資源簡介

兩條平行線與一組折線構造的角的一類探析
例題：如圖已知，∥.分別是、
的角平分線，是兩條角平分線的交點；
求證：.
分析：作輔助線，可以探究：與及
之間的關系來，結合角的平分線的性質，可以探究出
與之間的關系來：
證明：過分別作的平行線，可證明下面的結論：
,
,
所以
評注：兩條平行線之間一組折線構造出的三個角，兩條折線構造的角等于兩條折線分別與平行線構造的角的和；其實還可以得出結論：兩平行線之間有一組折線：(為交點)，分別是、的角平分線，是兩條角平分線的交點；則有結論：；
一般地：如圖所示：∥.一組折線交于點
如果有條件：，
（都是正整數，且＞＞0）; 交于點,那么（即）與（即）的比值是，即有：;
練習：1、如圖已知，∥.分別是、
的角平分線，是兩條角平分線的交點；
，，計算：（1）的度數；
（2）的度數；
答案（1）150°；（2）75°；
2、 如圖已知，∥.一組折線交于點：
（1）當 , ,
交于點那么與（即）
的比值是多少？驗證你的結論；
（2）當，
，交于點那么
與（即）的比值是多少？請直接寫出答案；
答案（1）；（2）；
3、如圖已知，∥.一組折線交于點：
且：(1)，
（其中是正整數），交于點
那么與（即）的比值是多少？
(2),（其中是正整數）, 交于點,那么與（即）的比值是多少？
答案（1）；（2）；
中考中平行線性質及應用
歷年學業考試中，有不少題目都考查了平行線的性質及應用，現汲取幾例，供同學們賞析，希望能達到指導學習之目的。
例1．如圖，直線∥，直線與、相交，∠1 ＝70°，則∠2 ＝(　　)
A．70°　　　B．20°　　　C．110°　　　D．50°
解析：此題是一道基礎題，難度不大，主要考查平行線性質及應用。要求∠2的度數，根據對頂角的定義知∠2＝∠3,所以只要求出∠3的度數即可解決問題，因為∥所以∠3=∠1=70o（兩直線平行，同位角相等），所以∠2=∠3=70o,故選擇A.
例2.如圖，AD∥BC，BD平分∠ABC，且，則　　．
解析：此題主要考查平行線性質及角平分線定義。 因為AD∥BC ，
所以∠＋∠=180o（兩直線平行，同旁內角互補）， 所以∠=180o－∠＝180o－110 o＝70o,又因為平分∠，所以
∠=∠=×70o＝35o,因為 AD∥BC，所以∠=∠=35o（兩直線平行，內錯角相等）。
例3．如圖，AB∥CD，∠BAC的平分線和∠ACD的平分線交于點E，則∠AEC的度數是　　　　　　．
解析：本題綜合了平行線的性質、角平分線的性質等內容．要探求∠的度數，可以將其分成兩個角，結合平行線的性質和角平分線的性質可以求出來．
解：過點，作∵，∴，且∠＋∠＝180o， ∠＝∠1， ∠＝∠2．
又∵、分別為∠、∠的平分線，∴∠＝∠，∠＝∠，∴∠＋∠＝(∠＋∠)＝×180o＝90o
∴∠1＋∠2＝∠＋∠＝90o
∴∠＝90o
跟蹤練習：如圖，直線與、分別相交于、兩點，平分∠，過點作垂足為，若∠＝30，則∠＝_____．
例4.如圖，在甲、乙兩地之間要修一條筆直的公路，從甲地測得公路的走向是北偏東48o，甲、乙兩地同時開工，若干天后，公路準確接通，則乙地所修公路的走向是南偏西
解析：本題是一道實際應用題，主要考查平行線的性質的應用及有關方向角的問題。設所求的方向角為，根據兩直線平行，內錯角相等，可知o，即乙地所修公路的走向是南偏西 o.
溫馨提示：從兩直線平行，推出角相等或互補，需要用平行線的性質定理，有時還需要構造平行線來借助平行線的性質解題。
例說平行線的兩種傳遞功能
平行線有兩個方面的重要性，其一，由兩平行直線被第三條直線所截，可以得出多對相等的角，故平行線有傳遞角的功能；其二，由平行線分線段成比例定理，知平行線有傳遞線段比的功能。下面以中招試題為例，談談這兩大功能的應用。
　　一、傳遞角的功能
　　例1 求證：等腰梯形同一底上的兩個角相等(寫出已知、求證、畫出圖形，并進行完整的證明)。
　　已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC。求證：∠B＝∠C。
　　證明：欲證∠B＝∠C，在圖形中很難找出這兩個角之間的關系?？紤]到AD∥BC，可利用平行線構造出一個角來傳遞∠B或∠C。過D作DE∥AB交BC于E，則由AD∥BE，AB∥DE，知四邊形ABED是平行四邊形。于是AB＝DE。又因AB＝DC，可知DE＝DC，故∠DEC＝∠C。又由DE∥AB，知∠B＝∠DEC，于是∠B＝∠C。
　　例2 如圖，已知在△ABC中，AB＝AC，D是AB上一點，DE⊥BC，E是垂足，ED的延長線交CA的延長線于F。求證：AD＝AF。
　　分析與簡證：欲證AD＝AF，只需證∠3＝∠F即可。但證這兩個角相等很難在△ADF中直接得到，不妨構造平行線來傳遞。過A作AG∥FE交BC于C，則由AG∥FE，知∠1＝∠F。下面再證∠1＝∠3即可。
　　 由FE⊥BC，AG∥FE，知AG⊥BC。又由AB＝AC，知∠1＝∠2；再由AG∥FE，知∠2＝∠3，從而∠1＝∠3。于是∠3＝∠F，故AD＝AF。
　　從這兩例可以看出，在某些中招試題中，用平行線傳遞角是解決這類問題的關鍵。
　　二、傳遞線段比的功能
　　例3 如圖已知，正方形ABCD中，E是DC上一點，連結BE，作CF⊥BE于P，交AD于F點，恰好AP＝AB。求證：E為DC中點。
　　分析與簡證：要證E是CD的中點，由AP＝AB，故過A作AG⊥BP交BP于M，交BC于G，則由等腰三角形底邊上的高也是底邊上的中線，知M為BP的中點。又由CF⊥BP，AG⊥BP，知AG∥CF。于是G是BC的中點。又AG⊥BP，知∠MBG+∠BGM
　　=90°=∠BAG+∠BGM，因此∠CBE＝∠BAG。又∠ABG＝90°＝∠BCE，AB＝BC，故△ABG≌△BCE。而BC＝CD，G是BC的中點，從而E是CD的中點。
《平行線的判定》典型例題
例1 已知：如圖，在圖中：①同位角共____對，內錯角共____對，同旁內角共____對．
②與是______，它們是____被____截成的．
③與中____被____所截而得到的____角．
④AB和AC被BF所截而得到的同位角是____，內錯角____，同旁內角____．
⑤AB和BE被AC所截而成的同位角____，內錯角____，同旁內角____．
例2 如下圖，四條直線組成該圖形，其中，請判斷一下有哪兩條直線平行，并說明理由．
例3 如圖，這幾組角和，和，和各是什么關系，它們分別是哪兩條直線被哪兩條直線所截得到的？
參考答案
例1 分析：同位角、內錯角、同旁內角是指兩條直線與第三條直線相交所形成的角的位置關系，首先分析組成兩角的所在直線的位置關系．
解： ①2，4，11 ②內錯角，AD和BC，AC
③AB和CD、AC、內錯角
④同位角：與，內錯角不存在 同旁內角與
⑤同位角不存在，內錯角：與
同旁內角：與
例2 分析：在該圖中，和是同位角，和是同位角，所以由，可得，由，可得．
解：理由是，即同位角相等兩條直線平行；理由是，即同位角相等兩條直線平等．
說明：判斷兩直線是否平行，關鍵要看題中給的條件是否符合平行條件的要求．
例3 解： 和是AD、EC被BE所截成的同位角，和是AD、EC所截成的內錯角，和是AE、AC被EC所截成的同旁內角
利用平行線解決折線問題
一、給出全部條件，然后說明結論成立的理由．
例題、如圖1所示，已知∠1=25°，∠2=45°，∠3=30°，∠4=10°，證明直線AB∥CD．
證明：
經過點E作射線EM，使∠BEM=∠1=25°，
所以AB∥EM（內錯角相等，兩直線平行）．
又因為∠2=45°，
所以∠FEM=20°．
過點F作射線FN，使∠EFN=20°，
所以∠EFN=∠FEM=20°，
所以EM∥NF（內錯角相等，兩直線平行），
所以AB∥NF，
又因為∠3=30°，
所以∠NFC=30°-20°=10°．
又因為∠4=10°，
所以CD∥NF（內錯角相等，兩直線平行）．
所以AB∥CD．
二、補充條件，然后說明結論成立的理由
如圖2所示，當∠BED、∠B、∠D滿足 條件時，可以判斷AB∥CD．
（1）在“ ”上填上一個條件；
（2）證明你填寫的條件的正確性．
解：
（1）∠BED=∠B﹢∠D．
（2）證明：如圖所示，過點E作EF∥AB，
因為EF∥AB，
所以∠1=∠B（兩直線平行，內錯角相等）．
又因為∠BED=∠B﹢∠D，∠BED=∠1﹢∠2，
所以∠D=∠2（等量代換）．
所以EF∥CD（內錯角相等，兩直線平行）．
又因為EF∥AB，
所以AB∥CD．
三、求角的度數
如圖3所示，AB⊥，∥，∠ABC=130°，求∠1的度數．
解：
過點B作BE∥．
因為AB⊥，
所以∠3=90°（垂直定義）．
因為BE∥，
所以∠ABE=∠3=90°（兩直線平行，同位角相等）．
因為∠ABC=130°，所以∠2=40°
又因為BE∥，∥，
所以BE∥，
所以∠1=∠2=40°（兩直線平行，同位角相等）．
練習：
1、如圖4所示，AB∥CD，∠AEM=140°，∠CFM=160°，則∠M等于多少度？
（答案：∠M=80°．）
2、如圖5所示，AB∥CD，求∠B+∠E+∠D等于多少度？
（答案：∠B+∠E+∠D=360°）
實際問題中平行線
在實際生活中，許多問題涉及平行線，我們可以利用所學的平行的有關知識解決實際問題.
例1 在鋪設鐵軌時，兩條直軌必須平行，如圖1，已知知道∠2是直角，那么在度量圖中哪個角（圖中已標出的），就可以判斷兩條直軌是否平行？說出你的理由.
圖1
解析：學習了平行線的識別方法，我們可以根據平行線的識別方法解決問題，如果根據“同位角相等，兩直線平行”，只要量∠4，如果∠4=90°就可以判斷兩條直軌平行；如果根據“內錯角相等，兩直線平行”，只要量∠5，如果∠5=90°就可以判斷兩條直軌平行；如果根據“同旁內角互補，兩直線平行”，也可以量∠3，根據∠2+∠3=180° 可以判斷兩條直軌平行.
例2如圖2，一個彎曲管道ABCD的拐角∠ABC=120°，∠BCD=60°，這時說管道AB//CD對嗎？為什么？，用什么方法可以檢查相對的兩邊是否平行？
圖2
解析：因為AB、CD可以看作兩條線段，由于∠ABC和∠BCD是同旁內角，且∠ABC+∠BCD=120°+60°=180°，根據“同旁內角互補，兩直線平行”可直AB//CD.
例3如圖3，要在一條公路的兩側鋪設平行管道，如果公路一側鋪設的角度是120°，那么，為了使管道對接，另一側應以什么角度鋪設？為什么？
圖3
解析：本題是一道實際問題，可借助我們所學習的平行線的特征解決.兩條平行管道可以看作兩條平行線，根據兩條直線平行同旁內角互補可以解決問題.
根據平行線的特征可知，另一側應以60°的角度鋪設.根據兩直線平行，同旁內角互補.
平行線與三角形聯姻
我們知道，平行線和三角形都是研究圖形的基礎知識，但它們的有機結合，卻曾經叱咤風云于中考中多年，尤其近年來更是頻頻亮相，為方便同學們的學習，及時了解這兩個知識點在中考的動態，現以中考試題為例說明如下，供同學們學習時參考.
例1如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE 過點C，且DE∥AB，若∠ACD＝55°，則∠B的度數是（ ）
A.35° B.45° C.55° D.65°
分析　要求∠B，由于∠B是直角三角形的一個銳角，若能求出另一個銳角即求得，而事實上，由DE∥AB和∠ACD＝55°即可求得另一個銳角，于是問題獲解.
解　因為DE∥AB，∠ACD＝55°，所以∠A＝∠ACD＝55°，
在Rt△ABC中，因為∠ACB＝90°，所以∠B＝90°－55°＝35°.故應選A.
說明　本題的題目雖小，卻象一根線，串起的知識點較多，如，平行線的性質，直角三角形的性質.
例2如圖所示，已知直線AB∥CD，∠C＝125°，∠A＝45°，則∠E的度數為（ ）
A.70° B.80° C.90° D.100°
分析　在△AEF中，要求∠E的度數，已知∠A，若能通過條件再求出∠AFE，問題就解決了，而事實上，AB∥CD，∠C＝125°，利用平行線的性質即求.
解　因為AB∥CD，所以∠BFC+∠C＝180°，
又因為∠C＝125°，所以∠BFC＝180°－125°＝55°，
因為∠AFE與∠BFC是對頂角，所以∠AFE＝55°，
在△AEF中，因為∠A＝45°，∠AFE＝55°，所以∠E＝180°－45°－55°＝80°.故應選B.
說明　本題考察平行線的性質，對頂角的性質和三角形內角和定理，本題還可以借助于三角形的外角性質求解，同學們可以去試試.
例3將一副三角板按圖中方式疊放，則角α等于（　　）
A.30° 　 B.45°　　　　C.60° 　 D.75°
分析　依題意，圖形是一副三角板構成的，可見其中含有兩個直角，而α所在的三角形的另外兩個角剛好與已知的兩個銳角分別互余，于是，將兩個已知角利用直角三角形的兩個銳角互余轉化到α所在的三角形中來，再利用三角形的內角和定理即求.
解　因為每只三角板分別有一個銳角已知，即分別為45o和30o，所以各自的余角分別等于45o和60o，所以α＝180°－45°－60°＝75°.故應選D.
說明　本題也可以利用平行線的性質和三角形的外角性質去求得，也可以過α角的頂點作平行線求解.
例4如圖，AB∥CD，AE交CD于點C，DE⊥AE，垂足為E，∠A＝37o，求∠D的度數.
分析　要求∠D的的大小，由DE⊥AE，那么根據三角形的內角和定理，此時，只要能知道∠DCE即可，而事實上，由AB∥CD，則∠DCE＝∠A，∠A已知，于是問題即求.
解　因為AB∥CD，∠A＝37o，所以∠DCE＝∠A＝37o，
又因為DE⊥AE，所以∠CED＝90o，
在△CED中，由三角形的內角和定理，得∠D＝180o－∠DCE－∠CED＝180o－37o－90o＝53o.
說明　對于給定的三角形來說，其三個內角和等于180o是一個隱含的條件，同學們在具體求解問題時要善于挖掘，善于運用.
下面幾道題目供同學們自己練習：
1.如圖，AB∥CD，EF⊥AB于E，EF交CD于F，已知∠1＝60°，則∠2＝（ ）
A.20° 　　 B.60° 　　 C.30° 　　 D.45°
2.如圖，射線AC∥BD，∠A＝70°，∠B＝40°，則∠P＝＿＿＿.
3.如圖所示，AB∥CD，∠ABE＝66°，∠D＝54°，則∠E的度數為＿＿＿.
參考答案：1.C.　　　2.30°.　　3.12°.
平行線中的“開放搞活”
在解決平行線問題時，有時同學們會遇到條件不全或結論不明確的題目，需要給予補充，使之成為條件和結論完整的題目，如何解決這類題目呢，請看下面幾例.
開放條件 激活思維
已知中所給出條件不夠，還需要根據結論再補充一個或多個使結論成立的條件，這種類型的題為條件探索型題.
例1 如圖1，直線AB，CD被直線AC，點C在直線BE上，CD//AB，請寫出一個能推出CD是∠ACE平分線的條件，并給出理由.
分析：要CD是∠ACE平分線，只要∠ACD=∠ECD即可，根據CD//AB，可得∠ACD=∠A，∠ECD=∠B，故只要∠A=∠B就可得到CD是∠ACE的平分線.
解：添加條件：∠A=∠B.
理由：
因為CD//AB，所以∠ACD=∠A，∠ECD=∠B，
因為∠A=∠B，所以∠ACD=∠ECD，
所以CD是∠ACE平分線.
評注：本題的解題思路是結合已知條件及圖形，從問題的結論出發，探究所要添加的條件.這也是解決條件探索型的基本思路.
二、開放結論，拓寬思維
當問題中所給的結論不明確時，需要根據已知條件并結合圖形進行結論探究，像這樣的問題稱為結論探索型題.
例2 如圖2，已知F是直線AD上一點，AD//BC，根據平行寫出圖中所標注的角的關系.
分析：本題是一道結論開放題，解決問題應依據平行線的特征從圖形中找出同位角、內錯角及同旁內角.
　　解：因為AD//BC，
所以∠3=∠ABC（兩直線平行，同位角相等）；
∠3=∠ABC（兩直線平行，內錯角相等）；
∠D=∠1（兩直線平行，內錯角相等）；
∠5=∠C（兩直線平行，內錯角相等）；
∠FAC+∠C=180°（兩直線平行，同旁內角互補）；
評注：本題的解題思路是從已知條件出發，結合圖形，利用平行線的性質等知識進行探究，進而得到結論.
三、開放組合 鍛煉思維
從給出的幾個論斷中分別選出條件和結論，組成一個題目，然后加以說理.
例3 如圖3，已知直線BC與DE交于點O，給出下面三個論斷，給出下面三個論斷：(1)∠B= E;(2)BC//EF,(3)AB//DE.請你給出其中的兩個論斷為條件,以另一個論斷為結論組成一個題目,并給予解答.
分析:從三個論斷中選擇兩個條件,一個結論組成一個題目,方法有三種,分別是(1)，(2)為條件,(3)為結論;(1)，(3)為條件，（2）為結論；（2），（3）為條件，（1）為結論.只要選擇一個即可.
解：(1)，(2)為條件,(3)為結論.
因為AB//DE，所以∠B=∠COD，
因為∠B=∠E，所以∠COD=∠E，
所以BC//EF.
評注：解決此類問題，可列出所有可能出現的情況，然后再從中選擇一種比較簡單進行說理.
平行線中的新題型
平行線是是平面幾何的基礎內容，在簡單的背景下，富有新意的題型也層出不窮，可謂生動活潑，奧妙無窮，下面選擇幾例希望對同學們有所幫助．
一、操作型
例1 如圖1，給出了過直線外一點作已知直線的平行線的方法，其依據是
析解：從圖中可以看出，三角板平移的過程中，
角的大小不變，因此根據的依據是同位角相等，兩直線平行．
評注：平行線的條件和特征是互逆的，我們在運
用時，要搞清條件和結論，不要混淆，象本題中，不
能寫成兩直線平行，同位角相等．
二、網格判斷型
例2 如圖2，在正方形網格中，∠1、∠2、∠3的大小關系是（ ）
A．∠1=∠2∠3 B．∠1∠2∠3
C．∠1∠2∠3 D．∠1=∠2=∠3
析解：觀察網格，AB、CD都是“1×3”的長方形的對角線，有AB∥CD，根據“兩直線平行，內錯角相等”，得到∠1=∠2，用類似的方法可以得出∠2∠3，故選A．
評注：我們常用網格研究線段的平行、垂直問題，一般的方法就是通過線段放在網格中的長方形中，作為長方形的對角線研究．
三、結論探索型
例3 將直尺與三角板按如圖4所示的方式疊放在一起，在圖中標示的角中，寫出所有與∠1互余的角．
析解：因為∠AEB=90°，所以∠1+∠2=90°，因為AB∥CD，所以∠2=∠3，∠2=∠4，所以∠1+∠3=90°，∠1+∠4=90°，故與∠1互余的角有三個，分別是∠2，∠3，∠4．
評注：解決這類問題，同學們需要熟練掌握余角、對頂角及直線平行的條件．
四、條件、結論探索型
例4 對于同一平面內的三條直線a、b、c，給出下列五個論斷：①a∥b；②b∥c；③a⊥b；④a∥c；⑤a⊥c，以其中兩個論斷為條件，一個論斷為結論，組成一個你認為正確的判斷，并以其中一個為例畫出圖形，簡要說明理由．
解析：該題要求在五個論斷中選取兩個論斷為條件，再從剩下的論斷中選取一個為結論，組成一個正確的判斷，則可以有：①②④；②③⑤；③⑤②．
以②③⑤為例，如圖5所示，理由如下：
因為a⊥b
所以∠1=90°
因為b∥c
所以∠2=∠190°
所以a⊥c
評注：這類開放性問題具有較強的靈活性，解決這類問題的關建是先確定可能有哪些判斷，再確定其是否正確．
平行線中的轉化策略
在數學里，把一個對象轉化為另一個對象，常常可以化繁為簡，化未知為已知，從而達到解決問題的目的，這種思考問題的方法，就是“轉化”。下面就一起看看轉化思想在解決平行線的有關問題中的應用。
一、角轉化
與平行線有關的角有三類：同位角、內錯角、同旁內角，當問題中出現的角不是這三類角時，要將它們轉化為這三類角，再利用平行線的性質解決問題。角的轉化要特別注意對頂角、余（補）等性質的應用。
例1、如圖，已知AB∥CD，EF分別交AB、CD于點E、F，若∠1＝64°，則∠3＝______度。
分析：題目條件是“形”，因為∠1與∠3既是AB、CD被EF所截的同位角，根據兩直線平行，同位角相等，可得∠3=∠1，將“形”轉化為“數”，問題得以解決。
解：因為AB∥CD，根據“兩直線平行，同位角相等”，可得∠3=∠1=64°，因為∠3與∠2是對頂角，根據對頂角相等，得∠2=64°。
二、“數”與“形”的互化
平行線的條件就是把同位角、內錯角、同旁內角之間的數量關系（數）轉化為把兩直線的位置關系（形）；而平行線的性質就是把兩直線的位置關系（形）轉化為同位角、內錯角、同旁內角之間的數量關系（數）。
例2、如圖A、B、C三點在同一直線上，∠1＝∠2，∠3＝∠D，試說明BD∥CE
分析：先由 “數”向“形”轉化，即由∠1＝∠2，得 AD∥EB；再“形”向“數”轉化，即由AD∥EB，得∠D＝∠DBE；再進行角的轉化，即由∠D＝∠DBE 和∠3＝∠D，得∠3＝∠DBE，最后再由 “數”向“形”轉化，即由∠3＝∠DBE，得BD∥CE。
解：因為∠1＝∠2
所以AD∥BE（內錯角相等，兩直線平行）
所以∠D＝∠DBE（兩直線平行，內錯角相等）
因為∠3＝∠D
所以∠3＝∠DBE（等量代換）
所以BD∥CE（內錯角相等，兩直線平行）
三、圖形的轉化
“兩條平行線被第三條直線所截”是平行線中的一個重要的“基本圖形”，所有的與平行線有關的角都存在于這個“基本圖形”中，且都分布在“第三條直線”的兩旁，當發現題目的圖形“不完整”時，要通過適當的輔助線將其補完整。將“非基本圖形”轉化為“基本圖形”。
例3、小明到工廠去進行社會實踐活動時，發現工人師傅生產了一種如圖所示的零件，要求AB∥CD，∠BAE=30°，∠AED=70°。小明發現工人師傅只是量出∠BAE=30°，∠AED=70°后，又量了∠EDC=40°，就說AB與CD肯定是平行的。聰明的你知道什么原因嗎？
分析：本題轉化為數學問題就是，若∠BAE=30°，∠AED=70°，∠EDC=40°，則AB∥CD。通過觀察圖形，易聯想過點E有一條線，圖形就符合“基本圖形”了。我們可以∠AED內部畫一個角等于∠BAE或∠EDC即可。
解：如圖，在∠AED內部畫∠AFE=∠BAE，根據內錯角相等，兩直線平行，則EF∥AB，又因為∠BAE=30°，∠AED=70°，所以∠DEF=40°，又∠EDC=40°，所以∠DEF=∠EDC，所以EF∥CD，根據平行于同一直線的兩直線平行，得AB∥CD。
從上面的過程我們可以看出，解題的過程實際上就是一個轉化的過程，轉化是一種正遷移。同時要實現這種轉化，也離不開對知識、技能的掌握和靈活運用。
平行線的性質與判定常見錯誤例析
一、對平行線的性質運用錯誤
例1　如圖，如果AB∥DC，那么（　?。?br/>A.∠B＝∠D　　　　　　　　 B.∠BAC＝∠DCA
C.∠DAC＝∠BCA　　　　　　D.∠BAD＝∠DCB
錯解：因為AB∥DC，所以∠DAC＝∠BCA.故應選C.
剖析：∠DAC與∠BCA是AD、BC被AC所截得的內錯角，而與AB∥DC無關，只有∠BAC與∠DCA才是AB、DC被AC所截得的內錯角，而此時AB∥DC，由此，可以得到正確的結論.
正解：因為AB∥DC，所以∠BAC＝∠DCA.故應選B.
二、平行線的性質與判定區分有誤
例2　如圖，∠B＝∠D＝∠E，那么圖形中的平行線有＿＿＿，理由是＿＿＿.
錯解：圖形中的平行線有CD∥EF，理由是兩直線平行，內錯角相等.
剖析：由“數量關系”確定圖形的“位置關系”，應該用平行線的判定，本題的錯解正是混淆了平行線的判定和性質.
正解：圖形中的平行線有CD∥EF，理由是內錯角相等，兩直線平行.
三、找不準圖形中的截線，分不清三線八角
例3 如圖，已知AB∥CD，直線AB、CD分別和直線MN相交與點E、F，EG平分∠BEN，FH平分∠DFN.求證：EG∥FH.
錯解：因為EG平分∠BEN，所以∠BEG＝∠BEN；
因為FH平分∠DFN，所以∠DFH＝∠DFN.
又因為AB∥CD，所以∠BEN＝∠DFN，
所以∠BEG＝∠DFH，所以EG∥FH.
剖析：求解此類問題要能在復雜的圖形中找出同位角，內錯角和同旁內角，才能正確運用平行線的性質和判定，而認清同位角，內錯角和同旁內角的關鍵是弄清截線和被截線，截線就是它們的公共邊，其余兩條邊就是被截線，本題中的∠BEG和∠DFH不是直線EG、FH被某條直線所截得的同位角，錯解就是由于找錯了同位角造成的.
正解：因為EG平分∠BEN，所以∠GED＝∠BEN；
因為FH平分∠DFN，所以∠HFN＝∠DFN.
又因為AB∥CD，所以∠BEN＝∠DFN，
所以∠GEF＝∠HFN，所以EG∥FH.
平行線的判定和性質要分清
平行線的判定和性質是互逆定理,在學習時要分清它們之間的區別，并能靈活運用它們解題．
一、分清判定和性質的因果關系
平行線的判定是由角相等或互補推出兩直線平行，其中，角相等或互補是題設，是“因”，兩直線平行是結論，是“果”．
平行線的性質是由兩直線平行推出角相等或互補，其中，兩直線平行是題設，是“因”，角相等或互補是結論，是“果”．
由此可見，平行線的判定和性質的因果關系恰好相反，在運用它們解題時，必須弄清“因”是什么，“果”是什么，以防混淆，為了便于記憶，我們把它們的應用概括成一句話：“欲證平行用判定，已知平行用性質”．
例1 如圖1，AB⊥AD，CD⊥AD，∠1=∠2，證明:DF∥AE
證明:DF∥AE，理由如下：
∵AB⊥AD，CD⊥AD
∴∠CDA=∠DAB=90°
∵∠1=∠2
∴∠CDA-∠1=∠DAB-∠2
即∠FDA=∠EDA
∴DF∥AE（內錯角相等，兩直線平行）
點撥：該題的目標是“判斷是否平行”，所以要用平行線的判定．
例2 如圖2，AB∥CD，EF平分∠BEC，若∠B=50°，求∠BEF的度數．
解：∵AB∥CD
∴∠B+∠BEC=180°（兩直線平行，同旁內角互補）
∴∠BEC=180°-∠B=180°-50°=130°
∵EF平分∠BEC
∴∠BEF=∠BEC=×130°=65°．
點撥：該題的目標是“由平行求角度”,所以用的是平行線的性質．
二、因果轉化 綜合運用
有些問題往往前面推出來的“果”,又是后面推理時所需要的 “因”,同學們要逐步學會因果轉化，以便綜合運用平行線的判定和性質．
例3 如圖3，∠1=∠ACB，∠2=∠3，
證明CD∥FG
解析：CD∥FG，理由如下：
∵∠1=∠ACB
∴DE∥BC（同位角相等，兩直線平行）
∴∠2=∠DCB（兩直線平行，內錯角相等）
又∵∠2=∠3
∴∠DCB=∠3
∴CD∥FG（同位角相等，兩直線平行）
平行線的判定方法舉例
一、等角助陣判平行
例1 如圖1，∠A＋∠D＝180°，∠A＝∠C，試說明：AD∥BC．
分析：已知圖形中既無內錯角也無同位角，故從同旁內角互補的角度考慮轉化為判定∠A＋∠B＝180°或∠D＋∠C＝180°．
解：因為∠A＋∠D＝180°，∠A＝∠C，
所以∠D＋∠C＝180°，所以AD∥BC．
二、余角助陣判平行
例2 如圖2，直線AB、CD被EF所截，H是CD與EF的交點，∠1=60°，∠2=30°，GH⊥CD于H點H，試說明AB∥CD．
分析：欲判定AB∥CD，只需說明∠1=∠4，即說明∠4=60°，這可通過通過對頂角去轉化．
解：因為GH⊥CD，∴∠2+∠3=90°．
因為∠2=30°，所以∠3=60°．
所以∠4=∠3=60°．
又因為∠1=60°，所以∠1=∠4．
所以AB∥CD．
三、補角助陣判平行
例3 如圖3所示，∠EDG=70°，∠FAB=55°，AF平分∠BAG，試說明AB∥CE．
分析：欲判定AB∥CE，可通過判定∠EDG=∠BAD來實現，即需要說明∠BAD=70°，這就需要通過補角去轉化．
解：因為∠FAB=55°，AF平分∠BAG，所以∠BAG=2∠FAB=110°．
因為∠BAG+∠BAD=180°，所以∠BAD=180°－∠BAG=70°．　
又∠EDG=70°，所以∠EDG=∠BAD．所以AB∥CE．
四、平角助陣判平行
例4 如圖4，A、C、E三點在同一條直線上，∠B=45°，∠ACB=55°，∠DCE=80°．試說明AB∥CD．
分析：欲判定AB∥CD，由已知∠B=45°，只需再求出∠BCD=45°即可由∠B=∠BCD來判定AB∥CD．
解：因為∠ACB+∠BCD+∠DCE=180°，
所以∠BCD=180°―∠ACB―∠DCE=180°―55°－80°=45°．
又∠B=45°，所以∠B=∠BCD，所以AB∥CD．
五、對頂角助陣判平行
例5 如圖5所示，A、B、C三點在同一條直線上，D、E、F三點也在同一條直線上，分別連接AF、BD、CE．若∠1＝∠2，∠C＝∠D，試說明：DF∥AC.
分析：由∠1＝∠2，通過對頂角相等，可轉化為∠1＝∠AMC，可判定DB∥EC，從而∠NBA＝∠C，再結合∠C＝∠D，可推出∠NBA＝∠D，從而可推出DF∥AC，問題得解．
解：因為∠1＝∠2，∠2＝∠AMC，所以∠1＝∠AMC，
所以DB∥EC，所以∠NBA＝∠C．
又因為∠C＝∠D，所以∠NBA＝∠D．
所以DF∥AC．
六、角平分線助陣判平行
例6 如圖6，CD平分∠BCE，∠O=∠DCE．試說明OA//CD．
分析：要判定OA//CD，先要尋找與OA、CD都相交的第三條直線，這里有兩條：OB和CE．其中與已知條件中“CD平分∠BCE，∠O=∠DCE”都有直接聯系的直線是OB．聯系平行線判定定理，可知∠BCD是∠O的同位角，應是我們關注的對象．由CD平分∠BCE，得∠BCD=∠DCE，再結合∠O=∠DCE可推出∠BCD=∠O．
解：因為CD平分∠BCE，所以∠BCD=∠DCE．
又∠O=∠DCE，所以∠BCD=∠O．
所以OA//CD．
平行線的性質三大技巧應用
我們已經學過了平行線的性質定理:兩條直線平行,則同位角相等,內錯角度相等,同旁內角互補.下面給大家列舉一下,如何使用平行線的性質巧解試題.
一、三線八角必識記
所謂三線八角是指兩條直線被第三條直線所截,
形成八個角,如圖（1）,其中, 同位角有:∠1與∠5, ∠2與∠6,
∠4與∠8, ∠3與∠7, 內錯角有:∠3與∠5, ∠4與∠6,
同旁內角有:∠3與∠6, ∠4與∠5.
例1. 如：如果兩條平行線被第三條直線所截得
的八個角中,有一個角的度數已知,則( )
只能求出其余三個角的度數.
只能求出其余五個角的度數.
只能求出其余六個角的度數.
只能求出其余七個角的度數.
析解:由三線八角可知: 同位角相等的有:∠1與∠5, ∠2與∠6,
∠4與∠8, ∠3與∠7, 內錯角相等的有:∠3與∠5, ∠4與∠6,
同旁內角互補的有:∠3與∠6, ∠4與∠5.所以,當一個角的度數已知時, 其余七個角的度數也就易求出,答案選D.
二、加平行線的輔助線
例2. 如圖（3）,一條公路修到湖邊時,需拐彎繞過湖通過.如果第一次拐的角∠A是110°, 第二次拐的角∠B是140°, 第三次拐的角∠C,這時的道路與第一條路平行,則∠C是( )
A.120°B. 130°C. 140°D. 150°
析解:作輔助線BE，把∠A轉移到∠ABE，
∴∠CBE=∠ABC－∠ABE =140°－110°=30°,
∴∠C=180°－30°=150°，140°－110°=30°。
例3．已知：如圖（4）,AB∥ED，
求證：∠B+∠BCD+∠D=360°。
分析：我們知道只有周角是等于360°，而圖中又出現了
與∠BCD相關的以C為頂點的周角，若能把∠B、∠D移到與∠BCD相鄰且以C為頂點的位置，即可把∠B、∠BCD和∠D三個角組成一個周角，則可推出結論。
證法一：如圖（5）,過C作CF∥AB，∴∠BCF=∠B，
∵AB∥ED，∴CF∥ED，∴∠FCD=∠D，∵∠BCD+∠BCF+∠DCF=360°，∴∠B+∠BCD+∠D=360°。
證法二：如圖（6）, 過C作FC∥AB，∴∠B+∠BCF
=180°，∵AB∥ED，∴FC∥ED，∴∠FCD+∠D=180°，
∴∠B+∠BCF+∠FCD+∠D=360°即∠B+∠BCD+∠D=360°。
證法三：如圖（7）, 過B作BF∥DC，
∴∠FBC=∠BCD，又∵AB∥ED，∴∠ABF=∠D，
∵∠ABC+∠CBF+∠ABF=360°，∴∠ABC+∠BCD+∠D=360°。
例4．如圖（8）,直線a∥b，∠CAE=20°，∠CBF=40°，
則∠ACB=————。
請同學們自己完成。
三．平移角
例5．如圖, AB∥ED，CE平分∠BCD交AB于點E，
∠A=110°，
則∠AEC為多少度。
析解:∵AB∥ED，∴∠A+∠ACD=180°，
∠ACD=180°－∠A=180°－110°=70°，
又∵CE平分∠BCD，∴∠ACE=∠ECD=∠ACD=×70°=35°，
∵AB∥ED，∴∠AEC=∠ECD，∴∠AEC=35°。
例6．如圖（9）,AD∥EG∥BC，AC∥EF，則圖中與∠1相等的角（不含∠1）有-------個，若∠1=40°，則∠AHG=------。
析解:∵AC∥EF，∴∠1=∠ACB，∵AD∥EG∥BC，
∴∠1=∠HEF，∠GHC=∠ACB，∠DAC=∠ACB，
又∠AHE=∠GHC，∴∠1=∠GHC=∠AHE=∠DAC，
則與∠1相等的角有∠ACB、∠HEF、∠GHC、
∠AHE、∠DAC共5個；∵∠1=40°，∴∠AHE=40°，
則∠AHG=180°－∠AHE=180°－40°=140°。
平行線的性質學習問答
【問】平行線都有哪些性質？舉例說明.
【答】平行線的性質主要包括性質公理和兩個性質定理：
性質公理：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等.簡記為：兩直線平行，同位角相等.如圖1，因為a∥b，所以∠1=∠4.
性質定理1：兩條平行線被第三條直線所截，內錯角相等. 簡記為：兩直線平行，內錯角相等.如圖1，因為a∥b，所以∠2=∠4.
性質定理2：兩條平行線被第三條直線所截，同旁內角互補. 簡記為：兩直線平行,同旁內角互補.如圖1，因為a∥b，所以∠3＋∠4= 180°.
【評注】：同位角相等、內錯角相等、同旁內角互補都是平行線的性質，其前提是“兩直線平行” ，切勿認為只要是同位角和內錯角就相等，只要是同旁內角就互補.
【問】平行線的性質與判定有何區別和聯系？
【答】1、區別：平行線的性質與判定是“互逆”關系. 平行線的判定是同位角相等（或內錯角相等，或同旁內角互補）時，就可判斷兩直線具有平行的位置關系；平行線的性質是已知兩直線平行時，可推出同位角、內錯角、同旁內角之間所具有的相等或互補的數量關系.
2、聯系：“判定”的條件是“性質”的結論，而“判定”的結論是“性質”的條件.
【評注】：兩直線平行的判定是由角的數量關系推得直線的位置關系，而平行線的性質則是由直線的位置關系推得角的數量關系.所以，“判定”和“性質”的已知條件和結論恰好相互交換，其根本區別是因果關系相互顛倒. 簡記為：已知平行用性質，要證平行用判定.
綜上所述， 兩條直線平行.
平行線識別中的新型題
平行線的識別是初中階段的基礎性問題．學好它有助于后續知識的學習，因此，我們必須對平行線的條件能加以靈活運用．請看這一部分的新型題：
一、開放型
例1. 如圖1，已知：∠B=∠D，要使BE∥DF，還需補充什么條件?請說明你的理由．
解析：要使BE∥DF，只要使∠COE=∠D，或∠DOE+∠D=180°若有∠COE=∠B，再由∠B=∠D得∠COE=∠D，從而由“同位角相等，兩直線平行”得，BE∥DF．
若有∠BOC+∠B=180°，再由∠B=∠D，∠BOC=∠DOE得∠DOE+∠D=180°，從而由“同旁內角互補，兩直線平行”得，BE∥DF．
故可在∠COE=∠B，或∠BOC+∠B=180°中任選一個條件即可．
評注：若要得到某一結論，但還缺少條件，要求補充完整，往往所補充的條件是不惟一的．
二、猜想型
例2 、如圖2， CE平分∠BCD，∠1=∠2=70°，∠3=40°，AB和CD平行嗎？為什么？
解析：因為CE平分∠BCD，所以∠4=∠1=70°，
又∠1=∠2=70°，所以∠2=∠4，
根據內錯角相等，兩直線平行，得AD∥BC，
所以∠3=∠B=40°，
所以∠DCB+∠B=180°，根據同旁內角互補，兩直線平行，可知AB∥CD.
評注：由題目中所給出的條件，猜想直線間平行與否，其主要的依據還是直線平行的條件，判斷的過程分兩個大的步驟．對題目中條件也必須加以靈活運用．
三、操作型
例3、某駕駛員駕駛汽車在公路上行駛，兩次拐彎后，行駛的方向與原來的方向相同，這兩次拐彎的角度可能是（ ）
（A）第一次向左拐300，第二次向右拐300
（B）第一次向右拐500，第二次向左拐1300
（C）第一次向右拐500，第二次向右拐1300
（D）第一次向左拐500，第二次向左拐1300
解析：根據題意以及各個選項的內容，畫出示意圖，如圖3：
從圖中的角度，由平行線的判定方法，可以看出，A、C、D三個選項中的前后行駛的方向線是平行的，但，C、D中后來的方向線中的方向是相反的，并不相同．故，只有A正確．
評注：本題單純從文字方面去分析，很難判斷出結果．若畫出上述圖形來分析，結果是顯然的．
四、探索型
例4、 如圖4，已知∠1=∠2，BD平分∠ABC，可得到哪兩條直線平行?如果要得到另外兩條直線平行，則應將上述兩個條件之一作如何改變?
解析：由BD平分∠ABC知∠1=∠DBC,又∠1=∠2，可知∠2=∠DBC，從而可知平行的兩條線段了．若要另外的兩直線平行，仍可仿上述條件作適當改動即可．
由已知條件可得AD∥BC．理由：因為BD平分∠ABC，所以∠l=∠DBC．又因為∠l=∠2，故∠2=∠DBC．從而AD∥BC．
若要AB∥DC，則只需∠1=∠BDC即可．而∠1=∠2，故應有∠2=∠BDC．這時可將“BD平分∠ABC”改為“DB平分∠ADC”即可．
評注：本題是圍繞直線平行而設置的探索型問題，兩個問題的性質各不相同，前者是探索結果，而后者則探索條件．但，它們的解決都依賴平行線的條件．
平行線錯因剖析
初學幾何說理的同學常因概念不清,主觀臆斷,思維混亂,而導致各種錯誤.本文僅以平行線為例進行剖析,以期引起同學們的注意.
例1 如圖,若 AB∥CD,你能說明為什么
∠ABE+∠BED+∠EDC=3600 嗎？
錯誤說理 過點E作AB、CD的平行線EF,
因為EF ∥AB,所以∠ABE+∠BEF=1800.
又因為EF ∥CD,所以∠FED+∠EDC=1800.
而∠BEF+∠FED=∠BED,所以∠ABE+∠BED+ ∠EDC=3600.
剖析 錯解違背了平行公理,過直線外的一點有且只有一條直線和已知直線平行,即過點E不能作一條直線既與AB平行,又與CD平行,只能先作出和其中的一條平行的直線,然后再去證明也與另一條平行.
正確說理應為 過點E作EF ∥AB,因為AB∥CD,所以EF ∥CD.
由EF ∥AB,得到 ∠ABE+∠BEF=1800.由EF ∥CD,得到 ∠FED+∠EDC=1800.
而∠BEF+∠FED=∠BED,所以∠ABE+∠BED+ ∠EDC=3600.
例2 如圖,直線AB、CD分別和直線MN相交于
點E、F,EG平分∠BEN,FH平分∠DFN,若AB∥CD,
你能說明EG和FH也平行嗎？
錯解 因為EG平分∠BEN,所以∠1=∠BEN.
同理,因為FH平分∠DFN,所以∠2=∠DFN.
又因為AB∥CD,所以∠BEN=∠DFN.
從而 ∠1=∠2,所以 EG∥FH.
剖析能在復雜的圖形中正確地找出同位角、內錯角和同旁內角,是運用平行線的判定和性質的前提;認清一對同位角、內錯角和同旁內角的關鍵是弄清截線和被截線,截線就是它們的公共邊,其余兩條邊就是被截線,而∠1和∠2不是直線EG、FH被某條直線所截得的同位角,錯解由于找錯了同位角而導致錯誤.
正確說理應為 因為EG平分∠BEN,所以∠3=∠BEN.
同理,因為FH平分∠DFN,所以∠4=∠DFN.
又因為AB∥CD,所以 ∠BEN=∠DFN,從而 ∠3=∠4,
而∠3、∠4是直線EG、FH被直線MN所截得的內錯角,所以 EG∥FH.
例3 如圖,已知∠1+∠2=1800,∠3=∠B,試判斷DE與BC的位置關系,并說明理由.
結論 DE∥BC.
錯解 因為∠1+∠2=1800,所以EF∥DB,所以∠3+∠BDE=1800.
因為∠3=∠B,所以∠B+∠BDE=1800,所以DE∥BC.
剖析 由∠1+∠2=1800,不能得到EF∥DB.
雖然∠1和∠2是由直線EF和DB被直線DC所截得的角,
但由于它們不是同旁內角,所以盡管∠1+∠2=1800,也不能得到EF∥DB.
這是由于思維混亂,胡拼亂湊導致錯誤.
正確說理應為 延長EF交BC于點G,
因為∠1=∠4(對頂角相等),又∠1+∠2=1800,所以∠4+∠2=1800.
∠4和∠2是由直線EG和DB被直線DC所截得的同旁內角,又∠4+∠2=1800,
所以EG∥DB(同旁內角互補,兩直線平行).
所以∠3+∠BDE=1800(兩直線平行,同旁內角互補).
因為∠3=∠B,所以∠B+∠BDE=1800.
∠B和∠BDE是由直線BC和DE被直線AB所截得的同旁內角,又∠B+∠BDE=1800,
所以DE∥BC(同旁內角互補,兩直線平行).
點撥:本題的關鍵是要正確找出真正的同旁內角,問題就會迎刃而解.
在得到結論EG∥DB后,下面還可這樣來說明
因為EG∥DB,所以∠B=∠EGC(兩直線平行,同位角相等).
又∠3=∠B,所以∠3=∠EGC.
∠3和∠EGC是由直線DE和BC被直線EG所截得的內錯角,又∠3=∠EGC,
所以DE∥BC(內錯角相等,兩直線平行).
引導學生幾何證明入門的方法
初中學生初學平面幾何，由于研究對象從數變到形，研究方法也從以運算為主轉到以推理為主，再加上新概念大量集中出現，無論在知識的學習，技能和能力的形成，還是在學習方法和學習習慣等方面，都存在著不適應的狀況。有些地區初中生提前接觸平面幾何，更為幾何入門增添了難度。因此，引導學生學會幾何證明是學習平面幾何起始階段的關鍵工作，將為進一步學習幾何證明打下扎實的基礎。
　　一、使學生初具論證的能力
　　1．翻譯能力
　　學習幾何，先要讓學生養成聯系圖形據理敘述的習慣。幾何語言可分為文字語言和符號語言兩類，文字語言主要是術語和關鍵詞，如“直線”、“角”等術語，“都”、“是”等關鍵詞；符號語言是用符號來表示文字意義的，例如“∠”、“∥”、“⊥”等就是符號語言。
　　幾何中的定義、定理。公理都是進行論證的依據，證明中要會將這些文字語言結合圖形翻譯成符號語言。
　　例如平行公理：“同位角相等，兩直線平行?！苯Y合圖形，如圖1譯成符號語言為
　　∵∠1＝∠2，∴AB∥CD。
　　2．識圖能力
　　幾何證明的正確判斷與推理往往是以正確的識圖為先導的，學生不僅要會看規范易懂的圖形，還要善于觀察復雜圖形中的一些基本圖形，會把復雜圖形簡單化。例如：
　　(1)如果把圖2看作是直線CD與直線AB、EF相截，那么∠1和∠2這一對角是同位角；∠3和∠4這一對角是內錯角；∠2和∠4是一對同旁內角。
　　(2)如果圖2看作是直線AB與直線CD、EF相截，那么∠1和∠5這一對角是同旁內角，∠4和∠5是一對內錯角。
　　3．思維能力
　　幾何證明的思維方法是多種多樣的，在教學中要努力挖掘和開拓學生的思維能力。對于初學者，開始要求不能太高，在尋找解題途徑時由因溯果，也可由果導因，多方位、多角度、多渠道去思考，學會在已知與未知之間架起通向成功的“橋梁”，善于在學習中不斷積累、總結、完善，從而不斷提高分析問題和解決問題的能力。
　　二、引導學生學會寫證明過程
　　1．畫圖
　　幾何題一般要畫圖，圖形與題目內容要一致，書寫過程中的字母或數字也要與圖形一致，這樣的圖形能幫助學生理解題意，便于論證。
　　2．書寫
　　(1)最簡單的推理---三段論法
　　學會幾何證明必須先掌握一些最簡單的推理，因為復雜的幾何證明都是由一些簡單的推理組合在一起的。
　　例如，如圖1，∵∠1＝∠2　(已知)，
　　∴AB∥CD　(同位角相等，兩直線平行)。
　　這里，“同位角相等，兩直線平行”是公理。像這種把定理、公理或定義作為推理的論據稱為大前提；“∠1＝∠2”是本題中一組特定的相等的同位角，像這種與大前提題設部分有聯系的具體對象，叫做小前提；“AB∥CD”是由兩個前提得出的結論。像這種由大前提、小前提推出結論的推理方式稱為三段論法。
　　(2)書寫步驟
　　在推理過程的敘述中，要分為三步書寫：
　?、僦v原因，以“∵”開頭，寫出小前提；
　?、谥v結論，以“∴”開頭，寫出結果；
　　③講清依據，把大前提寫在結果后的括號內(見上例)。
　　(3)注意條理
　　由于復雜的推理是由若干簡單推理組合的，因此要讓學生組織好推理步驟。
　　例 已知如圖3，AB∥CD，MN與AB，CD交于點E、F，EP、FQ分別平分∠BEF和∠DFN。
求證 EP∥QF。
　　證明
　　
　　
　　
　　本題用了三次三段論法。在證明過程中應先證第(1)組，再證第(2)組，第(3)組必須放在最后。在證明過程中用到哪個已知條件才寫哪個，不應該在一開始就把所有已知條件一起都寫出來。
　　另外第(1)組的“∴”對第(2)組說是“∵”，第(2)組的“∴”又是第(3)組的“∵”，不必重復書寫。
　　引導學生學習幾何證明，僅通過較短時間的強化訓練是不夠的，必須在初中數學(幾何)教學的各個階段、各個環節上，有計劃、按步驟實施，才能見效。
探索直線平行的條件中易誤點舉例
在《探索直線平行的條件》中，不少同學因才接觸同位角等概念和圖形，而不能正確解題，常出現找不對、找不全、畫不全等方面的失誤，現舉例和同學們一起討論。
一、找不對
例1、如圖1、2、3、4中，∠1和∠2是同位角的是哪一個圖 ？
誤：選圖2。
析與解：我們通過作圖，只有圖1中符合三線八角的圖形，選圖1。如圖5。我們可看到組成∠1和∠2中四條射線中，有兩條能在一條直線上，（用加粗的線表示），∠1和∠2都正好在另一條邊的上方。
而圖2、3的∠2和∠1的四條射線中，沒有兩條能在一條直線上；圖4的∠2和∠1的四條射線中，有兩條能在一條直線上，但∠1和∠2的位置不同。同學們不妨畫圖一試。
二、找不全
例2、如圖6中， 和∠4是同位角。
誤：∠1和∠2是同位角。
析與解：我們通過作圖，不僅∠1和∠4符合同位角的圖形，同時∠3和∠4也符合同位角的圖形。答案有兩個。
例3、如圖7，以C為頂點，在三角形外畫∠ACD＝∠A，延長BC到E，則：∠A的同旁內角有幾個，分指指出來；
誤：∠A的同旁內角有∠B
析與解：畫圖一試，對于直線較多的圖，可分別把組成∠A的兩邊看作截線，（如若把AB看作截線，它能截哪些線，能否得到要求的角；若把AC看作截線，它能截哪些線，能否得到要求的角。）
得∠A的同旁內角有∠B和∠ACB.
三、畫不全
例4、一座城市的一部分交通路線，如圖8所示：
一輛汽車沿公路a行駛至交叉道口處，向右拐的角為600行駛到公路c上，在下一個交叉路口處，汽車怎樣拐彎才能使它的行駛路線與第一次拐彎前（行駛在公路a上時）平行？
誤：我們可以假設汽車在下次拐彎時行駛到公路b上， 得圖5，此時，汽車第二次拐彎后的行駛路線如圖5中的實線箭頭所示，兩次拐的角成為內錯角. 由于“內錯角相等，兩直線平行”，所以汽車應該在交叉道口處向左拐的角為600.
析與解：在這個實際問題中，只保證汽車拐彎后能使它的行駛路線與第一次拐彎前（行駛在公路a上時）平行，但沒用強調一定要操持原來的方向，則會出現兩種情況：
一種情況是兩次拐彎前后行駛方向相同. 同學已解。
另一種情況是兩次拐彎前后行駛方向相反. 此時，汽車第二次拐彎后的行駛路線如圖6的虛線箭頭所示，兩次拐的角成為同旁內角. 由于“同旁內角互補，兩直線平行”，所以汽車應該在交叉道口處向右拐的角為1200 .
四、判斷有誤或方法用錯
　例5、如圖11，根據∠1＝∠2，可以判定哪兩條直線平行？并說明判定的根據是什么.　
誤：AD∥BC
析與解：圖中線比較多，解決本例關鍵是要觀察已知相等兩角的兩邊所在的直線.我們仍可通過畫線法，把∠1和∠2的四邊畫出，相重合的線就是截線，另兩邊必平行。得AB∥DC。理由：內錯角相等，兩直線平行。
另：“同旁內角互補，兩直線平行”，常有同學用成：同旁內角相等，兩直線平行。
分析失誤，以此為鑒。
有關“平行線”中的思想方法
求解有關平行線的問題時，同樣應注意數學中的思想方法的運用，常見的思想方法有：
一、方程思想
例1　如圖1，直線a與直線b互相平行，則的值是（　?。?br/>A.20 B.80 C.120 D.180
分析　要求的值，若能分別求出x和y的大小問題就容易解決了，而如圖1，由直線a與直線b互相平行和x和3y是鄰補角，于是利用方程即可求得.
解　因為直線a與直線b互相平行，所以x＝30°，
又因為x和3y是鄰補角，所以3y+x＝180°，所以y＝50°.
所以＝＝20°.故應選A.
說明　求解有關平行線的問題時除了要能抓住已知條件，還要能及時地從圖形中發現隱含條件.如本題的圖形中的x和3y是鄰補角.
二、轉化思想
例2　如圖2所示，當∠1＝∠5時，試說明直線a，b是否平行？為什么？
分析　雖然∠1＝∠5，但從圖上看∠1與∠5卻沒有任何關系，為了能順利地解決問題，不妨將已知進行適當地轉化，即轉化為同位角來處理，或轉化為同位角來處理，或轉化為同旁內角來處理，現以一種轉化方法來求解.
解　平行.理由：因為∠1＝∠3（對頂角相等），∠1＝∠5（已知），
所以∠3＝∠5（等量代換）.所以a∥b（同位角相等，兩直線平行）.
說明　有些數學題目，初看覺得無從下手，但若能將問題通過適當地轉化，問題便能得到順利解決，本題中正是利用轉化思想進行角之間的轉化，才使問題獲解.
三、構造思想
例3　如圖3，若∠BED＝∠B+∠D，則直線AB與CD平行嗎？為什么？
分析　從圖中找出能直接判定AB∥CD很困難，這時可從線入手，添加一條直線，即過點E作AB的平行線，然后利用“兩條直線都和第三條直線平行，這兩條直線互相平行”來推證出AB∥CD.
解　過點E作EF∥AB.所以∠BEF＝∠B（兩直線平行，內錯角相等），
又因為∠BED＝∠B+∠D（已知），∠BED＝∠BEF+∠DEF，
所以∠B+∠D＝∠BEF+∠DEF（等量代換），
所以∠D＝∠DEF（等式的性質），所以EF∥CD（內錯角相等，兩直線平行），
所以AB∥CD（平行于同一直線的兩直線互相平行）.
說明　本題中已有兩條直線和角的大小關系，但BE、DE并不是它的截線，不是“三線八角”的基本圖形，因此可以添加輔助線構成“三線八角”.
四、分類思想
例4　如圖4，已知直線l1∥l2，直線l3和直線l1、l2交于點C和D，在C、D之間有一點P，如果P點在C、D之間運動時，問∠PAC，∠APB，∠PBD之間的關系是否發生變化.若點P在C、D兩點的外側運動時（P點與點C、D不重合），試探索∠PAC，∠APB，∠PBD之間的關系又是如何？
分析　若P點在C、D之間運動時，只要過點P作出l1的平行線即可知道∠APB＝∠PAC+∠PBD；若點P在C、D兩點的外側運動時（P點與點C、D不重合），則可以分為如圖5和如圖6兩種情形，同樣分別過點P作出l1或l2的平行線，即有∠APB＝∠PBD－∠PAC或∠APB＝∠PAC－∠PBD.
解　若P點在C、D之間運動時，則有∠APB＝∠PAC+∠PBD.理由是：如圖4，過點P作PE∥l1，則∠APE＝∠PAC，又因為l1∥l2，所以PE∥l2，所以∠BPE＝∠PBD，所以∠APE+∠BPE＝∠PAC+∠PBD，即∠APB＝∠PAC+∠PBD.
若點P在C、D兩點的外側運動時（P點與點C、D不重合），則有兩種情形：
（1）如圖5，有結論：∠APB＝∠PBD－∠PAC.理由是：過點P作PE∥l1，則∠APE＝∠PAC，又因為l1∥l2，所以PE∥l2，所以∠BPE＝∠PBD，所以∠APB＝∠BAE+∠APE，即∠APB＝∠PBD－∠PAC.
（2）如圖6，有結論：∠APB＝∠PAC－∠PBD.理由是：過點P作PE∥l2，則∠BPE＝∠PBD，又因為l1∥l2，所以PE∥l1，所以∠APE＝∠PAC，所以∠APB＝∠APE+∠BPE，即∠APB＝∠PAC+∠PBD.
說明　處理幾何問題中的動點問題時，當動點沒有明確所在位置，應注意分情況討論，這樣避免漏解.
生活中的平行線
平行線的應用廣泛，生活可以看見很多和平行線有關的實例，現舉例說明，供同學們學習時參考．
一、家中的水管
例1.如圖1，是家用水暖器材中一種彎形管道，要求經過兩次拐彎后還保持平行的姿態（即AB∥CD）.如果已知∠B＝80°，那么∠BCD的度數分別為 .

圖1
分析：先把生活中的實物轉化為數學中兩條平行線被第三條直線所截的情形.利用平行線的性質可得未知的角度.
解：圖1（1）中是一種“U”形管，因為AB∥CD，根據兩直線平行，同旁內角互補，所以∠B＋∠BCD＝180°，所以∠BCD＝180°－80°＝100°；圖1（2）和圖1（3）是一種“N”形管，根據兩直線平行，內錯角相等，可得∠BCD＝∠B＝80°.
二、公路的彎道
例2.如圖所示，是一條公路的彎道，經過兩次拐彎后又回到原來的方向，如果第一次的拐角是130°，那么第二次拐彎時在剛才的方向上拐過的∠DCE度數是多少？
分析：因為經兩次拐彎后方向不變，所以AB和CD是平行的，根據平行線的性質，可求得∠BCE的度數，進而求得∠DCE度數.
解：因為經兩次拐彎后方向不變，所以AB∥CD，
所以∠BCE＝∠ABC＝130°，所以∠DCE＝180°－130°＝50°.
三、車燈的光線
例3.如圖所示，是一汽車前燈的縱剖面，從位于O點的燈泡發出的兩束光線OB、OC經車燈的凹面反射以后以平行光線射出，若∠ABO＝60°， ∠DCO＝50°,那么∠BOC的度數是多少？
分析：要求∠BOC的度數,條件中有平行,但平行的條件要和角
度產生聯系必須有平行線的截線,因此需要構造一條截線,為已知和未知問題之間建立聯系.
解：過O點做EF∥AB，則EF∥CD，
所以∠BOE ＝∠ABO＝60°，∠COE＝∠DCO＝50°,
又因為∠BOC＝∠BOE ＋∠COE，
所以∠AEC＝60°＋50＝110°.
四、開挖水渠
例4 如圖，甲、乙兩個工程隊分別從兩條平行的水渠的A，B兩點開工，開挖一條與兩平行河相通的渠道，在A處測量該渠道的方向為與過A的主水渠的所夾銳角為44°，那么乙隊在B處沿什么方向施工，才能使該水渠直線對接？
分析：將兩條平行水渠看作兩條平行線，將所開挖水渠看作截線，可利用平行線的性質解決問題.
解：由兩條水渠平行可得∠1=44°，
即乙在B處沿∠1為44°的方向施工才能使該水渠直線對接.
課件2張PPT。1. 如圖，木工用角尺的一邊緊靠木料邊緣，另一邊畫兩條直線a，b.這兩條直線平行嗎？為什么？解：a∥b，
因為有一對同位角都是直角.2.如圖，丁字尺是過程技術人員常用的一種繪圖工具.用丁字尺可以畫平行線，說明這種畫法的道理.同位角相等，兩直線平行.舞動在兩平行線間的折線
有一些題目由于看起來太簡單，往往很少進一步思考，其實若能從多個角度進行探索思考，可能會有許多發現，使我們對數學的學習更加深入.
題目：如圖1，已知AB∥EF. 試說明：∠BCF=∠B+∠F.
解：過點C作CD∥AB. 因為AB∥EF，所以CD∥EF.
所以∠BCD=∠B，∠FCD=∠F（兩直線平行，內錯角相等）.
所以∠BCD＋∠FCD =∠B＋∠F，即∠BCF=∠B+∠F.
我們在做完之后，可對本題做進一步的反思和探究.
1.從說明方法上探究
解法1：如圖2，延長BC交EF于D.因為AB∥EF，所以∠B=∠BDF. 在三角形CFD中，∠BDF＋∠F＋∠DCF＝180°，又∠BCF＋∠DCF =180°，所以∠BCF=∠B+∠F.
解法2：如圖3，過C點作DG⊥AB
分別交AB、EF于G、D.
因為AB∥EF，所以DG⊥EF.
因為∠BCF=（∠BCG+∠DCF）
=（∠BCG）+（∠FCD），即∠BCF=∠B+∠F.
2.從點C的位置上探究
在上述問題中，折線在AB、EF之間，如果改變點C的位置，點C不在AB、EF之間，而在AB、EF的外側，如圖4、圖5所示，∠BCF的結果會是多少呢？
解：如圖4，過點C作CD∥AB.因為AB∥EF，CD∥EF，所以∠BCD=∠B，∠DCF=∠F. 所以∠BCF＝∠BCD－∠DCF＝∠B－∠F.
如圖5，過點C作CD∥AB.因為AB∥EF，CD∥EF，所以∠BCD=∠F，∠DCB=∠B. 所以∠BCF＝∠BCD－∠DCB＝∠F－∠B.

變式訓練：
1.如圖6，，∠1＝120°，∠2＝100°，則∠3＝ （?。?
A．20° B．40° C．50° D．60°
2.如圖7，AB∥CD，∠BAC的平分線和∠ACD的平分線交于點E，則∠AEC的度數是　　　　?。?br/>
3.如圖8，，直線與、分別相交于、兩點，平分∠，過點作垂足為，若∠＝30，則∠＝_____．
答案：1.A 2. 90o 3. 60°
識別兩直線平行線的方法
判定兩直線平行方法的實質就是通過角度的數量關系（相等或互補）“轉化”為兩線的位置關系．運用的關鍵是找準相等或互補的角是由哪兩條直線被哪一條直線所截而形成的．我們要善于從找出最合理的思路和方法．
一、同位角相等的角度考慮
例1 如圖1，直線AB、CD被EF所截，H是CD與EF的交點，∠1=60°，∠2=30°，GH⊥CD于H點H，求證：AB∥CD．
分析：欲判定AB∥CD，只需說明∠1=∠4，即說明∠4=60°．
證明：因為GH⊥CD，∴∠2+∠3=90°．
因為∠2=30°，所以∠3=60°．
所以∠4=∠3=60°．
又因為∠1=60°，所以∠1=∠4．
所以AB∥CD．
例2 如圖2，∠ACF+∠F=180°，∠A=∠B，試說明AB∥BE．
分析：由∠ACF+∠F=180°，可推出AC∥BF，從而有∠EGC=∠B；再由∠A=∠B，可推得∠A=∠EGC，從而可推出AB∥BE．
解：因為∠ACF+∠F=180°，所以AC∥BF．
所以∠EGC=∠B．
又∠A=∠B，所以∠A=∠EGC，所以AB∥BE．
二、從內錯角相等的角度考慮
例3 如圖3所示，已知∠D=∠A，∠B=∠FCB，求證：ED∥CF．
分析：由∠D=∠A，∠B=∠FCB，可得ED∥AB，CF∥AB，由平行公理的推理可得ED∥CF．
證明：因為∠D=∠A，所以ED∥AB．
因為∠B=∠FCB，所以CF∥AB．
所以ED∥CF．
例4 如圖4，A、B、C三點在同一直線上，∠1＝∠2，∠3＝∠D，求證：BD∥CE．
分析：要說明BD∥CE，只需要證明∠3＝∠DBE即可，而∠3＝∠D，也就是要證明∠D＝∠DBE，這就需要證明AD∥EB，而由∠1＝∠2不難得此結論．
證明：因為∠1＝∠2，
所以AD∥BE．所以∠D＝∠DBE．
因為∠3＝∠D，所以∠3＝∠DBE．
所以BD∥CE．
三、從同旁內角互補的角度考慮
例5 如圖5，∠DAF＝∠AFE，∠ADC＋∠DCB＝1800．求證：EF∥BC．
分析：由∠DAF＝∠AFE，可推出AD∥EF，由∠ADC＋∠DCB＝1800，
可得AD∥BC，從而可推出EF∥BC．
證明：因為∠DAF＝∠AFE，
所以AD∥EF．
又因為∠ADC＋∠DCB＝1800，
所以AD∥BC．所以EF∥BC．
例6 如圖6，已知AC、BC分別平分∠QAB、∠ABN，且∠1與∠2互余，求證：PQ//MN．
分析：要說明PQ//MN，關鍵在于確定“第三條直線”，該題中較為明顯的直線是AB．在“三線八角”中，與已知條件∠1、∠2有明顯聯系的是∠QAB、∠ABN，這是一對同旁內角，至此，解題途徑已經明朗．
證明：因為AC、BC分別平分∠QAB、∠ABN，所以∠QAB=2∠1，∠ABN=2∠2．
因為∠1+∠2=90°，所以2∠1+2∠2=180°．
所以∠QAB+∠ABN=180°．所以PQ//MN．

展開更多......

收起↑