資源簡介

撬動數學的那根“杠桿”
文：黑騎士
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阿基米德說：“給我一根杠桿，我能撬動地球”。這里的杠桿作為阿基米德“征服”地球的工具，是必不可少的。在通往成功的途中，選對工具非常重要。所謂工欲善其事，必先利其器。那么，在數學學習過程中，有沒有可以幫助我們的“杠桿”呢？別急，接下來，我們就一起細數從古至今，那些撬動數學的“杠桿”——計算工具（計算工具是指從事計算時所用的器具或輔助計算的實物，包括計數工具和計算工具，不包括計算機軟件類的數學工具）。
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簡單方便的“掐指”算
人類初期的數學應用主要 是計數。由于原始社會時期生產力水平低下，所以人們的計數方法是簡單而形象化的，計算工具也要唾手可得。手指就是一個比較好的工具，因此，指算就這樣出現 了。指算，顧名思義就是用手指進行計算，是一種原始的計算方法，也是一種使用廣泛、使用時間最長的一種方法。直到現在，我們剛開始學習算術的時候，也總是 先扳動手指頭，當需要表示數目時，也常常會伸出手指。
我國古代有“掐指一算”的說法，影視作品中的算命先生也經常會說“掐指一算”，“掐指一算”真的能算出什么嗎？其實，在數學領域，“掐指一算”也就是我們所說的指算，我們一起來看看指算能算出什么吧。
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??????? 手掌上的乘法口訣
?????? ?乘法口訣不用背，結果照樣算出來。現在，伸出你的雙手，我們試著讓乘法口訣在手指上“跳動”。
1.伸出雙手，掌心向上。手指張開，從左到右，給每根手指依次編號為1～10（左手大拇指為1，食指為2，依次類推）。
2.根據算式，把表示乘數的手指抬高，這個手指左邊的手指數就是乘積的十位數字，右邊的數字就是乘積的個位數字。
例如：3×9
將第3根手指（左手中指）彎曲。中指左邊是編號為1和2的這兩根手指，記為2，得到乘積的十位數；中指右邊是編號為4～10的七根手指，記為7，得到乘積的個位數。綜合起來，乘積是27。
（此方法只適用于因數從左至右遞增的乘法算式中，即第一個因數要小于第二個因數，“3×9”可以用這個方法，“9×3”就不行了。）
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?????? “掐指一算”百以內數
設想一下，如果你是一名 倉庫管理員，你每天的工作就是清點貨物，為了不出錯，你用畫“正”字的方法來記錄碼頭正運來的每一樣貨物，可是恰巧你今天忘記帶紙和筆，怎么辦呢？別忘 了，你還有一樣隨身攜帶的計算工具——手。當然，十件以內的貨物，你用十個手指就可以記下了，可是如果更多呢？下面我就教你一個新的方法。
這個掐指計數法的靈感來源于算命先生的掐指算命。它的具體方法是：如圖將雙手相應部位標記相應的數字，當拇指的指甲掐在左手無名指末節時（如圖一左手的1號位置）， 記為數字1。然后逐一按圖一所示的位置計數，當左手拇指移動到圖一中數字10的位置時，右手拇指定位在圖二中10的位置。之后，左手重新計數。當左手拇指 再循環一次時，右手按圖二所示，移動到20的位置。依次類推，100以內的計數都可以用一雙手解決，怎么樣？試一下吧。
用來計算的“身外之物”
當指算已經不能滿足人類的需求時，人類開始探索新的計算工具，結繩計數因此誕生了。目前我們所知道的最早的計算工具（除手之外），就是結繩計數了，它的出現早于任何文字。因此，它的發明時間和發明地點都沒有記載，我們只能推測很久以前，在亞洲、非洲或者南美洲的某地，有人利用藤條、樹枝或野草之類的物品，系了第一個繩結。
其實，那個時候的繩結可以看作一種記錄數據的文字，每一個繩結包含的信息量是巨大的。哈佛大學人類學教授加里·默頓最近對古印加人遺留下來的一種復雜的繩結進行研究后發現，這種原來被科學家視作裝飾的繩結中包含有7段二進制碼，能同時表達1500多個信息。
之后，古人學會用自制工具在骨片、木片或竹片上刻上痕跡，一次性表示數目的多少，契刻計數就這樣誕生了。
公元前3000～前 2000年，中國、埃及、巴比倫、希臘等地開始擺放沙盤和石子作為記事和計數方法。后來這些國家有了自己的文字，便開始用文字來計數。商周時期，或許更 早，中國古代已經有了比較完備的文字系統和文字計數系統。中國在商代就可以記錄十萬以內的任何自然數了。
古往今來，各個文明發源地都有自己獨特的計數方式（想了解更多的計數方式，請看2015年1月《智力課堂》的《蟬都懂的數學知識》），但最值得一提的是中國的算籌。
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算籌
算籌又稱策、籌策，是中國古代用于計算和占卜的重要工具，在中國歷史上曾經使用了幾千年之久，直到明代以后才被算盤取代，退出歷史舞臺。
算籌最早起源于用木頭或樹枝計數，從這些木頭或樹枝中產生了“算木”。“算木”是算籌傳到日本后的名稱，其實，在中國它被稱為“算”或者“籌”。
算籌計數法是以縱、橫兩種擺放方式來表示單位數目的（如圖三）。1～5通過縱向或橫向排列相應數量的算籌來表示，如4記作“4條橫杠”或“4條豎杠”，6～9則用橫杠或豎杠以一當五，余下的部分再用相應數量的算籌表示，且兩部分方向不相同。如9可以利用4條豎杠上面1條橫杠或4條橫杠上面1條豎杠來表示。
按照中國古代的算籌規則，算籌計數的表示方法為：個位用縱向擺放方式，十位用橫向擺放方式，百位再用縱式，千位再用橫式……如此縱橫相間，遇到零就跳過，繼續表示下面的數。這種記數方法，逢十進一，遵循十進制。
這樣從右到左，縱橫相間，依次類推，就可以用算籌表示出任意大小的自然數了。由于算籌位與位之間縱橫變換，且每一位都有固定的擺法，所以既不會混淆，也不會錯位。這種算籌計數法與我們現在通行的十進制計數法是完全一致的。
籌算
在古代，籌算是一種相當先進的計算方法，它是以算籌為工具來計數、列式和進行各種計算的方法。中國古代的籌算不僅可以演算正、負整數與分數的四則運算和開方，而且還可以演算各種特定算式。
籌算的加減法計算方法為：先將位值對齊，即個位對個位，十位對十位，百位對百位，從左至右，由高位算起。用算籌進行乘法運算，分三層：上位是被乘數，中位是積，下位是乘數。與現在的乘法計算不同，籌算的計算方法是從左至右，先由乘數的最大一位去乘被乘數，乘完后去掉這位的算籌，再用第二位數去乘，將兩次乘積相同位上的結果相加。
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下面我就借助49×36這個乘法算式，給同學們講一下如何使用算籌。
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別看這個過程對我們來說很復雜，但是對當時的人們來說卻是“小菜一碟”。因為他們熟記這些規則，通過擺弄木棒就能得出結果。怎么樣，你們學會了嗎？快找幾個木棒嘗試計算一下32×27。想知道籌算的其他運算方法嗎？掃一掃下面的二維碼，獲取更多相關知識。
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算盤
說到算籌，就不得不說一下算盤了。算盤是中國傳統的計算工具，是在長期使用算籌的基礎上發明的。
算盤的來歷，最早可以追 溯到公元前600年。據說中國當時就有了“算板”，古人把10個算珠串成一組，一組組排列好，放入框內，然后迅速撥動算珠進行計算。算盤并不是中國獨有 的，古今中外的算盤大致可以分為三大類：沙盤類、算板類和穿珠算盤類。日本和俄羅斯都有與中國相類似的穿珠算盤。相比之下中國的穿珠算盤制作更簡單，價格 更便宜。
中國的算盤起源于何時，至今未有定論，但是在明代被廣泛應用于數學運算中已經是確鑿無疑的事情了。
珠算
珠算是以算盤為計算工具的計算方法，珠算的發明和使用在我國已有一千多年的歷史。珠算是中國古代繼籌算之后又一大發明。在元、明兩代，籌算已經被珠算取代。珠算的四則運算有口訣指導，這樣大大加快了運算的速度。想知道珠算的運算口訣嗎？掃描下方二維碼，獲取更多精彩內容。
神奇的數學表
在數學計算中，我們常常 會用到一些數學表：平方表，對數表，三角函數表……我們可以從各種各樣的數學表中直接查詢數值，既簡單，又節省時間。這些數學表都是經過數學家長期的探索 才逐步發展和完善的。在靠近幼發拉底河的古巴比倫廟宇圖書館遺址，曾挖掘出大量的泥板，上面用楔形文字刻著大量的數學知識，其中就有各種數學表，如乘法 表、倒數表、平方和立方表、平方根和立方根表，這些都是人類最古老的數學表，他們的影響十分深遠，在人類數學發展史上留下了光輝的一頁。
接下來我們就一起看一看那些神奇的數學表。
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九九乘法表
一提到數學表，就不得不 提影響深遠的“九九乘法表”。它是中國歷史上最早的數學表，中國敦煌等地出土的西漢竹簡上就記載著不完整的“九九乘法表”。現在人們可以用電子計算器進行 快速運算，但在很多情況下，人們還在使用九九乘法表，因為它很方便。九九歌訣是背誦“九九乘法表”的一種特別的口訣。九九歌訣是中國獨創的，體現了中國語 言的優越性。
??? 豆游戲
利用乘法口訣聯想作圖
將下面表格的下邊當作坐標軸的橫坐標，左邊當作坐標軸的縱坐標。將下列乘法算式的第一個因數當作橫坐標的數字，第二個因數當作縱坐標的數字，將結果定位在表格中。如（1）題中的4×1，結果為圖中紅點位置。將所有結果定位后，連接這幾個點進行聯想作畫，看看兩列不同的算式，能畫出什么圖畫。
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下面展示了兩幅糖豆的作品，你也來試一下吧。看看你的有沒有他們的好看。當然，你也可以給自己出一些算式題，然后聯想畫圖。
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九章算術乘法表
九章算術乘法表比乘法口訣出現得晚，它是九九乘法表的“進化版”，可以用來計算超大位數的乘法。方法是：兩個因數縱橫排列，將縱橫格各個坐標上的數單獨相乘，乘得結果十位寫在斜格上方，個位寫在斜格下方，從右下角開始，將斜格中的數字相加，逢十向下一個斜格相加之和進位，最后，將所得結果組合，即為乘積。
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納皮爾籌
17世 紀，計算工具在西方發展較為迅速。英國數學家納皮爾在他的著作里介紹了一種新工具，也就是后來被稱為“納皮爾籌”的器具。納皮爾籌又叫“納皮爾計算尺”。 它是由十根木條組成的，每根木條上都刻有數碼，右邊第一根木條是固定的，其余的都可根據計算的需要進行拼合或調換位置。這種簡單的計算器在當時很受歡迎， 流行了許多年。在清代，它與筆算、比例規算法等一起傳入中國，北京故宮博物院至今還藏有納皮爾籌。
納皮爾籌與中國的算籌在 原理上大相徑庭,它已經顯露出對數計算方法的特征。納皮爾籌的計算原理是“格子”乘法，類似于我國的九章算式乘法表，與之不同的是，納皮爾籌把格子的工作 事先做好，需要哪幾個數字時，就將刻有這些數字的木條按格子乘法的形式拼合在一起，也很方便。例如，要計算934×314，就將9,3,4和3,1,4擺 成如下圖所示，然后將每個數單獨相乘，乘得結果十位寫在斜格上方，個位寫在斜格下方。從右下角開始，將每行斜格的數字相加，逢十向前一位斜格的和進位，所得數字組合，就得到所要求的結果293276。
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無“規矩”不成方圓
“不以規矩，不成方圓”這個成語，想必大家都知道是什么意思，那么它和我們要說的計算工具有什么聯系呢？
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“規”和“矩”的產生
一說到“規”和“矩”， 其實大家都不陌生，他們是古人用來測量、畫圓形和方形的工具。“規”就是我們常說的圓規，“矩”就是折成直角的曲尺，尺上有刻度。“規”和“矩”發明于中 國，但發明的確切年代已無法考證。不過在公元前15世紀的甲骨文中，已有規、矩這兩個字了。用“規”和“矩”，可以畫出方和圓兩種圖形。古人常說“不以規 矩，無以成方圓”，就來源于此。
有的同學也許會問，難道 “規”和“矩”也是計算工具？回答是肯定的。“規”和“矩”除了能幫助我們畫圓、畫角外，在古代還可以幫助人們進行測量并記錄測量數據，這符合我們之前對 計算工具的定位。司馬遷記載，夏禹治水時就曾利用“規”和“矩”進行測量，規劃出了治水方案。這也說明“規”和“矩”這兩種工具至少在夏禹治水的年代就開 始使用了。另外，戰國時期的墨子也曾說“百工從事者，亦皆有法。百工為方以矩，為圓以規”，也是在說當時的工匠都在使用“規”和“矩”了。
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多種多樣的“規”
同學們最常見的“規”要數“圓規”了，作為畫圓的工具，圓規在現代的數學學習中也是常用的，但是還有一種“規”，同學們可能不是很了解，這就是“步規”。
過去丈量土地用“步”，“步”是古代的計量單位，古代的“步”非現代的步。
《孫子算經》里有記載：1里＝1800尺＝300步，當時1尺＝23.1厘米。因此，從周代到漢代，1步是6尺，也就是138.6厘米。到了唐代，“步”的尺寸有了變化，1步＝5尺。
根據“步”，人們創造出了“步規”。這種“規”，在山東民間有的地方叫“叉尺”（如下圖所示），有的地方叫“五尺桿子”。它的兩腳之間的距離是固定的，為五尺，也就是“1步”。使用的時候兩腳輪流著地，轉動起來很快。
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萬能的“矩”
矩是一種曲尺，是畫方形 的工具，可是除了畫方形，它還有很多用途。《周髀算經》中敘述了周公與商高的一段對話，周公問商高：“數學真是了不起啊!請問怎樣使用‘矩’呢？”商高答 道：“把矩放平了，可以測定水平和垂直方向；把矩立起來，可以測量高度；把矩反過來倒置，可以測量深度；把矩臥于地面，可以測定水平距離；將矩環轉一周， 可以得到圓形；將兩矩合起來，可以得到長方形。”
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圓規在古希臘的應用
古希臘幾何學的成就達到驚人的高度。古希臘人建立了一座嚴密的幾何大廈，而建設起這座大廈的數學工具就是圓規和直尺。不過他們的直尺和中國古代的矩有所不同，這種直尺沒有刻度，只能用于畫直線，而不適用于測量。
古希臘人利用“規”和“尺”解決了很多幾何問題，當然，他們也制造出了著名的古希臘三大幾何問題。古希臘三大幾何問題的奇妙之處在于它們看似簡單，但操作困難。這三道題要 求作圖時只能使用圓規和無刻度的直尺，而且只能有限次地使用直尺和圓規。直尺和圓規所能作的基本圖形只有：過兩點畫一條直線、作圓、作兩條直線的交點、作 兩圓的交點、作一條直線與一個圓的交點。在數學里“某個圖形是可作的”是指從若干點出發，可以通過有限個上述基本圖形復合得到。經過2000多年的艱苦探 索，數學家們終于弄清楚了這三道難題是“不可能用尺規完成的作圖題”。
想知道古希臘三大幾何難題是什么嗎？掃描下方的二維碼。同學們試著研究一下這幾個問題，如果你們能找到答案的話，說不定就改寫了數學歷史哦。

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