資源簡介

用借助數軸準確判斷有理數混合運算的正負號
難易度：★★
關鍵詞：有理數
答案：
有理數混合運算中，準確判斷正負號，要根據每一個數的正負、絕對值的大小、運算法則等。
【舉一反三】
【舉一反三】
典例：實數a，b在數軸上的對應點如圖所示，則下列不等式中錯誤的是（
）
A．
B．
C．
D．
思路導引：一般來說，此類問題要用數軸判斷出兩數的符號和絕對值。本題中a小于b小于0，兩數同號，根據有理數乘法法則和加法法則，A、B正確。a的絕對值大，b的絕對值小，所以C項錯誤。
標準答案：C
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www.《數軸》學習指導
一、學習要點
學習目標
1.通過與溫度計的類比認識數軸，能正確畫出數軸.
2.能用數軸上的點表示有理數，初步感受數形結合的思想方法.
3.能利用數軸表示有理數的大小.
難點：利用數軸比較兩個有理數（尤其是兩個負分數）的大小.
考點：利用數軸比較有理數的大小是中考的重要考點之一，常與其他知識結合考查.
相關知識鏈接
1.有理數：整數和分數統稱為有理數.
2.正數和負數：像5,1,1.2，，…這樣的數叫做正數；在正數的前面加上“—”號叫做負數，如-10，-6，…
3.0既不是正數也不是負數.
二、學習引導
想一想
1.小學里曾用“射線”上的點表示數，你能在射線上表示出1和2嗎？
2.用“射線”能不能表示所有的有理數？為什么？
3.你認為把“射線”做怎么樣的改動，才能更好地用來表示有理數呢？
畫一畫
仔細觀察下列圖片---放大的溫度計：
<1>
<2>
試寫出圖1中溫度計上顯示的溫度各是多少？
、
、
.
與溫度計類似，我們也可以在一條直線上畫出刻度，標上讀數，用直線上的點表示正數、負數和零.
【請與圖2對比，加深理解】
像上面，畫一條水平直線，在直線上取一點表示0（叫做原點，origin），選取某一長度作為單位長度（unit
length），規定直線上向右的方向為正方向（positive
direction），就得到數軸（number
line）.
任何一個有理數都可以用數軸上的一個點來表示.
做一做
例1
如圖，數軸上A，B，C，D各點分別表示什么數？
例2
畫出數軸，并用數軸上的點表示下列各數：
數軸上的兩個點表示的數，右邊的總比左邊的大.正數大于0，負數小于0，正數大于負數.
試一試：比較下列每組數的大小：
（1）-2和+6
（2）0和-1.8
（3）和-4.
提示：先在數軸上找到這些數所對應的點的位置，再根據前面的結論比較大小.
三、預習檢測
1.數軸上的一個點先向左移動3個單位長度，再向右移動7個單位長度，終點表示的數是-1，那么原來的點表示的數是（
）
A.-6
B.-5
C.5
D.6
2.在-6,0,3,8這四個數中，最小的數是（
）
A.-6
B.0
C.3
D.8
3.與原點距離為3個單位的點有
個，它們分別表示有理數
和
.
4.在數軸上把下列各數表示出來，并比較它們的大小，用“<”將它們連接起來.
6，-3.5,0，，-4.
參考答案
1.B
2.A
3.2,3，-3
4.
如圖所示
PAGE運用數軸準確找出已知點的對稱點
難易度：★★★
關鍵詞：有理數
答案：
答案：數軸上的原點把數軸一分為二，左右分別為負數和正數，以原點為對稱的左右兩點即表示相反數的兩點。
【舉一反三】
典例：如圖，數軸上兩點表示的數分別為和，點B關于點A的對稱點為C，則點C所表示的數為（
）
A．

B．
C．

D．
思路導引：一般來說，此類問題先找出對稱的點和對稱點所對應的數值。B關于點A的對稱點為C，所以點c和點B到點A的距離相等，點A到點B的距離為。
標準答案：Ａ
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www.例說“數軸”的五大功能
大家知道，我們把規定了原點、正方向、單位長度
( http: / / www.21cnjy.com )的直線叫做數軸.“數軸”是初中數學中聯系數與形的第一座“橋梁”.下面將它的功能歸納如下，供同學們學習時參考！
一、利用數軸可以直觀地表示有理數
任何一個有理數都可以用數軸上的一個點來表示，最常見的是這兩類問題：⑴已知數軸上的點讀出所表示的數；⑵把有理數用數軸上的點表示出來.
例1：如圖1所示，指出由A、B、C、D、E各點分別表示什么數？
解：點A表示數2.5，點B表示數-3.5，點C表示數0，點D表示數1，點E表示數-2.
二、利用數軸可以形象解釋相反數
只有符號不同的兩個數互為相
( http: / / www.21cnjy.com )反數，如果我們利用數軸來認識相反數，則十分形象直觀.
在數軸上，表示一對相反數的兩個點同時具備兩個條件：（1）到原點的距離相等；（2）分別位于原點的左右兩側.如圖1中的-2和2，它們互為相反數，在數軸上位于原點的兩側，并且與原點的距離相等.
三、利用數軸可以準確地比較有理數的大小
在數軸上表示的兩個數，右邊的數總比左邊的數大.根據這一特點可把要比較的有理數在數軸上表示出來，通過數軸上比較兩數的大小.
例2：根據圖2所示，試判斷的大小.
解：因為在數軸上表示的數，右邊的數總比左邊的數大，所以數的大小關系是.
四、利用數軸可以幫助我們理解絕對值的意義
一個數的絕對值，就是在數軸上表示這個數的點離開原點的距離.而距離至少為0，所以絕對值就一定是非負數，即≥0.絕對值與離開原點的距離有關，不論在正半軸還是負半軸，離開原點越遠則這個數的絕對值越大.
例3：已知有理數、、在數軸上的位置如圖3所示，化簡.
解：由數軸可知：
所以，，，
所以原式＝＝＝-2.
五、利用數軸分析物體運動的實例可以非常直觀地獲得物體運動后的結果
例4：小強從A地向東走10米，然后折回向西走3米，又折回向東走6米，問此時小強在A地的哪個方向上？距離是多少？
解：我們借助數軸，把實際問題轉化為數學知識模型，先畫出如圖4所示的數軸，以A點為原點.
觀察數軸可知：小強實際走
( http: / / www.21cnjy.com )的路線是A→D→B→C，我們可以把小強行走的過程想象為A點在數軸上移動的過程：A點向右移動10個單位長度，得到表示10的點D，接著向左移動3個單位長度，得到表示7的點C，所以此時小強在A地的正東方向，距離A點13米.
－5
－4
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
5
A
D
C
E
B
圖1
0
A
C
B
圖2
O
圖3
A
C
B
8
0
2
4
6
10
12
14
－2
圖4
D學習數軸值得注意的幾個問題
數軸是研究數學的重要工具之一，是數形結合思想的具體體現，是我們學好數學的好幫手.那么怎樣才能學好數軸呢？筆者認為應注意掌握以下幾個問題：
正確理解數軸的概念
規定了原點、正方向、單位長度的直線叫做數軸.
由此可知，數軸的這一概念包含了三層涵義：第一層涵義是說數軸是一條直線，可以向兩端無限延伸，但直線不是數軸
；第二層涵義是說數軸有三個特殊條件：①原點；②正方向；③單位長度.三者缺一不可，這三個特殊條件稱為數軸的“三要素”；第三層是說數軸上的原點位置、單位長度都是自己規定的，但在同一條數軸上的單位長度必須一致；第四層涵義是說正方向通常選取向右的方向為正方向.如圖1是一條數軸.
會正確地畫出數軸
　　正確地畫出一條數軸的方法可概括為“一畫、二取、三選、四標”.即一畫，即畫一條直線，再畫出原點；二取，即取向右的方向為正方向；三選，即選取適當的長度為單位長度；四標，即在數軸上標出1，2，3，…，0，－1，－2，－3，…等各點.
畫一條數軸雖然可概括為“一畫、二取、三選、四標”，但還必須注意以下幾個問題：①數軸這條直線通常情況下要畫成水平的；②單位長度的選取應根據實際情況的需要，如要在數軸上表示0.2和0.25的點，則單位長度可取長一點，如用2.5cm的長度為單位長度；又如要在數軸上表示－2000和3500的點，則單位長度可取小一點，如用0.5cm的長度為500；③原點的選取也應從實際出發，如要在數軸上表示－5和2的點，此時的原點可選定偏左一點，等等.
另外，畫一條數軸還要避免一些常見的錯誤.常見的錯誤有：①沒有方向，如圖2不是數軸；②沒有原點，如圖3不是數軸；③單位長度不統一，如圖4不是數軸；④數軸負方向上的負數排列顛倒，如圖5不是數軸；⑤正數標在負方向上，負數標在正方向上，如圖6不是數軸.
正確理解數軸上的點與有理數的關系
所有的有理數都可以用數軸上的點表示出來，反過來，不能說數軸上所有的點都表示有理數.正有理數可以用原點右邊的點表示，負有理數可以用原點左邊的點表示，零用原點表示.如圖7，從原點向右2個單位長度的A點表示2，從原點向左3.5個單位長度的B點表示－3.5，等等.
能熟練運用數軸解題
　　數軸的建立，可以將所有的有理數在數軸上表示出來.因此數軸有以下兩個重要特性：
（1）零可以用原點表示，正數可以用原點右邊的點表示，負數可以用原點的左邊的點表示出來.
（2）在數軸上表示的兩個數，右邊的數總比左邊的數大.
利用數軸的這兩個特性，可以運用數軸解決具體的問題.
寫出符合下列條件的點所表示的各數：
（1）與原點的距離等于2個單位長度的點所表示的數；
（2）若點P所表示的數是－1，則與點P的距離等于2個單位長度的點所表示的數.
簡析　依據題意可建立如圖8所示的數軸.（1）與原點的距離等于2個單位長度的點有兩個，一個是原點右邊的點A，一個是原點左邊的點B，點A對應的數是2，點B對應的數是－2，即與原點的距離等于2個單位長度的點所表示的數是2與－2；（2）與點P的距離等于2個單位長度的點所表示的數也有兩個，即一個點在點P的右邊的點C，一個是P點左邊的點D，則與P的距離等于2個單位長度的點所表示的數是1或－3.
比較下列各數的大小：－1，－3.5，2,0.5.
　簡析　依據題意可建立如圖9所示的數軸.在數軸上分別標上表示－1，
－3.5，2,0.5的點所表示的數.則有－3.5＜－1＜0.5＜2.
－1
　3
圖2
1
－3
2
－2
0
圖1
－1
　3
1
－3
2
－2
0
圖3
－1
2
－3
3
－2
1
圖4
1
－3
2
－2
0
圖8
－1
　3
1
－3
2
－2
0
A
B
D
C
P
3
圖6
　－3
－1
1
－2
2
0
圖5
－3
　3
1
－1
2
－2
0
圖7
－1
　3
－4
1
－3
2
－2
0
A
B
0.5
圖9
－1
　3
－4
1
－3
2
－2
0
－1
－3.5
PAGE數軸解釋代數式的意義
難易度：★★★
關鍵詞：有理數
答案：
用數軸解釋代數式的實際意義應把握好數軸本身的意義并加以運用。
【舉一反三】
典例：大家知道，它在數軸上的意義是表示5的點與原點（即表示0的點）之間的距離．又如式子，它在數軸上的意義是表示6的點與表示3的點之間的距離．類似地，式子在數軸上的意義是
．
思路導引：
一般來說，此類問題應考慮數軸上兩點間的距離。本題中式子中有兩個數，
a+5也可以寫成a-（-5）所以題目中的5實際為-5。
標準答案：表示a的點與表示-5的點之間的距離.

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www.怎樣學好“數軸”
數軸是“數”與“形”的第一次結合，它使抽象的“數”直觀化，使數與直線上的點之間建立了對應關系，表明了數與形的內在聯系，并由此形成了數形結合的基礎。數軸是非常重要的數學工具，本文從以下五個方面提醒大家學好它。
提醒一、正確認識數軸的意義：
數軸的意義要從以下三個方面理解：①原點、正方向、單位長度是數軸的三要素。原點的選定，正方向的選取，單位長度大小的確定，都是根據需要規定的。通常取向右為正方向，單位長度大小的確定，可根據各題的實際需要，靈活選取，有時可以每隔兩個或多個單位長度取一個點；②正數總在原點的右邊，負數總在原點的左邊；③一般地，設a是一個正數，則數軸上表示數a的點在原點的右邊，與原點的距離是a個單位長度；表示-a的點在原點的左邊，與原點的距離是a個單位長度。
提醒二、學會畫數軸的方法：
數軸的畫法一般按下面四步進行：①首先畫一條直線（一般畫成水平直線）；②在這條直線上任取一點作為原點，并用這點表示零（在原點下邊標上“0”）；③再確定正方向（一般規定向右為正），畫上箭頭，而相反方向為負方向；④最后選取適當的長度作為單位長度，從原點向右，每隔一個單位長度取一點，依次標上下1，2，3，…，從原點向左依次標上-1，-2，-3…如圖1。
另外注意：原點的位置，單位長度的大小可根據實際情況適當選取，一個單位長度間隔的兩點，表示的兩個數可以相差0.1，1，10，100…，視情況而定（如圖2）。
提醒三、理解有理數與數軸上的點的關系：
可以從以下兩方面理解：①所有的有理數都可以用數軸上的點來表示，但數軸上的點并不都表示有理數，如數軸上表示的點表示的就不是有理數（是一個無限不循環小數，不能化成分數，所以不是有理數）。②正數可用原點右邊的點表示，反過來原點右邊的點都表示正數；負數可用原點左邊的點表示，反過來原點左邊的點都表示負數；零用原點表示，反過來，原點表示零。
提醒四、了解數軸在生活實際中的應用：
數軸在生活實際中有著廣泛的應用，我們常見如：溫度計、直尺、有刻度的秤桿、彈簧秤等，除此之外像量角器、電流表、電壓表、歐姆表、汽車上的速度表、油量表等儀表上的刻度都可以認為是數軸的應用。
提醒五、正確了解數軸的作用：
數軸具有以下作用：①可以形象地表示有理數；②可以幫助我們理解具有相反意義的量的概念；③可以給相反數、絕對值（下一節將學到）等抽象的概念以直觀的解釋；④可以直觀地幫助比較有理數的大小；⑤由于所有的有理數與數軸上的點之間并未建立一一對應的關系，所以預示必有新的數產生，將產生什么數下一學期大家就知道了。
PAGE什么是有理數的加減
難易度：★★
關鍵詞：有理數
答案：
答案：有理數的加減容易出錯，特別是剛對于正負符號的判斷不容易弄懂。但如能巧妙運用數軸，則可以數形結合，化難為易。
【舉一反三】
典例：有理數
( http: / / www.21cnjy.com )、
( http: / / www.21cnjy.com )在數軸上的位置如圖所示，則
( http: / / www.21cnjy.com )的值
A．大于0
B．小于0
C．小于
( http: / / www.21cnjy.com )
D．大于
( http: / / www.21cnjy.com )
思路導引：一般來說，此類問題可借助數軸，判斷出兩數的符號和絕對值的大小，再根據法則或點在數軸上的幾何意義，就不難解決。
( http: / / www.21cnjy.com )小于0，
( http: / / www.21cnjy.com )
大于0，又
( http: / / www.21cnjy.com )的絕對值大于
( http: / / www.21cnjy.com )的絕對值。
標準答案：A 數軸
( http: / / www.21cnjy.com )
1．數軸
(1)定義：規定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數軸，如圖．
( http: / / www.21cnjy.com )
①數軸有三要素：原點、正方向、單位長度
( http: / / www.21cnjy.com )，三者缺一不可；②原點的選定，單位長度大小的確定，都是根據實際需要“規定”的．通常取向右的方向為正方向．
(2)數軸的畫法
畫一條數軸的步驟可概括為：一畫、二定、三選、四標．
①畫直線：就是先畫一條直線，一般畫成水平的直線；
②定原點：通常原點選在你所畫直線居中的位置，若問題中負數的個數較多時，原點選得靠右些；正數的個數較多時，原點選得靠左些．
③選正方向：通常取原點向右的方向為正方向，并選取適當的長度為單位長度，將表示刻度的點用短豎線表示．
④標數：在數軸上依次標出1,2
( http: / / www.21cnjy.com ),3,4,0，－1，－2，－3，－4等各點，相應的數0，±1，±2，…寫在數軸的下方；將需要在數軸上表示出的數或字母寫在數軸的上方，相應的點表示為實心小圓點．
要是在數軸上用到30，那得標多少單位啊！
適當的長度有兩層含義：①可取實際1
c
( http: / / www.21cnjy.com )m作為一個單位長度，也可以取2
cm或其他實際數據作為一個單位長度；②一個單位長度可表示1，也可表示10或更多！如圖所示就能做到啦！
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【例1】
下列圖形表示的數軸正確的是(
)．
解析：
A
×
直線上沒有規定正方向
B
×
－1的位置標錯了
C
√
符合數軸的三要素
D
×
單位長度不統一
答案：C
2．有理數與數軸上的點的關系
任何一個有理數都可以用數軸上的一個點來表示，即每個有理數都對應數軸上的一個點．
(1)表示正數的點都在原點的右側；(2)表示負數的點都在原點的左側；(3)表示0的點就是原點．
【例2】
(1)畫出數軸，并用數軸上的點表示下列各數：－2,0,1，－0.5，－，2.
(2)指出如圖所示的A，B，C，D，E各點分別表示什么數？
分析：(1)
有理數
數軸上的位置
－2
原點向左2個單位長度
0
原點
1
原點向右1個單位長度
－0.5
原點向左0.5個單位長度
－
原點向左個單位長度
2
原點向右2個單位長度
(2)
字母
數軸上的位置
有理數
A
原點右邊3個單位長度
3
B
原點左邊1個單位長度
－1
C
原點左邊1.5個單位長度
－1.5
D
原點右邊1.5個單位長度
1.5
E
原點右邊0.5個單位長度
0.5
解：(1)如圖．
(2)點A表示3；點B表示－1；點C表示－1.5；點D表示1.5；點E表示0.5.
點技巧
“數形結合”思想
(1)根據已知數在數軸上標出對應點，分三步
( http: / / www.21cnjy.com )：①畫數軸；②確定點，并用實心小圓點描出；③標數，即在實心小圓點的上方標出所表示的數．(2)根據數軸上的點讀數，原點表示0，原點向右為正數，原點向左為負數．都體現了“數形結合”的思想．
3．利用數軸比較有理數的大小
(1)數軸上兩個點表示的數，右邊的總比左邊的大．
(2)正數大于0，負數小于0，正數大于負數．
(3)多個有理數比較大小：①把各個數在數軸上表示出來；②根據各數在數軸上的順序，用“<”或“>”連接．
析規律
兩個有理數比較大小的方法
分情況比較：①若兩數同號(都為正數或都為負數)，數軸上左邊的數＜右邊的數；
②若兩數異號，則正數＞0＞負數．
【例3－1】
比較下列這組數的大小，并用“＜”連接起來．
－4，，1，－2,3,0，－0.5.
分析：如圖，根據在數軸上右邊的點表示的數總比左邊的點表示的數大這一規律，可以先將這組數對應的點找到，然后比較大小．
解：如圖．
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－4＜－2＜－0.5＜0＜＜1＜3.
【例3－2】
有理數a，b在
( http: / / www.21cnjy.com )數軸上的位置如圖所示，試用“＝”“＞”或“＜”填空：a__________0，b__________0，a__________b.
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解析：a在原點的左邊，是負數，負數小于
( http: / / www.21cnjy.com )0；b在原點的右邊，是正數，正數大于0；b的對應點在a的對應點的右邊，數軸上右邊的數總是大于左邊的數(或正數大于負數)．
答案：＜
＞
＜
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4．數軸上點的移動
(1)相對于原點的移動：從原點向右a(a>0)個單位長度，則表示的數是a；從原點向左a(a>0)個單位長度，則表示的數是－a.
(2)兩個相對點的移動：點A相對于點B向右移動或向左移動一定的距離，最后表示的數要看點A移動結束時對應點距離原點的距離和位置．
【例4】
一探險隊要沿著一東西走向的河
( http: / / www.21cnjy.com )流進行考察，第一天沿河岸向上游走了5
km，第二天又向上游走了4.3
km，第三天開始計劃有變，向下游走了4.8
km，第四天又向下游走了3
km，你知道第四天之后，該探險隊在出發點的上游還是下游嗎？距離出發點多遠？
解：設出發點為原點，向上游走為正，那么向
( http: / / www.21cnjy.com )下游走為負，畫出數軸如圖所示．利用數軸分析，得第四天后，探險隊在出發點的上游，距離出發點1.5
km.
5.利用數軸求數軸上的點表示的數
在數學里，數與形是密切聯系的，數軸的引進使有理數與直線上的點聯系了起來，利用數軸可以比較容易地寫出數軸上某區域中的整數、正整數、負整數等．
如，寫出大于－5而小于3的所有整數．可以先畫
( http: / / www.21cnjy.com )出數軸，在數軸上標出－5與3這兩個點，再在這兩個點之間找出滿足題意的整數－4，－
3，－2，－1，0,1,2即可．
【例5】
小紅做題時，不小心把墨水灑在了數軸上，如圖所示，請根據圖中的數值，寫出墨跡蓋住的所有整數．
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分析：觀察數軸可知，比－12.1大的
( http: / / www.21cnjy.com )最小整數是－12，比－6.5小的最大整數是－7，比－0.5大的最小整數是0，比10.5小的最大整數是10，所以墨跡蓋住的整數分別是－12，－11，－10，－9，－8，－7及0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.
解：墨跡蓋住的所有整數分別是－12，－11，－10，－9，－8，－7及0,1,2,3,
4,5,6,7,8,9,10.什么是代數式的化簡
難易度：★★
關鍵詞：有理數
答案：
代數式的化簡是初中數學的難點，其中有一類題目可借助數軸，用數軸的幾何觀點輕松解決絕對值和平方根的化簡問題。
【舉一反三】
典例：已知實數
( http: / / www.21cnjy.com )在數軸上的位置如圖所示，則化簡
( http: / / www.21cnjy.com )的結果為（
）
A．1
B．
( http: / / www.21cnjy.com )
C．
( http: / / www.21cnjy.com )
D．
( http: / / www.21cnjy.com )
思路導引：我們知道，負數的絕對值等于它的相反數，非負數的絕對值等于它本身；，
( http: / / www.21cnjy.com )。本題由數軸可看出
( http: / / www.21cnjy.com )，所以
( http: / / www.21cnjy.com )。所以原式=（1-a）+a=1，選A。
標準答案：A用數軸比較數的大小
難易度：★★
關鍵詞：有理數
答案：
用數軸比較兩個有理數的大小是數軸的基本功能之一。在數軸上以原點為分界，左為負數，右為正數。一般規律為數軸上的點從左到右的順序，表示的數就是從小到大的順序。
【舉一反三】
典例：實數、在數軸上對應點的位置如圖所示，
則
▲
(填“<”或“>”)
．
關鍵詞：有理數的大小比較
思路導引：一般來說，此類問題應注意原點、已知點的位置，根據位置判斷出正負和大小即可。也可根據負數比較法則，絕對值大的反而小。
標準答案：<
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www.學好數軸，用好數軸
數軸形象地反映了數與點之間的關系，實現了“數”與“形”的結合，它可以幫助我們直觀地理解有理數的意義．因此，學習有理數，一定要學好數軸，用好數軸．
一、學好數軸
1、數軸的概念：略．
2、數軸的畫法：
（1）直線一般畫成水平的，通常取向右的方向為正方向；
（2）將表示刻度的點用短豎線表示，相應的數如0、±1、±2、…寫在數軸的下方；將需要在數軸上表示出的數或字母寫在數軸的上方，相應的點表示為實心小圓點．例：在數軸上表示出下列各數：、0，1.5，．規范的表示如右圖．
3、學習數軸時應注意的問題：
（1）畫數軸時，原點、正方向和單位長度這三個要素缺一不可，以下幾種畫法都是錯誤的．（想一想：為什么？）
（2）所有的有理數都可以用數軸上的點來表示，但反過來，數軸上的點并不都表示有理數．（還可以表示無理數，以后將學到）
二、用好數軸
1、利用數軸加深對有理數的認識
（1）正確認識0
隨著負數的引進，數的范圍擴大了，0除了表示一個也沒有外，還是正數與負數的分界，它既不是正數也不是負數，它是整數．
（2）正確認識整數
在數軸上原點和單位長度整數倍的點表示的都是整數。沒有最小的整數，也沒有最大的整數；最大的負整數是－1，最小的正整數是1．
（3）正確理解正數、負數
在數軸上，原點左邊的所有點都表示負數，且越往左數越小；原點右邊的所有點都表示正數，且越往右數越大．從數軸上可以看出，沒有最小的負數，沒有最大的負數，同樣，沒有最小的正數，也沒有最大的正數．
2、利用數軸探究問題
例1
如圖，在數軸上從－1到1有3個整數，它們是－1，0，1；從－2到2有5個整數，它們是－2，
－1，0，1，2；……，則從－100到100有
個整數。
析解：原點左邊和右邊各有100個整數，加上原點表示的0，共有201個整數．
例2
已知數軸上的點A所表示的數是2，那么在數軸上到點A的距離是3的點所表示的數是
．
析解：在點A的左邊和右邊各有一個到它的距離等于3的點，因此符合條件的數有兩個，分別是5和－1．
由上面可以看出：有理數都可以用數軸上的點來表示，利用數軸可以加深對有理數的認識，解決與有理數有關的問題；反過來，通過對有理數的學習，又進一步加深了對數軸的理解和認識，這就是數學學習中重要的數形結合思想．在后面的學習中，我們還將利用數軸來學習相反數、絕對值的意義及比較兩個有理數的大小，希望大家認真領會．學習數軸應注意的三個方面
數軸在有理數的學習中起著重要的作用.它是學習、理解相反數、絕對值的重要工具.正確理解數軸，并能利用數軸解決問題是數形思想的重要體現.
一.數軸的理解
數軸是一條特殊的直線，在這條直線上規定了原點、正方向和單位長度.理解數軸應把握以下三點：（1）數軸是一條特殊的直線，但直線不是數軸；（2）數軸有三個重要特征：①有原點（表示數0的點）；②正方向（向右的方向）；③單位長度；（3）數軸上的原點的位置、單位長度都是根據實際問題需要規定的，在同一條數軸上的單位長度應一致.
二.數軸的畫法
正確畫一條數軸的步驟可概括為：一畫、二取、三選、四標.一畫，就是先畫一條直線，一般畫成水平的直線；二取，就是在直線上選取適當的點，用它來它來表示0，稱為原點；三選，就是選擇向右的方向為正方向，用箭頭表示出來，并選取適當的長度作為長度單位；四標，就是從原點向右，每隔一個單位長度取一點，依次表示1，2，3，…；從原點向左，每隔一個單位長度取一點，依次表示-1，-2，-3，….
如圖1，就是一條數軸.但數軸的單位選取要根據實際情況，靈活處理.如要在數軸上表示-0.1,0.2等小數,則單位長度可選長一些,可用1cm代表一個單位長度;要在數軸上表示-100,-300等數時,則單位長度可取小一些,如用1cm長度表示100.
圖1
例1
指出圖2
中哪些不是數軸嗎 并指出你判斷的理由.
(1)
(2)
(4)
分析:在畫數軸時,常出現以下幾種錯誤:①沒有方向;②沒有原點;③單位長度不統一;④標數不按順序.而(1)中恰好是第①種錯誤;(2)恰好是第②錯誤;(3)恰好是第③種錯誤;(4)恰好是第④種錯誤.所以(1),(2),(3),(4)都不是數軸.
三、數軸的應用
1．利用數軸上點可以表示任意一個有理數.但并不是所有數軸上的點都表示有理數.隨著學習的深入，你會認識到這一點的.
2．利用數軸可以比較兩個有理數的大小.在數軸上右邊的表示的數總比左邊的大，正數都大于0，負數都小0，正數大于一切負數.
3．利用數軸可以理解相反數的意義.在數軸上符號相反，且到原點距離相等的點所表示的數，互為相反數，如-2和2.
4．利用數軸可以理解絕對值的幾何意義：數軸上表示點a的數與原點的距離叫點a的絕對值.
例2
在數軸上表示
3，1，-0.5,
0的相反數,并將它們的相反數按從小到大的順序用“<”表示出來.
解析:依據題意,建立如圖3所示的數軸,在數軸上分別表示出-3,-1,0.5,0,從數軸觀察得到:-3<-1<0<0.5.
圖3
例3
寫出數軸上符合下列條件的點所表示的數.
(1)與原點的距離為3個單位長度的點所表示的數;
(2)若點A所表示的數是1,與點A的距離是是3個單位長度的點所表示的數.
解析:根據題意建立如圖4數軸.
(1)從數軸上很容易觀察到與原點3個單位長度的點所表示的數有兩個,分別為3,-3;
(2)與點A距離為3個單位的點有兩個,這兩個點所表示的數分別是-2和4.
圖4
PAGE巧用數軸先生
數軸先生具有簡潔明了的特點，有理數和絕對值都非常喜歡他，都愿意和他交朋友.
某天傍晚數軸先生出門散步，他先來到了有理數大哥的家里，看到有理數大哥愁眉苦臉的，就問：“有理數大哥，怎么了？”有理數就說“你看，同學們對于下面的這兩道題經常做不好，不知道你有什么辦法沒有？”
例1.
大于-4且不大于3的偶數有__________.
數軸先生看了后，說：“這有什么難，用我就可以了.你只要利用數軸畫出圖1，那么就非常清晰了.”
解：如圖，大于-4且不大于3的數有3，2，1，0，-1，-2，-3.其中是偶數的有2，0，-2.
例2.
點A從-1開始，先向左移動2個單位長度到達B點，再由B點向右移動5個單位長度到達C點，最后由C點相左移動1個單位長度到達D點，那么D點表示的______.
數軸先生說：“你也只要利用我表示出整個移動過程，如圖2，結果就很清楚了.”
解：如圖2，先向左移動2個單位長度到達B點為-3，向右移動5個單位長度C點為2，相左移動1個單位長度D點為1.
從有理數大哥家出來后，數軸先生又來到了絕對值的家，看到絕對值正滿頭大汗的在做題.看到數軸先生后，絕對值感到非常高興，說：“有理數大哥，你幫我看看下面兩題，有什么好辦法嗎？”
例3.
如果，則比較a與b的大小會有哪些結果，請你都寫出來.
有理數先生看了一下后，說：“結果是有點多的，解題過程中不要遺漏結果，如果你利用我的圖形，就會避免，如圖3.”
解：因為，表示到原點的距離為4，那么這樣的數有兩個+4和-4，因為，表示到原點的距離為4，那么這樣的數有兩個+3和-3.若a=
4，b=3，則a﹥b；若a=
4，b=
-3，則a﹥b；若a=
-4，b=3，則a﹤b；若a=-4，b=
-3，則a﹤b.
例4.
求的最小值.
有理數先生沉思一下后說，此題也可以借助我，而且非常簡單，容易理解，看我的吧.
解：在數軸上表示一個點到2的距離，在數軸上表示一個點到
-1距離，那么的最小值就表示一個點到2和-1的距離和最小.
當x點在2和-1之間時（如圖4），的距離和就是
當
x點在-1的左邊時（如圖5），的距離和明顯大于第一種情形.
當
x點在2的右邊時（如圖6），的距
離和也明顯大于第一種情形.
所以的最小值為3.
在回家的路上，數軸先生想我簡單明了的圖形可以解決很多問題，它的實質是數形結合的思想.
對于相反，數軸先生也能解決一定的問題.
例5.
(1)如果a與-3互為相反數，那么a=
.
A.3
B.-3
C.
D.-
(2)一個數的相反數非正，則這個數是
.
A.負數
B.正數
C.正數或零
D.不確定
解析:
(1)選A.
(2)因為0的相反數是0，正數的相反數是負數，故選C.
例6.
(1)如果a=-13，那么-a=
；
(2)
a，b互為相反數，c，d互為倒數，則2005(a+b)2005+2006(cd)2006=
.
解析:
(1)因為-13的相反數為13，所以a的相反數-a=13；
(2)顯然a+b=0，cd=1，故原式=2006.
PAGE《數軸》知識點解讀
知識點1
數軸（重點）
1.數軸的概念
畫一條水平直線，在直線上取一點表示0（叫做原點），選取某一長度作為單位長度.規定直線上向右的方向為正方向，就得到數軸。如下圖
2.數軸的畫法
（1）畫直線、定原點：通常原點選在直線中間，若問題中負數的個數較多時，原點選靠右些；正數的個數較多時，原點選的靠左些．
（2）定方向：通常取原點向右的方向為正方向．
（3）定單位長度：選取適當的長度（如0.5cm）為單位長度，若在數軸上表示是0.0001和－0.0004則可取一個單位長度為0.0001；在數軸上表示3000與－4000，則可規定一個單位長度為1000．
（4）標數：在數軸上依次標出1，2，3，4，－1，－2，－3，－4等各點．
3.任何一個有理數都可以用數軸上的一個點來表示.
注意：（1）在取原點位置和確定單位長度時，要根據題目的不同特點，靈活選取.
（2）所有的有理數都可以用數軸上的點來表示，但數軸上的點不都可以表示有理數.（今后要學的無理數也可以用數軸上的點來表示）
【例1】指出下圖中的數軸上各點表示的數.
解析
讀出在數軸上的點表示的有理數分兩步：（1）根據點在原點的左右邊確定有理數的符合；（2）根據點與原點的距離確定數值.
答案
A點表示-2；B點表示-1，C點表示0；D點表示2；E點表示2.
【類型突破】
畫出數軸，并用數軸上的點來表示下列各數：+4，-2，-4.5，1，0.
答案
知識點2
有理數大小的比較（重點）
利用數軸可比較有理數的大小，即
（1）在數軸上表示的兩個數，右邊的數總比左邊的數大.
（2）由正數、負數、0在數軸上的位置可知：正數都大于0，負數都小于0，正數大于一切負數.
提示：正負數的表示方法：因為正數都大于0，反過來，大于0的數都是正數，所以可用a>0表示a是正數；反之，知道a是正數也可以表示為a>0.
同理，a<0表示a是負數；反之，a是負數也可以表示為a<0.
【例2】將下列各數在數軸上描出其對應點，并用“<”將它們連接起來.
-3，3，-2，，-0.5，，1,0.
解析
將給出的數在數軸上表示出來，再根據數軸上兩個點表示的數，右邊的總比左邊的大的規律來比較大小.
答案
在數軸上表示如下圖所示.
用“<”連接為：
方法總結：比較數的大小時，利用數軸，把這些數用數軸上的點來表示，根據右邊的總比左邊的大比較，這種方法是數學結合思想的初步運用.
【類型突破】寫出所以大于而小于的整數
.
答案
-3，-2，-1,0,1
PAGE借助數軸來理解有理數
大家知道，數軸是規定了原點、正方向和單位長度的直線.你能說出數軸有哪些作用嗎 如果不能，就請你我一起來探索一下吧.
利用數軸認識有理數的范圍
我們知道所有的有理數都可以用數軸上
( http: / / www.21cnjy.com )點表示,所有的正數都在原點的右邊,所又的負數都在原點的左邊,O在正負數的分界點上.從數軸上很直觀地理解有理數的范圍,有理數包括正有理數、0、負有理數.所以0不再是最小的數了.從數軸上可以看到沒有最大的有理數,也沒有最小的有理數.從數軸上可以理解有理數有無數多個.且很容易理解最大的負整數是-1,最小的正整數是1.
二、利用數軸理解相反數
我們學習的數的范圍擴大了
( http: / / www.21cnjy.com ),出現了負數.進而出現了一些新的概念,相反數就是學習有理數意義后接觸的第一個新的概念.利用數軸幫助我們理解有理數的概念形象特別鮮明.如圖1,數軸上的3和-3,它們只有符號不同,表示這兩個數的點的位置到原點的距離相等,且分布在原點的兩旁.從數軸上更能看出0這個特殊的數,它的相反數只能是它的本身,且相反數等于本身的數也只有0.
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圖1
三、
利用數軸理解絕對值
絕對值的意義是：一般地，數軸上表示
( http: / / www.21cnjy.com )數a的點與原點的距離叫做數a的絕對值.從數軸上可以理解求一個數的絕對值的實質就是求表示這個數的點到原點的距離.在數軸上很容易理解正數的絕對值是它的本身,負數的絕對值這個負數到原點的距離為正數,所以負數的絕對值等于它的相反數,由于原點表示0,所以表示O的點即原點到原點的距離是0,所以0的絕對值是0.
如圖2,-4到原點的距離是4,所以|-4|=4,5到原點的距離是5,所以|5|=5.
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圖2
另外從數軸上還可以理解互為相反數的兩個數絕對值相等.
如圖2,-3,3這兩個數到原點的距離相等,所以|-3|=|3|.
四、利用數軸比較大小
我們知道在數軸上表示的兩個數，右
( http: / / www.21cnjy.com )邊是總比左邊的大.當要比較幾個數的大小時,可以把這幾個數在數軸上表示出來,實際上是把這個數的大小有序的排列起來.利用數軸比較大小簡潔,明了,直觀.如比較數-2、-2.5
-|-3|的大小.首先把這幾個數在數軸上表示出來,如圖3.從數軸是很容易得出-|-3|<-2.5<-2.
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圖3
數軸是一個有用的數學工具.利用數軸
( http: / / www.21cnjy.com )來學習有理數更易理解.體現了一種數學結合思想.隨著學習的深入,我們將會遇到數軸的更多應用.所以大家一定要掌握好數軸.怎樣利用數軸進行代數式的化簡？
難易度：★★★★
關鍵詞：數軸
答案：
代數式的化簡是初中數學的難點，其中有一類題目可借助數軸，用數軸的幾何觀點輕松解決絕對值和平方根的化簡問題。
【舉一反三】
標準答案：A

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www.如何用數軸解決絕對值問題
難易度：★★
關鍵詞：有理數
答案：
答案：學好、用好數軸是學習和理解絕對值的前提。絕對值的幾何意義就是兩點的距離。
【舉一反三】
典例：在數軸上表示
( http: / / www.21cnjy.com )的點離開原點的距離等于（
）
A．2

B．
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C．
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D．
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思路導引：一般來說聯系絕對值的幾何意義來解決，數軸上表示-2的點離開原點的距離等于2，故選A．
標準答案：A利用數軸正確的求線段的長
難易度：★★★
關鍵詞：有理數
答案：
數軸與線段聯系是很緊密的，在數軸上任意兩點連線即成線段，可根據兩點的位置或對應數的大小求出線段的長。
【舉一反三】
典例：如圖，矩形ABCD的頂點A，B在數軸上，
CD = 6，點A對應的數為
( http: / / www.21cnjy.com )，則點B所對應的數為
．
思路導引：一般來說，此類問題應轉到數軸上解決。CD = 6，則AB=6。根據數軸可看出，B點表示的數比A點表示的數大6。
標準答案：5借助數軸學習有理數
數軸是一種數學工具呦，它使數和數軸上的點建
( http: / / www.21cnjy.com )立了對應關系，揭示了數與形之間的內在聯系，也為我們研究問題提供了新的方法.數軸有助于我們深化對有理數的認識啊！
一、數軸幫我們認識有理數
1.從數軸上可以看出，數的范圍在擴大
因為所有的有理數都可以用數軸上的點表示
( http: / / www.21cnjy.com )，而且所有的正數都在原點的右邊，所有的負數都在原點的左邊，0正好在正、負數的“分界”點上，這就十分形象地告訴我們：
小學里學過的僅僅是有理數中的一部分
( http: / / www.21cnjy.com )：0和正有理數，它們在數軸上的位置是原點及原點的右邊；位居原點左邊的負有理數是我們剛認識的“新朋友”，“朋友”多了，哈哈！說明我們接觸的數的范圍在擴大.
2．在數軸上，重新認識0的地位
小學里，0是最小的數，并
( http: / / www.21cnjy.com )且表示“沒有”，那是我們就我們所學的數的范圍而言的.現在從數軸上再來看0，對它的地位、意義就要“刮目相看”了，你能說0°C是“最低溫度”嗎？是“沒有”溫度嗎？在數軸上，“0”的左邊是數不盡的“負”兄弟，它的右邊又有數不盡的“正”朋友.數的范圍擴大后，0成了正數和負數的分界點，它既不是正數，也不是負數，它是整數.
二、數軸可以幫助我們解決與有理數有關的問題
1.利用數軸理解有理數的分類
在數軸上，原點表示0，而原點右側表示正數，左側表示負數.
例2小紅做題時，不小心把墨水灑在了數軸上，如圖1，請根據圖中的數值，寫出墨跡蓋住的所有整數.
解：-12，-11，-10，-9，-8，-7及0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10.
點評：本題主要考查有理數的分類，有理數
( http: / / www.21cnjy.com )的分類有兩種：一是可分為正有理數、0、負有理數；二是可分為整數、分數.此題只要找出-12.1～-6.5及-0.5～10.5之間的整數即可.
2.運用數軸直觀表示點的移動
正確找出數在數軸上的對應點，會由數軸上的點的位置確定對應的數，是解決這類問題的關鍵.
例2把-0.5在數軸上的對應點沿數軸向左或向右移動4個單位長度后，所得的點對應的數是什么？
解：如圖2，用數軸表示為：
由圖2可知，表示-0.5的點向右移動4個單位長度，所得的點對應的數為3.5；向左移動4個單位長度，所得的點對應的數為-4.5.
點評：用數軸表示點的運動非常直觀，充分體現了數與形的轉化.什么是數軸？有什么作用？數軸的三要素是什么
難易度：★★
關鍵詞：有理數
答案：
答案：數軸是規定了唯一的原點，唯一的正方向
( http: / / www.21cnjy.com )和唯一的單位長度的直線叫數軸。所有的有理數都可以用數軸上的點來表示。也可以用數軸來比較兩個實數的大小。　數軸三要素：原點，單位長度，正方向.
【舉一反三】
典例：．實數x，y在數軸上的位置如圖所示，則（　　）
A．
B．
( http: / / www.21cnjy.com )
C．
( http: / / www.21cnjy.com )
D．
( http: / / www.21cnjy.com )
思路導引：
一般來說，此類問題根據數軸上點的位置不同來解決。x，y在數軸的正半軸，點
y在點x的右側，所以最大，它們都大于0。
標準答案：B確定解集找數軸
我們知道，不等式的所有解組合在一起組成不等式的解集．一般來說，一個含未知數的不等式的解集是一個取值范圍，可以在數軸上直觀地表示出來．那么如何才能快速、準確地在數軸上表示不等式的解集呢？
簡單來說，對于一個不等式，首先要求出這個不等式的解集；二是正確地畫出一個數軸；三是將所得的不等式的解集在數軸上表示出來，這也是關鍵的一步．通過下面的演示，你就一目了然了.
例
把下列不等式的解集在數軸上表示出來．
（1）x＜3；
（2）x≥－．
分析：（1）是小于符號，并不包括3本身，所以在數軸上表示時，方向向左，且在3這點上是“空心”；
（2）是大于等于符號，包括－本身，所以在數軸上表示時，方向向右，且在－這點上是“實心”．
解：（1）因為解集x＜3表示“所有小于3的數組成的全體”，所以在數軸上，用3左邊的部分來表示，3這一點畫成空心圓圈，表示不包括3這個數，如圖1所示：
（2）因為解集x≥－表示“所有大于或等于－的數組成的全體”，所以在數軸上用－2的點及它的右邊部分來表示，－這一點畫成實心圓點，表示包括－這個數，如圖2所示．
點評：求解此類問題時，準確地理解解集的含義是基礎，正確地畫出數軸并準確地表示是關鍵．
跟蹤訓練
利用不等式的性質解下列不等式，并在數軸上表示解集.
1.x≥－x+6；
2.－x＜－3.
答案
PAGE借助數軸上的點準確的找出一個數
難易度：★★★
關鍵詞：有理數
答案：
數軸上的點與有理數是一一對應的，用數軸在找負數的時候，應找出對應的左右兩個點數點。
【舉一反三】
典例：如圖，數軸上的點P表示的數可能是（
）．
A．
B．-
( http: / / www.21cnjy.com )
C．
( http: / / www.21cnjy.com )
D．
( http: / / www.21cnjy.com )
思路導引：一般來說，此類問題先找出P點相鄰的兩個整數。本題中P點相鄰的兩個整數分別為-3和-2，即P大于-3小于-2。可排除A、C、D。
標準答案：B《數軸》考點鏈接
考點解讀
數軸是中考的重要考點，單獨考查時常以填空題和選擇題的形式出現，題目比較簡單.
中考真題
（2012，武漢中考，3分）在2.5，-2.5,0,3這四個數中，最小的數是（
）
A．2.5
B．-2.5
C．0
D．3
解析：根據有理數的大小比較法則，正數大于0,0大于負數，所以-2.5<0<2.5<3.
（2012 新疆）如圖所示，點M表示的數是（　　）
A．2.5
B．-1.5
C．-2.5
D．1.5
分析：M位于-2和-3的正中間，所以為-2.5．
解：由數軸得，點M表示的數是-2.5．
故選C．
（2012 濟寧）在數軸上到原點距離等于2的點所表示的數是（　　）
A．-2
B．2
C．±2
D．不能確定
分析：先在數軸上標出到原點距離等于2的點，然后根據圖示作出選擇即可．
解：在數軸上到原點距離等于2的點如圖所示：
點A、B即為所求的點，即在數軸上到原點距離等于2的點所表示的數是-2和2；
故選C．
真題演練
1.
（2008 資陽）如圖，在數軸上表示到原點的距離為3個單位的點有（　　）
A．D點
B．A點
C．A點和D點
D．B點和C點
2.
（2006 威海）如圖，數軸上所標出的點中，相鄰兩點間的距離相等，則點A表示的數為（　　）
A．30
B．50
C．60
D．80
3.
（2008 樂山）如圖，A、B兩點在數軸上，點A對應的數為2，若線段AB的長為3，則點B對應的數為
.
4.
（2008 來賓）數軸上的點A表示數2，將點A向左平移5個單位長度得點B，則點B表示的數是
.
參考答案
1.分析：距離原點3個單位的點可能在原點的右邊（3，即D點），也可能在原點的左邊（-3，即A點）．
解：由數軸與題意可得，在數軸上表示到原點的距離為3個單位的點有A點和D點．故選C．
2.分析：本題可用100÷5=20得一格表示的數，然后得出A點表示的數．
解：每個間隔之間表示的長度為：100÷5=20，A離原點三格，因此A表示的數為：20×3=60．故選C．
3.分析：此題即是把2向左移動了3個單位長度，即2-3=-1．
解：根據數軸可知B＜0，A＞0，∴B點對應的數為2-3=-1．故答案為：-1．
4.分析：數軸上點的移動和數的大小變化規律：左減右加．
解：根據數軸上點的移動和數的大小變化規律得：2-5=-3．
PAGE《數軸》典型例題
例1　下列各圖中，表示數軸的是(
)．
　　　　
　　分析：畫數軸時，數軸的三要素——原點、正方向、單位長度是缺一不可的，所以應當用這三要素檢查每個圖形，判斷是否畫的正確．
　　解：A圖沒有指明正方向；
　　　　B圖中，1和-1表示的一個單位長度不相等，在同一數軸上，單位長度必須一致；
　　　　C圖中沒有原點；
　　　　D圖中三要素齊全．
　　　　∴A、B、C三個圖畫的都不是數軸，只有D圖畫的是數軸．
例2　在所給的數軸上畫出表示下列各數的點：
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　　分析：第一步畫數軸，
( http: / / www.21cnjy.com )第二步在數軸上找出相對應的點，每個正有理數都可用數軸上原點右邊的一個點來表示，例如2、3.5，可用數軸上分別位于原點右邊2個單位，3.5個單位的點表示．每一個負有理數都可用數軸上原點左邊的一個點來表示．
　　解：
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說明：數軸上表示數的點可用大寫字母標
( http: / / www.21cnjy.com )出，寫在數軸上方所對應數的上面，原點用O標出，它表示數0．數軸上原點的位置要根據需要來確定，不一定要居中．單位長度應根據需要來確定，1
cm的長度可以表示1個單位長度，也可以表示2個，5個，10個…單位長度，但在同一數軸上，單位長度必須一致，不可隨意改變．
例3
畫一條數軸，并把-6，1，0，
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )表示在數軸上．
分析：由于要表示的最左邊的數是-6，最右邊的數是
( http: / / www.21cnjy.com )，所以在畫數軸時在原點的兩側各畫六個單位即可．
解：如圖所示
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說明：
在畫數軸時選取單位長度應因表示的數而定．
例4　指出數軸上A、B、C、D、E各點分別表示什么數．
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　　分析：表示正數的點都在原點的右側，表示負數的點都在原點的左側．要特別注意相鄰兩個負整數點之間的等分點所表示的數，例如：-2，-3之間的A點是表示
( http: / / www.21cnjy.com )，而不是
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解：O表示0，A表示
( http: / / www.21cnjy.com )，B表示1，C表示
( http: / / www.21cnjy.com )，D表示-4，E表示-0.5．
例5　下面說法中錯誤的是
[　
]．
　　
A．數軸上原點的位置是任意取的，不一定要居中；
　　
B．數軸上單位長度的大小要根據
( http: / / www.21cnjy.com )實際需要選取．1厘米長的線段可以代表1個單位長度，也可以代表2個、5個、10個、100個、…單位長度，但一經取定，就不可改動；
　
C．如果a＜b，那么在數軸上表示a的點比表示b的點距離原點更近；
　
　D．所有的有理數都可以用數軸上的點表示，但不能說數軸上所有的點都表示有理數．
　　解：當a，b都是正數時，C的結論成立；
　　當a，b不都是正數時，例如a＝-10
( http: / / www.21cnjy.com )，b＝2，此時-10＜2，也滿足條件a＜b，但表示a的點與原點的距離(10)比表示b的點與原點的距離(2)遠，C結論不成立．
　　∴C錯．
　　說明：因為有理數包含正數、負數和0
( http: / / www.21cnjy.com )，所以用字母表示數時，這個字母就可以代表正數、負數或0．在分析問題時，忘記字母代表的數可能是負數或0經常是造成錯誤的原因．
例6
指出下面各數的相反數：
-5，3，
( http: / / www.21cnjy.com )，-7.5，0
分析：如果兩個數只有符號不同則這兩個數互為相反數．
解：-5的相反數是＋5，3的相反數是-3；
( http: / / www.21cnjy.com )的相反數是-
( http: / / www.21cnjy.com )；-7.5的相反數是7.5；0的相反數是0．
注意：（1）要注意相反數和倒數之間的區別．（2）只有0的相反數是它本身．
例7
指出下面數軸上各點表示的相反數．
( http: / / www.21cnjy.com )
分析：首先弄清A、B、C、D各點表示的數，然后根據相反數的意義就可以寫出其相反數．
解：A點表示的數的相反數是1；B點表示的數的相反數是-2；C點表示的數的相反數是0；D點表示的數的相反數是3．
說明：不要把“表示的數”和“表示的數的相反數”混淆．
例8
比較下列各組數的大小：
（1）-536與0
（2）
( http: / / www.21cnjy.com )與0
（3）0.2％與-21
（4）-18.4與-18.5
（5）
( http: / / www.21cnjy.com )與
( http: / / www.21cnjy.com )
（6）-0.32與-
( http: / / www.21cnjy.com )
　　分析：依據“正數都大于0，負數都小于0；正數大于一切負數．”和“在數軸上表示的兩個數，右邊的數總比左邊的數大．”比較兩個數的大小．
用通分的方法比較（5）中的兩個分數的大小是很麻煩的，如果都與
( http: / / www.21cnjy.com )（中間數）比較，則可化繁為簡；（6）中的兩個負數，應當把小數化為分數或把分數化為小數后才便于比較．
解：（1）-536＜0
（2）
( http: / / www.21cnjy.com )＞0
（3）0.2％＞-21
（4）
-18.4＞-18.5
（5）∵
( http: / / www.21cnjy.com )＜
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )＞
( http: / / www.21cnjy.com )
∴
( http: / / www.21cnjy.com )＜
( http: / / www.21cnjy.com )
（6）∵
-
( http: / / www.21cnjy.com )=-0.34
又0.32＜0.34
∴
-0.32＞-
( http: / / www.21cnjy.com ).
　　說明：分母不同的兩個分數比較大小時，一般
( http: / / www.21cnjy.com )采用通分的方法．當分母比較大時，通分是比較麻煩的，這時應當考慮其他的方法和技巧．例如：借助中間數的方法；讓分子相等比分母的方法，比較它們的倒數的方法等等．
例9
在下面的等式的□中，填上連續的五個整數，使這個等式成立．
0-□-□-□-□-□＝0
分析：上面的式子的左邊可以看成是和的省略“＋”號形式，所以上式可以寫成0＋（-□）＋（-□）＋（-□）＋（-□）-□＝0
所以可以變為0＋（-□）＋（-□）＋（-□）＋（-□）-□＝0
由此可知：0＋（-□）＋（-□）＋（-□）-□＝□
依次這樣做下去可把原式變為
□＋□＋□＋□＋□＝0
由此可知要使五個連續的整數的和是0，其中必有兩對數互為相反數，另一個是0，所以這五個數是-2，-1，0，1，2．
解：原式可變形為：
□＋□＋□＋□＋□＝0
故五個數應該是-2-1，0，1，2．
注意：（1）要注意題中給出的條件是“連續整數”，如果去掉“連續”該題的解就將很多了．（2）事實上這個題我們還可以采取下面的方法進行分析．
我們可把-□用□去替換就可以直接得到□＋□＋□＋□＋□＝0，但這種想法比較抽象，不易理解．

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