資源簡介

例析反比例函數的易錯點
反比例函數是數學中的重要內容之一，更是歷年中考的熱點。但初學者由于概念理解上的偏差、研究增減性時不分象限（籠統地說：當時，y隨x的增大而減小，或當時，y隨x的增大而增大）和數形分離（不會在函數圖像中發現并采集相關信息）等現象，經常會出現一些不必要的錯誤，不知你是否也犯過下面的錯誤：
一、忽視反比例函數成立的條件“k是常數，且”
例1．若函數是反比例函數，則k的值為（ ）
A． B． C．或 D．或
錯解：∵是反比例函數，
∴，解得，．故選C．
剖析：根據反比例函數定義可知，反比例函數（或）中存在著隱含條件“”．本題的錯誤原因是只考慮到反比例滿足這一條件，而忽視了隱含條件“”．
正解：由題意得，，解得，．
當時，（符合題意）
當時，（不符合題意，舍去）
所以時，是反比例函數，故選C．
二、數形分離，顧此失彼
例2．如圖（1），P是反比例函數的圖象上一點，過P向x軸，y軸引垂線，若S陰影=5，則此函數圖象的解析式為 ．
錯解：設P點的坐標為（x0，y0），則，解得．
∴或．
剖析：上述解題過程中沒有考慮到圖像信息而導致錯誤．仔細觀察圖像，不難發現雙曲線在第二、四象限，所以．
正解：由陰影部分的面積等于5，得，解得．
∵的圖像在第二、四象限，∴，即．
三、實際問題中忽視自變量的取值范圍
例3．甲、乙兩地相距100千米，一輛汽車從甲地開往乙地，把汽車到達乙地所用的時間t（小時）表示汽車速度v（千米/時）的函數，并畫出圖象。
錯解：由，得。所畫圖象，如圖（2）所示：
剖析：由自變量的實際意義可知，函數圖象只能在第1象限內。解答本題容易忽視自變量這一隱含條件，導致把整個圖象都畫出來。
正解：由，得， 且。
用描點法畫出如圖（3）的圖象所示：
為避免再犯以上錯誤，筆者建議你在學習時關注以下幾個方面：
1．利用反比例函數關系式解決問題時，注意這一限制條件．
2．解與實際問題相關的圖象題時，要關注自變量的實際意義，不能擴大或縮小其取值范圍．
3．利用反比例函數的性質比較大小時，如果兩點不在同一個象限時，需要根據圖象作出合理的判斷，切不可用所謂的“性質”比較大?。?br/>4．畫函數的圖象時，要注意自變量不等于0這一隱含條件，不能出現圖象與坐標軸有交點等現象．
反比例函數應用的數學建模
在現實世界中廣泛存在著成反比例的量，要能夠把生產、生活中的一些問題歸結為反比例函數這種數學模型，綜合地運用反比例函數的圖形與性質解決.
一、行程問題
例1 (云南雙柏)已知甲、乙兩地相距（km），汽車從甲地勻速行駛到乙地，則汽車行駛的時間（h）與行駛速度（km/h）的函數關系圖象大致是（ ）.
解析：由于路程s確定，所以.（v＞0）,v,t為成反比例，在第一象限. 故選C.
評注：路程確定時，t,v成反比例，速度增大，時間減??；速度減小，時間增大.
二、學科綜合
例2 （湖北襄樊）在一個可以改變體積的密閉容器內裝有一定質量的二氧化碳,當改變容器的體積時,氣體的密度也會隨之改變,密度p(單位,kg/m3)是v(單位,m3)的反比例函數,它的圖象如圖所示,當v=10m3時,氣體的密謀是（ ）
A.5kg/m3 B.2kg/m3
C.100kg/m3 D.1kg/m3
解析：先設反比列函數的解析式為，過點（5，2），求出k=10，則.當v=10m3時,p=1.答案選D.
評注：跨學科性試題，借助其他學科的知識，利用數學知識進行解答，反映出數學是各學科基礎的特點.
三、圖形信息
例3（四川巴中）為預防“手足口病”，某校對教室進行“藥熏消毒”．已知藥物燃燒階段，室內每立方米空氣中的含藥量（mg）與燃燒時間（分鐘）成正比例；燃燒后，與成反比例（如圖所示）．現測得藥物10分鐘燃完，此時教室內每立方米空氣含藥量為8mg．據以上信息解答下列問題：
（1）求藥物燃燒時與的函數關系式．
（2）求藥物燃燒后與的函數關系式．
（3）當每立方米空氣中含藥量低于1.6mg時，對人體方能無毒害作用，那么從消毒開始，經多長時間學生才可以回教室？
解析：（1）設藥物燃燒階段函數解析式為，由題意得：，得．
∴此階段函數解析式為
（2）設藥物燃燒結束后的函數解析式為，由題意得：
，得．此階段函數解析式為
（3）當時，得，∴1.6x＞80. ∴
∴從消毒開始經過50分鐘后學生才可回教室．
評注：圖像信息題要能從圖像中獲取信息，并能根據需要對其進行必要的處理.
對照正比學反比
甲：怎樣才能學好反比例函數？
乙：對照正比例函數來學習．
甲：反比例函數不是與正比例函數唱反調的嗎？
乙：表面上聽起來似乎是這樣沒錯，可它們實際上卻是一對好姐妹．
甲：我原以為一正一反猶如正義與邪惡是水火不相容的．那怎么個對比法呢？
乙：先從定義開始吧．
甲：我知道正比例函數的定義是：形如的函數叫做正比例函數，那反比例函數呢？
乙：形如的函數叫做反比例函數．你看它們是不是長得很相像？
甲：的確長得有點像，可它們的性格類似嗎？
乙：有些類似，有些恰恰相反．你喜歡先聽什么樣的？
甲：既然叫做反比例，那就先說說相反的吧，讓我看看它們究竟反在哪里？
乙：首先你看它們的函數式，一個是整式，一個是分式，兩者不是有相反的味道嗎？
甲：這一點我已看出來了，我問的是在其它方面．
乙：那好，我問你：正比例函數的圖象是什么？
甲：一條經過原點的直線．
乙：反比函數的圖象是兩條不經過原點的曲線．你看，一直一曲，一個經過一個不經過，一個一條一個兩條，夠反了吧？
甲：的確有些反，除此之外還有嗎？
乙：有．你說當時，正比例函數的與之間的變化關系怎么樣？
甲：隨增大而增大．
乙：反比例函數恰好與此相反，也就是說時，不論是還是，都隨增大而減小．
甲：如此說來，當時，正比例函數隨增大而減小，而反比例函數卻是隨增大而增大了？
乙：應該補充說：在每個象限內．
甲：為什么要這樣呢？
乙：因為正比例函數自變量的取值是連續的，而反比例函數卻是，是不連續的．比如，這里的，你如果說隨增大而減小，那就錯了．
甲：難道是應該說：隨增大而增大？
乙：錯得更厲害了．
甲：為什么呢？
乙：你看，當時，；時，，從增大到，卻從減小到，你說隨增大而增大能是正確的嗎？
甲：那為什么不能說隨增大而減小呢？
乙：你看，當時，；時，，此時從增大到，從增大到，能說隨增大而減小嗎？
甲：我終于明白了為什么要說在每個象限內了．那還有其它相反的嗎？
乙：有．還有一個更為有意思的相反．
甲：哪一個？
乙：我問你：當為何值時，函數是正比例函數？
甲：不就是嗎？
乙：對．而當時，是反比例函數．你看，自變量的指數為時是正比例函數，為時是反比例函數，這里的和不就是互為相反數嗎？
甲：的確有意思．那兩者類似的是什么？
乙：首先是它們的外貌、長相猶如一對同父異母的姐妹，這一點我們已經說過了，更重要的一點是它們的圖象所在的象限與的符號關系幾乎一模一樣．我問你：當時，正比例函數的圖象在什么象限？
甲：第一、三象限，難道反比例函數的圖象也是在第一、三象限嗎？
乙：正是．而且當時，兩者的圖象也都是在第二、四象限．
甲：還有其它關系嗎？
乙：有．不論是正比例函數還是反比例函數，它們都是存在于形如這種關系的三個量．
甲：此話怎講？
乙：你看，在中，當一定時，與成正比例，當一定時，與成反比例．
甲：原來如此，我明白了，謝謝．
正比例和反比例的異同及典例一題
　　相同點：
　　(1)正、反比例研究的都是兩種變量，即都是兩種相關聯的量.
　　(2)兩種相關聯的量是成倍數的變化(即乘、除關系)，而不是增加或減少(加、減關系).
不同點：
　　正比例是兩種量中相對應的兩個數的比值(也就是商)一定；
反比例是兩種量中相對應的兩個數的積一定.
例1 k為何值時，y＝（k＋2）是反比例函數？
參考答案
分析：根據反比例函數表達式的一般形式y＝（k≠0）也可以寫成y＝kx－1（k≠0），后一種寫法中的x的次數為－1，可知此函數為反比例函數，必須具備兩個條件：k＋2≠0且k2－5＝－1
二者缺一不可．
解：由得
∴k＝2．∴當k＝2時，y＝（k＋2）是反比例函數．
常見錯誤：（1）不會把反比例函數的一般式y＝寫成y＝kx－1的形式；
（2）忽略了k＋2≠0這個條件．
“點”在反比例函數圖象上的應用
所謂點在反比例函數的圖象上，也就是反比例函數的圖象經過該點，則該點的坐標一定滿足其解析式．在中考試題中，經常出現考查點在反比例函數圖象上的題目，現歸納如下，供同學們參考．
一、判斷點在函數圖象上
例1在的三個頂點中，可能在反比例函數的圖象上的點是 ．
析解：由反比例函數知，．∵，∴若點在該函數的圖象上，需橫坐標與縱坐標同號．則只有點B滿足．
二、確定函數解析式
例2下列函數中，圖象經過點的反比例函數解析式是（ ）．
（A） （B） （C） （D）
析解：設該函數解析式為，由題可得=－1，∴該反比例函數解析式為，應選（B）．
三、求字母的取值
例3已知反比例函數的圖象經過點（3，2）和（m，－2），則m的值是 ．
析解：解答本題應先求函數解析式．由題可得，∴該函數的解析式為．把（m，－2）代入，得，
四、寫圖象上點的坐標
例4反比例函數圖象上一個點的坐標是　　　　　?。?br/>析解：本題是一道開放性試題，答案不唯一，只要滿足條件的任一點均可．
五、比較值或值大小
例5若反比例函數的圖象上有兩點，，則______（填“”或“”或“”）．
析解：本題考查反比例函數圖象的性質?！?，∴反比例函數的圖象的兩個分支在第二、第四兩個象限，在每個象限內的值隨值的增大而增大．又∵0，∴．
點評：在利用函數性質比較值或值大小時，不僅要注意已知值的大小，更要看準考查點是否位于同一象限內．
反比例函數圖象及性質的應用
一、求字母的值
【例1】已知函數y＝（m2 －1）x－1是反比例函數，求m的取值范圍？若當x=1時，y＝3，試確定此反比例函數的表達式.
　　【思考與分析】反比例函數的表達式y=中的比例系數k≠0，我們看到本題中的比例系數是用字母表示的，注意m2 －1≠0時滿足條件.
　　解：由m2 －1＝0
　　解得m＝1或m=－1.
　　所以當m≠1且m≠－1時，函數y＝（m2 －1）x－1是反比例函數.此反比例函數式可寫成y=.
　　把x=1時，y＝3代入解析式，得3＝m2 －1，
　　解得m＝2或m＝－2．
　　所以此反比例函數的表達式是y=3x－1=
　　【小結】反比例函數的表達式是y=（k為常數，k≠0），當反比例函數的比例系數用字母來表示時，注意不要忽略了比例系數不為零這一條件.求解此類問題時，要考慮全面
二、巧用函數的增減性
1.利用增減性求“k”的取值范圍
　　【例2】 反比例函數y=的圖象在每個象限內，y隨x的增大而減小，則k的值可為　　　　　　　　　　　　　　　　　　　?。ā　。?br/>　　　A．－1　　B．0　　C．1　　D．2
　　【分析與解】反比例函數當k＞0時，圖象在第一、三象限，并且在每個象限內圖象呈下降趨勢，即在每個象限內y隨x的增大而減??；當k＜0時，圖象在第二、四象限，并且在每個象限內圖象呈上升趨勢，即在每個象限內y隨x的增大而增大.因為題中y隨x的增大而減小，則2k－2＞0，解得k＞1.故選D.
　　
2.利用增減性比較大小
　　【例3】若A（－3，y1），B（－2，y2）， C（－1，y3）三點都在函數y=－的圖象上，則y1、y2、y3的大小關系是（　　）
　　A．y1＞y2＞y3　　B．y1＜y2＜y3　　
C．y1＝y2＝y3　　D．y1＜y3＜y2
　　【分析與解】因為k＝－1＜0，所以反比例函數在第二、四象限內，在每個象限內y隨x的增大而增大.
　　又因為－3＜－2＜－1，所以y1＜y2＜y3，故選B.
　　另外此題還可用圖象法直接求解如圖所示．
　　從圖象上可直接看出y1＜y2＜y3.
三、如何判定函數
判定兩個變量間的函數關系是不是反比例函數，有兩種常用方法：1.若兩個變量的積是一個不等于0的常數，則為反比例函數；2.若有式子的形式（k為非零常數），則為反比例函數.下面舉例說明.
　　【例4】下列各題中的兩個變量之間哪些是反比例函數，哪些不是？
　　（1）中的y和x；
　?。?）積為非零常數的兩個乘數x與y；
　?。?）除數一定時，被除數和商；
　?。?）被除數一定時，除數和商；
　?。?）多邊形的邊數n與它的內角和y.
　　【分析與解】（1）∵，∴，
　　即y是x的正比例函數，比例系數是
　　（2）∵xy＝k（k≠0，k為常數），∴ 根據方法1，積為非零常數的兩個乘數是反比例函數關系.
　?。?）設除數為a（定值），被除數為b，商為c，則＝c（a≠0），即b＝ac.因為是y＝kx（k≠0，k為常數）的形式，所以是正比例函數關系，不是反比例函數關系.
　?。?）設被除數為b（定值），除數為a，商為c，則
　　當b≠0時，是的形式，因此，是反比例函數關系；
　　當b＝0時，總有c＝0，既不是正比例函數關系，也不是反比例函數關系.
　?。?）∵y＝（n－2）·180°，即y＝180°n－360°，
　　∴多邊形的邊數n和它的內角和y的函數既不是正比例函數，也不是反比例函數，而是一次函數.
四、求實際中的解析式
1、根據概念求解析式
　　【例5】已知y＝（2－k）x 3－k是反比例函數，求它的解析式．??
　　【思考與分析】反比例函數的概念要滿足的兩個必備條件：1.自變量的指數是－1； 2.比例系數k≠0.故可求得k的值，從而得到解析式.
　　解：由反比例函數的概念可得：
　　
　　∴它的解析式是或y＝4x－1.
　　【反思】由自變量指數為－1可得k=±2，不能急于下結論，還要檢驗反比例系數“２－k≠0”，只有同時具備才可確定本題中k的值.
　　2、利用隱含的反比例關系求解析式
　　【例6】（1）已知當V=40m3時，ρ＝2kg/m3，試確定ρ與V之間的函數關系式；???
　　（2）一個矩形的面積是40mm2，相鄰兩邊長分別為xmm，ymm．寫出y與x之間的函數關系式.
　　（3）甲、乙兩地相距72km，寫出汽車行駛時間t（h）與平均速度v（km/h）之間的函數關系式．
　　【思考與分析】通過讀題我們會發現上述各題中的兩個變量都存在反比例函數關系，我們根據各個量之間的關系建立等式，就可以得到反比例函數的解析式.
　　解：（1）因為ρ與V存在反比例函數關系，所以設（m≠0，且m為常數），因為V=40m3時，ρ＝2kg/m3，所以2＝.解得m=80.
　　所以ρ與V之間的函數關系式為：
　?。?）因為矩形面積是相鄰兩邊的積，即y×x＝40，
　　所以y與x之間的函數關系式是：y=
　?。?）因為汽車行駛時間t（h）×平均速度v（km/h）＝兩地的距離，所以汽車行駛時間t（h）與平均速度v（km/h）之間的函數關系式是:t=.
反比例函數的圖象與性質錯解“診所”
處理反比例函數問題時最容易出現的錯誤主要有兩點：
一是忽略定義y=中的k≠0這個條件；
二是在研究反比例函數的增減性時不分象限，將雙曲線不同分支上的點混在一起．
例1．若y=（k－3）x為反比例函數，則k= ．
錯解：因為是反比例函數，則k－10=－1，所以．
會診：反比例函數的定義是：一般地，形如y=（ k≠0的常數）的函數叫反比例函數．忽略“k≠0”這個條件．
正解：由k－10=－1，解得；又因為k－3≠0，所以k=－3．
例2．判斷正誤：反比例函數y=－中，y隨著x的增大而增大．
錯解：正確．
會診：反比例函數y=（ k≠0的常數）的性質是，當k＜0時在每一象限內，y隨著x的增大而增大．忽略了在“每一象限內”這一條件．只有當x＞0或x＜0時y隨著x的增大而增大．
正解：錯誤．
例3．在函數y=－（a≠0的常數）的圖像上有三個點（－2，b）、（－1，c）、（3，d），則函數值的大小關系是（ ）
A．b＜c＜d B．d＜c＜b C．c＜d＜b D．d＜b＜c。
錯解：因為－a＜0，所以 y隨著x的增大而增大．又因為－2＜－1＜3， b＜c＜d．
所以選擇A．
會診：此題的錯誤是分析反比例函數的增減性時不分象限，將雙曲線不同分支上的點混在一起．本題的（－2，b）、（－1，c）兩點在雙曲線的第二象限的分支上，由－2＜－1，得0＜b＜c；而點（3，d）在雙曲線的第四象限的分支上，d＞0．所以它們的大小關系是d＜b＜c．
正解：選擇D．
例4．已知反比例函數y=的圖像上兩點A（a，b）、B（c，d）．當a＜0＜c時，有b＜d，則m的取值范圍是（ ）
A．m＜0 B．m＞0
C．m＜1/2 D．m＞1/2
錯解：因為當a＜0＜c時，有b＜d，即y隨著x的增大而增大．所以1－2m＜0，得m＞1/2 ，因此選擇D．
會診：此題的錯誤是將雙曲線不同分支上的點混在一起，來分析反比例函數的增減性．因為a＜0＜c，所以A、B兩點分別位于二個象限內，點A在第二或三象限的分支上，則點B在第四或一象限的分支上．又因為b＜d，點B只能在第一象限的分支上，則點A在第三象限的分支上．所以1－2m＞0，解得m＜1/2．
正解：選擇C．
根據圖形解反比例函數問題
根據圖形面積解決與反比例函數有關的問題是一類重要的類型題，下面通過具體的例子談談此類問題的解題方法.
例1如圖，若點A在反比例函數的圖象上，AM⊥x軸于點M，△AMO的面積為3，則 ．
分析：已知△AMO的面積為3，要求k的值，需要找到k與△AMO的面積之間的關系.可設點A的坐標為（m，n），用m，n表示出AM，OM的長即可找到k與三角形面積之間的關系.
解: 設點A（m，n），則AM=n，OM=－m，
所以S△AMO=AM·OM=－mn=3，
所以mn=－6，
又點A在反比例函數的圖象，可得k=mn，
所以k=－6.
點評：解決本題的基本思路是設出點A的坐標，用點A的坐標將三角形的面積，并求到坐標的積，根據坐標積求到k.
例2若正方形AOBC的邊OA、OB在坐標軸上，頂點C在第一象限且在反比例函數y=的圖象上，則點C的坐標是 .
分析：解決問題可畫出圖，根據正方形AOBC可知AC=BC，據此可設點C的坐標為（m，m），代入函數關系式求到m即可.
解： 設點C為（m，m），因為點C在反比例函數y=的圖象
所以m2=1，解得m=1或－1，
因為點C在第一象限，所以m=－1要舍去.
所以點C的坐標為（1，1）.
點評：解決本題的關鍵是利用點C在反比例函數圖象上，點C的坐標滿足函數關系式列出方程，應注意的問題是根據圖象所在象限確定m的符號.
例3如圖，在平面直角坐標系中，函數（，常數）的圖象經過點A（1，2），B（m，n），（），過點B作y軸的垂線，垂足為C．若△ABC的面積為2，則點B的坐標為 ．
分析: 求點B的坐標,也就是求m,n的值.可根據△ABC的面積及點B在函數圖象上,列出方程求解.
解：因為點A的縱坐標為2，點B的縱坐標為n，所以△ABC的BC邊上的高為2－n，又BC=m，
根據△ABC的面積，得(2－n)m=2,所以m－mn=2,①
又由點A在圖象上可得2=k,所以n=,所以mn=2,②
把②代入①,得m=3,所以n=.
所以點B的坐標為(3, ).
點評:本題主要利用點的坐標表示△ABC的面積,根據圖象上點的坐標滿足函數關系式,構造方程解決問題.
練習：反比例函數的圖象如圖所示，點M是該函數圖象上一點，MN垂直于x軸，垂足是點N，如果S△MON＝2，則k的值為（　）。
A.2　　 B.－2 C.4　　 D.－4
參考答案：D
結識函數家族的新成員——反比例函數
一、認識反比例函數的意義：
1．定義：一般地，形如（是常數，）的函數為反比例函數．其中自變量x的取值范圍是不等于零的實數．
注意：（1）要能理解反比例函數所表示兩個變量的乘積是一個常數；
（2）在中，自變量x的取值范圍是不等于零的實數，且；
（3）的表達形式常寫成的形式便于應用．
二、了解反比例函數圖象的畫法：
反比例函數圖象的畫法是描點法，其步驟是：
1．列表：自變量的取值應以0為中心，沿0的兩邊取三對以上相反數，分別計算y的值；
2．描點：先畫出一側，另一側根據關于原點的對稱性去找．
3．連線：按從左到右的順序連接各點，圖象的兩個分支是斷開的，延伸部分有逐漸靠近坐標軸的趨勢，但永遠不能與坐標軸相交．
4．在圖象上注明函數的關系式．
注意：（1）在連線過程中，應從x由大到小的順序用平滑的曲線連接．
（2）不能把圖象畫成與坐標軸相交．
三、掌握反比例函數的性質：
1．反比例函數（）的圖象是由兩條曲線組成的，這兩條分支通稱為雙曲線．
2．當時，雙曲線的兩個分支在第一、第三兩上象限，在每個象限內，y值隨x的增大而減?。划敃r，雙曲線的兩個分支在第二、第四兩上象限，在每個象限內，y值隨x的增大而增大．
注意：（1）反比例函數，因為故其圖象不經過原點，不與坐標軸相交；
（2）雙曲線是由兩個分支組成的，故一般不說兩個分支經過第一、三（或第二、四）象限，而說兩個分支在第一、三（或第二、四）象限．
（3）反比例函數的增減性不是連續的，因此在談到反比例函數值的增減性時，一般都說在各自的象限內的增減情況．
四、學會用待定系數法來確定反比例函數的解析式：
由于反比例函數中只有一個待定系數，因此只要一對對應的x、y值，或已知其圖象上一個點的坐標即可求出，進而確定反比例函數的表達式．
五、正確理解反比例函數表達式中的幾何意義：
如圖1，過雙曲線上任意一點P(x,y)作x軸，y軸的垂線PM、PN，所得矩形PMON的面積S=PM?PN=|x|?|y|,而，所以xy=k，所以S=|xy|=|k|．即過雙曲線上用意一點作x軸，y軸的垂線所得矩形的面積為|k|．
六、認識反比例函數應注意的問題：
1．在研究反比例函數的增減性和大致位置時，要借助于函數的圖象進行．
2．注意反比例函數與正比例函數、一次函數之間的對比，分別從函數的解析式、圖象特征、函數的增減性、自變量的取值范圍、與坐標軸的交點等方面進行認識．
3．認識反比例函數的圖象要以形助數，用數形結合的思想來全面認識，培養數形結合思想．
反比例函數中的數學思想
數學思想是對數學內容的進一步提煉和概括，是對數學內容的一種本質認識。它是數學發現、發明的關鍵和動力，抓住數學思想方法，是提高解題能力的根本所在。在平時的學習過程中，如果能注意有意識地發現解題過程中的數學思想，并能加以歸納，則抓住了問題的本質，升華了思維，真正學到了數學方法。
一、分類討論思想
例1.已知一次函數與反比例函數的圖象交于點．
（1）求這兩個函數的函數關系式；
（2）在給定的直角坐標系（如圖1）中，畫出這兩個函數的大致圖象；
（3）當為何值時，一次函數的值大于反比例函數的值？當為何值時，一次函數的值小于反比例函數的值？
解：（1）設一次函數的關系式為，反比例函數的關系式為，
反比例函數的圖象經過點，．
所求反比例函數的關系式為．將點的
坐標代入上式得，點的坐標為．
由于一次函數的圖象過和，
解得所求一次函數的關系式為．
（2）兩個函數的大致圖象如圖．
（3）由兩個函數的圖象可以看出．
當和時，一次函數的值大于反比例函數的值．
當和時，一次函數的值小于反比例函數的值．
點評：分類討論思想是解決函數類問題中常用的一種數學思想．分類要注意兩點：
（1）正確選擇一個分類標準；
（2）分類要科學，既不重復，又不遺漏．
二、數形結合思想
例2．利用圖象解一元二次方程時，我們采用的一種方法是：在平面直角坐標系中畫出拋物線和直線，兩圖象交點的橫坐標就是該方程的解．
（1）填空：利用圖象解一元二次方程，也可以這樣求解：在平面直角坐標系中畫出拋物線 和直線，其交點的橫坐標就是該方程的解．
（2）已知函數的圖象（如圖2所示），利用圖象求方程的近似解（結果保留兩個有效數字）．（6分）
解：（1）；
（2）畫出直線的圖象． 由圖象得出方程的近似解為：．
點評：本題體現了數形結合思想。數形結合思想就是在研究問題時把數和形結合起來考慮，或者把問題的數量關系轉化為圖形的性質，或者把圖形的性質轉化為數量關系，從而使復雜的問題簡單化，抽象的問題具體化．
三、方程思想
例3．已知一次函數y=ax＋b的圖象與反比例函數 的圖象交于A（2，2），B(－1，m)，求一次函數的解析式．
解：因為B（－1，m）在上， 所以，所以點B的坐標為（－1，－4），又A、B兩點在一次函數的圖象上， 所以，
所以所求的一次函數為y=2x－2．
評注：在解決函數問題時，從未知轉化為已知的手段就是通過設元，尋找已知與未知之間的等量關系，構造方程或方程組，然后求解方程完成未知向已知的轉化。要做到得心應手，就得善于挖掘隱含條件，具有方程的思想意識，在平時的學習，應該不斷積累用方程思想解題的方法．
四、轉化思想
例4.如圖3，梯形AOBC的頂點A、C在反比例函數圖象上，OA∥BC，上底邊OA在直線y=x上，下底邊BC交x軸于E（2，0），
則四邊形AOEC的面積為（ ）
A．3 B． C．－1 D．+1
解析：過點C作CD⊥OE，垂足為D，由OA∥BC，
A在直線y=x上，可知CD=ED=1，EC=而OE=2，∴OD=3，
則C（3，1）設反比例函數解析式為：，則有k=3．∴，
設A（a, a）則有，∴A（，），于是有OA=．
過點E作EF⊥OA，則△OEF為等腰直角三角形，∴EF=．
∴由梯形面積公式可求四邊形AOEC的面積為：=+1，故選D．
評注：本題的主要是把已知條件中的點C的縱坐標，及OE的長，通過借助直線OA的解析式與OA和EC的平行關系，轉化為梯形CAEO中的兩底及高，從而求得梯形的面積．
反比例函數中的面積定值
在新課標中考試卷中，常有不少的試題涉及到反比例函數圖象中的面積問題。眾所周知，反比例函數的本質特征是變量y與變量x的乘積是有關常數k（定值），由此不難得到反比例函數的有關重要性質：
若A點是反比例函數圖象上的任意一點，且AB垂直于x軸，垂足為B，AC垂直于y軸，垂足為C（如圖1所示），
則矩形面積＝|k|。
若連接AO ,則有
現舉例說明這些結論的應用。
例1．（內江市中考題）如圖2，反比例函數圖象上一點A與坐標軸圍成的矩形ABOC的積是8 ，則該反比例函數的解析式為 .
分析：由圖象在第一、三象限知，反比例函數中的k＞0，又由上述結論知|k|＝8，故k＝8，從而反比例函數的解析式為
例2．（呼和浩特市中考題）如圖3，P是反比例函數（k＞0）的圖象上的任意一點，過P作x軸的垂線，垂足為M，已知＝2.
（1）求k的值；
（2）若直線y＝x與反比例函數的圖象在第一象限內交于A點，求過點A和點B的直線的解析式。
分析：（1）由＝|k|＝2且k＞0，知k＝4.
（2）解有x＝2，y＝2.又A點在第一象限內，
故A點的坐標為（2，2）。
設所求直線的解析式為y＝kx+b，由它過A（2，2）和B（0，2），
有，解得，所以所求的直線解析式為y＝2x－2.
例3．（成都市中考題）如圖4，已知反比例函數（k＜0）的圖象經過點A（－，m）過點A作ABx軸于點B，且△AOB的面積為。求k和m的值.
分析：由＝|k|＝且k＜0知：k＝。
將x＝代入y＝有y＝2，故m＝2.
例4．（福州市中考題）如圖5，已知：正方形OABC的面積為9，點O為坐標原點，點A在軸上，點C在y軸上，點B、P（,）在函數（>0, >0）的圖象上，過P點分別作軸、y軸的垂線，垂足分別為E、F，并設矩形OEPF和正方形OABC不重合部分的面積為s.
（1）求B點坐標和的值；
（2）當=時，求點P的坐標；
（3）寫出s關于的函數關系式.
解：（1）依題意，設B點坐標為（x，y），
則有S正方形OABC=xy=9，得x=y=3，即B（3，3），
因為k=xy，所以k=9；
（2）設PF交AB于G，當m＞3時，由點P（m，n）在y=上，
有S矩形OEPF=mn=9，S矩形OAGF=3n，
由已知S=9－3n=，所以n=，m=6.
故P1（6，）；
當m＜3時，同理可求得P2（，6）；
（3）當0＜ m＜3時，
因為P（m，n），所以S矩形OECG=3m，所以S=S矩形OEPF－S矩形OEGC，
即S=9－3m（0＜ m＜3）；
當m≥3時，
因為P（m，n），所以S矩形OAGF=3n，又mn=9，n=，所以S=9－3n=9－，即S=9－（m≥3）.
練習題
（江蘇省泰州市中考題）如圖6，正比例函數y＝kx（k＞0）與反比例函數的圖象相交于A、C兩點，ABx軸于B，CDx軸于D，試說明四邊形ABCD 的面積為常數。
（參考答案：）
反比例函數中考題賞析
隨著課程改革的進一步推進,有關反比例函數的考題出現了不少新題型,命題者往往給出一些新情境,設置一些新問題,以考查同學們的應變能力和創新能力.現就中考試題中的有關反比例函數的新題型,精選兩例析解如下,供同學們鑒賞：
例1 如圖，，，……在函數的圖像上，，，，……都是等腰直角三角形，斜邊、、，……都在軸上
(1)求的坐標；
(2)求的值.
分析:通過解直線OP1、A1P2、A2P3、……A9P10所對應的函數解析式與反比例函數的聯列方程組,可以分別求得點P1、P2、P3的坐標,再通過點P1、P2、P3的坐標來探求坐標之間的規律,從而使問題得以解決.
解:(1)由題意可知直線OP1的解析式為，
解方程組得到點P1的坐標為（2，2），
(2)因為是等腰直角三角形,故可設直線P1A1的解析式為
由直線過點P1（2，2），代入可得b=4,
從而直線P1A1的解析式為
令可以求得點A1的坐標為（4，0），
又可以得到直線A1P2的解析式為，
解方程組：得到點P2的坐標為（）
同理可以求得點P3的坐標為（）
由,,……
可以得到, 從而可以得到
=
=.
評注：這道題是由05年江蘇南通的一道中考題演變而來,題設條件、圖形都一模一樣，可所求結論增加了難度.江蘇南通的那道題只要求點A2的坐標,而現在這道題不僅要求點的坐標，還要求的值.這可以看出命題者的匠心獨運、用心良苦.當然江蘇南通那道題的解題思路也為現在這道題作了鋪墊.
求函數圖像交點坐標,可以通過解函數圖像所對應解析式的聯立方程組,方程組的解就是函數圖像交點坐標;當所求和的項比較多時,不必一一求出,可通過觀察分析前幾項,探求它們之間的規律,可使問題化繁為簡,事半功倍.
例2已知：等腰三角形OAB在直角坐標系中的位置如圖，點A的坐標為（），點B的坐標為（－6，0）.
(1)若三角形OAB關于y軸的軸對稱圖形是三角形O，
請直接寫出A、B的對稱點的坐標；
(2)若將三角形沿x軸向右平移a個單位，此時點A
恰好落在反比例函數的圖像上，求a的值；
(3)若三角形繞點O按逆時針方向旋轉度（）.
①當=時點B恰好落在反比例函數的圖像上，求k的值．
②問點A、B能否同時落在①中的反比例函數的圖像上，若能，求出的值；若不能，請說明理由.
分析：(1)根據坐標系中關于y軸對稱的點縱坐標相同，橫坐標互為相反數，易得點的坐標；(2)根據圖形沿x軸平移，縱坐標不變，可以求得點A落在反比例函數的圖像上時所對應的橫坐標，再與平移前的橫坐標相比較，得到平移的單位a的值.
(3)分別求得△繞點O按逆時針方向旋轉30°,60°時,A、B對應點的坐標,再代入反比例函數,求得的值和進行驗證.
解：(1)點的坐標為
(2)將點A的縱坐標代入反比例函數 , 即
得到對應的橫坐標 ,
平移前的橫坐標為,平稱后的橫從標為,
所以△沿x軸向右平移了個單位, 即
(3) ①將△繞點O按逆時針方向旋轉30°,
此時對應點B//的坐標為 ，
將B//的坐標代入反比例函數，即 解得：
② 能將△繞點O按逆時針方向旋轉60°,
，對應點的坐標分別是，
經經驗：它們都在的圖像上， ∴
評注：這道題涉及到等腰三角形、軸對稱、平移、旋轉、點的坐標和反比例函數等諸多知識點.在坐標系中，關于軸對稱的點，橫坐標相同,縱坐標互為相反數,關于軸對稱的點,縱坐標相同，橫坐標互為相反數；圖形在坐標系中沿軸方向平移,縱坐標不變，沿軸方向平移，橫坐標不變；點的坐標滿足函數關系式，點就在函數圖像上，點的坐標不滿足函數關系式，點就不在函數圖像上.
反比例函數圖像信息型應用題例析
函數圖像是溝通函數解析式與性質之間關系的一座橋梁，正確認識并利用好圖像是解決函數問題的關鍵所在．下面以2道中考題為例加以說明，供同學們復習時參考．
例1、如圖，奧運圣火抵達某市奧林匹克廣場后，沿圖中直角坐標系中的一段反比例函數圖像傳遞．動點表示火炬位置，火炬從離北京路10米處的點開始傳遞，到離北京路1000米的點時傳遞活動結束．迎圣火臨時指揮部設在坐標原點（北京路與奧運路的十字路口），為少先隊員鮮花方陣，
（1）求圖中反比例函數的關系式（不需寫出自變量的取值范圍）；
（2）當鮮花方陣的長是寬的4倍時，確定此時火炬的位置（用坐標表示）；
（3）設，用含的代數式表示火炬到指揮部的距離；當火炬離指揮部最近時，確定此時火炬的位置（用坐標表示）．
解析：（1）設反比例函數為．方陣始終保持矩形形狀且面積恒為10000平方米（路線寬度均不計）．所以，．
（2）設鮮花方陣的寬為米，則寬為4m米，由題意得：4m2=10000，m=50，m=-50（舍?。┧源藭r火炬的坐標為或．
（3），在中，
．所以當時，最小，此時，又，，，，且．．
例2、為了預防流感，某學校在休息天用藥熏消毒法對教室進行消毒。已知藥物釋放過程中，室內每立方米空氣中的含藥量y（毫克）與時間t（小時）成正比；藥物釋放完畢后，y與t的函數關系式為（a為常數），如圖所所示，據圖中提供的信息，解答下列問題：
（1）寫出從藥物釋放開始，y與t之間的兩個函數關系式及相應的自變量取之范圍；
（2）據測定，當空氣中每立方米的含藥量降低到0.25毫克以下時，學生方可進入教室，那么從藥物釋放開始，至少需要經過多少小時后，學生才能進入教室？

解析：（1）由點P的坐標（3，）可求出反比例函數的關系式為(x＞), 則當y=1時，x=，設正比例函數的關系式為，把點（，1）代入可得k=，即正比例函數的關系式為（≥x≥0）；
（2）把y=0.25代入反比例函數(x＞)，得x=6，所以至少要經過6個小時后學生才能進入教室。
練習：1、如圖，某一蓄水池每小時的排水量（m/h）與排完水池中的水所用時間（h）之間的函數圖像．
（1）寫出此函數圖像的解析式；
（2）若要用6 h排完水池的水，那么每小時的排水量是多少？
2、某校科技小組進行野外考察，途中遇到一片十幾米寬的爛泥濕地．為了安全、迅速通過這片濕地，他們沿著前進路線鋪了若干塊木塊，構筑成一條臨時近道．木板對地面的壓強是木板面積的反比例函數，其圖像如下圖所示．
（1）請直接寫出這一函數表達式和自變量取值范圍；
（2）當木板面積為時，壓強是多少？
（3）如果要求壓強不超過，木板的面積至少
要多大？
答案：
1、（1）根據函數圖像可知，它是一個反比例函數圖像，即設函數解析式為，又因為點（12，4）在函數圖像上，所以4=，解得k=48，函數解析式是，
（2）當t=6小時時，代入中，得=8，即每小時的排水量是立方米．
分析：這是一道以物理學中力學知識為背景的試題．
2、（1）．
（2）當時，．即壓強是．
（3）由題意知，，所以S≥0.1，即木板面積至少要有．　
反比例函數在實際生活中的四種運用
一、在電學中的運用
在物理學中，有很多量之間的變化是反比例函數的關系，因此，我們可以借助于反比例函數的圖象和性質解決一些物理學中的問題，這也稱為跨學科應用。
例1 在某一電路中，保持電壓不變，電流I(安培)和電阻R(歐姆)成反比例，當電阻R＝5歐姆時，電流I＝2安培．
(1)求I與R之間的函數關系式；
(2)當電流I＝0.5時，求電阻R的值．
(1)解：設I＝??∵R＝5，I＝2，于是 =2×5＝10，所以U＝10，∴I＝．
(2)當I＝0.5時，R＝=＝20(歐姆)．
點評：反比例函數與現實生活聯系非常緊密，特別是為討論物理中的一些量之間的關系打下了良好的基礎。用數學模型的解釋物理量之間的關系淺顯易懂，同時不僅要注意跨學科間的綜合，而本學科知識間的整合也尤為重要，例如方程、不等式、函數之間的不可分割的關系．
二、在光學中運用
例2 近視眼鏡的度數y（度）與焦距x（m）成反比例，已知400度近視眼鏡鏡片的焦距為0.25m．
（1）試求眼鏡度數y與鏡片焦距x之間的函數關系式；
（2）求1 000度近視眼鏡鏡片的焦距．
分析：把實際問題轉化為求反比例函數的解析式的問題．
解：（1）設y=，把x=0.25，y=400代入，得400=，
所以，k=400×0.25=100，即所求的函數關系式為y=．
（2）當y=1000時，1000=，解得=0.1m．
點評：生活中處處有數學。用反比例函數去研究兩個物理量之間的關系是在物理學中最常見的，因此同學們要學好物理，首先要打好數學基礎，才能促進你對物理知識的理解和探索。
三、在排水方面的運用
例3 如圖所示是某一蓄水池每小時的排水量V（m3/h）與排完水池中的水所用的時間t（h）之間的函數關系圖象．
（1）請你根據圖象提供的信息求出此蓄水池的蓄水量；
（2）寫出此函數的解析式；
（3）若要6h排完水池中的水，那么每小時的排水量應該是多少？
（4）如果每小時排水量是5 000m3，那么水池中的水將要多少小時排完？
分析：當蓄水總量一定時，每小時的排水量與排水所用時間成反比例．
解：（1）因為當蓄水總量一定時，每小時的排水量與排水所用時間成反比例3 所以根據圖象提供的信息可知此蓄水池的蓄水量為：4 000×12=48 000（m3）．
（2）因為此函數為反比例函數，所以解析式為：V=；
（3）若要6h排完水池中的水，那么每小時的排水量為：V==8000（m3）；
（4）如果每小時排水量是5 000m3，那么要排完水池中的水所需時間為：t==8000（m3）
點評：學會把實際問題轉化為數學問題，充分體現數學知識來源于實際生活又服務于實際生活這一原理。
四、在解決經濟預算問題中的應用．
??? 例4 某地上年度電價為0.8元，年用電量為1億度，本年度計劃將電價調至0.55～0.75元之間，經測算，若電價調至x元，則本年度新增用電量y(億度)與(x－0.4)元成反比例.又當x＝0.65元時，y＝0.8
(1)求y與x之間的函數關系式；
(2)若每度電的成本價0.3元，電價調至0.6元，請你預算一下本年度電力部門的純收人多少?
解：(1)∵y與x－0.4成反比例，∴設y＝ (k≠0)．
把x＝0.65，y＝0.8代入
y＝，得0.8＝， 解得k＝0.2，∴y＝
?∴y與x之間的函數關系為y＝
(2)根據題意，本年度電力部門的純收入為：
(0.6－0.3)(1＋y)＝0.3×2＝0.6(億元)
答：本年度的純收人為0.6億元。
點評：在生活中各部門，經常遇到經濟預算等問題，有時關系到因素之間是反比例函數關系，對于此類問題我們往往由題目提供的信息得到變量之間的函數關系式，進而用函數關系式解決一個具體問題．
反比例函數在實際生活中的運用
反比例函數和其它函數一樣，在我們的日常生活中有著廣泛的應用.那么如何才能正確在利用反比例函數的關系來解決實際問題呢？具體地說應從以下兩個方面入手：
一、正確地探求兩個變量之間的關系
和利用其它函數解決實際問題一樣，要利用反比例函數的關系解決實際問題，只要求能夠正確地探求兩個變量之間的關系.探索反比例函數中的兩個變量之間的關系同樣和列方程解應用題一樣，即弄清題意和題目中的數量關系，找到能夠表示應用題全部含義的一個相等的關系，根據這個相等的數量關系式，列出所需的代數式，從而列出兩個變量之間的關系式.常見的表示數量之間的關系有以下幾種情形：
（1）和、差、倍、分問題，即兩數和=較大的數+較小的數，較大的數=較小的數×倍數±增（或減）數.
（2）行程類問題，即路程=速度×時間.
（3）工程類問題，即工作量=工作效率×工作時間.
（4）濃度類問題，即溶質質量＝溶液質量×濃度.
（5）分配類問題，即調配前后總量不變，調配后雙方有新的倍比關系.
（6）等積類問題，即變形前后的質量（或體積）不變.
（7）數字類問題，即有若個位上數字為a，十位上的數字為b，百位上的數字為c，則這三位數可表示為100c+10b+a，等等.
（8）經濟類問題，即利息＝本金×利率×期數；本息和＝本金+利息＝本金+本金×利率×期數；稅后利息＝本金×利率×期數×（1－利息稅率）；商品的利潤＝商品的售價－商品的進價；商品的利潤率＝×100％.
（9）增長（或降低）率問題，即實際生產數＝計劃數×［1+增長率（或－減少率）］，增長率＝×100％.
（10）圖形類問題，即根據圖形的特征，結合規范圖形的周長公式、面積公式、體積公式等等.
二、注意典型習題的訓練和鞏固
為了能幫助同學們正確地利用反比例函數來解決實際問題，現歸類說明如下：
　?。ㄒ唬┰谛谐填悊栴}中的應用
例1　小華的爸爸早晨騎自行車帶小華到15千米的鎮外去趕集，回來時讓小華乘公共汽車，用的時間少了．假設兩人經過的路程一樣，而且自行車和汽車的速度在行駛過程中都不變，爸爸要小華找出從家里到鎮上的時間和乘坐不同交通工具的速度之間的關系．
簡析　設小華乘坐交通工具的速度是v千米/時，從家里到鎮上的時間是t小時．因為在勻速運動中，時間＝路程÷速度，所以，從這個關系式中發現:路程一定時，時間t就是速度v的反比例函數．即速度增大了，時間變小；速度減小了，時間增大．自變量v的取值是v＞0．
（二）在平面圖形中的應用
例2在□ABCD中,AB=4cm,BC=1cm,E是CD邊上一動點,AE、BC的延長線交于點F,設DE=x(cm),BF=y(cm).求y與x之間的函數關系式,并寫出自變量x的取值范圍.
簡析　四邊形ABCD是平行四邊形，所以AD∥CF,即，所以，則，此時自變量x的取值范圍是0< x<4.
（三）在立體圖形中的應用
例3一個長方體的體積是100立方厘米，它的長是y厘米，寬是5厘米，高是x厘米．
（1）寫出用高表示長的函數關系式；
（2）寫出自變量x的取值范圍；
簡析 （1）因為100＝5xy,所以．（2）由于長方體的棱長是正值，所以x＞0．
　　（四）在物理學上的應用
例4一定質量的氧氣,它的密度ρ(kg/m3)是它的體積V( m3) 的反比例函數, 當V=10m3時, ρ=1.43kg/m3. （1）求ρ與V的函數關系式；（2）求當V=2m3時求氧氣的密度ρ.
簡析?。?）設ρ= ,當V=10m3時, ρ=1.43kg/m3,所以1.43= ,即k=14.3,所以ρ與V的函數關系式是ρ=；（2）當V=2m3時, ρ==7.15(kg/m3),所以當V=2m3時,氧氣的密度為7.15(kg/m3).
　　（五）日常生活中的問題
例5　你吃過拉面嗎？實際上在做拉面的過程中就滲透著數學知識：一定體積的面團做成拉面，面條的總長度y(m)是面條的粗細(橫截面積)s(mm2)的反比例函數，其圖像如圖所示.
（1）寫出y與s的函數關系式；
（2）求當面條粗1.6mm2時，面條的總長度是多少米？
　　簡析（1）依題意，結合圖像，不妨設反比例函數的解析式為y＝（k≠0，s≥0），由于圖像經過點（4，32），則有32＝，所以k＝128，即y與s的函數關系式為y＝（s≥0），（2）當面條粗s＝1.6mm2時，面條的總長度是y＝80(mm)＝0.8(m).
反比例函數學習要點
眾所周知，反比例函數在現實生活中的應用極為廣泛，所以反比例函數是函數知識中的重要的內容之一，那么如何才能學好這一知識呢？筆者認為應注意抓好以下幾個要點：
一、注意正確理解反比例函數的概念
①定義：一般地，函數（k是常數，k≠0）叫做反比例函數，其中自變量x的取值范圍是x≠0的一切實數，y的取值范圍是y≠0的一切實數.
②一般形式：（k≠0），也可以寫成y＝kx－1.
③反比例函數（k≠0），y與x成反比例關系.
二、知道“反比例關系”與“反比例函數”的區別與聯系
反比例關系是小學里研究的概念，即如果xy＝k（k是常數，k≠0），那么x與y這兩個量成反比例關系，這里的x、y既可以代表單獨一個字母，也可以代表一個單項式或多項式.如：y+4與x－3成反比例，則y+4＝（k是常數，k≠0）.但成反比例的關系式，不一定是反比例函數，而反比例函數中的兩個量一定成反比例.
三、熟練掌握反比例函數的圖象的形狀和反比例函數所具有的性質
　?、俜幢壤瘮档膱D象是關于坐標軸對稱的兩支雙曲線.
②當ｋ＞0時，雙曲線的兩個分支分別在第一、第三象限內，在每一象限內，y隨x的增大而減?。划攌＜0時，雙曲線的兩個分支分別在第二、第四象限內，在每一象限內，y隨x的增大而增大.
這里應特別注意“在每一象限內”不可丟掉.因為當k＞0時，整個圖象并非y隨x的增大而減?。恢皇窃诿恳幌笙迌鹊姆种喜攀莥隨x的增大而減小.
③反比例函數（k≠0）的圖象與坐標軸沒有交點，如圖1，
四、能正確地畫出反比例函數的圖象
畫反比例函數的圖象和畫一次函數的圖象大致相同，即描點法：
①列表：自變量的取值應以原點O為中心，沿O的兩邊取三對（或三對以上）互為相反數的值，如±1，±2，±3等，填y值時，只需計算右側的函數值，如當x＝1，2，3的函數值，那么x＝－1，－2，－3的函數值是與之對應的相反數.
②描點：由于雙曲線是兩條關于原點對稱的曲線，所以畫其圖象時，可先畫出一個分支，再對稱地畫出另一個分支.
③連線：按照從左到右的順序，用平滑的曲線連結各點.
值得注意的是，由于x、y都不為0，所以畫出的雙曲線的兩個分支分別體現出無限接近坐標軸，但永遠不會和坐標軸相交.
五、會確定反比例函數的關系式
由于反比例函數的關系式（k≠0）中只有一個待定系數k，確定了k的值，也就確定了反比例函數的關系式，因此，只需給出一組x、y的對應值或圖象上一點的坐標代入，求出k即可確定反比例函數的關系式.
如：已知反比例函數的圖象經過點（－3，4），則可以把點（－3，4）代入反比例函數的關系式，求出k＝－12，所以該函數的關系式是.
六、知道反比例函數（k≠0）中的比例系數k的幾何意義
如圖2，設點P（x，y）是反比例函數（k≠0）圖象上一點，過點P作x軸、y軸的垂線，垂足分別為M、N，所得的矩形PMON的面積S＝PM·PN＝，因此，k的幾何意義是：過雙曲線上任意一點作x軸、y軸的垂線，所得矩形的面積為.
　　如，點P（x，y）是反比例函數圖象上一點，過點P作x軸的垂線，垂足為A，連結OA，則△AOP的面積為×6＝3.
反比例函數
一. 教學內容：反比例函數
教學目標：
1、理解反比例函數、圖象及其主要性質，能根據所給信息確定反比例函數表達式，畫出反比例函數的圖象，并利用它們解決簡單的實際問題。
2、初步了解數學在實際生活中的應用，增強應用意識，體會數學的重要性。
二. 重點、難點：
重點：
1、能根據所給信息確定反比例函數表達式，畫出反比例函數的圖象，并利用它們解決簡單的實際問題。
2、反比例函數的圖象特點及性質的探究
3、通過觀察圖象，歸納總結反比例函數圖象
難點：
1、理解反比例函數的概念
2、畫反比例函數的圖象，并從圖象中獲取信息
3、從反比例函數的圖象中歸納總結反比例函數的主要性質
4、反比例函數的應用。
三、知識要點
1、經歷抽象反比例函數概念的過程，并能類推歸納出反比例函數的表達式
2、一般地，如果兩個變量x，y之間的關系可以表示成y=（k為常數，k不等于0）的形式，那么稱y是x的反比例函數.從y=中可知，x作為分母，所以不能為零
3、畫反比例函數圖象時要注意以下幾點
a 列表時自變量的取值應取絕對值相等而符號相反的一對數值，這樣既可以簡化計算，又便于標點
b 列表、描點時，要盡量多取一些數值，多描一些點，這樣方便連線
c 在連線時要用“光滑的曲線”，不能用折線
4、反比例函數的性質
反比例函數
k的取值范圍
圖象
性質
①的取值范圍是，的取值范圍是
②函數圖象的兩個分支分別在第一、三象限，在每一個象限內隨的增大而減小
①的取值范圍是，的取值范圍是
②函數圖象的兩個分支分別在第二、四象限，在每一個象限內隨的增大而增大
注意：1）反比例函數是軸對稱圖形和中心對稱圖形；
2）雙曲線的兩個分支都與軸、軸無限接近，但永遠不能與坐標軸相交；
3）在利用圖象性質比較函數值的大小時，前提應是“在同一象限”內。
5、反比例函數系數的幾何意義
如圖，過雙曲線上任意一點P作軸，軸的垂線PM，PN，所得矩形的面積為
∵ ∴ ∴，
即過雙曲線上任一點作軸，軸的垂線，所得矩形的面積為
注意：①若已知矩形的面積為，應根據雙曲線的位置確定k值的符號。
②在一個反比例函數圖象上任取兩點P，Q，分別過P，Q作x軸、y軸的平行線，與坐標軸圍成的矩形面積為S1，S2，則有S1＝S2。
四、典例解析
考點一、反比例函數的定義
例1、用電器的輸出功率P與通過的電流I，用電器的電阻R之間的關系是，下面說法正確的是（ ）
A. P為定值，I與R成反比例
B. P為定值，與R成反比例
C. P為定值，I與R成正比例
D. P為定值，與R成正比例
本題的答案是：B
例2、為何值時， 是反比例函數？
解：
常見的錯誤：
1）不會把反比例函數的一般形式寫成形式；
2）忽略了這個條件。
考點二：反比例函數的圖象
例3、若三點都在函數的圖象上，則的大小關系是（ ）
A. B. C. D.
答案為A
例4、觀察下面函數和的圖象，請大家對比著探索它們的異同點
相同點：a、圖象都是由兩條曲線組成
b、它們都不與坐標軸相交
c、它們都不過原點
不同點：它們所在的象限不同，的兩條曲線在第一和第三象限，的兩條曲線在第二和第四象限，大家再仔細觀察一下每個函數圖象是否為對稱圖形，軸對稱圖形，中心對稱圖形？
由此看來，反比例函數的圖象是兩條雙曲線，它們要么在第一、三象限，要么在第二、四象限，究竟什么時候在第一、三象限，什么時候在第二、四象限，大家能確定嗎？
可以，當k大于0時，圖象的兩條曲線在第一、三象限內，當k小于0時，兩條曲線分別位于第二、四象限。
考點三：反比例函數的性質
例5、已知反比例函數，分別根據以下條件求出的取值范圍。
（1）函數圖象位于第一、三象限內；
（2）在每一個象限內，隨的增大而增大。
解：（1）∵雙曲線在第一、三象限內，∴
（2）∵在每一個象限內隨的增大而增大 ∴
例6、如圖，反比例函數圖象上任取兩點P、Q，過點P分別作x軸，y軸的平行線與坐標軸圍成的矩形面積為，過點Q分別作x軸，y軸的平行線，與坐標軸圍成的矩形面積為。
（1）與有什么關系？為什么？
（2）將反比例函數的圖象繞原點旋轉180度后，能與原來的圖象重合嗎？
解：（1）①P、Q兩點在同一條曲線上：
設P（），過P點分別作x軸、y軸的平行線，與兩坐標軸圍成的矩形面積為，則
因為（）在反比例函數的圖象上，所以
即所以
同理可知 所以=
②P、Q分別在不同的曲線上：
解法同1
同理可知 =
因此只要是在同一個反比例函數圖象上任取兩點P、Q，不管P、Q是在同一條曲線上，還是在不同的曲線上，過P、Q分別作x軸，y軸的平行線與坐標軸圍成的矩形面積、都有=
（2）若將反比例函數的圖象繞原點旋轉180度后，能與原來的圖象重合. 因為反比例函數既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形。
考點四：反比例函數的實際應用
例7、小明將一篇24000字的社會調查報告錄入電腦，打印成文.
（1）如果小明以每分鐘120字的速度錄入，他需要多長時間才能完成錄入任務？
（2）錄入文字的速度v（字/min）與完成錄入的時間t（min）有怎樣的函數關系．
（3）小明希望能在3h內完成錄入任務，那么他每分鐘至少應錄入多少個字？
分析：題中的等量關系為：總字數=錄入文字的速度×錄入時間
解：（1）24000÷120=200（分鐘） 所以他需要用200分鐘才能完成錄入工作。
（2）函數關系式是： （3）3h=180min
由于錄入的字要為整數，所以他每分鐘至少要錄入134個字。
例8、蓄電池的電壓為定值，使用此電源時，電流I（A）與電阻R（）之間的函數關系如圖所示。
（1）蓄電池的電壓是多少？你能寫出這一函數的表達式嗎？
（2）完成下表，并回答問題：如果以此蓄電池為電源的用電器限制電流不得超過10A，那么用電器的可變電阻應控制在什么范圍內？
3
4
5
6
7
8
9
10
4
解：（1）設函數表達式為， ∵在圖象上，
∴ ∴ 蓄電池的電壓是36伏。
（2）
3
4
5
6
7
8
9
10
12
9
7. 2
6
4. 5
4
3. 6
電流不超過10A，即I最大為10A，代入關系式中得R=3.6，為最小電阻，所用電器的可變電阻應控制在這個范圍內.
例9、反比例函數的圖象上有一點P（m，n）其坐標是關于t的一元二次方程的兩根，且P到原點的距離為，求該反比例函數的解析式.
分析：要求反比例函數的解析式，就是要求出k，為此我們需要列出一個關于k的方程.
解：∵ m，n是關于t的方程的兩根 ∴ m+n=3，mn=k，
又 PO= ∴
∴ ∴ 9－2k=13.
∴ k=－2 當 k=－2時，△=9+8＞0，
∴ k=－2符合條件， ∴反比例函數的解析式為：
考點五：反比例函數與一次函數的應用
例10、如圖，一次函數的圖象與反比例函數的圖象相交于A、B兩點。
（1）根據圖象，寫出B點的坐標；（2）求出兩函數的解析式；
（3）根據圖象回答：當為何值時，一次函數的函數值大于反比例函數的值。
解：（1）由圖象可得B（4，3）
（2）把反比例函數上的點代入函數的關系式得
∴反比例函數的關系式為
由圖可知一次函數與坐標軸的交點為（0，1）和（－2，0）
把這兩點代入一次函數關系式+b得：
解得：
∴一次函數的關系式為：
（3）由圖象可知，當時，一次函數的函數值大于反比例函數的函數值。
例11、如圖，平行于直線的直線不經過第四象限，且與函數的圖象交于點A，過點A作AB⊥軸于點B，AC⊥軸于點C，四邊形ABOC的周長是8，求直線的解析式。
解：∵點A在函數的圖象上，
∴設A點的橫坐標為，由點A的縱坐標為，即A點的坐標為
∵AB⊥軸于點B，AC⊥軸于點C，∠BOC=90°
∴四邊形ABOC是矩形，∵四邊形ABOC的周長是8，
∴ 即
解得
當
∴A點坐標為（1，3）或（3，1）（由題意可知）∴A點坐標為（1，3）
設直線的解析式為 把A點代入得
3=1+bb=2 ∴直線的解析式為
《反比例函數》錯例剖析
1．對反比例函數的定義理解不深刻，不透徹，忽視定義中的系數不為0的條件
例1．若函數是反比例函數，則m的值為（ ）．
（A）m=-2 （B）m=1 （C）m=2或m=1 （D）m=-2且m=-1
錯解：由已知得：，解得：，故選（D）．
剖析：上述解答錯誤的原因是未完整地應用反比例函數定義，根據反比例函數的定義可知，反比例函數中既要滿足x的指數，又要滿足常數k≠0，即m+1≠0，
正解：由已知得：，所以m=-2，故選（A）．
2．解決實際問題時易忽視自變量的取值范圍的問題
例2．甲、乙兩地相距100千米，一輛汽車從甲地開往乙地，請將汽車到達乙地所用時間t（小時）表示為汽車速度v（千米／小時）的函數，并畫出函數的圖象．
錯解：由s=vt，得，用描點法畫出函數的圖象，如圖1
剖析：錯解中忽視了自變量v的取值范圍v＞0，而誤認為v≠0．
正解：由s=vt，得（v＞0）
用描點法畫出函數的圖象，如圖2．
3．利用反比例函數的性質時不分象限
例3．如圖3，P是反比例函數圖象上一點，過P分別向x軸，y軸引垂線，若，則解析式為 ．
錯解：設P（）則，∴，或
剖析：上述解題過程沒有考慮到由圖象給出的信息條件而導致錯誤，由圖象可知雙曲線在第二、四象限，所以k＜0，．
正解：由，∴，又因為圖象在第二、四象限，所以k＜0，所以k=-3，所以解析式為．
幫你解讀“反比例函數的應用”
一、知識結構解讀
在實際生產和生活中，應用函數知識解題的關鍵是建立函數模型，即列出符合題意的函數解析式，然后根據函數的性質，綜合方程（組）、不等式以及函數圖象圖等知識進行求解。學習反比例函數的應用也一樣，要深刻理解反比例函數的模型，其知識結構梳理如下：
二、相關知識鏈接
1．反比例函數的圖象：反比例函數的圖象是雙曲線（即兩個分支）．
2．反比例函數的性質：當時，兩個分支分別位于一、三象限，且在每一象限內y隨x的增大而減小；當時，兩個分支分別位于二、四象限，且在每一象限內y隨x的增大而增大．
3．反比例函數圖象與正比例函數圖象的交點問題：在反比例函數與正比例函數中，當時，兩圖象有交點（且兩交點關于原點對稱）；在當時，兩圖象沒有交點．
三、知識應用詳解
1．根據圖象信息解決實際問題
例1．如圖1是某一游泳池每小時的排水量V（m3/h）與排完水池中的水所用的時間t（h）之間的函數圖象．
（1）請你根據圖象信息寫出函數關系式；
（2）若要6小時排完游泳池的水，那么每小時的排水量是多少？
分析：由圖象信息可知，排水量V（m3/h）與排完水池中的水所用的時間t（h）之間成反比例關系，可利用反比例函數模型求解。
解：（1）設，把V=4，t=12代入，得，解得。
即所求函數關系式為：．
（2）把t=6代入，得=8。
所以，當6小時排完游泳池的水時，排水量為8（m3/h）．
說明：應用反比例函數的圖象解題時，必須認真觀察圖象特征，從中收集并整理相關信息，用以解決所求問題．
2、根據反比例函數的性質研究新問題
例2 如圖2，點P是x軸正半軸上的動點，過點P作x軸的垂線PA交雙曲線于點A，連結OA．
（1）如圖2-1，當點P在x軸正方向上運動時，Rt⊿AOP的面積大小是否在變化？若不變，請求出Rt⊿AOP的面積；若改變，試說明理由；
（2）如圖2-2，在x軸上P點的右側有一點D，過點D作x軸的垂線交雙曲線于點B，連結OB交AP于點C．設⊿AOC的面積為S1，梯形BCPD的面積為S2，則S1與S2的大小關系是S1 S2（填“＞”、“＝”或“＜”）．
（3）如圖2-3，AO的延長線與雙曲線的另一個交點為F，FH垂直于x軸，垂足為H，連結AH、PF，試說明四邊形APFH的面積為常數．
分析：根據反比例函數的性質，我們可以得到S⊿AOP==，據此可推出問題的結論。
解：（1）設A點的坐標為（m，n），則有，即。
∵S⊿AOP===，∴S⊿AOP的面積不會發生變化，其面積恒等于；
（2）由（1）的結論可得，S⊿AOP=S⊿BOD，即S⊿AOP - S⊿POC =S⊿BOD -S⊿POC ，∴S1=S2；
（3）根據反比例函數的特征，得AO=FO，PO=HO，所以四邊形APFH是平行四邊形，因此，S平行四邊形APFH=．
說明：雙曲線中隱含著許許多多的規律，我們不但要善于發現這些規律，還要善于總結這些規律，靈活應用這些規律．另外，反比例函數以它的應用性強與創新問題多的特點，成為歷年中考命題的一個熱點，限于篇幅，這里不再贅述。
反比例函數圖象中的面積問題
反比例函數圖像是雙曲線，我們會經常遇到與之有關的面積問題，現對這部分內容進行拓展。
如圖(1)，P 為雙曲線上任一點，PM⊥x 軸, PN⊥y 軸,設p(x,y),則PM=∣y∣,PN=∣x∣，
∴S矩形PMPN=∣x∣·∣y∣=∣xy∣=∣k∣（定值）

與之有關的變式圖形有：
1、如圖(2),S△PMO =S矩形PMON = │k│
2、如圖(3),由對稱性可知PO=QO
∴S△PMO = S△OMQ ,
S△PMQ =2S△PMO =2×│k│=│k│
S□PMQR =4S⊿PMO =4×│k│=2│k│
對以上這些基本圖形的透徹理解，對我們的解決具體題目帶來很大方便。
例（1）：如圖(4)，P,Q 是雙曲線上第二象限內的任意兩點，PM⊥x 軸于M,QN⊥y 軸于N，試比較梯形PMNQ 與⊿PQO面積的大小。
分析：S△PMO =S△QNO
S△PMO—S△NOR = S△QNO—S△NOR
即SPMNR =S△QRO
∴SPMNR﹢S△PRQ = S△QRO﹢S△PRQ
∴S梯形PMNQ =S⊿PQO

另外，面積S與中的k 是可互求，即已知k求S，已知S求k。不過應特別注意根據圖像所在的象限確定k的符號。
有關一次函數和反比例函數綜合題
一. 探求同一坐標系下的圖象
例1.已知函數與在同一直角坐標系中的圖象大致如圖1，則下列結論正確的是（ ）
A. B. C. D.
分析：由圖知，一次函數中，y隨x的增大而增大，
所以；反比例函數在第二、四象限，所以.
觀察各選項知，應選B.
評注：本題要由所給圖象結合一次函數和反比例函數的性質，
方能作出正確選擇.
例2.在同一直角坐標系中，函數與的圖象大致是（ ）
A. B. C. D.
圖2
分析：本題可采用排除法.由選項A、B的一次函數圖象知，即，則一次函數圖象與y軸交點應在y軸負半軸，而選項A、B都不符合要求，故都排除；由選項D的一次圖象知，即，則反比例函數圖象應在第一、三象限，而選項D不符合要求，故也排除；所以本題應選C.
評注：本題把一次函數和反比例函數的圖象在同一坐標系中給出，有較強的綜合性，解決這類問題常用排除法.
二. 探求函數解析式
例3.如圖3，直線與雙曲線只有一個交點A（1，2），且與x軸，y軸分別交于B，C兩點，AD垂直平分OB，垂足為D，求直線與雙曲線的解析式.
析解：因為雙曲線過點A（1，2），
所以
得雙曲線的解析式為.
因為AD垂直平分OB，A點的坐標為（1，2）.
所以B點的坐標為（2，0）.
因為過點A（1，2）和B（2，0），
所以
解得
所以直線的解析式為
評注：解決本題的關鍵是確定點B的坐標，由AD垂直OB知，點D和點A的橫坐標應相同，所以點D的坐標為（1，0），又AD平分OB知，，所以點B坐標為（2，0），進而求出一次函數解析式.
三. 探求三角形面積
例4.如圖4，反比例函數的圖象與直線的交點為A，B，過點A作y軸的平行線與過點B作x軸的平行線相交于點C，則的面積為（ ）
A. 8 B. 6 C. 4 D. 2
析解：把代入，得
整理得
解得
把分別代入，
得
所以點A的坐標為
點B的坐標為
由題意知，點C的橫坐標與點A的橫坐標相同，點C的縱坐標與點B的縱坐標相同，所以點C的坐標為（）.
因為，
所以的面積為
故應選A.
例5.如圖5，已知點A是一次函數的圖象與反比例函數的圖象在第一象限內的交點，點B在x軸的負半軸上，且OA=OB，那么的面積為（ ）
A. 2 B. C. D.
析解：把代入，得，
整理得，解得
得分別代入
得
又點A在第一象限內，所以點A的坐標為
在中
由勾股定理，得所以OB=2.
所以的面積為
，
故應選（C）
評注：例4和例5中都利用解方程來求出兩函數圖象的交點坐標，這是求兩函數圖象交點坐標的常用方法，蘊含著轉化思想.
四. 探求點的坐標
例6.如圖6，直線分別交x軸、y軸于點A，C，點P是直線AC與雙曲線在第一象限內的交點，軸，垂足為點B，的面積為4.
求點P的坐標.
析解：在中，令，則；令，則.
所以點A的坐標為（-2，0），點C的坐標為（0，1）.
因為點P的直線上，
不妨設點P的坐標為
所以.
又因為
所以
整理得
即
解得
因為點P在第一象限，所以.
故點P的坐標為（2，2）.
評注：本題的解答過程蘊含著設元思想、方程思想和轉換思想.
聚焦反比例函數新題型
反比例函數是初中數學的基礎知識，也是歷年各地中考的熱點問題之一。近年來，命題者力舉創新，設計出許多清新優美、題型新課程理念的創新型試題，現舉例如下。
一、結論開放型
例1、請你寫出一個函數關系式，使它滿足下列條件：
（1）在第二、第四象限的每一個象限內隨的增大而增大；
（2）函數圖象在第二、第四象限
（3）由圖象上一點向軸、軸作垂線，所得矩形的面積為3.
這個函數的解析式為______________________
分析：這是一個結論開放型問題，由三個性質特別是第三個性質知這應是反比例函數特有的性質，在函數圖象上任取一點（、），則，又因為函數圖象在在第二、第四象限，所以
解：
點評：由于開放型試題答案的多樣性和多層性，因此對訓練同學們三位的靈活性和廣闊性方面有較高的價值。本題著重考查學生的逆向思維能力和發散思維能力。
二、判斷說理型
例2、如圖，的頂點A（，）是一次函數的圖象與反比例函數的圖象在第一象限的交點，且

（1）根據這些條件你能求出反比例函數的關系式嗎？如果能，請你求出來；如果不能，請你說明理由；
（2）能求出一次函數的關系式嗎？
分析：（1）根據A在的圖象上，且，可求得，所以，從而確定反比例函數關系式
（2）要確定的關系式，需要知道A點的坐標，但點A無論在反比例函數圖象的哪個位置，均能保證，所以A點不確定，即一次函數關系式不確定。
解：（1）∵A在的圖象上，且，∴，∴，∵，∴，∴反比例函數的解析式為
（2）不能求出一次函數的關系式，A點的坐標不能唯一確定。
點評：這是一道判斷說理型開放題，待定系數法求一次函數、反比例函數關系式應是我們掌握的重點，同時求反比例函數關系式的方法有多種，要靈活運用。
三、規律探索型
例3、如圖，已知點A在的圖象上，過點A作軸的垂線，垂足為B，當點A在其圖象上移動時，的面積將發生怎樣的變化？對于其他反比例函數是否也有同樣的現象？怎樣理解？

解析：的面積不變。設頂點A（、），則。又∵點A在反比例函數圖形上，∴，即，∴，即的面積與點A的位置無關。
對于其他反比例函數也有相同的現象，
理由是：觀察反比例函數的特征，從其憨厚素圖象上任意一點向軸（軸）作垂線，垂足、原點和該點組成三角形的面積均為，而無論為正負，
點評：本題探索經歷了從特殊到一般的探索過程，通過計算特殊情況，推廣得到一般情況，都得到所組成的三角形的面積為這個定值，此方法可以拓展到求相應矩形的面積。
“反比例函數”與“閉眼打轉問題”
“反比例函數”與“閉眼打轉問題”，是兩件風馬牛不相及的事情，怎么會扯上關系？同學們別急！看了下面這段故事，你會感受到反比例函數的“神奇力量”，你會覺得數學是那么的“酷”！
?　　相傳公元1896年，挪威生理學家古德貝爾對閉眼打轉的問題進行了深入的研究。他收集了大量事例后分析說：這一切都是由于人自身兩條腿在作怪！長年累月養成的習慣，使每個人一只腳伸出的步子，要比另一只腳伸出的步子長一段微不足道的距離。而正是這一段很小的步差x，導致了這個人走出一個半徑為y的大圈子！
現在我們來研究一下x與y之間的函數關系：
假定某人兩腳踏線間相隔為d。很明顯，當人在打圈子時，兩只腳實際上走出了兩個半徑相差為d的同心圓。設該人平均步長為。那么，一方面這個人外腳比內腳多走路程；另一方面，這段路程又等于這個人走一圈的步數與步差的乘積，即， 化簡得?
對一般的人，d＝0.1米，＝0.7米，代入得 （米）
這就是所求的迷路人打圈子的半徑公式，它是一個反比例函數！
假如設迷路人兩腳差為0.1毫米，那么僅此微小的差異，就足以使他在大約三公里的范圍內繞圈子！
看到這里，你是否被神奇的反比例函數所折服！且慢，我們再來看一個有趣的游戲：
在世界著名的水都威尼斯，有個馬爾克廣場。廣場的一端有一座寬82米的雄偉教堂。教堂的前面是一片開闊地。這片開闊地經常吸引著四方游人到這里做一種奇特的游戲：把眼睛蒙上，然后從廣場的一端向另一端教堂走去，看誰能到達教堂的正前面！
奇怪的是，盡管這段距離只有175米，但卻沒有一名游客能幸運地做到這一點！全都走成了弧線，或左或右，偏斜到了一邊！
為什么是這樣呢？我們就先來計算一下，當人們閉起眼睛，從廣場一端中央的M點抵達教堂CD的最小的弧半徑是多少。如下圖，注意到矩形邊（米），（米）。那么上述問題，無疑相當于幾何中的以下命題：
已知：在矩形中（米），為邊的中點，（米），求弧所在圓的半徑。
在解這個問題之前，先介紹一下同學們馬上要學的勾股定理：直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。（為什么有這個美妙的結論，請同學們預習接下來學習的內容）
下面我們一起來解決問題：
如圖，由于是直角三角形，于是由勾股定理有
即
解這個方程，得
這就是說，游人要想成功，他所走的弧線半徑必須不小于 394米。那么就讓我們再計算一下，要達到上述要求，游人的兩腳的步差需要什么限制。根據公式：，因為，所以（米）=0.35（毫米）
? 這表明游人的兩只腳的步差必須小于0.35毫米，否則是不可能成功的！然而，在閉上眼睛的前提下，使兩腳的步差這么小一般人是辦不到的，這便是在游戲中為什么沒有人能被蒙上眼睛走到教堂前面的道理。
同學們，看到這里你是否覺得數學真的很有用！那么，讓我們一起努力學習吧。

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