資源簡介

如何求立體圖形的展開圖？
難易度：★★★
關(guān)鍵詞：立體圖形的表面展開圖
答案：
多數(shù)立體圖形是由平面圖形圍成的。沿著棱
( http: / / www.21cnjy.com )剪開就得到平面圖形，這樣的平面圖形就是相應(yīng)立體圖形的展開圖。同一個(gè)立體圖形按不同的方式展開，得到的平面展開圖是不一樣的，同時(shí)也可看出，立體圖形的展開圖是平面圖形。
【舉一反三】
《圖形的展開與折疊》解題思路與點(diǎn)評(píng)
　　新課程標(biāo)準(zhǔn)要求同學(xué)們對(duì)空間圖形有較準(zhǔn)確的認(rèn)識(shí)和感受，具體地說，包含三個(gè)方面：（1）能用平面展開圖描述出該立體圖形；（2）能由立體圖形畫出至少一種其平面展開圖，設(shè)計(jì)較簡單實(shí)物的平面圖紙；（3）能判斷一個(gè)圖形是否能圍成一個(gè)立體圖形。因此，切實(shí)掌握?qǐng)D形的展開與折疊勢在必行，現(xiàn)解讀如下：
　　例1.　如圖1，一個(gè)多面體的展開圖中，每個(gè)面內(nèi)的大寫字母表示該面，被剪開的棱邊所注的小寫字母可表示該棱。
說出這個(gè)多面體的名稱；
寫出所有相對(duì)的面；
若把這個(gè)展開圖折疊起來成立體時(shí)，哪些被剪開的棱將會(huì)重合？
（圖1）
　　思路：選取面X相對(duì)固定，將面R，面Y想像折起，再遮擋面Q，Z，P即成。
　　解答：（1）這個(gè)多面體是正方體。
　　（2）相對(duì)的面有三對(duì)：P與X，Q與Y，R與Z.
　　（3）將會(huì)重合的棱有：a與h，b與i，c與n，d與e，f與g，j與k，m與.
　　點(diǎn)評(píng)：這個(gè)問題的解決，無疑對(duì)同學(xué)們形成良好的空間觀念是一個(gè)很好的鍛煉。
　　例2.　如圖2是一個(gè)多面體的表面展開圖，每個(gè)面都標(biāo)注了字母，請(qǐng)回答：如果F在前面，從左面看是B，那么哪一面會(huì)在上面？
（圖2）
　　思路：這里有兩種折法：一種向里折，一種向外折。
　　解答：E或C會(huì)在上面。
　　點(diǎn)評(píng)：一個(gè)平面展開圖，折成立方體的方式有兩種，一種向里折，一種向外折。此題往往易忽略其中一種，造成漏解。這不但培養(yǎng)了同學(xué)們的空間觀念，而且告誡同學(xué)們思考問題要全面。
　　例3.　將一個(gè)正方體的表面沿某些棱剪開，展開成一個(gè)平面圖形，回答下列問題：
你能設(shè)法得到圖3中的平面圖形嗎？
（圖3）
你還能得到哪些平面圖形？與同伴進(jìn)行交流。
圖4中的圖形經(jīng)過折疊，能否圍成一個(gè)正方體？
（圖4）
思路：由于一個(gè)正方體有12條棱、6個(gè)面，將其表面展開成一個(gè)平面圖形，其面與面之間相連的棱（即未剪開的棱）有5條，因此需要剪開7條棱。
（1）中的兩個(gè)平面圖形都可由一個(gè)正方體沿著某些棱剪開展成，可在原正方體上標(biāo)出上、下底面，根據(jù)需要剪開7條棱即可；
（2）將一個(gè)正方體沿著某些棱剪開后，可得到很多平面圖形，所以答案很多；（3）有兩種途徑：一是動(dòng)手操作，仔細(xì)觀察；二是先假定出上、下底，通過想象親自折一折，看能否折成正方體。
　　解答：（1）能，其中在原正方體上標(biāo)出上、下底面如圖5所示。
（圖5）
　　（2）圖略，請(qǐng)同學(xué)們動(dòng)手試一試，看誰得到的多，準(zhǔn)。
　　（3）第一副圖不能，第二副圖能。其中第二副圖先假定出上、下底面如圖6所示。
（圖6）
　　點(diǎn)評(píng)：此題命題意圖有二：1.通過觀察和動(dòng)手操作，經(jīng)歷和體驗(yàn)圖形的變化過程；2.考查將平面圖形復(fù)原成立體圖形的能力。
　　小試牛刀
1、有一個(gè)正方體的六個(gè)面上分別寫著1，2，3，4，5，6這六個(gè)數(shù)，根據(jù)圖1中A、B、C三個(gè)圖中所寫數(shù)字想一想“？”處的數(shù)字是什么？
　　
2、如圖2，右邊四個(gè)圖形折疊后，能得到左邊正方體的是（　　）
3、如圖3所示，是一個(gè)幾何體的展開圖，每個(gè)面上都標(biāo)有相應(yīng)的字母.
（1）如果A面在幾何體的底部，上面的是哪一面？
（2）若F面在前面，從左看是B面，上面是哪一面？
（3）右看是C面，D面在后面，上面是哪一面？
　　1、析解：我們知道，正方體的任何一個(gè)面都與其余的五個(gè)面中的四個(gè)面相鄰、一個(gè)面相對(duì).本題中標(biāo)有“1”的面與標(biāo)有“4”，“5”，“2”，“3”相鄰，則標(biāo)有“1”的面的對(duì)面是標(biāo)有“6”的面.所以“？”處應(yīng)是“6”.
　　2、析解：左邊的正方體僅給出了三個(gè)帶有標(biāo)記的面，由此可知，標(biāo)有①、②、③的三個(gè)面相鄰；但不能確定其余三個(gè)面是否帶有標(biāo)記.再考慮正方體的四個(gè)展開圖，選項(xiàng)B、C中標(biāo)有①和③的兩個(gè)面相對(duì)，不符合要求，由此排除B、C；選項(xiàng)D中標(biāo)有②的面與標(biāo)有①和③的兩個(gè)面不相鄰，也不符合要求.所以本題正確的答案為：A.
　　3、析解：首先確定相對(duì)面：由展開圖知，標(biāo)有A的面與標(biāo)有F的面是相對(duì)面，標(biāo)有B的面與標(biāo)有D的面是相對(duì)面，那么剩下的標(biāo)有C的面與標(biāo)有E的面應(yīng)該是相對(duì)面.所以當(dāng)A面在幾何體的底部時(shí)，上面的面應(yīng)是F面.若F面在前面，則A面在后面；從左看是B面，則右邊應(yīng)該是D面；由此，可以知道上面的一面是C面.類似的，當(dāng)“右看是C面，D面在后面”時(shí)，上面的一面是A面.
4
1
5
A
2
3
1
B
4
5
？
C
圖1
A.
B.
C.
D.
圖2
①
②
③
①
②
③
①
②
③
①
②
③
①
②
③
A
B
C
D
E
F
圖3
PAGE
4如何把幾何體的展開圖折疊成幾何體？
難易度：★★★★
關(guān)鍵詞：立體圖形的表面展開圖
答案：
展開圖折疊成幾何體：通過結(jié)合立體
( http: / / www.21cnjy.com )圖形與平面圖形的相互轉(zhuǎn)化，去理解和掌握幾何體的展開圖，要注意多從實(shí)物出發(fā)，然后再從給定的圖形中辨認(rèn)它們能否折疊成給定的立體圖形。
【舉一反三】
畫幾何體的三視圖的原則是什么
難易度：★★★★
關(guān)鍵詞：三視圖
答案：
長對(duì)正，高平齊，寬相等。
【舉一反三】
典題：桌面上放著一個(gè)三棱錐和一個(gè)圓柱體，下面
( http: / / www.21cnjy.com )的三幅圖分別從哪個(gè)方向看的順序是（
）。
圖一
圖二
圖三
A.
正面.左面.上面
B.
正面.上面.左面
C左面.上面.正面
D.以上都不對(duì)
思路導(dǎo)引：根據(jù)三視圖的意義來判斷，七順序依次是左視圖、俯視圖、主視圖。
標(biāo)準(zhǔn)答案：選C。常見的幾何體的側(cè)面展開圖是什么圖形？
難易度：★★★
關(guān)鍵詞：立體圖形的表面展開圖
答案：
常見幾何體的側(cè)面展開圖：①圓柱的側(cè)面展開圖是長方形。②圓錐的側(cè)面展開圖是扇形。③正方體的側(cè)面展開圖是長方形。④三棱柱的側(cè)面展開圖是長方形。
【舉一反三】
如何將展開圖折疊成幾何體？
難易度：★★★★
關(guān)鍵詞：立體圖形的表面展開圖
答案：
通過結(jié)合立體圖形與平面圖形的
( http: / / www.21cnjy.com )相互轉(zhuǎn)化，去理解和掌握幾何體的展開圖，要注意多從實(shí)物出發(fā)，然后再從給定的圖形中辨認(rèn)它們能否折疊成給定的立體圖形。
【舉一反三】
求立體圖形的展開圖
難易度：★★
關(guān)鍵詞：立體圖形的表面展開圖
答案：
多數(shù)立體圖形是由平面圖形圍成的。沿著棱剪
( http: / / www.21cnjy.com )開就得到平面圖形，這樣的平面圖形就是相應(yīng)立體圖形的展開圖。同一個(gè)立體圖形按不同的方式展開，得到的平面展開圖是不一樣的，同時(shí)也可看出，立體圖形的展開圖是平面圖形。
【舉一反三】
典例：如圖，是一個(gè)無蓋立方體盒子，請(qǐng)把下列不完整的展開圖補(bǔ)充完整．（請(qǐng)畫出三種）
思路引導(dǎo)：由平面圖形的折疊及正方體的展開圖解題．
標(biāo)準(zhǔn)答案：如圖《展開與折疊》典型例題
例1
填空
（1）六棱柱有_____個(gè)頂點(diǎn)，有_______條側(cè)棱．
（2）
( http: / / www.21cnjy.com )是_________的表面展開的平面圖。
例2
觀察下圖，請(qǐng)指出哪個(gè)圖是長方體表面的平面展開圖．
例3
請(qǐng)畫出一個(gè)長、寬、高分別是5cm、4cm、3cm的長方體的平面展開圖，并標(biāo)出各部分的長度．
例4
請(qǐng)你把幾何體和它的平面展開圖用線連起來。
例5
已知一個(gè)正三棱錐，請(qǐng)畫出它的展開圖．
例6
已知一個(gè)正三棱柱，請(qǐng)畫出它的平面展開圖．
例7
在圖中，各圖形都是由六個(gè)大小相同的正方形拼接而成，它們是否可以折成一個(gè)正方體？為什么？
參考答案
例1
分析：
（1）通過觀察六棱柱可知，六棱柱有12個(gè)頂點(diǎn)、有六條側(cè)棱．
（2）觀察可以發(fā)現(xiàn)展開圖有六個(gè)邊長相等的長方形，并且有兩個(gè)邊長和長方形寬相等的六邊形，所以是六棱柱的表面展開平面圖．
解：（1）12，六．（2）六棱柱．
說明：
（1）我們知道四棱柱有8個(gè)頂點(diǎn)，五棱柱有10個(gè)頂點(diǎn)，六棱柱有四個(gè)頂點(diǎn)……，以此類推n棱柱有2×n個(gè)頂點(diǎn)．
（2）觀察棱柱的展開圖，首先作為底面的多邊形必須是相同的多邊形，另外多邊形的邊數(shù)必須等于展開圖中長方形的個(gè)數(shù)．
例2
分析：
因?yàn)殚L方體相對(duì)兩個(gè)面是相同的長方形，且相鄰的兩個(gè)面相交的邊，長度相等．所以，（1）和（4）可以圍成長方體．
解：見分析
說明：在研究長方體的展開圖時(shí)，必須研究長方體本身的特征．
例3
分析：
如圖，這個(gè)長方體的上下兩個(gè)面是長和寬分別是
( http: / / www.21cnjy.com )5cm和4cm的長方形，前后兩個(gè)面是長和寬分別是5cm和3cm的長方形，左右兩個(gè)面是長和寬分別是4cm和3cm的長方形，所以該長方體的展開平面圖如下：
解：（如下圖）
說明：
（1）這個(gè)長方體的展開圖不是惟一的，真正做長方體盒時(shí)其展開圖還要因用料的尺寸而定。
（2）真正做盒時(shí)還應(yīng)考慮到接口部分的用料。
例4
分析：
此題實(shí)質(zhì)就是在讓我們分別找出長方體、圓錐體、圓柱體、六棱柱體的表面的平面展開圖。
解：
說明：半圓也是扇形的一種，所以有的圓錐的側(cè)面展開圖就是半圓。
例5
分析：
這又是一例文字性題目，在題目中沒有具體的一個(gè)正三棱錐，因此，需要同學(xué)們自己先畫出這個(gè)立體圖形，再想象一下它的展開圖的形狀．
解：設(shè)已知的正三棱錐如圖所示，展開圖如圖所示．
說明：我們給出兩種不同的展開圖，目的在于讓同學(xué)們體會(huì)因展開方式不同會(huì)有不同的結(jié)果，但是它們都可以還原為原立體圖形．
例6
解：設(shè)原正三棱柱如圖．它的展開圖如圖．
以上兩種情況都符合條件．
說明：在此例中我們給出兩種展開的方法，它還可以有不同的展開方式，讓同學(xué)們自己動(dòng)手試一試吧！
例7
解：為了表述的方便，我們隨機(jī)地把六個(gè)小正方形編上數(shù)碼．
（1）正方形2、3、4、6可折成一個(gè)無底的正方體，但正方形1、5重合，不能折成完整的正方體；
（2）正方形1、5正好可折成正方體的兩底，可以折成一個(gè)正方體；
（3）正方形1、3可以折成正方體的兩底，所以可以折成一個(gè)正方體；
（4）正方形2、3在折的過程中重合，所以不能折成正方體；
（5）正方形2、3或4、5在折的過程中重合，故不能折成正方體
說明：由一個(gè)正方體拆分成或
( http: / / www.21cnjy.com )展開成一個(gè)展開圖時(shí)，因展開的方式不同，所以會(huì)有不同的展開圖．這時(shí)由展開圖還原為正方體時(shí)，就要考慮是否成立，此時(shí)，成立的條件是六個(gè)小正方形在折的過程中不能有重合部分即可．巧記口訣確定正方體表面展開圖
6個(gè)相連的正方形組成的平面圖形，
( http: / / www.21cnjy.com )經(jīng)折疊能否圍城正方體問題，是近年來中考常考題型。同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)這一知識(shí)時(shí)常感到無從下手，現(xiàn)將確定正方體展開圖的方法以口訣的方式總結(jié)出來，供大家參考：
正方體盒巧展開，六個(gè)面兒七刀裁。
十四條邊布周圍，十一類圖記分明：
四方成線兩相衛(wèi)，六種圖形巧組合；
躍馬失蹄四分開；兩兩錯(cuò)開一階梯。
對(duì)面相隔不相連,識(shí)圖巧排“7”、“凹”、“田”。
現(xiàn)將口訣的內(nèi)涵解釋如下：將一個(gè)正方體盒的表面沿某些棱剪開，展開成平面圖形，需剪7刀，故平面展開圖中周圍有14條邊長共有十一種展開圖：
一、四方成線兩相衛(wèi)，六種圖形巧組合
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
以上六種展開圖可歸結(jié)為四方連線，即
，另外兩個(gè)小方塊在四個(gè)方塊的上下兩側(cè)，共六種情況。
二、躍馬失蹄四分開
（1）
（2）
（3）
（4）
以上四種情況可歸結(jié)為五個(gè)小方塊組成“三
( http: / / www.21cnjy.com )二相連”的基本圖形（如圖），另外一個(gè)小方塊的位置有四種情況，即圖中四個(gè)小方塊中的任意一個(gè)，這一圖形有點(diǎn)像失蹄的馬，故稱為“躍馬失蹄”。
三、兩兩錯(cuò)開一階梯
這一種圖形是兩個(gè)小方塊一組，兩兩錯(cuò)開，像階梯一樣，故稱“兩兩錯(cuò)開一階梯”。
四、對(duì)面相隔不相連
1
2
3
這是確定展開圖的又一種方法，也是確
( http: / / www.21cnjy.com )定展開圖中的對(duì)面的一種方法。如果出現(xiàn)三個(gè)相連，則1號(hào)面與3號(hào)面是對(duì)面，中間隔了一個(gè)2號(hào)面，并且是對(duì)面的一定不相連。
五、識(shí)圖巧排“7”、“凹”、“田”
1
2
3
4
5
（1）
（2）
（3）
這里介紹的是一種排除法。如果圖中
( http: / / www.21cnjy.com )出現(xiàn)象圖（1）中的“7”形結(jié)構(gòu)的圖形不可能是正方體展開圖的，因?yàn)閳D中1號(hào)面與3號(hào)面是對(duì)面，3號(hào)面又與5號(hào)面是對(duì)面，出現(xiàn)矛盾。
如果圖中出現(xiàn)象圖（2）中的“田”形結(jié)構(gòu)的圖形不可能是正方體展開圖的，因?yàn)橥豁旤c(diǎn)處不可能出現(xiàn)四個(gè)面的。
如果圖中出現(xiàn)象圖（3）中的“凹”形結(jié)構(gòu)的圖形不可能是正方體展開圖的，因?yàn)槿绻言搱D形折疊起來將有兩個(gè)面重合。
現(xiàn)舉例說明：
例1．（2004海口市實(shí)驗(yàn)區(qū)）下面的平面圖形中，是正方體的平面展開圖的是（
）
解析：本題可用“識(shí)圖巧排
‘7’、‘田’、‘凹’”來解決。A、D都有“凹”形結(jié)構(gòu)，B有“田”形結(jié)構(gòu)，故應(yīng)選C
例2．（2004揚(yáng)州）馬小虎準(zhǔn)備制作一
( http: / / www.21cnjy.com )個(gè)封閉的正方體盒子，他先用5個(gè)大小一樣的正方形制成如右圖所示的拼接圖形(實(shí)線部分)，經(jīng)折疊后發(fā)現(xiàn)還少一個(gè)面，請(qǐng)你在右圖中的拼接圖形上再接一個(gè)正方形，使新拼接成的圖形經(jīng)過折疊后能成為一個(gè)封閉的正方體盒子.
(注：①只需添加一個(gè)符合要求的正方形；②添加的正方形用陰影表示.)
解析：本題可用“躍馬失蹄四分開”來解決。圖中具備了三二相連的結(jié)構(gòu)，故本題有四種答案，即小方塊的位置有圖中所示的四種情況之一。
試一試：
1．（2004浙江金華）下列圖形中，不是立方體表面展開圖的是（
）
2．（2004鎮(zhèn)江）如圖
( http: / / www.21cnjy.com )，有一個(gè)正方體紙盒，在它的三個(gè)側(cè)面分別畫有三角形、正方形和圓，現(xiàn)用一把剪刀沿著它的棱剪開成一個(gè)平面圖形，則展開圖可以是（
）
3．（2004海南）如圖是一個(gè)正方
( http: / / www.21cnjy.com )體包裝盒的表面展開圖，若在其中的三個(gè)正方形A、B、C內(nèi)分別填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，使得將這個(gè)表面展開圖沿虛線折成正方體后，相對(duì)面上的兩數(shù)互為相反數(shù)，則填在A、B、C內(nèi)的三個(gè)數(shù)依次是（
）．
（A）0，－2，1
（B）0，1，－2
（C）1，0，－2
（D）－2，0，1
4．（2005濟(jì)南中考題
( http: / / www.21cnjy.com )）在正方體的表面上畫有如圖（1）中所示的粗線，圖（2）是其展開圖的示意圖，但只在A面上畫有粗線，那么將圖（1）中剩余兩個(gè)面中的粗線畫入圖（2）中，畫法正確的是（如果沒有把握，還可以動(dòng)手試一試）
（D）
（C）
（B）
（A）
（正方體紙盒）什么是幾何體的折疊問題？
難易度：★★★
關(guān)鍵詞：立體圖形的表面展開圖
答案：
將平面圖形沿某直線翻折成立體圖形，再對(duì)折疊后的立體圖形的線面位置關(guān)系和某幾何量進(jìn)行論證和計(jì)算，就是折疊問題.
【舉一反三】
你能根據(jù)截面判斷出幾何體嗎？
難易度：★★★★
關(guān)鍵詞：截一個(gè)幾何體
答案：
主要是考慮截面的形狀、截面的方向等綜合判斷。
【舉一反三】
典題：用一個(gè)平面去截一個(gè)幾何體，若截面是矩形，則該幾何體可能是
（寫一個(gè)）。
思路導(dǎo)引：截面是長方形的幾何體較多
標(biāo)準(zhǔn)答案：圓柱、正方體等。用一個(gè)平面去截正方體，截面有那幾種情形？
難易度：★★★★
關(guān)鍵詞：截一個(gè)幾何體
答案：
三角形、四邊形、五邊形、六邊形。
【舉一反三】
典題：用一個(gè)平面去截一個(gè)正方體，截面的形狀不可能是（
）。
A．梯形
B。長方形
C。六邊形
D。七邊形
思路導(dǎo)引：用一個(gè)平面截正方體，截面只可能是三角形、四邊形、五邊形、六邊形。
標(biāo)準(zhǔn)答案：選D。正方體表面展開圖
將相對(duì)的兩個(gè)面涂上相同的顏色，正方體的平面展開圖共有以下11種．
　　　　　　
　　　　
　　　　　　　
　　　什么是幾何體的展開圖？
難易度：★★★
關(guān)鍵詞：立體圖形的表面展開圖
答案：
幾何體的展開圖：多數(shù)立體圖形是由平面圖形
( http: / / www.21cnjy.com )圍成的。沿著棱剪開就得到平面圖形，這樣的平面圖形就是相應(yīng)立體圖形的展開圖。同一個(gè)立體圖形按不同的方式展開，得到的平面展開圖是不一樣的，同時(shí)也可看出，立體圖形的展開圖是平面圖形。
【舉一反三】
展開和折疊解題三規(guī)律
正方體的展開和折疊問題在中考題中經(jīng)常出現(xiàn)，多見于填空題和選擇題。這種題有利于培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念和實(shí)踐、探索能力．本文對(duì)幾種常見類型的解題規(guī)律作初步的探討．
一、判斷給定的圖形是否是正方體的展開圖
例1：將一個(gè)正方體紙盒沿棱剪開并展開，共有_______種不同形式的展開圖。
解:具體有以下11種圖形，
1．“一·四·一”
型，中間一行4個(gè)作側(cè)面，兩邊各1個(gè)分別作上下底面，共有6種．
2．“二·三·一”（或一·三·二）型，中間3個(gè)作側(cè)面，上（或下）邊2個(gè)那行，相連的正方形作底面，不相連的再下折作另一個(gè)側(cè)面，共3種．
3．“二·二·二”型，成階梯狀．
4．“三·三”型，兩行只能有1個(gè)正方形相連．
二、找正方體相鄰或相對(duì)的面
1．從展開圖找．
例2水平放置的正方體六個(gè)面分別用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示。如圖是一個(gè)正方體的平面展開圖，若圖中的“進(jìn)”表示正方體的前面，“步”表示右面，“習(xí)”表示下面，則“祝”、“你”、“學(xué)”分別表示正方體的＿＿＿＿＿＿＿＿。
解析:“祝”與“進(jìn)”，“你”與“習(xí)”中間都隔一個(gè)正方形，是相對(duì)的面，所以“學(xué)”與“步”也是相對(duì)的面。答案：后面、上面、左面
例3右圖是一個(gè)正方體的展開圖，如果正方體相對(duì)的面上標(biāo)注的值，那么____，_______。
解析：“2x”與“8”中間都隔一個(gè)正方形，是相對(duì)的面，“y”與“10”是相對(duì)的面。所以，x=4，y=10。
2．從立體圖找．
例4：如圖是3個(gè)完全相同的正方體的三種不同放置方式，下底面依次是＿＿＿＿＿＿。
解析
先找相鄰的面，余下就是相對(duì)的面．上圖出現(xiàn)最多的是3，和3相連的有2、4、5、6，余下的1就和3相對(duì)．再看6，和6相鄰的有2、3、4，和3相對(duì)的是1，必和6相鄰，故6和5相對(duì)，余下是4和2相對(duì)，下底面依次是2、5、1．
三、由帶標(biāo)志的正方體圖去判斷是否屬于它的展開圖
例5小麗制作了一個(gè)如下左圖所示的正方體禮品盒，其對(duì)面圖案都相同，那么這個(gè)正方體的平面展開圖可能是
（
）
解析
基本方法是先看上下，后定左右，故選（A）．
例6
下面各圖都是正方體的表面展開圖，若將它們折成正方體，則其中兩個(gè)正方體各面圖案完全一樣，它們是_______。
解析
首先找出上下兩底，（1）是+和
，（2）是+和
，（3）（4）都是□和×，排除（1）（2），再檢查側(cè)面，（3）（4）順序相同，所以選（3）（4）．
B
A
C
D
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1什么是幾何體的截面？
難易度：★★★
關(guān)鍵詞：截一個(gè)幾何體
答案：
用一個(gè)平面去截幾何體，截出的面叫截面。
【舉一反三】
典題：用一個(gè)平面去截一個(gè)圓柱體，不可能的截面是（
）。
思路導(dǎo)引：用平面截圓柱體，可能截出圓、橢圓、長方形。不可能截出梯形。
標(biāo)準(zhǔn)答案：選D。解展開與折疊題的策略
展開------立體圖形平面化；折疊------平面圖形立體化，這一展一折正是平面和空間的相互轉(zhuǎn)化，這類問題有時(shí)同學(xué)們感到非常棘手，這里介紹幾種常用的解題思維策略，供參考．
一、畫直觀圖
準(zhǔn)確地畫出直觀圖形，有利于平面與空間的相互轉(zhuǎn)化．
例1．如圖1，在正方體兩個(gè)相距最遠(yuǎn)的頂點(diǎn)處有一只蒼蠅B和蜘蛛A，蜘蛛可從哪條最短的路徑爬到蒼蠅處？試說明你的理由．
分析：我們可以借助正方體的展開圖找到解題的辦法，由于正方體的展開有不同的方法，因而從A到B可用6種不同的方法選取最短的路徑，但每條路徑都通過連接正方體兩個(gè)頂點(diǎn)的棱的中點(diǎn)．
解：因?yàn)橹┲胫荒茉谡襟w的表面爬行，所以只要找到這個(gè)正方體的展開圖，應(yīng)用“兩點(diǎn)之間，線段最短”就可確定最短路徑（如圖1）．
二、以靜制動(dòng)
尋找折疊前后圖形的不變量，往往就是解題的靈魂．
例2．將一塊正六邊形硬紙片（圖2（1）），做成一個(gè)底面仍為正六邊形且高相等的無蓋紙盒（側(cè)面均垂直于底面，見圖2（2）），需在每一個(gè)頂點(diǎn)處剪去一個(gè)四邊形，例如圖2（1）中的四邊形AGA/H，那么∠GA/H的大小是
度．
解：折疊前AH⊥AH，AG⊥AG，折疊后這些垂直關(guān)系都沒有發(fā)生變化，所以∠AHA=∠AGA=90°，又∠A為正六邊形的內(nèi)角，故∠A=120°，在四邊形AGAH中，∠GAH=360°-120°-2×90°=60°．
三、抓特征量
正確理解平面圖形中的一些特征量，使問題得以順利解決．
例3．如圖3（1），在正方形鐵皮上剪下一個(gè)圓形和扇形，使之恰好圍成圖3（2）所示的一個(gè)圓錐模型．設(shè)圓的半徑為r，扇形半徑為R，則圓的半徑與扇形半徑之間的關(guān)系為（
）．
A．R=2r
B．R=r
C．R=3r
D．R=4r
解：由題意得，欲使剪下的圓形和扇形恰好圍成圓錐模型，圓周長必須等于扇形的弧長，有，即，故選（D）．
四、動(dòng)手操作
在空間思維受阻的情況下，動(dòng)手操作正是新課標(biāo)、新理念的體現(xiàn)．
例4．在正方體的表面畫有如圖4（1）所示的粗線，圖4（2）是其展開圖的示意圖，但只在A面上畫有粗線，那么將4（1）中剩余兩個(gè)面中的粗線畫入圖4（2）中，畫法正確的是（如果沒把握，還可以動(dòng)手試一試呦！）．
解：此題若展開空間想象，難度很大，倘若動(dòng)手操作，先做一個(gè)如圖4（2）所示的展開圖，將其折疊成正方體，在正方體上畫上如圖4（1）所示的三條粗線，再展開后就得到如（A）所示的展開圖，故選（A）．
圖2（1）
圖2（2）
A
圖4（2）
A
圖4（1）
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1常見立體圖形的展開圖是怎樣的？
難易度：★★★★
關(guān)鍵詞：立體圖形的表面展開圖
答案：
常見幾何體的側(cè)面展開圖：①圓柱的側(cè)面展開圖是長方形。②圓錐的側(cè)面展開圖是扇形。③正方體的側(cè)面展開圖是長方形。④三棱柱的側(cè)面展開圖是長方形。
【舉一反三】
《展開與折疊》典型例題
例1
如圖是正方體紙盒的展開圖，請(qǐng)把－
( http: / / www.21cnjy.com )10，8，10，－8，－2，2分別填入六個(gè)不同的正方形中，使得按虛線折成正方體后，相對(duì)面上的兩個(gè)數(shù)都互為相反數(shù)．（填寫出一種方案即可）
例2
下列圖形是哪些多面體的平面展開圖，說出這些多面體的名稱．
例3
如圖為正方體的一種平面展開圖，各面都標(biāo)有數(shù)字，則數(shù)字為－4的面與其對(duì)面上的數(shù)字之積是_____________．
A．4
B．12
C．－4
D．0
例4
如圖（a），一個(gè)正方體的每個(gè)
( http: / / www.21cnjy.com )面分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6．根據(jù)圖中該正方體的三種狀態(tài)所顯示的數(shù)字，可推出“？”處的數(shù)字是什么？
例5
如圖（a）是正方體分割后的一部分，它的另一部分是圖（b）中的（
）
例6
哪種幾何體的表面能展成如圖所示的平面圖形？
參考答案
例1
分析
為便于表述與思考，將每個(gè)小正方形寫上字母，得下圖．
a、b、c、d四個(gè)小正方形呈“一”字形連在一起，可見它們是正方體的四個(gè)側(cè)面，而e與f則是正方體的上、下底面．
上、下底面是相對(duì)的．
側(cè)面中相對(duì)的面在展開圖中隔著另一個(gè)側(cè)面，所以寫著a與c，b與d的面，分別是相對(duì)的面．
在每兩個(gè)相對(duì)的面中填入一組題目提供的相反數(shù)．
解
可如圖所示．
說明：想象立體圖形的展開圖對(duì)于初一學(xué)生
( http: / / www.21cnjy.com )來說是件不太容易的事情．防止錯(cuò)誤的最好的辦法是在觀察實(shí)物和自己動(dòng)手操作的過程中，經(jīng)歷和體驗(yàn)圖形的變化過程．就本題而言，把你畫的圖剪下來，折疊成模型，既簡便易行，又能驗(yàn)證你填寫的是否正確．
例2
分析
本題中的兩圖
( http: / / www.21cnjy.com )形的各邊相互重合，沒有哪個(gè)三角形或四邊形與圖形之間有較大的隔離，不好從想象中的空間上去比較、分析．那么我們還是從最容易確定的底面入手，觀察（1）只有四個(gè)三角形，則它所在的多面體只可能有一個(gè)底，那么它就有三個(gè)側(cè)面，顯然，這是一個(gè)三棱錐；觀察（2），發(fā)現(xiàn)剛好有兩個(gè)三角形，三個(gè)長方形，那么兩個(gè)三角形只可能作為底面，三個(gè)長方形作為側(cè)面，它是三棱柱．
答案
（1）為三棱錐；（2）為三棱柱．
說明：一個(gè)多面體在一般情況下，最多只有
( http: / / www.21cnjy.com )兩個(gè)底面，而側(cè)面卻很多，根據(jù)這個(gè)特點(diǎn)，從判定多面體的底面入手，再判定多面體的側(cè)面，則容易得出多面體的形狀。
例3
警示誤區(qū)
對(duì)于正方體，相鄰的面不能構(gòu)成相對(duì)的面，同時(shí)，還要用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)觀察圖形，與這個(gè)面有一個(gè)公共點(diǎn)的面不能與它構(gòu)成對(duì)面．
分析
確定各數(shù)字所在的面的對(duì)面是解決問題
( http: / / www.21cnjy.com )的關(guān)鍵．顯然，－4不可能與2，0構(gòu)成對(duì)面上的數(shù)，也不可能是1或－1，因?yàn)檎郫B后1與－1構(gòu)成了與－4相鄰的數(shù)的面．因此只可能是－3的面與－4的面相對(duì)，所以積為12．
答案
B
同類變式
一個(gè)無蓋的立方體紙盒，將它展開成平面圖，有幾種可能的圖形？
分析
與例10不同的是立方
( http: / / www.21cnjy.com )體少一個(gè)面，而且其平面展開圖不唯一．因此要按五個(gè)面，運(yùn)用分類的數(shù)學(xué)思想，應(yīng)用簡單枚舉法，將平面圖形的可能情況一一列舉出來．
答案
將可能的情況分為三類：
（1）四個(gè)正方形連成一排的有兩種情況，如圖．
( http: / / www.21cnjy.com )
（2）三個(gè)正方形連成一排的有五種情況，如圖．
（3）兩個(gè)正方形連成一排的有一種情況，如圖．綜上所述，一共有八種展開圖．
拓展延伸
同一個(gè)立體圖形，按不同的方式展開得到的平面展開圖是不一樣的，解題時(shí)注意分類討論．
例4
分析
不妨先結(jié)合圖（a）①
( http: / / www.21cnjy.com )中數(shù)字1，4，5的位置，將（a）②作翻轉(zhuǎn)，得到圖（b），那么可知數(shù)字1與6是對(duì)面，5與2是對(duì)面，3與4是對(duì)面，再結(jié)合圖（a）③中的數(shù)字3，5的位置，畫出圖（b）的平面展開圖圖（c），將平面展開圖與圖（a）③對(duì)比，易得“？”表示數(shù)字6．
答案
“？”處的數(shù)字是6．
說明：
如果只是不斷翻轉(zhuǎn)立方
( http: / / www.21cnjy.com )體，從立體圖形上不易判斷出“？”處的數(shù)字是什么；先作翻轉(zhuǎn)，再作平面展開圖，充分利用立體圖形與它的平面展開圖的關(guān)系來作判斷，既簡捷又直觀．
例5
分析
本題要求尋找出正
( http: / / www.21cnjy.com )方體分割成兩部分后的對(duì)應(yīng)圖形，需要仔細(xì)觀察分割后剩下的那部分圖形的特征，發(fā)現(xiàn)圖（a）呈“F”型，因此應(yīng)在四個(gè)選項(xiàng)中尋找相應(yīng)的“F”型．
答案
B
說明：本題涉及立體圖形的分割與組合，要善于從局部到整體觀察圖形的輪廓特征（形狀）．
例6
分析
本題實(shí)質(zhì)是根據(jù)平面展開圖判別
( http: / / www.21cnjy.com )它屬于哪個(gè)立體圖形，觀察（1）發(fā)現(xiàn)，中間5個(gè)長方形不可能是上下底面，則與五個(gè)矩形相連的上下兩個(gè)五邊形可成為底面，則五個(gè)長方形構(gòu)成側(cè)面，其中邊緣的兩條邊重合，則有5條棱，這是一個(gè)五棱柱；觀察（2）發(fā)現(xiàn)只有兩個(gè)圓可構(gòu)成底面，長方形可構(gòu)成側(cè)面，這是一個(gè)圓柱；觀察（3）發(fā)現(xiàn)只有圓才可構(gòu)成底面，半圓只能圍成側(cè)面，那么這只可能是圓錐．
答案
（1）為五棱柱；（2）為圓柱；（3）為圓錐．
拓展延伸
（1）圓錐的側(cè)面是一個(gè)曲面，展開是扇形；
（2）圓柱的側(cè)面是一個(gè)曲面，展開是一個(gè)長方形；
（3）棱錐有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形；
（4）棱柱有兩個(gè)相同的多邊形的底面，其余各面都是平行四邊形。幾何體的折疊問題分析求解原則是什么？
難易度：★★★★
關(guān)鍵詞：立體圖形的表面展開圖
答案：
折疊問題分析求解原則：(1)折疊問題的探究須充分利用不變量和不變關(guān)系；
(2)折疊前后始終位于折線的同側(cè)的幾何量和位置關(guān)系保持不變。
【舉一反三】
識(shí)別展開圖方法歸納
歷經(jīng)十年寒窗苦，方得金榜題名時(shí)，是分必爭沉著戰(zhàn)，決勝終須真本領(lǐng)，相關(guān)正方體展開圖一類試題隨著課改頻頻亮相中考試卷，綜合考查空間觀念，動(dòng)手操作，隨機(jī)應(yīng)變等多種能力，要想駕輕就熟，需要學(xué)生具備相當(dāng)?shù)乃仞B(yǎng)，本文就展開圖專作剖析，望能給大家充電加油。
一：一網(wǎng)打盡
正方體有六個(gè)面，沿著不同的棱裁剪，展開圖也形狀各異，可分為11種，下面歸類梳理：
第一類：“141”型；特點(diǎn)：四個(gè)連成一排，兩側(cè)個(gè)有一個(gè)正方形。如下面6個(gè)圖形
第二類：“132”型；特點(diǎn)：三個(gè)連成一排，兩側(cè)分別連著1個(gè)和2個(gè)正方形。如下面3個(gè)圖形
第三類：“222”型；特點(diǎn)：兩個(gè)連成一排的正方形的兩側(cè)又各有兩個(gè)連成一排的正方形。如下面1個(gè)圖形
第四類：“33”型；三個(gè)正方形連成一排的一側(cè)還有
三個(gè)連成一排的正方形，只有下面一種情況
由上面幾個(gè)展開圖可以看出，不會(huì)出現(xiàn)如下面圖形所示的“凹”字型和“田”字型結(jié)構(gòu)。
二：問題指津
問題一：一個(gè)平面圖形究竟是不是正方體的展開圖呢？
具體操作方法是：
1、排除法：少于或者多于6個(gè)正方形組成的圖形肯定不是正方體的展開圖。
2、忌諱法：正方體的展開圖中不見“凹”字型和“田”字型結(jié)構(gòu)。
3、對(duì)比法：先找出最長的一排有幾個(gè)正方形，再看他的兩側(cè)（或者一側(cè)）各有幾個(gè)正方形，對(duì)比上面列舉的四種類型，吻合則是，不匹配則不是。
問題二：對(duì)于眼花繚亂的平面展開圖能識(shí)別已非易事，中考中還經(jīng)常伴有“對(duì)面”的問題怎樣解決？
正方體有六個(gè)面，每個(gè)面有唯一的對(duì)面，裁剪后的一個(gè)面與他的對(duì)面通常有如下兩種關(guān)系：（如下面兩個(gè)圖）一種是對(duì)面A與a同行（或者同列），中間相隔而且只隔一個(gè)正方形；第二種是對(duì)面A與a不同行也不同列時(shí)，中間只能隔著一行或者一列正方形。
三：初試牛刀過關(guān)斬將
例1：
如圖：是一個(gè)正方體的平面展開圖，當(dāng)把它拆成一個(gè)正方體，與空白面相對(duì)的字應(yīng)該是（
）
A、北
B、京
C、歡
D、迎
例2：
下面的圖形都是由6個(gè)大小一樣的正房性拼接而成的可以看成是正方體的展開圖的是（
）
A
B
C
D
請(qǐng)同學(xué)們發(fā)揮自己的聰明才智來解答！
（參考答案：1、C；2、A）
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