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課件192張PPT。數 學 史揚州大學數學科學學院 朱家生2012 年2月參考書目:1、M?克萊因著：《古今數學思想》；
2、鮑爾加爾斯基著：《數學簡史》；
3、梁宗巨著：《世界數學史簡編》；
4、李 迪著：《中國數學史簡編》.
緒論：學習與研究數學史的意義對數學科學有一個整體的認識；
可幫助找到最根本的教學方法；
是進行辯證唯物主義、歷史唯物主義和愛國主義教育的素材；
是數學課程改革與發展的需要。 法國著名數學家龐加萊曾說過:“如果我們想要預知數學的未來,最適合的途徑就是研究數學這門科學的歷史和現狀.”本課程以數學發展的脈絡為主線,系統介紹數學科學的歷史,并對其一些重要的思想方法進行探討.
龐加萊
（Jules Henri Poincaré，
1854─1912）目 錄
1、數學的萌芽
2、希臘的數學
3、印度與阿拉伯的數學
4、中國的古代數學
5、歐洲文藝復興時期的數學
6、解析幾何的產生
7、微積分的創立
8、現代數學選論1、源自河谷的古老文明—數學的萌芽
1.1 古埃及的數學
1.2 古巴比倫的數學1.1 古埃及的數學古代埃及所處的地理位置 尼羅河是世界上最長的河流之一.
公元前3000年左右古埃及人在此建立起了早期的奴隸制國家.
農業,手工業與貿易的發展推動了自然科學各學科知識的積累. 胡夫金字塔大約建于公元前2500年左右.
該金字塔呈正四棱錐形, 面向東西南北四個正方向，邊長230.5m，塔高146.6m.
其底基正方形邊長的相對誤差不超過1∶14000，四底角的相對誤差不超過1∶27000，即不超過12"，四個方向的誤差也僅在2'～5'之間.古埃及的胡夫Khufu金字塔 保存至今有關數學的紙草書主要有兩種：蘭德紙草書,長544cm，寬33cm，共載有85個問題; 莫斯科紙草書, 長544cm，寬8cm，共載有25個問題.這兩份紙草書都是公元前2000年前后的作品，為古埃及人記錄一些數學問題的問題集. 古埃及紙草書 1.1.1 古埃及的記數制與算術 古埃及人也有分數的概念，但他們僅使用單位分數也就是分子為1的分數，表示整體的若干等份中的一份. 埃及人使用的是十進記數制，并且有數字的專門符號 古埃及人的乘法運算與除法運算是通過迭加、而且是通過列表的方式來進行的. 例:26×33 =858例:19÷8=2+1／4+1／8 1.1.2 古埃及的代數例4:在一個人的財產中，有七間房子，每間房子里七只貓 ，每只貓能捉七只老鼠，每只老鼠能吃七穗大麥，而每穗大麥又能長出七俄斗大麥，問這份財產中房子、貓、老鼠、麥穗和麥子總共有多少? （1）解方程的方法-----”試位法”例1:求解方程例2:卡洪紙草書中記載了下列問題：將給定的100單位的面積分為兩個正方形，使二者的邊長之比為3∶4.（2）等差數列和等比數列問題例3:蘭德紙草書中記載了下列問題：今將10斗麥子分給10個人，每人依次遞降 1/8斗，問各得多少? 1.1.3 古埃及的幾何學古埃及人知道:
任何三角形的面積均為底與高的乘積的一半；
圓的面積等于直徑的的平方，由此可知，他們把圓周率近似地取為3.16;
直圓柱的體積為底面積與高的乘積.
古埃及數學中“最偉大的埃及金字塔”: 1.2 古巴比倫的數學 古巴比倫，又稱美索波大米亞，位于亞洲西部的幼發拉底與底格里斯兩河流域. 公元前2000年左右，古巴比倫人在這里建立起了自己的奴隸制王國. 古巴比倫
空中花園全景古巴比倫空中花園一角古巴比倫的數學記載在泥版書上.所用文字為楔形文字. 1.2.1古巴比倫的記數制與算術古巴比倫人很早就有了數的寫法，他們用楔形文字中較小的 (豎寫)代表１，較大的 （豎寫）代表60.由此可知，古巴比倫人的記數系統是60進制.他們還用 較小的 (橫寫) 代表10，較大的 (橫寫)代表100.
古巴比倫人也使用分數
古巴比倫人的算術運算也是借助于各種各樣的表來進行的. 1.2.2 古巴比倫的代數(1)求解方程 :例:英國大不列顛博物館13901號泥板記載了這樣一個問題：“我把我的正方形的面積加上正方形邊長的三分之二得35/60，求該正方形的邊長.”這個問題相當于求解方程
其解法相當于將方程 的系數代入公式
求解 .
(2)在洛佛爾博物館的一塊泥板上，人們還發現了兩個級數問題.用現代形式可表述為
哥倫比亞大學普林頓收集館中收藏的第322號泥板 該泥板已缺損了一部分，在殘留的部分上刻有三列數，專家研究認為：這是一張勾股數(即的整數解)表，并且極有可能用到了下列參數式
.
這是1000多年后古希臘數學一個極為重要的成就.1.2.3古巴比倫的幾何 已熟悉了長方形、直角三角形、等腰三角形以及直角梯形面積的計算和長方體，以及特殊梯形為底的直棱柱體積計算的一般規則，他們知道取直徑的三倍為圓周的長，取圓周平方的1/12為圓的面積，還用底和高相乘求得直圓柱的體積. 古巴比倫人還有把相當復雜的圖形拆成一些簡單圖形的組合的本領. 但他們錯誤地認為，圓臺或方棱臺的體積是兩底之和的一半與高的乘積.1.2.4 古巴比倫的天文學古巴比倫人已開始使用年、月、日的天文歷法，一年有12個月，第一個月是以“金牛座”命名的，每月有30天，每6年加上第13個月作為閏月.
一個星期有7天，這7天是以太陽、月亮和金、木、水、火、土七星來命名的，每個星神主管一天，如太陽神主管星期日.
他們把圓周分為360度，每度60分，每分60秒，1小時60分，1分60秒的記法，也是來自古巴比倫. 在古巴比倫或古埃及數學中，雖然出現了一些令人信服的數表和許多重要的公式，但:
僅表現為對于一些實際問題觀察的結果和某些經驗的積累;
數學學科所特有的邏輯思維與理論概括甚至還未被他們覺察;
數學還只是作為一種用來處理日常生活中遇到的計算與度量問題的工具或者方法.
其所給出的僅僅是“如此去做”，而基本沒有涉及到“為什么要這樣做”，這標志著他們的數學還遠遠地沒有進入理性思維的階段. 第一章 思考題1、世界四大文明古國是哪幾個？它們的古老文明各自又有哪些特征？
2、數學最基本、最古老的概念有哪些？它們在數學科學的發展中有什么重要作用？
3、古巴比倫人和古埃及人解方程各自用了什么方法?試舉例予以說明。
4、古巴比倫人在天文學研究方面有什么創見？他們留下的遺產哪些在我們的生活中還在使用？
5、普林頓322號泥版書上記載了古巴比倫人怎樣的數學成就？其有什么重要的數學意義？
6、人稱古埃及數學中“最偉大的金字塔”指的是什么？它有什么重要的數學價值？2、地中海的燦爛陽光—希臘的數學2.1 希臘數學文明的一些背景材料
2.2 愛奧尼亞學派
2.3 畢達哥拉斯學派
2.4 巧辯學派
2.5 柏拉圖學派
2.6 原子論學派2.1 希臘數學文明產生 公元前8世紀前后，希臘進入奴隸制形成時期，產生了許多奴隸制城邦，并在東西地中海及黑海一帶興建了許多殖民城市，這些城市加強了希臘與海外各地的聯系。 公元前6世紀開始，希臘出現了歐洲文化的第一個高峰，希臘數學就是其中的最重要的成就之一。 人們通常將公元前6世紀至公元前3世紀稱為古典時期，公元前3世紀至公元6世紀稱為亞歷山大時期。其中希臘數學古典時期的的眾多數學學派的工作將數學研究推到了一個新階段。2.2.1 愛奧尼亞學派與泰勒斯泰勒斯 （Thales，公元前636—公元前546年）誕生于愛奧尼亞的海濱城市米利都；
泰勒斯早年是一個精明的商人，青壯年時代積累了足夠的財富，使他后半生能夠從事游歷與研究；
他的一些奇聞軼事。“希臘科學之父”——泰勒斯下述五個命題的發現是應歸功于泰勒斯的：
(１)圓被任一直徑二等分;
(２)等腰三角形的兩底角相等；
(３)兩條直線相交，對頂角相等；
(４)兩個三角形，有兩個角和一條邊對應相等，則這兩個三角形全等；
(５) (泰勒斯定理)內接于半圓的角必為直角. 泰勒斯對數學的貢獻更重要的是在于泰勒斯對它們提供了某種邏輯推理.
例如對于“兩條直線相交，對頂角相等”.泰勒斯是這樣證明的：如圖，∠a加∠c等于平角，∠b加∠c也等于平角，因為所有的平角都是相等的，所以∠a等于∠b(等量減等量，余量相等). 這表明，從泰勒斯開始，人們已不再僅僅利用直觀和實驗來尋求數學結論了.換句話說，實際上泰勒斯已經將邏輯學中的演繹推理引入了數學，奠定了演繹數學的基礎，這使得他獲得了第一位數學家和論證幾何學家鼻祖的美譽. 泰勒斯還被西方學者稱為“測量學的鼻祖”.
據說他曾利用相似直角三角形通過測量手杖和金字塔的影長求出金字塔的高度，還用全等三角形的知識計算出海船到海岸的距離.
愛奧尼亞學派在哲學特別是自然哲學方面的工作也是無與倫比的，他們肯定在一切表面現象的千變萬化之中，有一種始終不變的東西，這一原始物質的內蘊本質是守恒的，而所有的物質形式都可用它來解釋.這種理性思維的觀念，正是希臘科學精神的的精髓之所在.2.1.2 畢達哥拉斯學派與“萬物皆數” 畢達哥拉斯(Pythagoras，約公元前572～約公元前497)是古希臘哲學家、數學家、天文家和音樂理論家.出生于愛琴海中的薩摩斯島(Samos，今希臘東部小島).青年時期他曾經離開家鄉到世界各地游學.40歲左右，他定居意大利半島南部的克羅多內(Crotone)，并在這里組織了一個集政治、宗教和學術研究于一體的秘密會社，這就是著名的畢達哥拉斯學派.在學術方面，這個學派主要致力于哲學和數學的研究. 畢達哥拉斯學派認為:事物的本原是數.世界上的萬事萬物及其運動變化規律都可以用整數或者整數之比表示出來. 這種“萬物皆數”的觀念從另一個側面強調了數學對客觀世界的重要作用，這也是數學化思想的最初表述形式.1. “萬物皆數”的思想2.對自然數的分類畢達哥拉斯學派的初步數學化思想促進了對自然數的研究，他們定義了許多概念.
一個數等于其（除本身以外的）全部因子之和稱之為完全數，如28（＝1＋2＋4＋7＋14）;
一個數小于其（除本身以外的）全部因子之和稱之為虧數，如 12（＜1＋2＋3＋4＋6);
一個數大于其（除本身以外的）全部因子之和稱之為盈數,10（＞1＋2＋5）.
若兩個數中任一個數（除本身以外的）全部因子之和都等于另一個數則稱為親和數.,如220與284為親和數.因為220的因子之和為（1＋2＋4＋5＋10＋11＋20＋22＋44＋55＋110＝）284，而284的因子和為（1＋2＋4＋71＋142＝）220 .3.對形數的研究畢達哥拉斯學派許多關于數的規律的發現，都是借助圖形的直觀分析而得到的.他們常把數以點的形式排成各種圖形.如圖: 由圖知易1，1+2，1+2+3，1+2+3+4+…這些和數都是三角形數，第n個三角形數是 又如 其中1，4，9，16，…是正方形數，第n個正方形數是n2 .由此易得,前n個奇數之和即為n的平方.4.關于數學美的研究畢達哥拉斯學派還認為，“美是和諧與比例”，
他們認為，最美的圖形在平面上是圓，在空間是球，整個地球、天體和宇宙是一個圓球，宇宙中的各種物體都作均勻的圓周運動.
最完美的數是10，因為10＝1＋2＋3＋4，并將1，2，3，4稱為四象.
在音樂研究中他們發現，如果一根弦是另一根弦長的兩倍，那么兩者發出的音就相差8度. 認為音樂的基本原則是數量原則，音樂節奏的和諧是由高低、長短、輕重各種不同的音調，按照一定數量比例組成的. 他們研究了一些美的比和比例關系，提出了算術平均值（以Ｍ表示）、幾何平均值（以Ｇ表示）和調和平均值（以Ｈ表示）：對Ａ，Ｂ為兩已知數， .他們發現，M∶G=G∶H， A∶H=M∶B，稱前者為完全比例，后者為音樂比例.以此為出發點，畢達哥拉斯學派建立了他們的音樂理論.畢達哥拉斯把“美是和諧與比例”的科學美學思想用于音樂和天文學，并十分廣泛地將其應用到建筑、雕刻、地學、生物學、醫學等領域.5.關于勾股定理的研究 西方學者認為，有關直角三角形的“勾股定理”最早是由畢達哥拉斯學派發現的.據傳，畢達哥拉斯學派為了慶祝這條定理的發現，特地宰了一百頭牛來祭神，感謝科學藝術女神繆斯對他們的垂青，因此有人詼諧地將這個定理稱為“百牛定理”.
但迄今為止并沒有畢達哥拉斯發現和證明這一定理的直接證據.畢達哥拉斯數的探討:通過分析正方形數的圖形畢達哥拉斯得到 :這就是直角三角形整數邊長的公式.當m=1，2，3，4，…時可得滿足直角三角形邊長的整數組為3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；等等. 6.不可公度的發現 畢達哥拉斯學派相信：在幾何上相當于對于任何兩條給定的線段，總能找到第三條線段作為單位線段，將所給定的兩條線段劃分為整數段，他們稱這樣的兩條線段為“可公度量”，即有公共的度量單位. 畢達哥拉斯學派發現正方形的對角線和其一邊構成不可公度線段.相傳該學派的成員希帕索斯(Hippasus,約公元前470年左右)還因為研究這一問題被拋入大海處以極刑.由于不可公度量的發現，畢達哥拉斯學派“萬物皆數”的信條受到了沖擊，這在數學史上稱為“第一次數學危機”. 希臘人對待這次危機的態度不是積極地去解決它，而是想方設法去回避它，這就使得從畢達哥拉斯學派開始的對數的研究轉向對形的探討，雖然這種轉向最終導致了幾何學的迅速發展，但在客觀上使得希臘數學是代數方面的發展與其幾何學的成就是很不相稱的.2.1.3 芝諾悖論與巧辯學派 1.芝諾悖論
哲學家芝諾（Zeno,約公元前490-430年），針對當時對無限、運動和連續等人們認識模糊不清的概念，提出了45個違背常理的悖論，把這些矛盾暴露出來，在希臘數學界引起了巨大的震動.其中關于運動的三個悖論尤為引人注目
(1)二分說
(2)阿基里斯追龜說
(3)飛箭靜止說 芝諾的這些悖論已涉及到對于當時的希臘數學家而言還很模糊的無限與連續的概念.更重要的是，人們明知他的悖論是不符合常理的，卻又不能駁倒他，這就促使人們開始思考一個理論能否自圓其說的問題，毫無疑問，這也成為公理化思想方法產生的一個重要原因.2.巧辯學派所提出的三大著名作圖問題 巧辯學派創立、活動于雅典.這個學派中聚集了各方面的學者大師，如文法、修辭、辯證法、人文，以及幾何、天文和哲學方面的學者.他們研究的主要目標之一是用數學來探討宇宙的運轉.
該學派的名字與著名的尺規作圖不能問題是緊密地聯系在一起的.所謂三大尺規作圖問題是指:
(1)化圓為方:只允許用圓規和直尺作一正方形，使其與給定的圓面積相等;
(2)倍立方:給定立方體的一邊，求作另一立方體之邊，使后者體積兩倍于前者體積;
(3)三等分角:即將任一已知角三等分. 圍繞這三大作圖問題，希臘數學家們表現出了杰出的數學思想和方法，許多數學成果都是研究這三個問題的副產品，例如，該學派的頭面人物希比亞斯(Hippias，約公元前5世紀)為解決三等分任意角Φ的問題，引入了一條割圓曲線. 希波克拉茨(Hippocrates，公元前5世紀)在探索化圓為方時，成功地解決了一個把曲邊圖形化為直邊圖形的問題。如圖，設ΔABC為等腰直角三角形，斜邊為AC，中點為O，半圓AEB以AB為直徑，則= =2，即半圓AEB面積=扇形AOB面積.
∴月牙形AEB面積=半圓AEB面積-弓形ADB面積
=扇形AOB面積-弓形ADB面積
=△AOB面積. 希臘學者之所以要把作圖工具只限于直尺和圓規，反映了他們對數學有這樣的認識：即強調在研究一個概念之前必須證明它的存在，只有從真理出發，依靠演繹推理才能獲得真理.在他們看來，直線和圓客觀上是存在的，所以只有用直線和圓構作出來的圖形才能保證在邏輯上沒有矛盾.這樣的思想促進了希臘數學的嚴密化.
2000多年來，三大問題的研究，花費了人們的大量心血.直至1831年，法國數學家萬采爾(Vantzal， 1814～1848)首先證明倍立方問題和三等分任意角問題不能用尺規作圖來解決，接著德國數學家林德曼(Lindemann， 1852～1939)于1882年又證明了π的超越性，因而否定了用尺規化圓為方的可能性，這三大問題才徹底得以解決.2.1.4 柏拉圖學派 柏拉圖(Plato，公元前427～347年),古希臘哲學家和教育家.
曾拜蘇格拉底為師,是蘇格拉底最杰出的學生，深受蘇格拉底邏輯思想的影響.
公元前399年，因蘇格拉底被雅典民主政權處死，柏拉圖被迫開始了為期12年的游歷生涯.
公元前387年，柏拉圖在雅典創建了歐洲歷史上第一所綜合性的、傳授知識、培養上層統治者的學校“ 柏拉圖學院”.柏拉圖 柏拉圖學派特別強調要用數學來解釋宇宙，因而特別重視對立體幾何的研究.
在蘇格拉底邏輯思想的影響下，柏拉圖還明確提出了數學的演繹證明應遵循的邏輯規則.從柏拉圖時代起，數學就已經有了公理化的思想. 柏拉圖學派中最杰出的數學家應首推歐多克索斯(Eudoxus,約公元前4世紀).
他對數學的最大貢獻是運用公理法建立了比例理論.
進一步完善了安蒂豐的“窮竭法”，將“窮竭法”改造成為一種嚴格的證明方法.
此外，他還研究了“中末比”問題，并用求兩個已知量的兩個比例中項的方法，解決了立方倍積問題. 歐多克索斯的學生門奈赫莫斯（Menaechmus,公元前4世紀）是圓錐曲線理論的創始人，他在用平面與圓錐的一條母線垂直相截時發現了圓錐曲線：當圓錐頂角為直角時所得截線為拋物線，頂角為銳角時為橢圓，頂角為鈍角時為雙曲線的一支.他還發現了雙曲線的漸近線，并對這些曲線的性質作了系統的闡述，形成了最早的圓錐曲線理論.亞里士多德(Aristotle，公元前384～公元前322). 對數學的最大貢獻是建立了形式邏輯學.
他把形式邏輯規范化和系統化，使之上升為一門科學.他提出了矛盾律、排中律等思維的規律；把邏輯學理解為論證的學問；從個別到一般的歸納和從一般到個別的演繹；他還研究了三段論法的格和規則，這些都為數學推理提供了基本的邏輯依據.
亞里士多德的著作中也有許多重要的幾何定理.如多邊形外角之和等于四直角，在包圍給定面積的所有平面圖形中，圓的周長最小等.亞里士多德 由于這些數學學派的工作，為希臘數學積累了豐富的素材，也為希臘數學后來的進一步發展打下了堅實的基礎.2.2 希臘數學的黃金時代從公元前334年起，亞歷山大舉兵東征，建立了一個空前龐大的帝國.公元前323年，亞歷山大病逝，其帝國被部將分割為安拉哥拉(歐洲部分)、塞流卡斯(亞洲部分)和托勒密(埃及部分)三個王國，歷史上稱之為希臘化國家，希臘數學從此進入亞歷山大時期.
亞歷山大城位于埃及北部海岸，該城的規劃、施工和移民為亞歷山大大帝親自指揮，他準備將這座城市作為其龐大帝國未來的首都.
帝國分裂后，這里成為托勒密王國的首都.經歷代托勒密國王的經營，成為當時整個地中海地區最大的城市.在這里興建了藏書達六十萬卷的圖書館，國家設立了研究機構，其研究人員由國家供養.優秀數學家云集于此，亞歷山大學派由此產生. 這個時期的數學發展有兩個方向：
其一是沿著畢達哥拉斯、柏拉圖開辟的方向，繼續致力于純粹數學理論的研究，并使之系統化，其代表人物有歐幾里得 (Euclid，約公元前330~公元前275)、阿波羅尼斯(Apollonius，公元前262～公元前190)；
其二是以阿基米德(Archimeds，公元前287～公元前212)為代表，致力于研究數學與天文、物理、力學、光學等學科的結合，在繼承古典時期研究成果的基礎上，不斷開拓新的領域.
阿基米德、歐幾里得、阿波羅尼斯并稱亞歷山大時期的三大數學巨人.他們的工作，使得希臘數學的發展達到了前所未有的最高水平. 2.2.1 歐幾里得與他的《幾何原本》歐幾里得出生于雅典，曾受教于柏拉圖學院.雅典衰落后，應托勒密國王之邀來亞歷山大城主持數學學派的工作.
歐幾里得首先收集、整理已有的數學成果，以命題的形式作出表述，完善前人的各種定理并給予重新證明.然后，他作出了自己的偉大創造：對定義進行篩選，選擇出具有重大意義的公理，邏輯地、嚴密地按演繹方式組織命題及其證明，最后形成了具有公理化結構和嚴密邏輯體系的《幾何原本》.
它是在公元前300年左右完成的. 歐幾里得 歐幾里得《幾何原本》抄本 歐幾里得《幾何原本》的原稿早已丟失，現代版本是以希臘評注家泰奧恩（Theon，約比歐幾里得晚七百年）編寫的修訂本為依據的.全書分13卷，共有465個命題.歐幾里得《幾何原本》的主要內容: 第 1卷首先用23個定義給出了點、線、面、圓以及平行線等原始概念，接著提出了5個公設和5個公理：
五條公設是：
從任一點到任一點作直線（是可能的）.
將有限直線不斷沿直線延長（是可能的）.
以任一點為中心與任一距離為半徑作一圓（是可能的）.
所有直角是相等的.
若一直線與兩直線相交，且同側所交兩內角之和小于兩直角，則兩直線無限延長后必相交于該側的一點.五個公理是：
與同一東西相等的一些東西彼此相等.
等量加等量，其和相等.
等量減等量，其差相等.
彼此重合的東西是相等的.
整體大于部分.
其后用48個命題討論了關于直線和由直線構成的平面圖形的幾何學，內容涉及三角形、垂直、平行、平行四邊形和正方形，最后兩個命題給出了勾股定理及其逆定理的證明.第2卷主要討論幾何代數.第3卷是與圓有關的一些問題，包括圓、弦、割線、切線以及圓心角和圓周角的一些熟知的定理.
第4卷在引入了圓的內接和外切圖形的概念以后討論了給定圓的某些內接和外切正多邊形的尺規作圖問題.
第5卷討論了有關量的比例理論.
第6卷主要是將比例理論應用于平面幾何，其中包括相似三角形等.第7、8、9卷主要研究初等數論.從檢驗兩個整數是否互素開始，建立起了關于數值的比例理論以及數的基本性質，給出了求兩個或多個整數的最大公因子的“歐幾里得算法”，討論了比例、幾何級數，還給出了許多關于數論的重要定理.例如歐幾里得用歸謬法證明了素數有無窮多個.
反證法的依據是邏輯學中的排中律。
哈代：“反證法是遠比任何棄子術更高超的一種策略。棋手可以犧牲的只是幾個棋子，而數學家可以犧牲整個一盤棋。”第10卷討論無理數，重點研究了形如（其中a，b皆為有理線段）的無理量，并對所有25種可能的形式進行了分類.
后3卷是立體幾何內容.第11卷給出了立體幾何中一些概念的定義；第12卷用窮竭法證明了棱錐與棱錐、圓錐與圓錐、圓柱與圓柱以及球與球之間的體積比；第13卷論述正多邊形的性質及其內接于圓時的性質、研究了如何將五種正多面體內接于一個球的問題，并依賴關于多面體各面角之和必小于3600的結論，證明了凸正多面體不多于5種.以外，歐幾里得還寫了許多其他出色的著作.他對天文學和光學都有研究，但在純數學方面保留下來的僅有兩本：
（１）《數據》（The Data）.這是在《幾何原本》基礎上進一步研究幾何學的一本問題集，共９５個問題；
（２）《論圖形的分割》（On Divisions of Figures）.研究將圖形分割后成比例的問題，共有36個問題.2.2.2 阿基米德的數學成就阿基米德出生于意大利西西里島的敘拉古.
青年時代的阿基米德曾到號稱“智慧之都”的亞歷山大城求學，阿基米德學成后返回故鄉，并終身保持同亞歷山大學派的聯系，研討學問，成為亞歷山大學派最杰出的代表.他一直住在敘拉古.公元前212前，阿基米德死于士兵劍下，臨死前他還在思考幾何問題.阿基米德 阿基米德的數學著作流傳至今的，按時間順序，依次為：《拋物線的求積》、《論球和圓柱》、《論螺線》、《論劈錐曲面體與球體》、《圓之度量》、《沙粒計》.
這些論著無一不是數學創造的杰出之作，正如英國數學史家希思（Heath，1860～1941）所指出的，這些論著“無一例外地都被看作是數學論文的紀念碑.解題步驟的循循善誘，命題次序的巧妙安排，嚴格摒棄敘述的枝節及對整體的修飾潤色，總之，給人的完美印象是如此之深，使讀者油然而生敬畏的感情.”對數學的貢獻主要有：
在平面幾何方面
①開創計算π值的古典方法，利用內接和外切正多邊形逼近，求得 ．
②證明圓面積等于以圓周長為底、半徑為高的三角形的面積.
③證明任何直線截拋物線所得弓形面積等于同底等高的三角形面積的４／３.
④定義了螺線ρ＝aθ，并證明螺線第一圈與初始線所圍成的面積等于半徑為２πa的圓面積的１／３.
⑤橢圓與圓的面積之比等于橢圓長短軸之積與圓半徑平方之比.在立體幾何方面
①球表面積等于大圓面積的４倍.
②圓的外切圓柱體的體積是球體積的３／２，其表面積（包括上下底）也是球表面積的３／２.
③任一正圓柱側面積等于以圓柱高與底面直徑的比例中項為半徑的圓面積.
④任一圓錐的表面積等于以圓錐母線與底面半徑的比例中項為半徑的圓面積.
⑤球冠側面積等于以其大圓弧所對弦長為半徑的圓面積.
⑥橢圓、拋物線和雙曲線繞軸旋轉而生成的旋轉體體積公式.
此外，阿基米德還研究了等比級數求和公式、大數的記數法等等.阿基米德是應用力學方法進行數學規律探索的倡導者和典范. 設有半徑為ｒ的球，圓錐和圓柱的高都是２ｒ，底面半徑分別是2r與r.圖是它的軸截面圖. 考慮在三個立體上切下與Ｎ的距離為ｘ、厚為Δｘ的薄片，其近似體積為
球體：πｘ（２ｒ－ｘ）Δx
柱體： Δx
錐體： Δx
將球體和錐體的薄片掛在T點(TN=NS=2r)上，則它們關于支點N的組合矩為
把大量的這些薄片加在一起得
得
阿基米德關于圓的著作發表在單行本《圓的度量》中，全篇包括三個命題：
用“窮竭法”證明了圓面積公式；
斷言圓與它的外切正方形面積之比為１１/１４；
推算出圓周率在223/71與22/7之間.阿基米德用窮竭法解決了圓的面積與一個兩條直角邊分別等于其周長和半徑的直角三角形的面積相等.將運動觀點引入數學，也是阿基米德數學思想的重要組成部分，這集中反映在《論螺線》一書中.
在這本書中，阿基米德從運動觀點出發指出了螺線的定義，他說：“在平面上有一直線，把它的一個端點固定，使直線圍繞定點作勻速運動，如果直線上有一點同時從定點開始，沿直線作勻速運動，那么動點最后將描出一條螺線.”用我們熟知的極坐標刻畫，其方程即為ρ＝ａθ.2.2.3 阿波羅尼斯與《圓錐曲線》《圓錐曲線》共８卷，有４８７個命題，現存前７卷.第１卷給出了圓錐曲線的定義和基本性質，在這一卷中，阿波羅尼斯首創了通過改變截面的角度，從一對對頂圓錐得到三種圓錐曲線的方法，并依據曲線的作法推導出它們的特征關系式，進而導出了圓錐曲線的弦、直徑、共軛直徑、切線等的定義和性質，甚至還得到類似于在坐標變換下曲線性質的不變性的結論.需要指出的是，阿波羅尼斯的方程是用幾何語言敘述的.
第２卷討論雙曲線漸近線的作法、性質和共軛雙曲線的性質；圓錐曲線的直徑和軸的求法；有心圓錐曲線的中心的概念；怎樣求作滿足某種條件的圓錐曲線的切線.第３卷討論了切線與直徑所圍成的圖形的面積；極點和極線的調和性質；橢圓和雙曲線的焦點的性質.
第４卷討論了極點和極線的其他性質；討論了圓錐曲線相交的各種情況；證明了兩條圓錐曲線至多有４個交點.
第５卷在尚存７卷中最富獨創性，討論了從一點到圓錐曲線所能作的最長和最短線段，并給出了過一定點的法線的作圖和計算.
第６卷討論了圓錐曲線的全等、相似和圓錐曲線弓形的作圖和性質.
第７卷討論有心圓錐曲線的兩條共軛直徑的性質.
總之，亞歷山大時期出現了許多著名的數學家，他們的工作大大開拓了希臘數學的領域，正是由于這個時期的成就，希臘數學才能作為一個比較完整的體系截入史冊.
在這一時期，定量研究有了很大進展，但并沒有使偏重幾何的方向發生逆轉，算術和代數中，演繹式的邏輯結構始終沒有建立起來，三角學的研究尚末擺脫天文學，這就決定了對于數的研究仍然是直觀的、經驗的，其發展是緩慢的，從而使幾何的發展步履艱難.2.3 希臘數學的衰落希臘數學自阿波羅尼斯之后開始走下坡路，但在后來的歲月里也還是有一些數學成就值得人們去研究的.
1.代數大師丟番圖
(1)第一次系統地提出代數符號
(2)以高超的技巧解不定方程
2.托勒密 寫成三角學的最早系統性論著《數學匯編》.在該書中有著名的托勒密定理：在圓內接四邊形中，兩對角線之積等于兩對對邊乘積之和.
3.海倫、梅乃勞斯和帕普斯等人的工作 整個希臘數學的消亡是由于羅馬人的入侵所導致的.
公元前146年，羅馬人征服了希臘本土.
公元前４７年，凱撒縱火焚毀停泊在亞歷山大港的埃及船隊，大火延及該城，并無情地將圖書館兩個半世紀以來收集的藏書毀于一炬.
羅馬統治者推崇的基督教的傳播，迅速地以強烈的宗教狂熱淹沒了豐富的科學想象，使希臘數學蒙受了更大的災難，查封學園、禁止學習研究數學，使歐洲數學進入了漫長的黑暗時期.3、來自東方的繼承者與傳播者
—印度與阿拉伯的數學 在古希臘數學文明衰微、歐洲處于長達１０００年的中世紀黑暗時期,“西方不亮東方亮”，在世界的東方，希臘殘留的火花得到了保存與傳播，這就是印度與阿拉伯的數學. 印度的泰姬陵 3.1 印度的數學印度文明最早可以上溯到公元前3500年左右.從5世紀始，印度文明又不斷受到其它民族的侵占，多民族的文化在這里交融，這就孕育了印度數學的繁榮.
大約在５０００年前印度人就興建起了具有相當規模的城市與宮殿，并且有了書寫、計算和度量衡的體系.由于印度以農業為經濟來源，很早就開始觀察星象，編造歷書，因而帶動了數學研究. 公元３世紀至１２世紀是印度數學的繁榮時期，而其繁榮的標志表現為出現了一些著名的天文學家兼數學家.他們主要是：阿耶波多（Aryabhata，約476～550）、婆羅門笈多（Brahmagupta，598～665）、摩訶毗羅（Mahavira,850年左右）和婆什迦羅（Bhaskara,1114～1185）． 阿耶波多，又譯圣使，出生于華氏城（今稱巴特那）. 其著作有《阿耶波多文集》，其中有一章專講數學 ，介紹了比例、開方、二次方程、一次不定方程、算術級數等問題，他得出了圓周率為3．1416的較好的近似值. 婆羅門笈多，又譯梵藏.其著作《婆羅門修正體系》，包括“算術講義”、“不定方程講義”等章，其中有算術、勾股定理、面積、體積等內容，并討論了二次方程，線性方程組及一次和二次不定方程的解法.還利用 內插公式造了一張正弦表。特別是該著作曾譯成阿拉伯文，對伊斯蘭教國家的數學和 天文學都產生過重大影響.摩訶毗羅著有《數學九章》一書，其內容主要是算術運算、 開平方和開立方、二次方程及組合問題，也講到解二次不定方程等.
婆什伽羅對天文學和數學都有研究，是古代印度 最杰出的數學家.他的名著有《麗羅娃提》和《算法本原》，這兩部著作除了 整理前人的成果之外還論述了有理數的四則運算、線性方程組和不定方程.他 指出二次方程有兩個根，并對形如的二次不定方程提出解法 ，他的著作還被譯成波斯文，對海外影響很大.
12世紀以后，印度數學的發展日趨滯緩，直到19世紀才有新的起色. 3.1.1 印度的算術1.在印度數學中最值得稱道的是印度數碼和１０進位值制記數法.
2.印度人也很早就引進了負數.
3.印度人分數的概念也是較早的.
4.開平方和開立方的方法
5.還給出了一些級數求和公式 3.1.2 印度的代數1.使用縮寫文字和記號來記述代數方程
2.常用假設法作為解方程或方程組的工具
3.不定方程的研究
4.金字塔圖即二項式展開式系數所構成的三角形 3.1.3 印度的幾何與三角幾何相對于代數來說有些平淡無奇，主要是一些常見的幾何體的體積公式。
他們的三角學研究 卻繼承并發展了希臘人的工作.他們把圓分成360度或21600分，把半徑分為120等分. 計算半弦的長，這樣，他們的“正弦”就 相當于現在的正弦線，與今天的正弦僅相差ｒ（ｒ為半徑）倍.此外，婆羅門笈多還首次利用內插法編制了一張正弦表，所用的內插公式在計算效能上與牛頓-斯特林公式是等價的。3.2 阿拉伯的數學公元７世紀前期，在穆罕默德的領導下，阿拉伯半島上分散的部落在強烈的伊斯蘭宗教熱情的感召下統一起來，并迅速崛起.在強悍的武力擴張下，他們建立了一個東起印度西部，西至西班牙，北抵中亞，南達北非的龐大帝國.８世紀中期，這個帝國一分為三，成為三個都講阿拉伯語的伊斯蘭國家.
阿拉伯人對數學的研究始于8世紀中葉或9世紀初.開始時，他們以翻譯和學習印度、希臘的數學經典為主.隨后在消化、吸收這些著作的基礎上進行獨立的 數學研究.
今天我們所說的“阿拉伯數學”，主要是指那些用阿拉伯文寫成的數學. 3.2.1 阿拉伯數學的分期與杰出的數學家（1）早期：8世紀中葉～9世紀
這一時期最重要的數學家是阿爾·花拉子米(Al-Khowarizｍi， 約780～850) ,其最著名的是《代數學》.
塔比·庫拉（Thabitibn Qurra，826～901），一位知識淵博的數學家和天文學家，曾創辦了一所翻譯學校，有力地推進了希臘著作的翻譯. 阿爾·花拉子米 這時期是阿拉伯數學發展的高峰期，出現的著名數學家 有巴塔尼，阿布·瓦法和奧馬·海雅姆.
巴塔尼(al-Battani，約858～929) 主要研究天文學，著作有《星的科學》.由于天文學研究的需要，主要致力于三角學的研究.
阿布·瓦法(Abu al-Wafa，940～998) 曾翻譯過丟蕃圖的著作，本人對三角學和算術都有重要貢獻.
奧馬·海雅姆(Omar Khayyami，1044～1223) 著作有《代數學》，在這部著作中，他詳盡地研究了三次方程的根的幾何作圖法，提出了利用圓錐曲線圖形求根的理論，這是阿拉伯數學最重大的成就之一.（2）中期：10世紀～12世紀（3）后期：１３世紀～１５世紀上半葉 這一時期阿拉伯帝國走向崩潰.這一時期的重要數學家有納西爾丁·圖西和卡西.
納西爾丁·圖西（Nasir al－Diu al－Tusi，1201～ 1274），是一位學識淵博的學者， 編制《伊爾漢歷》，對科學發展有很大的影響.他 對三角學的重要貢獻是編寫了一本脫離天文學的著作《論四邊形》.
卡西（al－Kashi，？～1429）是烏茲別克人，著名的天文學家和數學家，著有《算術之鑰》.此書內容廣泛，特別在二項式展開、高次方程的數值解法等方面都有引人注目的貢獻.有人認為，他的高次方程的解法可能是從中國傳入的.他精于計算，算得的值精確到小數點后16位.3.2.2 阿拉伯的算術與代數 阿拉伯的算術成就最杰出者首推花拉子米, 他的著作《代數學》首次把代數學作為一門有別于其他學科的、獨立的數學分支來處理.此書 內容分三大部分：第一部分講述現代意義下的初等代數；第二部分論及各種實 用算術問題；第三部分列舉了有關繼承遺產的各種類型的問題.其中第一部分 是全書最有價值的部分，在這里，花拉子米系統地討論了６種類型的一次或二次方程的解法，并介紹了配平方法. 1.花拉子米的<代數學> 更加重要的是，花拉子米采取演算與論證并舉的方式來闡述解方程的過程.例如,他對形如 的方程采用的解法是:如左圖,在邊長為x的正方形的四條邊上向外作邊長為x和p/4的矩形，再在這個圖形的四角作邊長為ｐ/4的 四個小正方形，使全圖成為邊長為x+(p/2)的大正方形 .由此推知 而則有(右圖自己考慮) 花拉子米系統地討論了型如下列６種類型的一次或二次方程的解法
平方等于根（根即未知數） ；
平方等于數 ；
根等于數 ；
平方加根等于數 ；
平方加數等于根 ；
根加數等于平方 .
指出：通過“復原”與“對消 ”兩種變換，可將其他形式的一次、二次方程化成這６種標準方程，這里所謂的“ 復原”與“對消”相當于今天的移項和合并同類項，他將這兩種變換看作是解方程的兩種最基本的變換. 2.海雅姆的《代數學》 用圓錐曲線來解代數方程，是該著作中也是阿拉伯數學中最有創見的成就之一.例如，他用幾何方法給出形如

的三次方程的解，其中a，b，c，ｘ都被看作是線段的長度.他首先應用求第四比例項的基本作圖法，由已知線段a，b，c作出線段，如圖，作AB=m 及BC=c，以AC為直徑作一半圓，并過點B作BD⊥AC交半圓于D.在BD上截取BE=b，過點E作EF∥AC，在BC上作點G，使AB∶BG=ED∶BE，并作矩形DBGH， 過點H作一條以EF和ED為漸近線的等軸雙曲線.設該雙曲線和半圓相交于J，過J 作JL∥DB，交AC于L，則BL即為所給三次方程的一個根.3.2.3 阿拉伯的幾何與三角1.卡西的工作 在阿拉伯幾何中，最精彩的篇章是卡西關于圓周率的計算. 在半徑為r的圓中定義弦的序列 …的值，它們所對的弧依次是：α1=30°， α2 =15°， α3 =7.5°，…如圖，AB為直徑，D是弧BC的中點，卡西在計算中引用了下面的公式
設 則此公式即
根據這一公式，計算了一系列具有確定的n值的圓內接正 邊形的周長，其每一條邊長an可據勾股定理得 ，取r=1,卡西依次計算到當n=28時， 用同樣的方法，卡西求出圓的外切正邊形的周長，然后取二者的算術平均數作為圓的近似周長.通過這樣的計算程序，卡西最后求 得圓周率的近似值為3.1415926535897932.2.巴塔尼的三角學 巴塔尼從三角線出發，用代數方法得到下列關系(用現代記號表示)：
等等.由此可見，巴塔尼掌握了６種三角線的概念和相互關系，他還研究了三角形的解法，其基本方法是作出某一條邊上的高，把問題轉化為直角三角形來解.3.阿布·瓦法和納西爾丁·圖西對三角學的貢獻 阿布·瓦法對三角學的貢獻在于把所有三角線都定在同一個圓中，而三角學的系統化則應歸功于納西爾丁·圖西，他在《論四邊形》中指出，由球面三角形的三個角可以求出三條邊，反之由三條邊可求出三個角，并且從基本概念和比例開始，直到給出各種類型問題的解法，較完整地建立起三角學的系統.這部著作在１５世紀時即傳入歐洲，對歐洲三角學的發展產生了重要的影響.由上述可知，從８世紀到１４世紀期間，在歐洲的數學發展處于低潮時期，阿拉伯人在數學方面取得了顯著成績，雖然其創造性和深刻性比不上希臘數學，但是相對于當時的歐洲和地中海地域來說，他們算得上是最有學問的人了，更重要的是，他們擔負起精神財富的保存者和傳輸者的使命，把印度和希臘的數學傳播到歐洲，對歐洲和整個世界數學的發展作出了巨大的貢獻.4、源遠流長、成就卓著的中國古代數學 中國是一個有著悠久歷史和燦爛文化的文明古國.中國古代的四大發明曾經極大地推動了世界文明的進步.同樣，作為中國文化的一個重要組成部分，中國古代數學，由于其自身的歷史淵源和獨特的發展過程，形成了與西方迥然不同的風格，成為世界數學發展的歷史長河中的一支不容忽視的源頭.
與世界上其他民族的數學相比，中國數學淵源深遠流長，成就卓著.本章按照年代的順序，巡視一下中國古代數學發展的狀況.
4.1 先秦時期——中國古代數學的萌芽中國是世界著名的文明古國，和古巴比倫、埃及和印度一樣，她也是人類文化的 發源地之一.數學作為中國文化的重要組成部分，它的起源可以追溯到遙遠的 古代.根據古籍記載、考古發現以及其他文字資料推測，至少在公元前3000年左右，在中華古老的土地上就有了數學的萌芽.一般認為，這一時期的數學成就主要有以下幾點：4.1.1 結繩記事 中國古代記數方法的起源是很早的.
《易·系辭傳》稱：“上古結繩而治.”
《易·九家義》解釋了這種方法：“事大，大結其繩；事小，小結其繩.結之多少，隨物眾寡.”
《史記》記載：“伏羲始畫八卦，造書契，以代結繩之治.”4.1.2 規矩的使用 《周禮》、《荀子》、《淮南子》、《莊子》等古籍都有明確的記載：“圓者中規，方者中矩.”
《史記》記載，夏禹在治水時就“左準繩，右規矩，載四時，以開九州，通九道”.
漢武梁祠 中還有“伏羲手執矩，女媧手執規”的浮雕像，將這兩種工具的最早使用歸功于傳說中的伏羲與女媧. 4.1.３十進位制記數法、分數的應用及籌算 商代（公元前１６世紀到公元前１２世紀）甲骨文就已發展成熟.據對河南安陽發掘的殷墟甲骨文及周代金文的考古證明，中國當時已采用了“十進位值制記數法”，并有十、百、千、萬等專用的大數名稱. 殷墟出土甲骨文中的數名記法 中國古代對分數概念的認識也比較早，分數的概念及其應用，在《管子》 、《墨子》、《商君書》、《考工記》等春秋戰國時代的書籍中都有明確的記載.
到了春秋戰國時代,算術四則運算也已經發展成熟.據漢時燕人韓嬰所撰的《韓詩外傳》介紹，標志著乘除法運算法則成熟的“九九歌”在春秋時代已相當普及.《 呂氏春秋》所載 “齊桓公招賢” 的故事 ,從一個側面說明了在當時九九歌已被人們廣泛地應用了.算籌是中國古代的計算工具.相應的一套算法也就稱為籌算.從春秋戰國時期一直到元代末年，算籌在我國沿用了兩千多年.用算籌表示數有縱橫兩種擺法: 算籌記數的表示方法 4.1.4 精湛的幾何思想戰國時期（公元前475-221年）的諸子百家，他們和古希臘的數學學派一樣其著作包含了理論數學的萌芽.其中最為杰出的是“墨家”和“名家”.
《墨經》記載了許多幾何概念. 如“平，同高也”；“中，同長也”；“圜 ，一中同長也”等等.還涉及到有窮和無窮的概念 .“或不容尺，有窮；莫不容尺，無窮也.”
《莊子》記載惠施曾提出：“至大無外謂之大一，至小無外謂之小一”. 還記載有：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”. “飛鳥之影，未嘗動也；鏃矢之疾，而有不行不止時” .
這些可以說與古希臘的芝諾悖論具有異曲同工之妙，也是世界數學史早期最光輝的數學思想之一.4.1.5 數學教育的開始《周禮·地官》中保氏稱：“保氏掌諫王惡，而養國子以道.乃教之六藝：一曰五禮，二曰六樂，三曰五射，四曰五御，五曰六書，六曰九數.”
其中禮、樂、射、御為大藝，書、數為小藝，前者為大學所授，后者乃小學所習.并稱：“六年教之數（shǔ），十年學書計.”
由此可見,早在周代國家就已把數學列為貴族子弟的必修課藝之一.對數學教學如此重視，且以典制的形式規定下來，這在世界歷史上是罕見的.4.2 漢唐時期——中國傳統數學體系的形成從漢代開始，中國的經濟文化有了進一步的發展，經濟的繁榮給科學的進步提供了物質基礎，特別是從秦代開始實施的文字與度量衡的統一、鐵器的使用以及大量興修水利工程和水陸交通的工程，為人們探索大自然的奧秘增強了動力，數學也有了長足的發展，其主要標志是以《九章算術》為代表的中國傳統數學體系的形成.4.2.1 《周髀算經》和勾股定理《周髀算經》
該書原名《周髀》，大約成書于公元前2世紀的西漢時期，其許多內容甚至可以追溯到西周（公元前11世紀-公元前8世紀）.這是一部介紹“蓋天說”宇宙模型的天文學著作，但它包含了相當深刻的數學內容，其主要成就包括分數運算、勾股定理及其在天文測量中的應用.卷首記述：“昔者周公問于商高曰：……古者包犧立周天歷度，夫天不可階而升，地不可得尺寸而度，請問數安從出？商高曰：數之法，出于圓方.圓出于方，方出于矩，矩出于九九八十一.故折矩以為勾廣三，股修四，徑隅五.……故禹之所以治天下者，此數之所生也.”接著又借陳子之口又給出了一般的勾股定理：“求邪至日者，以日下為勾 ，日高為股.勾股各自乘，并而開方除之，得邪至日.”
這就是我國有關勾股定理的最早記錄. 中國關于勾股定理的證明最早是由三國時期的數學家趙爽給出的.
趙爽是中國歷史上首次對《周髀》 進行認真研究和注釋的學者.他的工作主要包括三個方面的內容：一為文字解釋；二為較詳細地數學理論推演，三是補圖.其中最為精彩的是 “勾股圓方圖注”: “按弦圖又可以勾、股相乘為朱實二，倍之為朱實四.以勾股之差自相乘，為中黃實.加差實一，亦成弦實.”另外，在這篇注文中，趙爽還給出并證明了有關解直角三角形的27個命題。此外，在《周髀算經》中還介紹了許多種利用勾股定理進行測量的方法，如測量太陽的直徑、太陽的高等.同時，在勾股測量與計算中，還涉及到十分復雜的分數計算，這在以前的著作中是沒有的.4.2.2 《九章算術》 標志著中國傳統數學理論體系的形成.
該書的作者和成書年代難以確切地考證，多數學者認為，它成書于西漢末東漢初，即公元一世紀初.
中國的數學，經過長期的積累，到西漢時已有很豐富的內容，但這些內容之間缺乏內在的聯系，以前人們曾尋求以確定的方式建立某種聯系，例如墨家學派曾嘗試過用邏輯方法研究數學概念，但沒有成功.也許正是這種原因，決定了《九章算術》所特有的處理方式，并形成了中國傳統的數學體系.宋刻本《九章算術》書影 全書采用問題集的形式，每題大致由“問”、“答”、“術”三部分組成，其中“術”通常是解題的思想方法、公式和法則。
全書共有246個應用題。大多數都是與生產實踐、日常生活有聯系的實際應用問題.
這些問題分別隸屬于方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程和勾股九章. 第一章.“方田” 本章主要論述了各種平面圖形的地畝面積算法及分數的運算法則.其中，平面圖形有方田（長方 形田地）、圭田（三角形田地）、邪（斜）田（直角梯形田地）、箕田（ 等腰梯形田地）、圓田（圓形田地）、宛田（說法不一，未有定論）、弧田（弓形田地）、環田（圓環或環缺形田地）的面積算法，除宛田、弧田是近似計算方法外，其他各種圖形的面積算法都是正確無誤的.分數運算法則包括約分術（約分與通分）、合分術（分數加法）、減分術（分數減法）、課分術（兩個分數的大小比較）、平分術（求幾個分數的算術平均值）、乘分術（分數乘 法）、經分術（分數除法）和大廣田術（帶分數除法），這些算法也都是正確的，且與現今的計算方法在理論上是一致的.第二章.“粟米” 該章主要論述了20種糧食及其成品如稻、米、麥 、面、飯等之間的兌換比率及四項比例算法.四項比例算法當時稱為“今有術”，其計算方法是：所求數＝（所有數×所求率）／所有率，這里，所有率、所求率、所有數與所求數是比例算法的四個專用名詞.如“已知麥與米的比率是３∶２，現有麥子６０斤，問能兌換大米多少斤？” 在這個問題中，所有率是麥子的比率３，所求率是大米的比率２，所有數是已有麥子的斤數，所求數就是欲求的大米斤數，這樣，按上述公式，能兌換大米的斤數為（６０×２）÷３＝４０(斤)，《九章算術》還將這一算法用于解決一些更復雜的問題. 第三章.“衰分” 主要論述配分比例算法，其中問題多與商業、手工業及社會制度有關.
例如:“今有大夫、不更、簪niao 、上造、 公士五人，共獵得五鹿，欲以爵次分之，問各幾何？”
分配原則是“位高者多得，位卑者少得” 第四章.“少廣” 主要成就包括開平方、開立方的算法. 第五章“商功” 主要論述各種立體圖形的體積算法，其中包括柱、錐、臺、球體等，內容涉及筑城、修堤、開渠、糧垛等施工方面的計算問題. 第六章“均輸” 主要論述較為復雜的配分比例問題.其中最引人注目的是“均輸術”.這是我國古代實行的“均輸制”在數學上的反映，主要解決按人口多少、路途遠近、谷物貴賤等條件，平均繳納賦稅或攤派徭役等實際問題，這很類似于條件極值問題. 第七章“盈不足” 主要論述盈虧問題的解法.盈不足的典型問題是這樣的：若干人共買一物，若每人出a1錢，則多出b1錢;若 每人出a2(a2人數=(b1+b2)/(a1-a2).
物價=(a1b2+a2b1)/(a1-a2).
這一方法除了對于線性問題給出精確的解外，也為非線性問題提供了一個有效的近似解法.
例如“雙鼠穿垣”題 第八章“方程” 主要研究線性方程組的解法，其基本思想是消元.在解方程組時，將方程組的系數（包括常數）分離出來排成一個數表，相當于現在線性代數中的增廣矩陣，然后通過類似于矩陣初等變換的方法消元，這一思想方法在數學發展史上是非常重要的，在西方被稱為“高斯消去法”.
“方程”章的另一個重點就是對負數的概念、運算進行了研究. 第九章“勾股” 主要討論有關勾股問題的解法，并論及簡單的勾股測量. 4.2.2 劉徽和祖氏父子劉徽，魏晉時期人，祖籍淄鄉（今山東臨淄或淄川一帶），生卒年月不詳，他年輕時十分好學，尤其喜愛數學.公元263年（魏陳留王景元四年），劉徽的《九章算術注》問世， 書中載錄了劉徽在數學上的許多重要貢獻. 1、劉徽的數學貢獻在算術方面，劉徽闡發了《九章算術》中的分數理論.他的分數的意義、表示 方法、運算法則等代表了當時世界上的最高水平.他把分數看作比，由此發展出“率”的概念，又在“率”的基礎上提出了算術中的比例理論、“盈不足”方法等.
在代數方面，給線性方程組解法以及正負數加減運算這兩項算法以完整的理論說明，給出了方程的定義并揭示了方程組的同解原理. 并把正與負看成是相對存在的數的兩種情況，并把數的正負與加減運算關系統一起來.還運用平面與立體圖形對中國古代的開平方與開立方法作出了直觀解釋.此外，他由取 平方根的近似值而提出的小數概念和表示方法.
在幾何方面，以別具一格的證明方法對中國古代提出的幾何命題予以科學的證明， 這些方法包括“圖形割補法”、“代數法”、“極限法”以及“無窮小分割法 ”等等. 劉徽對球體積計算的研究 <九章算術>少廣章的“開立圓術”給出的球體積(V3)計算方法相當于公式
(這里的D為球直徑)
劉徽對這一公式的正確性產生了懷疑，他使用截面法進行驗證，發現內切圓柱的體積（V2）與正方體的體積（V1）之比為 ，在《九章算術》取的情況下，只有在內切球與圓柱的體積之比也是 時，上述近似公式才成立，而實際上后者是不成立的.為此，劉徽又以正方體相鄰的兩個側面為底分別作兩次內切圓柱切割，剔除外部，剩下的內核部分劉徽稱之為“牟合方蓋”（如圖 )證明內切球與“牟合方蓋” 的體積之比為 而明顯地可以看出，“牟合方蓋”的體積比圓柱要小， 故上述公式是錯誤的. 顯然，如果能求出牟合方蓋的體積，球的體積就自然可以求出了，但對于牟合方蓋的體積如何求出，劉徽百思不得其解，故最后不得不“付之缺疑，以俟能言者”. 祖氏父子對球體積計算的貢獻祖氏父子在研究《九章算術》及劉徽注時發現了劉徽遺留下的如何計算“牟合方蓋”的體積問題，并開始沿著劉徽開辟的道路繼續探索.經父子兩代人不懈的努力，終于由祖日恒解決了牟合方蓋體積的計算，得到牟合方蓋與其外切正方體的體積比為2/3. 祖日恒還將其推導過程中所用的、事實上也是劉徽已經使用過的不可分量原理，總結提煉成一般的命題：“緣冪勢既同，則積不容異”，即夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，若所得截面總相等，則此二幾何體體積相等. 4.2.3 《算經十書》從隋開始，中國有了專門的數學教育機構，在其最高學府——國子監中，設立算學科，專門從事數學教學.
唐在隋的基礎上，繼續在國子監中設立數學教育機構，他們把數學教育與明經、明法、明書等并列為六科，稱作明算科。
明算科設有算學博士與算學助教各二人，并招收算學生80人.
由數學家李淳風等人共同審定并注釋了十部算經作為數學教材，這十部著作是《周髀算經》、《九章算術》、《海島算經》、《孫子算經》、《張邱建算經》、《五曹算經》、《五經算術》、《夏侯陽算經》、《綴術》和《緝古算經》，這就是歷史上著名的“算經十書”，其記載了漢唐的數學成就，并成為后人數學教學與研究的重要源泉.4.3 宋元時期——中國傳統數學的興盛 這一時期包括宋元兩代，即900年至1368年.眾所周知，宋代結束了五代十國的封建割據的局面以后，出現了社會穩定、生產發展、經濟繁榮的景象。
統治者鼓勵發展科學技術，同時改革舊的科舉制度，極大地推動了科學文化技術的發展.聞名于世的中國古代“四大發明”中的指南針、火藥和活字印刷這三大發明就都是在宋代完成并獲得廣泛的應用的.
到了元代，蒙古騎兵占領了歐亞廣大地區，促進了中外交流，印刷術的發展也推動了數學教育與研究，再加上前一時期數學知識的大量積累，諸多因素的匯集，促使中國以算籌為主要工具的傳統數學出現了極其輝煌的成就，到達了興盛時期.4.3.1 高次方程的數值解法《九章算術》、《緝古算經》等著作中所載的開平方、開立方方法已具備了解二次、三次方程的雛形，宋代以前，也曾經有人嘗試將這種方法推廣到解更高次的方程.但目前明確記載并保存下來的應是北宋數學家賈憲創造的“增乘開方法”.
秦九韶《數書九章》推廣傳統的 “開方法”，創立了“正負開方術”. 4.3.2 中國剩余定理主要見于秦九韶<數書九章>4.3.3 “天元術”和“四元術”李冶的《測圓海鏡》和《益古演段》是現存最早的系統介紹和研究“天元術”的著作.
元代數學家朱世杰推廣了“天元術”，提出用“四元術”來解四元方程，可以說這是中國籌算代數學的頂峰. 4.4 明清時期——中國傳統數學的衰落與復蘇從明代起，中國封建社會開始衰落，資本主義因素開始慢慢地萌發了，但由于根深蒂固的封建帝王統治的抑制，使資本主義的幼芽未能順利得以發展.統治階級為了維護其統治地位，規定科舉制必須采用 “八股”文體，使得大批的知識分子“皓首窮經”，而鄙夷天文、數學等專門學問為“奇技淫巧”，加上生產水平低下與數學理論高度發展相脫節 的實際狀況，致使中國數學由宋元時期的蓬勃發展而突然走向衰落.4.5 中國傳統數學的特點(１)追求實用
(２)注重算法
(３)寓理于算5﹒希望的曙光—歐洲文藝復興時期的數學5﹒1 歐洲中世紀的回顧 公元5世紀—15世紀為歐洲中世紀黑暗時期，主要特征是：
（1）生產停滯；
（2）經濟凋敝；
（3）科學文化倒退。 對科學的影響是5世紀羅馬人占領希臘后,為了建立所謂的“實業家的文化”,強行推行基督教,排斥包括數學在內的所有科學.
教皇奧古斯丁：“從圣經以外獲得的任何知識，如果它是有害的，理應加以排斥，如果它是有益的，那么它就包含在圣經里了.”數學受到最大排斥，常常把它與異教徒的星相術混為一談，因此在這個時期的法典中甚至明文禁止學習與研究數學，羅馬皇帝狄奧多西法典：“任何人不得向占卜人與數學家請教.”6世紀查士丁尼法典則：“徹底禁止應受到譴責的數學技藝.”
這一時期還能夠堅持科學研究的有：
博埃齊（羅馬貴族）從古希臘著作中編譯了一些算術、幾何、音樂、天文的初級讀物，稱為“四大科” 。
比德（英格蘭文化之父）寫過一些算術著作，研究過歷法及指頭計算方法，是最先求得復活節的人.
培根（英國哲學家 ）號稱“萬能博士”.他提倡科學，重視現實，反抗權威. 菲波那契（意大利數學家）曾在埃及、敘利亞、希臘以及西西里島等地游歷，獲得許多數學知識，對印度－阿拉伯計算方法的實用性尤為欣賞.
著有《算盤書》，共１５章，主要介紹算術與代數，內容包括：印度－阿拉伯數碼的讀法與寫法；整數與分數的計算；平方根與立方根的求法；線性方程組和二次方程的解法等，書中還給出了數學在實物交易、合股、比例法和測量幾何中的應用.著名的“斐波那契數列” 問題即載于此書。
還有一部純幾何著作《實用幾何》，運用歐幾里得等人的方法介紹了直線形的面積、圓的度量、球和圓柱等.5﹒2 文藝復興時期的數學 這一時期在數學方面的突破最初是由藝術大師們完成的.他們所遇到的第一個難題就是如何把三維的現實世界反映到二維的畫布上來.
5.2.1透視理論的創立與三角學的獨立
布魯內利斯 第一個認真研究透視法并試圖運用幾何方法來進行繪畫.
德沙格 著有《論錐面截一平面所得結果的初稿》的小冊子. 從開普勒的連續性理論出發，導出了許多關于對合、調和變程、透射、極軸、極點以及透視的基本原理.其中最引人注目的是所謂德沙格定理。
帕斯卡 16歲時開始研究投影和取景法. 他把圓錐曲線的性質簡化為幾個基本命題，并于1640年完成了著作《圓錐曲線論》.其中包含所謂“帕斯卡定理”。
5.2.2 三、四次方程的解法

費羅 1515年，波侖那大學費羅用代數方法求出了形如 x3+mx=n 的三次方程的解，但沒有公開發表 。
泰塔格利亞 1541年，泰塔格利亞掌握了處理x3±px2=±q和x3±px=±q類型的方程的一般解法，但他也沒有公開發表這一成果.但教給了米蘭醫生卡爾達諾。
卡爾達諾公開了泰塔格利亞教給他的方法。
與泰塔格利亞對簿公堂。
斐拉里得到了一般四次方程的代數解法 。
5.2.3韋達與符號代數
韋達的《分析方法引論》是一部最早的符號代數的著作.在這部著作中，韋達不僅用字母表示未知量和未知量的乘冪，而且還用來表示一般的系數.通常他用輔音字母來表示已知量，用元音字母表示未知量，用拉丁語表示各次方冪.
韋達一生寫了許多關于三角學、代數學和幾何學的著作，其中主要有：《三角學的數學基礎》、《幾何補編》、《有效的數值解法》和《論方程的整理與修正》. 5.2.4對數的發明
施蒂費爾 在其著作《整數算術》討論了幾何級數與其指數之間的關系，指出幾何級數1,r,r2,r3,…的各項與其指數數列0，1，2，3……的各項相互對應，幾何數列中兩項之相商）所得的項，其項的指數等于該幾何數列的指數數列中兩項的和（差）.他甚至還把兩個數列之間的這種聯系推廣到負指數和分數指數的情形.但他最終并沒有提出對數的概念.
納皮爾 借助于運動概念與連續的幾何量的結合來引入對數.
布里格斯 與納皮爾合作，決定利用y=10x關系，則當x=x1+x2時，y=y1y2來設計對數，這就是今天所謂的以10為底的常用對數. 6、解析幾何的產生與發展6.1 解析幾何學產生的背景
（1）阿拉伯的代數學的思想方法
（2）資本主義機器大生產的發展
（3）科學的需要6.2 笛卡爾與他的《幾何學》6.2.1 笛卡爾的哲學研究
笛卡爾是一位懷疑論者，他說：“要想追求真理，我們必須在一生中盡可能地把所有事物都來懷疑一次.”
十分重視方法論的研究 ，他認為在一切領域中獲得真理的方法就是數學方法，因為數學中立足于公理的證明是無懈可擊的，而且是任何權威所不能左右的，數學提供了獲得必然結果以及有效地證明其結果的方法.6.2.2 笛卡爾的《方法論》
1637年，笛卡爾出版了《更好地指導推理和尋求真理的方法論》（簡稱《方法論》），包括三個附錄：《幾何學》、《折光》和《氣象》。
其中《幾何學》大約占１００頁，包括了笛卡爾關于坐標幾何和代數的思想，首次明確提出了點的坐標和變數的思想，并借助坐標系用含有變數的代數方程來表示和研究曲線.
《幾何學》的問世，是解析幾何產生的重要標志. 6.3 費馬與他的解析幾何
費馬關于曲線的工作，是從研究古希臘幾何學家，特別是從阿波羅尼斯的工作開始的. 他在認識到阿波羅尼斯所用幾何方法的困難之后，萌生了用代數來研究曲線性質的想法.
費馬的坐標幾何研究很可能把阿波羅尼斯的結果直接翻譯成代數的形式.特別是關于研究圓錐曲線方法的探索，費馬是直接從阿波羅尼斯的研究出發的. 6.4解析幾何的進一步完善與發展6.4.1 范·斯柯登、瓦利斯和克拉梅等人的工作
范·斯柯登將笛卡兒的《幾何》譯成拉丁文，撰寫介紹性評論，于1649年出版，并再版了若干次.對宣傳、改進解析幾何起了積極作用.
約翰·瓦里士在《論圓錐曲線》一書中有意識地引進負的縱、橫坐標，使坐標幾何中的曲線擴大到整個平面.
克拉梅在《代數曲線的解析引論》一書中第一次正式使用ｙ（縱）軸（1750年. 6·4·2伯努利等人關于極坐標系的工作
雅各·貝努利1691年在《教師學報》上發表了一篇關于極坐標的文章，是極坐標的發明者.
赫爾曼于 1729年正式宣布極坐標的普遍可用，且自由地應用極坐標去研究曲線，并建立了直角坐標系和極坐標系的互換公式.
歐拉擴充了極坐標的使用范圍，并且明確地使用三角函數的記號.6·4·3 推廣到三維空間
笛卡兒和費馬都曾有三維解析幾何的思想。
約翰·貝努利于1715年首次引入空間直角坐標系，
克雷略得出空間曲線可用兩個空間曲面表示. 歐拉在早期對曲面方程的一些研究工作的基礎上，在他的《引論》（1748年）第二卷第五章的附錄中，系統地介紹了許多早已做過的工作，并研究了一般的三個變量的二次方程。
拉格朗日在一篇關于球體引力的論文中，給出了軸的旋轉的對稱形式的變換，即齊次線性正交變換.
在1802年Gaspard Merge和他的學生Jean Nuolas Pierre Hachette一起寫的一篇論文《代數在幾何中的應用》中，證明了二次曲面的每一個平面截口是一條二次曲線，還證明了平行截面截得的是相似的二次曲線.
由于上述數學家們的努力工作，解析幾何變成了一個獨立的而且充滿活力的數學分支.7·微積分的創立7·1微積分產生的背景
7·1·1古代的思想萌芽
“無限細分，無限求和”的微積分思想，在古代的西方和中國早就已經開始萌芽：
古希臘的阿基米德關于研究了圓的周長和面積的計算問題；
西漢劉歆《西京雜記》中的“記里車”，東漢張衡的“渾天儀”，蜀漢諸葛亮使用并改進的“木牛流馬”，劉徽提出的“割圓術”. 7·1·2幾個基本問題
問題1 求自由落體的瞬時速度
16世紀前后，開普勒根據天文觀測資料，總結出行星運動的三大定律；伽利略（1564～1642）發現了自由落體的運動規律，這個規律可表成著名的公式。
問題2 求曲邊三角形的面積
古代的“割圓術”和古代勞動人民用一塊塊石頭砌成拱形的橋洞給出啟示，從整體看是曲的東西，在局部卻可以“以直代曲”. 7·2 十七世紀前先驅們的探索
四個基本問題
（1）求速度與加速度
（2）求曲線的切線——笛卡爾、巴羅等人的工作
（3）求函數的最大、最小值——開普勒、費馬等人的工作
（4）求曲線的長和曲線圍成的面積——開普勒、卡瓦列里的工作7·3 科學的巨人——牛頓牛頓（Isaac Newton， 1642～1727）誕生于英格蘭林肯郡 。
12歲時進入格蘭瑟中學學習.
1661年以減費生的身份進入劍橋大學三一學院，1664年成為獎學金獲得者，1665年獲學士學位.
1665年8月，劍橋大學因為瘟疫流行而停課放假，牛頓回到故鄉烏爾斯索普.
1667年牛頓重返劍橋大學，10月1日被選為三一學院的仲院侶，次年3月16日選為正院侶.
1669年10月27日，年僅26歲的牛頓接替巴羅擔任盧卡斯講座的教授.
1672年起他被接納為皇家學會會員，1703年被選為皇家學會主席直到逝世. 1664年秋，當時他牛頓研究了笛卡兒的《幾何學》，對笛卡兒求曲線的切線方法產生了濃厚的興趣并試圖尋找更好、更一般的方法.
1666年10月，牛頓的第一篇關于微積分的論文《流數短論》問世，首次提出了流數的概念，所謂流數就是速度，在變速運動中速度是路程對時間的微商.至于速度的變化狀況就要用速度的微商來反映，即加速度是速度的微商.
1669年，牛頓又完成了關于微積分的第二篇論文《運用無窮多項方程的分析學》.在這里不僅給出了求一個變量對于另一個變量的瞬時變化率的一般方法，而且還證明了面積可以由求變化率的逆過程得到.這實際上已經初步給出了微積分基本定理. 1671年，牛頓關于微積分的第3本論著《流數術和無窮級數》寫成.在此他恢復了在《流數短論》中采用的運動觀點，對以物體運動為背景提出的流數概念作了進一步的論述，并清楚地陳述了流數術所提出的中心問題是：
（１）已知流量間的關系，求流數關系（即微分法）；
（２）已知表示量的流數間的關系的方程，求流量間的關系（即積分法）.
1676年，牛頓完成了他的第4篇論文《曲線求積論》，在這部著作中，他改變了過去那種“略去所有含瞬的項”的做法，認為“數學的量不是由非常小的部分組成的，而是用連續的運動來描述的.”為此他引入了最初比和最后比的概念，并借助于幾何解釋把流數理解為增量消逝時的最后比。這相當于求一個函數自變量與因變量變化之比的極限. 牛頓微積分學說最早的公開發表的是1687年出版的巨著《自然哲學之數學原理》。在這部著作中，牛頓以幾何的語言介紹了他的“首末比方法”，并對此作出解釋：“量在其中消逝的最后比，嚴格地說，不是最后量的比，而是無限減少的這些量的比所趨近的極限.它與這個極限雖然比任何給才的差更小，但這些量在無限縮小以前既不能越過也不能達到這個極限.”表現出了牛頓曾經試圖以極限方法作為微積分基礎的強烈傾向. 除了對微積分的重要貢獻之外，牛頓還在函數理論、無窮級數、微分方程、變分法、代數和解析幾何等領域都有杰出貢獻.許多人給予他由衷的敬佩.連與他同時代的萊布尼茨也對牛頓倍加贊譽：“在從世界開始到牛頓生活的年代的全部數學中，牛頓內的工作超過了一半.”拉格朗日更是不吝言辭地說到：“他是歷史上最有才能的人，也是最幸運的人—因為這個宇宙體系只能被發現一次.”然而就是這樣一位科學巨人，卻是十分謙虛的，他曾經說過：“我不知道世人把我看成什么樣的人.但是，對于我自己來說，就象一個在海邊玩耍的孩子，有時找到一塊比較平滑或格外漂亮的貝殼，感到高興，而在我面前的卻是完全沒有被發現的真理的海洋”.并稱：“如果我比別人看得更遠，那只是因為我站在了巨人的肩上”.7·4 數學大師——萊布尼茨
萊布尼茨（1646～1716）出生于德國萊比錫，是微積分的另一個奠基者，他的學識包括哲學、歷史、生物學、機械、物理、數學、神學等等.
萊布尼茨于1661年（15歲）考入萊比錫大學學習法律，歐幾里得幾何學的教師講解含糊不清，除了萊布尼茨外，便沒有人能聽懂.
1666年萊布尼茨發表了一篇關于數理邏輯的論文，雖然是極不成熟的作品，但已顯示出他的數學才能. 7·5微積分的進一步發展
7·5·1微分方程
7·5·2變分法
7·5·3分析基礎的嚴密化8·現代數學選論8·1 泛函分析的誕生
8·2 抽象代數的確立
8·3 拓撲學的起源與發展
8·4 應用數學的崛起
8·5 計算機與計算數學8·1 泛函分析的誕生 泛函分析發端于19世紀末20世紀初.前期產生的背景是變分法、集合論和積分方程的發展所引起的.
最早研究泛函分析方法的是伏爾泰拉（1860-1940）.他在經常變分法研究時，提出了一條曲線的函數就是指一個實值函數F，它的值由定義在某一區間[a，b]上的函數f(x)的全體確定，這些函數本身被看作一個空間的點，而對于該空間，可以定義點的鄰域與點列的極限.
在建立泛函分析抽象理論的過程中，法國數學家弗雷歇（1878-1973）在他1906年完成的博士論文中作出了第一個具有重要意義的貢獻.他用抽象的形式表達了函數空間.指出：空間中每一點都是函數，函數的極限可以看作是空間中點列的極限，并引入了一類L空間. 數學大師希爾伯特(1862～1943)在研究積分方程時，曾經將一個函數看成是由它相應的標準正交函數系的付里葉系數確定的.
1907年，德國數學家施密特（1876-1959）發展了希爾伯特這一思想，將其抽象為一般的L2空間，這通常稱為希爾伯特空間.施密特還據此并導出了正交系的概念.
1910年，匈牙利數學家黎茲（1880-1956）則進一步由積分方程導出了Lp空間，開始研究抽象算子理論，并引入了范數的概念.  對泛函分析的發展作出顯著貢獻有波蘭數學學派.該學派成立于20世紀20年代，以泛函分析為自己的主要研究方向.
領軍人物是巴拿赫(1892-1945)和史坦豪斯(1887-1972). 巴拿赫的一個重要貢獻是于1922年用三組公理建立了完備的賦范向量空間，后人稱之為“巴拿赫空間”. 巴拿赫空間比希爾伯特空間更為一般，它包括Lp空間、連續函數空間、有界可測函數空間等.
1929年，巴拿赫引進了巴拿赫空間的對偶空間，并與史坦豪斯合作，得到了泛函分析中的一致有界定理，即“巴拿赫—史坦豪斯定理”.
他1932年出版的名著《線性算子理論》，提出了關于函數空間上線性算子的一系列重要定理，成為泛函分析達到成熟階段的標志.因此，巴拿赫被人們稱為“泛函分析之父”. 在泛函分析的發展中最卓越的成就應該是馮·諾伊曼（1903-1957）關于希爾伯特空間上對稱算子的研究. 在他分別發表于1929年和1930年的兩篇論文中，應用公理化方法研究了希爾伯特空間中的算子，建立了埃爾米特算子和酉算子之間的聯系.并把有關結論推廣到無界算子，發現了關于這種算子的譜理論，而這一理論恰好是適用于量子力學的數學工具.
法國數學家施瓦茨、前蘇聯數學家索伯列夫(1908-1989)和蓋爾范德對廣義函數即函數空間上連續線性泛函（又稱“分布”）作出了巨大的貢獻. 泛函分析的出現，不僅推動了分析學的發展，使得該領域的面貌發生了巨大的變化，而且，它的觀點和方法還廣泛滲透到其他的科學和工程技術領域.8·2 抽象代數的確立 19世紀初，由于伽羅瓦等人的工作，代數學研究的對象已經突破了傳統的數（包括符號表示的數）的范疇.到了19世紀末，德國數學家戴德金、韋伯（1842-1913）和希爾伯特等人通過對許多分散出現的具體研究對象抽象出它們的共同特征，進行統一的公理化處理，使得群、環、域、模以及代數等相關概念進一步深化，并逐漸將其應用于代數學的各個領域.一個新的數學分支——抽象代數初現端倪. 這一分支的主要奠基人是德國女數學家諾特（1882-1935）. 1920年，她引入了“左模”、“右模”的概念.1921年，她發表論文《整環的理想論》，在公理化的基礎上建立了一般的理想論，成為交換代數發展的里程碑.她從不同領域的相似現象出發，把不同的對象加以抽象化、公理化，提練出最簡潔、最一般的概念，如同態、理想、算子環等，然后用統一的方法加以處理，得出一般性的理論，用她的這種理論可以處理各個不同領域的特殊性的問題.諾特的這套理論完成于1926年.從此代數學研究對象從研究代數方程根的計算與分布，進入到研究數字、文字和更一般元素的代數運算規律和各種代數結構，完成了古典代數到抽象代數的本質的轉變. 在哥丁根大學教學期間，許多學者摹名而來，其中包括荷蘭數學家范德瓦爾登、奧地利數學家阿廷和前蘇聯數學家亞歷山大羅夫等，他們追隨諾特進行抽象代數的研究，取得了豐碩的成果，形成了著名的哥丁根抽象代數學派，又稱諾特學派.范德瓦爾登后來出版了二卷本的《近世代數學》，總結了該學派和其他數學家的成果，運用透徹的公理化形式對抽象代數進行了闡述，這部經典之作在很長時間內成為數學家們關注的熱點.
20世紀30年代后期，格的理論得到確立。40年代中葉，作為線性代數推廣的模論得到進一步發展并產生了深刻的影響，泛代數、同調代數等新領域也逐步建立與發展起來.特別是法國布爾巴基學派①的工作,他們認為數學就是“數學結構的倉庫”，提出了更一般的數學結構觀點，除了代數結構外，明確了另外兩類結構——拓撲結構和序結構，以這三種母結構為基礎，通過它們的交叉、結合產生出各種層次的新結構，導致了對數學中更一般的抽象結構的研究.在他們工作的影響下，麥克萊恩和艾倫伯格提出了所謂“范疇”結構，已成為在數學中起統一作用的概念之一.8.3 拓撲學的起源與發展 拓撲學是研究幾何圖形連續性質即在連續變形下保持不變性質的一門學科.
它的起源可以追溯到18世紀歐拉對著名的哥尼斯堡七橋問題的研究.
高斯在為代數基本定理所作的5個證明中就已經有兩個用到了拓撲性質.另外，他還曾經考慮過結點問題.不過，他們都稱這類問題為“位置幾何”. 1847年，李斯廷(高斯的學生,1808-1882)發表了《拓撲學初步》，首先引用了拓撲學這一術語，其源于希臘文中的τοποζ（位置和形勢）與λογοζ（學問）. 他的這一本著作被稱為是第一本拓撲學著作.
1852年，格思里（1831-1879）提出的關于四色問題的猜想，對拓撲學的發展起到了進一步的推動作用.
1851年，黎曼在他的博士論文中提出了黎曼曲面的概念，強調了拓撲學對研究函數、積分的重要性，從此開始了拓撲學的系統研究.1854年，黎曼在論文《幾何基礎假設》中引進了流形的概念，成功解決了可定向閉曲面上的同胚分類問題.
此后，有關拓撲學方面的研究成果逐漸出現，比較著名的有：麥比烏斯大約是在1865年前后引入了現在稱為麥比烏斯帶的曲面；1873年，麥克斯韋爾（Maxwell,1831-1879）把拓撲學的連通性理論應用于電磁學的研究等. 組合拓撲學的系統研究始于法國數學家龐加萊（1854-1912）.他是在對關于復函數的單值化和由微分方程決定的曲線的研究中，引出組合拓撲學問題的研究的.他在1895年發表了題為《位置分析》的系列論文，創立了用剖分研究流形的方法，將幾何圖形剖分成有限個相互連接的基本片，然后用代數組合的方法研究其性質.在這里，他定義了n維流形、同胚、同調等概念，引進了一系列拓撲不變量，首次建立了龐加萊對偶定理，提出了龐加萊猜想等.從他開始，拓撲學分為點集拓撲學和組合拓撲學兩個部分，這就使得拓撲學的發展走上了更為寬廣的道路. 組合拓撲學的系統研究點集拓撲學的研究 點集拓撲學的概念是于1908年由德國數學家舍恩弗利斯（Schoenflies,1853-1928）在研究歐幾里得運動和正則空間的分割理論時提出的.
1914年，德國數學家豪斯道夫（Hansdorff,1868-1942）在他的《集合論綱要》中建立了抽象空間的完整理論，并第一次抽象地使用了點集的鄰域的概念，成為點集拓撲學理論形成的標志.他還在此基礎上，建立了連續、同胚、連通、維數等一系列基礎性的概念.拓撲學的進一步發展 拓撲學在20世紀2、30年代獲得了重大進展，特別是在同調理論（包括同調環、同調群等）方面的的研究取得了一系列的重要結果.
美國數學家維布倫(1880-1960),他解決了一條閉曲線如何分割一個平面的問題，并依據序和線性連續的概念定義了曲線，他的著作《拓撲學》是那個時期僅有的一部系統的拓撲學著作，影響了那一時期拓撲學的發展.
美國數學家亞歷山大(1888-1971)發展了同調論，推廣了龐加萊的對偶定理，得到了曲面連續映射中的不動點和貝蒂數的不變性，證明了兩個三維流形可以有相同的貝蒂數、撓系數和基本群，但卻不是同胚的.
前蘇聯數學家亞歷山德羅夫（1896-1982）和烏雷松共同創造立并發展了緊與列緊空間理論，引入了一些的基本概念和拓撲結構，建立了本質映射定理和同調維數論，并由此導出了一系列對偶性原理的基本規律，如他們得到：任何一個一般拓撲空間都與一個簡單的幾何圖形——多面體相似；圖形與集的拓撲性質有關等.8.4 應用數學的崛起8.4.1 運籌學
運籌學的思想在古今中外兵法中也多有體現.如田忌賽馬等。
馮·諾伊曼的工作之前，博奕論僅僅是一種賭博、下棋和打牌的策略。
馮·諾伊曼將對策思想數量化。 8.4.2 控制論 控制論也是在第二次世界大戰中興起的一門應用學科.該學科的創始人是美國數學家維納（N.Wiener,1894-1965）.維納 二戰期間，維納接受了一項與火力控制有關的研究.在研究過程中，他發現機器與動物之間存在著潛在的可類比性，于1943年發表論文，首次將動物的目的性行為賦予機器，奠定了控制論的思想雛形.
1948年，他的專著《控制論——或關于在動物和機器中控制和通訊的科學》問世，這標志著一門新的綜合性學科的誕生.“控制”一詞源于希臘文，原意為“舵手”.在這部著作中，維納將動物和機器的某些機制加以類比，著重論述了一切生物與機器系統在結構功能上共有的特征和本質的統一，進而把機器系統的信息、反饋等概念引入生物系統，并把生物系統的自組織、自適應等概念引入機器系統，提供了一套適于作為聯系各學科紐帶的共同語言、概念、模型和方法. 維納的控制論通常被稱為“經典控制論”.20世紀50年代以后，控制論得到迅速發展.前蘇聯數學家龐特里亞金1958年提出了極大值原理，給出了系統最優控制的一種強有力的方法；美國數學家卡爾曼1960年引進了狀態空間法和“卡爾曼濾波”的概念，后者可以更有效地控制隨機噪音，擴大了控制論研究的范圍；貝爾曼提出了動態規劃最優化原理，這些成為現代控制論的三大基石，推動了控制論的進一步發展.8.4.3 密碼學 密碼的研究歷來帶有一種神秘的色彩，早在古代就有人研究編制密碼，來傳遞信息.
1884年，莫爾斯發明了有線電報，對保密的迫切需要，推動了密碼學的研究.
第一次世界大戰期間，由于對抗雙方實戰的需要，密碼學的研究產生了一個重要的轉折，它由簡單的編碼分為密碼編制學和密碼分析學兩個分支.而到了第二次世界大戰期間，這門學科已經完成了其關鍵的發展階段：密碼編制實現了機械化，密碼分析也實現了數學化. 隨著電子計算機的誕生，密碼學的研究開始了新的變革，數字通訊技術的發展提高了通訊的可靠性和保密性.高速度和大批量的數據傳輸產生了對自動化的迫切要求，密碼編制也進入了電子時代.同時，在密碼分析學方面，計算機成為密碼分析的基本手段.除了計算機網絡中計算機通訊的數據傳輸保密問題外，數據庫和操作系統的安全保密問題，尤其是第5代計算機的出現，對密碼學的研究提出了更高的要求.因此，計算機密碼學也就應運而生了. 密碼學與數學的關系是十分密切的，除了代數學、數論、組合學、統計學等這些古老的數學分支與密碼學有著緊密聯系之外，新的數學分支，如信息學、自動化理論等都與密碼學的發展有著直接的關系，正是這些數學分支使得密碼學完全數學化.8.4.4 模糊數學 8.5 計算機與計算數學 英國科學家查爾斯·巴貝奇大約在1812年前后，他開始考慮一種可幫助計算數學用表的機器. 10年之后，他放棄了差分機，開始研制他稱之為分析機的更具雄心的機器, 設想這樣的機器能完全自動地進行由操作者指定的一系列算術運算.但因英國工廠根本就生產不出他所需要的高精密零件，直到1871年巴貝奇逝世，這一夢想也未能實現.但他認識到，這樣的機器至少需要五個獨立部分：
（1）輸入機構，向機器輸入為提出問題和解決問題所需的信息；
（2）存儲器，保存所輸入的資料以待機器需要時使用；
（3）運算器，進行實際運算；
（4）控制器，告訴機器何時和怎樣使用所儲存的信息；
（5）輸出裝置，打印出結果. 1944年，美國國際商用機器公司（IBM）和哈佛大學聯合研制的馬克一號計算機，實現了巴貝奇的夢想.
1946年，ENIAC（電子數字積分和計算機 ）開始正式運行，它能按照人們事先編好的程序自動地進行運算，從而體現了電子計算機最基本的特征.
二戰后，馮·諾伊曼開始研究EDVAC（存儲程序通用電子計算機 ），他以“關于EDVAC的報告草案”為題，廣泛而具體地介紹了制造電子計算機和程序設計的新思想.報告明確規定，EDVAC計算機由計算器、邏輯控制裝置、存儲器、輸入和輸出五大部分組成，并闡述了這五大部分的職能和相互關系.這份報告是計算機發展史上一個劃時代的文獻，它向世界宣告：電子計算機的時代開始了. 1954年6月，馮·諾伊曼出任ISA計算機研制小組的主任職位. 他提出了更加完善的設計報告“電子計算裝置邏輯結構初探”，對EDVAC中的兩大設計思想作了進一步的論證，為計算機的設計樹立了一座里程碑.
設計思想之一是二進制，他根據電子元件雙穩工作的特點，建議在電子計算機中采用二進制.
程序內存是諾伊曼的另一杰作.
另外，馮·諾伊曼還發明了“流程圖”，溝通了數學語言與計算機語言的聯系；創立了自動編制程序的方法，簡化了編制程序的繁瑣工作并成功地將電子計算機應用于核武器的設計與天氣預報等方面.由于他的這些開創性的工作，西方數學界贊譽他為“計算機之父”.

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