資源簡介

用一元一次方程解決問題的例題解析
一元一次方程是最簡單、最基本的方程,不僅是學習其他方程的基礎,同時也是中考命題的熱點,更是解決日常生活中簡單問題的簡單方法.請看:
一.居民用水多少立方米
例1、為了加強公民的節水意識，合理利用水資源，某市采用價格調控手段達到節水的目的．該市自來水收費價格見價目表．
若某戶居民
( http: / / www.21cnjy.com )月份用水
( http: / / www.21cnjy.com )，則應收水費：
( http: / / www.21cnjy.com )元．
（1）若該戶居民
( http: / / www.21cnjy.com )月份用水
( http: / / www.21cnjy.com )，則應收水費______元；
（2）若該戶居民
( http: / / www.21cnjy.com )、
( http: / / www.21cnjy.com )月份共用水
( http: / / www.21cnjy.com )（
( http: / / www.21cnjy.com )月份用水量超過
( http: / / www.21cnjy.com )月份），共交水費
( http: / / www.21cnjy.com )元，則該戶居民
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )月份各用水多少立方米？
分析：本題部分信息以圖表信息給出，因此正確理解圖表是解決問題的關鍵.由圖表可知，隨每月用水量的不同，水費的計費方式隨之變化，需分段計算.(1)中，用水量
( http: / / www.21cnjy.com ),應分三段分別計算再求和.(2)中,兩個月共用水
( http: / / www.21cnjy.com ),則需對三月份的用水量的多少分情況討論.再結合4月份用水量超過3月份這一條件對結果作出合理判斷.
解:（1）應收水費
( http: / / www.21cnjy.com )元;（2）當三月份用水不超過
( http: / / www.21cnjy.com )時,設三月份用水
( http: / / www.21cnjy.com )則2x+2×6+4×4+8(15-x-10)=44,
解之得x=4＜6,符合題意.當三月份用水量超過
( http: / / www.21cnjy.com ),但不超過
( http: / / www.21cnjy.com )時,設三月份用水
( http: / / www.21cnjy.com )
則
( http: / / www.21cnjy.com )解之得x=3＜6(舍去).所以三月份用水
( http: / / www.21cnjy.com ),四月份用水
( http: / / www.21cnjy.com ).
二.在哪一家超市購買更省錢
例2、某同學在A、B兩家超市發現他看中的英語
( http: / / www.21cnjy.com )學習機的單價相同，書包單價也相同，英語學習機和書包單價之和是452元，且英語學習機的單價比書包單價的4倍少8元．
（1）求該同學看中的英語學習機和書包單價各是多少元？
（2）某一天該同學上街，恰好趕上商家促
( http: / / www.21cnjy.com )銷，超市A所有商品打7.5折銷售；超市B全場購物滿100元返購物券30元銷售（不足100元不返券，購物券全場通用），但他只帶了400元錢，如果他只在一家超市購買看中的英語學習機、書包，那么在哪一家購買更省錢？
分析：書包和學習機的價錢之和為列方程的等量關系，對于打折和返券可分別進行計算再進行計算.
解：（1）設書包的單價為x元，則英語學習機的單價為(4x-8)元.
根據題意，得4x-8+x=452,
解得x=92.4x-8=
( http: / / www.21cnjy.com )
答：該同學看中的英語學習機單價為360元，書包單價為92元.
（2）在超市A購買英語學習機與書包各一件,需花費現金:452×75%=339(元).
因為339＜400,所以可以選
( http: / / www.21cnjy.com )擇超市A購買.在超市B可先花費現金360元購買英語學習機,再利用得到的90元購物券,加上2元現金購買書包,總計共花費現金:360+2=362(元);因為362＜400,所以也可以選擇在B超市購買.但是,由于362＞339,所以在A超市購買英語學習機與書包更省錢.
小結:列方程解應用題,關鍵是尋找題中的等量關系.難點是將實際問題轉化為單純的數學問題,通過對數學問題的解決獲得對實際問題的解決.
價目表
每月水用量
單價
不超出6m3的部分
2元／m3
超出6m3不超出10m3的部分
4元／m3
超出10m3的部分
8元／m3
注：水費按月結算．打破常規解方程
對一些一元一次方程，若不注意其特
( http: / / www.21cnjy.com )征而一味使用常規方法去解，則運算過程會很繁瑣。同學們如能先觀察方程的結構特點，再利用所學知識，選取恰當的方法和技巧，則可收到事半功倍之效，且對你的觀察、分析和解決問題的能力的提高會大有幫助。
一、分配律逆著用
例1
方程
( http: / / www.21cnjy.com )－
( http: / / www.21cnjy.com )＝0的解為
。
析解：此方程中各項的分母都很大，如直接去分母則計算很麻煩，認真觀察可發現，等號左邊每一項都含有x
,可逆用分配律把方程變形為（
( http: / / www.21cnjy.com )－
( http: / / www.21cnjy.com )）x＝0，再把系數（顯然系數
( http: / / www.21cnjy.com )－
( http: / / www.21cnjy.com )≠0）化為1，得
( http: / / www.21cnjy.com )＝0。即原方程的解為
( http: / / www.21cnjy.com )＝0。
點評：不要見到分母就必須去分母，應養成認真觀察的良好習慣，找出簡便的解決問題的方法，這才是至關重要的。
二、括號反著去
例2
解方程
( http: / / www.21cnjy.com )〔
( http: / / www.21cnjy.com )（
( http: / / www.21cnjy.com )－1）－2〕－
( http: / / www.21cnjy.com )＝2。
分析：觀察方程可發現
( http: / / www.21cnjy.com )與
( http: / / www.21cnjy.com )互為倒數，即積為1，故可采用由外向內去括號的方法，這樣可就簡捷多了。
解：去中括號，得
( http: / / www.21cnjy.com )－1－2×
( http: / / www.21cnjy.com )－
( http: / / www.21cnjy.com )＝2，即
( http: / / www.21cnjy.com )－1－3－
( http: / / www.21cnjy.com )＝2。
移項，合并同類項，得－
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )＝6。
系數化為1，得
( http: / / www.21cnjy.com )＝－8。
點評：去括號的順序通常是由內向外，而根據系數特點由外向內去，對類似上面的問題，則可簡化運算過程。
三、規則看著用，分數拆著做
例3
在有理數范圍內定義新運算“
”，其規則為
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )－
( http: / / www.21cnjy.com ),試求方程（
( http: / / www.21cnjy.com )
2
( http: / / www.21cnjy.com )）
( http: / / www.21cnjy.com )＝1的解。
分析：這是一個解定義新運算符號的方程問題，首先要按給定的規則把問題化成常規的方程，即根據所給規則，得
( http: / / www.21cnjy.com )
（2
( http: / / www.21cnjy.com )）＝
( http: / / www.21cnjy.com )-2
( http: / / www.21cnjy.com ),再根據所給規則得（
( http: / / www.21cnjy.com )－2
( http: / / www.21cnjy.com )）
( http: / / www.21cnjy.com )＝
( http: / / www.21cnjy.com )－
( http: / / www.21cnjy.com )。而解此方程若直接去分母還需去括號。若把分數拆開（如
( http: / / www.21cnjy.com )＝
( http: / / www.21cnjy.com )－
( http: / / www.21cnjy.com )＝
( http: / / www.21cnjy.com )－2）則很簡便。
解：根據定義的規則，得（
( http: / / www.21cnjy.com )－2x）
( http: / / www.21cnjy.com )＝1，即
( http: / / www.21cnjy.com )－
( http: / / www.21cnjy.com )＝1。
拆項，得
( http: / / www.21cnjy.com )－
( http: / / www.21cnjy.com )－
( http: / / www.21cnjy.com )＝1。
整理，得
( http: / / www.21cnjy.com )－
( http: / / www.21cnjy.com )－
( http: / / www.21cnjy.com )＝1。
合并同類項，得
－
( http: / / www.21cnjy.com )＝1。
系數化為1，得
( http: / / www.21cnjy.com )＝-1。
點評：逆用通分法則把分數拆開解題，對很多問題很有效，同學們應掌握。如：已知
( http: / / www.21cnjy.com )＝1－
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )＝
( http: / / www.21cnjy.com )－
( http: / / www.21cnjy.com )，…，你能根據此法解方程（
( http: / / www.21cnjy.com )＋
( http: / / www.21cnjy.com )＋…＋
( http: / / www.21cnjy.com )＋
( http: / / www.21cnjy.com )）
( http: / / www.21cnjy.com )＝99嗎？（答案：
( http: / / www.21cnjy.com )＝100）列一元一次方程解應用題的方法和步驟是什么？
難易度：★★★
關鍵詞：方程
答案：
(1)仔細審題，透徹理解題意．即弄清已知量、未知量及其相互關系，并用字母(如x)表示題中的一個合理未知數；
(2)根據題意找出能夠表示應用題全部含義的一個相等關系．(這是關鍵一步)；
(3)根據相等關系，正確列出方程．即
( http: / / www.21cnjy.com )所列的方程應滿足兩邊的量要相等；方程兩邊的代數式的單位要相同；題中條件應充分利用，不能漏也不能將一個條件重復利用等；
(4)求出所列方程的解；
(5)檢驗后明確地、完整地寫出答案．這里要求的檢驗應是，檢驗所求出的解既能使方程成立，又能使應用題有意義．
【舉一反三】
典例：初一2班第一小組同學去蘋果園參加勞
( http: / / www.21cnjy.com )動，休息時工人師傅摘蘋果分給同學，若每人3個還剩余9個；若每人5個還有一個人分4個，試問第一小組有多少學生，共摘了多少個蘋果？
思路導引：一般來說，解答上類問題時，應按解一元一次方程應用題的步驟，仔細審題，找出等量關系式，正確設置未知數，列出方程求解。
解：設第一小組有x個學生，依題意，得
3x+9=5x-(5-4)，
解這個方程：
2x=10，
所以
x=5．
其蘋果數為
3×
5+9=24．
標準答案：24個。一題多變
拓寬思路
學校運動場跑道周長400米，小華跑步的速度是小紅的
( http: / / www.21cnjy.com )倍，他兩從同一起點沿跑道的同一方向同時出發，5分鐘后小華第一次追上了小紅，求他二人的跑步速度．
分析：本題中的相等關系為：小華的行程-小紅的行程=400米．
解：設小紅跑步的速度為x米∕分，則小華跑步的速度為
( http: / / www.21cnjy.com )x米∕分．
由題意得，得
( http: / / www.21cnjy.com )
解得
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )
答：小紅跑步的速度為120米∕分，小華跑步的速度為200米∕分．
【評注】此題屬于環形行程中同時同地同方向運動類題。解這類題常用的相等關系為：快者的行程-慢者的行程=跑道周長．
拓展一：學校運動場跑道周長400米，小華跑步的速度是小紅的
( http: / / www.21cnjy.com )倍，他們從同一起點沿跑道方向背向同時出發，
( http: / / www.21cnjy.com )分鐘后小華第一次與小紅相遇，求他二人的跑步速度．
分析：本題中的相等關系為：小華的行程+小紅的行程=400米．
解：設小紅跑步的速度為x米∕分，則小華跑步的速度為
( http: / / www.21cnjy.com )x米∕分．
由題意，得
( http: / / www.21cnjy.com )
解得
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )
答：小紅跑步的速度為120米∕分，小華跑步的速度為200米∕分．
評注：此題屬于環形行程中同時同地背向運動類題。解這類題常用的相等關系為：兩者的行程之和=跑道周長．
拓展二：學校運動場跑道周長400米，已知小紅跑步的速度為120米∕分，小華跑步的速度是小紅的
( http: / / www.21cnjy.com )倍，若小紅在小華的前方100米，他們同時同向出發，試問幾分鐘后小華第一次與小紅相遇？
分析：本題中的相等關系為：小華的行程-小紅的行程=100米．
解：設x分鐘后小華第一次與小紅相遇．
由題意，得
( http: / / www.21cnjy.com )
解得x=
( http: / / www.21cnjy.com )
答：經過
( http: / / www.21cnjy.com )分鐘后小華第一次與小紅相遇
拓展三：學校運動場跑道周長400米，已知小紅跑步的速度為120米∕分，小華跑步的速度是小紅的
( http: / / www.21cnjy.com )倍，若小華在小紅的前方100米，他們同時同向出發，試問幾分鐘后小華第一次與小紅相遇？
分析：本題中的相等關系為：小華的行程-小紅的行程=400米-100米
解：設x分鐘后小華第一次與小紅相遇
由題意，得
( http: / / www.21cnjy.com )
解得x=
( http: / / www.21cnjy.com )
答：經過
( http: / / www.21cnjy.com )分鐘后小華第一次與小紅相遇
【評注】此題屬于環形行程
( http: / / www.21cnjy.com )中同時異地同向運動類題，解這類題常用的相等關系：①若慢者在前，則為
快者的行程-慢者的行程=他們之間的距離；②若快者在前，則為快者的行程-慢者的行程=跑道周長-他們之間的距離．列方程的關鍵——找相等關系
用方程方法解決實際問題，正確列出
( http: / / www.21cnjy.com )方程是解決問題的關鍵，也是難點所在.對具體問題要做到具體分析，思維方法是多種多樣的.在分析實際問題中的數量關系時，圖形組合法、表格演示法和運動圖示法是行之有效的思維方法.
例1
某校為進一步推進
( http: / / www.21cnjy.com )素質教育，把素質教育落到實處，利用課外興趣小組活動開展棋類教育活動，以提高學生的思維能力，開發智力.七年級（1）班有50名學生，通過活動發現只有1人象棋、圍棋都不會下，有30人象棋、圍棋都會下，且會下象棋的學生比會下圍棋的學生多7人，求會下圍棋的人數.
分析：本題的條件中各量之間的關系看起來比
( http: / / www.21cnjy.com )較復雜，但是我們由圖示來表示各類學生的人數，則相等關系顯而易見，如圖1所示.本題的相等關系是：會下象棋的人數+會下圍棋的人數－兩種棋都會下的人數=全班人數－兩種棋都不會下的人數，這樣方程就容易列出來了.
解：設會下圍棋的學生有
( http: / / www.21cnjy.com )人，則會下象棋的學生
為（
( http: / / www.21cnjy.com )+7）人.根據題意，得
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com )+7－30=50－1，
解得
( http: / / www.21cnjy.com )=36.
答：會下圍棋的學生有36人.
點評：在解數學問題時，有些代數問題用圖示法求解，
常常使人茅塞頓開、突破常規思維，使思維進入新的境界.
二、表格演示法.
例2
一商店將某種彩電在進價的
( http: / / www.21cnjy.com )基礎上提高40%標出售價，然后廣告宣傳將以80%的優惠價出售，結果每臺彩電賺了300元，則經銷這種產品的利潤率是多少？
分析：本題需要用的數量比較多，極易混淆，但借助表格能輕松分辨清楚.
進價
標價
售價
利潤
利潤率
( http: / / www.21cnjy.com )元
（1+40%）
( http: / / www.21cnjy.com )
（1+40%）
( http: / / www.21cnjy.com )×80%
300
( http: / / www.21cnjy.com )×100%
解：設該彩電的進價為
( http: / / www.21cnjy.com )元，根據題意，得（1+40%）
( http: / / www.21cnjy.com )·80%－
( http: / / www.21cnjy.com )=300，解得
( http: / / www.21cnjy.com )=2500.
則利潤率為
( http: / / www.21cnjy.com )100%=12%
.
答：經銷這種產品的利潤率是12%
.
點評：利潤問題常用的關系式有：利潤=售價－進價，售價=標價×打折扣，
利潤率=
( http: / / www.21cnjy.com )（1+利潤率）.利潤問題中用的數量較多，因而利用表格可幫助我們快捷有效的找準相等關系.
三、運動圖示法.
例3
甲步行上午6時從A地出發，下午5時到達B地，乙騎自行車上午10時從A地出發下午3時到達B地，問乙在什么時間追上甲？
分析：本題可畫出運動示意圖（如圖3所示）找出相等關系：甲、乙從A地到追及地點所走路程相等.
解：設乙出發后
( http: / / www.21cnjy.com )小時追上甲，A地到B地的總路程為1.根據題意，得
( http: / / www.21cnjy.com )，解得
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com ).所以10+
( http: / / www.21cnjy.com )－12=
( http: / / www.21cnjy.com ).
答：乙是在下午1點20分追上甲的.
點評：本題把A、B兩地間的路程設為1，思路精巧.因為從A地到B地所用的時間為17－6=11（小時），乙從A到B所用的時間為15－10=5（小時），所以甲、乙的速度分別為
( http: / / www.21cnjy.com )和
( http: / / www.21cnjy.com )
.
會下圍棋的人數
會下象棋的人數
30
全班學生
圖（1）
甲小時所走路程
甲先出發4小時所走路程
乙小時所走路程答案非唯一的應用題
同學們在學習一元一次方程的應用
( http: / / www.21cnjy.com )這部分內容時，常會出現答案非唯一的題目，對于這類題目，關鍵是考慮到各種情況，以防“漏解”．下面舉例說明．希望對同學們有所幫助．
　
例1
.在4點多少分時時針與分針相交成直角？
分析：分針速度：360度/60
( http: / / www.21cnjy.com )分=6度/分
，時針速度：1小時分針走了360/12=30度
30度/60分=0.5度/分
，4點時時針與分針的角度＝120°。不論是分針與時針相遇前、還是分針與時針相遇后兩針均可成直角，因此可分兩種情況考慮．
解：設過了x分鐘
時針與分針的角度是90°
，時針走的距離（轉的角度）為(120+0.5x)
，分針走的距離為6x
。
（1）第一次成直角
：（6-0.5）x＝120-90
x＝
( http: / / www.21cnjy.com )分鐘＝5分
( http: / / www.21cnjy.com )秒
.
（2）第二次成直角
：（6-0.5）x＝120+90
，
x＝
( http: / / www.21cnjy.com )分鐘＝38分
( http: / / www.21cnjy.com )秒.
所以在4點5分
( http: / / www.21cnjy.com )秒和4點38分
( http: / / www.21cnjy.com )秒時時針與分針相交成直角.
例2.在一條直的長河中有甲、乙兩船，現同時由
( http: / / www.21cnjy.com )A地順流而下，乙船到B地時接到通知需立即返回到C地執行任務，甲船繼續順流航行。已知甲、乙兩船在靜水中的速度都是每小時7.5千米，水流的速度是每小時2.5千米，A、C兩地間的距離為10千米，如果乙船由A地經B地再到達C地共用了4小時，問乙船從B地到達C地時，甲船離B地有多遠？
分析：因為C地的位置不確定，它既可能在A、B兩地之間，也可能在A地的上游，所以應進行分類討論。
解：設乙船由B地航行到C地用了
( http: / / www.21cnjy.com )個小時，那么甲、乙兩船由A地航行到B地都用了
( http: / / www.21cnjy.com )小時。
若C地在A、B兩地之間，則根據題意可得方程
( http: / / www.21cnjy.com )，解得
( http: / / www.21cnjy.com )。這時
( http: / / www.21cnjy.com )（千米）；
若C地在A地的上游，則根據題意可得方程
( http: / / www.21cnjy.com )，解得
( http: / / www.21cnjy.com )。這時
( http: / / www.21cnjy.com )（千米）。
所以乙船從B地到達C地時，甲船離B地有20千米或
( http: / / www.21cnjy.com )千米。
例3.
要用總長30m的籬笆沿墻的一邊圍一
( http: / / www.21cnjy.com )長方形的雞舍，除墻這一邊外，其他三邊（除門外）都用籬笆圍成，要求長方形的長是寬的2倍，并要求留2m寬的門，求這一雞舍的長與寬。
分析：本題是一道
( http: / / www.21cnjy.com )幾何應用題，但沒有畫出圖形。因為“靠墻的一邊”未指明是長還是寬，2m寬的門留在長邊上或寬邊上均不影響解法，因此，本題應抓住“靠墻的一邊為長”和“靠墻一邊為寬”分兩類情況解答。
解：設這一雞場寬為x米，則長為2x米。分兩種情況：
（1）當雞舍長靠墻時（圖1）
據題意有：
( http: / / www.21cnjy.com )，
解之得：x=8，
2x=16
此時雞舍長和寬分別為16m和8m。
圖1
（2）當雞舍寬靠墻時（圖2）
據題意有：，
解之得：
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )。
此時雞舍長和寬分別為12.8m和6.4m。
圖2怎樣靈活應用方程的解求字母的值？
難易度：★★★
關鍵詞：方程
答案：
方程的解是滿足左右兩邊相等的未知數的值，將解代入方程，方程兩邊相等，從而得到關于另一個字母的一元一次方程，解答即可。
【舉一反三】
【舉一反三】
典例：若方程3(x+4)-4=2k+1的解是-3，則k的值是(　　)
A.1　　　　　　B.-1　　　　　　C.0　　　　　　D.-
思路導引：一般來講，解決本題要理解x=-3
( http: / / www.21cnjy.com )是方程3(x+4)-4=2k+1的解，說明-3可以代替x的位置，也就是把原題中的x換成“-3”，得3×(-3+4)-4=2k+1，可求得k=-1.
標準答案：B新情景下的一元一次方程
為順應新課標理念，近年全國各地的中考試題
( http: / / www.21cnjy.com )中出現了許多具有新穎性、趣味性、生動性和挑戰性等特征的情景應用性問題,本文特舉兩例與一元一次方程有關的題目,供同學們賞析.
一.
烏鴉喝水
例1.
【2007年浙江省麗水市】請根據圖中給出的信息，可得正確的方程是（
）
A．
( http: / / www.21cnjy.com )
B．
( http: / / www.21cnjy.com )
C．
( http: / / www.21cnjy.com )
D．
( http: / / www.21cnjy.com )
析解：觀察圖形，
要知道兩個量筒中的水實際上是兩個水柱，又從小烏鴉的話中可以知道兩個量筒中的水的體積相等，于是可列出方程：
( http: / / www.21cnjy.com )，故選A.
點評：“烏鴉喝水”的故事想必同學們已
( http: / / www.21cnjy.com )經耳熟能詳了,命題者把它作為一道圖文信息題搬上中考試卷，可真是眼前一亮。這類題目的已知條件全部蘊涵在整個圖形之中，解答時，應結合圖示認真分析，從而列出方程。
二.
破譯密碼
例2.
【2007年湖南省長沙市】在密碼學中，直接可以看到內容為明碼，對明碼進行某種處理后得到的內容為密碼．有一種密碼，將英文26個字母
( http: / / www.21cnjy.com )，…，
( http: / / www.21cnjy.com )（不論大小寫）依次對應1，2，3，…，26這26個自然數（見表格）．當明碼對應的序號
( http: / / www.21cnjy.com )為奇數時，密碼對應的序號
( http: / / www.21cnjy.com )；當明碼對應的序號
( http: / / www.21cnjy.com )為偶數時，密碼對應的序號
( http: / / www.21cnjy.com )．
字母
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
序號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
字母
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
序號
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
按上述規定，將明碼“love”譯成密碼是（
）
A．gawq
　　B．shxc
　　　C．sdri
　　　D．love
析解：結合表格,
明碼“love”中四個字母所對應的數字依次是：
12，15，22，5．
由題意，可依次得到:　
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )．再回到表格，19，8，24，3這四個數字對應的字母依次是：
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )
，
( http: / / www.21cnjy.com )．即將明碼“love”譯成密碼是“
( http: / / www.21cnjy.com )”，故選B．
點評：此題是一道表格信息題，解答過程中從
( http: / / www.21cnjy.com )字母到數字，又從數字到字母，其間對“一元一次方程的解的概念”這個知識點進行了很好的考查．密碼在我們的生活中用途十分廣泛，通過對此題的解答，讓我們嘗到了破譯密碼后的成功喜悅．
㎝
5㎝
6㎝
8㎝
老烏鴉，我喝不到大量筒中的水！
㎝
小烏鴉，你飛到裝有相同水量的小量筒，就可以喝到水了！一元一次方程復習指導
一、加強概念的理解
1.進一步認識方程及其解的概念，建構從數到式到方程的知識結構。
2.理解一元一次方程的概念，特別注意一元一次方程中的各項都是整式，并理解元與次的概念。
3.會根據數量關系或簡單問題情境列一元一次方程。
友情提示：在復習的過程中，在老師的幫助下逐
( http: / / www.21cnjy.com )步形成：數→字母表示數→式→方程這一知識結構，有助于同學們更深刻的區別這些數學術語。下面的題目希望對同學們有所幫助。
1.在下列各式中，哪些是方程？哪些是一元一次方程？
①
( http: / / www.21cnjy.com )；②
( http: / / www.21cnjy.com )；③
( http: / / www.21cnjy.com )；
④
( http: / / www.21cnjy.com )；⑤
( http: / / www.21cnjy.com )；⑥
( http: / / www.21cnjy.com )。
2.當
( http: / / www.21cnjy.com )為何值時，式子
( http: / / www.21cnjy.com )的值與
( http: / / www.21cnjy.com )的值互為相反數？
3.已知6a2x+1b4和3ax-1b4是同類項，求x的值。
4.請你構造兩個方程，使得它們的解都是
( http: / / www.21cnjy.com )。
答案：1.①②③④⑤均是方程，④是一元一次方程。
2.
( http: / / www.21cnjy.com )
3.
( http: / / www.21cnjy.com )
4.答案不惟一，如
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )等。
二、熟練方程的解法。
1.會用嘗試、檢驗法解簡單的一元一次方程。
2.利用等式的性質解一元一次方程。
友情提示：
1.嘗試、檢驗法實際上是一種“拼湊”的方法，
( http: / / www.21cnjy.com )是新課程下所倡導的一種有效的數學方法。一旦掌握了利用等式的性質解方程的方法后，往往會忽視這一方法的存在和價值。不過，當遇到用已有的知識無法解決時，“嘗試、檢驗”的價值就發揮到了極致。
2.后面學習的二元一次方程組、分式方程最終都是化歸為一元一次方程來解，因此，在充分理解等式的性質的基礎上，熟練掌握解一元一次方程一般步驟。
下面的題目希望對同學們有所幫助。
1.班級花圃中的24盆花放成長方形的造型，每行比每列多兩盆，若設每列有
( http: / / www.21cnjy.com )盆花，則所列方程是什么？你能夠快速的得到它的解嗎？
2.若關于
( http: / / www.21cnjy.com )的一元一次方程
( http: / / www.21cnjy.com )的解是
( http: / / www.21cnjy.com )，則
( http: / / www.21cnjy.com )的值是
。
3.用適當的方式解下列方程：
（1）
( http: / / www.21cnjy.com )；（2）
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )；（3）
( http: / / www.21cnjy.com )。
4.小兵解方程
( http: / / www.21cnjy.com )。解的過程如下：
移項，得
( http: / / www.21cnjy.com )。
逆用乘法分配律，得
( http: / / www.21cnjy.com )。
兩邊同除以x－1，得2＝3。
小兵的求解過程對嗎，為什么？
答案：1.所列方程為
( http: / / www.21cnjy.com )，解為
( http: / / www.21cnjy.com )
2.
( http: / / www.21cnjy.com )
3.（1）
( http: / / www.21cnjy.com )；（2）
( http: / / www.21cnjy.com )；（3）
( http: / / www.21cnjy.com )
4.小兵的方法錯在將方程
( http: / / www.21cnjy.com )的兩邊都除以了一個含未知數的整式
( http: / / www.21cnjy.com )，由于
( http: / / www.21cnjy.com )是方程的解，這就相當于方程的兩邊都除以了0，破壞了原來的相等關系。
三、運用方程解決實際問題
用一元一次方程解答實際問題，關鍵在于抓住問題中有關數量的相等關系，列出方程.求得方程的解后，經過檢驗，就可得到實際問題的答案.
這一過程也可以簡單地表述為：
其中，分析和抽象的過程通常包括：
（1）弄清題意和其中的數量關系，用字母表示適當的未知數；
（2）找出能表示問題含義的一個主要的相等關系；
（3）對這個等量關系中涉及的量，列出所需的表達式，根據相等關系，得到方程.
求解和檢驗中應特別注意：檢驗所得結果是否符合實際問題的要求。
1.用一根長60厘米的鐵絲圍成一個長方形．
（1）使長方形的寬是長的，求這個長方形的長和寬.
（2）使長方形的寬比長少4厘米，求這個長方形的面積.
2.某房地產開發公司計劃建造A、B兩種戶型住房共80套，該公司所籌資金為2096萬元，所籌資金全部用于建房，兩種戶型建房成本和售價如下表：
A
B
成本（萬元/套）
25
28
售價（萬元/套）
30
34
問該公司全部售完80套住房獲得的利潤是多少？（利潤=售價-成本）
3.某商場購進甲、乙兩種服裝后，都加價40%
( http: / / www.21cnjy.com )標價出售，“春節”期間商場搞優惠促銷，決定將甲、乙兩種服裝分別按標價的八折和九折出售.某顧客購買甲、乙兩種服裝共付款182元，兩種服裝標價之和為210元.問這兩種服裝的進價和標價各是多少元？
4.某酒店有三人間,雙人間客房，收費標準如下表:
普通（元/間/人）
豪華(元/間/人)
三人間
150
300
雙人間
140
400
為吸引游客,實行團體入住五折
( http: / / www.21cnjy.com )優惠措施,一個50人的旅游團優惠期間到該酒店入住,住了一些三人普通間和雙人間客房,若每間客房正好住滿,且一天共花去住宿費1510元,則該旅游團住了三人普通間和雙人普通間客房各多少間
答案：
1.（1）長和寬分別為18厘米、12厘米.
（2）長和寬分別為17厘米、13厘米.
2.432萬元.
3.甲的進價為50元，標價是70元；乙的進價是100元，標價是140元.
4.三人普通客房、雙人普通客房各住8、13人.怎樣用一元一次方程解決方案型問題？
難易度：★★★★
關鍵詞：方程
答案：
方案型一元一次方程解應用題往往給出兩個方案計算同一個未知量，然后用等號將表示兩個方案的代數式連結起來組成一個一元一次方程。
【舉一反三】
典例：某校初三年級學生參加社會實踐活動，原計劃租用30座客車若干輛，但還有15人無座位。
（1）設原計劃租用30座客車x輛，試用含x的代數式表示該校初三年級學生的總人數；
（2）現決定租用40座客車，則可比原計
( http: / / www.21cnjy.com )劃租30座客車少一輛，且所租40座客車中有一輛沒有坐滿，只坐35人。請你求出該校初三年級學生的總人數。
思路導引：本題表示初三年級總人數有兩種方案，用30座客車的輛數表示總人數：30x+15
用40座客車的輛數表示總人數：40（x－2）+35。
解：（1）該校初三年級學生的總人數為：30x+15

（2）由題意得：

30x+15＝40（x－2）+35

解得：x＝6

30x＋15＝30×6＋15＝195（人）
標準答案：初三年級總共195人。怎樣應用一元一次方程解答“倉庫搬運”問題？
難易度：★★★
關鍵詞：方程
答案：
倉庫運輸類的問題就明確如下關系：原來重量=運出重量+剩余重量；原來重量-剩余重量=運出重量，根據這一關系式，準確設置未知數，列出方程解答。
【舉一反三】
典例：某面粉倉庫存放的面粉運出
15％后，還剩余42
500千克，這個倉庫原來有多少面粉？
思路導引：一般來說，此類問題應先找等量關系式，(原來重量-運出重量=剩余重量)
若設原來面粉有x千克，則運出面粉可表示為多少千克？利用上述相等關系，可列出方程。
解：設原來有x千克面粉，那么運出了15％x千克，由題意，得
x-15％x=42
500，
所以
x=50
000．
標準答案：原來有
50
000千克面粉．怎樣用數的和差關系列一元一次方程求解？
難易度：★★★
關鍵詞：方程
答案：
我們知道方程是一個含有未知數的
( http: / / www.21cnjy.com )等式，而等式表示了一個相等關系．因此對于任何一個應用題中提供的條件，應首先從中找出一個相等關系，然后再將這個相等關系表示成方程．
【舉一反三】
典題：某數的3倍減2等于某數與4的和，求某數．
思路導引：一般來說，應用算術法解
( http: / / www.21cnjy.com )決實際問題時，算術方法不易思考，而應用設未知數，列出方程并通過解方程求得應用題的解的方法，則有一種化難為易之感，這就是我們學習運用一元一次方程解應用題的目的之一。
設某數為x，則有3x-2=x+4．
解之，得x=3．
標準答案：某數為3．打折銷售的典型例題
例1
一種蔬菜加工后出售，單價可
( http: / / www.21cnjy.com )提40％，但重量要降低20％，現有未加工的這種蔬菜1000千克，加工后共賣了1568元，問不加工每千克可賣多少錢？1000千克能賣多少錢？比加工后少賣多少錢？
分析
本題的關鍵是第一問，第一問求出其他問題就解決．由題意可知如下相等關系：
加工后的蔬菜重量×加工后的蔬菜單價＝1568元
而加工后的蔬菜重量＝1000×（1－
( http: / / www.21cnjy.com )20％），如果設加工前這種蔬菜每千克可賣x元，則加工后這種蔬菜每千克為（1＋40％）x元，故可得方程．
解:設不加工每千克可賣x元，依題意，得
( http: / / www.21cnjy.com )
解方程得：
( http: / / www.21cnjy.com )
所以
( http: / / www.21cnjy.com )
答：不加工每千克可賣1.4元，1000千克能賣1400元，比加工后少賣168元．
說明：在計算數比較難算的題時，我們可以借助于計算器進行計算．
例2
某企業生產一種產品，每件成本價400
( http: / / www.21cnjy.com )元，銷售價510元，為了進一步擴大市場，該企業決定降低銷售價的同時降低生產成本．經過市場調研，預計下季度這種產品每件銷售價降低4%，銷售量將提高10％，要使銷售利潤保持不變，該產品每件的成本價應降低多少元？
分析
由已知可得如下相等關系
調整成本前的銷售利潤＝調整成本后的銷售利潤
若設該產品每件的成本價應降低x元，假定調整前可賣m件這種產品，則調整前的銷售利潤是（510－400）m，而調整后的銷售階為510（l－4％），調整后的成本價為
400－x．調整后的銷售數量m（l＋10％），所以調整后的銷售利潤是：
( http: / / www.21cnjy.com )，由相等關系可得方程
( http: / / www.21cnjy.com )
解:設該產品每件的成本價應降低x元，降價前可銷售該產品m件，依題意，得
( http: / / www.21cnjy.com )
解方程，得
( http: / / www.21cnjy.com )
答：該產品每件的成本價應降低10.4元．
說明：這里的m也可以不設，以一件為例去研究這一問題，就可直接列出方程：
( http: / / www.21cnjy.com )
例3
（中考題）某商品的標價是1100元，打八折（按標價的80％）出售，仍可獲利10％，則此商品的進價是________元．
分析：根據“利用＝銷售價－進貨價，利潤率＝利潤÷進貨價×100％”，假設商品的進價為a元，則商品的售價為
( http: / / www.21cnjy.com )元時，可獲利10％．
解：設商品的進價為a元．
則
( http: / / www.21cnjy.com )
答：此商品的進價是800元．
說明：打折銷售是我們身邊的數學事實，每個人都應了解它，關鍵是掌握“進貨價”“銷售價”“利潤”等名詞術語的意義，理解有關數量關系．
例4
某商品按進價的百分之幾標價，然后再8折優惠銷售，這件商品的獲得率仍為20％．
解:設該商品的進價為
( http: / / www.21cnjy.com )元，按進價的
( http: / / www.21cnjy.com )％標價可滿足要求．
根據題意，得
( http: / / www.21cnjy.com )
解得
( http: / / www.21cnjy.com )．
答：按進價的150％（即1.5倍）標價，然后再8折銷售，獲利率為20％．
說明：解應用題中的“打折銷售”問題
( http: / / www.21cnjy.com )，首先要熟悉“進價”、“標價”、“售價”、“打折”、“利潤”、“利潤率”這些商業名詞的含義，另外還要清楚反映進行、標價、售價、打折、利潤、利潤率之間關系的公式才能準確的列出方程．
（1）在我們現實生活中，購買商品和銷售商品中，經常會遇到進價、標價、售價、打折、利潤、利潤率等概念．
（2）基本關系式：①利潤＝售價—進價
②售價=標價×折數
③利潤率＝
( http: / / www.21cnjy.com )．由①②可得出④利潤＝標價×折數－進價．由③④可得出⑤利潤率＝
( http: / / www.21cnjy.com )．實際問題與一元一次方程
列方程解應用題，是初中數學的重要內容之一。許
( http: / / www.21cnjy.com )多實際問題都歸結為解一種方程或方程組，所以列出方程或方程組解應用題是數學聯系實際，解決實際問題的一個重要方面；同時通過列方程解應用題，可以培養我們分析問題，解決問題的能力。因此我們要努力學好這部分知識。
一．列一元一次方程解應用題的一般步驟
（1）審題：認真審題，理解題意，弄清題目中的數量關系，找出其中的等量關系．
（2）找出等量關系：找出能夠表示本題含義的相等關系．
（3）設出未知數，列出方程：設出未知數后，表示出有關的含字母的式子，然后利用已找出的等量關系列出方程．
（4）解方程：解所列的方程，求出未知數的值．
（5）檢驗，寫答案：檢驗所求出的未知數的值是否是方程的解，是否符合實際，檢驗后寫出答案．
二.
分類知能點與題目
知能點1：市場經濟、打折銷售問題
（1）商品利潤＝商品售價－商品成本價
（2）商品利潤率＝
( http: / / www.21cnjy.com )×100%
（3）商品銷售額＝商品銷售價×商品銷售量
（4）商品的銷售利潤＝（銷售價－成本價）×銷售量
（5）商品打幾折出售，就是按原標價的百分之幾十出售，如商品打8折出售，即按原標價的80%出售．
例1.
某商店開張，為了吸引顧
( http: / / www.21cnjy.com )客，所有商品一律按八折優惠出售，已知某種皮鞋進價60元一雙，八折出售后商家獲利潤率為40%，問這種皮鞋標價是多少元？優惠價是多少元？


[分析]通過列表分析已知條件，找到等量關系式

進價
折扣率
標價
優惠價
利潤率
60元
8折
X元
80%X
40%
等量關系：商品利潤率=商品利潤/商品進價
解：設標價是x元，
( http: / / www.21cnjy.com )
解之：x=105
優惠價為
( http: / / www.21cnjy.com )
例2.
一家商店將某種服裝按進價提高40%后標價，又以8折優惠賣出，結果每件仍獲利15元，這種服裝每件的進價是多少？
[分析]探究題目中隱含的條件是關鍵，可直接設出成本為X元
進價
折扣率
標價
優惠價
利潤
x元
8折
（1+40%）x元
80%（1+40%）x
15元
等量關系：（利潤=折扣后價格—進價）折扣后價格－進價=15
解：設進價為x元，80%X（1+40%）—x=15，x=125
答：進價是125元。
1．一種商品進價為50元，為賺取20%的利潤，該商品的標價為________元．
60
（點撥：設標價為x元，則x-50=50×20%）
2．某商品的標價為220元，九折賣出后盈利10%，則該商品的進價為______元．
180
（點撥：設商品的進價為x元，則220×90%-x=10%x）
3．某種商品若按標價的8折出售可獲利20%，若按原標價出售，則可獲利（
）
A．25%
B．40%
C．50%
D．1
C
（點撥：設標價為x元，進價為a元，則80%x-a=20%a，得x=
( http: / / www.21cnjy.com )a
∴按原標價出售可獲利
( http: / / www.21cnjy.com )×100%=50%）
4．兩件商品都賣84元，其中一件虧本20%，另一件贏利40%，則兩件商品賣后（
）
A．贏利16.8元
B．虧本3元
C．贏利3元
D．不贏不虧
C
（點撥：設進價分別為a元，b元，則
a-84=20%a，得a=105
84-b=40%b，得b=60
∴84×2-（a+b）=3，故贏利3元）
5．一家商店將一種自行車按進價提高45%
( http: / / www.21cnjy.com )后標價，又以八折優惠賣出，結果每輛仍獲利50元，這種自行車每輛的進價是多少元？若設這種自行車每輛的進價是x元，那么所列方程為（
）
A．45%×（1+80%）x-x=50
B．
80%×（1+45%）x
-
x
=
50
C．x-80%×（1+45%）x
=
50
D．80%×（1-45%）x
-
x
=
50
6．某商品的進貨價為每件x元，零售價為每件900元，為了適應市場競爭，商店按零售價的九折讓利40元銷售，仍可獲利10%，則x為（
）
A．700元
B．約733元
C．約736元
D．約856元
7．某商品的進價為800元，出售時標價為1200元，后來由于該商品積壓，商店準備打折出售，但要保持利潤率不低于5%，則至多打幾折．
解：設至多打x折，根據題意有
( http: / / www.21cnjy.com )×100%=5%
解得x=0.7=70%
答：至多打7折出售．
8．一家商店將某種型號的彩電先按
( http: / / www.21cnjy.com )原售價提高40%，然后在廣告中寫上“大酬賓，八折優惠”．經顧客投拆后，拆法部門按已得非法收入的10倍處以每臺2700元的罰款，求每臺彩電的原售價．
解：設每臺彩電的原售價為x元，根據題意，有
10[x（1+40%）×80%-x]=2700，x=2250
答：每臺彩電的原售價為2250元．
9．某商品進價是1000元，標價為1500元，商品要求以利潤率不低于5%的售價打折出售，售貨員最低可以打幾折出售此商品？
知能點2：
方案選擇問題
10．某蔬菜公司的一種綠色
( http: / / www.21cnjy.com )蔬菜，若在市場上直接銷售，每噸利潤為1000元，經粗加工后銷售，每噸利潤可達4500元，經精加工后銷售，每噸利潤漲至7500元，當地一家公司收購這種蔬菜140噸，該公司的加工生產能力是：如果對蔬菜進行精加工，每天可加工16噸，如果進行精加工，每天可加工6噸，但兩種加工方式不能同時進行，受季度等條件限制，公司必須在15天將這批蔬菜全部銷售或加工完畢，為此公司研制了三種可行方案：
方案一：將蔬菜全部進行粗加工．
方案二：盡可能多地對蔬菜進行粗加工，沒來得及進行加工的蔬菜，在市場上直接銷售．
方案三：將部分蔬菜進行精加工，其余蔬菜進行粗加工，并恰好15天完成．
你認為哪種方案獲利最多？為什么？
解：方案一：獲利140×4500=630000（元）
方案二：獲利15×6×7500+（140-15×6）×1000=725000（元）
方案三：設精加工x噸，則粗加工（140-x）噸．
依題意得
( http: / / www.21cnjy.com )=15
解得x=60
獲利60×7500+（140-60）×4500=810000（元）
因為第三種獲利最多，所以應選擇方案三．
11．某市移動通訊公司開設了兩種通訊
( http: / / www.21cnjy.com )業務：“全球通”使用者先繳50元月基礎費，然后每通話1分鐘，再付電話費0.2元；“神州行”不繳月基礎費，每通話1分鐘需付話費0.4元（這里均指市內電話）．若一個月內通話x分鐘，兩種通話方式的費用分別為y1元和y2元．
（1）寫出y1，y2與x之間的函數關系式（即等式）．
（2）一個月內通話多少分鐘，兩種通話方式的費用相同？
（3）若某人預計一個月內使用話費120元，則應選擇哪一種通話方式較合算？
解：（1）y1=0.2x+50，y2=0.4x．
（2）由y1=y2得0.2x+50=0.4x，解得x=250．
即當一個月內通話250分鐘時，兩種通話方式的費用相同．
（3）由0.2x+50=120，解得x=350
由0.4x+50=120，得x=300
因為350>300
故第一種通話方式比較合算．
12．某地區居民生活用電基本價格為每千瓦時0.40元，若每月用電量超過a千瓦時，則超過部分按基本電價的70%收費．
（1）某戶八月份用電84千瓦時，共交電費30.72元，求a．
（2）若該用戶九月份的平均電費為0.36元，則九月份共用電多少千瓦時？應交電費是多少元？
解：（1）由題意，得0.4a+（84-a）×0.40×70%=30.72
解得a=60
（2）設九月份共用電x千瓦時，則0.40×60+（x-60）×0.40×70%=0.36x
解得x=90
所以0.36×90=32.40（元）
答：九月份共用電90千瓦時，應交電費32.40元．
13．某家電商場計劃用9萬元
( http: / / www.21cnjy.com )從生產廠家購進50臺電視機．已知該廠家生產3種不同型號的電視機，出廠價分別為A種每臺1500元，B種每臺2100元，C種每臺2500元．
（1）若家電商場同時購進兩種不同型號的電視機共50臺，用去9萬元，請你研究一下商場的進貨方案．
（2）若商場銷售一臺A種電視機可獲
( http: / / www.21cnjy.com )利150元，銷售一臺B種電視機可獲利200元，銷售一臺C種電視機可獲利250元，在同時購進兩種不同型號的電視機方案中，為了使銷售時獲利最多，你選擇哪種方案？
解：按購A，B兩種，B，C兩種，A，C兩種電視機這三種方案分別計算，
設購A種電視機x臺，則B種電視機y臺．
（1）①當選購A，B兩種電視機時，B種電視機購（50-x）臺，可得方程
1500x+2100（50-x）=90000
即5x+7（50-x）=300
2x=50
x=25
50-x=25
②當選購A，C兩種電視機時，C種電視機購（50-x）臺，
可得方程1500x+2500（50-x）=90000
3x+5（50-x）=1800
x=35
50-x=15
③當購B，C兩種電視機時，C種電視機為（50-y）臺．
可得方程2100y+2500（50-y）=90000
21y+25（50-y）=900，4y=350，不合題意
由此可選擇兩種方案：一是購A，B兩種電視機25臺；二是購A種電視機35臺，C種電視機15臺．
（2）若選擇（1）中的方案①，可獲利
150×25+250×15=8750（元）
若選擇（1）中的方案②，可獲利
150×35+250×15=9000（元）
9000>8750
故為了獲利最多，選擇第二種方案．
14．小剛為書房買燈。現有兩
( http: / / www.21cnjy.com )種燈可供選購，其中一種是9瓦的節能燈，售價為49元/盞，另一種是40瓦的白熾燈，售價為18元/盞。假設兩種燈的照明效果一樣，使用壽命都可以達到2800小時。已知小剛家所在地的電價是每千瓦時0.5元。
（1）設照明時間是x小時，請用含x的代數式分別表示用一盞節能燈和用一盞白熾燈的費用。（費用=燈的售價+電費）
（2）小剛想在這兩種燈中選購一盞。
當照明時間是多少時，使用兩種燈的費用一樣多？
試用特殊值判斷：
照明時間在什么范圍內，選用白熾燈費用低？
照明時間在什么范圍內，選用節能燈費用低？
（3）小剛想在這種燈中選購兩盞。假定照明時間是3000小時，使用壽命都是2800小時。請你設計一種費用最低的選燈照明方案，并說明理由。
答案：0.005x+49
0.02x+18
2000
知能點3儲蓄、儲蓄利息問題
（1）顧客存入銀行的錢叫做本金
( http: / / www.21cnjy.com )，銀行付給顧客的酬金叫利息，本金和利息合稱本息和，存入銀行的時間叫做期數，利息與本金的比叫做利率。利息的20%付利息稅
（2）利息=本金×利率×期數
本息和=本金+利息
利息稅=利息×稅率（20%）
（3）
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例1.
某同學把250元錢存入銀行，整存整取，存期為半年。半年后共得本息和252.7元，求銀行半年期的年利率是多少？（不計利息稅）
[分析]等量關系：本息和=本金×（1+利率）
解：設半年期的實際利率為X，依題意得方程250（1+X）=252.7，
解得X=0.0108
所以年利率為0.0108×2=0.0216
答：銀行的年利率是21.6%
一年
2.25
三年
2.70
六年
2.88
例2.
為了準備6年后小明上大學的學費20000元，他的父親現在就參加了教育儲蓄，下面有三種教育儲蓄方式：
（1）直接存入一個6年期；
（2）先存入一個三年期，3年后將本息和自動轉存一個三年期；
（3）先存入一個一年期的，后將本息和自動轉存下一個一年期；你認為哪種教育儲蓄方式開始存入的本金比較少？
[分析]這種比較幾種方案哪種合理的題目，我們可以分別計算出每種教育儲蓄的本金是多少，再進行比較。
解：（1）設存入一個6年的本金是X元,依題意得方程X（1+6×2.88%）=20000，解得X=17053
（2）設存入兩個三年期開始的本金為Y元，
Y（1+2.7%×3）(1+2.7%×3）=20000，X=17115
（3）設存入一年期本金為Z元
，
Z（1+2.25%）6=20000，Z=17894
所以存入一個6年期的本金最少。
15．利息稅的計算方法是：利息稅=利
( http: / / www.21cnjy.com )息×20%．某儲戶按一年定期存款一筆，年利率2.25%，一年后取出時，扣除了利息稅90元，據此分析，這筆存款的到期利息是____元，本金是_______元，銀行向儲戶支付的現金是________元．
450
20000
20360
16．小剛的爸爸前年買了某公司的二
( http: / / www.21cnjy.com )年期債券4500元，今年到期，扣除利息稅后，共得本利和約4700元，問這種債券的年利率是多少（精確到0.01%）．
解：設這種債券的年利率是x，根據題意有
4500+4500×2×x×（1-20%）=4700，
解得x=0.03
答：這種債券的年利率為0.03．
17．為了準備小明三年后上高中的學費，他的
( http: / / www.21cnjy.com )父母準備現在拿出3000元參加教育儲蓄，已知教育儲蓄一年期利率為1.98%，二年期利率為2.25%，三年期利率為2.52%，請你幫小明的父母計算一下如何儲蓄三年后得到的利息最多．
解：利用公式分三種情況（一年期、二年期、三年期）進行計算，再進行比較即可獲得答案．
一年期：設利息為x元，則x=3000×1.98%×1=59.4（元）
二年期：設利息為x元，則x=3000×2.25%×2=135（元）
三年期：設利息為x元，則x=3000×2.52%×3=226.8（元）
∵59.4<
( http: / / www.21cnjy.com )
∴三年期儲蓄利息最多．
18．（北京海淀區）白云商場購進某
( http: / / www.21cnjy.com )種商品的進價是每件8元，銷售價是每件10元（銷售價與進價的差價2元就是賣出一件商品所獲得的利潤）．現為了擴大銷售量，把每件的銷售價降低x%出售，但要求賣出一件商品所獲得的利潤是降價前所獲得的利潤的90%，則x應等于（
）
A．1
B．1.8
C．2
D．10
C
[點撥：根據題意列方程，得（10-8）×90%=10（1-x%）-8，解得x=2，故選C]
19．某人按定期2年向銀行儲蓄1500元，假設每年利率為3%（不計復利）到期支取時，扣除利息所得稅（稅率為20%）此人實得利息為（
）
A．1272元
B．36元
C．72元
D．1572元
20．用若干元人民幣購買了一種年利率為
( http: / / www.21cnjy.com )10%
的一年期債券，到期后他取出本金的一半用作購物，剩下的一半和所得的利息又全部買了這種一年期債券（利率不變），到期后得本息和1320元。問張叔叔當初購買這咱債券花了多少元？答案：22000元
21．購買了25000元某公司1年期的債券，一年后扣除20%的利息稅之后得到本息和為26000元，這種債券的年利率是多少？答案：百分之五
知能點4：工程問題
工作量＝工作效率×工作時間
工作效率＝工作量÷工作時間
工作時間＝工作量÷工作效率
完成某項任務的各工作量的和＝總工作量＝1
例1.
一件工作，甲獨作10天完成，乙獨作8天完成，兩人合作幾天完成？
[分析]甲獨作10天完成，說明的他的工作效率是
( http: / / www.21cnjy.com )乙的工作效率是
( http: / / www.21cnjy.com )
等量關系是：甲乙合作的效率×合作的時間=1
解：設合作x天完成,
依題意得方程
( http: / / www.21cnjy.com )
答：兩人合作
( http: / / www.21cnjy.com )天完成
例2.
一件工程，甲獨做需15
( http: / / www.21cnjy.com )天完成，乙獨做需12天完成，現先由甲、乙合作3天后，甲有其他任務，剩下工程由乙單獨完成，問乙還要幾天才能完成全部工程？
[分析]設工程總量為單位1，等量關系為：甲完成工作量+乙完成工作量=工作總量。
解：設乙還需x天完成全部工程，設工作總量為單位1，由題意得，
( http: / / www.21cnjy.com )
　　答：乙還需
( http: / / www.21cnjy.com )天才能完成全部工程。
例3.
一個蓄水池有甲、乙兩個進水
( http: / / www.21cnjy.com )管和一個丙排水管，單獨開甲管6小時可注滿水池；單獨開乙管8小時可注滿水池，單獨開丙管9小時可將滿池水排空，若先將甲、乙管同時開放2小時，然后打開丙管，問打開丙管后幾小時可注滿水池？
　　[分析]等量關系為：甲注水量+乙注水量-丙排水量=1。
　　解：設打開丙管后x小時可注滿水池，
　　由題意得，
( http: / / www.21cnjy.com )
　　答：打開丙管后
( http: / / www.21cnjy.com )小時可注滿水池。
22．一批工業最新動態信息
( http: / / www.21cnjy.com )輸入管理儲存網絡，甲獨做需6小時，乙獨做需4小時，甲先做30分鐘，然后甲、乙一起做，則甲、乙一起做還需多少小時才能完成工作？
解：設甲、乙一起做還需x小時才能完成工作．
根據題意，得
( http: / / www.21cnjy.com )×
( http: / / www.21cnjy.com )+（
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com )）x=1
解這個方程，得x=
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )=2小時12分
答：甲、乙一起做還需2小時12分才能完成工作．
23．某車間有16名工人，每人每天可加工甲種
( http: / / www.21cnjy.com )零件5個或乙種零件4個．在這16名工人中，一部分人加工甲種零件，其余的加工乙種零件．已知每加工一個甲種零件可獲利16元，每加工一個乙種零件可獲利24元．若此車間一共獲利1440元，求這一天有幾個工人加工甲種零件．
解：設這一天有x名工人加工甲種零件，則
( http: / / www.21cnjy.com )這天加工甲種零件有5x個，乙種零件有4（16-x）個．
根據題意，得16×5x+24×4（16-x）=1440
解得x=6
答：這一天有6名工人加工甲種零件．
24．一項工程甲單獨做需要10天，乙需要12天，丙單獨做需要15天，甲、丙先做3天后，甲因事離去，乙參與工作，問還需幾天完成？
設還需
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知能點5：若干應用問題等量關系的規律
（1）和、差、倍、分問題
此類題既可
( http: / / www.21cnjy.com )有示運算關系，又可表示相等關系，要結合題意特別注意題目中的關鍵詞語的含義，如相等、和差、幾倍、幾分之幾、多、少、快、慢等，它們能指導我們正確地列出代數式或方程式。
增長量＝原有量×增長率
現在量＝原有量＋增長量
25．某糧庫裝糧食，第一個倉庫是第二個倉庫存糧的3倍，如果從第一個倉庫中取出20噸放入第二個倉庫中，第二個倉庫中的糧食是第一個中的
( http: / / www.21cnjy.com )問每個倉庫各有多少
糧食？
設第二個倉庫存糧
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（2）等積變形問題
常見幾何圖形的面積、體積、周長計算公式，依據形雖變，但體積不變．
①圓柱體的體積公式
V=底面積×高＝S·h＝
( http: / / www.21cnjy.com )r2h
②長方體的體積
V＝長×寬×高＝abc
26．一個裝滿水的內部長、寬、高分別為300毫米，300毫米和80毫米的長方體鐵盒中的水，倒入一個內徑為200毫米的圓柱形水桶中，正好倒滿，求圓柱形水桶的高（精確到0.1毫米，
( http: / / www.21cnjy.com )≈3.14）．
解：設圓柱形水桶的高為x毫米，依題意，得
( http: / / www.21cnjy.com )·（
( http: / / www.21cnjy.com )）2x=300×300×80
x≈229.3
答：圓柱形水桶的高約為229.3毫米．
27．長方體甲的長、寬、高分別為260mm，
( http: / / www.21cnjy.com )150mm，325mm，長方體乙的底面積為130×130mm2，又知甲的體積是乙的體積的2.5倍，求乙的高？
設乙的高為
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( http: / / www.21cnjy.com )
知能點6：行程問題
基本量之間的關系：
路程＝速度×時間
時間＝路程÷速度
速度＝路程÷時間
（1）相遇問題
（2）追及問題
快行距＋慢行距＝原距
快行距－慢行距＝原距
（3）航行問題
順水（風）速度＝靜水（風）速度＋水流（風）速度
逆水（風）速度＝靜水（風）速度－水流（風）速度
抓住兩碼頭間距離不變，水流速和船速（靜水速）不變的特點考慮相等關系．
例1.
甲、乙兩站相距480公里，一列慢車從甲站開出，每小時行90公里，一列快車從乙站開出，每小時行140公里。
　　（1）慢車先開出1小時，快車再開。兩車相向而行。問快車開出多少小時后兩車相遇？
　　（2）兩車同時開出，相背而行多少小時后兩車相距600公里？
　　（3）兩車同時開出，慢車在快車后面同向而行，多少小時后快車與慢車相距600公里？
　　（4）兩車同時開出同向而行，快車在慢車的后面，多少小時后快車追上慢車？
　　（5）慢車開出1小時后兩車同向而行，快車在慢車后面，快車開出后多少小時追上慢車？
　　此題關鍵是要理解清楚相向、相背、同向等的含義，弄清行駛過程。故可結合圖形分析。
（1）分析：相遇問題，畫圖表示為：
等量關系是：慢車走的路程+快車走的路程=480公里。　　
解：設快車開出x小時后兩車相遇，由題意得，140x+90（x+1）=480
　　
解這個方程，230x=390
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答：快車開出
( http: / / www.21cnjy.com )小時兩車相遇
分析：相背而行，畫圖表示為：　　
等量關系是：兩車所走的路程和+480公里=600公里。
　　解：設x小時后兩車相距600公里，
由題意得，（140+90）x+480=600解這個方程，230x=120
　　∴
x=
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　　答：
( http: / / www.21cnjy.com )小時后兩車相距600公里。
　　（3）分析：等量關系為：快車所走路程－慢車所走路程+480公里=600公里。
　　解：設x小時后兩車相距600公里，由題意得，（140－90）x+480=600　　
50x=120　　∴
x=2.4
　　答：2.4小時后兩車相距600公里。
分析：追及問題，畫圖表示為：
等量關系為：快車的路程=慢車走的路程+480公里。
　　
解：設x小時后快車追上慢車。
由題意得，140x=90x+480
　解這個方程，50x=480
　∴
x=9.6
答：9.6小時后快車追上慢車。
分析：追及問題，等量關系為：快車的路程=慢車走的路程+480公里。
解：設快車開出x小時后追上慢車。由題意得，140x=90(x+1)+480　
50x=570　∴
x=11.4
　　
答：快車開出11.4小時后追上慢車。
例2.
甲乙兩人在同一道路上從相距5
( http: / / www.21cnjy.com )千米的A、B兩地同向而行，甲的速度為5千米/小時，乙的速度為3千米/小時，甲帶著一只狗，當甲追乙時，狗先追上乙，再返回遇上甲，再返回追上乙，依次反復，直至甲追上乙為止，已知狗的速度為15千米/小時，求此過程中，狗跑的總路程是多少？
[分析]]追擊問題，不能
( http: / / www.21cnjy.com )直接求出狗的總路程，但間接的問題轉化成甲乙兩人的追擊問題。狗跑的總路程=它的速度×時間，而它用的總時間就是甲追上乙的時間
解：設甲用X小時追上乙，根據題意列方程
5X=3X+5
解得X=2.5，狗的總路程：15×2.5=37.5
答：狗的總路程是37.5千米。
例3.
某船從A地順流而下到達B地，然
( http: / / www.21cnjy.com )后逆流返回，到達A、B兩地之間的C地，一共航行了7小時，已知此船在靜水中的速度為8千米/時，水流速度為2千米/時。A、C兩地之間的路程為10千米，求A、B兩地之間的路程。
[分析]這屬于行船問題，這類問題中要弄清：
（1）順水速度=船在靜水中的速度+水流速度；
（2）逆水速度=船在靜水中的速度－水流速度。相等關系為：順流航行的時間+逆流航行的時間=7小時。
　　解：設A、B兩碼頭之間的航程為x千米，則B、C間的航程為（x-10）千米，
　　由題意得，
( http: / / www.21cnjy.com )
答：A、B兩地之間的路程為32.5千米。
28．有一火車以每分鐘600
( http: / / www.21cnjy.com )米的速度要過完第一、第二兩座鐵橋，過第二鐵橋比過第一鐵橋需多5秒，又知第二鐵橋的長度比第一鐵橋長度的2倍短50米，試求各鐵橋的長．
解：設第一鐵橋的長為x米，那么第二鐵橋的長為（2x-50）米，過完第一鐵橋所需的時間為
( http: / / www.21cnjy.com )分．過完第二鐵橋所需的時間為
( http: / / www.21cnjy.com )分．依題意，可列出方程
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )
解方程x+50=2x-50
得x=100
∴2x-50=2×100-50=150
答：第一鐵橋長100米，第二鐵橋長150米．
29．已知甲、乙兩地相距
( http: / / www.21cnjy.com )120千米，乙的速度比甲每小時快1千米，甲先從A地出發2小時后，乙從B地出發，與甲相向而行經過10小時后相遇，求甲乙的速度？
設甲的速度為
( http: / / www.21cnjy.com )千米/小時，依題意得，
( http: / / www.21cnjy.com )
30．一隊學生去軍事訓練
( http: / / www.21cnjy.com )，走到半路，隊長有事要從隊頭通知到隊尾，通訊員以18米/分的速度從隊頭至隊尾又返回，已知隊伍的行進速度為14米/分。問：若已知隊長320米，則通訊員幾分鐘返回？若已知通訊員用了25分鐘，則隊長為多少米？
（1）
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（2）
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
31．一架飛機在兩個城市之間飛行，風速為24千米/小時，順風飛行需要2小時50分，逆風飛行需要3小時，求兩個城市之間的飛行路程？
設兩個城市之間的飛行路程為
32．一輪船在甲、乙兩碼頭之間航行，順水航行需要4小時，逆水航行需要5小時，水流的速度為2千米/時，求甲、乙兩碼頭之間的距離。
知能點7：數字問題
（1）要搞清楚數的表示方法：一個三位數的百位
( http: / / www.21cnjy.com )數字為a，十位數字是b，個位數字為c（其中a、b、c均為整數，且1≤a≤9，
0≤b≤9，
0≤c≤9）則這個三位數表示為：100a+10b+c。然后抓住數字間或新數、原數之間的關系找等量關系列方程．
（2）數字問題中一些表示：兩個連續整數
( http: / / www.21cnjy.com )之間的關系，較大的比較小的大1；偶數用2n表示，連續的偶數用2n+2或2n—2表示；奇數用2n+1或2n—1表示。
例1．一個三位數，三個數位上的數字之和是17，百位上的數比十位上的數大7，個位上的數是十位上的數的3倍，求這個三位數
[分析]由已知條件給出了百位和個位上的數的關
( http: / / www.21cnjy.com )系，若設十位上的數為x，則百位上的數為X+7，個位上的數是3X，等量關系為三個數位上的數字和為17。
解：設這個三位數十位上的數為X，則百位上的數為X+7，個位上的數是3X
X+X+7+3X=17
X+7=9，3X=6
解得X=2
答：這個三位數是926
例2.
一個兩位數，個位上的數是十位上的數的2倍，如果把十位與個位上的數對調，那么所得的兩位數比原兩位數大36，求原來的兩位數
等量關系：原兩位數+36=對調后新兩位數
解：設十位上的數字X，則個位上的數是2X，
10×2X+X=（10X+2X）+36解得X=4，2X=8，答：原來的兩位數是48。
33．一個兩位數，十位數與個位上的數字之和為11，如果把十位上的數字與個位上的數字對調，那么得到的數比原來的數大63，求原來的兩位數？
設個位數字為
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注意：雖然我們分了幾種類型
( http: / / www.21cnjy.com )對應用題進行了研究，但實際生活中的問題是千變萬化的，遠不止這幾類問題。因此我們要想學好列方程解應用題，就要學會觀察事物，關心日常生產生活中的各種問題，如市場經濟問題等等，要會具體情況具體分析，靈活運用所學知識，認真審題，適當設元，尋找等量關系，從而列出方程，解出方程，使問題得解。怎樣靈活應用方程的解解題？
難易度：★★★★
關鍵詞：方程
答案：
方程的解是指能使方程兩邊相等的未知數的值。
【舉一反三】
典例：下列方程中以x=5
為解的是(　　)
A.-2x=4
B.-2x-1=-3
C.-
x-1=-3
D.-
x+1=-4
思路導引：一般來講，解決本題要如
( http: / / www.21cnjy.com )果將四個選項中的方程一一求解，當然可以解決問題，但是這樣做效率太低.根據方程的解的意義，可將x=5代入四個選項中進行驗證.只有D選項的方程左右兩邊的值是相等的.
標準答案：D列方程兩大題型解密
一、分段討論型
分段型一元一次方程的應用是指同一個未
( http: / / www.21cnjy.com )知量在不同的范圍內的限制條件不同的一類應用題.所以在解決這類問題的時候，先要確定所給的數據所處的分段，然后要根據它的分段合理地解決.
例1
甲、乙兩班學生到集市上購買蘋果，蘋果的價格如下:
購買蘋果數
不超過30千克
30千克以上但不超過50千克
50千克以上
每千克價格
3元
2.5元
2元
甲班分兩次共購買蘋果70千克（第二次多于第一次），共付出189元，乙班則一次購買蘋果70千克.
（1）乙班比甲班少付出多少元
（2）甲班第一次、第二次分別購買蘋果多少千克
分析：（1）由于乙班一次購買蘋果70
( http: / / www.21cnjy.com )千克，則價格一定是2元/千克，從而求得乙購買70千克蘋果的金額，于是即可求得乙班比甲班少付出的金額.（2）要求甲班第一次、第二次分別購買蘋果的千克數，由表中提供的信息，則需要分段討論：兩次都是30千克以上但不超過50千克；第一次不超過30千克，第二次30千克以上但不超過50千克；第一次不超過30千克，第二次50千克以上.
解：（1）因為乙班一次購買蘋果7
( http: / / www.21cnjy.com )0千克，所以價格一定是2元/千克，即共付金額70×2＝140元，而189－140＝40（元），所以乙班比甲班少付出49元.
（2）設第一次購買x千克.下面分三段討論：
若兩次都是30千克以上但不超過50千克，則根據題意，得2.5x+2.5（70－x）＝189，顯然方程無解；
第一次不超過30千克，第二次30千克以上但不超過50千克，則根據題意，得3x+2.5（70－x）＝189，解得x＝28，則70－x＝42.
第一次不超過30千克，第二次50千克以上，則根據題意，得3x+2（70－x）＝189，解得x＝49＞30，不符實際.
所以第一次28千克，第二次42千克.
二、方案設計型
方案型問題比較綜合，要求思維能力強.這類問題一般給出幾種可行方案，通過對比做出選擇，或者通過分析給出可行方案.
例2　某牛奶廠現有鮮奶9噸，若在市場
( http: / / www.21cnjy.com )上直接銷售鮮奶，每噸可獲取利潤500元；制成酸奶銷售，每噸可獲取利潤1200元；制成奶片銷售，每噸可獲取利潤2000元.該工廠的生產能力是如果制成酸奶，每天可加工3噸；制成奶片，每天可加工1噸，受人員限制，兩種加工方式不可同時進行；受氣溫限制，這批牛奶必須4天內全部銷售或加工完畢.為此該廠設計了兩種方案：方案一：盡可能地制成奶片，其余的直接銷售鮮奶；方案二：將一部分制成奶片，其余的制成酸奶銷售，并恰好4天完成，你認為選擇哪種方案獲利最多
　　分析：要確定哪種方案，若能計算
( http: / / www.21cnjy.com )出每一種方案的金額，再通過比較即可作出正確地選擇.而事實上，方案一則很容易求出其金額的多少，對于方案二，可引進未知數，列出一元一次方程即可求解.
解：方案一：4×2000+（9－4）×500＝10500元；
方案二：設有x噸制成奶片，則根據題意，得x+
( http: / / www.21cnjy.com )＝4，解得x＝1.5.
所以1.5×2000+（9－1.5）×1200＝12000元.此時10500＜12000，所以應選擇方案二.怎樣列一元一次方程解決代數式的值想相等問題？
難易度：★★★
關鍵詞：方程
答案：
根據兩代數式的值相等，可以得到一個等式（方程），解決此類問題的關鍵，可把問題轉化為一元一次方程的知識解決。
【舉一反三】
典例：當x
=
________時,代數式
( http: / / www.21cnjy.com )與
( http: / / www.21cnjy.com )的值相等
思路導引：一般來講，解決本題要明確兩代數式的值相等，是解決此類問題的關鍵，依題意得：
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )，把問題轉化為一元一次方程的知識解決。
標準答案：x=-1一元一次方程應用題解題方法論初探
方程的應用問題的教學可以說貫穿了整個小
( http: / / www.21cnjy.com )學高年級學段和初中學段，在學生的數學學習活動中占有相當重要的地位（整個初中段方程及其應用題的教學學時為41學時，約占整個初中數學學時的11.5％），而一元一次方程應用題的教學，又是所有方程應用題教學中最基礎的起始部分，因此，這一部分內容的教學成功，對后續包括二元一次方程組的應用、一元二次方程的應用的教學有著至關重要的作用。但由于初中一年級這一階段學生的機械記憶力較強，分析能力卻相對仍然較弱，因此，要提高初一年級數學應用題教學效果，除了要逐步提高學生的數學分析能力，及時地給學生以解題方法論的指導，也是每一位數學教師必須考慮和認真探索的問題。
顯然，列方程解應用題的關鍵在于由題目中隱含的等量關系列出相應的方程。筆者通過多年的教學實踐，認為初中數學應用題的教學基本可有如下幾種方法：
一、直列法。即由題中的“和”、“少”、“倍”等表示數量關系的字眼，直接列出相關的方程。
例1
在甲處勞動的有27人，在乙處勞動的有19人，現在另調20人去支援，使在甲處人數為在乙處的人數的2倍，應調往甲、乙兩處各多少人？
分析：顯然，人員調動完成后，甲處人數＝2×乙處人數。
解：設調x人到甲處，則調（20-x）人到乙處，由題意得：
27+x=2(19+20-x)，
解之得x＝17
∴20-x＝20－17＝3（人）
答：應調往甲處17人，乙處3人。
二、公式法。學生熟識的公式諸如“路
( http: / / www.21cnjy.com )程＝速度×時間”、“工作總量＝工作效率×工作時間”、“利潤＝售價－進價”、“利潤率＝利潤/進價”等都是解答相關方程應用題的工具。
例2
商品進價1800元，原價2250元，要求以利潤率不低于5%的售價打折出售，則此商品最低可打幾折出售？
分析：根據利潤率公式，列出方程即可。
解：設最低可打x折。據題意有：
5%=（2250x-1800）/1800，
解之得x＝0.84
答：最低可打8.4折。
三、總分法。即根據總量等于各分量之和來列出方程，用此法要注意分量不可有所遺漏。
例3
“過路的人！這兒埋葬著丟番
( http: / / www.21cnjy.com )圖。請計算下列題目，便可知他一生經過了多少寒暑。他一生的六分之一是幸福的童年，十二分之一是無憂無慮的少年。再過去七分之一的年程，他建立了幸福的家庭。五年后兒子出生，不料兒子竟先其父四年而終，只活到父親歲數的一半。晚年喪子老人真可憐，悲痛之中度過了風燭殘年。請你算一算，丟番圖活到多大，才和死神見面？”
分析：本題即是著名的丟番圖的“墓志銘”，題中巧妙地把丟番圖的總年齡劃分為了幾個部分，解題時只需運用其總年齡＝各部分年齡的和即可得出解答。
解：設丟番圖活了x年。據題意可得：
x=x/6+x/12+x/7+5+x/2+4
解之得x＝84
答：丟番圖共活了84歲。
由此題的解答，我們還可知道古希臘的這位大數學家丟番圖33歲結婚，38歲得子，80歲死了兒子，兒子活了42歲等。
四、同一法。這類題目的解題原理是：如果同一個量能用兩個不同的代數式表達，則這兩個代數式必然相等。
例4
一隊學生從學校出發去部隊軍
( http: / / www.21cnjy.com )訓，行進速度是5千米/時，走了4.5千米時，一名通訊員按原路返回學校報信，然后他隨即追趕隊伍，通訊員的速度是14千米/時，他在距離部隊6千米處追上隊伍，問學校到部隊的距離是多少？（報信時間忽略不計）
分析：該題的解答關鍵在于，通訊員從返回學校到追上隊伍所用時間與隊伍走了4.5千米到距離部隊6千米這段路程所用時間是相等的（同一段時間）。
解：設學校到部隊的距離是x千米。據題意得：
(x-4.5-6)/5=(x+4.5-6)/14，
解之得：x＝15.5
答：學校到部隊的距離是15.5千米。
當然，以上四種方法不是孤
( http: / / www.21cnjy.com )立使用的，如例4的解答必然要用到公式：“路程＝速度×時間”。并且一個題目的解法往往也不是唯一的，如例1的解答也可以用總分法：
解：設人員分配后乙處人數為x人，甲處為2x人。分配后的總人數為27+19+20＝66人，據題意有：
x+2x＝27+19+20，
解之得x＝22，
∴2x＝44，故44－27＝17（人），22－19＝39（人）
答：應調往甲處17人，乙處3人。
可見，方程應用題方法論的訓練，不僅
( http: / / www.21cnjy.com )使大多數學生在解答相關問題時能“按圖索驥”，而且對于培養學生思維的發散性和多元性也有著重要意義，使一題多解成為可能。從統計圖獲取信息列方程
例1．（2008年濱州市）四川汶川大地
( http: / / www.21cnjy.com )震牽動了三百多萬濱州人民的心，全市廣大中學生紛紛伸出了援助之手，為抗震救災踴躍捐款．濱州市振興中學某班的學生對本校學生自愿捐款活動進行抽樣調查，得到了一組學生捐款情況的數據．下圖1是根據這組數據繪制的統計圖，圖中從左到右各長方形的高度之比為3：4：5：8：6，又知此次調查中捐款25元和30元的學生一共42人．
（1）他們一共調查了多少人？
（2）這組數據的眾數、中位數各是多少？
（3）若該校共有1560名學生，估計全校學生捐款
多少元？
分析：由于左到右各長方形的高度之比為3：4：5：
8：6，所以左到右可以設為3x，4x，5x，8x，6x，
又由于此次調查中捐款25元和30元的學生一共42人，
可以列出一元一次方程，問題就可以解決了．
解：（1）設捐款30元的有6
x人，則8
( http: / / www.21cnjy.com )
x
+6x=42，得x=3．則捐款人數共有3
x+4
x+5
x+8
x+6
x=78（人）．
（2）由統計圖
( http: / / www.21cnjy.com )可知：眾數為25（元）；由于本組數據的個數為78，按大小順序排列處于中間位置的兩個數都是25（元），故中位數為25（元）．
（3）全校共捐款：
（9×10＋12×15＋15×20＋24×25＋18×30）×
( http: / / www.21cnjy.com )=34200（元）．
評注：本題就是通過條形統計
( http: / / www.21cnjy.com )圖，根據左到右各長方形的高度的比可以列出方程解決問題，它既考查對統計圖的理解又考查了列方程解決實際問題的能力，真是一舉兩得．
例2．（2008年嘉興市）某學校組織教師為汶川地震救災捐款，分6個工會小組進行統計，其中第6工會小組尚未統計在內，如圖2：
（1）求前5個工會小組捐款金額的眾數、中位數和平均數；
（2）若全部6個小組的捐款平均數為2750元，求第6小組的捐款金額，并補全統計圖．
分析：先由圖中捐款金額為2
( http: / / www.21cnjy.com )500元的有兩個組，出現次數最多，所以眾數是2500元，將數據排序為：200，2500，2500，3000，3500，故中位數也為2500元，然后全部6個小組的捐款平均數為2750元，列出方程即可解決問題．
解：由題意得：
（1）眾數是2500元、中位數是2500元、平均數是2700元；
（2）設第6小組的捐款金額為
( http: / / www.21cnjy.com )元，則
( http: / / www.21cnjy.com )，解得
( http: / / www.21cnjy.com )．
( http: / / www.21cnjy.com )第6小組的捐款金額為3000元．
如圖
評注：本題與生活緊密相連又是生活熱點問題，既
( http: / / www.21cnjy.com )可以讓學生體會數學與生活的密切聯系，又能對學生進行愛國主義教育，是培養學生情感、態度與價值觀的類好題，值得研究與推廣，也是新課程標準所倡導的！
圖1
圖2巧
求
邊
長
妙
填
數
下面幾個益智題集知識性、
( http: / / www.21cnjy.com )趣味性于一體,讀完題后你會想到用一元一次方程模型作為解題的突破口嗎 不看析解請你試一試,從中體會一元一次方程作為解決問題的有力工具的作用,同時啟迪思維,提高能力.
例1.右圖是由六個正方形拼成的長方形,已知中間的小正方形的邊長為1,試求長方形的面積.
析解:給六個正方形分別標上1、2、3、4、5、6，
設正方形2的邊長為,則正方形3的邊長也為,
正方形4的邊長為（+1）,正方形5的邊長為（+2）,
正方形6的邊長為（+3）.
根據長方形的對邊相等,可得方程:
++（+1）=（+2）+（+3），解得=4.
從而得到長方形的長為3+1=13，寬為2+3=11，
所以長方形的面積為13×11=143.
例2
右圖是由9個等邊三角形拼成的六邊形,若已知中間的小等邊三角形的邊長為,則六邊形的周長是
析解:給9個等邊三角形分別標上1、2、3、4、5、6、7、8、9,
設等邊三角形2的邊長為,則等邊三角形3、4的邊長也為,
等邊三角形5、6的邊長為（+）,等邊三角形7、8的邊長
為（+2）,等邊三角形9的邊長為（+3）,
從圖中可以看出,等邊三角形9的邊長等于等邊三角形2、4的邊長之和,
可得方程：+3=2，解得=3.
所以六邊形的周長為:
++（+）+（+）+（+2）+（+2）+（+3）=7+9=7×3+9=30.
例3
將-1～-8以及1～8這16個整數填入的正方形表格中,使得每行、
每列、每條對角線上四個數字之和都相等,如右圖所示,恰有8個標有序號的小方
格中填的數被一個頑皮的小朋友擦掉了,請你將這擦掉的8個數設法恢復出來.
析解:設所填表中每行、每列、每條對角線四數之和為S,
則,得S=0.
即所填表中每行、每列、每條對角線四數之和為0.
設序號為①的方格中的數為,則序號為②的方格中的數為;序號
為③的方格中的數為;序號為④的方格中的數為;序號為⑤的
方格中的數為;序號為⑥的方格中的數為;序號為⑦的方格中的
數為;序號為⑧的方格中的數為;如右圖所示
由對角線①、⑦、⑤、③四數相加為0,得
得到
于是可以依次算出被擦掉的各數,恢復后如圖所示.
例4
在右圖中有9個方格,要求在每個方格內填入不同的數,使得每行、每列、
每條對角線上的三個數字之和都相等,試問:圖中左上角的數是多少？
析解:雖然要求的只是左上角的數,但是題目中的條件還與其它的數有關,
因此需恰當地增設不同的字母來表示數,以便充分運用已知條件.
如圖,設相應方格中的數分別為,,和,問號處填入的數為,
由已知條件得：
由前兩個式子之和等于后兩個式子之和,得到
所以
解得
，即圖中左上角的數為16.用方程解決最優選擇問題
　　1、某地生產的一種綠色蔬菜，在
( http: / / www.21cnjy.com )市場上直接銷售，每噸利潤為1000元，經粗加工后銷售，每噸利潤可達4500元，經精加工后銷售，每噸利潤漲至7500元。當地一家公司收購這種蔬菜140噸，該公司加工的生產能力是：如果對蔬菜進行粗加工，每天可加工16噸；如果進行精加工，每天可加工6噸，但兩種加工方式不能同時進行，受季節等條件限制，公司必須用15天的時間將這批蔬菜全部銷售或加工完畢。為此，公司研制了三種可行方案：
方案一：將蔬菜全部進行粗加工；
方案二：盡可能多的對蔬菜進行精加工，沒有來得及進行加工的蔬菜在市場上直接銷售；
方案三：將一部分蔬菜進行粗加工，其余蔬菜進行精加工，并恰好用15天完成。
你認為選擇哪一種方案獲利最多？為什么？
解：方案一：4500×140＝630000（元）
方案二：90×7500＋50×1000＝725000（元）
方案三：設15天內，精加工蔬菜x噸。
答：選擇方案三獲利最多。
　　2、某中學新建了一棟4層的教學大樓，每層
( http: / / www.21cnjy.com )樓有8間教室，進出這棟大樓共有4扇門，其中兩扇正門大小相同，兩扇側門大小也相同，安全檢查中，對4扇門進行測試，當同時開啟一扇正門和兩扇側門時，2分鐘內可以通過560名學生；當同時開啟一扇正門和一扇側門時，4分鐘內可以通過800名學生。
（1）求平均每分鐘一扇正門和一扇側門可以通過多少名學生？
（2）檢查中發現，緊急情況時因學生
( http: / / www.21cnjy.com )擁擠，出門的效率將降低20%，安全檢查規定，在緊急情況下全大樓的學生應在5分鐘內通過4扇門安全撤離。假設這棟教學大樓每間教室最多有45名學生，問：建造的這4扇門是否符合安全規定？請說明理由。
解：（1）設平均每分鐘一扇正門能通過x名學生，則平均每扇側門每分鐘可通過（800÷4－x)名學生
2[x+2(200-x)]=560x=120
200-x=80
答：一扇正門平均每分鐘可通過120名學生，一扇側門平均每分鐘可通過80名學生
（2）學生最多為4×8×45＝1440（人）
4扇門同時開啟1分鐘可通過的學生人數為：200×2＝400
5分鐘可通過的學生人數是：400×5＝2000（人）
因出門率的降低實際通過的人數是：2000×80%＝1600（人）
∵1600＞1440
∴建造的這四扇門符合安全規定。
　
3、某同學在A、B兩家超市發現
( http: / / www.21cnjy.com )他看中的隨身聽的單價相同，書包的單價也相同，隨身聽與書包單價之和是452元，且隨身聽的單價比書包單價的4倍少8元。
（1）求該同學看中的隨身聽和書包的單價各是多少
（2）某一天該同學上街，恰好
( http: / / www.21cnjy.com )趕上商家促銷，超市A所有商品打八折銷售，超市B全場購物滿100元返購物券30元（不足100元不返券，購物券全場通用），但他只帶了400元錢。如果他只在一家超市購買看中的兩樣物品，你能告訴他可以選擇哪一家購買？若兩家都可以選擇，在哪一家購買更省錢？
解：（1）設書包的單價是x元，則隨身聽的單價是（4x-8)元
　　　　　　4x-8+x=452
x=92
4x-8=360
（2）A超市：購買隨身聽與書包各一件需花費現金：452×80%＝361.6（元）
∵361.6＜400　∴可以選擇超市A購買
B超市：先用360元購買隨身聽，可得到90元返券，加上2元現金購買書包，總計共花費現金：360＋2＝362（元）
∵362＜400　　∴也可以選擇在超市B購買
又∵362＞361.6　∴在超市A購買更省錢。
思考題：學校建花壇余下24米漂亮的小圍欄，某班同學準備在自己教室前的空地上，一面靠墻，三面利用這些圍欄，建一個長方形的小花圃。
（1）請你設計一下，若長比寬多3m，求花圃的面積。
（2）請你再設計一下，改變長與寬，擴大花圃的面積，看看誰設計的花圃面積最大。
解：（1）當長靠墻，設寬為x米，則長為（x+3)米
　　　x+3+2x=24
x=7
面積為：7×10＝70平方米
當寬靠墻，設寬為y米，則y+2(y+3)=24
y=6
面積為：6×9＝54平方米
（2）欲使面積最大，若設
( http: / / www.21cnjy.com )寬為z米，則面積為z(24-2z),其值應最大，可進行討論：當Z＝1,2，3,4，5,6，……，尋找規律，得z=6時，面積最大。盤點“設未知數”的方法
設未知數是列方程解應用題的重要一環，根據實際應用題的特征，靈活設出未知數，可使解題過程簡單快捷.就設未知數的幾種方法總結如下.
一、直接設未知數
當題目中的關系能明顯表示出所求的未知量時，可采用直接設法.即求什么設什么.
例1.一商店將每臺彩電先
( http: / / www.21cnjy.com )按進價提高40%標出售價，然后在廣告中宣傳將以八折的優惠價出售，結果每臺賺了300元，那么每臺彩電的進價是多少元？
【分析】：本題的等量關系明確，且各等量都與所求的量有直接的關系，可直接設所求的量為未知數求解.
解：設每臺彩電的進價為
( http: / / www.21cnjy.com )元.根據題意，得
( http: / / www.21cnjy.com ),
解得
( http: / / www.21cnjy.com ).所以每臺彩電的進價為2500元.
二、間接設未知數
當直接設未知數列方程較困難時，可采用間接未知數的方法.即所設的不是所求的.
例2.據調查，某地服裝經銷
( http: / / www.21cnjy.com )商在經銷服裝時，只要高出進價的20%就能盈利.
但是，實際上，服裝經銷商對服裝的標價，一般要高出進價的50%~100%．
若一件衣服標價210元，你要買這件衣服應該在什么范圍內還價比較合理？
【分析】初看此題覺得要用已學的知識來解
( http: / / www.21cnjy.com )決好象有點不可能，也不知如可下手，其實本題中涉及到數學問題仍是一元一次方程．在這個問題中，我們關鍵是要弄清楚這件服裝的進價是多少，然后提高20%，就是買賣雙方都能認可的價位了．而我們知道，在進價與標價之間存在著一個加價的環節，經銷商就是在加價中獲得利潤．
它們之間存在如下關系式：進價
+
加價
=
標價.由于經銷商盈利的標準（高出進價的20%）是固定的，所以問題的關鍵就在于進價是多少．
解:設這件服裝的進價為
( http: / / www.21cnjy.com )元．
下面我們分兩種情況來看：
（1）由于這210元的標價最低高出進價的50%，此時的標價即為進價x元加上它50%，
所以有：
( http: / / www.21cnjy.com )
+
50%
( http: / / www.21cnjy.com )=210.解得:
( http: / / www.21cnjy.com )=
140．這說明，這件服裝的最高進價為140元
．
（2）由于這210元的標價最高高出進價的100%，此時的標價即為進價
( http: / / www.21cnjy.com )元加上它的100%，所以有：
( http: / / www.21cnjy.com )
+
100%
( http: / / www.21cnjy.com )
=
210.解得:
( http: / / www.21cnjy.com )．
這說明，這件服裝的最低進價為105元．
可見，這件服裝的進價為105元~140元．至此我們求到了衣服的進價范圍，
為此，我們將兩個進價都提高20%，可得價
( http: / / www.21cnjy.com )位為105×（1+20%）~
140×（1+20%），即126元~168元．因此，這件標價為210元的服裝的還價范圍應在126元~168元之間，比較合理．
在解決以上問題的過程中，我們沒有直接求還價的范圍，而是把與之密切相關的進價設為未知數x，采用了“間接設元”的方法，巧妙地解決了問題．
三、設輔助未知數
有些較復雜的應用題，初看起來
( http: / / www.21cnjy.com )好像缺少條件，這時不妨引入輔助未知數，在已知條件與所求答案之間架起一座“橋梁”，以便理順各個量之間的關系，列出方程.
例3.兩根同樣長的蠟燭，點完一根粗蠟燭要2小
( http: / / www.21cnjy.com )時，而點完一根細蠟燭要1小時.一天晚上停電，明明同時點燃了這兩支蠟燭看書，若干分鐘后來電了，明明將兩支蠟燭同時熄滅，發現粗蠟燭的長是細蠟燭的2倍，問：停電多少分鐘？
【分析】本題中的等量關系式是:同樣長的兩根蠟燭點燃了同樣的時間后,所剩下的粗蠟燭的長是細蠟燭長的2倍.而兩根同樣長的蠟燭原長不知道,
為使問題易于列方程解決，可以設輔助未知數
( http: / / www.21cnjy.com )為蠟燭的原長.
解:設蠟燭的原長為
( http: / / www.21cnjy.com ),停電的時間是
( http: / / www.21cnjy.com )小時.根據題意,得
( http: / / www.21cnjy.com ),
解得:
( http: / / www.21cnjy.com ).
( http: / / www.21cnjy.com )小時=40分鐘.
答:
停電時間是40分鐘.
四、設整體為未知數
所謂整體設元，就是將問題中的一部分看作一個整體，并設為未知數的一種易于解題的設未知數的方法.
例4
一個六位數，后三位數是857，將這個六位數乘以6后，所得的數恰好是前三位數與后三位數互換位置.求原六位數.
【分析】：本題不易直接設出這個六位數求解.為了解決問題的方便，可設六位數前三位數為
( http: / / www.21cnjy.com )，這樣可以表示出整個六位數.
解：設前三位數為
( http: / / www.21cnjy.com )，則原六位數可表示為1000
( http: / / www.21cnjy.com )+857，根據題意，得
6（1000
( http: / / www.21cnjy.com )+857）=857×1000+
( http: / / www.21cnjy.com ),解得
( http: / / www.21cnjy.com )=142.
所以原六位數為1000×142+857=142857.
練一練：
1.一家商店將某種運動服按進價提
( http: / / www.21cnjy.com )高40%后標價，又以8折（即按標價的80%）優惠賣出，結果每件運動服仍可獲利15元，這種運動服每件的進價是多少元？
2.某音樂廳六月初決定在暑假期間舉辦“感動中國”學生專題音樂會，入場卷分為團體票和零售票，其中團體票占總票數的
( http: / / www.21cnjy.com )，若提前購票，則給予不同程度的優惠.已知六月份內團體票每張20元，共售出團體票數的
( http: / / www.21cnjy.com )，零售票每張24元，共售出零售票數的
( http: / / www.21cnjy.com );如果在七月份內，團體票按每張25元售出，并計劃在七月份內售出全部余票，那么零售票應按每張多少元定價才能使這兩個月的票款總收入相等？
3.甲、乙同學從400米環形跑道上的
( http: / / www.21cnjy.com )某一點背向出發，分別以2米/秒、3米/秒的速度慢跑，6秒鐘后，一只小狗從甲處出發以6米/秒的速度向乙跑，遇到乙后，又從乙處以6米/秒的速度向甲跑，如此往返直到甲、乙第一次相遇，那么小狗共跑了多少米？
4.有這樣四個有理數，它們其中每三個數之和分別是22、27、24、20，你知道這四個有理數分別是什么嗎？
參考答案:
1.解：設這種運動服每件的進價為
( http: / / www.21cnjy.com )元.根據題意，得(x+x·40%)·80%-x=15,解得x=125.
所以該運動服每件進價為125元.
2.解：設總票數為a張，七月份零售票按每張x元定價.
則六月份：團體票售出
( http: / / www.21cnjy.com )(張)，票款收入為20×
( http: / / www.21cnjy.com )(元)。
零售票售出
( http: / / www.21cnjy.com )(張)，票款收入24×
( http: / / www.21cnjy.com )(元).
七月份:團體票的票數
( http: / / www.21cnjy.com )(張),可收入25×
( http: / / www.21cnjy.com )(元),
零售票數
( http: / / www.21cnjy.com )(張),可收入
( http: / / www.21cnjy.com )(元),
根據題意,得8a+4a=
( http: / / www.21cnjy.com ),解得x=32.即七月份的零售票應按每張32元定價.
3.解：設甲、乙第一次相遇的時間為
( http: / / www.21cnjy.com )秒，由題意，得
2
( http: / / www.21cnjy.com )+3
( http: / / www.21cnjy.com )=400，解得x=80，所以小狗跑的總時間為80-6=74（秒），
所小狗跑的總路程為6×74=444（米）.
4.
解：設這四個有理數之和為
( http: / / www.21cnjy.com )，則這四個有理數分別是
( http: / / www.21cnjy.com )、
( http: / / www.21cnjy.com )、
( http: / / www.21cnjy.com )、
( http: / / www.21cnjy.com ).
由題意知
( http: / / www.21cnjy.com )，解得
( http: / / www.21cnjy.com ).
所以這四個有理數分別是9、4、7、11.列方程解應用題“交響曲”
列方程解決實際問題是初中數學的重點和難點.為了學好這部分知識，就請同學們一起演奏好列一元一次方程解決實際問題的交響曲吧！
第一樂章：基本思想
列方程解決實際問題的基本思想,是
( http: / / www.21cnjy.com )將實際問題抽象為方程這一數學模型，即把實際問題中的數量關系用方程形式表示出來，通過解方程，將未知轉化為已知，其關鍵是將已知量與未知量聯系起來，從實際情景中找出等量關系.
第二樂章：一般步驟
列方程解決實際問題的一般步驟：
(1)審:即弄清題意,明確已知量、未知量及其數量關系.
(2)設:即設未知數.
(3)找:找出能包含應用題全部含義的等量關系.
(4)列:根據上述等量關系列出需要的代數式,從而列出方程.
(5)解:解所列方程,求出未知數的值.
(6)驗與答:檢驗未知數的值是否符合題意,然后寫出答案.
第三樂章：設元技巧
1.直接設法：題目問什么，就設什么，它一般適用于要求的未知量只有一個的情況.
2.間接設法：當直接設元列方程較繁或較困難時，可選取一個與所求的未知量密切相關的量為未知數，再通過這個未知數求出題目中要求的量.
3.輔助設法：當題中的數量關系較復雜或
( http: / / www.21cnjy.com )已知條件較少時，為了分析更方便,列方程更容易,在設出所求的未知數的同時，還增設輔助未知數,解方程時不必求出，可在解題時自動消去，即設而不求.
第四樂章：找等量關系
列方程解決實際問題的關鍵是正確找出等量關系，通常有下面幾種尋找途徑：
1.利用題中的不變量，得到等量關系.
2.利用基本數量關系或基本公式得到等量關系.如工程問題中的“工作量=工作效率×工作時間”，營銷問題中的“利潤=售價-進價”，梯形面積公式“S=
( http: / / www.21cnjy.com )“等，都是相應問題中的基本數量關系和基本公式.
3.從問題中的關鍵語句中得到等量關系.如“挖出的土及時運走”所反映的等量關系是“挖出的土量=運走的土量”，等等.
4.通過畫示意圖，直觀地反映出問題中的等量關系，容易列出方程求解
5.通過列出表格，把題中的已知量和未知量在一個表格中顯示出來，可以使較復雜的關系清晰、明朗，往往能較快地找出等量關系.
第五樂章：友情提示
1.在審題和尋找等量關系時，可在草紙上進行,書面格式中主要寫“設”“列”“解”“答”四個步驟的解題過程,
2.列方程時必須做到：(1)方程兩邊表示的是同類量；(2)同類量的單位要統一；(3)方程兩邊的數值要相等.
3.一般情況下,所給條件在列方程時不能重復使用,也不能漏掉.重復使用某一條件,會得到一個恒等式,無法求出問題的解.
4.不要生搬硬套例題的題型及解法，審題時
( http: / / www.21cnjy.com )要弄清題目中的“多”、“少”、“便宜”、“貴了”、
“增加了”、“增加到”等詞語的含義及常見的數量關系，做到具體問題具體分析.
5.注意檢驗.對于求得的方程的解,必須檢驗它是否符合實際意義或題意,再寫“答”，寫“答”時不要漏掉單位.一元一次方程基本題型與創新題型
★
基本題型
一、方程的解的定義
例1
已知2是關于
( http: / / www.21cnjy.com )的方程
( http: / / www.21cnjy.com )的解，則
( http: / / www.21cnjy.com )的值是
(
)
A．4
B．3
C．2
D．1
分析：根據方程解的定義，將方程的解代入方程可得關于字母系數
( http: / / www.21cnjy.com )的一元一次方程，從而可求出
( http: / / www.21cnjy.com )的值，然后將其代入求值式即可得到答案.
解：把
( http: / / www.21cnjy.com )代入方程，得
( http: / / www.21cnjy.com )，故
( http: / / www.21cnjy.com ).故
( http: / / www.21cnjy.com )，選C.
點評：已知條件中涉及到方程的解，把方程的解代入原方程，轉化為關于字母系數的方程進行求解.可把它叫做“有解就代入”.
二、一元一次方程的定義
例2
若關于
( http: / / www.21cnjy.com )的的方程
( http: / / www.21cnjy.com )是一元一次方程，求關于
( http: / / www.21cnjy.com )的方程
( http: / / www.21cnjy.com )的解.
分析：根據“一元一次方程”的定義可知，
( http: / / www.21cnjy.com )且
( http: / / www.21cnjy.com )，由此可求
( http: / / www.21cnjy.com )的值，然后將其代入
( http: / / www.21cnjy.com )中可解出
( http: / / www.21cnjy.com ).
解：由題意，得
( http: / / www.21cnjy.com )且
( http: / / www.21cnjy.com )，故
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，于是有
( http: / / www.21cnjy.com )，故
( http: / / www.21cnjy.com ).
點評：本題主要考查一元一次方程和解方程的定義.解這類問題時要抓住一元一次方程定義中的條件——只含有一個未知數且未知數的次數是1.
三、一元一次方程的基本變形及其解法
例3
解方程
( http: / / www.21cnjy.com ).
分析：本題可按解一元一次方程的一般步驟來解
( http: / / www.21cnjy.com ).去分母時要先找到各分母的最小公倍數，同時要注意不要漏乘不含分母的項，去括號時要注意括號里各項是否要變號等問題.
解：去分母，得
( http: / / www.21cnjy.com )，
去括號，得
( http: / / www.21cnjy.com )，
移項，合并同類項，得
( http: / / www.21cnjy.com )，
系數化為1，得
( http: / / www.21cnjy.com ).
點評：解一元一次方程一般要經
( http: / / www.21cnjy.com )歷五個步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數化為1.事實上，與一元一次方程有關的問題的解決最終幾乎都要落實在解一元一次方程上，所以能正確而熟練地解一元一次方程是學習本章最基本的要求.
例4
解方程
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com ).
分析：方程含有多層括號，各分母的最小公
( http: / / www.21cnjy.com )倍數又是個很大的數，用常規去分母或去括號的方法來解，都較為繁瑣，所以必須另辟蹊徑，才能巧妙求解.我們可采用從大到小逐層去括號的方法來解.
解：方程兩邊同乘以9，得
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )，
移項，合并，得
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )=1，
方程兩邊同乘以7，得
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )，
移項，合并，得
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )=1，
方程兩邊同乘以5，得
( http: / / www.21cnjy.com )=5，
移項，合并，得
( http: / / www.21cnjy.com )=1，故
( http: / / www.21cnjy.com )，故
( http: / / www.21cnjy.com ).
點評：本題的解法啟示我們：解一元一次方
( http: / / www.21cnjy.com )程時，其五個變形步驟未必都要用到，也未必要按照自上而下的順序進行，要根據方程的結構特征靈活安排解題步驟，這樣既能避繁就簡，化難為易，又能減少直至避免一些常見錯誤.
四、構造一元一次方程解決有關問題
例5
已知|
( http: / / www.21cnjy.com )|+
( http: / / www.21cnjy.com )，那么
( http: / / www.21cnjy.com )的值是________.
分析：因為絕對值和平方的結果都是非負數，而兩個非負數的和等于0，則每個非負數都應等于0，據此可構造兩個一元一次方程，求出
( http: / / www.21cnjy.com )后即可求
( http: / / www.21cnjy.com )的值.
解：由題意，得
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，故
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，故
( http: / / www.21cnjy.com )=2+(-5)
=-3.
點評：概念也是解題的重要依據之一.解決這類問題，關鍵是要掌握相關概念的含義.
★
創新題型
一、圖文信息型
例6
根據下圖給出的信息，可得到的正確的方程是
(
)
A．
( http: / / www.21cnjy.com )
B．
( http: / / www.21cnjy.com )
C．
( http: / / www.21cnjy.com )
D．
( http: / / www.21cnjy.com )
分析：這是一道圖表型信息題，所有的信
( http: / / www.21cnjy.com )息都以漫畫形式給出.要解答此題，首先要讀懂圖中兩個烏鴉的對話并從中找到相等關系.顯然相等關系是：兩個量筒中水的體積相等.故選A.
解：A.
點評：象這樣的圖表型信息題是近幾年中考的熱點之一，解這類問題的關鍵是認真觀察圖表，獲取有效信息，找到相等關系，然后建立方程進行求解.
二、新定義型
例7
( http: / / www.21cnjy.com )為有理數，先規定一種運算新的運算：
=
( http: / / www.21cnjy.com )，
那么
=18時，
( http: / / www.21cnjy.com )______.
分析：根據規定，符號“|
|”實質上表示的是一種積差運算——對角乘積的差，故由此可得到一個一元一次方程，進而可求
( http: / / www.21cnjy.com )的值.
解：由題意，得
10-4(1-
( http: / / www.21cnjy.com ))，即10-4(1-
( http: / / www.21cnjy.com ))=18，故
( http: / / www.21cnjy.com )3.
點評：本題通過定義一種新運算，巧妙地將解一
( http: / / www.21cnjy.com )元一次方程與新定義的運算結合在一
起，情景新穎，設計巧妙.解這類問題的關鍵是把陌生的符號轉化為熟悉的四則運算.
小烏鴉,你飛到裝有相同水量的小量筒,就可以喝到水了!
㎝
5㎝
6㎝
8㎝
老烏鴉,我喝不到大量筒中的水!
㎝
=棱柱有什么特點？
難易度：★★★
關鍵詞：立體圖形
答案：
棱柱中，相鄰兩個面的交線叫棱，相鄰兩個側面的交線叫側棱。棱柱中的所有的側棱長都相等。棱柱的上、下底面的形狀相同，側面的形狀都是平行四邊形。
【舉一反三】
典題：圖中為棱柱的是（
）。
思路導引：根據棱柱的特點進行判斷。
標準答案：
A是圓柱，B是三棱柱，C是三棱錐，D是臺體。選B。解方程應用題常用的數學思想
數學思想是數學中的“軟件”，若能正確把握它，并把它落實到學生學習和應用數學的思維活動中，就相當于找到了打開智慧之門的金鑰匙．
一、分類討論思想
當被研究的問題包含多種可能情況．不能一概而論時，必須按可能出現的所有情況分別來討論，得出各種情況下相應的結論．
例1
某公司現有甲、乙兩種品牌的打
( http: / / www.21cnjy.com )印機，其中甲品牌有A，B兩種型號，乙品牌有C，D，E三種型號．朝陽中學計劃從甲、乙兩種品牌中各選購一種型號的打印機．
各種型號打印機的價格如下表：
甲品牌
乙品牌
型號
A
B
C
D
E
價格（元）
2000
1700
1300
1200
1000
朝陽中學購買了兩種品牌的打印機共30臺，其中乙品牌只選購了E型號，共用去資金5萬元，問E型號的打印機購買了多少臺？
分析：題中等量關系明顯，但由于所購買的甲品牌打印機的型號不明確，引發分類討論．
解：設選購E型號的打印機x臺（x為正整數），則選購甲品牌（A或B型號）（30－x）臺，由題意得：
當甲品牌選A型號時：1000
x
+（30－x）×2000＝50000，解得x＝10．
當甲品牌選B型號時：1000
x
+（30－x）×1700＝50000，解得x＝
( http: / / www.21cnjy.com )（不合題意）．
故E型號的打印機應選購10臺．
例2
某水果批發市場香蕉的價格如下表：
購買香蕉數(千克)
不超過20千克
20千克以上但不超過40千克
40千克以上
每千克價格
6元
5元
4元
張強兩次共購買香蕉50千克（第二次多于第一次），共付出264元，
請問張強第一次、第二次分別購買香蕉多少千克？
分析：由于張強兩次共購買香蕉50千克（第二次
( http: / / www.21cnjy.com )多于第一次），那么第二次購買香蕉多于25千克，第一次少于25千克．由于50千克香蕉共付264元，其平均價格為5.28元，所以必然第一次購買香蕉的價格為6元/千克，即少于20千克，第二次購買的香蕉價格可能5元，也可能4元。我們再分兩種情況討論即可．
解：（1）當第一次購買香蕉少于20千
( http: / / www.21cnjy.com )克，第二次香蕉20千克以上但不超過40千克的時候，設第一次購買x千克香蕉，第二次購買（50－x）千克香蕉，根據題意，得：
6x＋5（50－x）＝264．
解得：x＝14．
50－14＝36（千克）
（2）當第一次購買香蕉少于20千克，第二次香蕉超過40千克的時候，設第一次購買x千克香蕉，第二次購買（50－x）千克香蕉，根據題意，得：
6x＋4（50－x）＝264．
解得：x＝32（不符合題意）．
答：第一次購買14千克香蕉，第二次購買36千克香蕉．
二、轉化思想
有些方程應用題在設未知數時，利用“問什么設什么”往往較難湊效或根本無法直接解決，這時不如將問題通過變換加以轉化，進而達到解決問題的思想．
例3
（2008年濟南市）教師節來臨之
( http: / / www.21cnjy.com )際，群群所在的班級準備向每位辛勤工作的教師獻一束鮮花，每束由4支鮮花包裝而成，其中有象征母愛的康乃馨和象征尊敬的水仙花兩種鮮花，同一種鮮花每支的價格相同．請你根據第一、二束鮮花提供的信息，求出第三束鮮花的價格．
分析：直接求解第三束鮮花的價格較難，分析知
( http: / / www.21cnjy.com )問題中有兩個關鍵未知量——每支康乃馨和水仙花的價格．我們需設出一個，另一個未知數借助于題中的條件用第一個未
知數表示出來：設康乃馨每支
( http: / / www.21cnjy.com )元，由圖中第一束鮮花的價格，知水仙花每
支（19－
( http: / / www.21cnjy.com )）元；其次，根據第一束鮮花的價格可得等量關系列出方程．
解：設康乃馨每支
( http: / / www.21cnjy.com )元，水仙花每支
( http: / / www.21cnjy.com )元．根據題意，得
2
( http: / / www.21cnjy.com )＋2（19－
( http: / / www.21cnjy.com )）＝18．
解這個方程，得
( http: / / www.21cnjy.com )＝5，所以19－
( http: / / www.21cnjy.com )＝4．
所以第三束花的價格為
( http: / / www.21cnjy.com )（元）．
答：第三束花的價格是17元．
共計19元
共計18元
第三束
水仙花
康乃馨點擊一次方程應用中的分配問題
列方程解應用題是初中數學的中點內容。在各類考
( http: / / www.21cnjy.com )試中，出現了一類通過列方程求解的分配型應用題，這類試題與生活密切相關，考查大家分析問題能力的同時，也考查了同學們的日常生活知識。現擷取幾例加以剖析，希望能對同學們的學習有所幫助.
例1：兒童三輪車廠有95名工人，每人每天能生
( http: / / www.21cnjy.com )產車身9個或車輪30個。要使每天生產的車身和車輪恰好配套（一個車身配三個車輪），應安排生產車身和車輪各所少人？
分析：“一個車身配三個車輪”是解決本題的關鍵。抓住這個關鍵進一步分
析可知，當每天生產的車輪數是車身數的3倍時，可使每天生產的車身和車輪恰
好配套，由此可得到等量關系，進而列出方程.
解：設每天應安排
( http: / / www.21cnjy.com )人生產車身，則生產車輪的人數是(
( http: / / www.21cnjy.com ))人，由題意
可得
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，解得
( http: / / www.21cnjy.com )，故每天
應安排50人生產車身，45人生產車輪，可使每天生產的車身和車輪恰好配套.
例2：一張方桌由一個桌面和四條桌腿組成，用1
( http: / / www.21cnjy.com )木材可制作50個方桌
桌面或300條桌腿。現有5
( http: / / www.21cnjy.com )木材，若做成的桌腿和桌面恰好配套，能做成方桌多少張？
分析：由題意可知，制作的桌腿數應是桌面數的4倍，才可使桌腿和桌面恰好配套，因此本題可依次列方程求解.
解：設用
( http: / / www.21cnjy.com )的木材制作桌面，則制作桌腿的木材是
( http: / / www.21cnjy.com )，依題意可得方程
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，解得
( http: / / www.21cnjy.com )，故制作桌面的木材是0.6
( http: / / www.21cnjy.com )，制作桌腿的是0.4
( http: / / www.21cnjy.com ).于是能做成方桌
( http: / / www.21cnjy.com )張.
例3：北京和上海都有某種儀
( http: / / www.21cnjy.com )器可供外地使用.其中北京可提供10臺，上海可提供4臺.已知重慶需要8臺，武漢需要6臺，從北京、上海將儀器運往重慶、武漢的費用如表所示：
有關部門計劃用7600元運送這些儀器，請你設計一種分配方案，使重慶、武漢能得到所需的儀器，而且運費正好夠用.
分析：可設北京提供臺給武漢，則余下的
( http: / / www.21cnjy.com )臺提供給重慶；武漢從北京得到了
( http: / / www.21cnjy.com )臺，那么從上海應該得到
( http: / / www.21cnjy.com )臺.因此上海提供給重慶的應是
( http: / / www.21cnjy.com )臺，按照以上的設想分配，總運費應等于7600元，由此可列方程求解.
解：設北京供給武漢
( http: / / www.21cnjy.com )臺，則給重慶
( http: / / www.21cnjy.com )臺；上海供給武漢
( http: / / www.21cnjy.com )臺，則給重慶
( http: / / www.21cnjy.com )臺，依題意可列方程
( http: / / www.21cnjy.com )
整理得
( http: / / www.21cnjy.com )
解得
( http: / / www.21cnjy.com )
故北京提供6臺給武漢，提供4臺給重慶；上海的4臺全部提供給重慶即可.怎樣靈活應用一元一次方程的概念求字母的值？
難易度：★★★
關鍵詞：方程
答案：
一元一次方程中的未知數的指數是1，根據這一性質可得到一個指數等于1的等式，如果等式中含有一個求知的字母，可求出字母的值。
【舉一反三】
典例：若-8x
( http: / / www.21cnjy.com )=1是一元一次方程，則a=____.
思路導引：一般來講，解決本題的關鍵是理解一元一次方程的定義，因為一元一次方程中未知數的指數是1，所以-8x3a+2中x的指數3a+2就是1即3a+2=1，解這一方程得a=-
( http: / / www.21cnjy.com )
標準答案：a=-
( http: / / www.21cnjy.com )方程中思想方法知多少
我們知道，方程的本身就是一種十分重要的數學思想方法，然而，方程中還蘊藏著許多其它的數學思想方法，為方便同學們學習，現舉例說明.
一、類比思想
根據新舊知識的許多共同點或類似的特點，在學習
( http: / / www.21cnjy.com )新知識時借鑒舊知識的思想和方法.如我們在學習等式的性質時，借鑒“天平”的原理理解等式的性質，等式變性的思想就是使原本平衡的天平繼續保持新的平衡的道理.
例1　如圖，天秤中的物體a、b、c使天秤處于平衡狀態，則質量最大的物體是
.
分析:利用天平平衡時，天平的左右兩盤的質量相等，即可找到相等關系.
解：當兩個天平都平衡時，得2a＝3
( http: / / www.21cnjy.com )b，2b＝3c.由等式的性質，得4a＝6b，6b＝9c，即4a＝6b＝9c.由此使天秤處于平衡狀態，則質量最大的物體是a.
二、整體思想
在解方程的許多情況下，遇到括號或去分母時，我們通常要將括號里面或分子、分母看成一個整體，或將方程中的某一項視為整體求解.
例2　解方程
( http: / / www.21cnjy.com )[x－
( http: / / www.21cnjy.com )(x－1)]＝
( http: / / www.21cnjy.com )(x－1).
分析：用常規解法解該方程，顯然過程比較復雜.注意到x－1可以看作一個整體，因此，可先解關于x－1的方程.
解：原方程可化為
( http: / / www.21cnjy.com )[(x－1)－
( http: / / www.21cnjy.com )(x－1)+1]＝
( http: / / www.21cnjy.com )(x－1).
去括號，得
( http: / / www.21cnjy.com )(x－1)－
( http: / / www.21cnjy.com )(x－1)+
( http: / / www.21cnjy.com )＝
( http: / / www.21cnjy.com )(x－1).
移項，得
( http: / / www.21cnjy.com )(x－1)－
( http: / / www.21cnjy.com )(x－1)－
( http: / / www.21cnjy.com )(x－1)＝－
( http: / / www.21cnjy.com ).
合并同類項，得－
( http: / / www.21cnjy.com )(x－1)＝－
( http: / / www.21cnjy.com ).
方程兩邊同乘以－
( http: / / www.21cnjy.com )，得x－1＝1.2，即x＝2.2.
三、逆向思維
我們知道分數的運算法則是
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com )＝
( http: / / www.21cnjy.com )，反過來，
( http: / / www.21cnjy.com )＝
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com )，這樣運用逆向變換的方法在解方程中經常用中.
例3　解方程
( http: / / www.21cnjy.com )＝
( http: / / www.21cnjy.com )+1.
分析：若將
( http: / / www.21cnjy.com )、
( http: / / www.21cnjy.com )分別拆成兩項的和，方程兩邊可以同時減去2，從而不必去分母.
解：原方程可變形為
( http: / / www.21cnjy.com )x+2＝1－
( http: / / www.21cnjy.com )x+1，即
( http: / / www.21cnjy.com )x＝－
( http: / / www.21cnjy.com )x，所以x＝0.一元一次方程經典的應用題
1.A，B兩城相距600千米，甲、乙兩車
( http: / / www.21cnjy.com )同時從A城出發駛向B城，甲車到達B城后立即返回．如圖是它們離A城的距離y（千米）與行駛時間
x（小時）之間的函數圖象．
(1)求甲車行駛過程中y與x之間的函數解析式，并寫出自變量x的取值范圍；
(2)當它們行駛7了小時時，兩車相遇，求乙車速度．
解：(1)①當0≤
( http: / / www.21cnjy.com )≤6時，
( http: / / www.21cnjy.com )；
②當6＜
( http: / / www.21cnjy.com )≤14時，
設
( http: / / www.21cnjy.com )，
∵圖象過（6，600），（14，0）兩點，
∴
( http: / / www.21cnjy.com )
解得
( http: / / www.21cnjy.com )
∴
( http: / / www.21cnjy.com )．
∴
( http: / / www.21cnjy.com )
(2)當
( http: / / www.21cnjy.com )時，
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )（千米/小時）
2.小聰和小明沿同一條路同時從學校出發到寧
( http: / / www.21cnjy.com )波天一閣查閱資料，學校與天一閣的路程是4千米.
小聰騎自行車，小明步行，當小聰從原路回到學校時，小明剛好到達天一閣.圖中折線O-A-B-C和線段OD分別表示兩人離學校的路程s(千米)與所經過的時間t(分鐘)之間的函數關系，請根據圖象回答下列問題：
(1)小聰在天一閣查閱資料的時間為
▲
分鐘，小聰返回學校的速度為
▲
千米/分鐘；
(2)請你求出小明離開學校的路程s(千米)與所經過的時間t(分鐘)之間的函數關系式；
(3)當小聰與小明迎面相遇時，他們離學校的路程是多少千米
解：(1)15，
( http: / / www.21cnjy.com )　　　　　　　　　
2分
(2)由圖象可知，
( http: / / www.21cnjy.com )是
( http: / / www.21cnjy.com )的正比例函數
設所求函數的解析式為
( http: / / www.21cnjy.com )
代入(45，4)得:
( http: / / www.21cnjy.com )
，
解得:
( http: / / www.21cnjy.com )
∴s與t的函數關系式為
( http: / / www.21cnjy.com )
(
( http: / / www.21cnjy.com ))
4分
(t的取值范圍不寫不扣分)
(3)
由圖象可知，小聰在
( http: / / www.21cnjy.com )的時段內，
( http: / / www.21cnjy.com )是
( http: / / www.21cnjy.com )的
一次函數，設函數解析式為
( http: / / www.21cnjy.com )，
代入(30，4)，(45，0)得:
( http: / / www.21cnjy.com )
5分
解得:
∴
(t的取值范圍不寫不扣分)
6分
令
( http: / / www.21cnjy.com )，解得
( http: / / www.21cnjy.com )
7分
當
( http: / / www.21cnjy.com )時，
( http: / / www.21cnjy.com )，
答:
當小聰與小明迎面相遇時，他們離學校的路程是3千米.
8分
3．“震災無情人有情”，玉樹地震牽動了全國
( http: / / www.21cnjy.com )人民的心，武警某部隊接到命令，運送一批救災物資到災區，貨車在公路A處加滿油后，以每小時60千米的速度勻速行駛，前往與A處相距360千米的災區B處．下表記錄的是貨車一次加滿油后油箱內余油量y（升）與行駛時間x（時）之間關系：
行駛時間x（時）
0
1
2
3
4
余油量y（升）
150
120
90
60
30
(1)請你用學過的函數中的一種建立y與x之間的函數關系式，說明選擇這種函數的理由；（不要求寫出自變量的取值范圍）
(2)如果貨車的行駛速度和
( http: / / www.21cnjy.com )每小時的耗油量都不變，貨車行駛4小時后到達C處，C的前方12千米的D處有一加油站，那么在D處至少加多少升油，才能使貨車到達災區B處卸去貨物后能順利返回D處加油？（根據駕駛經驗，為保險起見，油箱內余油量應隨時不少于10升）
解：(1)如圖，把五組數據在直角坐標系中描出來，這五個點在一條直線上，所以y與x滿足一次函數關系．
設y＝kx＋b，（k≠0）
則
( http: / / www.21cnjy.com )
解得：
( http: / / www.21cnjy.com )，∴y＝－30x＋150
(2)設在D處至少加W升油，根據題意得：
( http: / / www.21cnjy.com )．
解得：W≥94
答：D處至少加94升油，才能使貨車到達災區B地卸物后能順利返回D處加油．
4.(本題10分)小剛上午7：30從家里出發步行上學，途經少年宮時走了
( http: / / www.21cnjy.com )步，用時10分鐘，到達學校的時間是7：55．為了估測路程等有關數據，小剛特意在學校的田徑跑道上，按上學的步行速度，走完100米用了150步．
(1)小剛上學步行的平均速度是多少米/分？小剛家和少年宮之間、少年宮和學校之間的路程分別是多少米？
(2)下午4：00，小剛從學校出發，以
( http: / / www.21cnjy.com )45米/分的速度行走，按上學時的原路回家，在未到少年宮300米處與同伴玩了半小時后，趕緊以110米/分的速度回家，中途沒有再停留．問：
①　小剛到家的時間是下午幾時？
②　小剛回家過程中，離家的路程s(米)與時間t(分)之間的函數關系如圖，
請寫出點B的坐標，并求出線段CD所在直線的函數解析式．
解：(1)小剛每分鐘走1200÷10=120(步)，每步走100÷150=
( http: / / www.21cnjy.com )(米)，
所以小剛上學的步行速度是120×
( http: / / www.21cnjy.com )=80(米/分)．
小剛家和少年宮之間的路程是80×10=800(米)．
少年宮和學校之間的路程是80×(25-10)=1200(米)．
(2)①
( http: / / www.21cnjy.com )(分鐘)，
所以小剛到家的時間是下午5：00．
②小剛從學校出發，以45米/分的速度行走到離少年宮300米處時實際走了900米，用時
( http: / / www.21cnjy.com )分，此時小剛離家1
100米，所以點B的坐標是（20，1100）．
線段CD表示小剛與同伴玩了30分鐘后，回家的這個時間段中離家的路程s(米)與行走時間t(分)之間的函數關系，由路程與時間的關系得
( http: / / www.21cnjy.com )，
即線段CD所在直線的函數解析式是
( http: / / www.21cnjy.com )．
(線段CD所在直線的函數解析式也可以通過下面的方法求得：
點C的坐標是（50，1100），點D的坐標是（60，0）
設線段CD所在直線的函數解析式是
( http: / / www.21cnjy.com )，將點C，D的坐標代入，得
( http: / / www.21cnjy.com )
解得　
( http: / / www.21cnjy.com )
所以線段CD所在直線的函數解析式是
( http: / / www.21cnjy.com ))
5.今年春季，我國云南、貴州等西南
( http: / / www.21cnjy.com )地區遇到多少不遇旱災，“一方有難，八方支援”，為及時灌溉農田，豐收農機公司決定支援上坪村甲、乙、丙三種不同功率柴油發電機共10臺（每種至少一臺）及配套相同型號抽水機4臺、3臺、2臺，每臺抽水機每小時可抽水灌溉農田1畝.現要求所有柴油發電機及配套抽水機同時工作一小時，灌溉農田32畝.
(1)設甲種柴油發電機數量為x臺，乙種柴油發電機數量為y臺.
①用含x、y的式子表示丙種柴油發電機的數量；
②求出y與x的函數關系式；
(2)已知甲、乙、丙柴油發電機每臺
( http: / / www.21cnjy.com )每小時費用分別為130元、120元、100元，應如何安排三種柴油發電機的數量，既能按要求抽水灌溉，同時柴油發電機總費用W最少？
解：(1)①丙種柴油發電機的數量為10-x-y
②
∵4x+3y+2(10-x-y)=32
∴y=12-2x
(2)丙種柴油發電機為10-x-y=(x-2)臺
W=130x+120(12-2x)+100(x-2)
=-10x+1240
依題意解不等式組
得：3≤x≤5.5
∵x為正整數
∴x=3,4,5
∵W隨x的增大而減少
∴當x=5時
，W最少為-10×5+1240=1190（元）
6．（2010
山東濱州）已知點是第一象限內的點，且
( http: / / www.21cnjy.com )，點A的坐標為(10，0)
設△OAP的面積為
( http: / / www.21cnjy.com ).
(1)求
( http: / / www.21cnjy.com )與
( http: / / www.21cnjy.com )
的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍；
(2)畫出的圖像.
解：
(1)∵
( http: / / www.21cnjy.com )在第一象限內，∴
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )
作PM⊥OA于M，則
( http: / / www.21cnjy.com ).
∵
( http: / / www.21cnjy.com )，∴
( http: / / www.21cnjy.com )
∴
( http: / / www.21cnjy.com ).即
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )的取值范圍是
( http: / / www.21cnjy.com )
7．（2010
廣東汕頭）某學校組織340名
( http: / / www.21cnjy.com )師生進行長途考察活動，帶有行李170件，計劃租用甲、乙兩種型號的汽車10輛．經了解，甲車每輛最多能載40人和16件行李，乙車每輛最多能載30人和20件行李．
(1)請你幫助學校設計所有可行的租車方案；
(2)如果甲車的租金為每輛2000元，乙車的租金為每輛1800元，問哪種可行方案使租車費用最省？
解：(1)設甲車租x輛，則乙車租（10－x）輛，根據題意，得
解之得
( http: / / www.21cnjy.com )
∵x是整數
∴x＝4、5、6、7
∴所有可行的租車方案共有四種：
①甲車4輛、乙車6輛；②甲車5輛、乙車5輛；
③甲車6輛、乙車4輛；④甲車7輛、乙車3輛．
(2)設租車的總費用為y元，則y＝2000x＋1800（10－x），
即y＝200x＋18000
∵k＝200＞0，
∴y隨x的增大而增大
∵x＝4、5、6、7
∴x＝4時，y有最小值為18800元，即租用甲車4輛、乙車6輛，費用最省．
8．（10湖南益陽）如圖2，火車勻速通過隧道（隧道長大于火車長）時，火車進入隧道的時間
( http: / / www.21cnjy.com )與火車在隧道內的長度
( http: / / www.21cnjy.com )之間的關系用圖象描述大致是
(
A
)
Ａ．
B．
C．
D．
9．（2010
重慶）小華的爺爺每天堅持體育鍛煉．某天他慢步到離家較遠的綠島公園，打了一會兒太極拳后跑步回家．下面能反映當天小華的爺爺離家的距離
( http: / / www.21cnjy.com )與時間
( http: / / www.21cnjy.com )的函數關系的大致圖象是
(
B
)
10．（2010安徽蚌埠）右圖是某條公共汽車線路收支差額
( http: / / www.21cnjy.com )與乘客量
( http: / / www.21cnjy.com )的圖像（收支差額=車票收入-支出費用）由于目前本條線路虧損，公司有關人員提出兩條建議：建議（1）是不改變車票價格，減少支出費用；建議（2）是不改變支出費用，提高車票價格。下面給出四個圖像（如圖所示）則
(
B
)
A．①反映了建議（2），③反映了建議（1）
B．①反映了建議（1），③反映了建議（2）
C．②反映了建議（1），④反映了建議（2）
D．④反映了建議（1），②反映了建議（2）
x/小時
y/千米
600
14
6
O
F
E
C
D
小明
小聰
2
s(千米)
t(分鐘)
30
45
15
4
O
D
C
B
A
_
x
_
y
_
150
_
120
_
90
_
60
_
30
_
0
_
4
_
3
_
2
_
1
t(分)
O
s(米)
A
B
C
D
B．
C．
D．
A
1
1
x
y
O
A
1
1
x
y
O
A
1
1
x
y
O
y
1
1
x
O
A
③
]]\\
④
①
②用一元一次方程解決問題的創新題展示
一元一次方程的應用一直是中考考
( http: / / www.21cnjy.com )察的重要內容，尤其是與生產生活密切相關的一元一次方程的應用，如商品銷售、儲蓄、方案設計、節能減排等等已出現了新的創新型試題，現舉幾例，供同學學習時參考。
一、卡通圖片
例1.今年張新和李明相約到圖書城去買書,請你根據他們的對話內容(如圖1),求出李明上次所買書籍的原價.
分析：根據卡通圖片上所提供的信息很容易列方程解之．
解：設李明上次購買書籍的原價是x元，
由題意有0.8x+20=x-12,
解得x=160.
評析：卡通圖片是同學們經常收集和保存的心愛之物，但是在平時學習緊張
和應考壓力之下，很難欣賞和收藏，這類題不但提高了學生興趣，也緩解了考試的緊張和與壓力，于無意中掌握和應用了數學知識．
二、
設計方案
【例2】某中學租用兩輛小汽車（設速
( http: / / www.21cnjy.com )度相同）同時送1名帶隊老師及7名九年級的學生到縣城參加數學競賽，每輛限坐4人（不包括司機）．其中一輛小汽車在距離考場15km的地方出現故障，此時離截止進考場的時刻還有42分鐘，這時唯一可利用的交通工具是另一輛小汽車，且這輛車的平均速度是60km/h，人步行的速度是5km/h（上、下車時間忽略不計）．
（1）若小汽車送4人到達考場，然后再回到出故障處接其他人，請你能過計算說明他們能否在截止進考場的時刻前到達考場；
（2）假如你是帶隊的老師，請你設計一種運送方案，使他們能在截止進考場的時刻前到達考場，并通過計算說明方案的可行性．
分析（1）計算出這種方案所需要的時間，
( http: / / www.21cnjy.com )看比42大還是比42小；（2）所設計的方案最起碼要比（1）中的方案節約時間，然后通過計算比較,看方案是否可行.
解：（1）
( http: / / www.21cnjy.com )（分鐘），∵45＞42，
∴不能在限定時間內到達考場．
（2）方案1：先將4人用車送到考場，另外4人同時步行前往考場，汽車到考場后返回到與另外4人的相遇處再載他們到考場．
先將4人用車送到考場所需時間為
( http: / / www.21cnjy.com )（分鐘）．
0.25小時另外4人步行了1.25km，此時他們與考場的距離為
( http: / / www.21cnjy.com )（km）
設汽車返回
( http: / / www.21cnjy.com )后先步行的4人相遇，
( http: / / www.21cnjy.com )，解得
( http: / / www.21cnjy.com )．
汽車由相遇點再去考場所需時間也是
( http: / / www.21cnjy.com )．
所以用這一方案送這8人到考場共需
( http: / / www.21cnjy.com )．
所以這8個個能在截止進考場的時刻前趕到．
方案2：8人同時出發，4人步行，先將4人用車送到離出發點
( http: / / www.21cnjy.com )的
( http: / / www.21cnjy.com )處，然后這4個人步行前往考場，車回去接應后面的4人，使他們跟前面4人同時到達考場．
由
( http: / / www.21cnjy.com )處步行前考場需
( http: / / www.21cnjy.com )，
汽車從出發點到
( http: / / www.21cnjy.com )處需
( http: / / www.21cnjy.com )先步行的4人走了
( http: / / www.21cnjy.com )，
設汽車返回
( http: / / www.21cnjy.com )（h）后與先步行的4人相遇，則有
( http: / / www.21cnjy.com )，解得
( http: / / www.21cnjy.com )，
所以相遇點與考場的距離為
( http: / / www.21cnjy.com )．
由相遇點坐車到考場需
( http: / / www.21cnjy.com )．
所以先步行的4人到考場的總時間為
( http: / / www.21cnjy.com )，
先坐車的4人到考場的總時間為
( http: / / www.21cnjy.com )，
他們同時到達，則有
( http: / / www.21cnjy.com )，解得
( http: / / www.21cnjy.com )．
將
( http: / / www.21cnjy.com )代入上式，可得他們趕到考場所需時間為
( http: / / www.21cnjy.com )（分鐘）．
∵37＜42．
∴他們能在截止進考場的時刻前到達考場．
評析：本題題干較長，要仔細閱讀，弄清題意，逐步分析；（2）解答題要按照要求，題目如果限定解題方法，就必須按照題目的解題方法來做.
圖1怎樣列一元一次方程解決打折問題？
難易度：★★★
關鍵詞：方程
答案：
打折問題應明確商品打幾折出售，就是按原標價的百分之幾十出售，如商品打8折出售，即按原標價的80%出售，從面正確列出折扣關系式。
【舉一反三】
典例：某件商品連續兩次9折降價銷售,降價后每件商品售價為a元,則該商品每件原價為(
)
A.0.92a

B.1.12a

C.
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D.
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思路導引：一般來講，解決本題要理
( http: / / www.21cnjy.com )解品打幾折出售，就是按原標價的百分之幾十出售，連續兩次九折，就是原價的百分之九十后，再折價百分之九十。設原價是為x元，則有關系式
90%x×90%=a，x=
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標準答案：D怎樣應用一元一次方程解答分段型問題？
難易度：★★★★
關鍵詞：方程
答案：
分段型一元一次方程的應用是指同
( http: / / www.21cnjy.com )一個未知量在不同的范圍內的限制條件不同的一類應用題。解決這類問題的時候，我們先要確定所給的數據所處的分段，然后要根據它的分段合理地解決。
【舉一反三】
典例：某水果批發市場香蕉的價格如下表：
購買香蕉數(千克)
不超過20千克
20千克以上但不超過40千克
40千克以上
每千克價格
6元
5元
4元
張強兩次共購買香蕉50千克（第二次多于第一次），共付出264元，
請問張強第一次、第二次分別購買香蕉多少千克？
思路導引：一般來說，此類分段
( http: / / www.21cnjy.com )問題應分情況討論。由于張強兩次共購買香蕉50千克（第二次多于第一次），那么第二次購買香蕉多于25千克，第一次少于25千克。由于50千克香蕉共付264元，其平均價格為5.28元，所以必然第一次購買香蕉的價格為6元/千克，即少于20千克，第二次購買的香蕉價格可能5元，也可能4元。我們再分兩種情況討論即可。
解：
1)
當第一次購買香蕉少于20千克，第二次
( http: / / www.21cnjy.com )香蕉20千克以上但不超過40千克的時候，設第一次購買x千克香蕉，第二次購買（50－x）千克香蕉，根據題意，得：6x＋5（50－x）＝264
解得：x＝14
50－14＝36（千克）
2）當第一次購買香蕉少于20千克，第二次香蕉超過40千克的時候，設第一次購買x千克香蕉，第二次購買（50－x）千克香蕉，根據題意，得：
6x＋4（50－x）＝264
解得：x＝32（不符合題意）
標準答案：第一次購買14千克香蕉，第二次購買36千克香蕉解讀方程中的思想方法
一、化歸思想
在解決數學問題時，若對當前的問題
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解方程：
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com ).
分析：解方程的過程就是把方程逐步象“x＝b”的形式轉化.
解：去分母，得3(a－1)=12－(a＋1).
去括號，得3a－3=12－a－1.
移項及合并同類項，得4a=14.
系數化為1，得
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二、數形結合思想
在研究問題的過程中，由數思形，或由形思數
( http: / / www.21cnjy.com )，把數和形有機地結合起來分析問題就是數形結合思想.本章中通過列方程求解圖形的有關問題就是這一思想的具體體現.
例2
如圖，是一塊在電腦屏幕上出現
( http: / / www.21cnjy.com )的長方形色塊圖，由6個顏色不同的正方形組成。設中間最小的一個正方形邊長為1，則這個矩形色塊圖的面積為_____________。
分析：通過觀察圖形可以發現，除了邊長為1的正方形，其余5個正方形中，右下角的兩個大小相等，并且順時針方向上的正方形邊長依次大1。
解：設右下角兩個邊長相等的正方形的邊長為
( http: / / www.21cnjy.com )，則順時針方向的其余三個正方形的邊長依次為
( http: / / www.21cnjy.com )、
( http: / / www.21cnjy.com )、
( http: / / www.21cnjy.com ).根據長方形的對邊相等，可得
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( http: / / www.21cnjy.com ).所以
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( http: / / www.21cnjy.com )，長方形的面積為
( http: / / www.21cnjy.com ).
三、方程思想
把未知數看成已知數，讓代替未知數的字母和已知數一樣參加運算，這就是方程思想，列方程解實際問題就充分體現了這一思想.
例3
有一位牧師問一個男孩
( http: / / www.21cnjy.com )：“你們家兄弟有幾個？姊妹有幾個？”他回答：“我有幾個兄弟就有幾個姊妹.”同一個問題這位牧師又問男孩的姐姐，她回答說：“我的兄弟數是我姊妹數的2倍.”聰明的你知道他們家兄弟、姊妹各有幾個人嗎？
分析：把其中的一個未知量作為未知數，并用該未知數表示其它未知量，然后根據題中的數量關系，列出等式.
解：設這家共有男孩x人，則有女孩(x-1)人.由題意得x=2[(x-1)-1].解得x=4.所以x-1=4-1=3.
即他們家有兄弟4人，姊妹3人.

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