資源簡介

《小數乘法和除法》教材分析
本單元接著小數加、減法，繼續教學小數乘法和除法，在編排上是很順的。我們知道，整數的乘法和除法是分開教學的，這是因為乘法和除法是兩種不同的運算，它們的意義不同、豎式不同、算法不同，分開教學有利于突出重點、分散難點，便于學生學習。本單元把小數乘法與除法編排在一個單元里，交叉著教學，是因為學生已經掌握了整數乘、除法的知識技能。在整數乘法和除法的基礎上計算小數乘、除法，只是多了小數點的處理這個“新成分”。乘法和除法合編一個單元教學，可以充分利用學生已有的知識經驗，突出處理小數點的原理和方法，還可以體現小數乘法和除法的內在關系。全單元一共編排十三道例題，具體安排見下表：21*cnjy*com
例1小數和整數相乘
例2一個數乘10、100、1000……
小數點向右移動引起小數的大小變化
例3把高級單位的名數化成低級單位的名數
例4小數除以整數
例5一個數除以10、100、1000……
小數點向左移動引起小數的大小變化
例6把低級單位的名數聚成高級單位的名數
例7、例8小數乘小數
例9求積的近似數
例10、例11小數除以小數
例12求商的近似數
例13解決實際問題時求商的近似數
例14小數四則混合運算順序
加法和乘法的運算律在小數中同樣適用練習十四單元整理與練習從上表里可以看出，全單元內容分成兩部分，前一部分是小數乘法和除法，后一部分是小數四則混合運算。這樣編排是很自然的，必須先學會小數的四則計算，才能進行四則混合運算。小數乘法和除法的教學又分成兩段安排，先是小數與整數的運算，包括小數乘整數和小數除以整數，這些計算與整數乘法和除法最為接近，有利于初步形成小數乘、除的計算方法。然后是小數與小數的運算，有小數乘小數和小數除以小數，幫助學生形成完整的小數乘法和除法的計算法則。每一段教學又分成兩塊，一塊教學小數乘法，另一塊教學小數除法，而且每段的兩塊對稱著編排。乘法里有小數點向右移動與名數的化法，除法里有小數點向左移動和名數的聚法；乘法里有求積的近似數，除法里有求商的近似數。這樣有明顯結構特征的編排，有利于認知方式和方法的遷移，有助于建立新的認知結構。21世紀教育網版權所有
小數和整數相乘只編排一道例題，小數乘小數編排兩道例題；小數除以整數只編排一道例題，小數除以小數也編排兩道例題。這是因為小數乘整數、小數除以整數的小數點的處理比較容易，而小數乘小數、小數除以小數的小數點處理比較復雜。例題的編排完全是出于教學的需要，是為了有利于學生掌握知識、形成技能。【來源：21cnj*y.co*m】
小數乘法和除法以筆算為重點，也適當安排口算、估算和用計算器計算。口算在掌握筆算以后進行，直接說出比較容易的小數乘、除法算式的得數，鞏固處理小數點的方法與技巧，也方便解決實際問題。估算用于解決實際問題，在不要求或不需要精確得數的情況下，能代替筆算，減少計算的麻煩。計算器用于較復雜的小數乘、除法，以及探索規律。
小數四則混合運算的運算順序和整數四則混合運算相同，整數加法和乘法的運算律完全適合小數加法和乘法。所以，教學例14可用的資源十分豐富，學生學習的主動性、能動性可以充分發揮作用，學習方式可以大力改進。教材把混合運算順序和運算律的應用結合起來教學，目的是使按運算順序的計算與應用運算律的簡便計算有機融合，提高學生的運算能力。結合小數四則混合運算，在練習里安排了兩、三步計算的實際問題，數量關系和整數問題是一致的，學生能夠分析和解答。如果學生主動列出綜合算式，應該鼓勵。如果分步列式解答，也是允許的。【出處：21教育名師】
（一） 教學小數乘整數和小數除以整數，體會它們與整數乘、除法在算法上的聯系，初步了解積、商里小數點的位置
在整數乘、除法的基礎上計算小數乘、除法，關鍵是處理小數點。怎樣在積或商里正確地點上小數點，是例1和例4的教學重點。教材在解決實際問題的計算活動中，研究積、商里小數點位置的規律，構建小數乘整數和小數除以整數的算法。
1. 寫豎式、算豎式、研究積里的小數位數，是例1設計的三項教學活動。
例題沒有把小數乘整數的算法直接告訴學生，而是安排他們探索算法，體會小數乘整數可以像整數乘法那樣用豎式計算，只要在積里點上小數點。
例1從“夏天每千克西瓜賣0.8元，買3千克西瓜要多少元”這個實際問題引出新知識，這是求幾個相同加數和的問題，根據已有的乘法概念，可以列出算式0.8×3或3×0.8。學生首次遇到小數乘法，還不知道怎樣乘，搜索相關的知識經驗，一般會有兩條思路：一條是把3個0.8連加，用加法代替乘法；另一條把0.8元看成8角，使小數乘法變成整數乘法。這兩種方法都是小數乘整數的認知平臺：從3個0.8連加的和是2.4，可以推出0.8乘3的積是2.4，感受0.8乘3的計算與8乘3很接近，只是計算中多了小數點；從3個8角是2.4元，也能得出0.8乘3的積是2.4，感受小數乘整數可以借助整數乘法，只要在計算中添上小數點。
教材寫出了0.8×3的豎式，讓學生整體感知它。初步看到小數乘整數也可以用豎式計算，豎式的形式和整數乘法很接近；由于一個乘數是小數，積也是小數。例題用旁注指出0.8是“8個十分之一”，計算0.8乘3就可以看成8個十分之一乘3，得到24個十分之一；24個十分之一是2.4，0.8乘3的積是2.4。這樣的思考過程，體現了小數乘整數的算法：把小數乘法看成整數乘法計算，在積里點上小數點。
例題繼續解答“冬天每千克西瓜賣2.35元，買3千克西瓜要多少元”的問題，先用連加豎式計算，再寫出乘法豎式的積，探索小數乘整數的筆算方法。先用加法算，再用乘法算，是借助加法探索乘法。計算加法從最低位起，一位一位地依次算，并向相鄰的高位進位，和里要點上小數點。這些步驟與方法，能啟示乘法計算，小數乘法也要從最低位開始，一位一位依次算，也要向相鄰的高位進位，積里也要點上小數點。例題引導學生把2.35看成235個百分之一，把2.35乘3看成235個百分之一乘3（即把小數乘整數看成整數乘整數），得到705個百分之一，寫成7.05（即在積里點上小數點），經歷計算小數乘整數的全過程。另外，用加法可以驗證乘法，兩種算法結果相同，表明乘法的得數正確、過程合理、方法有效，從而增強學習小數乘法的信心。
通過例1的教學，學生初步知道小數乘整數可以像整數乘法那樣計算，積里應該點上小數點。“試一試”著重教學怎樣在積里點小數點。首先用計算器計算三道小數和整數相乘的題。這里用計算器計算有兩個原因：一是學生還沒有真正學會小數乘法，還不能獨立用豎式筆算；二是節省教學時間，便于集中精力于小數點的處理上面，避免計算錯誤干擾新知識的學習。然后“看看積和乘數的小數位數有什么關系”，逐題觀察研究，發現積里的小數位數和乘數里的小數位數相同，即乘數有幾位小數，積也有幾位小數。“玉米”卡通要求說說“小數和整數相乘怎樣計算”，引導學生從具體的計算里概括出有普遍意義的算法。這里的算法主要是兩點：一是小數乘整數可以像整數乘法那樣列豎式計算，二是積里小數點的位置，由乘數的小數位數來確定。學生計算小數加、減法，習慣于“小數點對齊”，在小數乘整數的豎式里，積的小數點也和乘數的小數點對齊著，這個現象有可能引起認識的負遷移，使學生錯誤地認為積的小數點應該對齊著乘數的小數點。教學一定要防止這種負遷移，突出積的小數點是根據乘數有幾位小數而點出的。“練一練”第1題根據已經算出得數的整數乘法，寫出三道有關的小數乘整數的積，專項練習在積里點小數點的方法，根據乘數是幾位小數，在積的適當位置點出小數點。第2題完成四道小數乘整數的豎式計算，消化在例題里習得的算法，教學仍然要把力量放在積的小數點的位置上。
2. 教學小數除以整數，通過三次計算，教學三個知識。
和整數除法相比，小數除以整數有三點不同：一是商里有小數點，二是最后余下的數要在末尾添0繼續除，三是整數部分（商的最高位）可能是0。例4教學這三點知識，幫助學生理解除法豎式的每一步計算，懂得商的小數點應該和被除數的小數點對齊；明白在余數末尾添“0”繼續除的道理，形成添0繼續除的習慣；體會有些除法的商的整數部分是0，不能漏寫這些除法的商的整數部分。www-2-1-cnjy-com
例題仍然以買東西為題材，因為它容易激活已有的經驗，有助于領悟算法。
前后一共提出三個實際問題，教學的三個除法豎式，各有重點內容。把三個豎式分別教學的除法知識綜合起來，就是小數除以整數的計算法則。www.21-cn-jy.com
第一個問題是已知3千克蘋果的總價9.6元，求每千克蘋果多少元，算式是9.6÷3。學生第一次遇到小數除以整數，容易想到的方法是把9.6元看成96角，這就把小數除法當成整數除法，得到的商32角回歸成3元2角，相當于在“32”里點上小數點。還可能想到9.6元是9元和6角，于是分步計算出結果，即9元除以3商3元、6角除以3商2角、3元與2角合起來是3元2角。這三步計算與9.6除以3的筆算過程完全一致。所以說，這些算法都是接受小數除以整數的認知基礎，有助于理解例題已經寫出的豎式。明白9.6÷3需要分兩步除，以及每一步算的是什么，以此回答“豆莢”卡通提出的問題“商的小數點為什么要和被除數的小數點對齊”這個問題時，就可以根據小數的組成，從9個一和6個0.1除以3，得到3個一和2個0.1，進行推理。于是，初步理解小數除以整數的基本算法：像整數除法那樣列豎式計算，商的小數點和被除數的小數點對齊著寫。
第二個問題是已知5千克香蕉的總價12元，求每千克香蕉多少元，算式12÷5是整數除以整數。在整數除法中，得出商的個位上的數以后，被除數剩下不夠商1的部分作為余數，不再繼續除了。然而，解決求每千克香蕉多少元的實際問題，余數“2元”還要化成“20角”繼續除。相應的小數除法，余數2（個一）可以化成20個十分之一繼續除。事實上，12÷5的被除數雖然是整數，如果利用小數性質改寫成12.0÷5，整數除法就變成小數除以整數，和前一個問題教學的除法接軌，余下的2添0后繼續除下去，就理所當然了。例題先在商的個位的右下角點上小數點，再在余數“2”的右邊添一個0，讓學生明白這里在應用小數的性質，除法還要繼續進行。又通過“20”表示20個十分之一，除以5商4個十分之一，既清楚了“4”在商里的位置，又突出了在商里及時點上小數點的必要性。
第三個問題是已知6千克橘子的總價5.7元，求每千克橘子多少元，計算5.7÷6。這道題的商比1小（整數部分是0），可以從“總價5元多，數量6千克，每千克單價不滿1元”來體會。教學重點在于“應該在商的整數部分寫0”，如果不寫這個0，商就缺少整數部分，不是一個完整的小數。如果更數學化地思辨商的整數部分是0，那就是由于被除數整數部分的“5”比除數6小，不夠商1的緣故。計算5.7÷6，在十分位上商“9”以后，余下的3個十分之一要轉化成30個百分之一繼續除，發展了“在余下的數的后面添上0繼續除”的認識。例題讓學生嘗試著用豎式計算，逐漸接觸上述的內容，妥善處理這些情況。
例題還要求根據“單價×數量=總價”驗算三道題的除法計算。安排驗算有兩層意思：一是小數除以整數是新知識，想到的算法是不是正確，需要檢驗，這是應有的科學態度與作風。二是把整數乘法可以驗算除法，擴展到小數乘法也可以驗算小數除法，體現了小數乘、除法的內在聯系。
例題的最后要求說說“除數是整數的小數除法，可以怎樣計算”，幫助學生歸納解決三個實際問題時三次除法的計算要點：一是小數除法可以像整數除法那樣筆算，商里的小數點應和被除數的小數點對齊；二是除到被除數的末位還有余下的數，應該在小數末尾添0繼續除下去；三是如果被除數的整數部分比除數小，商小于1，整數部分必須寫0。按這些計算要點完成“練一練”里的筆算，就能初步掌握小數除以整數的算法。教材希望學生用自己的語言說出這些計算要點，不主張他們機械記憶文本化的法則。
（二） 通過歸納推理，認識一個數乘或除以10、100、1000……的計算規律
例2和例5分別教學一個數乘10、100、1000……和一個數除以10、100、1000……引導學生通過移動小數點的位置得出結果。這些內容不僅是口算，還是以后探索小數乘小數和小數除以小數算法不可缺少的知識。兩道例題設計了相似的教學方法與教學活動，教學過程都分四步進行。
第一步，初步感知。全體學生研究相同的對象，先用計算器計算5.04×10、100、1000的積和21.5÷10、100、1000的商，再比較各道算式中的乘數與積或者被除數與商，看看小數點位置的變化情況。讓全體學生研究相同的算式，出于三點考慮：一是便于對學生說清楚算什么、怎樣算以及通過計算研究什么，從而知道學習內容和任務。二是便于學生對共同的計算相互交流、相互評價、相互補充，明白小數點位置變化包括它移動的方向和移動的位數這兩個要素。三是初步發現5.04×10、100、1000，小數點位置移動的方向相同，移動的位數不同。21.5÷10、100、1000，小數點位置移動也是方向相同，位數不同。從而感到可能存在某些規律，產生繼續研究的興趣。教學這一步要注意兩點：一是把算式和得數整齊地寫出來，便于學生看到小數點位置的變化情況；二是幫助學生辨別小數點移動的方向和位數，特別是移動的位數，不能看錯。如：21·cn·jy·com
5.04×10=50.4 21.5÷10=2.15
5.04×100=504 21.5÷100=0.215
5.04×1000=5040 21.5÷1000=0.0215
……
第二步，充實感性材料。學生再任意找幾個小數，分別乘10、100、1000或除以10、100、1000，繼續觀察小數點位置的變化情況，并在小組里交流。設計這一步出于兩點考慮：一是學生在第一步的教學中，產生了興趣，也知道了數學活動的內容和方法。讓他們自主找幾個小數進行類似的計算和觀察，既能維持學習熱情，又培養了學習能力。二是每個學生都任意找幾個小數，各人找的小數不同，全班的學習資源就會非常豐富。豐富的感性材料，讓所有學生在交流中都有話可說。在眾多具體材料中概括數學結論，令人信服，也體現了科學的認知方式和嚴謹的認知態度。
第三步，總結規律。一個數乘（或除以）10、100、1000……它的小數點向右（或左）移動一位、兩位、三位……這是從大量的具體材料中提煉出來的數學結論。這個結論一方面概括了眾多實例共有的、本質的數學內容，另一方面為求一個數乘（或除以）10、100、1000……的積（或商）提供了可操作的方法。教學這一步要注意兩點：一是總結規律的主體是學生，不能讓他們被動地接受現成的結論。二是學生總結規律需要經過從不完整到完整、從不嚴密到嚴密的過程，使用數學語言的水平要逐步提高。教學的任務在于組織學生相互交流、相互補充、相互完善，幫助他們說出規律而且越說越好。通過說，進一步把握規律的本質內涵，學會使用數學語言。兩次“練一練”的第1題，在表格里填出一個數乘或除以10、100、1000的積或商，既在應用規律進行口算，也在繼續體驗小數點位置移動的規律。
第四步，逆向思考，加深理解規律。一個數乘或除以10、100、1000……只要移動它的小數點，就能很快得到結果。反之，移動一個小數的小數點，相當于把它乘或除以10、100、1000……后者是對規律的逆向思考，也是對規律的進一步完善。兩次“練一練”的第2題，根據乘數到積的小數點位置移動，說出另一個乘數是10還是100或1000；根據被除數到商的小數點位置移動，說出除數是10還是100或1000。這些都是需要逆向思考的題目。教材希望通過這些題，能促進學生全面把握小數點位置移動的規律。這些題一方面有利于完整認識小數點位置移動的規律，另一方面也為繼續教學小數乘小數、小數除以小數作了必要的知識準備。移動小數點的位置求積或求商，如果原有的小數位數夠用，則很容易操作；如果小數位數不夠，要用“0”補足，這是一個難點。針對移動小數點的難點，要指導學生補“0”，弄清楚補在哪里，補幾個。如果小數點向右移動，原來數的小數部分缺少幾位，可以在小數末尾添幾個0；如果小數點向左移動，原來數的整數部分位數不夠，可以在整數部分的最高位的前面補0。【版權所有：21教育】
（三） 應用小數點位置移動規律，進行常用計量單位的換算
例3把較大單位的數量改寫成較小單位的數量，例6把較小單位的數量改寫成較大單位的數量。兩道例題的改寫方向剛好相反，改寫方法也正好相反。改寫時“怎樣想”是教學重點，也是教學難點。教學例3，可以先口答2千克=？克、5千克=？克，看到這些換算都是把較大單位千克的數量改寫成較小單位克的數量，都要乘進率1000（2千克是2個1000克，2×1000=2000；5千克是5個1000克，5×1000=5000），可以分別把2和5的小數點向右移動三位。然后把這些方法與經驗應用到0.351千克=？克上去。“蘑菇”和“辣椒”兩個小卡通的思考，本質上是一致的，只是書寫上有些不同。“蘑菇”列出乘法算式，在得數的后面寫出改寫后的單位“克”。“番茄”直接把0.351千克改寫成351克，0.351和351必須分別寫出各自的單位。學生可以選擇自己喜歡的書寫形式。教學例6，可以采用與例3相似的教學方法，先在2000千克=？噸、5000千克=？噸這些簡單的問題里體會只要把2000、5000除以進率1000，也就是把2000和5000的小數點分別向左移動三位。再把這些方法與經驗應用到500千克=？噸這個新的問題情境里。【來源：21·世紀·教育·網】
教學還要做兩件事情。一件是適當的時候歸納例3的特點與采用的方法：把較大單位的數量改寫成較小單位的數量，可以“用較大單位數量的數乘進率”，即把較大單位數量的數的小數點向右移動若干位；歸納例6的特點與采用的方法：把較小單位的數量改寫成較大單位的數量，可以“用較小單位數量的數除以進率”，即把較小單位數量的數的小數點向左移動若干位。另一件是在適當的時候把上述兩種改寫進行對比，幫助學生深入了解兩種改寫的方向與方法。
采用移動小數點位置這種方法進行數量的改寫，有關單位之間的進率應該是10、100、1000等。進率不是10、100、1000的單位之間的換算，一般不能通過移動小數點位置來得到結果。如時間單位“時”與“分”的改寫，“分”與“秒”的換算，就不是移動小數點位置能解決的。在練習十和練習十一里，安排了進率是10、100、1000的名數改寫，涉及長度、面積、質量、容量等各類計量單位。由于許多單位是第一學段陸續教學的，學生可能有些遺忘。所以，要幫助他們回憶、整理這些單位，把各類計量單位從大到小依次排一排，弄清相鄰兩個單位間的進率。通過移動小數點位置進行不同單位數量的改寫，如果遇到位數不夠的情況，容易寫錯得數。盡管“位數不夠要用0補足”是舊知識，但仍然要提醒學生注意，以避免錯誤發生。
（四） 教學小數乘小數、小數除以小數，突出轉化思想，加強推理活動，突出計算法則的關鍵內容
教學新知識，“轉化”的價值經常表現在溝通新、舊知識的聯系上。化新為舊，利用已有的知識經驗解決新的數學問題，是有意義學習的表現。小數乘、除法的計算和整數乘、除法密不可分，只要把小數乘法轉化成整數乘法，把除數是小數的除法轉化成除數是整數的除法，小數乘、除法的計算問題就解決了。學生已初步具備了轉化思想以及所需要的知識，有條件通過轉化獲得新知識，進一步體會轉化是解決問題的有效策略。從思維形式上說，轉化過程是推理過程，突出轉化思想，也就加強了推理活動。
學習小數乘整數，學生獲得了兩點體會：小數乘法可以像整數乘法那樣列豎式計算；積里的小數點要根據乘數是幾位小數而點出來。這些初步感受是學習小數乘小數的基礎。例7計算3.8×3.2，要求先估計得數大約是多少，然后進行筆算。這里安排估計有兩個原因：第一，在不會筆算3.8×3.2的時候，估算也能解決問題。僅僅是估算的得數不大精確，是近似數而已。數學教學應該培養估算的意識與能力。就這道例題來說，能估計出房間面積大約十多平方米，已是很不錯的思考。二是估算結果雖然不精確，但接近精確值，它能考量精確結果是不是合理。這道例題筆算得數是12.16平方米，和估算十多平方米相符，應該是正確得數。
筆算3.8×3.2時，教材指出“把這兩個小數都看作整數相乘，按整數乘法計算”，又一次把小數乘法和整數乘法聯系起來。算出38×32的積以后，讓學生“聯系積的變化規律想一想，怎樣才能得到原來的積”。這是例題的教學重點，教材先后安排了兩次探究活動。第一次在例7里，分析3.8×3.2的豎式與38×32的豎式之間的對應關系，用虛線框里的三個箭頭以及上面的“×10”“÷100”，扶著學生經歷推理過程：把乘數3.8看作整數38，這個乘數“×10”；把乘數3.2看作整數32，這個乘數也“×10”；兩個乘數分別“×10”，得到的積相當于原來的積“×100”；為了得到原來乘法的積，應該把現在的積“÷100”。第二次在“試一試”里，計算3.2×1.15，要求學生在小數乘小數的豎式和整數乘整數的豎式之間，填出乘數的變化以及積的變化，獨立進行推理。在兩次探究的基礎上，比較各題中兩個乘數的小數位數與積的小數位數，從而發現規律：“兩個乘數一共有幾位小數，積就有幾位小數”。在理解算理的基礎上，得出了積里點小數點的操作方法。教材希望學生通過歸納推理總結小數乘法的計算法則，要求他們“說說小數乘法應該怎樣計算”，得出自己理解的、能直接應用的算法。計算小數乘法，關鍵是確定積的小數點的位置。為此，“練一練”里安排了點出積的小數點的專項練習。
例10教學除數是小數的除法，在列出算式7.98÷4.2以后，突出了三點：第一，在新的計算情境和認知沖突中，思考“除數是小數的除法，能不能轉化成除數是整數的除法來計算？”把新知識和舊知識聯系起來，指點了計算小數除法的方向。學生已經掌握了商不變性質和移動小數點的技能，還有小數乘法轉化成整數乘法的經驗，能夠理解并實施這里的轉化。第二，在豎式上按部就班地完成轉化的操作，先劃去除數的小數點（就是除數的小數點向右移動一位），把4.2變成整數；再把被除數的小數點向右移動一位，劃去7.98原來的小數點，點出移動后的小數點（就是被除數跟著除數也乘10）。第三，轉化后的除法79.8÷42由學生計算，商的小數點必須與被除數移動后的小數點對齊。在這一點上，學生可能有疑惑或困難，應及時提醒和幫助。“練一練”第1題先進行除數轉化成整數的專項練習，強化計算小數除法的關鍵步驟。學生只要掌握了這種轉化，就能自如地進行小數除法的計算了。
（五） 解決計算難點，提高計算正確率
計算小數乘法，在積里點小數點，如果位數不夠怎么辦？把除數是小數的除法轉化成除數是整數的除法，如果被除數的小數位數比除數少怎么辦？這些都是應用法則進行計算的難點問題，也是計算容易發生錯誤的地方。為此，教材安排例8和例11解決這些問題。
通過本單元例2和例5的教學，學生已經知道：如果位數不夠，可以用“0”補足。只要把這些補“0”的方法應用到像例8和例11的計算中去，問題就解決了。
例8的教學線索是“凸現矛盾——激活舊知——解決矛盾——專項練習”。引領學生發現困難、克服困難，主動解決遇到的新問題。計算0.28×0.28，按整數乘法算出28×28的得數784后，教材先設疑“從積的右邊起數出幾位點上小數點？位數不夠怎么辦？”讓學生發現“784”只有三位，現在要點出四位小數，突出“位數不夠”的矛盾，并激活已有經驗，運用“在前面補0”的辦法解決矛盾。從而理解教材的提醒“在積里點小數點時，位數不夠的，要在前面用0補足”。“練一練”專題進行在積里點小數點的練習，掌握補“0”的要領。
例11的教學線索是“演繹法則——出現矛盾——示范方法——變式擴展——專項練習”。例題的算式1.5÷0.75是小數除以小數，按照例10教學的算法，應該轉化成除數是75的除法。“茄子”卡通提出問題“把除數變成整數，被除數和除數的小數點都要向右移動幾位？被除數的位數不夠怎么辦？”這些問題承前演繹了除數是小數的除法計算法則，啟后出現了移動小數點的困難。學生注意到被除數是一位小數，比除數的小數位數少，會在被除數的小數末尾添一個0。但是，他們還不會在除法豎式上規范地操作。為此，教材示范了在被除數末尾先添上0，再移動小數點的做法。被除數的小數點向右移動兩位成了整數，這時的小數點在個位的右下角，可以不寫出來。教學一定要細致地展示在除法豎式上處理小數點的過程，整理出轉化的步驟，便于學生有條理地操作。“試一試”6÷2.4計算整數除以小數，是例題的變式。表面上似乎有點特殊，其實轉化并不難。在去掉除數2.4的小數點的同時，被除數6的小數點向右移動一位，也就是6乘10是60。如果讓學生說說例題和“試一試”中轉化的體會，把例10和例11的知識綜合起來，就是比較完整的小數除法計算法則。“練一練”和練習十三第5題，都是轉化除法算式的專項練習。“練一練”里被除數的小數位數都比除數少，轉化后都是整十或整百數除以整數。第5題則包括了轉化可能出現的各種情況，有被除數和除數的小數位數相同或不同的，有被除數的小數位數比除數多或少的，把各種情況編排成題組，方便比較，也方便總結，有利于學生正確計算小數除法。21·世紀*教育網
（六） 設計不同的教法，分別教學求積和商的近似數
日常生活和生產勞動中，解決實際問題所涉及的小數乘、除法計算，不一定需要十分精確的得數，況且除法計算往往會除不盡，難以給出精確結果。這就需要求積或商的近似數。
求積的近似數，一般先用豎式或計算器算出積，再按照精確度的要求用“四舍五入法”取近似值。在這些數學活動中，計算小數乘法以及用“四舍五入法”求近似數，都是已經教學的知識，求積的近似數不需要教學新的數學內容。基于這些思考，例9求積的近似數，在編寫上有三個特點：一是3.18×1.6的筆算已經完成，只留下把積保留兩位小數的任務，避免教學精力過多用于筆算乘法，沖淡求積的近似數這個主題；二是在豎式上，積的千分位上的數套了紅色、加了虛線框，幫助學生回憶和應用“四舍五入”法求近似數的方法。三是要求學生在得數的橫線上寫出結果，并填寫答句，用積的近似數解決實際問題。根據這些編寫特點，教學要充分利用教材，先讓學生獨立學習，再組織交流。交流的主要內容是求近似數的方法和思考，幫助他們正確應用“四舍五入法”。“練一練”里的小數乘法都要先用豎式算出得數，再按要求取近似數。學生完成這些題，經歷了求積的近似數的全過程。掌握求積的近似數的知識，才能應用于解決實際問題。2-1-c-n-j-y
教學小數乘法筆算的同時，教材也注意了估算。練習十二第3題，先估計58.5×5.2的得數，再筆算出積。人們一般把小數乘法看作比較接近的整數乘法進行估算，這道題可以看成60×5，估計的得數“大約是300”，與筆算的積304.2相符，表明估計和筆算都是正確的。像這樣先估計、再筆算，用估算驗證筆算，是十分好的思考，應提倡用于其他習題的解答。第16題求平行四邊形的面積，先估計，再求近似數。教學這道題，要引導學生體驗兩點：一是這題的筆算相當于計算三位數乘兩位數，估算只要想3×2，得大約6平方分米。估算比筆算方便許多，如果用估算解決這個實際問題，是很容易的。二是估算和求近似數不是一回事。估算通常把兩個乘數分別看成比較接近的整數，通過口算整數乘法進行。求近似數通常先算出積，再“四舍五入”。
求商的近似數，不需要把除法算完（事實上，許多除法的商是無限小數），只要除到適當的時候，就可以求近似數了。例12要求把40÷60的商保留兩位小數。除法的商是一位一位地得出的，學生通常會一邊除一邊想“除到什么時候就可以求近似數了？”聯系用“四舍五入法”求近似數的經驗，在除到商的小數部分第三位時，不再繼續除就可以取商的近似數了。這道題的商是循環小數，因為豎式上將會重復出現余“40”和商“6”，可以推斷商是無限小數，而且小數部分的每一位上都是“6”。如果學生能夠看出這些內容，當然很好。如果沒有看出這些，教學不要在循環小數上過多逗留。這里主要突出“一般算出比需要保留的小數位數多一位的商，按照四舍五入法寫出結果”。
有些實際問題如果用“四舍五入法”求近似數，答案會很不合理。如，例13中300元錢買單價45元的足球，盡管300÷45的商接近7，但最多只能買6個。又如，“練一練”中，每個油壺裝油3千克，用這樣的壺裝40千克油，雖然40÷3≈13.3，但至少要14個壺才能裝完。類似這樣的問題，在前幾冊教科書里曾經少量出現過，由于學生那時年齡小，缺乏生活經驗，只是初步接觸，透徹理解這些問題的合理答案還有困難。現在編排例13再認這些問題的解答，效果會好得多。教材沒有教學“進一法”“去尾法”等新的求近似數的方法，更沒有出現這些方法的名稱，只是聯系現實的事情，讓學生憑已有的生活常識或經驗，理解問題的特殊性，找到比較恰當的答案。教學要注意這一點，以免造成不必要的負擔。
（七） 研究乘數與積、除數與商的大小關系，培養探索規律的興趣，發展數感
在初步掌握小數乘法計算的基礎上，教材安排進一步研究積與乘數的大小關系。練習十二第14題里有三組乘法題：4.9×1.01、4.9×1和4.9×0.99；5.8×1.2、5.8×1和5.8×0.8；3.15×1.4、3.15×1和3.15×0.6。每組的三個算式中，第一個乘數都相同，第二個乘數分別是大于1的數、1和小于1的數。通過計算與比較，容易發現第二個乘數大于1時，積比第一個乘數大；第二個乘數是1時，積等于第一個乘數；第二個乘數小于1時，積小于第一個乘數。這是三組算式的共同規律，認識這些規律對發展數感有兩點作用：一是突破了原來的乘法觀念。整數乘法的積總是大于乘數（另一個乘數是0或1除外），小數乘法會出現積比乘數小的情況。二是可以判斷筆算的結果是否合理，及時發現并改正筆算的錯誤。正如1.4×0.8的積應該大于0.8、小于1.4，如果大于1.4或者小于0.8，肯定算錯了。1.6×1.3的積應該大于1.6，如果小于1.6，計算肯定是錯的。我們知道，一個數乘小于1的數，是求這個數的幾分之幾是多少。雖然本單元沒有涉及“一個數乘小于1的數”的乘法意義，學生還是能聯系實際體會“積有可能小于乘數”的。如，買單價每千克8.5元的蘋果0.8千克，需要6.8元錢。由于數量小于1千克，總價比單價小。這已是對原來的乘法觀念的很大突破。21*cnjy*com
教學除數是小數的除法以后，練習十三第12題，通過三組除法題的計算與比較，發現以下的規律：如果除數大于1，商小于被除數；如果除數小于1，商大于被除數。發現這個規律，能夠進一步完善對除法的認識，有助于檢驗除法筆算的結果，對發展數感也有積極的意義。
單元整理與練習第9題，讓學生不計算在0.3÷0.15○0.3×0.15的○里填“＞”或“＜”，需要應用上述的那些規律。可以這樣想：0.3÷0.15的商大于0.3（一個數除以小于1的數，商大于被除數），0.3×0.15的積小于0.3（一個數乘小于1的數，積小于這個數），所以0.3÷0.15＞0.3×0.15。
（八） 把整數四則混合運算的順序，整數加法、乘法的運算律擴展到小數計算中
例14是小數四則混合運算，既教學按運算順序進行計算，也教學應用運算律進行簡便計算。把兩種情況的計算結合起來同步教學，是教材編寫上的一次創新。
1. 營造氛圍，創造已有的知識、經驗向新情境遷移的條件。
按運算順序進行小數四則混合運算，只要把整數四則混合運算的運算順序遷移到小數四則混合運算中來。學生已經掌握了整數的混合運算順序，熟悉混合運算的解題要求，也掌握了小數的四則運算。只要形成已有的知識經驗向新情境遷移的氛圍和條件，他們完全能夠主動進行小數四則混合運算。
按運算律進行簡便運算，要把整數加法的交換律、結合律擴展到小數加法里面；把整數乘法的交換律、結合律、分配律擴展到小數乘法里面。學生已經具有整數簡便運算的方法與經驗，只要向小數四則混合運算遷移，就能成為新的運算能力。
例題提出一個現實的問題，用圖畫表示一塊長方形地里種了茄子和辣椒的情境。茄子地長6.5米、寬3.8米；辣椒地長3.5米、寬3.8米。要求列綜合算式求這塊長方形地的面積。在圖畫直觀的作用下，有些學生會采用“茄子地面積+辣椒地面積=長方形地面積”的方法，列出算式6.5×3.8+3.5×3.8；有些學生會采用“長方形地的長×寬=面積”的思路，列出算式（6.5+3.5）×3.8。兩個算式都是小數四則混合運算的式子。教材指出“小數四則混合運算的順序與整數相同”，很干脆地把舊知識引進新情境，促進了學生的認知遷移。所以，上面前一個算式應該先算兩個乘法；后一個算式應該先算括號里面的運算。兩個算式可以組成等式6.5×3.8+3.5×3.8=（6.5+3.5）×3.8，這個等式表明“整數的乘法分配律在小數四則混合運算中同樣適用”，應用乘法分配律能使一些計算變得比較簡便。
例題緊接著給出三組算式：1.2+4.8○4.8+1.2、8.9+3.6+6.4○8.9+（3.6+6.4）、0.4×0.9×0.5○0.9×（0.4×0.5）。通過計算，發現○兩邊算式的得數相等，在○里填等號，可以體驗其他運算律在小數四則混合運算里都存在。21教育網
“練一練”第1題要求“先說出各題的運算順序，再計算”，落實了運算順序的知識技能訓練。第2題要求“用簡便方法計算”。教學如果先讓學生具體說說每道題應用什么運算律、怎樣簡便運算，對運算律的體驗會更加深刻一點。21cnjy.com
2. 注重培養運算能力。
需要注意的是，練習十四里對于簡便運算的教學要求是：如果題目規定“用簡便方法計算”，給出的算式都具有簡便運算的條件，學生必須利用運算律，采用簡便算法（如第3題）；如果題目是“計算下面各題，注意使運算簡便”，給出的算式不一定都具有簡便運算的條件，對于不能簡便運算的式子應按運算順序計算，對于能簡便運算的式子應盡量使用簡便算法（如第7題）。前一種題能加強簡便與運算有關的基礎知識，特別是對運算律的理解及其應用。后一種題能提升運算能力，因為能不能及時發現并利用簡便運算的條件，是一種能力。
練習十四第6題，把整數的減法性質、除法性質擴展到小數減法和小數除法，也可以用來簡便運算。學生在整數范圍內，已經較充分地體驗了減法性質和除法性質，已經能應用于具體的簡便運算之中，現在把減法性質和除法性質擴展到小數減法和除法，應該不存在多大困難。2·1·c·n·j·y
3. 利用小數計算解決實際問題，充實對數量關系和解題思路的體驗。
練習十四里編排了一些用小數計算解答的實際問題，有兩步計算的，也有三步計算的。這些題的數量關系學生并不陌生，他們在學習整數計算時曾經解答過。教材再次編排這些問題，一方面引導學生體會小數計算也能解決實際問題，也有現實的應用價值。另一方面幫助學生重溫學過的解決問題的策略和方法，積累更加豐富的解題經驗。
學生初步具有的解決問題策略，主要是：從條件向問題的推理或從問題向條件的推理，分析數量關系、確定解題步驟、形成解題思路的策略；用列表或畫圖等方法整理信息，理解題意，促進思路展開的策略。兩種推理線索在解答每一道實際問題時都會用到，是最基礎的策略。列表或畫圖整理信息的策略，通常在需要的時候才使用。21教育名師原創作品
（九） 通過全單元內容的整理與練習，更新認知結構，提升運算能力
《整理與練習》的主要內容是小數乘法、除法的計算及其實際應用。在“回顧與整理”欄目里，提出三個討論題，引導學生進一步體會小數乘、除法的計算與整數乘、除法的內在聯系，明白計算小數乘、除法，在妥善處理小數點以后，要像整數乘、除法那樣計算；進一步體會確定積的小數位數的方法，以及把除數是小數的除法轉化成除數是整數的除法的方法，熟練掌握小數乘、除法的計算法則。在“練習與應用”欄目里精心設計了一些習題。第2題給出兩個計算題組，左邊的8.6×7、8.6×0.7和0.86×0.7是小數乘法題組，如果不考慮小數點的問題，它們都可通過整數乘法86×7來計算。由于各道算式的兩個乘數里的小數位數不同，所以積里的小數位數不同，分別是一位小數、兩位小數和三位小數。從8.6×7到8.6×0.7，從8.6×0.7到0.86×0.7，都是一個乘數不變，另一個乘數除以10（小數點向左移動一位），相應的積也除以10。右邊的11.7÷36、11.7÷3.6和11.7÷0.36是小數除法題組，它們的被除數都是11.7，除數分別是36、3.6、0.36，商不同。后兩題分別要轉化成117÷36、1170÷36來計算，從11.7÷36的商到11.7÷3.6的商，再到11.7÷0.36的商，可以依次乘10。教材要求“算一算、比一比”，通過計算體會上述內容，通過比較體驗同組三道算式之間的聯系與區別，達到重組認知結構的目的。第8題給出六個計算題組，4.8÷0.1和4.8×10是一組題，得數都是48。計算4.8÷0.1要把4.8的小數點向右移動一位，也就是4.8×10。5.4×0.1和5.4÷10是一組題，得數都是0.54。計算5.4÷10要把5.4的小數點向左移動一位，計算5.4×0.1也是把5.4的小數點向左移動一位。通過上述兩組題的計算與比較，體會一個數乘0.1相當于這個數除以10，一個數除以0.1相當于這個數乘10。獲得這些體會，不僅對計算有益，而且感受了一個數乘或除以0.1的意義。另外四組題，同組兩題的得數都相等。一個數乘0.5相當于這個數除以2；一個數除以0.5相當于這個數乘2；一個數乘0.25相當于這個數除以4；一個數除以0.25相當于這個數乘4。學生聯系具體的題組能夠發現這些關系，但還不具備理解這些關系的條件。以后學習分數與小數的改寫，把0.5看成1/2，0.25看成1/4，這些關系就清楚了。教材編排這些題組，滲透了小數乘法的意義，有發展數感的作用。

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