；
?。?）
不相似的圖形也用了相似的性質進行推導.
　
正解：∵，
　∴.
　∵
△ADE∽△ABC，
　∴
∴
四.
對應關系考慮不清出現的失誤
　
例4
在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′=45°，∠B=26°，∠B′=109°，它們是否相似？
錯解：∵∠B≠∠B′，∠A=∠A′，∴△ABC與△A′B′C′不相似.
剖析：三角形的對應關系考慮不清.
正解：∵∠A=45°，∠B=26°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=109°.
∴∠C=∠B′.
又∵∠A=∠A′，
∴△ABC∽△A′C′B′.
　
五.對應關系考慮不全面造成失誤
　
例5
如圖（1），已知∠C=90°，D是AB上一點，在AC或BC上找一點E，使新形成的三角形與Rt△ABC相似，則滿足條件的點E有幾個？
　
錯解：如圖（2），過D作DE⊥AC于E，則△ADE∽△ABC，或過D作DE⊥BC于E則△BDE∽△BAC.
滿足條件的點E共有2個.
　
剖析：本題錯誤的原因主要是考慮不全面，遇到此類問題一定要認真分析，多加思考.
　
正解：除上述兩種情況外，過D做AB的垂線，滿足條件的DE與AC也有一個交點E，如圖（3），
　滿足條件的點E共有3個.
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1測量旗桿的高度
我們根據“相似三角形對應邊成比例”的性質可以解決許多與“計算高度、計算距離、設計測量方案”等有關的問題，課本中介紹了幾種利用相似三角形來測量旗桿高度的方法，下面我們分類例析.
一、利用影子
1.用影子法測高的基本原理
由于太陽離地球非常遙遠，而太陽的體積又遠比地球的體積大得多，因此人們通常都把太陽的光線看作平行線，在這一前提下我們就可利用太陽光下的影子來測量物體的高度.
2.用影子法測高的基本方法
如圖1所示，
因為光線BC∥AE，所以∠CBD=∠E.因為∠D=∠ABE=90°，所以△ABE∽△CDB.所以
3.測量數據：身高AB，身影BE，物影BD.最后將測量的結果代入，即求解可得物高.
二、利用標桿
1.工具：標桿，卷尺或測繩.
2.方法：如測量示意圖（圖2）.
3.測量原理：如圖2所示，
因為CD∥AB，
所以∠FHD=∠FGA，
∠FDH=∠A，
所以△AGF∽△DHF.
所以
其中FH=CE，FG=BE.所以可求AB=AG+EF.
4.測量數據：眼睛與地面的距離EF，標桿的長度CD，人與標桿的距離CE，人與物體的距離BE.
5.注意事項：觀測者的眼睛必須與標桿頂端，物體的頂端“在一條直線上”.
三、利用鏡子
1.工具：鏡子一面，卷尺或測繩.
2.測量方法：如測量示意圖（圖3）所示.
3.方法原理：如圖3，
因為∠ACB=∠ECD，
∠B=∠D=90°，
所以△CBA∽△CDE.
所以，再由測得的數據求得高度.
4.測量數據：眼睛到地面的距離DE，鏡面到腳底的距離CD，鏡面到物體根部的距離BC.
說明：學習相似三角形的應用時，應先定好活動課題、活動方式，準備好活動工具，然后依據相似三角形的有關知識確定活動步驟，并做好數據的收集與整理，最后根據測量結果求出問題的結論，從而進一步加深對相似三角形的理解．
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2平行線的作法
1、已知：如圖，△ABC中，D為BC的中點，過D作任意直線交AC于E，交BA的延長線于F，求證：
過A作AG∥BC交FD于G，可得兩個基本圖形
2、已知：E是△ABC的邊AC的中點，D是AB邊上任意一點，DE與BC的延長線交于點F
求證：
證法介紹：
過A作平行線
（2）過B作平行線
（3）過C作平行線：
CG=AD
AD=GD
（4）過E作平行線
=
=
因此，選擇最佳的求解方法，依賴于對知識的理解，對基本圖形的識別和對解題規律的總結和歸納。
3、已知，如圖，△ABC中，E
( http: / / www.21cnjy.com )、F分別為BC的三等分點，D為AC的中點，BD分別與AE、AF交于點M、N，求BM:MN:ND
（5:3:2）
解法一：過A作AG∥BD交CB延長線于G
解法二：過E、F作BD的平行線
解法三：過E、F作AC的平行線
解法四：連DF，過D作DG∥BC
4、△ABC中，AD平分∠BAC，求證：
過C作CE∥AD
過D作DE∥AC
利用面積關系
過C作CE∥AB
5、如圖，四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，過點O作EG∥BC交AB于E，交CD于F，交AD的延長線于G
求證：OG2=CF·GE
∴
∴判定三角形相似
1．平行線型：在圖1、圖2中，若DE//BC，則△ADE∽△ABC.我們稱這兩種圖形為平行線型的基本圖形.更形象地說，圖1是“A”型圖，圖2是“X”型圖，它們的特點是對應邊、對應角、對應頂點比較明顯.
例1　如圖3，已知OM∶MP＝ON∶NR，試說明△PQR為等腰三角形．
解：本題中出現的比例式中有三條線段OM、MP、ON構成一個不完整的平行線型相似三角形，因此，可通過N作NS//MP交OR的延長線于S，這樣就構成圖1的平行線型相似三角形，即△OMP∽△ONS，則.由已知得，所以，故NS=NR.同理，由圖2可判定△RNS∽△RQP，所以.故QR=QP，所以△PQR為等腰三角形.
2.相交線型：在圖4、圖5、圖6中，若∠1=∠B，則△ADE∽△ABC.我們稱這三種圖形為相交線型的基本圖形.它們的特點是有一個公共角或等角.
例2　如圖7，已知△ABC中，∠C＝90°，D、E分別是AB、AC上的兩點，且AD·AB=AE·AC，則ED⊥AB，為什么？
解：由于△ABC和△AED有一對公共角∠A，且AD·AB=AE·AC，即，所以△ABC∽△AED.所以∠ADE=∠C=90°.因此ED⊥AB.
　
3．旋轉型：在圖8中，若∠1=∠2，∠B=∠D，則△ADE∽△ABC.我們稱這種圖形為旋轉型的基本圖形.
　　例3　如圖9，已知∠BAD＝∠CAE＝∠ODC，則△ABC與△ADE相似嗎？為什么？
分析：本題的條件只有角之間的關系，所以可考慮運用“兩角對應相等的兩個三角形相似”來判定．
解：因為∠BAD＝∠CAE，
所以∠BAD＋∠DAC＝∠CAE＋∠DAC，
即∠BAC＝∠DAE．
因為∠ODC＝∠CAE，∠DOC＝∠EOA，
所以180°－（∠ODC＋∠DOC）＝180°－（∠CAE＋∠EOA），即∠C＝∠E．
所以△ABC∽△ADE.
　
小結：解決相似三角形問題，從識別圖形的角度來看，就是要善于排除干擾、抓住本質，從復雜的圖形中分解出上述基本圖形.
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1幫你把好知識關
為了幫助同學們更好地掌握本期的內容，下面就本期內容涉及的知識點進行詳細講解，供同學們學習時參考．
知識點一：線段的比
例1　線段a，b，c，d的長度如下，試判斷它們能否組成比例線段.
（1）a=4
cm，b=3
cm，c=10.5
cm，d=14
cm.
（2）a=8
cm，b=0.05
m，c=0.6
dm，d=10
cm.
分析：將四條線段的長度化為
( http: / / www.21cnjy.com )同一單位后，再按由小到大或由大到小的順序排列起來，然后比較第一與第二，第三與第四兩對線段長度的比是否相等或比較最大和最小的兩條線段長度的乘積與另兩條線段長度的乘積是否相等.
解：（1）先把四條線段的長度按從小到大
( http: / / www.21cnjy.com )的順序排列b=3
cm，a=4
cm，c=10.5
cm，d=14
cm，再求第一與第二，第三與第四兩對線段長度的比.因為b∶a=3∶4，c∶d=10.5∶14=3∶4，所以b∶a=c∶d.故這四條線段能組成比例線段.
（2）把四條線段的
( http: / / www.21cnjy.com )長度化成同一單位，則a=8
cm，b=0.05
m=5
cm，c=0.6
dm=6
cm，d=10
cm.并按從小到大的順序排列為b，c，a，d.因為bd=5×10=50，ac=6×8=48.所以bd≠ac.故這四條線段不能組成比例線段.
跟蹤訓練1　已知線段a=0.4
m，b=30
cm，c=20
cm，d=0.6
m.試判斷這四條線段是否成比例線段.
知識點二：比例的三條性質
1．依據基本性質求值
例2　已知（x+y）∶（x-y）=5∶2，則x∶y=_________.
解析：根據比例的基本性質，得2（x+y）=5（x-y）.
所以2x+2y=5x-5y.即3x=7y.故x∶y=7∶3.
跟蹤訓練2　已知（x＋2y）∶（x－y）＝5∶2，則x∶y=___.
2.依據合比性質求值
例3　已知
( http: / / www.21cnjy.com )，則
( http: / / www.21cnjy.com )=______________.
解析：由比例的合比性質可得
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com ).
跟蹤訓練3　已知
( http: / / www.21cnjy.com )，求
( http: / / www.21cnjy.com )的值.
3.依據等比性質求值
例4　若
( http: / / www.21cnjy.com )（a+c≠0），則
( http: / / www.21cnjy.com )=______.
解析：由比例的等比性質可知
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com ).
跟蹤訓練4　若
( http: / / www.21cnjy.com )（m+x≠0），則
( http: / / www.21cnjy.com )=____.
答案
四條線段成比例線段
2．3∶1
3．－
( http: / / www.21cnjy.com )　
4．
( http: / / www.21cnjy.com )你會判定兩個三角形相似嗎
相似三角形的判定方法可由全等三角形的判定方法類推，但比判定全等三角形更靈活，圖形的變換也更復雜，為了幫助同學們更好地學好三角形相似的判定方法，現歸納如下.
三角形相似的判定方法一：兩角對應相等的兩個三角形相似.
說明：這種方法在運用時只需求出兩個角對應相等，就可判定這兩個三角形相似，推理時，關鍵是尋找對應角.一般地，在判定過程中要特別注意“公共角”、“對頂角”、“同角（或等角）、同角（或等角）的余角（或補角）”都是相等的.
例1
下列各組圖形可能不相似的是（
）
A.各有一個角是45°的等腰三角形
B.各有一個角是60°的等腰三角形
C.有一個銳角相等的兩個直角三角形
D.各有一個角是95°的兩個等腰三角形
分析：兩個三角形是否相似，關鍵是看是否有兩個角對應相等.A中的45°角可能為頂角，也可能為底角，故A中的兩個等腰三角形可能不相似；B中是有一個角為60°的等腰三角形，則該三角形為等邊三角形，顯然等邊三角形都是相似三角形；C中有一個銳角相等，則這樣的直角三角形中的三個角就都相等，故C中的兩個三角形相似；D中的95°只能為頂角，故這樣的兩個等腰三角形顯然相似.
解：應選A.
點評：有兩個角相等，那么這兩個三角形相似，這是判定兩個三角形相似最常用的方法.事實上，依據三角形的內角和是180°，第三個角也相等，故此判定條件是三個角對應相等，從而與相似三角形的定義銜接起來.
三角形相似的判定方法二：三邊對應成比例的兩個三角形相似.
說明：這種方法類似于全等三角形判定的“SSS”定理.
例2
已知△ABC的三邊長分別為1，，，△DEF的三邊長分別為，，2，試判斷△ABC是否與△DEF相似.
分析：因為已知兩個三角形的三邊長，所以可考慮根據三邊間的關系來判定是否相似.
解：因為，所以△ABC∽△DEF.
點評：已知兩個三角形的大小，要判斷它們是否相似，關鍵是通過計算來說明三邊對應成比例.在相似三角形中，最短（長）邊與最短（長）邊是對應邊；所以在判定兩個三角形的三邊是否成比例時，應先確定邊的大小，以便找準對應關系.
兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似.
說明：這種方法類似于全等三角形判定的“SAS”，要特別注意“夾角”的含義.
例3
如圖1，已知△ABC的邊AC上的一點，根據下列條件，可以得到△ABC∽△BDC的是（
）
A.AB·CD=BD·BC
B.AC·CB=CA·CD
C.BC2=AC·DC
D.BD2=CD·DA
分析：有兩邊對應成比例，并不能說明兩個三角形相似，若再知道成比例的兩邊的夾角相等，則這兩個三角形才相似.本題中，∠C是△ABC與△BDC的公共角，關鍵是找出角∠C的兩邊對應成比例，即.
點評：此判定中的角必須是成比例兩邊的夾角，否則兩個三角形不一定相似.如圖2，易判定△ABC∽△A1B1C1，而在△ABC和△A2B2C2中，雖然有，∠C=∠C2=90°，但是△ABC和△A2B2C2并不相似.
小結：判定三角形相似，通常按下列思路分析：（1）若有一組角相等，可再找一組角相等或再找這組角的鄰邊對應成比例.（2）若已有兩組邊對應成比例，可再找其夾角相等或第三組邊對應成比例.但要注意找準對應關系.
A
C
B
8
6
4
3
4
3
A1
B1
C1
A2
B2
C2
圖2
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2幫你認識相似多邊形
定義：
各角都相等，各邊對應成比例的兩個多邊形叫做相似多邊形．
注意：這個定義有兩個功能：一方面，如果
( http: / / www.21cnjy.com )兩個多邊形的角都
對應相等，且邊都對應成比例，我們就可以判定這兩個多邊形相似；另一方面，如果兩個多邊形相似，那么它的對應角一定相等，對應邊一定成比例，這是相似多邊形的本質特征，用它可以解決一些有關問題．
相似多邊形的表示與相似比：
相似多邊形的表示方法：若五邊形ABCDE與五邊形相似，記作若五邊形ABCDE∽五邊形．
相似多邊形對應邊的比叫做相似比．
注意：（1）“多邊形”的
( http: / / www.21cnjy.com )“多”字包括3個或3個以上的所有自然數，所以有了相似多邊形的定義，就不必再重新定義“相似三角形”、“相似四邊形”……．
（2）我們前面學習過圖形的全等，其實是相似的一個特例，全等圖形是相似比為1的相似圖形．等比性質的具體內容？
難易度：★★★★★
關鍵詞：等比性質
答案：
如果
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )=···=
( http: / / www.21cnjy.com )（b+d+···n≠0），那么
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com ).
【舉一反三】
典題：已知
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )=k，求k值。
思路導引：由等比性質可直接求k值，對于含字母的分式問題要討論分母是否為0.
標準答案：解：當x+y+z≠0時，由
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )=k，得
( http: / / www.21cnjy.com )=k，所以k=2；當x+y+z=0時，x+y=-z，即k=
( http: / / www.21cnjy.com )=-1.古代文獻中的相似三角形問題
古塔測高
有一座古塔，不知有多高，測得影長為11.3米?，F將一長為0.8米的竹竿直立，使其影子的末端與塔影的末端重合，測得竹竿的影長為0.2米。求塔高。（圖2）
這個例子源于古希臘哲學家泰勒斯測量金字塔高度的傳說以及歐幾里得《光學》中對物體高度的測量。
隔河測距
在A和B之間有一條河。在BA延長線上取一點C，作BC的垂線AD和CE，點D位于BE上。測得AC=5米，CE=3.3米，AD=3米。求AB之間的距離。
這個問題源于古希臘海倫《Dioptra》中的間接測量問題。
推求邑方
今有邑方不知大小，各開中門。出北門三十步有木。出西門七百五十步見木。問：邑方幾何？
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1典型例題：平行線分線段成比例定理
平行線分線段成比例是相似三
( http: / / www.21cnjy.com )角形學習的基礎，但學習的策略是相同的，我認為需要掌握一定數量的基本圖形，需要有學習者個單獨的獨特的解答策略。而很多同學往往都只是用原有的方法解決后來學習的內容，這對幾何學習，尤其是相似三角形的學習是相當不利的。下面介紹一些平行線分線段成比例的基本習題。
例1（1）已知，則
=

（2）如果，那么的值是（
）
A．7
B．8
C．9
D．10
分析
本考題主要考查比與代數式比的互換.
第（1）小題可將代數式比的形式轉化成積的形式：
，整理后再轉化成比的形式，便有
對于第（2）小題，可連續運用兩次等比定理，得出，即，其比的比值為9，故選C，但這里需要注意的是：第一，等比定理本身隱含著一個約束條件——分母為零；第二，“比”與“比值”是兩個不同的概念，比是一種運算，而比的比值是運算的結果.
例2、已知：1、
、2三個數，請你再添上個數，寫出一個比例式
.
分析
這是一道開放型試題，旨在考查學生的發散思維能力，由于題中沒有明確告知求1、
、2的第四比例項，因此，所添的數可能是前三數的第四比例項，也可能不是前三數的第四比例項，這樣本考題便有多種確定方法，如從
可求出
，便有比例式
或
，從
，又能求出
，也得到比例式
等等.
例3
如下圖，BD=5：3，E為AD的中點，求BE：EF的值.
分析
應設法在已知比例式BD：DC與未知比例式BE：EF之間架設橋梁，即添平行線輔助線.
解
過D作DG∥CA交BF于G，
則
中點，DG∥AF，
例
4
如下圖，AC∥BD，AD、BC相交
于E，EF∥BD，求證：
分析
待證式可變形為.依AC∥EF∥BD，可將線段的比例式與
化歸為同一直線AB上的線段比而證得.
證明
AC∥EF∥BD，


.
說明
證明線段倒數和的關系的常見方法是先變形為證線段比的和為一定值，然后化歸為同一直線上的線段比.
例5
、已知a、b、c均為非零的實數，且滿足求
的值.
解
設
=k

則
三式相加，得
當
時，
有
時，則
，這時

原式=
例6
如下圖，
中，D是AB上一點，E是
內一點，DE∥BC，過D作AC的平行線交CE的處長線于F，CF與AB交于P，求證BF∥AE.
證明
DE∥AC，


∥
，
.

.

BF∥AE.生活中的位似圖形
幻燈機
幻燈機是教師常用的教具之一，它能把精致的圖片投到銀幕上?；脽魴C的工作原理如圖1，光源A就是位似中心，它發出的兩條光線與幻燈片上圖形的兩點和銀幕上圖形的對應兩點組成相似的△ABC和△ADE。如果給出某些量的數值，還可以計算其它量。
例如給出如圖2的數據，可以計算出銀幕上圖案的高度。
解析：設DE=xcm，由題意，知
△ABC∽△ADE。根據相似三角形的性質，得。解得x=90（cm）。
照相機
照相機能夠把大家美好的瞬間及時拍錄下來，如圖3
就是它的工作原理圖。兩條光線與相機透鏡的交點A就是位似中心，底片上的點B、C和對應大樹上的點E、D以及點A組成的
△ABC和△AED是相似三角形。
例如若底片BC的長度是3cm，底片與相機透鏡的距離是4cm，大樹高石15m，你能求出相機透鏡與大樹的距離嗎？（答案：20cm）
小孔成像
小孔成像是光的直線傳播中的典型現象。用一根蠟燭通過小孔成像的原理在暗箱里成一個倒立的像，如圖4所示。小孔O是位似中心，兩條光線AD和BC形成了兩個相似三角形△OAB和△ODC。
例
在小孔成像問題中，
根據如圖4所示，若O到AB的距離是18cm，O到CD的距離是6cm，則像CD的長是物AB長的
（
）
（A）3倍.
（B）
（C）
（D）不知AB的長度，無法判斷
解析：由圖形知，△OAB和△ODC是位似圖形，由位似圖形的性質，知AB和CD的比是=，所以像CD的長是物AB長的，故選C。
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2如何綜合應用相似三角形的性質與判定解題？
難易度：★★★
關鍵詞：相似三角形
答案：
解決此類題目的一般思路是先運用相似三角形的判定證得兩三角形相似，再依據相似三角形的性質證出等積式或比例式成立。
【舉一反三】
典例：已知：如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，過點D作AC的平行線DE，交BA的延長線于點E．求證：（1）△ABC≌△DCB；（2）DE·DC＝AE·BD．
思路引導：一般來講，解決本題般思路是先運用相似三角形的判定證得兩三角形相似，再依據相似三角形的性質證出等積式或比例式成立。
標準答案：（1）∵四邊形ABCD是等腰梯形，∴AC＝DB，
∵AB＝DC，BC＝CB，∴△ABC≌△BCD，
（2）∵△ABC≌△BCD，∴∠ACB＝∠DBC，∠ABC＝∠DCB，
∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∠EAD＝∠ABC，
∵ED∥AC，∴∠EDA＝∠DAC，
∴∠EDA＝∠DBC，∠EAD＝∠DCB，
∴△ADE∽△CBD，
∴DE︰BD＝AE︰CD，∴DE·DC＝AE·BD．

PAGE
1
中國極育出版網
www.《探索三角形相似的條件》典型例題
例題1
已知：如圖，在中，是角平分線，試利用三角形相似的關系說明．
例題2
如圖，下列每個圖形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它們用字母表示出來，并簡要說明識別的根據．
例題3
從下面這些三角形中，選出相似的三角形．
例題4
格點圖中的兩個三角形是否是相似三角形，說明理由．
例題5
根據下列各組條件，判定和是否相似，并說明理由：
（1）
．
（2）．
（3）．
例題6
如圖，D點是的邊AC上的一點，過D點畫線段DE，使點E在的邊上，并且點D、點E和的一個頂點組成的小三角形與相似．盡可能多地畫出滿足條件的圖形，并說明線段DE的畫法．
例題7．如圖，在中，，，；在中，，，，試判斷這兩個三角形是否相似.
參考答案
例題1
分析
有一個角是65°的等腰三角形，它的底角是72°，而BD是底角的平分線，∴，則可推出∽，進而由相似三角形對應邊成比例推出線段之間的比例關系．
證明
，∴．
又平分，∴．
∴，且∽，∴，
∴，∴．
說明
（1）有兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似，這是判斷兩個三角形相似最常用的方法，并且根據相等的角的位置，可以確定哪些邊是對應邊．（2）要說明線段的乘積式，或平方式，一般都是證明比例式，，或，再根據比例的基本性質推出乘積式或平方式．
例題2
解答
（1）∽
兩角相等；
（2）∽
兩角相等；
（3）∽
兩角相等；
（4）∽
兩邊成比例夾角相等；
（5）∽
兩邊成比例夾角相等；
（6）∽
兩邊成比例夾角相等．
例題3
解答
①、⑤、⑥相似，②、⑦相似，③、④、⑧相似
例題4
分析
這兩個圖如果不是畫在格點中，那是無法判斷的．實際上格點無形中給圖形增添了條件——長度和角度．
解答
在格點中，所以，
又．所以．所以∽．
說明
遇到格點的題目一定要充分發現其中的各種條件，勿使遺漏．
例題5
解答
（1）因為
，
所以∽；
（2）因為，兩個三角形中只有，另外兩個角都不相等，所以與不相似；
（3）因為，所以相似于．
例題6
解答：
畫法略．
例題7．錯解
，
∴與不相似
正解
在與中，
又，
∴
∴∽
說明
判定兩三角形是否相似，不能依圖形的放置方向來考查，而應該按相似三角形的判定方法仔細判定，錯解中沒有將夾已知角的長邊與長邊相對應，顯然是錯誤的.
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1黃金分割在實際生活中有哪些應用？
難易度：★★★★★
關鍵詞：黃金分割-應用
答案：
人體上肢與身高的比近似等于0.618，看上去會更協調；一些建筑的寬和長按照黃金比來修建的。
【舉一反三】
典題：在人體軀干與身高的比例上，肚臍是理想的
( http: / / www.21cnjy.com )黃金分割點，即比值越接近0.618越給人以美感．李老師腳底到肚臍的長度是0.97m，她的身高為1. 60 m，她應選擇多高的高跟鞋看起來會更美？
思路導引：按照黃金比計算，注意在增加了腳底到肚臍的長度的同時人的整個身高在增加。
標準答案：解：設她應選擇xm高跟鞋看起來會更美，根據題意，得

( http: / / www.21cnjy.com )=0.618
解得x≈0.049(m)
0.049m=4.9cm
所以，李老師應選擇4.9cm的高跟鞋看起來會更美走進中考話相似
相似形的重要內容，也是各地中考命題的一個重要命題內容．近年各地的中考命題中就出現了許多關于這部分知識的考題，試題設計新穎、開放，背景公平，從不同的角度、多層面地考查了學生對這部分知識掌握的程度，現選取幾例予以說明，以幫助大家了解這部分知識在中考中的考查情況、更好地學好這部分知識．
　　一、根據要求畫相似圖形
　　例1　（山西省實驗區）如圖1（1），平移方格中的圖形，使點A平移到A′處，畫出放大一倍后的圖形．（所畫圖中線段必須借助直尺畫直，并用陰影表示）
　　析解：本題首先明確將圖形放大一倍，即要求畫出相似比為2的相似圖形，據此確定所畫圖形與原圖形的對應線段的長度以確定各頂點的位置，再連接對應點即可畫出符合要求的圖形．如圖１（2）所示．
　　二、與比例線段有關的計算問題
　　例2?。暇┦校┰诒壤邽?∶40
000的工程示意圖上，將于2005年9月1日正式通車的南京地鐵一號線（奧體中心至邁皋橋段）的長度約為54.3cm，它的實際長度約為（　?。?br/>　　A．0.217
2km
B．2.172km
C．21.72km
D．217.2km
　　析解：根據成比例線段的定義可知，則由此求得實際長度為21.72km，故選C．
　　例3?。愃校┮阎?，則_______．
　　析解：因，將已知代入該式，得　．
　　三、三角形相似的條件
　　例4?。ǜ＝ㄊ●R尾區）如圖2，D、E分別是△ABC的邊AC、AB上的點，請你添加一個條件，使△ADE與△ABC相似．你添加的條件是________．
　　
析解：由圖知∠A=∠A，若使△ADE與△ABC相似，根據相似三角形的判定定理知只需再添加∠AED=∠ACB或或∠ADE=∠ABC三條件之一即可．
　　四、相似形的性質
例5?。▽幭撵`武市、山西曲沃縣實驗區）如圖3，在等邊三角形中，點D、E分別在AB、AC邊上，如果△ADE∽△ABC，AD∶
AB=1∶
4，BC=8cm，那么△ADE的周長等于（　?。?br/>　　A．2cm
B．3cm
C．6cm
D．12cm
析解：因△ABC為等邊三角形，且BC=8cm，則△ABC的周長=24cm，又△ADE∽△ABC，根據相似形的性質可得△ADE與△ABC的周長之比=1∶4，則由此求得△ADE的周長=6cm．故選C．
PAGE
1國王的詔書
金字塔是古埃及國王為自己建造的巨大陵墓。塔基呈四方形，越往上去越狹窄，直到塔頂。從四面看，塔都像我國漢字的“金”字，因此，我國稱為“金字塔”。
埃及金字塔建筑群，包括大大小小的金字塔七十多座。其中最大的一座金字塔是國王胡夫的陵墓，高一百四十六米半，底邊每邊各長二百三十多米，占地五萬六千多平方米。全塔大約用了二百三十萬塊經過磨制的巨大石碑，平均每塊大約重二噸半。這座大金字塔外觀雄偉，裏面有結構復雜的墓室，是世界連筑史上的奇跡。在四千多年前條件極差的情況下，古埃及人就建造了這樣博大壯觀、均稱優美、做工精細的巨型建筑，真令人贊嘆！因而，有人懷疑：這些奇跡是不是“天外來客"
創造的？
我們深信古埃及人是靠了幾何的力量，才完成這世界上罕有的巨大建筑的.
不僅建造金字搭的技術中，表現了古埃及人的非凡的數學天才；而且，它本身的許多數據，也說明了古埃及人的數學才華，巧奪天工，比如，胡夫金字塔底面周長365米，恰好是一年的天數；周長乘以2，正是赤道的時分度；塔高乘以10九次方“，正是地球到太陽的距離；周長除以塔高的2倍，正是圓周率；塔的自重乘以10的15次方，正好是地球的重量；塔裏放置的棺材內部尺寸，正好是幾千年后希臘數學家畢達哥拉斯發現的畢達哥拉斯數。
兩千六百多年前，埃及有個國王，想知道已經給他蓋好了的大金字塔的確實高度，于是，命令祭司們去丈量。可是，沒有一個祭司知道該怎樣測量，往這個問題面前，祭司們個個束手無策。顯然，人是不可能爬到那麼高大的塔頂上去的；即使爬上去了，由于塔身是斜的，又怎樣來測量呢？一時，金字塔的高度成了一個難題。國王一氣之下，殺死了幾個祭司；同時懸賞求解答。
有一個叫法圼斯的學者，看到國王的詔書后，決心解決這個難題。他想了好幾個解題的方案，但都行千通。失敗并沒有使他灰心。法圼斯索性來到外面，一邊踱步，一邊思索解決的辦法，以致撞到樹上。于是，他轉了個彎，又走下去。太陽把他的影子投到地上，他走到那里，影子也跟到哪里。這時，他突然看到自己的影子，于是想：是不是可以請太陽來幫忙呢？"
在古埃及人的眼里，太陽是萬能的，太陽能給人溫暖，能幫助人們確定方向"法圼斯眼前一亮，他清楚記得，早上和傍晚每個物體都拖著一個長長的影子，而中午每個物體的影子都很短…那麼，是不是有一個時刻，物體的影子就等于物體的高度呢？他自言自語起來。
想到這里，法圼斯就找了一根竿子，豎在太陽底下，認真觀察、測量起來。經過幾天的觀察、測量，法圼斯終于證實了自己的想法一有一個時候，物體的影子等于物體的高度。于是，他去測量好金字塔底邊的長度，并把數據記下來。然后，他毫不猶豫地揭下了懸掛的詔書。國王得到“有人揭下招字"
的報告后，高興萬分，派人把法圼斯召進王官，盛情款待.一切準備停當后，國王選擇了一個風和日麗的日子，舉行測塔儀式。測塔這天，國王在祭司們的陪同下，和法圼斯一起來到金字塔旁。看熱鬧的人黑壓壓一片，喧嘩奢，擁擠著，他們等待著莊嚴的一刻到來.法圼斯站在測塔指揮臺上，儼然像個天使，一動也不動地注視著自己的影子?？纯磿r間快到了，太陽光給每一個在場的人和巨大的金字塔都投下了黑黑的影子。當法涅斯確定他自己的影子已等于他的身高時，便發出了測塔的命令。這時，助手們立即測出了金字塔的陰影CD的長。接著，法圼斯十分準確地算出了金字塔的高度，最后，他還把測量金字塔高度的秘密告訴大家。場上，發出一陣熱烈的歡呼聲.顯然，法圼斯利用相似三角形的原理測得了塔高。在法圼斯以前，還沒有人知道這個原理呢！法圼斯第一次發現、利用這個原理。在那個時代，這是一個偉大的創舉！
在這個基礎上，法圼斯進一步研究，得出一個法則：在任意兩個對應角相等的三角形中，對應邊的比率也相等。從而，找到了在任何季節,在任何時候都能測塔高的方法.
PAGE
1教你畫位似圖形
　　位似圖形是特殊的相似圖形，而位似圖形的畫法要比相似圖形的畫法容易，因此，相似多邊形的畫法通常是通過畫位似多邊形來進行替代.下面以四邊形為例進行說明.
　　例　已知四邊形ABCD，畫四邊形A′B′C′D′∽四邊形ABCD，且相似比為k（k>1）.
　　方法一：位似中心在圖形內部.
　　如圖1所示，（1）在四邊形ABCD內部任取一點O；
　?。?）以點O為端點分別作射線OA、OB、OC、OD；
　?。?）分別在射線OA、OB、OC、OD上取點A′、B′、C′、D′，使OA′∶OA＝OB′∶OB＝OC′∶OC＝OD′∶OD＝k（k>1）；
　　（4）連接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′.
　　則四邊形A′B′C′D′即為所求作的四邊形.
　　方法二：位似中心在圖形外部.
　　如圖2所示，（1）在四邊形ABCD外部任取一點O；
　?。?）連接OA、OB、OC、OD；
（3）分別在OA、OB、OC、OD的反向延長線上取點A′、B
′、C
′、D
′，使OA′∶OA＝OB′∶OB＝OC′∶OC＝OD′∶OD＝k（k>1）；
　?。?）連接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′.
　　則四邊形A′B′C′D′即為所求作的四邊形.
　　方法三：位似中心在圖形的一邊上.
　　如圖3所示，（1）在四邊形ABCD的邊AB上任取一點O；
　?。?）分別延長OA、OB，連接OC、OD并延長；　
　　（3）分別在OA、OB、OC、OD的延長線上取點A′、B′、C′、D′使OA′∶OA＝OB′∶OB＝OC′∶OC＝OD′∶OD＝k（k>1）；
　?。?）連接B′C′、C′D′、D′A′.
　　則四邊形A′B′C′D′即為所求作的四邊形.
　　小結：綜上所述，已知一個圖形，畫它的位似圖形關鍵有兩點：第一，確定位似中心；第二，確定位似比（即相似比）.若題中沒有明確規定，則可以自由確定，其中位似中心可以是隨意的點，位似比可以選擇一個適當的數；若題中有限制條件，則根據要求進行，在確定位似比時，要注意的是已知原圖與新圖的相似比，還是已知新圖與原圖的相似比，以確定是將原圖放大還是縮小.
跟蹤訓練　如圖所示，請你作一個與△ABC位似的縮小圖形△A′B′C′，使△A′B′C′與△ABC的位似比為1∶2.
答案
作圖略.
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1合比性質的具體內容？
難易度：★★★
關鍵詞：合比性質
答案：
如果
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )，那么
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com ).
【舉一反三】
典題：已知
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )，那么
( http: / / www.21cnjy.com )=＿＿。
思路導引：根據合比性質，
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )，得
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )。
標準答案：
( http: / / www.21cnjy.com ).如何解決求比值問題？
難易度：★★★★★
關鍵詞：線段的比-求比值
答案：
此問題分為兩類：（1）題中給出線段的長度
( http: / / www.21cnjy.com )，可直接求相對應線段的比值；（2）如果沒有直接給出線段的長度，可利用一個未知量表示出其它未知量，再求比值。
【舉一反三】
典題：已知三個不等于零的常數x、y、z，且x+2y-z=0,2x-3y+z=0,求x:y:z的值。
思路導引：根據已知條件列關于x、y、z的方程，用x表示出y、z，再確定x:y:z的值。
標準答案：由已知得
( http: / / www.21cnjy.com )解得y=3x，z=7x，所以x:y:z=x:3x:7x=1:3:7.相似三角形的性質用處多
　　學完了相似三角形后，同學們都知道，若兩個三角形相似，則這兩個三角形的對應邊成比例、對應角相等.根據相似三角形的這兩個性質，我們可以解決許多數學問題，現舉例說明如下．
一、說明兩個角相等
例1　如圖，BD，CE是△ABC的高，試說明：∠AED=∠ACB.
分析：要說明∠AED=∠ACB，而∠AED和∠ACB分別在△ADE和△ABC中，從而可以考慮說明△ADE∽△ABC.因為∠A=∠A，則需要說明，要得到這個條件只需說明△ABD∽△ACE即可.
解：由已知可得∠ADB=∠AEC=90°，∠A=∠A，所以△ABD∽△ACE.
所以，即，
又∠A=∠A，所以△ADE∽△ABC.
所以∠AED=∠ACB.
跟蹤訓練1　如圖，△ABC中，E，F分別是AB，AC邊上的兩點，且AE＝1
cm，AF=2
cm，EB=2
cm，FC=4
cm，試說明：∠AFE=∠C.
二、說明線段的積相等
例2　如圖，在平行四邊形ABCD中，E是CB延長線上一點，DE交AB于F，試說明：AD·AB=AF·CE.
分析：要說明AD·AB=AF·CE，即說明，這時由 荀ABCD的對邊相等，對邊平行，既可以尋找到相似三角形，又可以找到等線段的代換，從而問題得以解決.
解：在
ABCD中，因為AB//DC，所以∠CDE=∠BFE=∠AFD.又∠A=∠C，所以△ECD∽△DAF.所以.又CD=AB，所以.所以AD·AB=AF·CE.
跟蹤訓練2　如圖，∠ABC＝∠ADE，試說明：AB·AE＝AC·AD．
答案
1.解：因為，，所以.又因為∠EAF=∠BAC，所以△AEF∽△ABC.所以∠AFE=∠C.　
2．解：因為∠ABC=∠ADE，∠A是公共角，所以△ABC∽△ADE.所以.所以AB·AE＝AC·AD.
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2平行線等分線段定理
一、知識點

1.
掌握平行線等分線段定理及其推論.

2.
會利用等分點作平行線，轉化成與比例相關的問題.
二、例題分析
第一階梯
[例1]已知：在△ABC中，D是AC的中點，DE∥BC交AB于點E，EF∥AC交BC于點F.求證：BF=CF.
提示：

（1）由已知條件可得幾個中點？有幾條平行線？

（2）平行線等分線段定理及推論是如何敘述的？

（3）此題有幾種方法證明？請比較一下其方法之間的聯系？
參考答案：

證明：在△ABC中，∵D是AC的中點，DE∥BC.

∴E是AB的中點.

（經過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線必平分第三邊）.

又∵EF∥AC，交BC于F.


∴F是BC的中點，即BF=FC.
說明：

（1）在三角形中，給了一邊的中點和平行線，根據平行線等分線段定理的推論2，可得出平行線與另一邊的交點即是中點.

（2）此題也可以利用平行四邊形和全等形來證明，但麻煩.
[例2]求證在直角梯形中，兩個直角頂點到對腰中點的距離相等.

已知：如圖在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，E是AB邊的中點，連結ED、EC.求證：ED=EC.
提示：

（1）對一個命題進行證明，首先要分清什么？再根據題意如何？

（2）在梯形中，若已知一腰的中點，一般過這點作什么樣的輔助線即可得到另一腰的中點.

（3）請總結一下利用平行線等分線段定理及推論時所必備的條件和所得的結論分別是什么？
參考答案：

證明：過E點作EF∥BC交DC于F.

∵在梯形ABCD中，AD∥BC.

∴AD∥EF∥BC.

∵E是AB的中點.

∴F是DC的中點（經過梯形一腰中點與底平行的直線必平分另一腰）.

∵∠ADC=90°

∴∠DFE=90°
∴EF⊥DC于F
又F是DC中點

∴EF是DC的垂直平分線

∴ED=EC（線段垂直平分線上的點到線段兩端距離相等）.
說明：

（1）命題證明要正確的理解題意，按題意畫出圖形.再根據圖形，寫出已知和求證.

（2）此題作EF與DC垂直，證EF∥BC也可以.
第二階梯
[例1]在□ABCD中，E和F分別是BC和AD邊的中點，BF和DE分別交AC于P、Q兩點.求證：AP=PQ=QC.
提示：

（1）圖形中可以得到幾條平行線？與結論有關的平行線分別在哪幾個三角形中？被平行線所截線段的位置有何特殊關系？

（2）利用平行線和中點，可以得到三角形哪條邊的中點？

（3）平行四邊形在此題中的作用是什么？如果把平行四邊形改成梯形，結論成立嗎？若改成其它的特殊四邊形呢？
參考答案：

證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，E、F分別是BC、AD邊上的中點.

∴四邊形BEDF是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形定平行四邊形）

∴在△ADQ中，F是AD的中點，FP∥DQ.

∴P是AQ的中點
∴AP=PQ.

在△CPB中，E是BC的中點，EQ∥BP.

∴Q是CP的中點.
∴CQ=PQ.

∴AP=PQ=QC.
說明：

（1）此題兩次利用了E、F是中點的條件.

（2）在利用平行線等分線段定理或推論時要把平行和中點兩個條件擺齊.
[例2]已知：△ABC中，CD平分∠ACB，AE⊥CD于E，EF∥BC交AB于F.求證：AF=BF.
提示：

（1）
E點是DC邊的中點嗎？圖形中E是什么點？直觀上，你覺得圖形
完善嗎？

（2）
如何添加輔助線，使EF與某三角形的一邊平行且E是其中一邊的
中點？

（3）
在三角形中，一般的有角平分線的條件，就可以構選什么圖形？
參考答案：

證明：延長AE交BC于M.
∵CD是∠ACB的平分線，AE⊥CE于E

∴在△AEC與△MEC中


∴△AEC≌△MEC

∴AE=EM

∴E是AM的中點，又在△ABM中FE∥BF.

∴點F是AB邊的中點
∴AF=BF.
說明：

（1）一般情況下，幾何圖形應具有對稱
( http: / / www.21cnjy.com )的內在美，當感覺上圖形有些缺點時，就要添加適當的輔助線，使其完善此題中，AE⊥CE于E，恰在三角形內部，而Rt△AEC又不好用.所以延長AE與BC相交就勢在必行了.

（2）在三角形中，若有角平分線可構造全等三角形，有一邊上的中點，過這點可作平行線.

（3）△AEC與△MEC只能證全等后才能得到AE=EM，在此沒有定理可用.
第三階梯
[例1]已知：如圖以梯形ABCD的對角線AC及腰AD為鄰邊作□ACED，DC的延長線交BE于F.求證：EF=BF.
提示：

（1）梯形的上下兩底具有什么性質？平行四邊形的對角線有什么性質？

（2）如何添加輔助線，再結合條件平行四邊形，得到某條線段的中點呢

（3）此題有幾種構造三角形中點的方法？構造梯形可以嗎？請試一試.
參考答案：

證明：連結AE交DC于O
∵四邊形ACED是平行四邊形

∴O是AE的中點（平行四邊形對角線互相平分）.

∵梯形ABCD

∴DC∥AB

在△EAB中，OF∥AB
又O是AE的中點.

∴F是EB的中點
∴EF=BF.
說明：

（1）證題時，當一個條件有幾個結論時要選擇與其有關聯的結論.

（2）此題可延長EC，在梯形ABCD內構造平行四邊形或以AB、BE、AD的延長線為邊構造梯形也可以得證.
[例2]梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，∠B=60°，AB=BC，E為AB的中點.求證：△ECD為等邊三角形.
提示：

（1）
由條件可知，CE是哪個特殊三角形的什么線段？為什么？∠2的度數是多少？

（2）
在梯形ABCD中，有AB邊的中點E，如何添加輔線后，得到ED=EC？為什么？

（3）
此題不用平行線等分線段定理，還有別的方法嗎？試一試.
參考答案：
證明：連結AC，過點E作EF∥AD交DE于F.

∵梯形ABCD
∴AD∥BC
∴AD∥EF∥BC.

又∵E是AB的中點，
∴F是DC的中點

（經過梯形一腰的中點與底平行的直線平分另一腰）


∵DC⊥BC
∴EF⊥DC

∴ED=EC
（線段垂直平分線上的點和線段兩端點的距離相等）

∴△EDC為等腰三角形.

∵AB=BC
∠B=60°
∴△ABC是等邊三角形

∴∠ACB=60°
又E是AB邊中點
∴CE平分∠ACB

∴∠1=∠2=30°
∴∠DEF=30°

∴∠DEC=60°
又ED=EC

∴△DEC為等邊三角形.
說明：

（1）一般在梯形中給出了一腰
( http: / / www.21cnjy.com )的中點，常添加的輔助線有①過這一點作底邊的平行線，由平行線等分線段定理推論得另一腰的中點；②可延長DE（或CE）與底邊相交，構造全等三角形.

（2）此題不要AB=BC的條件，保留其它條件構造全等三角形也可得證不訪試一試. 平行線分線段成比例的基本圖形
在復雜的幾何題中我們經常會遇到一些性質比較多的常見圖形，在證題過程中起著舉足輕重的作用，我們暫稱它為基本圖形。
（1）平行線分線段成比例的基本圖形：
（2）分解平行線分線段成比例的基本圖形的方法：
由一個比中出現的字母作為結點（為了便于理解，我們不妨將這些點命名為結點），觀察包含結點的圖形，找出基本圖形（A和8字型）。如下圖：
（3）常見的證明方法有：
①
(換比)
②
(換比
換線段)
③
(換比)
8字型
日字型
8字型
8字型
A字型小希帕蒂婭巧測金字塔的高度
希帕蒂婭和她的父親都是古希臘著名的數學家．在父親的悉心指導下，希帕蒂婭從小就對數學產生了濃厚的興趣．10歲時小希帕蒂婭就已經掌握了很多算術和幾何方面的數學理論，并能熟練地運用學過的知識解決實際問題．
有一天早晨，紅日初升，她和父親手拉手在草坪上悠閑地散步．走著走著，突然，小希帕蒂婭冒出一個問題：“爸爸，人的影子不就是物體擋住陽光形成的嗎？它有什么用處呢？”
“問得好，我的希帕蒂婭．”父親說，“你不是常想測量金字塔的高度嗎？想想看，能不能讓影子幫上忙呢？”
小希帕蒂婭陷入了沉思，她想了一會說：“方法簡單，到中午時，讓一個人立于太陽下，當人的影子等于人的身高時，測出金字塔從中心點起量的影長，就能測出金字塔的高度了．”
父親高興極了，夸獎她說：“你真是個愛問愛想的好孩子！不過還有更巧妙的方法．”
希帕蒂婭說：“我一定要用更巧妙的方法量一量金字塔的高度！我說到做到．”
騎馬是希帕蒂婭最喜愛的運動．太陽偏西后，父女倆騎上馬到了海邊．夕陽西下，把世界萬物的影子拉得很長很長．
“希帕蒂婭，看到影子了嗎？”父親問．女兒在他的東邊騎馬，這時，父女兩人的影子重疊起來，兩個影子最東點幾乎和太陽正好對齊．
小希帕蒂婭高興地叫起來：“爸爸，太陽和咱們的影子的頭頂正好在一條直線上．看來，前兩天剛學過的相似三角形對應邊成比例的定理可以用上了．知道你和我影子的長度，又知道我騎在馬上的高度，就能算出你騎在馬上的高度，用同樣的方法就能測出金字塔的高度！”
隨后，希帕蒂婭利用太陽的影子、一根桿子與相似三角形對應邊成比例的定理，成功地測出了金字塔的高度為146.5米．
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1黃金分割典例分析
黃金分割是成比例線段中既特殊又重要的內容，考查的重點是與黃金分割有關的計算和推理題．下面舉例予以說明．
例1
如圖1，點把線段分成兩條線段和，如果，那么稱線段被點黃金分割，與的比叫做黃金比，其比值是（
）
A．
B．
C．
D．
分析:設AB=1,AC=x,則BC=1-x．根據定義可知解得x=．故選A．
評注:黃金分割是成比例線段的一個特例．一條線段的黃金分割點是指把一條線段分成兩條線段,其中較長的線段是較段線段和全線段的比例中項．在解決這類問題時一般將等積式與比例式互化,黃金比的比值約為0．618,其在生活中有著廣泛應用．
例2
為了弘揚雷鋒精神，某中學準備在校園內建造一座高2m的雷鋒人體雕像，向全體師生征集設計方案．小兵同學查閱了有關資料，了解到黃金分割數常用于人體雕像的設計中．如圖2是小兵同學根據黃金分割數設計的雷鋒人體雕像的方案，其中雷鋒人體雕像下部的設計高度(精確到0．01m，參考數據：≈1．414，≈1．732，≈2．236)是（
）．
A．0．62m
B．0．76m
C．1．24m
D．1．62m
分析：由題意知，B點是雕像的黃金分割點，所以
BC==1．236≈1．24m．故選C．
評注:黃金分割既是線段的比,成比例線段的應用,同時也蘊含著豐富的文化價值,是密切數學與現實生活之間聯系的重要內容．如:人體肚臍以下高度與身高之比接近0．618;在探索最優生產方案時,人們常用的“優選法”中有“
0．618法”；在人體繪畫、雕塑等方面藝術家多以這個比作為美學標準等．
例3
(08孝感)寬與長的比是的矩形叫黃金矩形，心理學測試表明，黃金矩形令人賞心悅目，它給我們以協調、勻稱的美感．現將同學們在教學活動中，折疊黃金矩形的方法歸納出以下作圖步驟（如圖3所示）：
第一步：作一個任意正方形ABCD；
第二步：分別取AD、BC的中點M、N，連接MN；
第三步：以N為圓心，ND長為半徑畫弧，交BC的延長線于E；
第四步：過E作交AD的延長線于F
，
請你根據以上作法，證明矩形DCEF為黃金矩形，（可取AB=2）．
分析:欲證明矩形DCEF為黃金矩形,只需證明矩形DCEF的寬與長的比為,也就是證明,我們不妨設正方形ABCD的邊長為2,于是NC=1,DC=2,根據勾股定理求DN,從而求得CE,于是的比值即可求出．
證明：在正方形ABCD中，取AB=2．
∵N為BC的中點，∴NC=．
在Rt△DNC中，
又∵NE=ND，∴CE=NE-NC=,,
故矩形DCEF為黃金矩形．
評注:
本題首先給出了“黃金矩形”的定義．然后通過作圖提供的信息，理解這里面蘊涵的道理，將它遷移，則可以順利地解決后面的問題．此類題目能夠幫助學生實現從模仿到創造的思維過程,符合學生的認知規律,是中考的熱點題目之一．
圖1
A
小資料
雕像上部(腰部以上)與下部(腰部以下)的高度之比等于下部與全部的高度比，這一比值是黃金分割數。
圖2
B
A
C
圖3
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1位似中考直播廳
隨著課標的實施和課標教材的推廣，一大批體現新課標理念的試題悄悄的走進了各地的中考試題中，集中考察了同學們利用所學知識解決問題的能力，現以關于位似圖形的中考題來加以說明，幫助同學們了解這部分知識的考試動態．
一．根據位似求比值
例1
（青海）如圖1，是由經過位似變換得到的，點是位似中心，分別是的中點，則與的面積比是（
）
A．
B．
C．
D．
解析:依題意得△DEF∽△ABC,,所以應選C．
例2
（湖北荊州）如圖2，五邊形ABCDE與五邊形A′B′C′D′E′是位似圖形，O為位似中心，OD=OD′，則A′B′:AB為（
）
A．2:3
B．3:2
C．1:2
D．2:1
解析:因為位似一定相似，且位似比為OD:
OD′=1:2,所以五邊形ABCDE∽五邊形A′B′C′D′E′,所以A′B′:AB=2:1,故應選D．
二．確定位似中心
例3
（威海）如圖3，已知△EFH和△MNK是位似圖形，那么其位似中心是點_______．
解析:在位似圖形中,對應頂點的連線相交于一點，這一點叫做位似中心,所以連接HK和FN交于B點，所以其位似中心是點B．
三．作位似圖形
例4
（寧夏回族自治區，有改動）如圖4，在邊長均為1的小正方形網格紙中，△OAB的頂點O、A、B均在格點上，且O是直角坐標系的原點，點A在軸上．以O為位似中心，將△OAB放大，使得放大后的△△OA1B1與△OAB對應線段的比為2：1，畫出△OA1B1．（所畫△與△OAB在原點兩側）．
解析:本題考查了同學們對位似圖形的掌握，能夠正確應用位似圖形的概念畫出位似圖形．畫位似圖形時，關鍵是要抓住位似中心和位似比．
解:如圖3，△就是△放大后的圖象
．
H
E
F
M
N
K
A
B
C
D
圖3
PAGE
1位似圖形的概念、性質與畫法教材分析
《相似》是初中數學“空間與圖形”的重要內容，在生活中有著廣泛的應用．《位似》作為本章的最后一節，是在學生已經掌握了相似的相關知識，積累了一定的圖形研究方法的基礎上進行探究的．《位似》就是具有特殊位置關系的相似，是對相似的縱深挖掘與提升，可以讓學生進一步體會相似的應用價值和豐富內涵．
本節立足學生已有的生活經驗，初步的數學活動經歷以及掌握的有關幾何內容，從相似多邊形入手，通過將一個圖形放大與縮小，引導學生觀察這些圖形的共同特點，從而歸納出位似圖形的概念和簡單特性，體現了研究幾何問題的一般方法．對于圖形的概念學習，尤其要注重概念的生成過程和基本含義，并且將圖形的相似、位似與簡單作圖等內容巧妙地結合在一起，讓學生進一步體會圖形相似、位似的應用價值和豐富的內涵，有意識地培養學生積極的情感和態度，促進學生觀察、操作、分析、概括等一般能力和審美意識的發展．
本節課的教學重點：位似圖形的概念，位似圖形的作圖，以及位似與相似的關系．
本節課的教學難點：位似圖形的準確作圖，動手能力的落實．
PAGE
1
中國極育出版網
www.知影長
求物高
一、影子全部在地面上
例1
如圖1，小華為了測量所住樓房的高度，他請來同學幫忙，測量了同一時刻他自己的影長和樓房的影長分別是0.5米和15米．已知小華的身高為1.6米，那么他所住樓房的高度為
米.
分析：在同一時刻，物長與影長成正比，從而有，在由AC＝0.5米，DF＝15米，BC＝1.6米，可求得大樓的高度.
解：根據題意畫出圖形，如圖1所示，因在同一時刻，物長與影長成正比，所以，即，解得EF＝48.
所以他所住樓房的高度為48米.
二、影子一部分在墻上
例1
小剛同學想利用影長測量學校旗桿的高度，如圖2，他在某一時刻立1米長的標桿，測和它的影長是1.2米，同時他發現旗桿的影子一部分在地面上，另一部分在教學樓的墻上，分別測得其長度是9.6米和2米，則學校旗桿的高度是
米.
分析：由于墻和地面是垂直的，陽光又是平行的，所以形成墻上的影子的哪部分物高和墻上的影長相等，因此只要求出在地面上形成影子的哪部分物高，再加上墻上的影長，就是旗桿的高度．
解：設旗桿在地面上的影長部分的物高為x米
則
，解得x=8
所以旗桿的高度是8+2=10米．
三、影子一部分在斜坡上
例2
如圖3
小明想測理一棵大樹AB的高度，發現大樹的影子恰好落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=4m，BC=10m，CD和地面成45°角，且此時測得1m豎桿的影長是2m，求大樹的高度是多少米？
分析：解此題的關健是設法求出當影子不落在斜坡上時的影長，故可延長AD交BC的延長線于F，于是問題轉化為求BF的長．
解：延長AD交BC的延長線于F，
過D作DE⊥BF于E，
因為CD=4m，∠DCF=45°
所以CE=DE=
根據同一時刻影長與物高成正比，
所以，
所以
EF=2DE=
AB=BF=（BC+CE+EF）=（10++）≈9.24米
所以這棵樹的高度是9.24米．
圖３
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1黃金分割造就了美
和諧的音樂關鍵在于它的頻率，舞臺的設計關鍵在于它的中心。把二胡的千斤放在哪里，才會拉出最美妙的音樂呢？把舞臺的中心放在何處，才會達到最佳的效果呢 這是藝術家們?？紤]的問題。但是，數學家們告訴我們，只要你把它放在黃金分割點，就會達到你的目的了。真是太奇妙了，很多事情只要用到黃金分割就迎刃而解了。在建筑上，在美術上甚至在音樂上，它都體現了它的美妙之處。
五角星是非常美麗的，我國的國旗上就有五顆，還有不少國家的國旗也用五角星。在五角星中可以找到的所有線段之間的長度關系都是符合黃金比的。正五邊形對角線連滿后出現的所有三角形，都是黃金分割三角形。利用線段上的兩黃金分割點，可作出正五角星、正五邊形。
早在100多年以前，德國的心理學家弗希納曾精心制作了各種比例的矩形，并且舉行了一個“矩形展覽”，邀請了許多朋友來參加，參觀完了之后，讓大家投票選出最美的矩形。最后被選出的四個矩形的比例分別是:5×8，8×13，13×21，21×34。經過計算，其寬與長的比值分別是:0.625，0.615，0.619，0.618。這些比值竟然都在0.618附近。事實上，大約在公元前500年，古希臘的畢達哥拉斯學派就對這個問題發生了興趣。他們發現當長方形的寬與長的比例為0.618時，其形狀最美。
黃金分割在造型藝術中具有美學價值，在工藝美術和日用品的長寬設計中，采用這一比值能夠引起人們的美感，在實際生活中的應用也非常廣泛，建筑物中某些線段的比就科學采用了黃金分割，舞臺上的報幕員并不是站在舞臺的正中央，而是偏在臺上一側，以站在舞臺長度的黃金分割點的位置最美觀，聲音傳播得最好。就連植物界也有采用黃金分割的地方：如果從一棵嫩枝的頂端向下看，就會看到葉子是按照黃金分割的規律排列著的。在很多科學實驗中，選取方案常用一種0.618法，即優選法，它可以使我們合理地安排較少的試驗次數找到合適的配方或工藝條件。
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1線段的比
一、求比時單位不統一致錯
例1　甲、乙兩地的距離是300
km，而地圖中兩地的距離是2
cm，試問地圖的比例尺是多少？
錯解：地圖的比例尺為2∶300=1∶150.
剖析：比例尺是圖上距離與實際距
( http: / / www.21cnjy.com )離的比，在計算比時，應注意單位要統一.如果所給的單位不一致，應先統一單位，然后再求比.造成錯解的原因是沒有把單位統一.
正解：因為300
km=30000000
cm，所以此地圖的比例尺為2∶30000000=1∶15000000.
跟蹤訓練1　在比例尺為1∶12000
( http: / / www.21cnjy.com )000的中華人民共和國地圖上，量得濟南至北京的直線距離是6.1
cm，則濟南到北京的實際直線距離為____km.
二、判斷線段是否成比例時不分大小致錯
例2　已知四條線段a=3.5
cm，b=3.6
cm，c=4.2
cm，d=3
cm，試判斷它們是否成比例線段.
錯解：因為
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )=1.4，
( http: / / www.21cnjy.com )，
所以這四條線段不是成比例線段.
剖析：本題并沒有問線段
( http: / / www.21cnjy.com )a，b，c，d是否成比例線段，而是問這四條線段是否成比例線段.解決問題時，應把這四條線段按從小到大的順序排列好，然后再計算前兩條線段長度的比與后兩條線段長度的比.若兩個比值相等，則它們是成比例線段；若不相等，則它們不是成比例線段.
正解：因為
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )，即
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )，所以這四條線段是成比例線段.
跟蹤訓練2　已知四條線段a=1.5
cm，b=2.8
cm，c=2
cm，d=2.1
cm，試判斷它們是否成比例線段.
三、對比例的性質理解不透徹致錯
例3　已知
( http: / / www.21cnjy.com )，則
( http: / / www.21cnjy.com )=__________.
　　錯解：根據比例的性質，得
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com ).
剖析：要分清楚比例的基本性質、合比性質和等比性質的區別，錯解就是把它們混為一談了，此題應該利用比例的基本性質來解.
正解：根據比例的基本性質，得ad=bc，即
( http: / / www.21cnjy.com )=1.
跟蹤訓練3　已知
( http: / / www.21cnjy.com )（b+d≠0），則
( http: / / www.21cnjy.com )＝_______．
答案
1.732　
2.是成比例線段　
3．
( http: / / www.21cnjy.com )相似圖形與相似多邊形重難點突破
相似圖形的概念，相似多邊形的概念與性質．
突破建議
本節課從現實世界中形狀相同的物體談起，然后把研究對象確定為形狀相同的圖形，接著再把研究對象聚焦到相似多邊形．也就是說，是在讓學生感受實物模型所具有的“形狀相同的形象”的基礎上，直接將相似圖形定義為形狀相同的圖形，進而將相似圖形特殊化為相似多邊形，從相似多邊形的概念出發得到相似多邊形的性質．在整個教學過程中，教師應該幫助學生從已有的生活經驗出發，結合所學數學知識，類比全等圖形與全等多邊形的知識進行合情推理，將概念和性質有機的結合在一起．
對于概念的理解，可以通過課本的練習題來深化．對于相似多邊形的性質，教材上配備了一道應用相似多邊形的性質求相似多邊形中某些邊角的例題，教師應引導學生觀察圖形，確定相似多邊形的對應邊與對應角，利用對應角相等和對應邊成比例進行求解．
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1
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www.測量物高的常用方法和原理
古希臘數學家、天文學家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，測出了金字塔的高度，其所用方法是：在金字塔頂部的影子處立一根竹竿，借助太陽光線構成兩個相似三角形，塔高與竿高之比等于兩者影長之比，由此便可算出金字塔的高度.測量物體高度的方法究竟有哪些呢？本文試圖作一簡要歸納，供同學們參考：
方法一：利用太陽光的影子
測量示意圖：如圖1所示.
測量數據：標桿高DE，標桿影長EF，物體影長BC.
測量原理：因為太陽光AC∥DF，所以∠ACB＝∠DFE.
又因為∠B＝∠DEF＝90°，所以△ABC∽△DEF.
所以.
例1
陽陽的身高是1.6m，他在陽光下的影長是1.2m，在同一時刻測得某棵樹的影長為3.6m，則這棵樹的高度約為
m.
析解：設樹高為m，則有，解得.
即這棵樹的高度約為4.8m.
方法二：利用標桿
測量示意圖：如圖2所示.
測量數據：眼（E）與地面的距離EF，人（EF）與標桿（CD）的距離DF，人（EF）與物體（AB）的距離BF.
測量原理：因為CD∥AB，所以△AEG∽△CEH.所以.
所以AB＝AG＋EF.
其中DF＝FH，BF＝EG.
例2
如圖3，學校的圍墻外有一旗桿AB，甲在操場上的C處直立3m高的竹竿CD，乙從C處退到E處，恰好看到竹竿頂端D與旗桿頂端B重合，量得CE=3m，乙的眼睛到地面的距離FE=1.5m，丙在C1處也直立3m高的竹竿C1D1，乙從處后退6m到E1處，恰好看到竹竿頂端D1與旗桿頂端B也重合，量得C1E1=4m，求旗桿AB的高.
析解：設BG=x，GM=y，
由△FDM∽△FBG，可得，①
由△F1D1N∽△F1BG，可得，②
由①②聯立方程組，解得
故旗桿的高為9+1.5=10.5（）.
方法三：利用鏡子的反射
測量示意圖：如圖4所示.
測量數據：眼（D）到地面的距離DE，人（DE）與平面鏡（C）的距離CE，平面鏡（C）與物體的距離BC.
測量原理：因為∠ACB＝∠DCE，∠B＝∠E＝90°，所以△ABC∽△DEC.所以.
例3
如圖5是小明設計用手電來測量某古城墻高度的示意圖，點P處放一水平的平面鏡，光線從點A出發經平面鏡反射后剛好射到古城墻CD的頂端C處，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且測得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米，那么該古城墻的高度是（
）
A．6米
B．8米
C．18米
D．24米
析解：由△ABP∽△CDP，可得，即，解得CD=8.
故選B.
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3位似小知識
1定義
每組圖形的對應點的連線交于一點，對應邊互相平行或在一條直線上，那么這兩個圖形叫做位似圖形。
如圖，兩個圓形的對應點o和o’和其半徑所在的直線都經過S和S'，所以兩個圓形是位似圖形
2性質
位似圖形的對應點和位似中心在同一直線上，它們到位似中心的距離之比等于位似比。
3中心落點
位似圖形的中心可以在任意的一點，不過位似圖形也會隨著位似中心的位變而位變。
根據一個位似中心可以作兩個關于已知圖形一定位似比的位似圖形,這兩個圖形分布在位似中心的兩側,并且關于位似中心對稱。
注意
1、位似是一種具有位置關系的相似，所以兩個圖形是位似圖形，必定是相似圖形，而相似圖形不一定是位似圖形；
2、兩個位似圖形的位似中心有一個或兩個（偶數邊正多邊形時，比如兩個正方形如果位似，則有兩個位似中心。）；
3、兩個位似圖形可能位于位似中心的兩側，也可能位于位似中心的一側；
4、位似比就是相似比．利用位似圖形的定義可判斷兩個圖形是否位似；
5、平行于三角形一邊的直線和其它兩邊相交，所構成的三角形與原三角形位似。
4作圖步驟
位似比，即位似圖形的相似比，指的是要求畫的新圖形與參照的原圖形的相似比
①首先確定位似中心，位似中心的位置可隨意選擇（除非題目指明）；
②確定原圖形的關鍵點，如四邊形有四個關鍵點，即它的四個頂點；
③確定位似比，根據位似比的取值，可以判斷是將一個圖形放大還是縮??；
④符合要求的圖形不惟一，因為所作的圖形與所確定的位似中心的位置有關，并且同一個位似中心的兩側各有一個符合要求的圖形，最好做兩個。（不推薦考試的時候這么做，時間或許不夠）
5位似變換
把一個幾何圖形變換成與之位似的圖形,叫做位似變換。物理中的透鏡成像就是一種位似變換,位似中心為光心.
位似變換應用極為廣泛，特別是可以證明三點共線等問題.
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1其道理何在
　　在耳熟能詳的電視連續劇《亮劍》的一集中，八路軍129師386旅新一團團長李云龍，要從敵人的陣地正面突圍時，發現了鬼子的指揮所.于是，命令擲彈筒手王承柱打掉鬼子的指揮所.只見王承柱接到命令后，伸直右臂，大拇指豎起，閉上左眼，用右眼瞄了瞄，說“距離太遠，不在射程之內”，并要求向前推進500米，結果用僅剩的兩發炮彈將鬼子的指揮所摧毀.
　　在發射炮彈之前，王承柱將上述動作又重復了一次.想來大家已看明白，擲彈筒手這是在測量其所在地與鬼子指揮所之間的距離.這是戰場上一種簡單的手指測距方法.那么，其道理何在？因為劇中對測量過程只是一帶而過，并不完整，所以，這里將測量過程介紹得再詳細一點.具體方法如下：
　　將右臂向前伸直，豎起拇指，閉左眼，使右眼的視線沿拇指一側對準目標左側（基準點），頭和手保持不動，現閉右眼，使左眼視線通過拇指的同一側，并記住視線對準的實地某一點，然后目測目標左側（基準點）至該點的寬度，將此寬度乘以10，即為站立點至目標的距離.
　　不難看出，這里利用了三角形相似的知識.如右圖所示，A，B分別表示人的兩眼，C，D分別表示目標左側（基準點）和實地某一點，O為拇指的位置.兩次分別從基準點和實地某一點射入人眼的光線COA和DOB、人的兩眼的連線AB以及基準點和實地某一點的連線CD，構成兩個三角形△OAB和△OCD.
　　很顯然，△OAB∽△OCD，故有，即OC＝.而人的手臂的長度OA大約是人的兩瞳孔的間隔AB的10倍，所以OC＝10CD.并且在實際測量中，OC遠大于OA，所以AC≈OC≈10CD.
　　這種方法簡便實用，據說是由我軍炮兵戰士在戰爭年代發明的，這充分顯示了我軍戰士的聰明才智，也證實了“實踐出真知”的哲理.
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1坐標平面搭臺
位似圖形唱戲
解決平面直角坐標系內的位似圖形的問題，既要求理解和掌握位似圖形的有關知識，又要有較強的數形結合能力.下面就以中考題為例分類說明.
一、求位似中心的坐標
例1
如圖1，正方形OEFG和正方形ABCD是位似形，點F的坐標為（1，1），點C的坐標為（4，2），則這兩個正方形位似中心的坐標是
.
析解：首先通過作對應點的連線找出位似中心，為此連接CF并延長交x軸于點P，則P點即為位似中心.
由點F、點C的坐標可知，OE=1,AB=2，OA=2，所以正方形OEFG和正方形ABCD的位似比為1∶2.所以PO∶PA=1∶2，即PA=2PO.因為PA=PO+OA=PO+2，所以PO+2=2PO.解得PO=2.所以P點坐標為（-2，0）.
評注：本題主要考查了位似圖形的概念和性質.解題時應運用數形結合思想，將點的坐標轉化為相關線段的長，再運用位似圖形的知識加以解決.
二、求對應點的坐標
例2
如圖2，△ABC中，A，B兩個頂點在x軸的上方，點C的坐標是(-1，0)．以點C為位似中心，在x軸的下方作△ABC的位似圖形，并把△ABC的邊長放大到原來的2倍，記所得的像是△A′B′C．設點B的對應點B′的坐標是（a，b），則點B的坐標是_______.
析解：作BM⊥x軸于點M、B′N⊥x軸于點N，則△CBM∽△C
B′N.所以MC∶NC=BM∶B′N=BC∶B′C.又由已知條件知，NC=a+1，BC∶B′C=1∶2，MC∶(a+1)
=1∶2.所以MC=，MO=+1=，BM=.所以點B的坐標為（，）.
評注：本題主要是運用位似圖形和相似三角形的有關知識求點的坐標的問題.通過作輔助線構造出相似三角形是解題的關鍵.
三、畫位似圖形
例3
如圖3，在方格紙中
（1）請在方格紙上建立平面直角坐標系，使A（2,3），C（6，2），并求出點坐標；
（2）以原點為位似中心，相似比為2，在第一象限內將放大，畫出放大后的圖形；
（3）求的面積.
析解：（1）在方格紙上建立平面直角坐標系如圖4所示，；
（2）作射線OA，在射線OA上取一點A′，使O
A′=2OA.同理可分別作出點B,C的對應點B′,C′.連接A′B′、B′C′、C′A′，則就是放大后的圖形；
（3）因為S△ABC==4，所以S△A′B′C′=22
S△ABC=4×4=16.
評注：本題主要考查位似圖形的作法，及相似圖形的面積比等于相似比的平方的性質.已知位似中心，作已知圖形的位似圖形，通常有兩種情況，即在位似中心的同側或兩側，作圖時必須明確這一點，而本題要求在同側作圖.
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1折紙問題中的數學
通過折紙活動，分析留在紙張上的折痕，我們能夠揭示出大量幾何的對象和性質：軸對稱、中心對稱、全等、相似形、比例及類似于幾何分形結構的迭代
(在圖案內不斷地重復圖案
)等幾何性質。
折紙過程還能夠體現出許多幾何概念和規律，諸如正方形、矩形、直角三角形、梯形等幾何形狀，對角線、中點、垂直平分線等幾何名稱，全等、勾股定理等幾何法則，內接、面積及其他一些幾何代數的概念，這些鮮活的、可視的過程，給學生提供了彌補思維過程中的斷缺部分，更能符合學生的認知習慣。
折紙可以探索二維和三維圖形之間的關系。例如，一張正方形
(二維物體
)的紙張可以折成一個立方體
(三維物體
)。然后，將它攤開
,研究留在正方形紙上的折痕，正好體現了一個二維物體到三維物體，又回到二維的過程。
在繽紛多彩的折紙活動中，有很多數學活動值得研究。在這里，我們精選了其中的一些，展示如下：
（
1）從一個矩形式樣的紙張
,折成一個正方形
(如圖
2.2-15所示
)。
（
2）將一張正方形的紙沿著對角線對折
,變成四個全等的直角三角形
(如圖
2.2-16所示
)。
（
3）找出正方形一條邊的中點
(如圖
2.2-17所示
)。
（
5）將一個正方形紙張折疊
,使折痕過正方形中心，便會構成兩個全等的梯形
(如圖
2.2-19所示
)
。
（
6）把一個正方形折成兩半，那么，折痕將成為正方形兩條相對邊的垂直平分線
(如圖
2.2-20所示
)
。
（
7）折出四面體
(按圖
2.2-21所示的方法
)
。
（
8）折出正方體
(按圖
2.2-22所示的方法
)
。
不僅如此，折紙還可以做出其他的一些重要內容，諸如黃金比等。
（
9）折出黃金分割比
圖
2.2-24所展示的是在長方形紙片的一條邊中點折出
60°角的方法：
將一張矩形的紙沿兩條較短的邊（即寬）對折，折出這張矩形紙的平行于較長邊的中線，再將這張紙鋪平；用手捏住矩形的一個角，將同一條寬上的另一個頂點折向中線，使其剛好落在中線上，壓平。
此時，左上角的
90°角就分成了三個
30°角。
利用圖
2.2-24中的
60°角，借助于頂角為
60°的等腰三角形是正三角形，通過連續折疊四個正三角形，還可以做出正四面體。
其實，我們還可以像圖
2.2-25這樣以正方形的角或中心為頂點，折出
60°或
30°角。即，在正方形紙片
ABFE中，先將對邊
AE、
BF重合，折出折痕
DG；如圖
2.2-25所示，過頂點
A，將邊
AB向上對折，使得
B點剛好落在折痕
DG上，記為
O點。此時，∠
BAO、∠
EAO依次是
60°角、
30°角。
（
11）將長方形紙片折成三等份大多數人將長方形紙片折成三等份的慣用方法是：
先從紙片的一邊開始，估計地疊起紙片的三分之一；然后，將對邊也折起來，根據三份是否重合來進行調整。
當然，這種折法蘊涵著樸素的極限思想；反復折疊中，一次比一次地更趨近三等份。
另外一種完全不同的折法是：
如圖
2.2-26所示，先將整張紙片
ABCD的一條邊
BC對折（使點
B、
C重合），找到其中點
E點；再折出整張紙片的對角線
AC，以及
E點與
D點的連線
ED，兩條折痕相交于點
X；最后，過交點
X折疊紙片，使
DG重疊在
AG上、
CE重疊在
BE上。此時，則
DG即為
AG的三分之一。
利用邊
BC與
AD平行以及
E點是中點可知⊿
CXE∽⊿
AXD，進而，
AG：
GD=AG：
PC=AX：
CX=AD：
CE=CB：
CE=2。顯然，相似三角形的性質是這種折法的核心。
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4

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