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課件143張PPT。 《數學史選講》解讀第一講 早期的算術與幾何
第二講 古希臘數學
第三講 中國古代數學瑰寶
第四講 平面解析幾何的產生
第五講 微積分的誕生
第六講 近代數學兩巨星
第七講 千古謎題
第八講 對無窮的深入思考
數學史選講補充材料
浙江師范大學教師教育學院 徐元根
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[email protected]第一講 早期的算術與幾何埃及和巴比倫的數學
中國的早期數學紙草書 紙草書是研究古埃及數學的主要來源
萊因德紙草書：最初發現于埃及底比斯古都廢墟，1858年為蘇格蘭收藏家萊因德購得，現藏于倫敦大英博物館．又稱阿姆士紙草書，阿姆士在公元前1650年左右用僧侶文抄錄了這部紙草書，據他加的前言知，所抄錄的是一部已經流傳了兩個世紀的著作．含84個數學問題．
莫斯科紙草書：又稱戈列尼雪夫紙草書，1893年由俄國貴族戈列尼雪夫在埃及購得，現存于莫斯科博物館．產生于公元前1850年前后，含有25個數學問題．
古埃及的計算技術具有迭加的特征，乘除法運算，往往用連續加倍來完成．由于方法較為繁復，古埃及算術難以發展到更高的水平．
相對于算術，古埃及的幾何具有更高的成就．古代埃及人留下了許多氣勢宏偉的建筑，可以說明古埃及幾何學的發達． 埃及幾何埃及幾何產生于土地測量，是一種實用幾何．
對面積、體積的計算，他們給出了一些計算的法則，有準確的也有粗略的．在莫斯科紙草書中有一個正四棱臺體積的計算所用的公式，用現在的符號表示是
這是埃及幾何中最出色的成就之一． 巴比倫的數學六十進制位值制記數法。
長于計算，編制了許多數表：乘法表、倒數表、平方表、立方表、平方根表、立方根表、甚至有特殊的指數（對數）表。
能解二次方程。
中國的早期數學 中國古代數學的起源可以上溯到公元前數千年．《史記》中記載，夏禹治水，“左規矩，右準繩”．這可以看作是中國古代幾何學的起源．在殷商甲骨文中已經使用了完整的十進制記數法，春秋戰國時代又出現了十進位值制籌算記數法．而戰國時代的《考工記》、《墨經》、《莊子》等著作中則探討了許多抽象的數學概念，并記載了大量實用幾何知識．《周易》中的數學 《周易》是中國古代專講卜筮的書，也可以看作是古人探索自然的樸素的哲學著作，約成書于殷商時期。《周易》由《易經》和《易傳》兩部分組成，先有《易經》，后有《易傳》，兩部分成書的時間相距七八百年。《易經》包括古代占卜的卦辭及爻辭，《易傳》由《系辭》、《說卦》等十篇文章組成，是對《易經》中卦辭及爻辭的解釋。
卜筮是原始人類共有的社會現象。中國古代常用龜甲和獸骨作為占卜工具，以決定事情的吉兇。筮，是按一定的規則得到特定的數字，并用它來預測事情的吉兇。《周禮》稱：“凡國之大事，先筮后卜。”《史記·龜策列傳》則說：“王者決定諸疑，參與卜筮，斷以蓍龜，不易之道也。” 筮的工具起初是竹棍（以后出現的籌算數碼則形成了中國古代用竹棍表示數字的傳統），后來改用蓍草----一種有鋸齒的草本植物。 在中國古代眾多的儒、道典籍中，《周易》是包含數學內容最豐富的著作，因而對中國古代數學家產生了極大的影響。比如，劉徽在《九章算術注》的序中就寫道：“昔伏羲氏始作八卦，以通神明之德，以類萬物之情。作九九之數，以合六爻之變。”實際上就把數學方法與《周易》中的六爻、八卦等內容聯系起來了。 八卦 — — — —
乾 — 巽 — 離 - - 艮 - -
— - - — - -
- - - - - - - -
坤 - - 震 - - 坎— 兌—
- - — - - —
計算機的發明與《周易》中的八卦有著十分密切的聯系。眾所周知，現代電子計算機最基本的數學基礎是二進制數。二進制符號是德國數學家萊布尼茨（Leibniz，1646—1716）發明的。萊布尼茨于1679年撰寫了《二進制算術》，闡述了二進制理論。萊布尼茨自稱，他之所以會想到二進制數，就是因為受到了八卦符號的啟發。他還說：“可以讓我加入中國籍了吧”。 太極圖《周易》中的另一重要概念是太極。《周易》中寫道：“易有太極，是生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦。”
太極即太一，這段話講的是
八卦產生的原理，也試圖解
釋天地造分，化成萬物的原
理。后經宋代陳摶的發展，
便有了太極圖。 《周易》中另一個與數學相關的內容是“河圖洛書”。《周易》中有“河出圖，洛出書，圣人則之”的記載。以后，孔安國等人又把河圖洛書與八卦及九數聯系起來。孔安國認為：“河圖者，伏羲氏王天下，龍馬出河，遂則其文以畫八卦。洛書者，禹治水時，神龜負文，而列于背，有數至九，禹遂因而第之，以成九類。”也就是說，在古人看來，八卦與九數實出于河圖洛書。 宋代陳摶所作的“洛書圖”（九宮圖） 數的概念的產生 數和形是數學最早的研究對象，考古研究發現，人類在5萬年前就已經有了一些計數的方法。現代人的研究認為，人類數的概念的發展過程是，先有原始的數感，再形成一一對應的計數方法，最后通過集合的等價關系建立抽象的數的概念。 記數符號的產生 《易·系辭》中載：“上古結繩而治，后世圣人易之以書契”。結繩記數，是指在繩子上打一個結表示一個數或一件事，繩結的多少，根據事物多少而定。而所謂的“書契”，就是刻劃，“書”是劃痕，“契”是刻痕。古人常常在各種動物骨頭、金屬、泥版上刻痕記數。如中國殷商時期常將文字刻劃在牛的肩胛骨或龜甲上，故稱甲骨文。 從刻劃記數，人類很自然地過渡到刻出數的符號，并進而創造出第一批數字。古代中國、古埃及、巴比倫等民族，均在公元前5000年前后就有了記數符號。由于古人用手指作為計數的參照物十分方便，因而許多民族都不約而同地使用了十進制計數法。當然也存在著少量的其它進位制，如5進制、12進制、16進制、20進制、60進制等。 公元前500年左右的戰國時代，中國人創造了具有十進位值制特征的籌算數碼。
籌算數字的擺放方法規定，個位用縱式，十位用橫式，百位用縱式，千位用橫式，萬位又用縱式，如此縱橫相間，以免發生誤會。并規定用空位表示零。
到了13世紀，中國數學家又明確地用“ ”表示零，從而使中國記數法完全位值化。 拉普拉斯對十進位值制的評價這是一個深遠而又重要的思想，它今天看來如此簡單，以致我們忽視了它的真正偉績。但恰恰是它的簡單性以及對一切計算都提供了極大的方便，才使我們的算術在一切有用的發明中列在首位；而當我們想到它竟逃過了古代最偉大的兩位人物阿基米德和阿波羅尼奧斯的天才思想的關注時，我們更感到這成就的偉大。
第二講 古希臘數學 希臘數學一般指從公元前600年至公元600年間，活動于希臘半島、愛琴海區域、馬其頓與色雷斯地區、意大利半島、小亞細亞以及非洲北部的數學家們所創造的數學。
希臘早期文明中心在雅典；公元前338年希臘諸幫被馬其頓控制，文明中心轉到亞歷山大城（埃及）；公元前30年左右，羅馬帝國完全控制希臘各國，文明中心轉到羅馬（意大利）。公元640年前后，阿拉伯民族征服東羅馬，希臘文明落下帷幕。古希臘數學與哲學的交織 古希臘早期的自然科學往往是與哲學交織在一起的，古希臘的自然哲學乃是古代自然科學的一種特殊形態，雖然有許多錯誤的東西，但也有不少合理的知識和包含著合理成分的猜測．恩格斯說：“在希臘哲學的多種多樣的形式中，差不多可以找到以后各種觀點的胚胎、萌芽．因此，如果理論自然科學想要追溯自己今天的一般原理發生和發展的歷史，它就不得不回到希臘人那里去．” 古希臘數學表現出很強的理性精神，追求哲學意義上的真理．在公元前3、4百年的時候，他們的數學思想中就已經涉及到了無限性、連續性等深刻的概念．
經過古埃及和巴比倫人長期積累數學知識的萌芽時期以后，古希臘人把數學推進到了一個嶄新的時代．古希臘數學不僅有十分輝煌的研究成果，而且提出了數學的基本觀點，建立數學理論的方法，給以后的數學發展提供了堅實的基礎． 泰勒斯確定了幾條最早的幾何定理 等腰三角形兩底角相等
如果兩個三角形有一邊及這邊上的兩個角對應相等，那么這兩個三角形全等
直角彼此相等
兩條直線相交時，對頂角相等
圓的直徑平分圓周 萬物皆數畢達哥拉斯學派認為世界萬物都是數，最重要的數是1、2、3、4，而10則是理想的數；相應地，自然界由點（一元）、線（二元）、面（三元）和立體（四元）組成。他們認為自然界中的一切都服從于一定的比例數，天體的運動受數學關系的支配，形成天體的和諧。 理論算術（數論的雛形） 完全數、過剩數（盈數）、不足數（虧數）分別表現為其因數之和等于、大于、小于該數本身（規定因數包括1但不包括該數自身）。他們發現的前幾個完全數是6=1+2+3，28=1+2+4+7+14，496。
而220和284則是一對親和數，因為前者的因數和等于284，后者的因數和等于220。 后來，在數學中尋找完全數就成為一項任務來研究.在前八千多正整數中只有4個完全數,6、28、496、8128,第五個完全數在1538年才找到:33550336,50年后發現第六個完全數:8589869056.2005年發現第42個梅審素數，從而有了第42個完全數。幾何成就 使幾何學從經驗上升到理論的關鍵性貢獻應歸功于畢達哥拉斯學派。他們基本上建立了所有的直線形理論，包括三角形全等定理、平行線理論、三角形的內角和定理、相似理論等。
正多邊形和正多面體畢達哥拉斯學派掌握了正多邊形和正多面體的一些性質。他們發現，同名正多邊形覆蓋平面的情況只有三種：正三角形、正方形、正六邊形，而且這些正多邊形個數之比為6：4：3，邊數之比則為3：4：6。
畢達哥拉斯學派的另一項幾何成就是正多面體作圖，他們稱正多面體為“宇宙形”。三維空間中僅有五種正多面體：正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體。 正五邊形與五角星在五種正多面體中，除正十二面體外，每個正多面體的界面都是三角形或正方形，而正十二面體的界面則是正五邊形。
正五邊形作圖與著名的“黃金分割”有關。五條對角線中每一條均以特殊的方式被對角線的交點分割。據說畢達哥拉斯學派就是以五角星作為自己學派的標志的。
勾股數畢達哥拉斯數：
一般形式之一：
無理數的發現畢達哥拉斯學派的信條是“萬物皆數”，這里的數實際上是指正的有理數。傳說，畢達哥拉斯學派成員希帕蘇斯（Hippasus，公元前470年左右）發現了“不可公度比”的現象，并在一次航海時公布了他的想法，結果被恐慌的畢達哥拉斯學派的其他成員拋進了大海。
項武義教授的一項研究認為，希帕蘇斯首先發現的是正五邊形邊長與對角線長不可公度。第一次數學危機不可公度比的發現使畢達哥拉斯學派對許多定理的證明都不能成立。
例：如果兩個三角形的高相同，則它們的面積之比等于兩底邊之比。 ABCDE新比例論100多年后，歐多克斯（Eudoxus,408-355）提出了“新比例論”，才用回避的方法暫時消除了“第一次危機”。
新比例定義：設A、B、C、D是任意四個量，其中A和B同類（即均為線段、角或面積），C和D同類，若對任意兩個（正）整數m和n，mA與nB的大小關系，取決于mC與nD的大小，則稱A：B=C：D。 柏拉圖學園柏拉圖（Plato，公元前427-347年）是當時最著名的希臘哲學家之一，雖然他不是數學家，但熱心于數學科學，在柏拉圖學園的門口掛著牌子：“不懂幾何者免進”。值得注意的是，公元前四世紀的重要數學工作幾乎都是柏拉圖的朋友和學生做的。與柏拉圖學園有聯系的歐多克斯（Eudoxus，公元前408-355年）是這一時期最大的數學家，他在幾何學上的研究成果，后來有些收入了歐幾里得的《幾何原本》。 亞里士多德亞里士多德（Aristotle，公元前384-322年）是柏拉圖的學生和同事，相處達20年之久，公元前335年成立了自己的學派，以后曾是馬其頓王亞列山大的老師。他是古典希臘時期最偉大的思想家，他的一些思想在數學史上影響很大。形式邏輯的建立亞里士多德不象柏拉圖那樣只崇尚思辨，而是重視觀察、分析和實驗性的活動（如解剖）。亞里士多德是古希臘學者中最博學的人，是古代百科全書式的自然科學家，也是對近代自然科學影響最大的古代學者。他的著作甚多，在自然科學方面主要有《物理學》、《論產生和消滅》、《天論》、《氣象學》、《動物的歷史》、《論動物的結構》等。 形式邏輯的建立亞里士多德創立了以三段論為中心的形式邏輯系統。他認為科學需要歸納，由特殊的事例過渡到一般命題，更需要用邏輯的推理由前提演繹出它的推論。亞里士多德的邏輯學著作后來被匯編為《工具論》，對阿基米德、歐幾里得等人的研究有重要影響。
古典希臘時期的希臘人已經掌握了大量初等幾何性質，加上亞里士多德建立了形式邏輯，這些都為形成一門獨立的初等幾何的理論科學作好了充分的準備。
亞歷山大時期的數學 從公元前330年左右到公元前30年左右，希臘數學的中心從雅典轉移到了埃及的亞歷山大城。亞歷山大帝國一分為三后，托勒密帝國統治希臘埃及，其首都亞歷山大城成為希臘文化的中心。
托勒密一世曾經是亞里士多德的學生，他在執政后修建了繆斯藝術宮，這實際上是一個大博物館，收藏的圖書和手稿據說有50—70萬卷。當時的許多著名學者都被請到亞歷山大里亞，用國家經費供養著。 這一時期思辯猜測已不盛行，觀察、計算及定量分析的方法開始流行。天文學家阿利斯塔克（公元前310—230），通過對日、月、地的體積和相對距離的觀測和計算作出了日心說的猜測。他通過測量角度推算出太陽直徑比地球大六、七倍，并斷定小天體（地球等）應圍繞大天體（太陽）旋轉。盡管他的計算很不精確，但思維方式是重要的。著名天文地理學家、數學家埃拉托色尼（約公元前284—192）根據太陽在兩個地方投影角之差，計算出地球的周長是24662英里（現在算出的通過地球南北極的周長為24819英里），他繪制了世界地圖，并標明了經緯線以及寒帶、熱帶和溫帶。 歐幾里得與《幾何原本》 歐幾里得（約公元前330—260），應托勒密一世之邀到亞歷山大，成為亞歷山大學派的奠基人。歐幾里得系統地整理了以往的幾何學成就，寫出了13卷《原本》，歐幾里得的工作不僅為幾何學的研究和教學提供了藍本，而且對整個自然科學的發展有深遠的影響。愛因斯坦說：“西方科學的發展是以兩個偉大的成就為基礎的，那就是：希臘哲學家發明形式邏輯體系（在歐幾里得幾何學中），以及通過系統的實驗發現有可能找到因果關系（在文藝復興時期）。” 公理化方法公理化方法：從一些基本的概念和公理出發，利用純邏輯推理的方法，把一門學科建立成演繹系統的方法。后來的許多著作都仿照這種格式寫成，如牛頓的《自然哲學的數學原理》等。
《幾何原本》的影響《幾何原本》對后來數學思想有重要影響。其一：公理化思想；其二：幾何直觀與嚴格邏輯推理的結合使歐幾里得幾何長期被認為是最正宗的數學知識，笛卡兒在發明了解析幾何后仍堅持對每一個幾何作圖給出綜合證明，牛頓在第一次公開他的微積分發明時也要對這一算法作出幾何解釋；其三：導致非歐幾何的誕生。 阿基米德的數學成就 阿基米德（Archimedes，公元前287-212）出生于西西里島的敘拉古，曾在亞歷山大跟歐幾里得的學生學習過，離開亞歷山大后仍與那里的師友保持聯系，他的許多成果都是通過與亞歷山大學者的通信而保存下來的。因此，阿基米德通常被看成是亞歷山大學派的成員。
阿基米德的著作很多，內容涉及數學、力學及天文學等。 “窮竭法”與“平衡法”窮竭法是安蒂豐首先使用，并被古希臘數學家普遍用來證明面積和體積的方法。窮竭法可以用來嚴格證明已經猜想出來的命題，但不能用來發現新的結果。
阿基米德發明了求面積和體積的“平衡法”，求出面積或體積后再用“窮竭法”加以證明。阿基米德“平衡法”與“窮竭法”的結合是嚴格證明與創造技巧相結合的典范。 球的體積阿基米德用“平衡法”推導了球體積公式。刻在阿基米德墓碑上的幾何圖形代表了他所證明的一條數學定理：以球的直徑為底和高的圓柱，其體積是球體積的3/2，其表面積是球面積的3/2。
阿基米德的“平衡法”，將需要求積的量分成一些微小單元，再與另一組微小單元進行比較，而后一組的總和比較容易計算。因此，“平衡法”實際上體現了近代積分法的基本思想，是阿基米德數學研究的最大功績。但是，“平衡法”本身必須以極限論為基礎，阿基米德意識到了他的方法在嚴密性上的不足，所以他用平衡法求出一個面積或體積后，必再用窮竭法加以嚴格的證明。 用平衡法求球的體積球切片體積
錐切片體積
柱切片體積
左力矩= 右力矩=
左力矩=4×右力矩
P球錐的切片xN用平衡法求球的體積將球、圓錐、圓柱均完全分割成厚度為△x的薄片，并將所有球與圓錐的薄片都掛到P點，圓柱薄片都留在原處。
左力矩和=（球體積+錐體積）×2R
右力矩和=柱體積×R
（球體積+錐體積）×2R=4×柱體積×R
球體積=2×柱體積－錐體積與歐幾里得相比，阿基米德可以說是一位應用數學家。在《論浮體》中論述了浮力原理、在《論平面圖形的平衡或其重心》中論述了杠桿原理。曾設計了一組復雜的滑車裝置，使敘拉古國王親手移動了一只巨大的三桅貨船，他說：“給我一個支點，我可以移動地球”。在保衛敘拉古的戰斗中發明了許多軍械如石炮、火鏡等。后被羅馬士兵殺害，死時75歲。傳說曾下令不要殺死阿基米德的羅馬主將馬塞呂斯事后特意為阿基米德建墓。 阿波羅尼奧斯與《圓錐曲線論》 阿波羅尼奧斯（Apollonius，公元前262-190）出生于小亞細亞（今土爾其一帶），年輕時曾在亞歷山大城跟隨歐幾里得的學生學習，后到小亞細亞西岸的帕加蒙王國居住與工作，晚年又回到亞歷山大。
阿波羅尼奧斯的主要數學成就是在前人工作的基礎上創立了相當完美的圓錐曲線理論，編著《圓錐曲線論》。 《圓錐曲線論》 全書共8卷，含487個命題。在阿波羅尼奧斯之前，希臘人用三種不同圓錐面導出圓錐曲線，阿波羅尼奧斯則第一次從一個對頂圓錐得到所有的圓錐曲線，并給它們以正式的名稱：虧曲線、齊曲線、盈曲線（李善蘭翻譯時取意譯名橢圓、拋物線、雙曲線）。
《圓錐曲線論》可以說是希臘演繹幾何的最高成就。幾何學的新發展要到17世紀笛卡兒等人的解析方法出現后才得以來臨。 阿波羅尼奧斯用統一的方式引出三種圓錐曲線后，便展開了對它們性質的廣泛討論，內容涉及圓錐曲線的直徑、公軛直徑、切線、中心、雙曲線的漸進線、橢圓與雙曲線的焦點以及處在不同位置上的圓錐曲線的交點數等。《圓錐曲線論》中包含了許多即使按今天的眼光看也是很深奧的問題。第5卷中關于定點到圓錐曲線的最長和最短線段的探討，實質上提出了圓錐曲線的法線包絡即漸屈線的概念，它們是近代微分幾何的課題。第3、4卷中關于圓錐曲線的極點與極線的調和性質的論述，則包含了射影幾何學的萌芽思想。 羅馬時期的數學成就 海倫（Heron，前1世紀—公元1世紀）推導出求三角形面積的海倫公式。
托勒密（Ptolemy約100—170）的地球中心學說。托勒密利用大量的觀察資料，進行浩繁的計算，寫出八卷本的《大綜合論》，詳細論述了太陽系和宇宙以地球為中心的學說。在托勒密的地心說中，行星是繞著一種數學上的點（本輪中心）運動的，而這些點又位于均輪上圍繞地球運轉。托勒密的地心說雖然不反映宇宙的實際結構，但是依據上述的數學圖解卻比較完滿地解釋了當時所觀測到的行星運動情況。
托勒密將圓周分成360度，角的度量采用60進制，還應用托勒密定理（圓內接四邊形中，兩條對角線長的乘積等于兩對對邊長乘積之和）造出了一張正弦表。
梅涅勞斯（Menelaus，約公元1世紀）的《球面學》是球面三角學的開山之作。 該時期希臘數學的一個重要特征是突破了以幾何學為中心的傳統，使算術和代數成為獨立的學科。丟番圖（Diophantus）的《算術》用純分析的途徑處理數論與代數問題（包括不定方程），可以看作是希臘算術與代數的最高成就。 丟番圖的墓志銘關于丟番圖的生平沒有什么記載，大約公元250年前后活動于亞歷山大城，他活了84歲則可以從他的墓志銘中算出：丟番圖的童年占一生的1/6，此后過了一生的1/12開始長胡子，再過一生的1/7后結婚，婚后5年生了個孩子，孩子活到父親一半的年齡，孩子死后4年父親也去世了。 《數學匯編》 該時期的最后一位重要數學家是帕波斯（Pappus，約公元300-350），著作《數學匯編》是一部總結前人成果的典型著作，在數學史上有特殊的意義，有許多古代希臘數學的寶貴資料就是因為有《數學匯編》的記載才得以保存下來。 《周髀算經》是我國最早的天文著作，系統地記載了周秦以來適應天文需要而逐步積累的科技成果。該書的主要內容是周代傳下來的有關測天量地的理論和方法。
《周髀算經》也是中國最古的算書，成書確切年代沒有定論，一般認為在公元前2、3世紀。李約瑟認為：“最妥善的辦法是把《周髀算經》看作具有周代的骨架加上漢代的皮肉。” 第三講 中國古代數學瑰寶《周髀算經》中的勾股定理 周公問商高關于計算的問題，商高答曰：“數之法出于圓方，圓出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩，以為勾廣三，股修四，徑隅五。”
榮方與陳子的一段對話中，則包含了勾股定理的一般形式。陳子曰：“若求邪至日者，以日下為勾，日高為股。勾、股各自乘，并而開方除之，得邪至日，…” 《周髀算經》還記載了商高的用矩之法：“平矩以正繩，偃矩以望高，覆矩以測深，臥矩以知遠，環矩以為圓，合矩以為方。” 九章算術 《九章算術》成書于公元前后，是我國最重要、影響最深遠的一本數學著作。后世不少人，如劉徽、祖沖之、李淳風等人均對《九章算術》作過注。特別是劉徽的注，加進了不少自己的精辟見解，闡述了重要的數學理論。《九章算術注》是《九章算術》得以流芳百世的重要補充和媒介。 對《九章算術》的評價日本數學家小蒼金之助把《九章算術》說成是中國的《幾何原本》。吳文俊教授也認為，《九章算術》和劉徽的《九章算術注》，在數學的發展歷史中具有崇高的地位，足可與希臘的《幾何原本》東西輝映，各具特色。
1968年德國沃格爾（Vogel）把《九章算術》譯成德文出版時加的評論認為：“在古代算術中，包含如此豐富的246個算題，現存的埃及和巴比倫算題與之相比，真望塵莫及。以希臘而論，所保存的古算題為我們所熟知者，也屬于希臘化時代。” 第一章“方田”講述有關平面圖形（土地田畝）面積的計算方法，包括分數算法，38個問題。
[一]今有田廣十五步，從十六步，問為田幾何？答曰：一畝。
[二]又有田廣十二步，從十四步，問為田幾何？答曰：一百六十八步。
方田術曰：廣從步數相乘得積步，以畝法二百四十步除之，即畝數，百畝為一傾。 [五]今有十八分之十二，問約之得幾何？答曰：三分之二。
[六]又有九十一分之四十九，問約之得幾何？答曰：十三分之七。
約分術曰：可半者半之，不可半者，副置分母子之數，以少減多，更相減損，求其等也，以等數約之。 第二章“粟米”講述有關糧食交換中的比例問題。書中的“今有術”給出比例式中已知三數求第四數的方法，歐洲遲至15世紀才出現。第三章“衰分”講述配分比例和等差、等比等問題。
第四章“少廣”講述由田畝面積求邊長，由球體積求經長的算法，這是世界上最早的多位數開平方、開立方法則的記載。 開方術今有積五萬五千二百二十五步，問為方幾何？答曰：二百三十五步。
開方術曰：置積為實，借一算步之，超一等。議所得，以一乘所借一算為法，而以除，除已，倍法為定法。其復除，折法而下。復置借算步之如初，以復議一乘之。所得副之，以加定法，以除，以所得副從定法。復除折下如前。 第五章“商功”講述各種土木工程中的體積計算。我國自遠古以來，對筑城、挖溝、修渠等土建工程積累了豐富的經驗，創造了許多有關土方體積計算和估算的方法，本章即為經驗和方法的理論總結，諸如長方體、臺體、圓柱體、錐體等體積的計算公式都與現在一致，只是圓周率取3，誤差較大。
第六章“均輸”講述納稅和運輸方面的計算問題，實際上是比較復雜的比例計算問題。
第七章“盈不足”講述算術中盈虧問題的解法。盈不足術實際上是一種線性插值法。該方法通過絲綢之路傳入阿拉伯國家，受到特別重視，被稱為“契丹算法”。后來傳入歐洲，13世紀意大利數學家斐波那契的《算經》一書中專門有一章講“契丹算法”。 第八章“方程”講述線性方程組的解法，還論及正負數概念及運算方法。
中算的方程，本意是指多元一次方程組（線性方程組）。劉徽在《九章算術注》中指出：“程，課程也。群物總雜，各列有數，總言其實。令每行為率，二物者再程，三物者三程，皆如物數程之，并列為行，故謂之方程。” 方程術例題今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實二十六斗；問上、中、下禾實一秉各幾何？
正負術李文林在《數學史教程》中指出：“對負數的認識是人類數系擴充的重大步驟。如果說古希臘無理量是演繹思維的發現，那么中算負數則是算法思維的產物。中算家們心安理得地接受并使用了這一概念，并沒有引起震撼和迷惑。”
國外首先承認負數的是7世紀印度數學家婆羅門及多，歐洲16世紀時韋達等數學家的著作還回避使用負數。 勾股術第九章“勾股”在《周髀算經》中勾股定理的基礎上，形成了應用問題的“勾股術”，從此它成了中算中重要的傳統內容之一。
今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，適與岸齊，問水深、葭長各幾何？答曰：水深一丈二尺；葭長一丈三尺。
術曰：半池方自乘，以出水一尺自乘，減之。余，倍出水除之，即得水深。加出水數，得葭長。 劉徽的數學成就劉徽的《九章算術注》包含了他本人的許多創造，其中最突出的成就是“割圓術”和求積理論。
若設圓面積為 ，內接
正n邊形邊長為 ，面積為
則OABCD圓周率劉徽用“割圓術”從圓內接正六邊形出發，算到圓內接正192=6×25邊形，得到 “徽率”3.14。
推測祖沖之可能也是沿用了“割圓術”，計算到圓內接正24576=6×212邊形，即可得祖沖之的結果。劉徽的求積理論劉徽的面積、體積理論建立在一條簡單而又基本的原理之上，這就是“出入相補原理”。劉徽用這條原理成功地證明了《九章算術》中的許多面積公式。
劉徽在推證《九章算術》中的一些體積公式時，靈活地使用了兩種無限小方法：極限方法與不可分量方法。比如，“陽馬” 體積公式便是用極限方法推導出來的，而球體積公式的推導則使用了不可分量方法。
為計算球體積，劉徽提出“牟合方蓋”。算經十書 出于官方數學教育的需要，唐高宗親自下令對以前的數學著作進行整理。公元656年由李淳風負責編定了算經十書：《周髀算經》、《九章算術》、《孫子算經》、《五曹算經》、《張邱建算經》、《夏侯陽算經》、《緝古算經》、《海島算經》、《五經算術》和《綴術》，后因《綴術》失傳，而以《數術記遺》替代。 孫子算經 [雞兔同籠]今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足。問雉、兔各幾何？答曰：雉二十三，兔一十二。
術曰：上置頭，下置足，半其足，以頭除足，以足除頭，即得。
[物不知數]今有物，不知其數。三三數之，剩二；五五數之剩三；七七數之，剩二。問物幾何？答曰：二十三。 孫子歌 明代數學家程大位的《算法統宗》中所載的“孫子歌”以詩歌形式介紹了物不知數問題的解法：“三人同行七十稀，五樹梅花廿一枝，七子團圓整半月，除百零五便得知。”
這一問題的解法后經秦九韶推廣到一般情形，被稱為“孫子定理”，又稱為“中國剩余定理”。 宋元數學 宋元時期（960-1368）的杰出數學家秦九韶、楊輝、李冶、朱世杰被稱為“宋元四大家”。
宋元時期的數學代表著作有《數書九章》（秦九韶）、《詳解九章算法》（楊輝）、《益古演段》（李冶）和《四元玉鑒》（朱世杰）等 大衍總數術 問題：求滿足

的最小自然數N。
◆設 ，
求乘率 使
則總數中國剩余定理秦九韶的算法非常嚴密，但他并沒有對這一算法給出證明。到18、19世紀歐拉（1743）和高斯（1801）分別對一次同余式組進行了詳細研究，重新獨立地獲得了與秦九韶“大衍術”相同的定理，并對模數兩兩互素的情形給出了嚴格證明。高斯的成果是最完整的，他還解決了模不是兩兩互素時的情形。1876年德國人馬蒂生首先指出秦九韶的算法與高斯的算法是一致的，因此關于這一算法被稱作“中國剩余定理”。 第四講 平面解析幾何的產生16世紀之前的數學基本上是常量數學，而近代數學的本質卻是變量數學。16世紀，對運動與變化的研究已經變成自然科學的中心問題，這就需要有一種新的數學工具，從而導致了變量數學也就是近代數學的誕生。變量數學的第一個里程碑是解析幾何的發明，然后就是微積分的發明。笛卡兒的解析幾何笛卡兒于1637年發表了著名的哲學著作《更好地指導推理和尋求科學真理的方法論》，該書有三個附錄《幾何學》、《屈光學》、《氣象學》，解析幾何的發明包含在《幾何學》這篇附錄中。
笛卡兒在另一部較早的哲學著作《指導思維的法則》中了一般某種一般方法，其思路是：
任何問題→數學問題→代數問題→方程問題。笛卡兒創立解析幾何的傳說一個傳說講，笛卡兒終身保持著在耶酥會學校讀書時養成的“晨思”習慣，在一次晨思時，看見一只蒼蠅正在天花板上爬，他突然想到，如果知道了蒼蠅與相鄰兩個墻壁的距離之間的關系，就能描述它的路線，這使他頭腦中產生了關于解析幾何的最初閃念。
另一個傳說是，1619年冬天，笛卡兒隨軍隊駐扎在多瑙河畔的一個村莊，在圣馬丁節的前夕（11月10日），他作了三個連貫的夢，從而揭示解析幾何的發現。笛卡兒笛卡兒出生于法國的貴族家庭，早年受教于耶酥會學校，曾于1617年和1619年兩次從軍，離開軍營后，旅行于歐洲，他的學術研究是在軍旅和旅行中作出的。
笛卡兒對許多學科領域都有重要貢獻。《古今數學思想》對笛卡兒有這樣一個評價：“他是第一個杰出的近代哲學家，是近代生物學的奠基人，是第一流的物理學家，但只偶然是個數學家。”費馬猜想費馬大定理： 時，方程
沒有正整數解。
費馬小定理：p為素數， ，則第五講 微積分的誕生17世紀最偉大的數學成就是微積分的發明。微積分是描述運動過程的數學，它的產生為力學、天文學以及后來的電磁學等提供了必不可少的工具。微積分產生的前提有兩個：幾何坐標和函數概念。而這兩個方面由于笛卡兒和費馬等人的工作，其基礎已基本具備。現代科技的推動力對微積分的發明起了直接推動作用的是現代科技的發展。17世紀，開普勒提出行星運行定律，從數學上推證這些定律成了當時自然科學的中心課題，伽利略的自由落體定律、動量定律、拋物體運動性質等也激起了人們用數學方法研究動力學的熱情。凡此一切都歸結為如下一些基本問題：確定非勻速運動物體的速度和加速度需要研究瞬時變化率問題；望遠鏡的設計需要確定透鏡曲面上任一點的法線因而需要研究曲線的切線問題；確定炮彈的最大射程等需要研究最大、最小值；確定行星運行的路程、向徑掃過的面積等又需要計算曲線長、曲邊圖形的面積等。這一切都需要有一種新的計算工具的誕生。
牛頓、萊布尼茨之前的微積分方法 微積分理論的建立聚集了許許多多數學家的努力，如：
開普勒的求積術
卡瓦列里不可分量原理
笛卡兒求切線方程的“圓法”
費馬求極大、極小值的方法
巴羅的“微分三角形”
沃利斯的“無窮算術” 流數術解決的基本問題牛頓在《流數簡論》中提出并解決了如下基本問題：
（1）設有兩個或更多個物體在同一時間內描畫線段x，y，z，…，已知表示這些線段關系的方程，求它們的速度p，q，r，…。
（2）已知表示線段x和運動速度之比p/q的關系方程式，求另一線段y。微積分基本定理這兩個問題實際上是對微積分可解決的一些特殊問題的一般化，如求瞬時速度、切線斜率就可歸結為第一問題，而第二問題明顯是第一問題的逆運算。
牛頓把他問題（2）看成問題（1）的逆運算，并給出了標準解法。《流數簡論》討論了如何借助于逆運算來求面積，從而建立了“微積分基本定理”。牛頓的誕生伽利略去世的那一年，牛頓誕生了。牛頓（1643—1727）的時代，正是科學在英國興起的時代。1662年，英國皇家學會成立，以其為中心出現了一大批熱心科學研究和技術發明的人，他們的許多新發現和發明使英國成了當時歐洲科學技術的中心。牛頓的學習生涯牛頓出生在一個中等農戶家庭，是個遺腹子，而且早產，出生后勉強活了下來。中學時學習成績并不突出，但十分喜歡做機械玩具和模型。17歲時，他母親把他從當時就讀的中學召回田莊務農，但牛頓不喜歡干農活。在牛頓的舅舅和格蘭瑟姆中學校長的竭力勸說下，他母親才在九個月后允許牛頓返校學習。當時史托克斯校長對牛頓的母親說：“在繁雜的農活中埋沒這樣一位天才，對世界來說將是多么巨大的損失。”后來牛頓在他舅舅的支持下就讀于劍橋大學三一學院 。牛頓成為盧卡斯教授1665-1666年，牛頓為躲避倫敦的瘟疫而回到家鄉愛爾索普。這期間他發現了二項式定理和流數法，進行了顏色的試驗，并開始思考萬有引力問題。1667年回到劍橋被選為三一學院的研究員，1669年接替巴羅成為數學盧卡斯教授。1670年起，在劍橋大學正式開課，但由于過于艱深，他的講課沒能受到學生的歡迎。從光學研究到引力的研究1670年起，牛頓主要研究光學，制造反射望遠鏡，發現了太陽光的合成性質，并被選為皇家學會會員。正是在光學領域中發生了他與胡克（R.Hooke，1635—1703）的爭吵，既影響了科學研究的氣氛，也影響了牛頓的健康。經過近十年的中斷，1679年底牛頓的注意力重新集中于引力的研究，并于80年代上半期全力寫成了《自然哲學的數學原理》。
《自然哲學的數學原理》1687年，哈雷（天文學家，皇家學會會員，發現了著名的哈雷彗星，約76年出現一次，是太陽系的一個成員）用自己的錢資助，出版了牛頓的著作《自然哲學的數學原理》。這本書被公認為科學史上最偉大的著作（愛因斯坦稱贊為“無比輝煌的演繹成就”）。它成了理論力學、天文學、宇宙學的可以補充但不可超越的理論基石。全書的核心是力學三定律（慣性定律、加速度定律、作用與反作用定律）和萬有引力定律。對宇宙的認識波蘭青年哥白尼（1473—1543）于1496年到意大利波倫亞大學求學。在意大利游學了10年后，哥白尼回到了波蘭，一邊行醫、一邊擔負著教會的一些工作，同時開始構思和撰寫天文學著作《天體運行論》。這本書從開始寫作到修改定稿共用了36年的時間，直到1543年，作者在彌留之際才將其付印出版，哥白尼在見到自己的著作后不久便與世長辭了。但這本書卻引起了一場巨大的學術革命，使人類開始重新認識宇宙、地球以及物體的運動。哥白尼的天文學體系哥白尼的天文學體系在數學形式方面比托勒密體系要簡單得多，他第一次正確地描述了水星、金星、地球和月亮、火星、土星、木星軌道實際相對于太陽的順序位置，指出它們的軌道大致在一個平面上，公轉方向也是一致的，月球是地球的衛星，和地球一起繞太陽旋轉。布魯諾意大利哲學家布魯諾（1548—1600）大力宣傳哥白尼學說，而且比哥白尼更激進，他認為太陽不是宇宙的中心，無垠的宇宙沒有中心。他最先在巴黎大學、牛津大學講學時宣傳空間無限大和地動說，批判亞里士多德和托勒密學說，新教和天主教會均不能接受他的觀點。1592年他回到意大利，被宗教裁判所監禁。如果他放棄自己的觀點就可以被釋放，但他卻選擇了堅持自己的觀點。1600年，布魯諾被燒死在羅馬鮮花廣場。第谷．布拉赫在哥白尼去世后三年出生的丹麥人第谷．布拉赫（1546—1601）是一位著名的天文學家。據說他14歲在哥本哈根大學讀書時就預見了一次日食，這使他名聲大振，后來成為宮廷天文學家。第谷并沒有接受哥白尼的學說，但他在一個天文臺細心觀察天象達20多年，作了詳細的記錄，并把前人星表中的錯誤一個個糾正過來。晚年收德國人開普勒為（1571—1630）為弟子。
開普勒的研究開普勒是哥白尼學說的信奉者，在與第谷合作后，總算找到了發現的機會。開普勒先從第谷留給他的火星資料開始研究，發現沒有任何一種圓的復合軌道能與其相符。經過大量的嘗試和計算后，終于發現火星的軌道是一個橢圓。開普勒在欣喜之余把這一發現推廣到了所有行星。得到這一結果，開普勒花費了10年的時間，在1609年他公布了行星運行三大定律的前兩條，1619年公布了最后一條 。
行星運行三大定律軌道定律：行星繞太陽運行的軌道是橢圓，太陽在一個焦點上。
面積定律：從太陽中心到行星中心的聯線（向徑）在相等的時間里，掃過的面積相等。
周期定律：行星繞太陽一周的時間的平方與他們到太陽的平均距離的立方成正比。伽里略的天文望遠鏡伽里略最初的科學生涯主要是對力學的研究。1608年，荷蘭的一個眼鏡制造商漢斯．利佩希在偶然發明并開始制造望遠鏡。10個月后，伽里略聽到了這個消息，便自己動手制造了一架天文望遠鏡，并把它對準星空。伽里略的這一舉動標志著天文學研究從肉眼觀測進入了望遠鏡觀測的時代。他看到了激動人心的景象：月球表面的山丘和凹坑、木星的四顆衛星、太陽的黑子和自轉、茫茫銀河中的無數行星等。他的發現公布后，轟動了學術界，人們說：哥倫布發現了新大陸，伽里略發現了新宇宙。牛頓的萬有引力定律這實際上是對所有地上物體和天上物體運動的基本規律的發現，它的歷史意義是偉大的：哥白尼提出了一個正確的太陽系結構假說；伽利略發現了一些地上物體運動的基本規律，并以觀察事實支持了哥白尼；開普勒發現了天空中行星運行的真實情況；而牛頓則把他們所有的偉大成就統一了起來，并回答了物體為什么會這樣運動的問題。他在書中所闡明的基本定律成了所有力學的基本出發點，他用萬有引力定律解釋了潮汐現象，并預言地球是赤道部分略為突出的橢球。萬有引力定律萬有引力定律是從開普勒行星運行三大定律中用數學方法推導出來的，其公式是

它是一個普遍的公式。牛頓的萬有引力定律使日心說得意被人們所廣泛接受。而推導這一公式的數學工具正是微積分方法。
《光學》自《原理》出版后，牛頓幾乎停止了自然科學方面的研究工作。到1704年，胡克去世后，他發表了《光學》，把自己三四十年前對光學的研究工作加以整理出版，其中包括了對光的反射、折射、色散的研究。《原理》和《光學》是牛頓的兩部基本著作。
皇家學會會長、造幣局局長長1693年，牛頓精神分裂癥的癥狀日見嚴重，于是離開了劍橋大學，1695年任造幣局督辦，1699年任造幣局局長，同年被選為巴黎科學院的外籍院士。1703年，當了30年英國皇家學會會員后任皇家學會會長，1705年被女皇封為爵士，成為貴族。晚年頗為孤寂，只有一個外甥女與他做伴，直到1727年去世。蒲柏的詩 牛頓死后被葬于英國的皇家墓地西敏寺。為了頌揚這位偉人，當時英國著名的詩人蒲柏（A.Pope，1688—1744）曾寫道：
Nature and Nature’s laws lay hid in night,
God said“let Newton be”and all was light.
這兩句銘文后來被鑄在鐵板上,鑲嵌在牛頓誕生的屋子的墻上。
萊布尼茨的微積分1684年萊布尼茲發表了他的第一篇微積分學論文《一種求極大與極小值和求切線的新方法》，簡稱《新方法》，這也是數學史上第一篇正式發表的微積分文獻。文中定義了微分并廣泛采用了微分記號dx、dy、dny等（用difference的首字母）。1686年，發表了第一篇積分學論文《深奧的幾何與不可分量及無限的分析》，文中初步論述了積分或求積問題與微分或切線問題的互逆關系。并引進了積分符號 （sum首字母的拉長）。牛頓的積分號是字母上加一點或一撇。萊布尼茨的其它貢獻萊布尼茨的博學多才在科學史上是罕見的，他的著作涉及數學、力學、機械、地質、邏輯、哲學、法律、外交、神學、語言學等。
在1666年發表的《組合藝術》等相關文稿中，提出了符號邏輯的思想，引導了布爾、羅素等人的數理邏輯。
在1679年撰寫的《二進制算術》首創了二進記數法。
萊布尼茨還是制造計算機的先驅，1674年在巴黎科學院當眾演示了他制成的“算術計算機”，這是第一臺能做四則運算的計算機 。微積分優先權的爭議牛頓和萊布尼茨兩人作為當時的大名人，相互敬慕還曾有書信來往。1687年，牛頓在《自然哲學的數學原理》中首次發表他的流數方法時，在前言中有這樣一段話：“十年前，我在給學問淵博的數學家萊布尼茨的信中曾指出：我發現了一種方法，可用以求極大值、極小值、作切線以及解決其它類似的問題，……。這位名人回信說他也發現了類似的方法，并把他的方法給我看了。他的方法與我的大同小異，除了用語、符號、算式和量的產生方式外，沒有實質性區別。”但在第三版的時候牛頓刪去了這段話，原因是他們之間發生了優先權的爭議。
微積分的發展18世紀微積分繼續深入發展，這種發展是與廣泛的應用緊密相連的。18世紀可以說是分析的時代，也是向現代數學過渡的重要時期。
對于微積分算法的推廣，英國與歐洲大陸國家是循著不同的路線進行的，英國學者仍然維護牛頓的傳統用幾何語言論證流數法，歐洲大陸學者則采用萊布尼茨的分析方法。第六講 近代數學兩巨星推廣萊布尼茨學說的任務，在從17世紀到18世紀的過渡時期，主要是由雅各布．伯努利（Jacob Bernoulli，1654-1705）和約翰．伯努利（John Bernoulli，，1667-1748）兩兄弟擔當。這個來自瑞士的伯努利家族，在17、18世紀先后產生了十幾位著名的數學家。雅各布和約翰是其中最有影響的兩位，他們的工作構成了現今所謂初等微積分的大部分內容。
歐拉對微積分的貢獻18世紀微積分最重大的進步是由歐拉（Leonard Euler，1707-1783）作出的。歐拉在1748年出版的《無限小分析引論》、1755年發表的《微分學》、1770年發表的《積分學》是微積分史上里程碑式的著作。他們在很長的時間里被當作分析課本的典范普遍使用著。這三部著作包含了歐拉本人在分析領域的大量創造，同時引進了一批標準的符號如：函數符號f（x）、求和符號、自然對數底、虛數單位i等，對分析表述的規范化起到了重要作用。歐拉在數學上的貢獻 引進函數定義，并提出了代數函數與超越函數、三角函數、指數函數、對數函數、Г函數、 函數 。
解決了下列和式當p為偶數時的和
發展了棣莫弗公式，得到等式
歐拉在數學上的貢獻最早將微積分用于研究曲線和曲面，從而創立了微分幾何。
第一次將分析工具用于數論研究，從而創立了解析數論。
解決了哥尼斯堡七橋問題，從而創立了圖論。
著作中有大量分析的應用，如月球運動理論等。
初等幾何中：三角形中的歐拉線、歐拉圓、多面體歐拉公式等。歐拉在三角形中發現的結論三角形的垂心H，重心G，外心U三點共線，且HG=2GH。（1765年）
三角形三邊的中點、三條高線的垂足、垂心至三頂點連線段的中點在同一個圓周上。（九點圓、歐拉圓）
三角形外接圓、內切圓半徑分別為R，r，兩圓圓心距為d，則 。（IMO4-6）
歐拉常數18世紀通過研究發散級數而獲得的另一個重要常數是“歐拉常數”γ，這是歐拉在討論如何用對數函數來逼近調和級數的和時得到的，它最簡單的表示形式為

歐拉曾計算出γ的近似值為0.577218，但到現在也沒有能夠判斷γ是有理數還是無理數。第五公設（平行公設）第五公設：若一直線落在兩直線上所構成的同旁內角和小于兩直角，那么把兩直線無限延長，它們將在同旁內角和小于兩直角的一側相交。
在歐氏幾何的所有公設中，唯獨這條公設顯得比較特殊，它的敘述不像其它公設那樣簡潔、明了，當時就有人懷疑它不像是一個公設而更像是一個定理，并產生了從其它公設和定理推出這條公設的想法。歐幾里得本人對這條公設似乎也心存猶豫，并竭力推遲它的應用，一直到卷Ⅰ命題29才不得不使用它。對第五公設的證明歷史上第一個宣稱證明了第五公設的是古希臘天文學家托勒密（約公元150），后來普洛克魯斯指出托勒密的“證明”無意中假定了過直線外一點只能作一條直線與已知直線平行。
替代公設：過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行。幾何原理中的家丑從公元前3世紀到18世紀，證明第五公設的努力始終沒有中斷。但每一種“證明”要么隱含了另一個與第五公設等價的假定，要么存在其它形式的錯誤。而且，這類工作中的大多數對數學思想的進展沒有多大現實意義。18世紀中葉，達朗貝爾把平行公設的證明問題稱為“幾何原理中的家丑”。有意義的進展意大利數學家薩凱里（G.Saccheri）在《歐幾里得無懈可擊》（1733）一書中，從著名的“薩凱里四邊形”出發來證明平行公設。
四邊形ABCD中，AD=BC，∠A=∠B且為直角。不用平行公設易證∠C=∠D。
（1）直角假設：∠C和∠D是直角
（2）鈍角假設： ∠C和∠D是鈍角
（3）銳角假設： ∠C和∠D是銳角ABCD薩凱里首先由鈍角假設推出了矛盾，然后考慮銳角假設，在這一過程中獲得了一系列新奇的結論：如三角形內角和小于兩直角；過直線外一點有無數條直線與已知直線平行等。薩凱里認為它們太不合情理，便以為自己導出了矛盾而判斷銳角假設是不真實的。而直角假設則是與平行公設等價的。
1763年，德國數學家克呂格爾（G.S.Klugel）在其博士論文中首先指出薩凱里的工作實際上并未導出矛盾，只是得到了似乎與經驗不符的結論。克呂格爾是第一位對平行公設是否可以由其它公設加以證明表示懷疑的數學家。高斯建立非歐幾何最先認識到非歐幾何是一種邏輯上相容、而且可以用來描述物質空間的是高斯。他從1799年開始意識到平行公設不能從其它公設推導出來，并從1813年起建立了一種使第五公設在其中不成立的新幾何學。他起先稱之為“反歐幾里得幾何”，最后改稱為“非歐幾里得幾何”。但高斯沒有發表過任何有關非歐幾何的文章，只在跟朋友的一些通信中提及，他在給一位朋友的信中說：“如果公布自己的這些發現，‘黃蜂就會圍著耳朵飛’，并會‘引起波哀提亞人的叫囂’”。 勇敢的羅巴切夫斯基在非歐幾何的三位發明人中，羅巴切夫斯基最早、最系統地發表了自己的研究成果，并且也最堅定地宣傳和捍衛自己的新思想。他于1826年在喀山大學發表了演講“簡要論述平行線定理的一個嚴格證明”，而后又于1829年發表了《論幾何原理》的論文，這是歷史上第一篇公開發表的非歐幾何文獻，但由于是用俄文發表在《喀山通訊》上的而未引起數學界的重視。1840年用德文出版的《平行理論的幾何研究》引起高斯的關注，這使他在1842年成為德國哥廷根科學協會會員。
非歐幾何理論公開后，許多人群起攻之，說新幾何是“荒唐的笑語”，是“對有學問的數學家的嘲諷”等。面對種種攻擊，羅巴切夫斯基表現得比高斯更有勇氣。一直到1855年，當他已是一位雙目失明的老人時，還口述發表了著作《泛幾何學》，堅信自己新幾何學的正確性。非歐幾何的發展與確認德國數學家黎曼（B.Riemann,1826-1866）于1854年發展了羅巴切夫斯基等人的思想而建立了一種更廣泛的幾何學----黎曼幾何。
19世紀70年代以后，意大利數學家貝爾特拉米、德國數學家克萊因和法國數學家龐加萊等人先后在歐幾里得空間中給出了非歐幾何的直觀模型，從而揭示出非歐幾何的現實意義。至此，非歐幾何才真正獲得了廣泛的理解。第七講 千古謎題 → （消二次項，令x=y-b/3a ）。令x=y+z， 則
。若
則上式成立，即 ，
解方程
得 ，所以三次方程的一個根是


（卡爾達諾公式）虛數的出現在使用卡爾達諾公式解三次方程的時候，人們接觸并大量使用了形如 的數，卻始終不承認它們是真正的數，為此笛卡爾還特別稱這種數為“虛數”，意思是虛無而不存在的數。1777年歐拉用 表示 ，1788年韋塞爾建立了復平面，將復數對應一個由原點出發的向量。1811年高斯提出可用復平面里的點表示復數，1831年闡述了復數加法與乘法的幾何意義。復數的直觀解釋及其應用價值才使得這種數逐漸被接受。卡爾達諾的貢獻其實，卡爾達諾本人已經接觸到了虛數，并且認識到復根是成對出現的，而且三次方程有三個根，四次方程有四個根。在此基礎上，荷蘭人吉拉德（1593—1632）在《代數新發現》（1629）一書中又作出進一步推測：對于n次多項式方程，如果把不可能的根（復數根）考慮在內，并包括重根，則應有n個根，這就是“代數基本定理”。當然，吉拉德沒有給出證明，19世紀初，高斯證明了這一定理。卡爾達諾還發現了三次方程的根與系數的關系，這種關系后來由韋達、牛頓等人作出系統闡述，故稱韋達定理。 伽羅瓦的遺書1831年7月伽羅瓦被關進監獄。1832年3月法國霍亂病流行，伽羅瓦被假釋。出獄后不久，伽羅瓦便死于一場決斗。
決斗前夜，他通宵達旦地奮筆疾書自己的數學成果。他寫道：“我在解析學中，創造出了許多新成果，……我想把這些沒有解決的問題全部解決，展現在人們的面前。當寫到沒有時間了的時候，心里感到非常難受。”
遺書的主要內容，從數學方面看都是重要成果。他提出了群（置換群）的概念，用群的理論徹底解決了根式求解代數方程的問題。還可以推出倍立方體、三等分角尺規作圖的不可能性。
伽羅瓦去世后14年（1846年），法國數學家劉維爾在其主編的《數學雜志》上首次發表了伽羅瓦的兩篇遺作，伽羅瓦工作的意義才逐漸被人們所認識。第八講 對無窮的深入思考康托爾明確提出了集合的“基數”的概念，若兩個集合能建立一一對應的關系，則認為這兩個集合的“基數”相等。顯然，無窮集合的“基數”也有“大小”之分。
1891年，康托爾證明了著名的康托爾定理：集合的冪集的基數比原集合的基數大。從而可由此構造出各種等級的無窮大。
在自然數集的基數與實數集的基數之間是否還存在其它的基數？上述序列是否窮盡了一切無窮集合的基數呢？這就是著名的連續統假設。在1900年的國際數學家大會上，希爾伯特把它作為他所提出的23個著名數學問題當中的第一個問題。（1963年，美國數學家科恩證明：連續統假設的真偽不可能在策梅羅—弗蘭克爾“ZF”公理系統中得到判別。） 希爾伯特旅店 設想一個有無窮多個房間的旅店,各房間依次編了號碼:1，2，3，……
現在來了一個代表團,有無窮多個成員.為管理方便,團長為每個成員編了號：①，②，③，……
到達旅店后,團長讓每個人住進與自己的號碼相同的房間。
設想等代表團安頓好后,又來了一個人.他是否也能住下來呢?答案是肯定的.
如果這時又來了一個有無窮多個成員的代表團，是否還能住得下呢？答案仍然是肯定的。哥德爾不完全性定理希爾伯特提出：一個科學的公理系統應該滿足三個條件（1）獨立性；（2）完備性；（3）相容性。
1931年奧地利數學家哥德爾卻證明了這樣一個定理：“任一足以包含自然數算術的形式系統，如果是相容的，則它一定存在一個不可判定的命題，即在該系統內必然有一個命題A使得A與A的否定在該系統中皆不可證。”
哥德爾不完全性定理第一次分清了數學中“真”與“可證”是兩個不同的概念。
第九章 中國現代數學的開拓與發展西方數學的傳入從明朝開始。1602年（明萬歷34年），利瑪竇與徐光啟合譯了《幾何原本》前6卷，幾何、三角、對數等傳入國內。徐光啟對《幾何原本》的評價極高：“此書為益，能令學理者祛其浮氣、練其精心，學事者資定其法、發其巧思，故舉世無一人不當學。”“此書有四不必：不必疑、不必揣、不必試、不必改。” 西方近現代數學的傳入清政府于1862年創辦京師同文館。這是中國歷史上的第一所新學堂，開始只學外語和漢語，1867年設天文算學館，1868年聘李善蘭為算學總教習。學習內容包括：代數學、幾何原本、三角學、微積分等。
李善蘭（1811—1882），浙江海寧人，中國近代著名數學家。著作有《方圓闡幽》、《古昔齋算學》、《考數根法》、《垛積比類》等；譯作有《代微積拾級》、《代數學》、《幾何原本》后9卷，《圓錐曲線說》等。
1859年與英國傳教士偉烈亞力（Wylie）合譯《幾何原本》后9卷，及《代微積拾級》，創立的一些中文數學名詞影響深遠，如：代數學、微分、積分、曲率、極大、無窮、級數、方程、根等。 浙江籍著名數學家姜立夫（1890—1978），浙江平陽人。1918年獲哈佛大學博士學位。1919年南開大學成立，次年，姜立夫到南開大學任教，是南開大學數學系唯一的臺柱。他逐年根據學生情況輪流開設各門主要課程，由于他的博學多才，使南開大學能保證較高的教學質量，培養了一批我國數學界的卓越人才，如劉晉年、江澤涵、陳省身、孫本旺、吳大任等。抗日戰爭期間，他任教于西南聯大，抗戰勝利后，被委任為當時的中央研究院數學研究所所長。1949年，姜立夫被迫將數學研究所的圖書運往臺灣，不久，他擺脫羈絆毅然回到祖國大陸，并一直任教于中山大學。 浙江籍著名數學家陳建功（1893—1971），浙江紹興人。先后三次留學日本并于1929年獲日本東北帝國大學理學博士學位，成為第一位在日本取得這一榮譽的外國數學家。隨后，他婉言謝絕了藤原教授的苦苦挽留，毅然回國，擔任浙江大學數學系主任。此后，先后在浙江大學、復旦大學、杭州大學任教，擔任過杭州大學副校長、中國科學院數學研究所研究員、中國數學會副理事長等職務。陳建功是中國函數論學科的奠基人，開拓了我國研究單葉函數論、復變函數逼近論以及擬似共形映照的三個方向。他一生中培養了數十名研究生，其中程民德、夏道行、越民義、龔升等都是很有成就的數學家。 浙江籍著名數學家蘇步青（1902—2003），浙江平陽人。1927年畢業于日本東北帝國大學數學系，后入該校研究院，獲理學博士學位。放棄在日本任教授的機會回國后，受聘于浙江大學數學系。1952年到復旦大學任教，歷任教務長、副校長、校長等職。1983年起任復旦大學名譽校長。1955年當選為中國科學院數學物理學部委員，兼任學術委員會常委，專長微分幾何，創立了國內外公認的微分幾何學派。蘇步青在科學業績上成績斐然，在培養人才和數學教育方面的貢獻同樣令人稱道。他的許多學生，如谷超豪、胡和生、張素成、白正國等都是國內外知名的學者。
浙江籍著名數學家陳省身（1911--2004），浙江嘉興人。1934年獲清華大學碩士學位，1936年獲德國漢堡大學科學博士學位。隨后轉往巴黎跟隨嘉當研究微分幾何，并迅速進入微分幾何研究的前沿。1943年應美國數學界領袖維布倫之邀，到普林斯頓高級研究所工作。二戰結束后回到上海，主持中央研究院數學研究所的工作。1949年遷往美國，在芝加哥大學接替了E.P.Lane的教授職位，1960年到加利福尼亞大學伯克利分校工作直到1980年退休。陳省身最重要的貢獻是認識到嘉當的聯絡的幾何學思想與纖維叢理論有密切的關系，從而把微分幾何推進到大范圍的情形。他發現的示性類----被稱為“陳類”----其影響遍及整個數學領域。陳省身是創立現代微分幾何的大師，是Wolf獎的獲得者。陳省身的學生中有許多著名的數學家，如丘成桐、吳文俊等。 浙江籍著名數學家許寶騄（1910—1970），祖籍浙江杭州，生于北京。他是著名的數理統計學家，北京大學一級教授，中國科學院學部委員。1930年入清華大學數學系，畢業后在北京大學數學系當助教兩年。1936年赴倫敦大學、劍橋大學留學，1938年獲哲學博士、1940年獲科學博士學位。同年回到祖國，任教于西南聯大。1945年前往美國，先后在加州大學伯克利分校、哥倫比亞大學、北卡羅林那大學任教。1947年回到北京，此后一直在北京大學，直到去世。參考文獻[1] 駱祖英．數學史教學導論．杭州：浙江教育出版社，1996
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