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中考正方形新題賞析
正方形是一種特殊的平行四邊形，更是一種特殊的矩形和特殊的菱形.所以處理開放型問題相對而言是比較復雜的，而近年來中考又不斷加大有關正方形問題的創新力度，所以求解時一定要充分運用所學知識，抓住有關正方形問題的本質特征.為了方便同學們學習，現以中考試題為例說明如下：
一、正方形的面積問題
例1（臨安市）如圖1，正方形硬紙片ABCD的邊長是4，點E、F分別是AB、BC的中點，若沿左圖中的虛線剪開，拼成右圖的一座“小別墅”，則圖中陰影部分的面積是（
）
A.2
　　　　
B.4
　　　　C.8
　　　
D.10
分析　要求圖中陰影部分的面積，由于由剪到拼可知陰影部分的面積應是原正方形面積的四分之一，于是即求.
解　根據題意“小別墅”的圖中陰影部分的面積應等于正方形面積的四分之一，而正方形的面積是16，所以陰影部分的面積應等于4.故應選B.
說明　本題的圖形在操作過程中，雖然形狀發生了改變，但是圖形的面積卻沒有變化，抓住這一點問題就可以簡潔求解.
二、直角三角形拼正方形問題
例2（煙臺市）2002年8月在北京召開的國際數學家大會會標如圖2所示，它是由四個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形．若大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，直角三角形的較長直角邊為a，較短直角邊為b，則a3＋b4的值為（　　）
A.35
　　　B.43
　　
C.89
　　D.97
分析　要求a3＋b4的值，由已知條件，利用勾股定理，結合方程的知識可以分別求出a、b.
解　因為直角三角形的較長直角邊為a，較短直角邊為b，所以大正方形的邊長由勾股定理，得c2＝a2+b2，小正方形的邊長是a－b，
又因為大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，即c2＝a2+b2＝13，(a－b)2＝1，
所以ab＝6，消去b，得a4－13a2＝－36，配方，得(a2－)2＝.
即a＝3或2，所以b＝2或3，又較長直角邊為a，較短直角邊為b，
所以a＝3，
b＝2，所以a3＋b4＝43.故應選B.
說明　求解時一定要理解并圖的意義，從中找出已知量與未知量之間的關系.
三、用正方形與矩形拼正方形問題
例3（煙臺市）如圖3，有三種卡片，其中邊長為a的正方形卡片1張，邊長分別為a，b的矩形卡片6張，邊長為b的正方形卡片9張.用這16張卡片拼成一個正方形，則這個正方形的邊長為＿＿＿.
分析　16張卡片，拼成一個正方形，而邊長為a的正方形卡片1張，邊長分別為a，b的矩形卡片6張，邊長為b的正方形卡片9張，由此可知正方形的每邊上應有4張，而且這個正方形的邊長應為a+3b.
解　因為邊長為a的正方形卡片1張，邊長分別為a，b的矩形卡片6張，邊長為b的正方形卡片9張，而用這16張卡片拼成一個正方形，所以正方形的每邊上應有4張，而且這個正方形的邊長應為a+3b.但拼得的正方形的形式是不一樣的，如圖4就是其中的一種.
說明　這是一道結論開放型問題，只要符合題意且結論正確的都可以.
四、正方形的操作問題
例4（旅順口區）如圖5，將一塊正方形紙片沿對角線折疊一次，然后在得到的三角形的三個角上各挖去一個圓洞，最后將正方形紙片展開，得到的圖案是如圖6所示的（　　）
分析　要想知道展開后得到的圖案是什么，可以依據題意，結合正方形的圖形特征，發揮想象即可求解.
解　因為將正方形沿對角線折疊一次，然后在得到的三角形的三個角上各挖去一個圓洞，就是說這個正方形上共有6個小圓，其中分成3組關于正方形的對角線即折痕對稱，且1對圓在兩個直角的頂點上，2對圓位于對角線即折痕的兩側.故應選C.
說明　這種圖形的操作問題的求解一定要在靈活運用基礎知識的同時，充分發揮想象，并能大膽地歸納與推斷.
五、利用正方形探索規律問題
例5（江西省）用黑白兩種顏色的正方形紙片，按黑色紙片數逐漸加1的規律拼成如圖7一列圖案：
（1）第4個圖案中有白色紙片＿＿＿張；
（2）第n個圖案中有白色紙片＿＿＿張.
分析　要解答這兩個問題，只要能求出第n個圖案中有白色紙片的張數即可，由于第1個圖案中有白色紙片1張，第2個圖案中有白色紙片7張，第3個圖案中有白色紙片10張，…，由此可以得到第n個圖案中有白色紙片3n
+
1張，從而求解.
解　因為第1個圖案中有白色紙片1張，第2個圖案中有白色紙片7張，第3個圖案中有白色紙片10張，…，所以可以得到第n個圖案中有白色紙片3n+1張.于是（1）當n＝4時，3n+1＝13；（2）3n
+
1.
說明　這種利用幾何圖形探索規律型問題是近年各地中考的熱點，同學們在求解時一定要通過認真的觀察、歸納、猜想、驗證，才能正確地獲解.
圖2
a
圖4
b
a
b
圖3
圖5
圖6
圖7
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1正方形的定義是什么？正方形由哪些性質？
答案：

一組鄰邊相等的矩形叫做正方形；正方形具有平行四邊形、菱形、矩形的一切性質。
【舉一反三】

典題：菱形、矩形、正方形共同具有的性質是（
）
A、四個角都是直角；
B、四條邊都相等；
C、對角線互相平分；
D、每條對角線平分一組對角。
思路導引：矩形和正方形的四個角都是直角，A錯誤；菱形和正方形的四條邊都相等，B錯誤；菱形、矩形和正方形的對角線都互相平分，C錯誤；菱形和正方形的每條對角線平分一組對角，D錯誤。
標準答案：C。
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1
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www.矩形圖示法
應用矩形圖表示題目的已知量和所求量，是幫助尋找解題線索的好辦法。根據題意畫出矩形，可以用矩形的長表示一種量，用矩形的寬表示另一種量，面積表示這兩種量的積的關系。這樣可以把抽象的數量關系變得具體形象，便于尋找解題線索。
例1：買來4分一張的郵票和8分一張的郵票共63張，總值為4元。求4分郵票8分郵票各多少張？
解：先畫出矩形，把矩形的長作為總張數，寬作為8分郵票的票面額，而4分郵票的票面額相當于這矩形的寬的一半，把實際總值用斜線描出。然后觀察圖形進行分析。假如這63張郵票都是8分一張的，那么總錢數應該用整個矩形面積表示，而實際的總錢數為4元，即矩形面積中的陰影部分。空白部分是這兩個總錢數的差，利用這個差就可以求出4分郵票的張數，隨之，8分郵票的張數也可求出。
（1）4分郵票的張數：
（8×63-400）÷（8-4）=104÷4=26（張）
（2）8分郵票的張數：
63-26=37（張）
答：4分郵票26張，8分郵票37張。
例2：第一建筑工程公司建造甲、乙、丙三種不同規格的住房30單元，乙種住房的單元數是丙種住房的2倍。出租時，甲種每單元每月收32元，乙種每單元每月收24元，丙種每單元每月收18元。這三種住房每月租金總數為750元。求三種住房各多少單元？
解：先畫出矩形，把矩形的長作為住房的單元數，寬作為每月每單元的租金數。注意乙種住房的單元數是丙種住房的2倍。把租金總數用斜線描出。然后觀察圖形進行分析。
假設這30單元都是甲種住房，那么每月房租總錢數應該用整個矩形面積表示，而實際每月租金總數為750元，即矩形面積中的陰影部分。空白部分是這兩個總錢數的差，利用這個差就可以求出各種住房的單元數。
（1）假設30單元都是甲種住房，每月租金總數為：
32×30=960（元）
（2）實際租金數比960元少的錢數為：
960-750=210（元）
（3）丙種住房的單元數為：
210÷[（32-24）×2+（32-18）]
=210÷（16+14）
=210÷30=7（單元）
（4）乙種住房的單元數為：
7×2=14（單元）
（5）甲種住房的單元數為：
30-7-14=9（單元）
答：甲種住房9單元，乙種住房14單元，丙種住房7單元。
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1正方形解題的四大技巧
正方形的完美不僅在于它具有相等的角、相等的邊、相等且相互垂直平分的對角線，而且它又是軸對稱的圖形，正因為如此,利用正方形的許多特殊的性質給我們解決許多問題帶來了便利。
一、正方形求角度
例1：圖⑴是三個并列排放、大小一樣的正方形，
求∠1＋∠2＋∠3的度數。
析解：易知∠1=45°，
而∠2、∠3卻不好求出，所以，
我們采取整體組合去求。
作正方形,如圖⑵，把∠2、∠3
分別轉移出去,易得
∠1＋∠2＋∠3=90°。
二、正方形內的旋轉
例2.如圖⑶，P是正方形ABCD內一點，且PA=1，PB=2，
PC=3，試求∠APB的度數。
析解：將△ABP繞點B順時針旋轉90°，使AB與BC
重合，
得△EBP是等腰直角三角形,
易證△ABP≌△CBE，∴BP=BE=2，
∴PE=2，在△CPE中，易證CE2+PE2=PC2，
∴∠CEP=90°，
∴∠APB=∠CEB=∠PEB+∠PEC=90°+45°=135°。
三、正方形求面積
例3如圖⑷，在△AEG中，∠EAG=45°，AF⊥EG于F，
GF=3，EF=2，求△AEG的面積。
析解：∵∠EAG=45°，AF⊥EG，分別將△AEF和△AGF以AE、AG為對稱軸翻折180°，如圖⑷，得ABCD是正方形，設AF=x，則CG=x－3，EC=x－2，在Rt△ECG中，由勾股定理得（x－3）2+（x－2）2=25，解得x=6，∴S△AEG=×（3+2）×6=15。
四、正方形內求最小值
例4如圖⑸，已知在三角形ABC中,
AB=BC=8,
∠ABC=90°，E在BC邊上，且BE=2，
D是AC邊上一動點，求BD+DE的最小值。
析解：構造正方形AB′CB
∵求BD+DE的最小值，∵
E關于AC的對稱點E′，
如圖⑹，∵E′D=
ED
∴BD+DE=BD+
E′D即B
E′長
是最小值就可以,由兩點之間,
線段最短可知,
B,D,
E′三點共線,
易求B
E′=10。
總之，同學們在解題時要拓展思維空間，靈活采用不同的方法，將題目中的已知條件轉化為所熟悉的圖形，從而能快速的解答。
1
2
3
A
B
C
D
E
F
M
N
圖⑴
1
2
3
1
2
A
B
C
D
E
F
M
N
圖⑵
A
B
C
D
P
E
圖⑶
B
C
D
E
G
A
⑷
F
A
B
C
D
E
⑸
E′
A
B
C
B′
D
⑹
E
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1矩形的判定
判定一個四邊形是矩形的根據有：
矩形定義：有一個內角是直角的平行四邊形叫做矩形．
矩形的判定定理1：有三個角是直角的四邊形是矩形．
矩形的判定定理2：對角線相等的平行四邊形是矩形．
例1
已知：如圖1，矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，E、F、G、H分別是OA、OB、OC、OD的中點，求證：四邊形EFGH是矩形．
分析：因為題設條件與四邊形的對角線有關，因此考慮用矩形的判定定理2來證，即證EG=FH，四邊形EFGH是平行四邊形．
證明：∵E是OA的中點
∴OE=OA
同理OG=OC
∵四邊形ABCD是矩形
∴OA=OC
∴OE=OG
同理OF=OH
∴四邊形EFGH是平行四邊形
∵OE=AO，OG=OC
∴EG=OE+OG=AC
同理FH=BD
又AC=BD
∴EG=FH
∴四邊形EFGH是矩形．
點評：證明一個四邊形是矩形，若題設條件與這個四邊形的對角線有關，通常采用矩形判定定理2證明，即證出這個四邊形是平行四邊形且對角線相等．
例2
已知：如圖2，直線AB∥CD，EF和AB、CD分別相交于M、N兩點，射線MP、MQ、NP、NQ分別是∠AMN、∠BMN、∠MNC、∠MND的平分線，MP、NP相交于P，MQ和NQ相交于Q，求證：四邊形MPNQ是矩形．
分析：由題設條件，容易證出∠PMQ=90°，要證明四邊形MPNQ是矩形，可以考慮根據矩形的定義，要證明四邊形MPNQ是平行四邊形，可考慮根據平行四邊形的定義，證明它的兩組對邊分別平行，需∠1=∠2，∠3=∠4
證明：∵MP平分∠AMN
∴∠1=∠AMN
同理∠2=∠MND，∠4=∠BMN
∵AB∥CD
∴∠AMN=∠MND
∴∠1=∠2
∴PM∥NQ
同理NP∥MQ
∴四邊形MPNQ是平行四邊形
∵∠1+∠4=（∠AMN+∠BMN）=90°
∴四邊形MPNQ是矩形
點評：證明一個四邊形是矩形，若題設條件與這個四邊形的對角線無關，通常考慮用矩形的定義或判定定理1證明，若容易證出有三個直角，則用判定理1證明，若容易證出一個直角，則可根據矩形的定義證明．
A
B
C
D
E
F
H
G
O
圖1
A
B
M
E
P
C
N
F
D
Q
1
4
2
3
圖2
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1一個由數正方形引起的故事
課外小組輔導后,我布置了一道這樣的練習:數一數,圖中有幾個正方形 有幾個長方形 原來設想用下面第一個圖,后來因為在電腦排版時出現了一些變動。原來的圖變樣了，成了下邊第二幅圖的模樣。等我發現的時候，連圖已經印好了。這是一道非常普通的練習，前幾天已經做過了。所以我也就將錯就錯，讓孩子帶回家去做。
第二天到看了孩子們的作業情況,我驚呆了：全班38位同學竟有20多為寫了有8個或幾個不等的正方形，這里面有正方形嗎？我暗自尋思著。顯然圖中并沒有正方形。那究竟什么原因使這么多的孩子認為有正方形呢？是受了“有幾個正方形”這句話的誤導，還是受了書上題目思維定勢的影響？還是其他一些原因呢？
帶著這個疑問，我對認為圖中有“正方形”的孩子作了個別訪談。記錄如下：
師：圖上明明化著長方形，你們怎么會當作正方形來書呢？
生1：媽媽問我：有幾個正方形？我認為老師可能把圖印錯了，就當作正方形來數了。
生2：書上題目是正方形，我以為這道題是數上印出來的，也有正方形。
生3：我想老師本來是要印正方形的，但是卻印錯了。所以我就當正方形來數了。（好家伙！我的“心思“竟然被他猜得一清二楚。）
生4：媽媽說老師可能印錯了，所以又把圖重新給我畫了一遍。
…………
通過訪談，我們可以找出幾種比較有代表性的說法。
是受問題表述的影響，題目既然問了“有幾個正方形“？圖中就肯定有正方形。不敢打破常規，跳出題目的框框限制，沒有從正方形的特征上去思考，卻煞費苦心的找出了圖中的正方形。學生的這種謹小慎微可要不得。
是孩子們受書上題目的影響，產生了思維定勢。他們簡單的把書上的方法搬到了這道題目當中，只看到問題的表面形式，題目看上去差不多，卻沒有真正理解問題的實質，不能從圖形的特征上去判斷。學生的機械想象同樣需要防止。
是有的孩子甚至明明知道這里并沒有正方形，但卻妄自揣摩老師的意圖。認為書上的題目有正方形，老師出的題目也應該有正方形，而違背圖中的事實像模樣數出幾個正方形。孩字揣摩老師這種現象非常可怕，我們希望孩子們從小就樹立一種實事求是，嚴謹治學的科學態度。而不是從小學會察顏觀色，但憑大人的臉色行事。
根據上述分析，我認為在平時教學中，以下幾個方面需要改進。
加強變式練習，增加練習的開放度，克服學生的思維定勢。
重視學習方法的指導，不由就題論題，引導學生發現解規律，防止學生機械學系。
轉變師生關系，建立民主、平等、和諧的課堂氣氛。
培養學生實事求是的科學態度，樹立敢于向書本挑戰的勇于創新精神。
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1如何證明四邊形是菱形
在菱形的學習中，經常遇到證明四邊形是菱形的問題.解答它們，要注意利用如下的判定方法
1.一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；
2.四邊相等的四邊形是菱形；
3.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.
下面舉例介紹，供參考.
例1（鹽城市中考題）如圖，已知平行四邊形ABCD的對角線AC的垂直平分線與邊AD、BC分別相交于E、F.求證：四邊形AFCE是菱形.
簡析：由四邊形AFCE的兩條對角線互相垂直，那么要證明它是菱形，只要證明四邊形AFCE是平行四邊形.又AE∥CF，那么只要證明AE＝CF.
證明：在平行四邊形ABCD中，
因為AE∥CF，
所以∠OAE＝∠OCF，∠OEA＝∠OFC.
因為EF垂直平分AC，
所以OA＝OC.
所以△OAE≌△OCF（AAS）.
所以AE＝CF.因為AE∥CF，
所以四邊形AFCE是平行四邊形.
因為EF⊥AC，
所以四邊形AFCE是菱形.
例2（黃岡市中考題）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°,∠BAC＝60°,DE垂直平分BC，垂足為D，交AB于點E.又點F在DE的延長線上，且AF＝CE.求證：四邊形ACEF是菱形.
簡析：若四邊形ACEF是菱形，由∠BAC＝60°,容易推得△ACE和△AEF都是等邊三角形.反過來，要證明四邊形ACEF是菱形，可從證明△ACE和△AEF都是等邊三角形入手.
這樣，容易證明四邊形ACEF是有一組鄰邊相等的平行四邊形.
證明：由∠ACB＝90°,∠BAC＝60°,得∠B＝30°.
因為DE垂直平分BC，垂足為D，交AB于點E，
所以BE＝CE，∠ECB＝∠B＝30°.
所以∠ACE＝90°－∠ECB＝60°.
因為∠BAC＝60°,
所以△ACE是等邊三角形，∠CEA＝60°,CE＝AE.
因為∠AEF＝∠BED＝
90°－∠B＝60°，
AF＝CE＝AE，
所以△AEF是等邊三角形，∠EAF＝60°.
所以∠CEA
＝∠EAF，CE∥AF.
因為AF＝CE，
所以四邊形ACEF是平行四邊形.因為AC＝CE，
四邊形ACEF是菱形.
例3（江西省）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＞CD，將紙片沿過點D的直線折疊，使點C落在AD上的點處，折痕DE交BC于點E，連結E.求證：四邊形CDE是菱形；
簡析：依題意，△CDE與△DE完全重合，即有CD＝D，CE＝E.要證明四邊形CDE是菱形，可以考慮證明這個四邊形的四條邊都相等.
證明：由△CDE沿直線DE折疊能夠與△DE重合，得△CDE≌△DE.
所以CD＝D，CE＝E，∠CDE＝∠DE.
因為AD∥BC，
所以∠CED＝∠DE.
所以∠CDE＝∠CED，CD＝CE.
所以CD＝D＝CE＝E.
所以四邊形CDE的四條邊都相等.
所以四邊形CDE是菱形.
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1《矩形的性質與判定》學習要點
生活實例：工人師傅在做門窗或矩形零件時，首先測量兩組對邊的長度是否分別相等，其次再測量它的兩條對角線是否相等，以確保所測圖形是矩形．
問題：測量兩組對邊的長度分別相等，可以說明這個四邊形是平行四邊形，如果再測量它的對角線相等，則這個平行四邊形是矩形，為什么呢？在平行四邊形的前提下，再加一個什么條件即可判定這個圖形是矩形呢？讓我們一起來學習矩形．
一、認識矩形的定義
有一個角是直角的平行四邊形是矩形．
注意：矩形的定義有兩個要素：①是平行四邊形；②有一個角是直角．
二、掌握矩形的性質
（1）矩形具有平行四邊形的所有性質．
（2）矩形的四個角都是直角．
（3）矩形的對角線互相平分且相等．
（4）矩形是軸對稱圖形，有兩條對稱軸．
注意：利用矩形的性質可以證明線段的相等或倍分、證明直線的平行、證明角的相等等問題．
三、掌握矩形的判定方法
（1）根據定義判定：有一個角是直角的平行四邊形是矩形；
（2）定理1：有三個角是直角的四邊形是矩形；
（3）定理2：對角線相等的平行四邊形是矩形．
注意：①用定義來判定一個四邊形是矩形要滿足兩條：一是有一個角是直角；二是平行四邊形，也就是說有一個角是直角的四邊形不一定是矩形，必須加上平行四邊形這個條件．
②用定理2證明一個四邊形是矩形也必須滿足兩個條件：一是對角線相等；二是平行四邊形．也就是說：兩條對角線相等的四邊形不一定是矩形，必須加上平行四邊形這個條件，它才是矩形．
③矩形的判定可以通過以下思路進行：
通過以上的學習，我們可以知道工人師傅前面的做法是符合矩形的判定方法的，由此可見，他作出的圖形是矩形．
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1一個關于矩形的問題
閱讀以下短文，然后解決下列問題：
如果一個三角形和一個矩形滿足條件：三角形的一邊與矩形的一邊重合，且三角形的這邊所對的頂點在矩形這邊的對邊上，則稱這樣的矩形為三角形的“友好矩形”.
如圖①所示，矩形ABEF即為△ABC的“友好矩形”.顯然，當△ABC是鈍角三角形時，其“友好矩形”只有一個.
(1)
仿照以上敘述，說明什么是一個三角形的“友好平行四邊形”；
(2)
如圖②，若△ABC為直角三角形，且∠C=90°，在圖②中畫出△ABC的所有“友好矩形”，并比較這些矩形面積的大小；
(3)
若△ABC是銳角三角形，且BC>AC>AB，在圖③中畫出△ABC的所有“友好矩形”，并比較這些“友好矩形”的面積和周長的大小，不要求證明.
在課堂教學中，老師可以引導學生對各種圖形進行定義的。這里如何將友好矩形的定義推廣到友好平行四邊形呢？
(1)若一個三角形和一個平行四邊形滿足條件：三角形的一邊與平行四邊形的一邊重合，三角形這邊所對的頂點在平行四邊形這邊的對邊上，則稱這樣的平行四邊形為三角形的“友好平行四邊形”.
(2)此時共有2個友好矩形，如圖的BCAD，ABEF.易知，矩形BCAD，ABEF的面積都等于△ABC面積的2倍，即△ABC的“友好矩形”的面積相等.
(3)此時共有3個友好矩形，如圖的BCDE，CAFG及ABHK，其中矩形ABHK的周長最小.類似于（2）可知，這三個矩形的面積相等；而通過測量等，可以發現，矩形ABHK的周長最小，矩形BCDE的周長最大.
一個問題，有幾個符合條件的圖形，這時我們要習慣于研究這些不同圖形之間的聯系與差別，這也是數學研究的一個好習慣。當然，第3問沒有要求我們證明，如果感興趣的同學，也可以嘗試證明一下。
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1
-矩形對角線性質的妙用
我們都熟悉矩形對角線的性質：矩形的對角線相等且互相平分，下面我們來欣賞這一簡單性質的妙用．
一、利用矩形的對角線相等
例1．如圖1，點A、D、G、M在半圓O上,四邊形ABOC、DEOF、HMNO均為矩形.設BC=a，EF=b，NH=c，則下列各式中正確的是（
）
A．a＞b＞c
B．a=b=c
C．c＞a＞b
D．b＞c＞a
分析：分別作出三個矩形的另一條對角線OM、OD、OA，
因為它們是同圓的半徑，再由矩形對角線相等，問題就可以解決了．
解：連接OM、OD、OA，則OM=OD=OA，又由矩形對角線相等得：OM=NH，OD=EF，OA=BC，所以BC=a=EF=b=NH=c，故選B．
點評：本題的線段比較多，圖形也較復雜不易梳理，只要牢牢抓住“矩形對角線相等”，問題就可以解決了．
二、利用矩形的對角線互相平分
例2．如圖2，已知，點在邊上，四邊形是矩形．請你只用無刻度的直尺在圖中畫出的平分線（請保留畫圖痕跡）．
分析：本題要求只用無刻度的直尺作出角平分線，圖中有矩形，只有借助
矩形的性質，這就要抓住矩形對角線的性質．
解：連接AB、EF且交于C，作射線OC，則射線OC即為
∠AOB的平分線（如圖3）．
理由如下：因為矩形對角線互相平分，所以CA=CB，
又因為OA=OB，OC=OC，所以△AOC≌△BOC，所以∠AOC=∠BOC，
即射線OC是∠AOB的平分線．
點評：本題構思新穎，設計巧妙，把尺規作圖與幾何說理結合起來，考查
了同學們的綜合運用知識解決新問題的能力．
三、矩形的對角線相等且互相平分
例3．如圖4，在矩形ABCD中，AB3，AD4，點P在AD
上，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，則PE+PF等于（　　）
A．　　B．　　C．　　
D．
分析：要求PE+PF的值，立馬聯想到等腰三角形底上任一點到兩腰的距離
和等于一腰上的高的結論，就要用到矩形的對角線的性質．
解：連接OP，過D作DG⊥AC于G，在Rt△ACD中，因為AB3，AD4，
由勾股定理得：AC=5，再由面積公式得：ADCD=DGAC，所以DG=，
由矩形對角線相等得：OA=OD，又因為S△APO+S△DPO=S△AOD，由面積公式得：
OAPE+ODPF=OADG，即PE+PF=DG=，故選B．
點評：本題雖然是一道簡單的選擇題，但它考查的知識點比較多，考生必須具有比較扎實的基本功和靈活運用知識的能力才能解決．
圖1
圖2
圖3
C
圖4
A
D
B
C
E
F
P
O
G
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1矩形、菱形、正方形錯例辨析
在初學矩形、菱形、正方形這部分內容時，由于對這幾個圖形的性質和判定掌握不夠好，常出現這樣或那樣的錯誤，現舉例辨析，供學習時參考．
例1　兩條對角線相等的四邊形是（　　）
A．平行四邊形　　　　B．菱形
C．矩形　　　　　　　D．不能確定
錯解：選C．
辨析：兩條對角線相等的圖形不一定是矩形，如圖1，可以是不規則的四邊形，圖中對角線AC=BD．
正解：選D．
例2　對角線_____________的四邊形是菱形．
錯解：互相垂直．
辨析：對角線互相垂直的四邊形不一定是菱形，如圖2就不是菱形，應強調垂直且互相平分．
正解：垂直且互相平分．
例3　正方形ABCD中，兩條對角線的交點為O，∠BAC的平分線交BD于E，若正方形的邊長是2cm，則DE的長是（　　）
A．1cm
B．2cm
C．3cm
D．cm
錯解：選D．
辨析：如圖3，把E當作OB的中點，這樣由勾股定理可以算出（cm），（cm），這是錯誤的．
本題應先推出∠DAE=∠DEA（∠EAD=∠OAD+∠OAE=67.5°=∠OBA+∠BAE=∠DEA），所以△DAE是等腰三角形，DE=DA=2cm．
正解：選B．
例4　矩形的各內角平分線組成的四邊形是正方形嗎？為什么？
錯解：不是正方形．因為只能判定四個角是直角，不能判定四邊相等，所以是矩形而不是正方形．
辨析：錯解的原因是對概念掌握的不好．本題的條件不但能判定四個角是直角，還能判定四邊相等，如圖4．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠DAB=∠ABC=90°．
∴∠1=∠2=
∠DAB=45°，∠3=∠4=
∠ABC=45°．
∴∠MEN=∠AEB=90°．
同理∠N=∠M=90°．
∴四邊形EMFN是矩形．
∵∠1=∠3，∴
AE=BE．
∵∠2=∠4，AD=BC，
∴Rt△AMD≌Rt△BNC．
∴
AM=BN．
∴
EM=AM-AE=BN-BE=EN．
∴四邊形EMFN是正方形．
正解：是正方形．證明過程如上．
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1活用菱形性質
解決計算問題
菱形是一種特殊的平行四邊形,它具有四邊相等,對角線互相垂直并平分一組對角等性質,和菱形有關的計算問題主要設計以下幾個方面.
一.應用性質求周長
例1
（云南）菱形的兩條對角線的長分別是6和8
，則這個菱形的周長是（
）
A．24
B．20
C．10
D．5
解析:菱形的兩條對角線長分別是6和8,對角線的一半分別是3和4,它們和菱形的斜邊組成直角三角形,根據勾股定理得斜邊為5,所以菱形的周長為20.故應選B.
例2
（山東臨沂）如圖1，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，E、F分別是BC、CD的中點，連接AE、EF、AF，則△AEF的周長為（
）
A．
B．
C．
D．3
解析:本題考查了菱形的有關性質、勾股定理、等腰三角形、等邊三角形以及三角形全等等知識，題目不是很難，但綜合性較強.連接AC.因為四邊形ABCD是菱形，所以AB=BC.又因為∠B＝60°，所以△ABC是等邊三角形.因為E是BC的中點,所以AE⊥BC.同理，AF⊥CD.易證得△ABE≌△ADE，所以AE=AF.因為AB∥CD，∠B＝60°，所以∠C=120°.又因為CE=CF，所以∠CEF=30°，所以∠AEF=60°，所以△AEF是等邊三角形.由勾股定理得AE=，所以△AEF的周長為3.故應選B.
二.應用性質求面積
例3
（湖南長沙）如圖2，在□ABCD中，BC=2AB=4，點E、F分別是BC、AD的中點.
（1）求證：△ABE≌△CDF；
（2）當四邊形AECF為菱形時，求出該菱形的面積.
分析:本題主要考查菱形的性質和面積的計算.
兩三角形全等的條件由平行四邊形的性質和中點定義提供.
若四邊形AECF為菱形,則AE=EC=BE=AB,于是△ABE為邊長為2的等邊三角形,根據等邊三角形的性質和勾股定理計算△ABE的高,從而求得菱形的面積.
解:（1）由□ABCD知AB=CD,∠B=∠D,AD=BC,
∵E、F分別是BC、AD的中點,∴BE=DF,
∴△ABE≌△CDF.
（2）當四邊形AECF為菱形時，△ABE為等邊三角形，
四邊形ABCD的高為，
∴菱形AECF的面積為2．
三.應用性質求兩點間距離
例4
（永州）
如圖3,△ABC與△CDE都是等邊三角形，點E、F分別在AC、BC上，且EF∥AB
⑴求證：四邊形EFCD是菱形；
⑵設CD＝4，求D、F兩點間的距離．
分析:
（1）考查菱形的判定.判定菱形可以從四條邊相等來判定;可以從有一組鄰邊相等的平行四邊形來判定;可以從對角線互相垂直平分的四邊形來判定;也可以從對角線互相垂直的平行四邊形來判定.方法較多.（2）考查等邊三角形的性質和勾股定理的應用.要求DF,先連接DF,根據菱形對角線的性質,知CE垂直平分DF,而DF的一半恰是等邊三角形的高,用勾股定理求出高,即可.
解：⑴證明：與都是等邊三角形
又
四邊形EFCD是平行四邊形，又
ED=CD,
四邊形是菱形.
⑵解：連結，與相交于點
由，可知
圖1
A
B
C
D
E
F
圖2
圖3
G
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1利用正方形的性質探索線段的數量關系
正方形是一種特殊的四邊形，它里面隱含著許多的線段之間的關系，歷年中考題總會出現有關利用正方形的性質探索線段的數量關系問題，求解時只要我們能充分利用正方形的特性，結合圖形大膽的探索、歸納、驗證即可使問題獲解.
例1如圖1，四邊形ABCD是正方形,
點G是BC上任意一點，DE⊥AG于點E，BF⊥AG于點F.
（1）
求證：DE－BF
=
EF.
（2）
當點G為BC邊中點時,
試探究線段EF與GF之間的數量關系，
并說明理由.
（3）
若點G為CB延長線上一點，其余條件不變.請你在圖2中畫出圖形，寫出此時DE、BF、EF之間的數量關系（不需要證明）.
分析：（1）考查正方形的性質及全等三角形的判定及性質，找出圖中全等的直角三角形，得兩線段的差等于某條線段，（2）利用相似找三角形的性質，然后根據對應邊成比例來到處兩線段的倍數關系，從而使問題獲解.
證明：（1）
∵
四邊形ABCD
是正方形,
BF⊥AG
,
DE⊥AG
∴
DA=AB，
∠BAF
+
∠DAE
=
∠DAE
+
∠ADE
=
90°
∴
∠BAF
=
∠ADE
∴
△ABF
≌
△DAE
∴
BF
=
AE
,
AF
=
DE
∴
DE－BF
=
AF－AE
=
EF
（2）EF
=
2FG
理由如下：
∵
AB⊥BC
,
BF⊥AG
,
AB
=2
BG
∴
△AFB
∽△BFG
∽△ABG
∴
∴
AF
=
2BF
,
BF
=
2
FG
由（1）知,
AE
=
BF，∴
EF
=
BF
=
2
FG
（3）
如圖3
DE
+
BF
=
EF
評注：正方形是有一個角是直角的菱形；正方形又是對角線相互垂直的矩形；正方形是中心對稱對稱圖形，也是軸對稱圖形.正方形的對角線分其四個全等的等腰直角三角形.
例2已知正方形ABCD中，E為對角線BD上一點，過E點作EF⊥BD交BC于F，連接DF，G為DF中點，連接EG，CG.
（1）求證：EG=CG；
（2）將圖4中△BEF繞B點逆時針旋轉45 ，如圖5所示，取DF中點G，連接EG，CG.問（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由.
（3）將圖4中△BEF繞B點旋轉任意角度，如圖6所示，再連接相應的線段，問（1）中的結論是否仍然成立？通過觀察你還能得出什么結論？（均不要求證明）
分析：要猜想EG與CG之間的大小關系，由正方形的圖形特征，可以先證CG=
FD，進而可以利用G為DF中點的知識或全等三角形的知識即可驗證.
解：（1）證明：在Rt△FCD中，
∵G為DF的中點，
∴
CG=
FD.
同理，在Rt△DEF中，
EG=
FD.
∴
CG=EG.
（2）（1）中結論仍然成立，即EG=CG.
證法一：連接AG，過G點作MN⊥AD于M，與EF的延長線交于N點.
在△DAG與△DCG中，
∵
AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，
∴
△DAG≌△DCG.
∴
AG=CG.
在△DMG與△FNG中，
∵
∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG，
∴
△DMG≌△FNG.
∴
MG=NG
在矩形AENM中，AM=EN.
在Rt△AMG
與Rt△ENG中，
∵
AM=EN，
MG=NG，
∴
△AMG≌△ENG.
∴
AG=EG.
∴
EG=CG.
（3）（1）中的結論仍然成立，
即EG=CG.其他的結論還有:EG⊥CG.
評注：求解本題中的問題一定要根據圖形的特征，從中找到求解的最佳突破口.要說明兩條線段的關系應分別從數量和位置兩個方面去考慮，否則就有可能出現錯誤.
F
B
A
C
E
圖6
D
F
B
A
D
C
E
G
圖5
F
B
A
D
C
E
G
圖4
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1實際問題中矩形的判定
除了根據定義外，還可以用矩形的判定方法判定一個四邊形是否是矩形.在實際問題中，也經常用到矩形的判定.請看幾例.
例1
如圖1，李叔叔想要檢測雕塑底座正面四邊形ABCD是否為矩形，但他隨身只帶了有刻度的卷尺，請你設計一種方案，幫助李叔叔檢測四邊形ABCD是否為矩形（圖2供設計備用）.
分析：本題是一道方案設計型新穎的實際問題，要檢驗四邊形ABCD是否為矩形，根據已知工具，只能測量長度.可能從矩形的判定方法選擇測量方案.如測量四邊形的邊長或對角線的長，然后借助矩形的判定方法進行判定.也可以構造三角形，通過測量三邊長度判斷四邊形三個內角的度數，根據三個角是直角的四邊形是矩形來判斷四邊形ABCD是否為矩形.
解：下面提供幾種測量方案：
圖1
圖2
①用卷尺分別比較AB與CD，AD與BC的長度，當AB=CD，且AD=BC時，四邊形ABCD為平行四邊形；否則四邊形ABCD不是平行四邊形，從而不是矩形.
②當四邊形ABCD是平行四邊形時，用卷尺比較對角線AC與BD的長度.當AC=BD時，四邊形ABCD是矩形；否則四邊形ABCD不是矩形.
③先測量兩鄰邊的長以及對角線的長，然后用勾股定理逆定理測量一個角是否為直角，再用同樣的方法再測量另外兩個角是否也為直角.若四邊形ABCD中有三個角是直角，則四邊形ABCD是矩形，否則四邊形ABCD不是矩形.
④先測量四邊形ABCD是否為平行四邊形，再用勾股定理逆定理測量其中一個角是否為直角，若四邊形ABCD是平行四邊形，且有一個角是直角，則四邊形ABCD是平行四邊形，否則，四邊形ABCD不是平行四邊形.
例2
農村家庭建房打地基時，不像城市蓋大樓有專門的儀器放樣，他們往往采用土辦法，先用繩子拉成四邊形，分別量出房基的長a和寬b（如圖3），但還要一道重要的工序，才能保證房基是矩形，你能根據所學知識說出這道工序嗎？請說明理由.
圖3
分析：判斷一個四邊形是否是矩形時，在無法根據矩形定義判定時，可先根據它是否是平行四邊形，然后再根據判定方法判定是否是矩形.
解：由兩組對邊分別相等，可知圖1是平行四邊形，然后重要的一道工序應該是使對角線相等或使任意一個角是直角.因為對角線相等的平行四邊形是矩形或一個角為直角的平行四邊形是矩形.
例3
工人師傅做鋁合金窗框分下面三個步驟進行：
⑴
先截出兩對符合規格的鋁合金窗料（如圖4①），使AB=CD，EF=GH；
⑵
擺放成如圖4②的四邊形，則這時窗框的形狀是
形，根據的數學道理是：
；
⑶
將直角尺靠緊窗框的一個角（如圖4③），調整窗框的邊框，當直角尺的兩條直角邊與窗框無縫隙時（如圖4④），說明窗框合格，這時窗框是
形，根據的數學道理是：
①
②
③
④
圖4
分析：本題是以實際問題為背景，設計的一道考查特殊四邊形性質的問題.將特殊四邊形的有關性質與具體的實際問題相結合，使得考題具有創新性.
解：根據已知條件AB=CD，EF=GH，當擺成圖4②時，所得到的圖形是平行四邊形.根據是兩組對邊相等的四邊形是平行四邊形.
如圖4
④，這時說明平行四邊形有一個角是直角，其它的三個角也可知是直角，這時四邊形是矩形，根據：有一個角是直角的平行四邊形是矩形.
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1什么是菱形？
答案：

一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。
【舉一反三】
典題：菱形的一條對角線與邊長相等，則這個菱形的內角分別是＿＿＿＿＿＿。
思路導引：菱形的一組鄰邊相等，所以四條邊都相等，對角線與兩鄰邊組成的三角形是等邊三角形，所以菱形的一個內角為60°，其它三個內角為120°，60°，120°。
標準答案：60°，120°，60°，120°。
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1
中國極育出版網
www.菱形探索創新題舉例
探索型創新題是近幾年中考的一個亮點，它主要考查學生的觀察、分析、歸納、比較、推理等方面的能力，設計新穎，形式多樣，現以菱形為例加以說明．
一、條件探索型
例1　在△ABC中，ABAC，D是BC上一點，DE//CA交AB于點E，DF//BA交AC于點F，要使四邊形AEDF是菱形，只需添加條件（　　）
A、AD⊥BC
B、∠BAD=∠CAD　　　
C、BD=DC
　
D
、AD=BD
析解：這類題目中的條件不完善，需從結論入手，探索條件，補充和完善條件，使結論成立．如圖由DE//CA，DF//BA，知四邊形AEDF為平行四邊形．要使四邊形AEDF為菱形，必須AE=DE，故需添加條件∠BAD=∠CAD
可易知AE=DE故應選B．
二、結論探索型
例2　用兩個邊長為a的等邊三角形紙片拼成的四邊形是（　　）
A、等腰梯形
B、正方形
C、矩形
D、菱形
析解：這類題目是條件己具備，由這些條件推出的結論末確定，需要依據條件去探索從而確定結論．因為邊長為a的等邊三角形紙片拼成的四邊形的四條邊都相等，而四條邊都相等的四邊形可能是菱形或正方形，又因所拼成的四邊形的內角只可能是6或12，故所拼四邊形不可能是正方形，只能是菱形，故應選D
三、條件和結論都需要探索型
例3　如圖四邊形ABCD是菱形，E是BD延長線上一點，F是DB延長線上一點，且DE=BF，請以F為一端點，和圖中己標字母的某一點連成一條新的線段，猜想并證明它和圖中己有的某一條線段相等（只需證明一組線段相等即可）
連結
猜想=
證明：
析解：這類題目中的條件或結論都不完善，不確定，需要去補充條件，猜想并確確由這些條得出結論，并進行說理證明．（1）連結AF（2）猜想：AE=AF（3）證明：由四邊形ABCD是菱形，知AB=AD，∠1=∠2，得∠ABF=∠ADE，又DE=BF，故△ADE≌△ABF即AE=AF．
四、閱讀理解探索型創新題
例4　先閱讀下面題目及解題過程再根據要求回答問題：
己知如圖在平行四邊形ABCD中，∠BAD的平分線BC交于E，∠ABD的平分線交AD于F，AE，BF相交于0，則四邊形ABEF為菱形，說明理由．
理由：（1）因為四邊形ABCD為平行四邊形，
（2）所以AD//BC
（3）所以∠ABE+∠BAF=18
（4）因為AE，BF分別是∠BAD，∠ABC的平分線
（5）所以∠1=∠2=∠BAF，∠3=∠4=∠ABE
（6）所以∠1+∠3=（∠BAF+∠ABE）==9
（7）所以∠AOB=
（8）所以AE⊥BF
（9）所以四邊形ABEF是菱形
問：（1）上述理由是否充分？回答：
（2）如有錯誤，指出其錯誤的原因是
應在第
步后添加如下說理過程
析解：這是一通糾錯探索型閱讀題．關注知識形成過程，考查閱讀、分析能力，通過閱讀再現菱形的判定方法，在分析過程中培養作題的主動性．（1）不充分（2）錯誤的原因是設有說明四邊形ABEF是否為平行四邊形，而僅靠對角線互相垂直，不足以說明其為菱形，（8）又在△ABE中∠3=∠4，BO⊥AE所以OA=OE，同理可得OB=OF．
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1注意知識間聯系　巧學正方形判定
在學習正方形的判定時，很多同學對正方形的判定感覺無從下手，更有甚者，將判定方法死記硬背，結果背的很“熟”，但真正用起來時還是不會．其實，正方形的判定這一小節是前面幾節課的小結，只要將知識間的聯系弄明白了，問題也就迎刃而解了．
一、知識結構圖
只要在頭腦中構建出了良好的知識結構圖，相信這部分內容對你來說已不在話下了．
二、練習廣角
1．下列命題中：①如果一個菱形的兩條對角線相等，那么它一定是正方形；②如果一個矩形的兩條對角線互相垂直，那么它一定是正方形；③兩條對角線互相垂直且相等的四邊形一定是正方形；④四條邊相等，且有一個角是直角的四邊形是正方形．其中，真命題有___________個．
2．已知：點E、F、G、H分別是正方形ABCD四條邊的中點．
問：四邊形EFGH是什么樣的圖形？
若將條件改為：AE=BF=CG=DH，如下圖，結論還成立嗎？
若將正方形ABCD改為矩形，結論還成立嗎？
3．在△ABC中，CD是∠ACB的平分線，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分別為E、F．要使四邊形CEDF是正方形需添加什么條件？并說明你的理由．
答案與提示：
1．3．（①②④是真命題．）
2．四邊形EFGH是正方形；
若將條件改為（易證△EFH、△FGE、△GHF、△HEG是全等的等腰直角三角形，從而結論也就得出來了）：AE=BF=CG=DH，結論還成立；
若將正方形ABCD改為矩形，結論不成立，所得四邊形是菱形．
3．∠ACB＝90°．（由∠ACB＝90°、DE⊥BC、DF⊥AC可證明四邊形CEDF是矩形，而后根據角平分線的性質得DE＝DF，從而證明結論成立．）
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1《菱形的性質與判定》例題精講與同步練習
【重點、難點】
重點：
1．菱形的概念。
有一組鄰邊相等的平行四邊形叫作菱形。
2．菱形的性質：
①菱形的四條邊相等；
②菱形的對角線互相垂直平分，每一條對角線平分菱形的一組對角；
③菱形的面積等于它的兩條對角線乘積的一半。
3．菱形的判定定理：
①四條邊相等的四邊形是菱形；
②對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。
難點：運用菱形的性質定理和判定定理解相關問題。
【講一講】
幾何：
例1：已知：在菱形ABCD中，E、F分別為BC、CD的中點，求證：AE=AF。
分析：由菱形的性質可以知道AB=AD=BC=CD，又E、F分別為中點，則BE=DF。另有∠B=∠D，這樣通過全等三角形可以求證AE=AF
證明：∵ABCD為菱形，
∴AB=AD
BC=CD
∠B=∠D
∵E、F分別為BC、CD的中點
∴BE=DF
∵在△ABE與△ADF中
∴△ABE≌△ADF
∴AE=AF
例2：已知：矩形ABCD的對角線AC的垂直平分線與邊AD、BC分別交于E、F。
求證：四邊形AFCE是菱形。
分析：由EF為AC的垂直平分線有AE=EC，AF=FC，若證AFCE為菱形，只須證AE=FC，通過已知ABCD為矩形，利用矩形的性質可以證明△AOE與△COF全等。從而得到AE=CF。
證明：∵ABCD為矩形，
∴AD∥BC
∴∠1=∠2。
∵EF為AC的垂直平分線
∴AO=CO
在△AOE與△COF中
∴△AOE≌△COF
∴AE=FC
∵ABCD為矩形，
∴AD∥BC
即AE∥FC
∴四邊形AFCE為平行四邊形
∵EF是AC的垂直平分線
∴EF⊥AC
∴AFCE為菱形。
例3：已知：如圖在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC的角平分線交AC于D，AH⊥BC于H，交BD于E，DF⊥BC于F。
求證：AEFD為菱形。
分析：利用角平分線的性質可以證明AD=DF。
由角平分線可得∠ADB=∠BEH，
從而得到∠1=∠ADE，即AE=AD，
又可證明AE∥DF，所以由“有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形”可以證明結論。
證明：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，
∴∠ADB+∠ABD=90°
∵AH⊥BC于H
∴∠2+∠DBF=90°
∵∠1=∠2
∴∠1+∠DBF=90°
∵BD平分∠ABC
∴∠ABD=∠DBF，
∠ADB=∠1
∴AE=AD
∵BD平分∠ABC，
∠BAC=90°
DF⊥BC于F
∴AD=FD
AE=FD
∵AH⊥BC于H，
DF⊥BC于F
∴AH∥DF，即
AE∥FD
∴AEFD為平行四邊形
∴AE=AD
∴AEFD為菱形
【同步達綱練習】
1．已知：平行四邊形ABCD中，AC和BD交于O，EF過O點交AD于E，交BC于F，HG過O點交AB于H，交CD于G。
如果EF平分∠AOD，HG平分∠AOB
求證：EHFG為菱形
2．已知菱形ABCD的對角線AC長為16，BD長為12
求它的面積。邊長AB及高。
3．已知菱形對角線BD=4，∠BAD：∠ADC=1：2，
求：菱形面積及對角線AC的長。
4．如圖，已知O是矩形ABCD的對角線的交點，DE∥AC，CE∥DB。DE與CE相交于E
求證：四邊形OCED為菱形。
5．求證：菱形四邊中點連線組成的圖形為矩形
6．求證：矩形四邊中點連線組成的圖形為菱形。
參考答案
【同步達綱練習】
1．∵OE平分∠AOD
∴
∵OH平分∠AOB
∴
∵∠AOD+∠AOB=180°
∴即HG⊥EF。
∵ABCD為平行四邊形∴OA=OC
BO=OD
AD∥BC
AB∥CD
∴∠DAO=∠BCO
∠ABO=∠ODC
∴△AOE≌△OCF，△BHO≌△ODG
∴OE=OF
OH=OG
∴HFGE為菱形。
2．∵ABCD為菱形，∴AC⊥BD
OA=OC
OD=OB
又∵AC=16
BD=12
∴OD=6
AO=8
∴
∴AB=10
∵
∴
3．∵ABCD為菱形∴AB∥CD
∴∠BAD+∠ADC=180°∵∠BAD：∠ADC=1：2
∴∠BAD=60°
∠ADC=120°
∵AC⊥BD
OA=OC
OB=OD
BD=4
∴OB=2，又∠BAO=∠DAO=30°
∴
AB=4
∴
∴
4．∵DE∥AC
∴DE∥OC
同理CE∥OD
∴OCED為平行四邊形
∵ABCD為矩形
AC、BD相交于O
∴OA=OC
OD=OB且AC=BD
∴OD=OC
∴OCED為菱形。
5．
證明：連結AC、BD相交于O
∴
∴
EF∥BD
又∵ABCD為菱形
∴AC⊥BD
∴EF⊥GF
∴EFGH為矩形。
6．
證明：連結AC、BD
∵ABCD為矩形，∴AC=BD
∵E、F、G、H分別為AD、AB、BC、CD中點，
∴
∴EF=FG=GH=EH
∴EFGH為菱形。
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1認識正方形
平行四邊形——這是一個漂亮和有用的圖形，它使我們記起重量單位，事實上與重量單位一點沒有關系。作兩對平行直線，如圖1考慮這樣形成的四邊形。它的邊成對平行：，。這種四邊形稱做平行四邊形。
圖1
圖2
在圖2上畫著各種不同的平行四邊形。是的，是的，不要奇怪，連菱形、矩形和正方形都是平行四邊形。它們是帶有某些補充性質的平行四邊形。
菱形——這是一個所有邊都相等的平行四邊形。
矩形——這是一個所有角都是直角的平行四邊形。
那么事實上矩形是不是平行四邊形呢？和對不對（圖3）？
圖3
我們回憶一下三條垂直的直線的性質（94頁）。它說，在同一平面內垂直于同一條直線的兩條直線彼此平行。在矩形中，，，這就是說，。而角與也都是直角，也即，．于是就有。由此得到，矩形的邊成對平行。因此，矩形是平行四邊形。
正方形是非常有趣的四邊形，能夠給它幾個定義。
1．正方形像菱形一樣，所有邊都相等，只是還要所有角都是直角。這就是說，正方形是具有直角的菱形。
2．正方形像矩形一樣，所有角都是直角。只是還要所有邊都相等。這就是說，正方形是所有邊都相等的矩形。
3．正方形像平行四邊形一樣，邊成對平行的。只是還要所有邊都相等和所有角都是直角。這就是說，正方形是所有角都是直角和所有邊都相等的平行四邊形。
正方形還有一整套有趣的性質。例如，如果要用給定長度的籬笆圍住一個最大面積的四邊形區域，那么應當把這區域選成正方形形狀。
用紙張的實驗能幫助我們更好地學習平行線、垂線和平行四邊形。
用紙張的實驗
在紙上標明兩點和，隨后把紙對折，使得與重合。直線與折線相對位置是怎樣的？
通過折一張紙，去得到一對平行直線和一對垂直直線。
從一張任意形狀的紙折疊并且隨后剪出一個矩形。指明在這矩形中哪些邊彼此平行或垂直。
剪切一個矩形，使其得到一個正方形。剪下這一正方形并研究它。通過正方形兩個相對頂點的折疊線稱為正方形的對角錢。用折疊的方法可得到兩條對角錢。只用折疊紙的方法你們還能發現哪些性質？記錄下這些性質。
如果尋找這些性質有困難，下面的研究計劃可能有幫助：
1．按長度比較兩條對角線。
2．兩條對角線之間相對位置怎樣？
3．交點把對角線分成什么比例？
4．每一條對角線把正方形分成什么樣的圖形？
5．這些圖形是哪種類型？
6．對它們彼此之間進行比較。
把正方形這樣對折，使它的兩條對邊重合。折疊線經過哪些點？折疊線相對正方形各邊的位置怎樣？它把正方形分成什么樣的圖形？
教師給孩子們一個任務，從一張彩色紙中剪出一個正方形。瓦夏剪出了一個正方形時，這樣檢驗它：他比較了邊的長度。全部4條邊發現是相等的，瓦夏就判定地完成了這個任務。這種檢驗可信賴嗎？
阿廖沙用另一種方法檢驗了工作：他量的不是邊，而是對角線．對角線是相等的，阿廖沙就認為正確地剪出了正方形。這對嗎？
萊娜剪了正方形后，比較了由對角線相互分成的所有4個線段。發現它們都是相等的。按照萊娜的意見，這證明了，剪出的四邊形是正方形。你們的意見怎樣？
從一張紙剪出一個邊長為和的矩形。從這矩形剪出一個邊長為的正方形。余下一個邊長為和的矩形，也就是一條邊同樣是另一條邊的大約1.6倍。隨后再從這矩形剪去一個邊長為的正方形。余下的矩形，它的一條邊同樣是另一條邊的大約1.6倍。
這一過程可以繼續下去，對于進之間的比近似1.6：l的矩形，很早以前就有人注意到了。看一看雅典帕德嫩神廟的造型（圖4）。甚至現在這還是世界最美麗的建筑之一，這神廟建筑于古希臘數學繁榮的年代，并且它的美麗就是建立在嚴格的數學法則上的。如果我們在帕德嫩神廟周圍描一個矩形（圖5），那么發現，它的長是寬的大約1.6倍，這種矩形稱為黃金矩形。據說，它的邊組成黃金分割。數學家給出了黃金分割的精確定義。
圖4
圖5
黃金分割——它將一個整體分割成兩個不相等的部分，使得大的部分對整體的比等于小的部分對大的部分的比。數1.6只是近似地（精確到0.1）表示黃金分割的值。
假如線段分成兩部分，小的部分長度為，而大的部分長度為（圖6），那么在黃金分割情況下。有趣的是，
圖6
在正五角星里，組成這一圖形的5條線中，每一條都把另外一條分成黃金分割的比（圖7）。
圖7
圖8中畫著一個貝殼：點分線段近似于黃金分割。
圖8
你看到過任何有黃金矩形形狀的物體嗎？
按照圖9中給出的指示，用圓規直尺作一個黃金矩形。
圖9
延長底邊到與弧相交，在直角下作一側邊，這樣我們就完成黃金矩形的作圖。
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1判別菱形的思路
菱形是特殊的平行四邊形，一般情況下，判別一個四邊形是菱形，要先判別其為平行四邊形，再判別其有一組鄰邊相等或兩條對角線互相垂直.具體來說，判別四邊形是菱形主要有以下幾種思路.
先說明四邊形是平行四邊形，再說明它有一組鄰邊相等
如圖1，已知，在△ABC中，AB=AC，M是BC的中點，MG⊥BA，MD⊥AC，GF⊥AC，DE⊥AB，垂足分別為G、D、F、E，GF與DE相交于H，試說明：四邊形HGMD是菱形.
分析：利用菱形的定義，先說明四邊形HGMD是平行四邊形，再說明Rt△BGM≌Rt△CDM，得GM=DM，就可以說明四邊形HGMD是菱形了.
解：因為MD⊥AC，GF⊥AC，所以MD∥GF.
同理MG∥DE.
所以四邊形HGMD為平行四邊形.
由AB=AC，則∠B=∠C.
又BM=MC，
所以Rt△BGM≌Rt△CDM，
所以MG=MD，
所以四邊形HGMD是菱形.
說明四條邊都相等
a，b，c，d是四邊形ABCD的四邊，若a4+b4+c4+d4=4abcd.試說明：四邊形ABCD是菱形.
解：因為a4+b4+c4+d4=4abcd，
所以a4－2a2b2+b4+c4－2c2d2+d4+2a2b2+2c2d2－4abcd=0,
即（a2－b2）2+(c2－d2)2+2(ab－cd)2=0.
由非負數性質，得a2－b2=0，c2－d2=0，ab－cd=0.
所以a2=b2，c2=d2，ab=cd.
所以a=b=c.
所以四邊形ABCD是菱形.
先說明四邊形是平行四邊形，再說明對角線互相垂直
已知：如圖2，
ABCD的對角線AC的垂直平分線與AD、BC、AC分別相交于E、F、O.試說明：四邊形AFCE是菱形.
分析：在四邊形AFCE中，已有對角線EF⊥AC，要說明四邊形AFCE是菱形，只需說明四邊形AFCE是平行四邊形即可.
解：因為四邊形ABCD是平行四邊形，
所以AD∥BC，
所以∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO.
所以AO=OC.
所以△AOE≌△COF，所以OF=OE.
因為OA=OC，
所以四邊形AFCE是平行四邊形.
又EF⊥AC，所以
AFCE是菱形.
說明四邊形兩對角線互相垂直且平分
如圖3，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC的平分線交AC于D，AE⊥BC于F，AE交BD于G，連接GF.試說明：四邊形AGFD是菱形.
分析：先說明對角線AF、DG互相平分，再說明AF、DG互相垂直.
解：連接AF交GD于O.
由D是∠ABC平分線上的一點，且∠BAC=90°，DF⊥BC，得DA=DF.
又因為BD=BD，
所以Rt△ABD≌Rt△FBD.
所以AB=FB，即△ABF是等腰三角形.
所以OA=OF，BO⊥AF，
因為AE∥DF，所以∠GAF=∠DFA，
所以Rt△AGO≌Rt△FDO.
所以OG=OD.
所以四邊形AGFD是平行四邊形.
又因為AF⊥GD，所以四邊形AGFD是菱形.
說明：本題也可以運用第一種方法求解，具體過程請同學們自行完成.
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1從菱形的面積到對角線互相垂直的四邊形的面積
如果僅知道菱形兩條對角線的長，你能求出菱形的面積嗎？
畫畫圖，想想菱形的對角線有什么性質呢？
不難發現，菱形對角線將菱形分成了四個直角三角形，這四個直角三角形還是全等的呢！（你能證明嗎？）
于是菱形面積就等于四個三角形面積之和，
即＝＋＋＋＝4＝4（）＝4（）＝.
原來菱形的面積還可以由對角線求出呢！
回顧一下解決問題過程吧。我們解決問題的切入點是利用菱形對角線互相垂直平分的特點，那么如果我們弱化條件，例如將條件改為“對角線相互垂直”或者“對角線相互平分”，此時的四邊形的面積還能利用對角線乘積的一半表示嗎？
先看看“對角線相互垂直”的情況吧。
這時和菱形情況類似，四邊形也被對角線分成了四個直角三角形，那么＝＋＋＋＝AO×OD＋AO×BO＋OC×OD＋BO×OC＝AO×(OD＋OB)＋OC(OD＋OB)＝(AO+OC)×BD＝AC×BD.
于是我們得出的結論是：對角線互相垂直的任意四邊形的面積等于對角線乘積的一半。
“對角線相互平分”的情況又如何呢？此時的四邊形是什么四邊形？還有“面積等于對角線乘積的一半”的結論嗎？這個小問題就留給你思考吧。
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-如何運用菱形的判定證明四邊形是菱形？
答案：
判定四邊形是菱形的方法有很多，要適合的選取判定定理。一般先證明四邊形是菱形，再證明鄰邊相等，其它的方法思路基本一致。
【舉一反三】
典題：如圖，AD是△ABC的角平分線，AD的垂直平分線交AB,AC于點E，F，證明：四邊形AEDF是菱形。
思路導引：根據題意運用四邊都相等的四邊形是菱形來證明。
標準答案：
證明：∵EF是AD的垂直平分線
∴AE=DE,AF=DF
∵AD是頂角的平分線
∴∠EAG=∠FAG
∵∠AGE=∠AGF
∴△AEG≌△AGF
∴AE=AF
AE=DE=DF=AF
所以四邊形AEDF是菱形
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www.如何判定一個四邊形是矩形
矩形是一種特殊的平行四邊形，如何判定一個四邊形是矩形呢？同學們可以從以下幾個方面進行思考.
一、有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形．
例1、已知：如圖1，在□ABCD
中，E、F分別為邊AB、CD的中點，BD是對角線，AG∥DB交CB的延長線于G．若DE=BE，則四邊形AGBD是什么特殊四邊形？并說明理由．
分析：本題是一道結論探索題，根據已知條件可以得到AD//BG，根據已知AG//BD，可知四邊形AGBD是平行四邊形，然后根據DE=BE，可以得∠ADB=90°，這樣可判斷四邊形AGBD是矩形.
解：當DE=BE時，四邊形
AGBD是矩形．
理由：因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以AD∥BC
．
因為AG∥BD
，所以四邊形
AGBD
是平行四邊形．
因為DE=BE，AE=BE
，所以AE=BE=DE
，
所以∠1=∠2，∠3=∠4．
因為∠1＋∠2＋∠3＋∠4=180°，
所以2∠2＋2∠3=180°．所以∠2＋∠3=90°．
即∠ADB=90°．
所以四邊形AGBD是矩形（有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形）．
二、對角線相等的平行四邊形是矩形．
例2、已知：如圖2，在△ABC中，D是AC的中點，E是線段BC延長線上一點，過點A作BE的平行線與線段ED的延長線交于點F，連結AE、CF，若AC=EF，試判斷四邊形AFCE是什么樣的四邊形，并說明理由.
分析：由題設條件，易說明△DAF≌△DCE，進而得AF=CE，由AF∥CE，AF=CE，可得四邊形AFCE是平行四邊形，又AC=EF，根據“對角線相等的平行四邊形是矩形”可說明四邊形AFCE是矩形.
解：因為D是AC的中點，所以DA=DC，
因為AF∥CE，所以∠AFD=∠CED。
在△DAF和△DCE中，
∠AFD=∠CED，∠CDE=∠FDE，DA=DC，
所以△DAF≌△DCE，
所以AF=CE，所以四邊形AFCE是平行四邊形，
因為AC=EF，
所以四邊形AFCE是矩形（對角線相等的平行四邊形是矩形）。
三、有三個角是直角的四邊形是矩形．
例3、已知：如圖3，直線AB∥CD，EF和AB、CD分別相交于M、N兩點，射線MP、MQ、NP、NQ分別是∠AMN、∠BMN、∠MNC、∠MND的平分線，MP、NP相交于P，MQ和NQ相交于Q，說明：四邊形MPNQ是矩形．
分析：由題設條件，容易得出直角，所以要說明四邊形MPNQ是矩形，可考慮說明三個角為直角.
解：因為MP平分∠AMN，MQ平分∠BMN，
所以∠PMN=∠AMN，∠QMN=∠BMN，
所以∠PMQ=∠PMN+∠QMN=（∠AMN+∠BMN）=90°，
同理∠PNQ=90°。
因為AB∥CD，
所以∠AMN+∠MNC=180°，
所以∠PNM+∠PMN=（∠AMN+∠MNC）=90°，
所以∠MPN=90°，
所以四邊形MPNQ是矩形（有三個角是直角的四邊形是矩形）。.
練習：如圖，AB=CD=ED，AD=EB，BE⊥DE，垂足為E．
(1)求證：△ABD≌△EDB；(2)只需添加一個條件，即________，可使四邊形ABCD為矩形.請加以證明.
答案：(1)因為AB=ED，AD=EB，BD=DB，所以△ABD≌△EDB；
(2)首先看四邊形ABCD已經具備了那些條件，由△ABD≌△EDB可得∠A=∠E=90°，則只需證明四邊形ABCD為平行四邊形或再證明另兩個角為直角即可.
要使四邊形ABCD為平行四邊，可添加的條件可以為：AB∥CD，或添加AD=BC或BE=BC；
要使另兩個角為直角，可添加的條件可以為：∠A=∠ADC或∠ADC=90°或∠A=∠C或∠C=90°或∠ABD=∠BDC或∠A=∠ABC或∠ADB=∠DBC或∠ABC=90°等.
以添加∠A=∠C為例加以證明.
∵BE⊥DE，∴∠E=90°，∵△ABD≌△EDB，∴∠A=∠E=90°，∵∠A=∠C，∴∠C=90°，∵CD=ED，BD=BD，∴△CDB≌△EDB，∴BE=BC，∵AD=EB，∴AD=BC，∴四邊形ABCD為平行四邊形，∴四邊形ABCD為矩形（有一個角是直角的平行四邊形為矩形）.
圖1
圖2
圖3
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-《菱形的性質與判定》學習要點
一、菱形的定義
有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。菱形是特殊的平行四邊形，對于它的定義要注意滿足兩個條件：（1）首先應該是平行四邊形；（2）有一組鄰邊相等。菱形的定義可以用來判斷一個四邊形是不是為菱形。
例題1、如圖1所示，已知四邊形ABCD是平行四邊形，要使之是菱形，需要添加的條件（不再添加任何輔助線）是
。
解：由圖形和菱形的定義可以知道，應該添加的條件是：AB=BC（BC=CD、CD=DA、DA=AB）。此題的答案不唯一，所添加的條件只要符合菱形的定義即可。
例題2、如圖2所示，在△ABC中，AB=AC，M是BC的中點，MG⊥BA，MD⊥AC，GF⊥AC，DE⊥AB，垂足分別為G、D、F、E，GF與DE相交于H，試說明：四邊形HGMD是菱形
分析：利用菱形的定義，先說明四邊形HGMD是平行四邊形，再說明Rt△BGM≌Rt△CDM，得GM=DM，就可以說明四邊形HGMD是菱形了。
解：因為MD⊥AC，GF⊥AC，
所以MD∥GF，
同理MG∥DE，
所以四邊形HGMD為平行四邊形。
由AB=AC，則∠B=∠C，
又BM=MC，
因為MG⊥BA，MD⊥AC，
所以△BMG和△CMD都是直角三角形，
所以Rt△BGM≌Rt△CDM，
所以MG=MD，
所以四邊形HGMD是菱形（有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形）。
二、菱形的性質
菱形的性質有兩條：（1）菱形的四條邊都相等；（2）菱形的對角線互相垂直，并且每條對角線都平分一組對角。
例題、如圖所示，在菱形ABCD中，兩條對角線的長度之比是3：4，它們的差是2cm，求菱形的面積。
解：在菱形ABCD中，AC：BD=3：4，
則BD=AC，因為BD－AC=2cm，
所以AC－AC=2cm，
即AC=6cm，BD=8
cm。
因為菱形的對角線相等并且互相垂直平分，
所以Rt△ABO≌Rt△BCO≌Rt△CDO≌Rt△DAO，AO=CO=3
cm，BO=DO=4
cm，
所以菱形ABCD的面積是AO×BO×4=×3×4=6。
三、菱形的判定
菱形除了可以用它的定義來判斷之外，還有另外兩個判斷定理：（1）四條邊相等的四邊形是菱形；（2）對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。
例題1、如圖所示，平行四邊形ABCD的對角線AC的垂直平分線與AD、BC、AC分別相交于E、F、O。試說明四邊形AFCE是菱形。
分析：在四邊形AFCE中，已有對角線EF⊥AC，要說明四邊形AFCE是菱形，只需說明四邊形AFCE是平行四邊形即可。
解：因為四邊形ABCD是平行四邊形，
所以AD∥BC，
所以∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO，
所以AO=OC，
所以△AOE≌△COF，所以OF=OE，
因為OA=OC，
所以四邊形AFCE是平行四邊形。
又EF⊥AC，
所以平行四邊形AFCE是菱形。
例題2、如圖所示，在四邊形ABCD中，對角線AC=BD，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點，說明四邊形EFGH為菱形的理由。
解：因為在△ABC中，AE
=
BE，BF
=
CF，
所以EF
=
AC。
同理FG
=BD，GH
=AC，HE
=BD。
又因為AC
=
BD，
所以EF
=
FG
=
GH
=
HE，
所以四邊形EFGH為菱形（四條邊相等的四邊形是菱形）。
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1菱形的判別方法有哪些？
答案：
對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；
四邊都相等的四邊形是菱形；
一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。
【舉一反三】
典題：下列說中，正確的是（
）
A、對角線垂直的四邊形是菱形；
B、兩組鄰邊相等的四邊形是菱形；
C、一組對邊平行且相等，對角線互相垂直的四邊形是菱形；
D、一條對角線平分一組對角的四邊形是菱形。
思路導引：如圖，對角線垂直的四邊形不一定是菱形；兩組鄰邊相等的四邊形不一定是菱形；一條對角線平分一組對角的四邊形不一定是菱形，所以A，B，D錯誤，C正確。
標準答案：C。
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www.正方形創新題例析
正方形是最為特殊的平行四邊形，既是矩形又是菱形，具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質．有關正方形的問題逐漸成為中考熱點問題，下面舉幾例供大家參考．
圖案設計問題
例1．（遼寧）將一個正方形紙片依次按圖（1），圖（2）方式對折，然后沿圖（3）中的虛線裁剪，最后將圖（4）的紙再展開鋪平，所看到的圖案是（　　）
解析：實際操作一下，就可以知道本題選D．
尋找規律問題
例2．（成都）如圖，如果以正方形ABCD的對角線AC為邊作第二個正方形ACEF，再以對角線AE為邊作第三個正方形AEGH，如此下去，…，已知正方形ABCD的面積為1，按上述方法所作的正方形的面積依次為，…，（n為正整數），那么第8個正方形的面積
＝_______．
解析：通過計算或拼圖可以知道：
=1；
=2；
=4=22
……
從而可以歸納得到=，所以第8個正方形的面積＝．
三、圖形折疊問題
例3．（荊門）如圖，有一張面積為1的正方形紙片ABCD,M、N分別是AD，BC邊的中點，將C點折疊至MN上，落在P點的位置，折痕為BQ，連結PQ，則PQ=______．
解析：由折疊過程可得到BP=CB=2BN，所以∠PBN=60°，從而∠CBQ=30°，在Rt△BCQ中，運用與上題類似的方法可求得PQ=．
開放型問題
例4．（深圳）如圖所示，在四邊形ABCD中，，對角線AC與BD相交于點O．若不增加任何字母與輔助線，要使得四邊形ABCD是正方形，則還需增加的一個條件是__________________．
解析：本題是一道條件開放題，答案不唯一，例如可添加AC=BD或∠BAD=90°等．
（向上對折）
圖（1）
（向右對折）
圖（2）
圖（3）
圖（4）
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
A
B
C
D
O
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1菱形有哪些性質？
答案：
菱形的四條邊都相等，兩條對角線互相垂直平分，每一條對角線平分一組對角。
【舉一反三】
典題：已知菱形的周長為20cm，兩條對角線的長度之比為3:4，那么這兩條對角線分別為＿＿＿＿。
思路導引：由菱形的四條邊都相等，得每一條邊長都為5cm，設菱形的對角線為3x，4x，根據菱形的對角線互相垂直，得（）2+（）2=25，x=2，所以這兩條對角線的長為3cm，4cm。
標準答案：3cm，4cm。
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www.如何判定一個四邊形是矩形
矩形是一種特殊的平行四邊形，如何判定一個四邊形是矩形呢？同學們可以從以下幾個方面進行思考．
一、有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形．
例1、已知：如圖1，在□ABCD
中，E、F分別為邊AB、CD的中點，BD是對角線，AG∥DB交CB的延長線于G．若DE=BE，則四邊形AGBD是什么特殊四邊形？并說明理由．
分析：本題是一道結論探索題，根據已知條件可以得到AD//BG，根據已知AG//BD，可知四邊形AGBD是平行四邊形，然后根據DE=BE，可以得∠ADB=90°，這樣可判斷四邊形AGBD是矩形．
解：當DE=BE時，四邊形
AGBD是矩形．
理由：因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以AD∥BC
．
因為AG∥BD
，所以四邊形
AGBD
是平行四邊形．
因為DE=BE，AE=BE
，所以AE=BE=DE
，
所以∠1=∠2，∠3=∠4．
因為∠1＋∠2＋∠3＋∠4=180°，
所以2∠2＋2∠3=180°．所以∠2＋∠3=90°．
即∠ADB=90°．
所以四邊形AGBD是矩形（有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形）．
二、對角線相等的平行四邊形是矩形．
例2、已知：如圖2，在△ABC中，D是AC的中點，E是線段BC延長線一點，過點A作BE的平行線與線段ED的延長線交于點F，連結AE、CF。若AC=EF，試判斷四邊形AFCE是什么樣的四邊形，并說明理由．
分析：由題設條件，易說明△DAF≌△DCE，進而得AF=CE，由AF∥CE，AF=CE，可得四邊形AFCE是平行四邊形，又AC=EF，根據“對角線相等的平行四邊形是矩形”可說明四邊形AFCE是矩形．
解：因為D是AC的中點，所以DA=DC，
因為AF∥CE，所以∠AFD=∠CED，
在△DAF和△DCE中，
∠AFD=∠CED，∠CDE=∠FDE，DA=DC
所以△DAF≌△DCE
所以AF=CE，所以四邊形AFCE是平行四邊形，
因為AC=EF，
所以四邊形AFCE是矩形（對角線相等的平行四邊形是矩形）
三、有三個角是直角的四邊形是矩形．
例3、已知：如圖3，直線AB∥CD，EF和AB、CD分別相交于M、N兩點，射線MP、MQ、NP、NQ分別是∠AMN、∠BMN、∠MNC、∠MND的平分線，MP、NP相交于P，MQ和NQ相交于Q，說明：四邊形MPNQ是矩形．
分析：由題設條件，容易得到出直角，所以要說明明四邊形MPNQ是矩形，可考慮說明三個角為直角．
解：因為MP平分∠AMN，MQ平分∠BMN，
所以∠PMN=∠AMN，∠QMN=∠BMN，
所以∠PMQ=∠PMN+∠QMN=（∠AMN+∠BMN）=90°
同理∠PNQ=90°，
因為AB∥CD
所以∠AMN+∠MNC=180°，
所以∠PNM+∠PMN=（∠AMN+∠MNC）=90°，
所以∠MPN=90°
所以四邊形MPNQ是矩形（有三個角是直角的四邊形是矩形）．
練習：如圖，AB=CD=ED，AD=EB，BE⊥DE，垂足為E．（1）求證：△ABD≌△EDB；（2）只需添加一個條件，即________，可使四邊形ABCD為矩形.請加以證明.
答案：（1）因為AB=ED，AD=EB，BD=DB，所以△ABD≌△EDB；
（2）首先看四邊形ABCD已經具備了那些條件，由△ABD≌△EDB可得∠A=∠E=90°，則只需證明四邊形ABCD為平行四邊形或再證明另兩個角為直角即可．
要使四邊形ABCD為平行四邊，可添加的條件可以為：AB∥CD，或添加AD=BC或BE=BC；
要使另兩個角為直角，可添加的條件可以為：∠A=∠ADC或∠ADC=90°或∠A=∠C或∠C=90°或∠ABD=∠BDC或∠A=∠ABC或∠ADB=∠DBC或∠ABC=90°等．
以添加∠A=∠C為例加以證明．
∵BE⊥DE，∴∠E=90°，∵△ABD≌△EDB，∴∠A=∠E=90°，∵∠A=∠C，∴∠C=90°，∵CD=ED，BD=BD，∴△CDB≌△EDB，∴BE=BC，∵AD=EB，∴AD=BC，∴四邊形ABCD為平行四邊形，∴四邊形ABCD為矩形（有一個角是直角的平行四邊形為矩形）．
圖1
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圖3
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1黃金矩形
當一個矩形的短邊和長邊滿足下面的比例關系時：
①
就稱為黃金矩形．
黃金矩形是一種非常美麗和令人興奮的數學對象，它廣泛地出現在藝術、建筑、人體和自然界中，心理學的測試表明：在所有形狀的矩形中，黃金矩形是最令人賞心悅目的．
公元前5世紀，古希臘的建筑師們就已經知道黃金矩形能使建筑物的比例協調，美觀大方，他們建造的巴農神廟就是一個例子．
希臘雅典的巴農神廟
希臘人認為最優美的體形應該是許多重要部位都符合黃金矩形，許多著名的雕刻，繪畫都是按黃金矩形的比例來設計和造型的．文藝復興時期的著名畫家達芬奇的著名作品《蒙娜麗莎》就是接黃金分割的比例來構圖的．
現在，我們介紹怎樣利用一個正方形作出黃金矩形．
1）作正方形
2）取的中點連結
3）連結
4）延長至，使
5）過作的垂線，交的延長線于
則為一個黃金矩形．
我們來證明：是一個黃金矩形，即證明：
①
設，則，
所以
將的值代入①式，得
即
或
所以要證明①式，只要證明②成立就可以了，利用平方公式易證②成立．
因此，是黃金矩形．
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1
稱就
小業幽些業斗月
希臘雅典的巴農神廟
人體的黃金分割
維納斯
蒙娜麗莎
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www.正方形性質及判定口訣
(1)
正方形，好應用，邊相等，角相同．
菱形性質全具備，外加對角線相等．
各角均是九十度，矩形性質也適用．
(2)
怎么判定正方形，方法可以有多種．
實質不過有兩條，你可千萬要記清：
矩形還要等邊長，菱形尚須四角同．
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1
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www.靈活運用菱形的對稱性
　　菱形是軸對稱圖形，它的兩條對角線所在的直線都是它的對稱軸，因為菱形的對角線互相垂直，所以它又是中心對稱圖形，利用菱形的對稱性可以說明某些線段、角相等或三角形全等．
如圖1，是菱形的對角線上一點，則，．
這個結論具有一般性，很多有關菱形的題都有該圖的“影子”，因而利用這個結論可以簡捷地解決問題．
　　例1　如圖2，在菱形中，是上一點，交對角線于．試說明．
　　分析：因為，所以欲說明，只需說明，而這可由圖的基本圖形得到的結論推出．解答過程請同學們完成．
　　例2
如圖3，在菱形中，分別是上的點，是延長線上一點，且．試說明．
　　分析：連接，由于是菱形的對角線上一點，所以由圖1中基本圖形的結論，知，于是．又由題設可得，所以．又已知，所以四邊形是平行四邊形．故．解答過程請同學們完成．
例3　如圖4，在邊長為6的菱形中，，為的中點，F為上一動點，求的最小值．
　　分析：由于兩點固定，所以從圖形上可直觀看出F只有沿著向點A移動，的值方能逐漸變小．根據圖形的對稱性猜想：當F移動到與的交點處，才能取得最小值，下面來說明這個猜想．
　　解：連接，交于點，則F和均為菱形的對角線上的點，
　　所以由圖1中基本圖形的結論，知．
　　所以．
　　在中，，
　　所以當點移動點時，取得最小值．
　　連接，因為，
　　所以為等邊三角形．
所以．
即的最小值是．
　　綜上所述，利用圖形的對稱性研究圖形的性質，再利用其性質可以探求、說明幾何題．在這方面多進行嘗試，對提高分析問題、解決問題的能力是大有裨益的．
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1例說菱形的判定
菱形，是四邊相等的四邊形，這是菱形的定義，要判斷一個四邊形是不是菱形，除用定義判斷，還可用其它等價條件。
1.
證明四邊形的四條邊相等
例1
已知：如圖1，C是線段BD上一點，和都是等邊三角形，R、F、G、H分別是四邊形ABDE各邊的中點。求證：四邊形RFGH是菱形。
證明：連結AD、BE
因為和都是等邊三角形
所以
故四邊形RFGH是菱形
2.
鄰邊相等的平行四邊形一定是菱形
例2
已知：如圖2，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，M、N分別是AD、BC的中點，E、F分別是BM、CM的中點。求證：四邊形MENF是菱形。
證明：因為E是BM的中點，N是BC的中點，F是CM的中點
3.
對角線互相垂直的平行四邊形是菱形
例3
已知：如圖3，梯形ABCD中，AD//BC，對角線，M、N為底邊BC的三等分點，且BC=3AD，AM與BD交于點G，AC與DN交于點H。求證：四邊形AGHD是菱形。
證明：因為BC=3AD
M、N是BC的三等分點
又1=2
所以四邊形AGHD是平行四邊形
又，所以四邊形AGHD是菱形。
4.
對角線互相垂直平分的四邊形是菱形
例4
已知：如圖4，中，BAC的平分線交BC于點D，E是AB上一點，且AE=AC，EF//BC交AD于點F。
求證：四邊形CDEF是菱形。
證明：連結CE交AD于點O
因為AC=AE
所以為等腰三角形
因為AO平分CAE
所以，且OC=OE
因為EF//CD，
所以1=2
所以OF=OD
于是CE垂直平分DF
所以四邊形CDEF是菱形
總結以上，得到下表
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1中考矩形開放題薈萃
矩形是一種特殊的平行四邊形,也是中考的必考內容.為考查同學們分析能力、想象能力、探究能力和創新能力,矩形開放題便成了各地中考命題的熱點，現就中考題中有關矩形開放題精選幾例解析如下,供同學們鑒賞：
一、條件開放型
例1
如圖，在平行四邊形中，為的中點，連接并延長交的延長線于點．
(1)求證：；
(2)當與滿足什么數量關系時，四邊形是矩形，并說明理由．
分析
要證AB=CF,可通過平行四邊形的性質和三角形全等的判定,證△ABE≌△CFE得到;
由△ABE≌△CFE,可得EA=EF,EB=EC,從而四邊形ABFC是平行四邊形,再根據矩形的判定,要平行四邊形ABFC是矩形則只要對角線相等或有一角為直角,根據題設,顯然是BC=AF.
證明
(1)由平行四邊形ABCD,得到AB∥CD,則∠ABE=∠FCE,
又EB=EC,
∠AEB=∠FEC,∴△ABE≌△CFE(ASA).∴AB=CF.
(2)
當=時，四邊形是矩形.
由△ABE≌△CFE,得到EA=EF,EB=EC,所以四邊形ABFC是平行四邊形.
又BC=AF,
四邊形ABFC是矩形.
例2如圖，在△ABC
中，點O是AC邊上的一個動點，過點O作直線MN∥BC，設MN交∠BCA的角平分線于點E，交∠BCA的外角平分線于點F．
（1）求證：EO=FO；
（2）當點O運動到何處時，四邊形AECF是矩形？并證明你的結論．
分析
通過角平分線和平行線的性質,可以推得EO=CO,及FO=CO,從而EO=FO；
要四邊形AECF是矩形,則必是平行四邊形,現已有EO=FO,故還需OA=OC,
即點O為AC的中點.
證明（1）∵CE平分，∴，又∵MN∥BC，
∴，
則，∴．　同理,
∴
．
（2）當點O運動到AC的中點時，四邊形AECF是矩形.
∵，點O是AC的中點．即OA=OC
∴四邊形AECF是平行四邊形.
又∵,
,
∴，即,
∴四邊形AECF是矩形．
評注
條件開放型,是指題中沒有確定的已知條件或已知條件不充分,解決這類問題的基本思路是:執果索因逆向思維,從已有條件和結論入手,逐步分析探索結論成立的條件,從而使問題得以解決.
二、結論開放型
例3如圖，四邊形ABCD是矩形，E是AB上一點，且DE=AB，過C作CF⊥DE，垂足為F.
（1）猜想：AD與CF的大小關系；（2）請證明上面的結論.
分析
由圖可以直觀看出,AD=CF;根據矩形的性質和三角形全等的判定,
可以得到AD,CF所在的兩個三角形△ADE≌△FCD,從而
AD=CF.
解
（1）．
（2）四邊形是矩形，
又
∴△ADE≌△FCD,
例4如圖，在中，是邊上的一點，是的中點，過點作的平行線交的延長線于，且，連接．
（1）求證：是的中點；
（2）如果，試猜測四邊形的形狀，并證明你的結論．
分析
要證D是BC的中點,即DB=DC,現已有AF=DC,故只需AF=DB,所以只要證△AEF≌△DEB;
已知AF∥DC,又AF=DC,所以四邊形ADCF為平行四邊形.
如果AB=AC,D是BC的中點,則有AD⊥BC,從而得到四邊形ADCF為矩形.
證明
（1），
．
是的中點，
．
又，
(AAS)．．
，．即是的中點．
（2）四邊形是矩形，
，，四邊形是平行四邊形．
，是的中點，．
即．
四邊形是矩形．
評注
結論開放型,是指問題的結論不確定或答案不唯一的開放型問題,解決這類問題的基本思路是:根據條件,聯想定理,尋求結論.
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1菱形的性質應用舉例
菱形是一種特殊的平行四邊形,它具有四邊相等,對角線互相垂直并平分一組對角等性質,和菱形有關的問題主要設計以下幾個方面.
一、計算問題
例1
如圖1,已知菱形ABCD的周長為16cm,∠ABC=120°,求對角線BD和AC及菱形的面積.
分析：菱形具有四邊相等，對角線互相垂直平分并平分一組對角等性質.知道了周長可求到邊長，根據∠ABC=120°可得到等邊三角形，進而可求到對角線的長，根據菱形的面積等于對角線乘積的一半可求到面積.
解:在菱形ABCD中,AB+BC+CD+AD=16cm,
所以AB=AD=BC=CD=16×=4(cm),
由∠ABC=120°，對角線BD平分∠ABC,得∠ABD=60°,
圖1
又因為AD=AB，
所以△ABD是等邊三角形,BD=AB=4cm,
因為菱形對角線互相垂直平分,
所以OB=2cm,
在Rt△AOB中,
AO=
所以AC=2OA=2×2=4(cm).
所以S菱形ABCD=AC·BD=×2×4=4(cm2).
例2
如圖，四邊形ABCD是菱形，∠ACD=30°.求∠BDA、∠ABC的度數.
分析：根據菱形的對角線平分一組對角可知∠DCA=∠BCA=30°，所以∠ACB=60°，根據菱形的對角相等，對邊平行可求到∠BAD和∠ABC的度數.
圖2
解：因為菱形的對角線平分一組對角，所以∠BCD=2∠ACD=2×30°=60°，
因為菱形的對角相等，所以∠DAB=∠DCB=60°.
因為CD//AB，所以∠DCB+∠ABC=180°，
所以∠ABC=180°-60°=120°.
評注：菱形有關的計算題，主要涉及計算周長，邊長以及面積等，解決問題需要將菱形的性質與直角三角形或等邊三角形相結合.
二、說理問題
例3
如圖3，矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，AE//BD，BE//AC，AE與BE相交于點E，試判斷AD與EO是否平行？說說你的理由.
分析：要判斷AD與EO是否平行，根據四邊形ABCD是矩形，可知∠DAB=90°，如果OE⊥AB，則可說明AD//EO.而說明OE⊥AB，只要說明四邊形AEBO是菱形即可.
解：AD//EO.
圖3
理由：因為AE//BD，BE//AC，所以四邊形AEBO是平行四邊形，
所以OA=BE，BO=EA，
因為O是矩形ABCD對角線的交點，所以OA=OB，
所以OA=AE=EB=BO，
所以四邊形AEBO是菱形.
所以OE⊥AB，
因為∠DAB=90°，所以DA⊥AB，
所以AD//EO.
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1中考菱形探索題
探索性試題是中考中的熱點之一．在中考試題中，出現了一些和相似三角形有關的中考探索試題．為幫助你復習好相似三角形有關內容，現請欣賞幾道探索題．
一.條件探索題
條件探索性試題就是給出了結論，要求探索使結論成立所具備的條件．
例1如圖1，點E,F分別是菱形ABCD中BC,CD邊上的點（E,F不與B,C,D重合）在不連輔助線的情況下請添加一個條件，說明AE=AF,并證明.
分析:本題主要是考查三角形全等的方法和菱形性質，由菱形性質可知、，若用SAS需要添加條件;若用ASA需要添加條件或;若用ASA需要添加條件∠AEB=∠AFD.
解:添加條件：或或等.
若添加條件.證明如下：四邊形是菱形
在和中.
評注:只需添加一條邊或一個角滿足三角形的判定方法即可，但是需注意添加邊時，不能構成SSA的形式.
二.結論探索型
探索結論試題是給出了條件，要求根據所給條件探索可能得到的結論．
例2
如圖2，在□ABCD中，分別為邊的中點，連接．
（1）求證：．
（2）若，則四邊形是什么特殊四邊形？請證明你的結論．
分析：(1)問主要考查平行四邊形的性質和全等三角形的判定；（2）問主要考查直角三角形的性質和菱形的判定.
解:(1）在平行四邊形ABCD中，∠A＝∠C，AD＝CB，AB＝CD．
∵E，F分別為AB，CD的中點
∴AE=CF
在和中，．
（2）若AD⊥BD，則四邊形BFDE是菱形．
證明：，
是，且是斜邊（或）
是的中點，．
由題意可知且，
四邊形是平行四邊形，四邊形是菱形.
評注:判定一個四邊形是菱形一般是在平行四邊形的基礎上來判定.
三.探索存在型
存在性問題是指在一定的條件下,探索某種數學對象是否存在的問題.
例3如圖3，平行四邊形中，，，．對角線相交于點，將直線繞點順時針旋轉，分別交于點．
⑴證明：當旋轉角為時，四邊形是平行四邊形；
⑵試說明在旋轉過程中，線段與總保持相等；
⑶在旋轉過程中，四邊形可能是菱形嗎？如果不能，請說明理由；如果能，說明理由并求出此時繞點順時針旋轉的度數．
分析:本題考查了平行四邊形的性質以及旋轉等知識.(1)當旋轉角是時,AB∥EF，根據兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形得證；（2）易證△AOF≌△COE,∴AF=EC.
(3)由(2)知EO=FO,則EF、BD互相平分,若旋轉到EF⊥BD位置,
四邊形BEDF是菱形,再根據
勾股定理和等腰三角形性質計算旋轉角的度數.
解：⑴證明：當時，，
又，
四邊形為平行四邊形．
⑵證明：四邊形為平行四邊形，
．
．
⑶四邊形可以是菱形．
理由：連接，
由⑵知，得，
與互相平分．
當時，四邊形為菱形．
在中，，
，又，，
，
繞點順時針旋轉時，四邊形為菱形．
評注:本題是一道綜合型的有關菱形的探索問題，求解時一定要抓住問題的實質，找準求解的切入點.
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1探索完美正方形
用一些完全不相等的小正方形拼成一個大正方形，你能行嗎？在數學上，把若干個互不相等的小正方形拼成的大正方形稱為完美正方形。別以為作出這樣的正方形是一件容易的事情，實際上，直到上個世紀30年代，還沒有一個人能夠作出一個完美正方形出來，甚至有些數學家斷言：根本不存在這樣的正方形。
難道真的不存在完美正方形嗎？大約70年前，英國劍橋大學的4個大學生塔特、斯東、史密斯、布魯克斯不相信這一點，他們在學生宿舍里一次次地聚會，探討著解題的途徑，尋找著完美正方形。但是直到臨近畢業，4個年輕的大學生還是沒有找到一個完美正方形。以后，他們各奔東西，但仍然鍥而不舍地研究著這個問題，還經常交流各自的研究成果，探討有關的理論問題。幾年后，他們終于找到了一個由69個大小互不相等的正方形組成的完美正方形。
是不是存在一個由最少數量的大小不等的正方形組成的完美正方形呢？1967年數學家威爾遜發現了由25個大小不等的正方形拼成的完美正方形。后來有人證明，完美正方形至少要有20個以上的大小各不相等正方形組成。可是許多年過去了，這個問題一直沒有得到一個確切的答案。
1978年，荷蘭數學家多杰維斯廷設計了一個巧妙而又復雜的計算程序，把它送入計算機，找到了這個由最少數目的正方形拼成的完美正方形。這些小正方形的邊長分別為2，4，6，7，8，9，11，15，16，17，18，19，24，25，27，29，33，35，37，42，50個單位，同學們想一想，這個大正方形的邊長應為多少個單位呢？（從“小正方形面積之和等于大正方形的面積”入手，借助計算器可求得大正方形邊長是112個單位）。
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-矩形、菱形、正方形的判定及性質應用舉例
矩形、菱形、正方形的判定和性質是初中數學中最重要的內容之一.在中考中所占的比例較大，常以填空題、選擇題、計算題、證明題的形式出現.
現舉幾例供同學們參考。
一、矩形知識的應用
例1（甘肅白銀7市課改）如圖，矩形的對角線和相交于點，過點的直線分別交和于點E、F，，則圖中陰影部分的面積為　　　　　．
分析：由四邊形ABCD是矩形，利用矩形的對角線互相平分且相等可知，矩形中OA=OB=OD=OC，由三角形全等可求出陰影部分的面積。
解：∵矩形的對角線和相交于點.
∴OA=OB=OD=OC，AC=BD
∵
∴
∴陰影部分的面積
點評：矩形是特殊的平行四邊形，其特殊性表現在角上（四個角都是直角），兩條對角線將矩形分成四個等腰三角形，從而可以計算陰影部分的面積.
二、菱形知識的應用
例2.
（山東）如下圖，菱形ABCD中，E是AB的中點，且DE⊥AB，AB=a，求：（1）∠ABC的度數；（2）已知，求對角線AC的長；（3）求菱形的面積.
　　分析：
因為E是AB的中點，且DE⊥AB可得等腰三角形ABD為等邊三角形，這樣菱形的4個內角都可求出，并且由特殊角的關系很容易求出AC的長和菱形面積.
　　解：（1）連結BD.在菱形ABCD中，
　　∵
DE⊥AB，E是AB的中點，∴
AB=AD=DB.
　　∴
△ABD為等邊三角形.
　　∴
∠ABD=60°
.
　　∴
∠ABC=2∠ABD=120°.
　　（2）在菱形ABCD中
，AC⊥BD，且AC與BD互相平分.
　　由（1）在Rt△ABO中，
　　
　　（3）由（1）知，
∴
　　點評：（1）本題首先證明△ABD是等邊三角形，從而求出∠ABD的度數，再利用菱形的性質可求∠ABC.（2）求AC的長可利用菱形的對角線互相垂直平分（3）菱形的面積可用AC·BD求出，也可利用AB·DE求出.
本題應用了菱形的對角線互相垂直平分的性質，即可求出面積.
三、正方形知識的應用
　　例3（浙江臺州）把正方形繞著點，按順時針方向旋轉得到正方形，邊與交于點（如圖）．試問線段與線段相等嗎？
請先觀察猜想，然后再證明你的猜想．
分析：本題是將正方形繞著點，按順時針方向進行旋轉，畫出正方形．構造全等三角形。
解：．
證法1：連結，
四邊形，都是正方形．
．
由題意知，又．
，
．
證法2：連結．
四邊形都是正方形，
．
由題意知．
．
．
．
點評：本題主要考查正方形的性質及三角形全等的判定，要證HG=HB，轉化為證Rt△AGH≌Rt△ABH或即可.
練習：
1．如圖，如果要使平行四邊行ABCD成為一個菱形，需要添加一個條件，那么你添加的條件是
．
2．如圖，在梯形紙片ABCD中，AD//BC，AD>CD，將紙片沿過點D的直線折疊，使點C落在AD上的點C處，折痕DE交BC于點E，連結C′E．
求證：四邊形CDC′E是菱形．
3．如圖，已知P為正方形ABCD的對角線AC上一點(不與A、C重合)，PE⊥BC于點E，PF⊥CD于點F.
(1)
求證：BP=DP；
(2)
如圖，若四邊形PECF繞點C按逆時針方向旋轉，在旋轉過程中是否總有BP=DP？若是，請給予證明；若不是，請用反例加以說明；
(3)
試選取正方形ABCD的兩個頂點，分別與四邊形PECF的兩個頂點連結，使得到的兩條線段在四邊形PECF繞點C按逆時針方向旋轉的過程中長度始終相等，并證明你的結論
.
參考答案
1．等.
2．證明：根據題意可知
則
∵AD//BC
∴∠C′DE=∠CED
∴∠CDE=∠CED
∴CD=CE
∴CD=C′D=C′E=CE
∴四邊形CDC′E為菱形
3．⑴
解法一：在△ABP與△ADP中，利用全等可得BP=DP.
解法二：利用正方形的軸對稱性，可得BP=DP.
⑵
不是總成立
.當四邊形PECF繞點C按逆時針方向旋轉，點P旋轉到BC邊上時，DP
>DC>BP，此時BP=DP不成立.
說明：未用舉反例的方法說理的不得分.
⑶
連接BE、DF，則BE與DF始終相等.
在圖中，可證四邊形PECF為正方形，
在△BEC與△DFC中，可證△BEC≌△DFC
.
從而有
BE=DF
D
C
A
B
G
H
F
E
D
C
A
B
G
H
F
E
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4《菱形的性質與判定》典型例題
例1
如圖，在菱形ABCD中，E是AB的中點，且，求：
（1）的度數；（2）對角線AC的長；（3）菱形ABCD的面積．
例2
已知：如圖，在菱形ABCD中，于于
F．
求證：
例3
已知：如圖，菱形ABCD中，E，F分別是BC，CD上的一點，，，求的度數.
例4
如圖，已知四邊形和四邊形都是長方形，且．
求證：垂直平分．
例5
如圖，中，，、在直線上，且．
求證：．
例6
如圖，在△中，，為的中點，四邊形是平行四邊形．
求證：與互相垂直平分
參考答案
例1
分析
（1）由E為AB的中點，，可知DE是AB的垂直平分線，從而，且，則是等邊三角形，從而菱形中各角都可以求出．（2）而，利用勾股定理可以求出AC．（3）由菱形的對角線互相垂直，可知
解
（1）連結BD，∵四邊形ABCD是菱形，∴
是AB的中點，且，∴
∴是等邊三角形，∴也是等邊三角形．
∴
（2）∵四邊形ABCD是菱形，∴AC與BD互相垂直平分，
∴
∴，∴
（3）菱形ABCD的面積
說明：本題中的菱形有一個內角是60°的特殊的菱形，這個菱形有許多特點，通過解題應該逐步認識這些特點．
例2
分析
要證明，可以先證明，而根據菱形的有關性質不難證明，從而可以證得本題的結論．
證明
∵四邊形ABCD是菱形，∴，且，∴，∴，
，
∴，
∴
例3
解答：連結AC.
∵四邊形ABCD為菱形，
∴，.
∴與為等邊三角形.
∴
∵，
∴
∴
∴
∵，
∴為等邊三角形.
∴
∵，
∴
∴
說明
本題綜合考查菱形和等邊三角形的
性質，解題關鍵是連AC，證
例4
分析
由已知條件可證明四邊形是菱形，再根據菱形的對角線平分對角以及等腰三角形的“三線合一”可證明垂直平分．
證明：∵四邊形、都是長方形
∴，，，
∴四邊形是平行四邊形
∵，∴
在△和△中
∴△≌△
∴，
∵四邊形是平行四邊形
∴四邊形是菱形
∴平分
∴平分
∵
∴垂直平分．
例5
分析
要證，關鍵是要證明四邊形是菱形，然后利用菱形的性質證明結論．
證明
∵四邊形是平行四邊形
∴，，，∴
∵，∴
在△和△中
∴△≌△
∴
∵
∴
同理：
∴
∵
∴四邊形是平行四邊形
∵
∴四邊形是菱形
∴．
例6
分析
要證明與互相垂直平分，只要證明四邊形是菱形．所以要連結
證明
∵在△中，為的中點
∴
∵四邊形是平行四邊形
∴，
∴，
∴四邊形是平行四邊形
∵
∴是菱形
∴與互相垂直平分．
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1菱形小游戲及性質歌
參與人數：集體參與
時間：5分鐘
道具：和人數相等的火柴
場地：教室
應用：
(1)拓展思維
(2)培養創新精神
(3)工作方法改進
通過玩這個游戲可以拓展學員的思路，幫助他們開拓思路并改進工作方法。作為課間或開學第一課使用還是可以的，可以起到活躍氣氛和激發學員興趣的目的。
游戲規則和程序
1.發給每個學員8根火柴，要求他們在最短的時間內用這8根火柴拼出一個菱形。要求菱形的每個邊只能由一根火柴構成。拼出的人舉手示意培訓者。
2.培訓者在旁觀察每個人的方法是否相同，最后選出最快且合乎要求的學員，給予一定獎勵。
相關討論
1.請那些做出來的學員講講他們的思路是怎樣的？
2.那些沒做出來的學員，你們失敗的原因是什么？
總結
1.答案其實很簡單，用八根火柴拼成一個菱形的方法就是分別用它們拼成“一個◇”，數一數它們的筆畫，正好是橫平豎直的八畫，而這八畫正好可以由那8根火柴代替。
2.培訓者應該統計出做對者的數量，一般來說，能做出來的人不多。至于原因，大概都是沒有想到“一個”也可以表示出來，這樣自然就不知道剩下的4根火柴放哪里了。而那些做出來的人，可能有兩種可能。一種人平時就表現得很靈活，一件事情可以從好幾個角度分析，一個問題可以用好幾種方法解決；另一種人就是所謂的“直心眼”的人，這種人對別人的話很信任，不會加進自己的想法，別人說一就是一。所以他們聽了培訓者的話就不會多想，簡簡單單的就把題做出來了。
3.對于其他的人，當時頭腦靈活一點的話是可以做出來的。他們應該這樣想，菱形只有四個邊，又不許每邊使兩根火柴，那么一定還有別的什么地方需要火柴。這時只要稍微再把題想一遍，就會發現竅門所在了。
菱形性質及判定口訣
一個四邊形，對應邊平行．
再有鄰邊等，菱形才構成．
菱形有性質，仔細聽分明．
對角線垂直，四條邊相等．
對角線兩條，平分四頂角．
全等三角形，成對不可少．
菱形要判定，性質相對應，
四邊都相等，菱形就生成．
對角線垂直，對邊又平行．
兩條不能省，才能是菱形．
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2走進中考看矩形、菱形、正方形
一、開放性題
例1（濟南）如圖，在與中，==90°，AD=BC，AC、BD相交于點，過點作交的延長線于點，過點作交的延長線于點相交于點．
（1）圖中有若干對三角形是全等的，請你任選一對進行證明；（不添加任何輔助線）
（2）證明四邊形是菱形；
（3）若使四邊形是正方形，還需在的邊長之間再添加一個什么條件？請你寫出這個條件．（不必證明）
解：（1）．
∵AD=BC，==90°，AB=BA
∴．
（2），
∴四邊形是平行四邊形．
，
∴=∴
∴平行四邊形是菱形．
（3）需要添加的條件是．
說明：開放性試題是近幾年中考出現的題型．解答時，思維較靈活，有時要從條件探求結論，而且結論又不唯一；有時又要從結論出發逆向探求條件，而且結論不唯一；有時又要根據題意自己去探求條件和結論．
二、圖形剪拼題
例2（新疆建設兵團）如圖，已知菱形的兩條對角線長為，，你能將菱形沿對角線分割后拼接成矩形嗎？畫圖說明（拼出一種圖形即可）；在此過程中，你能發現菱形的面積與，的關系嗎？
解：拼出圖形如下所示．
　　　　　　　　　　　　拼法（1）　　　　　　　　　拼法（2）
或
結論：菱形的面積等于兩對角線乘積的一半．
說明：本題給出操作規則，要求學生在操作過程中發現結論，考查學生自主探索知識的過程及學生的動手操作能力、探究能力、創新能力．
三、圖形變換題
例3（聊城）如圖，將一張矩形紙片折疊，使落在邊上，然后打開，折痕為，頂點的落點為．你認為四邊形是什么特殊四邊形？請說出你的理由．
解：四邊形是正方形．
四邊形是矩形，∴=90°．
由于與折疊后重合，∴=90°．
∴四邊形是矩形（有三個角是直角的四邊形是矩形）．
，折疊后重后，∴．
∴四邊形是正方形（一組鄰邊相等的矩形是正方形）．
說明：解答本題的關鍵要掌握關于軸對稱的兩個圖形是全等圖形的性質，考查學生對圖形變換性質的理解和掌握能力．
四、動態性試題
例4（黔南州）如圖，，，，，
，點從點開始，沿邊向運動，速度為厘米／秒，點從點開始沿邊向點運動，速度為厘米／秒，設四邊形的面積為．
（1）寫出面積與時間之間的函數關系式；
（2）當為何值時，四邊形是平行四邊形？
（3）當為何值時，四邊形是等腰梯形？
解：（1）根據題意
又，，而
（2）假設當時，四邊形為平行四邊形，由平行四邊形的判定定理得MD=NC
即：，解得
∴當秒時，四邊形為平行四邊形．
（3）假設當時，四邊形是等腰梯形，則，
又作分別垂直于，則
∴，　∴
，解得（秒）．
說明：本題把代數和幾何知識相結合，用運動變化動態的觀點，考查學生對特殊四邊形的性質定理和判定定理的靈活運用能力．
五、實際應用題
例5（十堰）如圖甲，李叔叔想要檢測雕塑底座正面四邊形是否為矩形，但他隨身只帶了有刻度的卷尺，請你設計一種方案，幫助李叔叔檢測四邊形是否為矩形（圖乙供設計備用）．
解：方案如下：①用卷尺分別比較與與的長度，當，且時，四邊形為平行四邊形；否則四邊形不是平行四邊形，從而不是矩形；②當四邊形是平行四邊形時，用卷尺比較對角線與的長度，當時，四邊形是矩形；否則四邊形不是矩形．
說明：本題方案設計方法多樣，但要從正反兩方面說明四邊形是否為矩形，考查學生靈活應用數學知識解決實際問題和創新實踐的能力．
Ｄ
Ｇ
Ｃ
Ｂ
Ｅ
Ｈ
Ｆ
Ａ
A
D
C
B
E
F
A
D
C
B
A
D
C
B
（圖甲）
（圖乙）
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1矩形中考特色題
近年來有關矩形的中考新題頻頻出現，問題情景在不斷創新．現選取幾例中考題，加以分析，供同學們賞析．
一、折疊問題
例1（大連西崗區）將一張紙片沿圖中①、②的虛線對折得圖2中的③，然后剪去一個角，展開鋪平后的圖形如圖2中的④，則圖2中的③沿虛線的剪法是(
)
析解：解這類問題的關鍵是要記住折痕線和最后的層數．此題與一般的折疊問題略有區別，是指定圖形找剪法的．解這道題除了要記住折痕線和最后的層數外，還要關注剪的角度，最好動手操作．此題選B．
點評：折紙是一種學習探索與娛樂兩者兼備的活動，由于取材方便，又能有效地考查實踐操作、歸納探索、邏輯推理、空間想象等各種能力，因而倍受中考命題者的青睞．
二、剪拼問題
例2（棗莊市）在下列圖形中，沿著虛線將長方形剪成兩部分，那么由這兩部分既能拼成平行四邊形又能拼成三角形和梯形的是（
）
析解：這道題主要考查動手、動腦能力．通過剪剪、拼拼制作幾何圖案的活動，激發了同學們的學習興趣、增強了創造意識和審美觀念．對于此題，通過實踐操作，只有D的兩部分既能拼成平行四邊形又能拼成三角形和梯形，故應選D．
點評：動手實踐、自主探索、合作交流是新課標倡導的學習方法．剪紙拼圖能有效地考查實踐操作、歸納探索、邏輯推理、空間想象等各種能力，因而已成為中考的一個亮點．
三、與整式乘法結合題
例3（眉山市）有若干張如圖所示的正方形和長方形卡片，如果要拼一個長為（2a
+
b），寬為（a
+
b）的矩形，則需要A類卡片
張，B類卡片
張，C類卡片
張，請你在右下角的大矩形中畫出一種拼法．
析解：這是一道典型的數形結合題，利用矩形的面積解釋整式的乘法意義．可以把要拼的矩形長和寬相乘：（2a
+
b）（a
+
b）=2a2+3ab+b2，其中a2、b2視為A、B類卡片，ab視為C類卡片．可見要拼一個長為（2a
+
b），寬為（a
+
b）的矩形，則需要A類卡片2張，B類卡片1張，C類卡片3張．拼法不唯一，如上右圖所示．
點評：本題充分表現出數形結合思想，將代數式恒等變形在幾何圖形上給予直觀體現，不但考查了多項式相乘這一知識點，還能激發同學們不斷探索研究的興趣．這類題已成為近年中考中一道亮麗的風景線．
四、開放說理題
例4（瀘州市）如圖，在矩形ABCD中，點E是BC上一點，AE=AD，DF⊥AE，垂足為F．線段DF與圖中的哪一條線段相等？先將你猜想出的結論填寫在下面的橫線上，然后再加以證明．
即DF=
．(寫出一條線段即可)
分析：這是一道結論開放性試題，添加的結論往往不唯一．可以添加DF=AB或DF=CD等．然后利用矩形的有關性質，
通過證明ΔADF≌ΔEAB，達到證明線段相等的目的．
解：添加的結論是DF=AB．
證明：∵ABCD是矩形，∴∠ABE=90 ，AD∥BC．∴∠DAF=∠AEB（兩直線平行，內錯角相等）．又∵DF⊥AE，∴∠AFD=90 ．
在ΔADF和ΔEAB中，∵，∴ΔADF≌ΔEAB（AAS），∴DF=AB（全等三角形對應邊相等）．
點評：常見開放性試題類型有條件開放性、結論開放性及策略開放性三種．由于這類題對于激發創新意識、啟迪創新思維、培養創新和探究精神有著獨特的功能，因而成為近年考試的熱點題．
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1三角形變矩形
任意給你一張三角形紙片，你能將其剪兩刀，然后拼成一個矩形嗎？
如何把一個三角形等積變成一個矩形呢？
三角形的面積＝×底×高，矩形的面積＝長×寬。
要想等積變換，看來要將三角形的高減半，或者將它的底減半啦！
答案：
方法一：
方法二：
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www.矩形性質的應用
矩形具有四個角都是直角、對邊相等、對角線相等等性質。因此，利用這些性質可以解決與角、線段有關的問題。
例1、已知：如圖1，在矩形ABCD中，AC、BD是對角線，過頂點C作BD的平行線與AB的延長線相交于點E。
求證：△ACE是等腰三角形
[分析一]欲證△ACE是等腰三角形，即證AC=EC。因AC是矩形ABCD的對角線，則AC=BD。問題轉成證BD=EC。而這兩條線段恰是四邊形BDCE的對邊，考慮證它是平行四邊形。
[證法一]∵BD∥EC，BE∥DC
∴四邊形BDCE是平行四邊形
∴BD=EC
∵四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD
∴AC=EC，∴△ACE是等腰三角形
[分析二]欲證AC=EC，需證∠CAE=∠E，因為CE∥BD，所以∠E=∠DBA，需證∠DBA=∠CAE。需證OA=OB。
[證法二]∵四邊形ABCD是矩形
∴OA=AC，OB=BD，AC=BD
∴OA=OB。∴∠CAE=∠DBA
∵CE∥BD，∴∠DBA=∠E
∴∠CAE=∠E，∴AC=EC
即△ACE是等腰三角形
[點評]對于特殊四邊形的有關問題，要注意運用特殊四邊形有關性質來解，這是處理這類問題的重要方法。解法往往比較簡單。如證法一是利用矩形、平行四邊形的性質證明的。
對于一些特殊四邊形的有關問題，也可綜合運用三角形、特殊四邊形的性質來解，如證法二。
例2、已知：如圖2，矩形ABCD中，AC、BD相交于點O，AE平分∠BAD，若∠EAO=15°，求∠BOE的度數。
[分析]
∠BOE是△OBE的內角，要求∠BOE的度數，需求∠OBE、∠BEO，或找出它們與∠BOE的關系。由于題設可得∠OBE=∠ODA=∠OAD=30°，而∠BEO不易求出。因此，需找出∠BEO與∠BOE的關系。
[解]∵AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB
∵AE平分∠DAB，∴∠DAE=∠BAE
∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE
∵∠BAD=90°，∠BAE=∠EAD
∴∠BAE=45°
∵∠EAO=15°，∴∠BAO=45°+15°=60°
∵OA=OB，△AOB是等邊三角形
∴BO=AB
∵AB=BE，∴BO=BE，∴∠BOE=∠BEO
∵∠ABE=90°，∠ABO=60°
∴∠OBE=30°
在△BOE中
∵∠BOE+∠BEO+∠OBE=180°
∴∠BOE=（180°-∠OBE）=75°
圖1
A
B
C
D
O
E
圖2
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2利用菱形的性質解題
菱形除了具有平行四邊形的性質外，還具有自己的一些性質：（1）四條邊都相等；（2）對角線互相垂直，每條對角線平分一組對角，這些性質為我們解決有關問題提供了新的方法。
已知：如圖1，在菱形ABCD中，AE⊥CD，且AE=OD，求∠ADC的度數。
[分析]
因為∠ADC+∠BAC+∠CAD=180°，要求∠ADC的度數，需找出這三個角之間的關系。
[解]∵四邊形ABCD是菱形
∴∠AOD=90°
在Rt△AOD和Rt△DEA中
∴Rt△AOD經過旋轉平移與Rt△DEA重合，∴∠OAD=∠EDA
即∠CAD=∠ADC
∵四邊形ABCD是菱形，∴∠BAC=∠CAD
∴∠BAC=∠CAD=∠ADC
∴∠ADC=60°
已知：如圖2，菱形ABCD中，E是BC上一點，且AE=AB，∠EAD=
2∠BAE，求證：BE=AF
[分析]BE、AF分別是△BEF、△ABF的邊，顯然兩個三角形不全等，如何溝通BE、AF的關系呢？因為BF是這兩個三角形的邊，考慮證BE、AF都與BF相等，需證這兩個三角形都是等腰三角形。
[證明]在菱形ABCD中，因為AD∥BC
∴∠EAD=∠AEB
∵AB=AE
∴∠AEB=∠ABE
∵∠EAD=2∠BAE
∴∠AEB=∠ABE=2∠BAE
∵∠BAE+∠ABE+∠AEB=180°
∴5∠BAE=180°，∴∠BAE=36°
∴∠ABE=∠AEB=72°
∵四邊形ABCD是菱形，∴BD平分∠ABC
∴∠ABF=∠FBE=36°
∴∠ABF=∠BAF=36°，∴AF=BF
∵∠BFE=∠ABF+∠BAF=72°
∴∠BFE=∠BEF=72°
∴BE=BF，∴BE=AF
已知：如圖3，在菱形ABCD中，∠B=∠EAF=60°，∠BAE=20°，求∠CEF
[分析]要求∠CEF，需列出∠CEF的關系式，因為∠AEC=∠B+∠BAE=80°，則∠CEF=80°-∠AEF，需求∠AEF。∠AEF是△AEF的角，且∠EAF=60°，△AEF一定是一個特殊三角形。
[解]連結AC
∵∠B=60°，AB=BC，∴△ABC是等邊三角形
∴AB=AC，∠BAC=60°
∵∠CAF+∠CAE=60°，∠CAE+∠BAE=60°
∴∠BAE=∠CAF。∵四邊形ABCD是菱形
∴∠BCD=180°-∠B=120°，AC平分∠BCD
∴∠ACF=60°，∴∠B=∠ACF
在△ABE和△ACF中
∵∠B=∠ACF，AB=AC，∠BAE=∠CAF
∴△ABE經過旋轉與△ACF全等，∴AE=AF
∵∠EAF=60°，∴△AEF是等邊三角形
∴∠AEF=60°
∵∠AEC=∠B+∠BAE=60°+20°=80°
∴∠CEF=∠AEC-∠AEF=80°-60°=20°
[點評]在求解與菱形有關的問題時，根據條件，充分利用菱形的性質，可順利溝通已知與未知的關系，使問題獲得解決。
A
B
D
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C
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圖1
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圖2
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圖3
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1矩形的判定在實際問題中的應用
除了根據定義外，還可以用矩形的判定方法判定一個四邊形是不是矩形.在實際問題中，也經常用到矩形的判定．請看幾例．
例1.
如圖1，李叔叔想要檢測雕塑底座正面四邊形ABCD是否為矩形，但他只隨身帶了有刻度的卷尺，請你設計一種方案，幫助李叔叔檢測四邊形ABCD是否為矩形（圖2供設計備用）．
分析：本題是一道方案設計型新穎的實際問題，要檢驗四邊形ABCD是否為矩形，根據已知工具，只能測量長度.可以從矩形的判定方法選擇測量方案.如測量四邊形的邊長或對角線的長，然后借助矩形的判定方法進行判定.也可以構造三角形，通過測量三邊長度判斷四邊形三個內角的度數，根據三個角是直角的四邊形是矩形來判斷四邊形ABCD是否為矩形.
解：下面提供幾種測量方案：
①用卷尺分別比較AB與CD，AD與BC的長度，當AB=CD，且AD=BC時，四邊形ABCD為平行四邊形；否則四邊形ABCD不是平行四邊形，從而不是矩形．
②當四邊形ABCD是平行四邊形時，用卷尺比較對角線AC與BD
圖1
圖2
的長度．當AC=BD時，四邊形ABCD是矩形；否則四邊形ABCD不是矩形．　　
③先測量兩鄰邊的長以及對角線的長，然后用勾股定理逆定理測量一個角是否為直角，再用同樣的方法再測量另外兩個角是否也為直角.若四邊形ABCD中有三個角是直角，則四邊形ABCD是矩形，否則四邊形ABCD不是矩形.
④先測量四邊形ABCD是否為平行四邊形，再用勾股定理逆定理測量其中一個角是否為直角，若四邊形ABCD是平行四邊形，且有一個角是直角，則四邊形ABCD是平行四邊形，否則，四邊形ABCD不是平行四邊形.
例2.農村家庭建房打地基時，不像城市蓋大樓有專門的儀器放樣，他們往往采用土辦法，先用繩子拉成四邊形，分別量出房基的長a和寬b（如圖3），但還要一道重要的工序，才能保證房基是矩形，你能根據所學知識說出這道工序嗎？請說明理由.
圖3
分析：判斷一個四邊形是不是矩形時，在無法根據矩形定義判定時，可先根據它是不是平行四邊形，然后再根據判定方法判定是不是矩形.
解：由兩組對邊分別相等，可知圖1是平行四邊形，然后重要的一道工序應該是使對角線相等或使任意一個角是直角.因為對角線相等的平行四邊形是矩形或一個角為直角的平行四邊形是矩形.
例3.
工人師傅做鋁合金窗框分下面三個步驟進行：
⑴
先截出兩對符合規格的鋁合金窗料（如圖4①），使AB=CD，EF=GH；
⑵
擺放成如圖4②的四邊形，則這時窗框的形狀是
形，根據的數學道理是：
；
⑶
將直角尺靠緊窗框的一個角（如圖4③），調整窗框的邊框，當直角尺的兩條直角邊與窗框無縫隙時（如圖4④），說明窗框合格，這時窗框是
形，根據的數學道理是：
①
②
③
④
圖4
分析:本題是以實際問題為背景，設計的一道考查特殊四邊形性質的問題.將特殊四邊形的有關性質與具體的實際問題相結合，使得考題具有創新性.
解:根據已知條件AB=CD，EF=GH，當擺成圖4②時，所得到的圖形是平行四邊形.根據是兩組對邊相等的四邊形是平行四邊形.
如圖4
④，這時說明平行四邊形有一個角是直角，其它的三個角也可知是直角，這時四邊形是矩形，根據：有一個角是直角的平行四邊形是矩形.
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1
-菱形的判定方法的應用
菱形是特殊的平行四邊形，它的常用判定方法有：
（1）四條邊都相等的四邊形是菱形；
（2）有一組臨邊相等的平行四邊形是菱形；
（3）對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；
下面，就給同學們說說如何應用這些方法進行判定一個四邊形是菱形。
一、四條邊都相等的四邊形是菱形
例1（郴州）如圖1，ΔABC為等腰三角形，把它沿底邊BC翻折后，得到ΔDBC．請你判斷四邊形ABDC的形狀，并說出你的理由．
分析：翻折就是對稱，也就是全等。
解：四邊形ABCD為菱形。
理由是：
由翻折，得：△ABC≌△DBC．
所以，
因為，△ABC為等腰三角形，
所以，
所以，AC＝CD＝AB＝BD，
故，四邊形ABCD為菱形
點評：本題主要是應用對稱的知識得出一組臨邊相等，在運用等腰三角形的兩腰相等得到四條邊都相等來解答。
二、有一組臨邊相等的平行四邊形是菱形
例2（永州）如圖△ABC與△CDE都是等邊三角形，點E、F分別在AC、BC上，且EF∥AB
（1）求證：四邊形EFCD是菱形；
（2）設CD＝4，求D、F兩點間的距離．
分析：在四邊形EFCD中，由題意我們知道有一組臨邊ED和CD相等是很容易得到的，只要在說明這個四邊形是平行四邊形即可以。
（1）證明：
與都是等邊三角形
又
EF∥CD，
四邊形EFCD是平行四邊形，
平行四邊形是菱形。
（2）解：連結，與相交于點
由，可知
點評：觀察是解答問題的途徑和窗口。
三、對角線互相垂直的平行四邊形是菱形
例3（上海）如圖，已知平行四邊形中，對角線交于點，是延長線上的點，且是等邊三角形．
求證：四邊形是菱形；
分析：本題主要是利用等邊三角形頂角的平分線、底邊上的高和中線三線合一，得出AC⊥BD，然后在利用對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。
證明：在平行四邊形中，
AO=OC,
又因為，是等邊三角形，
所以，OC是底邊AC上的中線，也是底邊上的高
即AC⊥BD，
所以，平行四邊形是菱形。
點評：判定方法的確定要依據題目的特征來選擇，要因題而宜，靈活運用。
以一當十：
1、（無錫）如圖，四邊形中，，平分，交于．
（1）求證：四邊形是菱形；
（2）若點是的中點，試判斷的形狀，并說明理由．
參考答案：
1、（1），即，又，
四邊形是平行四邊形．
AC平分，，
又AD∥CE，，，，
四邊形是菱形．
（2）是中點，．又，，
，
，
，．
即，是直角三角形．
圖1
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1與矩形相關的折疊問題
在矩形的性質及判定的應用過程中，折疊類的題目是比較多見的，同時也是矩形和角平分線、勾股定理等知識的結合與拓展。折疊是軸對稱的另一種描述，因此，在折疊問題中找到折痕即對稱軸就是解決此類問題的一個突破口。下面從幾個不同的層面展示一下。
例1、將一長方形紙片按如圖的方式折疊，BC、BD為折痕，則∠CBD的度數為(
)．
(A)60°
(B)75°
(C)90°
(D)95°
分析：在這個問題中是利用折疊矩形的兩個角給大家提供條件的，那么折痕BC和折痕BD就充當了角平分線的角色，即∠ABC=∠A/BC,∠EBD=∠E/BD。
例2、如圖，把一張矩形紙片ABCD沿BD對折，使C點落在E處，BE與AD相交于點O。
（1）由折疊可得△BCD≌△BED，除此之外，圖中還存在其他的全等三角形，請你找出來
。
（2）圖中有等腰三角形嗎？請你找出來
。
（3）若AB=6,BC=8,則O點到BD的距離是
。
分析：在這一折疊的過程中，因為是與全等有關的，所以除了像例1一樣提供了角的等量關系之外，邊的相等是更重要的。問題（1）好解決，進而由全等三角形的對應邊相等可以說明（2）的結論是等腰△OBD。另外，還可以從另一個角度分析。由折痕BD可以找到
∠OBD=∠CBD，由于在矩形中，AD∥BC，∠ODB=∠CBD，經過等量代換∠OBD＝∠ODB，然后等角對等邊OB=OD。這是在矩形折疊中比較常見的“角平分線和平行線同時并存”的條件，結論就會出現“等角對等邊”的等腰三角形。問題（3）跟計算線段長度有關，這也是勾股定理在折疊中發揮作用的一類題目。因為AD＝BC，BC＝BE，因此在△ABO中可以設AO＝x，則BO＝OD＝8－x，因為AB＝6，即可以根據勾股定理列等式：AB2＋AO2＝BO2進行計算了。下面的這個題目就是用這個思路解決的。大家可以嘗試一下。
例3、已知：如圖，矩形AOBC，以O為坐標原點，OB，OA分別在x軸、y軸上，點A坐標為（0,3），∠OAB＝60°,以AB為軸對折后，使C點落在D點處，求D點的坐標.
例4、一個矩形紙片如圖折疊，使頂點B和D重合，折痕為EF。
（1）找出圖中全等的三角形，并證明。
（2）重合部分是什么圖形？證明你的結論。
（3）連接BE，并判斷四邊形BEDF是什么特殊四邊形，BD與EF有什么關系？并證明。
分析：此題的折疊不僅有前面幾個問題中線段和角的對應相等，而且在折疊的過程中隱藏著EF垂直平分BD，這對于第三問中四邊形形狀的判斷，有著重要的作用，這仍然是軸對稱的性質。利用這些條件易證明△EOD≌△BOF，則有ED＝BF，且ED∥BF，首先四邊形EBFD是平行四邊形，由于BD、EF互相垂直，所以就可說明四邊形EBFD是菱形。
例5、在矩形ABDC中，把∠A沿CF折疊，點A恰好落在矩形的對稱中心E處，若AB＝a，AC＝b，請你計算
的值。
分析：這個問題中的折疊，體現出來的看似只是一對角的相等，其實還有矩形中心對稱圖形的特征。即點E是對角線的交點。由矩形的性質可以說明AE＝DE，因為折疊可知AC＝CE，因此可得：△CAE是等邊三角形，即∠ACB＝60°，進而在直角△ACB中解決兩直角邊的關系為：１。
總之，由于矩形本身所獨有的特征，例如直角、對角線相等這些區別于普通平行四邊形的特征，使得折疊在矩形中會產生奇妙的結果，只要大家用心體會，善于總結歸納，一定會從中發現很多美妙的結論！
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-正方形典型題解析
正方形因其性質獨特，而頗受命題者青睞。縱觀正方形習題，類型繁多，解題方法靈活多變。同學們在平時若能多加練習，對提高解題能力將大有益處。下面分類介紹幾例。
一、證明兩條線段相等
例1.
如圖1，已知正方形ABCD中，E、H、F、G分別是邊AB、BC、CD、DA上的點，EF⊥GH。
求證：EF＝GH
解析：過點G、E分別作GM⊥BC、EN⊥CD，垂足分別是M、N，然后證△ENF≌△GMH即可。
二、證明一條線段等于另外兩條線段的和
例2.
如圖2，已知E、F分別是正方形ABCD的邊BC、CD上的點，∠EAF＝45°，AH⊥EF于H。
求證：（1）BE＋FD＝EF
（2）AB＝AH
證明：（1）延長EB到M，使得BM＝DF
則△ADF≌△ABM
∴∠FAD＝∠MAB，AM＝AF
∵∠FAD＋∠EAB＝45°
∴∠MAE＝∠MAB＋∠BAE＝45°＝∠EAF
∴△MAE≌△FAE
∴ME＝EF
∴BE＋FD＝EF
（2）因為△MAE≌△FAE，根據全等三角形對應邊上的高相等即可證明AB＝AH。
點評：此題的證法為截長補短中的補短法（也可以看作是旋轉法，即將△ADF旋轉到△ABM），關于它的變式很多，同學們只要熟練掌握了此題的解法，就可以以不變應萬變。
三、求角的度數
例3.
如圖3，P為正方形ABCD內一點，PA∶PB∶PC＝1∶2∶3，求∠APB的度數。
解析：把△BPA繞點B旋轉到△BP”C的位置，易證∠PBP”＝90°，則PP”＝，根據勾股定理的逆定理可得△PP”C為直角三角形，∠PP”C＝90°，因此∠APB＝∠CP”B＝90°＋45°＝135°
四、求不規則圖形的面積
例4.
如圖4，正方形ABCD的邊長為a，E、F分別是BC、CD的中點，DE、BF交于點G，求四邊形ABGD的面積。
解析：聯結CG，不難得出，從而，由E、F分別是BC和CD的中點，可得△DGF、△CFG、△CEG、△BEG的面積相等。
因為，所以
通過上述列舉可知，正方形題種類頗多，而且比較靈活，但只要在學習中善于探索，認真總結，正方形問題是不難解決的。
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1如何判定正方形
一、依據“有一組鄰邊相等的矩形是正方形”判定
例1、如圖：已知在中，，為邊的中點，過點作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F。若∠A=90°，求證：四邊形DFAE是正方形.
分析：由∠AED=∠AFD=∠A=90°，則四邊形CEDF是矩形。根據，有DE=DF，根據有一組鄰邊相等的矩形是正方形，所以四邊形CEDF是正方形
證明：因為DE⊥AB，DF⊥AC，所以∠AED=∠AFD=90°，又因為∠A=90°，所以四邊形DFAE為矩形。因為DE⊥AB，DF⊥AC，∠BED=∠CFD=90°，因為AB=AC，所以∠B=∠C，因為D是BC的中點，所以BD=CD，所以△BED≌△CFD，所以DE=DF，所以四邊形DFSE是正方形
二、依據“有一個角直角的菱形是正方形”判定
例2、如圖，在正方形ABCD中，E、F、G、H分別是各邊上的中點，且AE=BF=CG=DH，求證：四邊形EFGH是正方形
分析：首先證明△AEH≌△BEF≌△CGF≌△DHG，從而得出EH=EF=FG=GH，即四邊形EFGH是菱形，然后再證明一個角是90°即可
證明：在正方形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD，因為AE=BF=CG=DH，所以BE=CF=DG=AH，所以△AEH≌△BEF≌△CGF≌△DHG，所以EF=FG=GH=EH，所以四邊形EFGH是菱形，因為△AEH≌△BEF，所以∠AHE=∠BEF，因為∠AEH+∠AHE=90°，所以∠AHE+∠AHE=90°，所以∠HEF=90°，所以四邊形EFGH是正方形
D
C
B
E
A
F
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