資源簡介

第一章 埃及數(shù)學(xué)
第一節(jié) 埃及數(shù)學(xué)產(chǎn)生的背景及研究依據(jù)
　　埃及是數(shù)學(xué)古國，被人們認(rèn)為是數(shù)學(xué)產(chǎn)生的最早國家之一，因此，在研究數(shù)學(xué)歷史的時(shí)候，必須提及埃及的數(shù)學(xué)．
　　對埃及數(shù)學(xué)的產(chǎn)生，曾有過各種不同的看法，例如，希臘的邏輯學(xué)家亞里士多德(Aristotle，公元前384---約前322)在其《形而上學(xué)》一書中指出：“之所以在埃及能夠產(chǎn)生數(shù)學(xué)，是受到上帝的恩賜．”對此，恩格斯在《反杜林論》中明確指出：“數(shù)學(xué)是人的需要中產(chǎn)生的，是從丈量土地和測量容積，從計(jì)算時(shí)間和制造器皿產(chǎn)生的．”事實(shí)上，埃及的數(shù)學(xué)產(chǎn)生，符合恩格斯的精辟闡述．
一、埃及數(shù)學(xué)產(chǎn)生的社會(huì)背景
　　埃及位于尼羅河岸，在古代分為兩個(gè)王國，夾在兩個(gè)高原中間的狹長谷地，叫做上埃及．處于尼羅河三角洲的地帶叫做下埃及．這兩個(gè)王國經(jīng)過長時(shí)期的斗爭，在公元前3200年實(shí)現(xiàn)了統(tǒng)一，并建都于下游的孟斐斯(Memphis)．
　　尼羅河經(jīng)常泛濫，淹沒良田．在地界被沖刷的情況下，統(tǒng)治者要按不同數(shù)量征糧征稅，這樣，必須重新丈量土地．實(shí)際上，埃及的幾何學(xué)就起源于此．希臘的歷史學(xué)家希羅多德(Herodo- tus，約公元前484---前424)在《歷史》(Herodoti Historiae)一書中，明確指出：“塞索特拉斯(Sesostris)在全體埃及居民中間把埃及的土地作了一次劃分．他把同樣大小的正方形土地分給所有的人，并要求土地持有者每年向他繳納租金，作為他的主要稅收．如果河水泛濫，國王便派人調(diào)查并測量損失地段的面積．這樣，他的租金就要按照減少后的土地的面積來征收了．我想，正是由于有了這樣的做法，埃及才第一次有了幾何學(xué)，而希臘人又從那里學(xué)到了它．”希臘數(shù)學(xué)家德謨克利特(Democritus，約公元前460---前357)也曾指出：“我不得不深信，幾乎埃及人都會(huì)畫證明各種直線的圖形，每個(gè)人都是拉繩定界的先師．”所謂拉繩定界的先師(harpedonaptai)大概是指以拉繩為主要工具的測量師．
　　埃及人為了發(fā)展農(nóng)業(yè)生產(chǎn)，必須注意尼羅河的泛濫周期，在實(shí)踐中，積累了許多天文知識和數(shù)學(xué)知識．譬如，他們注意到當(dāng)天狼星和太陽同時(shí)出沒之時(shí)，就是尼羅河洪水將至之兆．并把天狼星的兩個(gè)清晨上升的間隔當(dāng)作一年，它包含365天．把一年分成12個(gè)月，每個(gè)月是30個(gè)晝夜．并逐步摸索出用日晷來測量時(shí)間．大約在公元前1500年，埃及人就已經(jīng)使用了水鐘---漏壺，它是底部有洞的容器．把這個(gè)容器灌滿水，水從下面的孔里流完的這段時(shí)間作為計(jì)算時(shí)間的單位．所有這些都蘊(yùn)含了計(jì)算．
　　建造著名的金字塔，可推知是公元前四、五千年前的事．根據(jù)對其結(jié)構(gòu)、形狀的研究，可推測古代埃及人掌握了一定的幾何知識，致使底兩個(gè)邊與正北的偏差，一個(gè)僅僅是2'30''，一個(gè)是5'30''．這類的實(shí)際建筑，推動(dòng)了埃及數(shù)學(xué)計(jì)算的發(fā)展．
　　綜上，社會(huì)的生產(chǎn)、生活的實(shí)際需要，促使埃及數(shù)學(xué)的產(chǎn)生與發(fā)展．
二、研究埃及數(shù)學(xué)的依據(jù)
　　古埃及人創(chuàng)造出了幾套文字，其中一套是象形文字．“象形文字”這個(gè)詞源于希臘文，意思是神圣的文字．直到基督降生的年代，埃及在紀(jì)念碑文和器皿上還刻有象形文字．自公元前2500年左右起，開始使用象形文字的縮寫，稱作僧侶文(hieraticwriting)．
蘭德紙草書
　　埃及的數(shù)學(xué)原典就是由象形文字書寫而成，其中，對考察古埃及數(shù)學(xué)有重要價(jià)值的是“蘭德紙草書”，這部紙草書是在埃及古都---底比斯(Thebes)的廢墟中發(fā)現(xiàn)的．1858年由蘭德(A．H．Rhind)購買，爾后，遺贈(zèng)給倫敦大英博物館．因此， 叫做蘭德紙草書．這種紙草書長約550厘米、寬33厘米，摹本出版于1898年．
　　這部紙草書是根據(jù)底比斯人統(tǒng)治埃及時(shí)(約公元前1800年以后)寫成的，著者阿梅斯(Ahmes)曾寫道，此書是根據(jù)埃及王國時(shí)代(公元前2000---前1800)的材料寫成的．
　　這部紙草書的出現(xiàn)，對埃及的文化產(chǎn)生了重要影響，對數(shù)學(xué)的發(fā)展和傳播起到了一定的作用．阿梅斯認(rèn)為，這是一部“洞察一切事物的存在，徹底研究一切事物的變化，揭示一切秘密……”的經(jīng)典．實(shí)際上，只是傳授“數(shù)”的秘密和分?jǐn)?shù)計(jì)算．全書分成三部分，一是算術(shù)；二是幾何；三是雜題．共有85題．記載著埃及人在生產(chǎn)、生活中遇到的實(shí)際問題．例如，對勞動(dòng)者酬金的分配；面積和體積的計(jì)算；不同谷物量的換算等等．其中，也含有純數(shù)學(xué)知識問題．例如，分?jǐn)?shù)的難題計(jì)算等等．
　
　2．莫斯科紙草書
　　記載著古埃及數(shù)學(xué)的另一部古典書籍是莫斯科紙草書，此書是由俄羅斯收藏者于1893年獲得的．約20年后，即1912年轉(zhuǎn)藏于莫斯科圖書館．這部紙草書長約550厘米、寬8厘米，共記載著25個(gè)問題．由于卷首遺失，書名無法考證．俄羅斯歷史學(xué)家古拉葉夫(Б．А．Гураев，1868---1920)于1917年和斯特盧威(В．В．Струве，1891---1964)于1930年對莫斯科紙草書進(jìn)行了研究，后-者完成了出版工作，對進(jìn)一步研究埃及的數(shù)學(xué)提供了方便．
　　總之，研究埃及數(shù)學(xué)主要是依據(jù)如上兩部書，當(dāng)然，也可能還有其它的有關(guān)資料，有待于進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)與考證．
第二節(jié) 埃及數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容
　　根據(jù)埃及紙草書的記載，古埃及人對算術(shù)、代數(shù)、幾何等數(shù)學(xué)知識已經(jīng)有了初步認(rèn)識，并能做簡單地應(yīng)用．現(xiàn)簡要介紹如下：
一、算術(shù)
　　古埃及人所創(chuàng)建的數(shù)系與羅馬數(shù)系有很多相似之處，具有簡單而又純樸的風(fēng)格，并且使用了十進(jìn)位制，但是不知道位值制．
　　古埃及人是用象形文字來表示數(shù)的，例如
　　根據(jù)史料記載，上述象形文字似乎只限于表示107以前數(shù)．由于是用象形文字表示數(shù)，進(jìn)行相加運(yùn)算是很麻煩的，必須要數(shù)“個(gè)位數(shù)”、“十位數(shù)”、“百位數(shù)”的個(gè)數(shù)．但在計(jì)算乘法時(shí)，埃及人采取了逐次擴(kuò)大2倍(duplication)的方法，運(yùn)算過程比較簡便．
　　乘法：古埃及人采用反復(fù)擴(kuò)大倍數(shù)的方法，然后將對應(yīng)結(jié)果相加．例如蘭德紙草書(希特版)第32頁，記載著12×12的計(jì)算方法，是從右往左讀的．右邊用現(xiàn)代數(shù)字表示，這就是倍增法(duplatio)．
　　由下表可知，計(jì)算的方法是把12依次擴(kuò)大2倍，那么12×12為12的4倍加上12的8倍，恰是12的12倍，并把要加的數(shù)在右側(cè)(現(xiàn)代阿拉伯?dāng)?shù)字在左側(cè))標(biāo)記斜線，算得結(jié)果144．
　　在更早的時(shí)期，埃及人也曾采用“減半法”來計(jì)算乘法．首先是將一乘數(shù)擴(kuò)大10倍，然后再計(jì)算10倍的一半．例如紙草書(卡芬版)第6頁，計(jì)算16×16，是按如下方法計(jì)算的，即減半法(mediatio)．
　　/1　　　 16
　　/10　　　160
　　/5　　　 80
　　合計(jì)　　 256
　　這種乘法的計(jì)算方法是古代人計(jì)算技能的基礎(chǔ)，是非常古老的方法．希臘時(shí)期的學(xué)校曾講授過埃及人的計(jì)算方法，到了中世紀(jì)，還講授“倍增法”和“減半法”．
　　除法：埃及人很早就認(rèn)識到除法是乘法的逆運(yùn)算，并蘊(yùn)含在實(shí)際計(jì)算之中．例如，計(jì)算1120÷80(見蘭德紙草書第69頁)．
　 　　　1　　80
　　　/10　　 800
　　　　　2　 160
　　　/4　　　320
　　　合計(jì)　　1120
　　以上求解的基本思路是10倍的80加4倍的80，恰好是1120，即1120中含有14個(gè)80．
　　分?jǐn)?shù)：古埃及人對分?jǐn)?shù)的記法和計(jì)算都比現(xiàn)在復(fù)雜得多．例如，他
分叫做“第三部分”．例如，
　　這樣，通過二個(gè)部分與第三部分；三個(gè)部分與第四部分的結(jié)合來表示出一個(gè)整體．現(xiàn)在的西歐，有時(shí)也用第三(third)、第四(fourth)、第五(fifth)等語言來表達(dá)三分之一、四分之一這類分?jǐn)?shù)的含義．按此規(guī)律理解，五分之一可認(rèn)為與四個(gè)部分結(jié)合成一個(gè)整體的第五部分．從語言的角度，五分之二(twofifths)就無法表達(dá)了．
　　隨著分?jǐn)?shù)范圍的不斷擴(kuò)大，計(jì)算方法的不斷改進(jìn)，埃及人用“單位分?jǐn)?shù)”(分子是1的分?jǐn)?shù))來表示分?jǐn)?shù)：
　　對一般分?jǐn)?shù)則拆成“單位分?jǐn)?shù)”表示①．例如，(用現(xiàn)代符號表示)
二、代數(shù)
　　在蘭德紙草書中，因?yàn)榍蠛粋€(gè)未知量的方程解法在埃及語中發(fā)“哈喔”(hau)音，故稱其為“阿哈算法”．
　　“阿哈算法”實(shí)際上是求解一元一次方程式的方法．蘭德紙草書第26題則是簡單一例．用現(xiàn)代語言表達(dá)為：
　　
　　古埃及人是按照如下方法計(jì)算的：
　　　　
12，則12即是所求的量．
　　這種求解方法也稱“暫定前提”(false assumption)法，即：首先，根據(jù)所求的量而選擇一個(gè)數(shù)．在蘭德紙草書第26題中，選擇了4．因?yàn)?br/>　　實(shí)際上，這個(gè)問題用列方程的方法很容易計(jì)算．設(shè)所求量為x，則：
　　
　　解之得：x＝12．
　　在用“阿哈算法”求解的問題中，也含有求平方根的問題，柏林紙草書中有如下的問題：
　　
方形，兩個(gè)正方形面積的和為100，試計(jì)算兩個(gè)正方形的邊長．”
　　不妨從“暫定的前提”出發(fā)，首先取邊長為1的正方形，那么另一
方形的邊長分別為8和6．
　　如果列成現(xiàn)代的方程式求解，是很簡單的．
　　　
　　
　　
　　所以，兩個(gè)正方形的邊長分別為8和6．
　　埃及人對“級數(shù)”也有了簡單的認(rèn)識，在紙草書中，用象形文字寫出一列數(shù)7，49，343，2401，16807，并與之對應(yīng)一列詞：“圖畫”，“貓”，“老鼠”，“大麥”，“容器”，最后，給出和數(shù)為19607．實(shí)際上，這是公比為7的等比數(shù)列．對此，有的數(shù)學(xué)史家解釋為：“有7個(gè)人，每人有7只貓，每只貓能吃7只老鼠，而每只老鼠吃7穗大麥，每穗大麥種植后可以長出7容器大麥．”從這個(gè)題目中，可以寫出怎樣的一列數(shù)，它們的和是多少？這種題目就涉及到求數(shù)列和的問題．
三、幾何
　　埃及人創(chuàng)建的幾何以適用工具為特征，以求面積和體積為具體內(nèi)容．他們曾提出計(jì)算土地面積、倉庫容積、糧食堆的體積、建筑中所用石料和其它材料多寡等法則．
　　埃及人能應(yīng)用正確的公式來計(jì)算三角形、長方形、梯形的面積．把三角形底邊二等分，乘以高；同樣，把梯形兩平行邊之和二等分，乘以高分別作為三角形和梯形的面積．另外，埃及人還能對不同的面積單位進(jìn)行互相換算．
　　在埃及埃特夫街的赫爾斯神殿的文書中，記載著很多關(guān)于三角形和四邊形面積計(jì)算問題，如圖1．1．但是，他們把四邊形二對邊之和的一半與另二對邊和的一半之積作為其面積，這顯然是不對的，只是長方形時(shí)，這才是正確的計(jì)算公式．
　　埃及人曾采用s＝(8d/9)2(其中s是圓的面積、d是圓的直徑)來計(jì)算圓的面積．由此得到：
　　
　　能把π值精確到小數(shù)點(diǎn)后一位，在那個(gè)時(shí)代，應(yīng)該說是一件了不起的事，巴比倫人在數(shù)學(xué)高度發(fā)展時(shí)期，還常常取π＝3．
　　在計(jì)算體積方面，經(jīng)考察蘭德等紙草書發(fā)現(xiàn)，埃及人已經(jīng)知道立方體、柱體等一些簡單圖形體積的計(jì)算方法，并指出立方體、直棱柱、圓柱的體積公式為“底面積乘以高”．
　　有材料證實(shí)，在埃及幾何中，最突出的一項(xiàng)工作是發(fā)現(xiàn)截棱錐體的體積公式，(錐體的底是正方形)，此公式若用現(xiàn)代數(shù)學(xué)符號表示為：
　　
　　其中h是高，a和b是下、上底的邊長．
　　像這樣的公式，若認(rèn)為是靠經(jīng)驗(yàn)得到的，理由則是不夠充分的．按當(dāng)時(shí)埃及人已掌握的數(shù)學(xué)知識，我們可做如下理論推導(dǎo)：
　　把正棱臺分成4個(gè)部分，即1個(gè)長方體、2個(gè)棱柱、1個(gè)棱錐．如圖1．2，假如棱錐的體積是已知的，可得公式：
　　
　　可推測，(1)式是由(2)式的代數(shù)變形得到的，但是，當(dāng)時(shí)的埃及人比較擅長于具體數(shù)值的計(jì)算，還沒掌握對一般量的推導(dǎo)．這里似乎埃及受巴比倫代數(shù)的影響，掌握了一定的數(shù)學(xué)推理方法．
　　從公式(2)推出公式(1)，可考慮采用了如下方法：
　　假定一個(gè)棱垂直于底面，把圖1．2中的兩個(gè)棱柱分別變?yōu)楦呤窃?br/>　
　　
是，最下層為a2，中間層為ab，最上層為b2．由此可得到其總體體積為：
　　
　　與(1)式相符．
　　按如上方法推導(dǎo)公式(1)，是沒有超越埃及當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)水平的，但是，也沒有充分的依據(jù)來斷定埃及人就使用了這種方法．對此有各種不同的猜
是紙草書中提及的特殊情況)，埃及人才推導(dǎo)出公式(1)．
第三節(jié) 埃及人對數(shù)學(xué)的應(yīng)用及對數(shù)學(xué)發(fā)展的貢獻(xiàn)
一、埃及人對數(shù)學(xué)的應(yīng)用
　　埃及的數(shù)學(xué)是從生產(chǎn)和生活實(shí)際中產(chǎn)生的，反過來，他們又力爭把所獲得的數(shù)學(xué)知識應(yīng)用于實(shí)踐．
　　埃及人把數(shù)學(xué)知識應(yīng)用到管理國家和教會(huì)的事物中，譬如，確定付給勞役者的報(bào)酬，求谷倉的容積和田地的面積，征收按土地面積估出的地稅，計(jì)算修造房屋和防御工程所需的磚數(shù)．
　　把數(shù)學(xué)應(yīng)用于釀酒等方面的計(jì)算．他們利用術(shù)語“比數(shù)”(pesu)，即一個(gè)單位谷物生產(chǎn)出酒的量或面包的個(gè)數(shù)，按下面方法計(jì)算：
谷物的量×比數(shù)=酒量(或面包的個(gè)數(shù))．
　　在這些簡單的計(jì)算中，常常需要進(jìn)行單位的換算．
　　把數(shù)學(xué)應(yīng)用到天文的計(jì)算中．從第一朝代開始，尼羅河就是埃及人的生命源泉，他們?nèi)粘龆鳎章涠ⅲ仨氄莆账募練夂蜃冞w的規(guī)律，力求準(zhǔn)確預(yù)報(bào)洪水到來的日期，進(jìn)行大量的計(jì)算．他們還把幾何知識與天文知識結(jié)合起來，用于建造神廟，使一年里某些天的陽光能以特定方式照射到廟宇里．金字塔的方位也朝向天上特定的方向，而斯芬克斯(即獅面人身像)的面則是朝東的．金字塔代表了埃及人對幾何的另一種用法，竭力使金字塔的底為有規(guī)則的形狀，底和高的尺寸之比也是有特殊意義的．
二、埃及人對數(shù)學(xué)發(fā)展的貢獻(xiàn)
　　當(dāng)我們回顧埃及數(shù)學(xué)的產(chǎn)生與發(fā)展時(shí)，不難看出，埃及人推動(dòng)了數(shù)學(xué)的產(chǎn)生和應(yīng)用．其中，對數(shù)學(xué)發(fā)展產(chǎn)生很大影響的希臘數(shù)學(xué)，也曾借鑒過埃及數(shù)學(xué)．譬如，希臘人曾學(xué)習(xí)過埃及那種特定方式乘法和單位分?jǐn)?shù)的計(jì)算，然后又發(fā)展了這種計(jì)算方法．另外，關(guān)于確定圖形面積和體積的規(guī)則，可能希臘人也是從埃及人那里學(xué)來的，但是，對于這些規(guī)則的證明，是由希臘人完成的．
　　埃及人沒有把零散的數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)化，使之成為一門獨(dú)立學(xué)科，只是做為一種工具，把形式上沒有聯(lián)系的簡單法則，用于解決人們在日常生活中所碰到的問題．埃及人對數(shù)學(xué)的主要貢獻(xiàn)，我們做簡略地歸納：
　　(1)基本完成了特定方式的四則運(yùn)算，并且把它們推廣到分?jǐn)?shù)上，已經(jīng)有了求近似平方根的方法．
　　(2)他們能夠用算術(shù)方法處理一次方程和某些類型的二次方程問題．
　　(3)他們已經(jīng)有了算術(shù)級數(shù)和幾何級數(shù)的知識．
　　(4)在幾何方面，得到了某些平面圖形和立體圖形的求積方法．
　　(5)得到較好的圓周率值(在那個(gè)時(shí)期)，正確認(rèn)識了把圓分為若干相等部分的問題．
　　(6)他們已經(jīng)熟悉了比例的基本原理，某些數(shù)學(xué)史家還認(rèn)為埃及數(shù)學(xué)有三角函數(shù)的萌芽．
?
?
第二章 巴比倫數(shù)學(xué)
第一節(jié) 巴比倫數(shù)學(xué)產(chǎn)生的社會(huì)背景
　　巴比倫人是指曾居住在底格里斯河與幼發(fā)拉底河兩河之間及其流域上的一些民族，他們創(chuàng)造了文化，也創(chuàng)造了具有本民族特色的數(shù)學(xué)．
　　大約在公元前1800年前，在兩河流域建立了巴比倫王國Babylonia)，首都巴比倫(Babylon)是今日伊拉克的一部分，位于巴格達(dá)南面約100公里．大約在公元前4000年左右，蘇默人(Sumerians)開始在兩河流域(古代稱美索波達(dá)米亞Mesopotamia)定居，大約在公元前3000年創(chuàng)造了自己的文化．到了公元前1700年左右，在漢穆拉比(Hammurabi)王統(tǒng)治期間國勢強(qiáng)盛，文化得到了高度發(fā)展，以制定一部法典而垂名后世．
　　漢穆拉比把自己稱為“蘇默人和阿卡德人的大王”，把一切權(quán)力集于一身．漢穆拉比作為最高統(tǒng)治者，非常關(guān)心灌溉系統(tǒng)的發(fā)展，采取各種灌溉措施，制造抽水機(jī)，并在全國范圍內(nèi)劃分土地，分配收獲的糧食，修建谷倉儲(chǔ)存糧米，發(fā)展貿(mào)易，向鄰近國家輸出農(nóng)產(chǎn)品，同時(shí)也帶來了高利貸的發(fā)展．所有這些都是促使數(shù)學(xué)得以產(chǎn)生與發(fā)展的社會(huì)因素．
　　促進(jìn)巴比倫數(shù)學(xué)發(fā)展的另一個(gè)因素是貨幣交換制度的初步建立．開始時(shí)，巴比倫人把實(shí)物或者銀器作為貨幣單位，國家征收稅務(wù)、民間物資交換都用規(guī)定的實(shí)物或銀器進(jìn)行支付．后來，采用銀幣代替了實(shí)物交換，這樣就需要進(jìn)行各種單位換算，從而推進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展．
　　盡管巴比倫統(tǒng)治者頻繁更替，而對數(shù)學(xué)知識的傳播和使用，從遠(yuǎn)古時(shí)代直到亞里山大時(shí)代卻始終沒有間斷．
　　古代巴比倫人是用祖?zhèn)鞯哪喟鍟涊d數(shù)學(xué)內(nèi)容的，然而，保存下來的泥板書卻沒有埃及紙草書那樣多．可能是因?yàn)槟喟鍟刻柣蚧馃娓桑龅斤L(fēng)吹雨淋，難于保存原樣．另外，巴比倫人的書寫字跡也阻礙了長篇論著的編撰．
　　在巴比倫泥板書中，引人注目的是普林頓322號．這是哥倫比亞大學(xué)普林頓(G．A．Plimpton)收集館的第322號收藏品．此泥板書是在公元前1900年至前1600年間用古巴比倫字體寫的．
　　普林頓322號是保存下來的一塊殘缺不全的泥板書，但仍然保存著大體形狀，只是左邊掉下一塊，靠右邊中間部分也有一個(gè)很深的洞，左上角也脫落了一片，但可以清楚地看到，有三列比較完整的數(shù)字，不妨用現(xiàn)代符號(10進(jìn)位)表出，如圖2.1．
　　經(jīng)過對圖表的認(rèn)真分析，就會(huì)發(fā)現(xiàn)：兩列中的對應(yīng)數(shù)字(除了4個(gè)例外)構(gòu)成一個(gè)邊長為整數(shù)的直角三角形的斜邊和一個(gè)直角邊．
　　現(xiàn)在人們把象(3，4，5)這樣的，能組成直角三角形三條邊的一組正整數(shù)稱為畢氏三數(shù)(Pythagorean triple)．在這樣一組數(shù)中，若除1以外，沒有其它因子，就稱它為素畢氏三數(shù)．在普林頓泥板書之后的1000多年后，人們證明了素畢氏三數(shù)(a，b，c)能用下列參數(shù)式表示：
a=2αβ，b=α2-β2，c＝α2+β2．
　　其中α，β互素，奇偶相異，且α＞β．若α＝2，β=1，則得素畢氏三數(shù)a＝4，b=3，c＝5．
　　我們?nèi)粲闷樟诸D泥板書上給出的斜邊c和直角邊b來確定那個(gè)邊為整數(shù)的直角三角形的另一邊，則可得到下列畢氏三數(shù)：
　　應(yīng)該指出，上表中的畢氏三數(shù)，除第11行和第15行外，都是素畢氏三數(shù)．為了便于討論，我們又列出了這些畢氏三數(shù)的參數(shù)值．通過普林頓322號泥板書，不難看出，古巴比倫人早就知道素畢氏三數(shù)的一般參數(shù)表達(dá)式．
　　在書寫古巴比倫數(shù)學(xué)簡略歷史時(shí)，我們首先舉出了普林頓322號泥板書，作為在那樣的社會(huì)背景之下，數(shù)學(xué)研究的重要結(jié)晶，使讀者形成初步印象，以便進(jìn)一步探索古巴比倫的數(shù)學(xué)內(nèi)容．
第二節(jié) 巴比倫的數(shù)學(xué)
　　巴比倫人和埃及人一樣，是首先對數(shù)學(xué)的萌芽作出貢獻(xiàn)的民族，對其原始數(shù)學(xué)內(nèi)容的考證，大部分來自近百年來考古研究的結(jié)果．
一、記數(shù)法與進(jìn)位制
　　一百多年前，人們發(fā)現(xiàn)巴比倫人是用楔形文字(Cuneiform)來記數(shù)的．他們是用頭部呈三角形的木筆把字刻寫在軟泥板上，然后，用火燒或曬干使它堅(jiān)如石，以便保存下來進(jìn)行數(shù)學(xué)知識交流．由于字的形狀象楔子，所以人們稱為楔形文字．
　　他們用垂直的楔形來表示1，如 ．用末端二個(gè)橫向楔形表示10，如．用記號表示35．用記號表示9，后來簡化為．
　　以上可以看出，巴比倫人創(chuàng)建的數(shù)的體系與埃及、羅馬數(shù)字頗為相似．但是，值得我們注意的是巴比倫人已經(jīng)有了位值制的觀念，通常為60進(jìn)制．這種認(rèn)識的主要根據(jù)是地質(zhì)學(xué)家勞夫特斯(W．K．Loftus)于1854年在森開萊(現(xiàn)在的拉山或拉莎)發(fā)掘出漢穆拉比時(shí)代的泥板書，上面記載著一串?dāng)?shù)字，前7個(gè)是1，4，9，16，25，36，49，之后中斷，而在應(yīng)該是64的地方，看到的卻是1·4，其后接著寫出1·21，再后是2·24，直到最后寫的是58·1．這個(gè)數(shù)列只有假定其為60進(jìn)位時(shí)，才能很自然接續(xù)，即：
　　1·4＝60＋4＝64=82，
　　1·21=60＋21＝81＝92，
　　……………………
　　58·1=58×60＋1＝3481＝592．
　　應(yīng)該指出，巴比倫人的位值制有時(shí)也不甚明確；因?yàn)橥暾奈恢抵朴洈?shù)法，必須有表示零的記號，但在早期的泥板書上尚沒有發(fā)現(xiàn)零號．例如，(5·6·3)可表示5×602＋6×60＋3＝18363，也可表下文來分析、確定．
　　古巴比倫的60進(jìn)位法之產(chǎn)生年代是相當(dāng)久遠(yuǎn)的．但據(jù)有的材料記載，早期的蘇默人是不知道60進(jìn)位制的．從他們所用的數(shù)學(xué)符號中可以看出，大約在公元前3000年以前，是用以下記號來記數(shù)的：
1，10，60的記號是用頭部是圓形的木筆刻成，而1和60的記號都是半圓形，只是大小不一樣，10的記號是圓形，600的記號是10和　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　到了公元前2000年左右，開始使用楔形文字，以此又建立一套數(shù)的記號，不妨做如下比較：
　　通過如上二種數(shù)碼的表示法之比較，不難看出，巴比倫采用60進(jìn)制是很自然的①．
二、算術(shù)運(yùn)算
　　由于巴比倫從1到59的數(shù)碼都是以1和10或更多一些數(shù)的記號為基本記號結(jié)合而成的，因此，在此范圍內(nèi)的加減法不過是加上或去掉某種記號罷了．
　　巴比倫人對整數(shù)的乘法，采取了“分乘相加”的方法．例如，某數(shù)乘以27，他們先乘20，再乘7，然后把結(jié)果相加，最后得出結(jié)果．他們還造出了一些乘法表．(左邊是巴比倫人的記號，右邊用現(xiàn)代符號表示)
　　巴比倫人在做整數(shù)除以整數(shù)時(shí)，采用了乘以倒數(shù)的方法，并且還造出了倒數(shù)表．
　　巴比倫人研究了數(shù)的平方和開平方、立方和開立方的問題．當(dāng)方根是整數(shù)時(shí)，給出了準(zhǔn)確的值．對于其它方根，由于采用60進(jìn)位制，只能是近似值．并造出了簡單的平方、平方根、立方、立方根表．巴比倫人也曾給出了求a2＋b型的方根近似公式：
　　
　　
數(shù)大．到了希臘時(shí)期，著名數(shù)學(xué)家阿基米德(Archi－medes)、海倫(Heron)創(chuàng)造出了平方后比原數(shù)小的近似公式．
三、代
　　巴比倫人不但具有數(shù)系和數(shù)字運(yùn)算的一些知識，他們也具有處理一般代數(shù)問題的能力．
　　例如：在賽凱萊(Senkereh)出土的古巴比倫(漢穆拉比王朝時(shí)期)的原典AO8862，記載著下面的問題：(用現(xiàn)代語言敘述)
　　一塊長方形土地面積加上長與寬之差為3.3①(即183)，而長與寬之和為27，這塊地的長、寬、面積各幾何？
　　(1)古巴比倫人的解法：(按60進(jìn)制計(jì)算)
27＋3.3=3.30
2＋27=29
29÷2＝14.30
14；30×14；30＝3.30；15
3.30；15-3.30＝0；15
0；15的平方根是0；30
14；30＋0；30=15 (長)
14；30-0；30=14
　　因?yàn)樵瓉硎菍?7加上2，現(xiàn)在應(yīng)從14減2，則寬是14－2= 12
　　故得到，15×12＝3.0(面積)
15-2＝13
3.0＋3＝3.
　　讀者可以辨認(rèn)，以上例題的解法是從6行到29行之間，是用楔形文字書寫的．
　　(2)如果用現(xiàn)代的列二元一次方程組的方法解，則很簡便．
　　設(shè)長為x，寬為y，可列成如下方程組：
　　
　　從AO8862原典的最后一行的結(jié)果看出，x＝15，y＝12是滿足方程組(1)的解的．
　　在前面解題時(shí)，實(shí)際上是用新的寬y'代替原寬y，即：
　　y'=y+2，y=y'-2．
　　使用如上這種代換方法，使問題簡單化了．代換后，可得到新的二元一次方程組：
　　　　
　　把方程組(2)的第1式加到方程組(1)的第2式，可立刻得出(在原典中，清楚地寫著)
　　27+3.3=3.30
　　2+27＝29
　　之后，繼續(xù)解方程組(2)．從上邊的具體問題求解中，我們可以悟出解方程組的一般方法，用現(xiàn)代符號表示，可謂：
　　
　　其解為：
　　
　　
　　巴比倫人求解的各個(gè)步驟是符合解方程組的一般方法的，但是，他們沒有給出求解的一般公式．
　　在巴比倫人利用楔形文字撰寫的原典中，也有解一元二次方程的例子．例如：由兩正方形并組成一個(gè)面積為1000，一正方形邊為另一正方形邊的
　　巴比倫人是按如下方法求解的：(用現(xiàn)代符號表示)
　　設(shè)兩個(gè)正方形邊長分別為x，y．
　　
　　得到一個(gè)正整數(shù)解為：x＝30．
　　以上說明巴比倫人在漢穆拉比時(shí)代已經(jīng)掌握了解二元一次和一元二次方程的方法，但仍然是用算術(shù)方法求解．巴比倫人對簡單的三次和四次方程也求解過．例如在原典中有這樣的題目：一個(gè)立方體，其體積為
　　
長、寬、高分別為x、y、z，體積為V，實(shí)際上是求解方程組
　　解此方程組，涉及算立方根問題，巴比倫人用數(shù)表來求解(見算術(shù)運(yùn)算部分的數(shù)表)．
四、幾何
　　在古巴比倫時(shí)期，常常把幾何問題化為代數(shù)問題來解決．在他們心目中，幾何似乎不占有重要位置．但是，在20世紀(jì)中葉布爾昂(E．M．Buuins)博士和魯達(dá)(M．Rutten)撰寫的《斯薩數(shù)學(xué)書》(Textes mathè matiques de Suse，MèmoiresMission archèol en lran XXXIV，Paris，1961)中，指出了在斯薩出土的古巴比倫的楔形文字原典中，含有求正多邊形和圓的面積的近似公式，說明古巴比倫人對幾何問題也有一定的興趣．
　　例如，在拉爾薩(Larsa)出土的古巴比倫原典VAT8512中，有下面的問題(用現(xiàn)代符號和語言敘述)．
　　已知底邊b＝30的三角形，由平行于底的直線把其分成兩部分，即高分別為h1、h2的梯形F1和三角形F2，且面積F1-F2＝S＝7.0 h2-h1=h＝20，求割線長(x)．
　　由以上條件，可建立如下關(guān)系式：
　　　　
　　由圖2．3可知，比例式
　　h2∶h1=x∶(b-x) (5)
　　成立．
　　根據(jù)以上條件，可解出x，即：
　　
　　
　　
　　由上可知，巴比倫人建立的關(guān)于x，h1，h2的關(guān)系式是正確的．但是，還沒有理由(證據(jù))說明以上是一種純粹代數(shù)的推演．?dāng)?shù)學(xué)史家尤伯爾(P．Huber)對(4)式做了如下解釋(Isis Vol46，p104)：
　　如果在三角形一邊加一個(gè)長為h1＋h2的長方形，拼成一個(gè)上、下底邊長分別為c和a＝c＋b的梯形，延長割線x，把此梯形分成兩部分，如圖2．4其面積差為：
　　(F1-F2)-c(h2-h1)＝s-ch．
　　
的面積分成二等分z，并給出
　　
　　(參考MKT I，p131)可得到(6)式的證明：
　　
　　按照尤伯爾的解釋，以上的解法思路是幾何學(xué)的思想，而不是代數(shù)的．
　　巴比倫人很早就知道畢達(dá)哥拉斯定理(勾股定理)，并能應(yīng)用此定理解決具體的、比較簡單的問題，在古巴比倫的數(shù)學(xué)原典中有記載，并使用了1500年之久，直到賽萊烏科斯王朝時(shí)代(公元前310年以后)的著作中，仍有記載．
　　巴比倫人也會(huì)求棱柱、圓柱、棱臺、圓臺的體積，他們用高乘以兩底面積和的一半的方法進(jìn)行計(jì)算．
五、數(shù)論
　　巴比倫人不僅在代數(shù)中的工作顯得很出色，在算術(shù)中，也不斷推廣研究范圍，在《楔形文字的數(shù)學(xué)書》(Cuneiform Te－xtesmathématigues)中，也記載了一些關(guān)于初等數(shù)論的內(nèi)容，有人認(rèn)為，希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派繼承和發(fā)展了古巴比倫人的工作．
　　巴比倫人能夠求出簡單的級數(shù)和．例如，可求出公比為2的等比級數(shù)的和
　　1＋2＋4＋……＋29＝29＋(29-1)＝210-1．
　　他們還給出了從1到10的整數(shù)平方和，似乎應(yīng)用了下列公式：
　　
　　巴比倫人的代數(shù)中，也含有一些數(shù)論．他們求出了好幾組畢達(dá)哥拉斯三元數(shù)組，還求出了x2＋y2＝2z2的整數(shù)解．
第三節(jié) 巴比倫人對數(shù)學(xué)的應(yīng)用及對數(shù)學(xué)發(fā)展的貢獻(xiàn)
一、巴比倫人對數(shù)學(xué)的應(yīng)用
　　盡管巴比倫人的數(shù)學(xué)知識是粗淺的、有限的，但在他們的生產(chǎn)、生活中的很多方面都應(yīng)用了數(shù)學(xué)．
　　1．巴比倫人把數(shù)學(xué)應(yīng)用到商業(yè)方面．巴比倫位于古代貿(mào)易的通道上，為便于商品交換、發(fā)展經(jīng)濟(jì)，他們用簡單的算術(shù)和代數(shù)知識測量長度和重量，來兌換錢幣和交換商品，計(jì)算單利和復(fù)利，計(jì)算稅額以及分配糧食，劃分土地和分配遺產(chǎn)等等．
　　2．把數(shù)學(xué)應(yīng)用到興修水利上．巴比倫人應(yīng)用數(shù)學(xué)知識計(jì)算挖運(yùn)河、修堤壩所需人數(shù)和工作日數(shù)，也把數(shù)學(xué)應(yīng)用到測定谷倉和房屋的容積，計(jì)算修筑時(shí)所需用的磚數(shù)等．
　　3．把數(shù)學(xué)應(yīng)用到天文研究方面．大約在亞述時(shí)代(公元前700年左右)開始用數(shù)學(xué)解決天文學(xué)的實(shí)際問題．在公元前3世紀(jì)之后，用數(shù)學(xué)知識來計(jì)算月球和行星的運(yùn)動(dòng)，并通過記錄的數(shù)據(jù)，確定太陽和月球的特定位置和虧蝕時(shí)間．
　　也應(yīng)該注意到，巴比倫人觀察天文現(xiàn)象，直接得出了作為以后三角學(xué)的基礎(chǔ)概念．當(dāng)時(shí)巴比倫人觀察在天空中運(yùn)行的星體，看它們在夭空中的位移情況．他們把天空看作半球面，因此測量不是在平面上，而必須是在球面上進(jìn)行的．鑒于此，巴比倫人較早考察的是球面三角的概念，而不是平面三角的概念．
　　也應(yīng)該指出，在古巴比倫時(shí)期，當(dāng)產(chǎn)生各種科學(xué)領(lǐng)域基本概念的同時(shí)，假科學(xué)也獲得了發(fā)展．這種假科學(xué)與天文學(xué)、數(shù)學(xué)都有密切的關(guān)系，它們阻礙了數(shù)學(xué)的發(fā)展．這種假科學(xué)主要指星相術(shù)和數(shù)的神秘論．
　　星相術(shù)認(rèn)為單個(gè)人的生活和整個(gè)人類社會(huì)，都依賴于天空中的行星相互間的排列．即行星在人的生活中有“影響”，并且把它們崇拜為神．由此，他們作出了進(jìn)一步的結(jié)論，由行星在天空中的相互排列，在一個(gè)人出生時(shí)就能夠預(yù)言他將來的命運(yùn)如何．這種星相術(shù)又從巴比倫傳播到其他民族，阻礙了科學(xué)的發(fā)展．
　　巴比倫人也曾把“數(shù)”神秘化．例如，當(dāng)巴比倫人崇拜三個(gè)天體(太陽、月亮、金星)時(shí)，數(shù)碼3便被看作“幸福的”．更晚一些時(shí)間，當(dāng)已經(jīng)崇拜7個(gè)天體時(shí)，數(shù)7就被當(dāng)作“幸福的”．實(shí)際上，許多民族都賦予數(shù)3和7以神秘的意義．總之，星相術(shù)和數(shù)的神秘化，阻礙了人類的正確認(rèn)識的發(fā)展．
二、古巴比倫人對數(shù)學(xué)發(fā)展的貢獻(xiàn)
　　巴比倫人從遠(yuǎn)古時(shí)代開始，已經(jīng)積累了一定的數(shù)學(xué)知識，并能應(yīng)用于解決實(shí)際問題．從數(shù)學(xué)本身看，他們的數(shù)學(xué)知識也只是觀察和經(jīng)驗(yàn)所得，沒有綜合結(jié)論和證明，但是，也要充分認(rèn)識他們對數(shù)學(xué)所做出的貢獻(xiàn)．
　　1．在算術(shù)方面，他們對整數(shù)和分?jǐn)?shù)有了較系統(tǒng)的寫法，在記數(shù)中，已經(jīng)有了位值制的觀念，從而把算術(shù)推進(jìn)到一定的高度，并用之于解決許多實(shí)際問題，特別是天文方面的問題．
　　2．在代數(shù)方面，巴比倫人用特殊的名稱和記號來表示未知量，采用了少數(shù)幾個(gè)運(yùn)算記號，解出了含有一個(gè)或較多個(gè)未知量的幾種形式的方程，特別是解出了二次方程，這些都是代數(shù)的開端．巴比倫人能夠求解的方程類型可簡略歸納如下：
　　ax＝b，x2＝a，x2+ax＝b，x2-ax＝b，x3=a，x2(x+1)＝a．
　　在解決實(shí)際問題中，他們能夠通過算術(shù)運(yùn)算方法解二元一次方程組，例如以下幾種類型：
　　3．在幾何方面，巴比倫人認(rèn)識到了關(guān)于平行線間的比例關(guān)系和初步的畢達(dá)哥拉斯定理，會(huì)求出簡單幾何圖形的面積和體積，并建立了在特定情況下的底面是正方形的棱臺體積公式
　　4．在天文學(xué)方面，他們已有一系列長期觀察記錄，并且已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了許多準(zhǔn)確性很高的天文學(xué)周期．他們計(jì)算月球和行星的運(yùn)動(dòng)，給出天體在不同時(shí)期所處位置的數(shù)表，并計(jì)算天文歷書等．
　　綜上，可以看出巴比倫人對初等數(shù)學(xué)的幾個(gè)方面都有一定貢獻(xiàn)．但是，他們對圓面積度量時(shí)，常取π＝3，計(jì)算結(jié)果不如古埃及人精確．
第三章 希臘數(shù)學(xué)
　　著名數(shù)學(xué)史家克萊因(M．Kline)在其名著《古今數(shù)學(xué)思想》中指出，希臘人在文明史上首屈一指，在數(shù)學(xué)史上至高無上．他們雖然也取用了周圍其他文明世界的一些東西，但希臘人創(chuàng)造了他們自己的文明和文化，這是一切文明中最宏偉的，是對現(xiàn)代西方文化的發(fā)展影響最大的……．
第一節(jié) 古希臘數(shù)學(xué)產(chǎn)生的背景及研究依據(jù)
　　正當(dāng)數(shù)學(xué)面臨著積累起來的大量資料，有待于整理、創(chuàng)新，使之條理化、系統(tǒng)化時(shí)，首先把這些零散的數(shù)學(xué)知識經(jīng)過歸納、提煉、開拓、發(fā)展并著書立說的民族是希臘人．他們開始嘗試對命題的證明，對今日數(shù)學(xué)的奠基起到了十分重要的作用．正如M．克萊因所說：“數(shù)學(xué)作為一門有組織的、獨(dú)立的和理性的學(xué)科來說，在公元前600到300年之間的古典希臘學(xué)者登場之前是不存在的．”(《古今數(shù)學(xué)思想》)
一、古希臘數(shù)學(xué)產(chǎn)生、發(fā)展的背景
　　數(shù)學(xué)在希臘的發(fā)展，有其社會(huì)原因．古代希臘人定居在小亞細(xì)亞，即歐洲大陸上如今希臘所在地區(qū)以及意大利南部，西西里(Sicily)，克里特(Crete)，羅德斯(Rhodes)，第羅斯(De－los)和北非等地區(qū)．當(dāng)時(shí)，希臘為奴隸社會(huì)，早期進(jìn)行了一系列變革，使之變得比較完善，比較先進(jìn)．馬克思把她比喻為“發(fā)育正常的小孩”．恩格斯也指出，這種奴隸制“使農(nóng)業(yè)和工業(yè)之間的更大規(guī)模的分工成為可能，從而為古代文化的繁榮，即為希臘文化創(chuàng)造了條件．沒有奴隸制，就沒有希臘國家，就沒有希臘的藝術(shù)和科學(xué)，……”．因此，社會(huì)的變革，對希臘文化的發(fā)展，起到了非常重要的作用．
　　希臘人大約在公元前775年左右實(shí)施了文字改革，把他們用過的各種象形文字書寫系統(tǒng)改換成腓尼基人的拼音字母．采用了拼音字母之后，希臘人變得更加通文達(dá)理，更有能力和條件來記載他們的歷史和思想，也更有利于進(jìn)行數(shù)學(xué)邏輯運(yùn)算和推演了．
　　希臘是埃及、巴比倫的鄰國．地理位置為希臘人游訪埃及、巴比倫，并與之貿(mào)易往來創(chuàng)造了方便條件．通過這些往來活動(dòng)，使希臘人有機(jī)會(huì)了解、學(xué)習(xí)埃及人、巴比倫人創(chuàng)造的數(shù)學(xué)．例如，被譽(yù)為希臘哲學(xué)、數(shù)學(xué)和科學(xué)的誕生地——小亞細(xì)亞、愛奧尼亞(Ionia)地區(qū)的米利都(Miletus)濱臨地中海，來自希臘本土、腓尼基和埃及的船舶都駛進(jìn)它的港口，并有隊(duì)商大道與巴比倫相通．
　　古代希臘形成了多個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)派，他們的活動(dòng)和研究，對數(shù)學(xué)的發(fā)展和傳播是有重要作用的．古希臘數(shù)學(xué)延續(xù)了1000年左右，這在數(shù)學(xué)發(fā)展史上也是屈指可數(shù)的幾個(gè)國家之一．
二、研究古希臘數(shù)學(xué)的主要依據(jù)
　　在歷史上，希臘曾遭受過波斯人的侵略，使希臘人受到不少磨難，文化活動(dòng)中心發(fā)生轉(zhuǎn)移和改變，記載數(shù)學(xué)書籍和文獻(xiàn)也被破壞．
　　現(xiàn)在研究希臘數(shù)學(xué)，主要依據(jù)是拜占庭的希臘文的手抄本，這是在希臘原著寫成后500年到1500年之間錄寫成的．其原因是，希臘的原文手稿沒有保存下來(由紙草書寫成易于毀壞，加之希臘的大圖書館毀于兵燹)．
　　希臘數(shù)學(xué)的抄錄本，可能做了若干修改．例如，我們雖無希臘人海倫(Heron)的手稿，但我們知道他對歐幾里得《幾何原本》做了若干改動(dòng)．他給出了不同的證明，添補(bǔ)了一些定理的新例子和逆定理．就是希恩自己也提到，他改動(dòng)了《幾何原本》的若干部分．
　　另外，研究希臘數(shù)學(xué)還要依靠兩批評述本，其一是帕波斯(Pappus，公元3世紀(jì))撰寫的《數(shù)學(xué)匯編》(Sgnagoge或Mathematical Collection)；其二是普羅克洛斯(Proclus，410---485)撰寫的．《評述》(Commentary)．這是研究希臘數(shù)學(xué)史的兩部重要史料．
　　要從如上資料中，把希臘數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史整理出來，是一項(xiàng)浩繁而復(fù)雜的工作，由于學(xué)者們的艱苦努力，已經(jīng)基本弄清希臘數(shù)學(xué)的基本史實(shí)．但是，有些結(jié)論也有爭議，可望在深入研究和探索中，進(jìn)一步澄清史實(shí)．
第二節(jié) 創(chuàng)建學(xué)派，師徒相傳
　　古希臘數(shù)學(xué)是在先后相繼幾個(gè)中心地點(diǎn)發(fā)展起來的，每個(gè)中心地點(diǎn)，總是由一兩個(gè)偉大學(xué)者組織成群的學(xué)者開展學(xué)術(shù)活動(dòng)，為數(shù)學(xué)大廈的筑起添磚加瓦．用現(xiàn)在的語言描述，乃為創(chuàng)建學(xué)派，師徒相傳，推動(dòng)數(shù)學(xué)的發(fā)展與傳播．
一、愛奧尼亞學(xué)派
　　這個(gè)學(xué)派是由泰勒斯(Thales，約公元前625---前547)創(chuàng)建的．泰勒斯早年跟隨父親從商，由于貿(mào)易往來，有機(jī)會(huì)游訪埃及、巴比倫等國家和地區(qū)，在游訪期間，被當(dāng)時(shí)興旺發(fā)達(dá)的文化所吸引，萌發(fā)興趣，開始傾心學(xué)習(xí)和研究天文、幾何知識．被譽(yù)為“古希臘七賢人”之首．
　　數(shù)學(xué)與哲學(xué)聯(lián)系，尤其是在古代，很多數(shù)學(xué)家都懂得一定的哲學(xué)知識，正像我國古代的數(shù)學(xué)家一般都懂得歷法知識一樣，泰勒斯也是一位哲學(xué)家．在他的學(xué)說里，首次對自然界進(jìn)行脫離宗教的解釋，他認(rèn)為水是萬物之源，一切都是由水形成的，一切事物的本質(zhì)都依水的狀態(tài)而改變．結(jié)論是，植物的生命保存在它的汁液里，因?yàn)橹参锔稍锪司蜁?huì)死；動(dòng)物的生命保存在血液里，甚至火焰也要吸取濕潤．
　　根據(jù)現(xiàn)存原典史料證明，泰勒斯是古希臘的第一位天文學(xué)家．由于他準(zhǔn)確地預(yù)言公元前585年5月28日的日食時(shí)間，使泰勒斯名聲大振．據(jù)說古代兩個(gè)奴隸制國家交戰(zhàn)，5年未見勝負(fù)，泰勒斯揚(yáng)言上天要制止戰(zhàn)爭，以某月某日必日食來作警告．果然到了那一天，兩軍正在酣戰(zhàn)不停，突然太陽失去光輝，百鳥歸巢，明星閃爍，白晝頓成黑夜．雙方士兵將領(lǐng)大為恐懼，于是停戰(zhàn)和好，后來兩國還互通婚姻．
　　泰勒斯創(chuàng)建的學(xué)派---愛奧尼亞學(xué)派對數(shù)學(xué)的發(fā)展起到了很大作用，尤其對幾何學(xué)的發(fā)展，起到的作用更大．有人認(rèn)為泰勒斯是數(shù)學(xué)歷史上第一位幾何學(xué)家．
　　根據(jù)歐幾里得《幾何原本》第一卷的注釋者普羅克洛斯記載的史料，充分說明了泰勒斯學(xué)派確立和證明了為人們所公認(rèn)的第一批幾何定理．這種記載源于希臘數(shù)學(xué)史家歐德莫斯(Eude－mus of Rhodes，約公元前335年)所著《幾何學(xué)史》，遺憾的是這部著作已經(jīng)失傳．
　　根據(jù)普羅克洛斯記載，泰勒斯至少證明了如下幾個(gè)命題：
　　(1)圓被任一直徑所平分．[Proklus：S．275(F．157；V．139)]
　　(2)等腰三角形的兩底角相等．在古代，曾把角相等稱作“相似”(Similar)．[Proklus S．341(F．250；V．216)]
　　(3)兩條直線相交，對頂角相等．[Proklus S．374(F．299；V．255)]
　　(4)兩個(gè)三角形兩角與所夾邊對應(yīng)相等，則兩個(gè)三角形全等．有人證實(shí)泰勒斯曾利用這條定理測定海上兩船間的距離．[Proklus S．409(F．352；V．300)]
　　泰勒斯是用如下簡單的方法測量的：
　　假設(shè)：A，B是兩條船，可望不可及．在岸上引AC垂直于AB，D是AC的中點(diǎn)，過C點(diǎn)向AB相反方向，引CE垂直于CA(使B，D，E在同一條直線上)這時(shí)，CE和AB距離相等，CE是可直接測量的．
　　根據(jù)希臘歷史學(xué)家普魯塔克(Plutarch，約46---120)的記載，泰勒斯曾應(yīng)用兩個(gè)等角三角形對應(yīng)邊成比例的定理，測出金字塔的高度．具體作法是將一根標(biāo)桿豎立在平地上，利用塔影長與標(biāo)桿影長的比，等于塔高與標(biāo)桿高的比，來算出塔高．也有的學(xué)者說泰勒斯是根據(jù)當(dāng)標(biāo)桿影長和標(biāo)桿長相等時(shí)，塔高與塔影也相等的道理推得的．有人認(rèn)為這兩種說法都有不妥之處．
　　根據(jù)有的史料記載，泰勒斯還發(fā)現(xiàn)了“半圓上的圓周角都是直角”的命題，但是，也有的史料指出了這個(gè)命題在巴比倫的數(shù)學(xué)中已經(jīng)出現(xiàn)了，它與計(jì)算弦到圓心的距離有關(guān)系．而其證明應(yīng)屬泰勒斯．
　　從以上可以看出，泰勒斯學(xué)派并不滿足于知其然，還要追求所以然的道理．他邁出了對數(shù)學(xué)命題證明的關(guān)鍵一步，為平面上線與角的理論奠定了基礎(chǔ)，把科學(xué)的方法滲透于數(shù)學(xué)真理之中，載入數(shù)學(xué)史冊．這標(biāo)志著人們對客觀事物的認(rèn)識從感性上升到理性，這在數(shù)學(xué)發(fā)展史上也是一個(gè)重要飛躍．因?yàn)閿?shù)學(xué)中的邏輯證明，能保證命題的正確性，使理論立于不敗之地，令人深信不疑，也能揭示出各定理間的內(nèi)在聯(lián)系，使數(shù)學(xué)構(gòu)成嚴(yán)密的體系．
二、畢達(dá)哥拉斯學(xué)派
　　這個(gè)學(xué)派是以貴族式的觀念形態(tài)作為基礎(chǔ)，與在當(dāng)時(shí)撒摩斯島(Samos，現(xiàn)土耳其西岸小島)的古希臘民主制的觀念形態(tài)，形成尖銳的對立，是具有神秘色彩的組織．領(lǐng)頭人畢達(dá)哥拉斯(Pythagoras，約公元前572---前501)生于撒摩斯島．關(guān)于畢達(dá)哥拉斯本人有很多傳說，甚至很難判斷哪些傳說是符合實(shí)際的，哪些是虛構(gòu)的．就連他的生卒年月也很難確定．
　　畢達(dá)哥拉斯年輕時(shí)期，游歷了很多地方，特別是游訪古埃及和古巴比倫等地，學(xué)習(xí)了一些數(shù)學(xué)知識，大約在公元前530年回國，開始組建學(xué)派．這個(gè)學(xué)派的主張和觀念曾引起撒摩斯公民的不滿情緒，畢達(dá)哥拉斯為了避開人們的輿論，只好離開自己出生的本土，逃往希臘的移民區(qū)阿佩寧半島，并定居在克羅托那(Crotona)城，重新建立學(xué)派．由于畢達(dá)哥拉斯參與政治活動(dòng)，后來被殺害．他死后，其門徒散居到希臘其他學(xué)術(shù)中心，繼續(xù)傳授他的教誨，達(dá)200年之久．
　　畢達(dá)哥拉斯首先研究了數(shù)學(xué)的抽象概念，希臘學(xué)者亞里士多德曾說，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派把數(shù)看作是真實(shí)物質(zhì)對象的終極組成部分．?dāng)?shù)不能離開感覺到的對象而獨(dú)立存在，即早期畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為一切對象由(整)數(shù)組成，或者說數(shù)乃宇宙的要素．因?yàn)樗麄冃哪恐械臄?shù)就如同我們心目中的原子一樣，把數(shù)看作是現(xiàn)實(shí)的本源，是嚴(yán)謹(jǐn)性和次序性的根據(jù)，是在宇宙體系里控制著天然的永恒關(guān)系，企圖用數(shù)來解釋一切．甚至認(rèn)為萬物都包含數(shù)(整數(shù))，且萬物也都是數(shù)(整數(shù))．對周圍觀察到的現(xiàn)象，也都是用數(shù)的關(guān)系來說明．例如，當(dāng)聽到悅耳的音樂時(shí)，覺察到“和聲”諧音，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為只能用3根弦才能發(fā)出此音，其長度之比為3∶4∶6，并在很多場合，也都發(fā)現(xiàn)這種比例關(guān)系，立方體的面數(shù)、頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)的比為6∶8∶12．
　　由于畢達(dá)哥拉斯學(xué)派賦予數(shù)如此重大的意義，因此，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派非常注意研究數(shù)，也就是開始研究數(shù)的理論，研究數(shù)的性質(zhì)，而注重實(shí)際的計(jì)算．
　　畢達(dá)哥拉斯學(xué)派首先使用了更加方便的記數(shù)系統(tǒng)，采用了腓尼基人所用的希臘字母表中的字母并增加某些腓尼基的字母來表示數(shù)．現(xiàn)僅舉數(shù)碼1---9的表示法(為了把數(shù)與字母區(qū)分開，在字母的上面畫一橫線)．
　　畢達(dá)哥拉斯學(xué)派還依據(jù)幾何和哲學(xué)的神秘性來對“數(shù)”進(jìn)行分類，按照幾何圖形分類，可分成“三角形數(shù)”；“正方形數(shù)”；“長方形數(shù)”；“五角形數(shù)”等等．如圖3．2
　　實(shí)際上，以上各種類型的象形數(shù)，可從等差級數(shù)和導(dǎo)出來．
　　
　　1＋3＋5＋……＋(2n-1)=n2 (正方形數(shù))
　　2＋4＋6＋……＋2n=n(n＋1) (長方形數(shù))
　　
　　例如，正方形數(shù)的圖形可分為小正方形和曲尺形(gnomon)，反復(fù)分割，小正方形內(nèi)一點(diǎn)和曲尺形內(nèi)點(diǎn)的和，即是奇數(shù)系列之和：1+3+5+……
　　畢達(dá)哥拉斯學(xué)派還把“數(shù)”分成“完全數(shù)”和“相親數(shù)”．如果一個(gè)數(shù)除其本身外的所有因數(shù)的和等于這個(gè)數(shù)，那么這個(gè)數(shù)就叫“完全數(shù)”．例如，6是完全數(shù)，因?yàn)樗拿總€(gè)因數(shù)之和為6，即：6＝1＋2＋3．若兩個(gè)數(shù)中每個(gè)數(shù)的因數(shù)的和等于另一個(gè)數(shù)，這兩個(gè)數(shù)叫做“相親數(shù)”．按此定義，220和284是相親數(shù)．因?yàn)?20的因數(shù)之和為：1＋2＋4＋5＋10+11+20＋22＋44＋55＋110＝284，而284的各因數(shù)之和為：1＋2＋4＋71＋142=220．畢達(dá)哥拉斯學(xué)派還聲稱：“誰是我的朋友，就應(yīng)該像數(shù)220和284一樣．”
　　畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)了著名的“勾股定理”．但是，在什么情況發(fā)現(xiàn)的？怎樣證明的？說法不盡一致．普羅克洛斯在注釋歐幾里得《幾何原本》第1卷題47時(shí)，說得也不明確，指出在古代歷史上有各種傳說，據(jù)說這個(gè)定理是畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)的，畢達(dá)哥拉斯為了慶賀自己的業(yè)績，殺了一百頭牛．普洛塔克(Plutarch，約46---120)也有類似的說法，指出畢達(dá)哥拉斯是用填加面積的方法證明“勾股定理”的．
　　在直角三角形中，二條直角邊分別為a，b，斜邊長為c，以a＋b為一邊畫正方形，這樣，在此正方形中，含4個(gè)直角三角形、一個(gè)以a為邊的正方形和一個(gè)以b為邊的正方形，如圖3．4(a)
　　另外，再畫一個(gè)以a＋b為邊長的正方形，如圖3．4(b)經(jīng)過分割，這個(gè)正方形含有4個(gè)直角三角形和1個(gè)邊長為c的正方形．因?yàn)閮蓚€(gè)正方形(即(a)和(b))面積相等，各減去同樣的4個(gè)直角三角形的面積，立刻得到：
a2＋b2＝c2．
　　畢達(dá)哥拉斯學(xué)派通過“勾股定理”揭示了直角三角形三邊之間的關(guān)
度，其“證明方法”用現(xiàn)代符號可敘述為：
　　
于是根據(jù)畢達(dá)哥拉斯定理得：p2＝2q2．由于p2是偶數(shù)，p必為偶數(shù)
p既然是偶數(shù)，可設(shè)p＝2α，于是p2＝4α2=2q2．因此，q2＝2α2，這樣，q2是偶數(shù)，于是q也是偶數(shù)，但q同時(shí)又是奇數(shù)，產(chǎn)生矛盾．
　　實(shí)際上，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派發(fā)現(xiàn)“勾股定理”之后，很容易過渡到對新數(shù)---無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，但畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為這違背了他們的信條(世界上一切都是由整數(shù)和整數(shù)之比構(gòu)成)，相傳畢達(dá)哥拉斯學(xué)派成員在海上游玩，把無理數(shù)的宣傳者希帕索斯(Hippa－sus，約公元前5世紀(jì))推到波濤洶涌的大海里．希臘人稱不可公度量之比為αλoγos(algos，意即不能表達(dá))，當(dāng)時(shí)，人們都在回避這種量，導(dǎo)致了數(shù)學(xué)史上的第一次危機(jī)．
　　畢達(dá)哥拉斯學(xué)派還研究了關(guān)于正多邊形和正多面體的作圖問題，尤其是首先完成了正五邊形的作圖，為解決正多邊體的作圖問題奠定了基礎(chǔ)．畢達(dá)哥拉斯學(xué)派曾作出了當(dāng)時(shí)所有可能的正多面體：具有4個(gè)等邊三角形面的正四面體，具有8個(gè)等邊三角形面的正八面體，由20個(gè)正三角形圍成的正二十面體，由6個(gè)正四邊形圍成的正六面體，由12個(gè)正五邊形圍成的正十二面體．畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為這些都是“宇宙圖形”，將四面體稱為火；八面體稱為氣；二十面體稱為水；六面體稱為土；十二面體稱為宇宙．他們認(rèn)為在整個(gè)幾何體中最優(yōu)美的是球．
　　畢達(dá)哥拉斯學(xué)派在對數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)中，不斷追求“美”的形式．他們認(rèn)為日、月、五星都是球形，浮懸在太空中，這是最完美的立體，而圓是最完美的平面圖．就是曾被譽(yù)為“巧妙的比例”，并染上各種各樣瑰麗詭秘色彩的“黃金分割”也是這個(gè)學(xué)派首先認(rèn)識到的．
　　綜上，使我們認(rèn)識到，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派對于研究解決數(shù)學(xué)問題的方法，發(fā)揮了很大作用．他們規(guī)定在數(shù)學(xué)中必須堅(jiān)持嚴(yán)格證明，對數(shù)學(xué)的發(fā)展具有特殊意義．
三、詭辯學(xué)派
　　“詭辯”(Sophism σóφτσμα)一詞含“智慧”之意，詭辯學(xué)派也譯作“哲人學(xué)派”或“智人學(xué)派”．
　　詭辯學(xué)派主要是以講授修辭學(xué)、雄辯術(shù)、文法、邏輯、數(shù)學(xué)、天文等科為職業(yè)，也經(jīng)常出入群眾集會(huì)場所，發(fā)表應(yīng)時(shí)的演說等，其代表人物是普洛塔哥拉斯(Protagoras，約公元前481---前411)，哥爾基亞(Gorgias，約公元前487---前380)安蒂豐(Antiphon，公元前480？---前411)等．
　　值得注意的是，數(shù)學(xué)歷史中著名的“三大幾何難題”的研究始于詭辯學(xué)派．“三大幾何難題”雖然不能精確求解，對其研究和探索，卻引出了大量的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)．
　　(1)倍立方問題，即求作一立方體，使其體積是一已知立方體的2倍．
　　關(guān)于這個(gè)問題的產(chǎn)生眾說紛紜其中有一種說法是，在第羅斯(Delos)島上，瘟疫不斷蔓延，島上的人求教于巫神，巫神告訴他們應(yīng)把現(xiàn)有立方祭壇加倍．這就產(chǎn)生了“倍立方問題”，也稱“第羅斯問題”．
　　這個(gè)問題，實(shí)際上是已知立方體的邊長為a，求作邊長為x的立方
　　詭辯學(xué)派試圖利用直尺(沒有刻度)和圓規(guī)作出圖形，據(jù)說希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的希波克拉底(Hippokrates，約公元前470---前430)曾把倍立方問題歸結(jié)為求線段a與2a之間的兩個(gè)等比例中項(xiàng)，不妨用現(xiàn)代數(shù)學(xué)符號表示，設(shè)：x，y為兩個(gè)比例中項(xiàng)，有：
　　a∶x＝x∶y＝y(tǒng)∶2a
　　∵a∶x=x∶y 則：x2=ay (1)
　　∵x∶y＝y(tǒng)∶2a 則：y2=2ax (2)
　　由(1)和(2)，消掉y，則：x4=2a3x，∴x3＝2a3即為所求．
　　雖然希波克拉底沒能根據(jù)所謂“幾何作圖法”(只用沒有刻度的直尺和圓規(guī)，分別只能畫直線和圓)求出x、y，但是他把立體問題轉(zhuǎn)化到平面中來解決，這種思考方法是難能可貴的，是希波克拉底的重要貢獻(xiàn)，為后人用二個(gè)矩(直角尺)作出a與2a兩個(gè)等比中項(xiàng)奠定了基礎(chǔ)．
　　倍立方問題雖然不能精確求解，但希臘人對它的研究與探索，推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)．例如，門奈赫莫斯(Menaechmus，約公元前4世紀(jì)中葉)給出了這個(gè)問題的兩種解法，由此發(fā)現(xiàn)了圓錐曲線．下邊簡述門奈赫莫斯的解法：
　　① 作兩條有公共頂點(diǎn)的、其軸互相垂直的拋物線，并且使得其中一個(gè)的正焦弦為另一個(gè)的2倍．設(shè)x表示從兩條拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)向較小的拋物線的軸所作垂線之長．于是，以x為邊的立方體的體積等于以較小的正焦弦為邊的立方體的體積的2倍．(用現(xiàn)代解析幾何證明這種作圖法是正確的．)
　　② 作一正焦弦為s的拋物線，然后作一橫截軸等于4s且以拋物線之軸為其漸近線的等軸雙曲線，并且過拋物線頂點(diǎn)作其切線．設(shè)x為從兩條曲線的交點(diǎn)向拋物線的軸所作垂線之長，則x3＝2s3．(用現(xiàn)代解析幾何證明這種作圖法是正確的．)
　　另外，狄俄克利斯(Diocles，公元前2世紀(jì))在解決這個(gè)問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)了蔓葉線．
　　(2)任意角三等分問題
　　按希臘時(shí)期幾何作圖法的要求，①直尺只能做連結(jié)兩點(diǎn)的直線之用；②圓規(guī)只能做畫圓之用，不許作分度計(jì)或量長度之用．在這兩個(gè)條件限制下，任意角三等分是不可能的．
　　希臘學(xué)者把任意角三等分問題歸結(jié)為斜向問題，對它研究與探索，發(fā)現(xiàn)了蚌線等等．
　　如果沒有幾何作圖法的限制，任意角三等分問題當(dāng)然可以解決，三等分法有幾十種之多，不妨舉兩個(gè)例子．
　　如圖3．6所示，首先將直尺三等分，分點(diǎn)是D和E，取直尺DR過B點(diǎn)垂直于PQ，垂足是D．以DQ為直徑，E為圓心畫半圓，與BC邊相切于F．△BPE是等腰三角形，BD⊥PE，∴∠PBD＝∠DBE，另外，BD和BF是從圓外一點(diǎn)B引出的兩條切線，則∠DBE＝∠EBF．所以，∠PBD=∠DBE=∠EBF，這便將∠ABC三等分了．
　　如圖3．7，在已知∠ABC的一邊AB上，取一點(diǎn)D，引DE垂直于BC，DF平行于BC，取一直尺，上面刻上三點(diǎn)P，Q，R，且PQ＝QR＝DB，直尺通過點(diǎn)B(DE過點(diǎn)P，DF過點(diǎn)R)，由此，△PDR是直角三角形，且Q是斜邊PR之中點(diǎn)，PQ＝DQ=RQ，∴∠DQB＝2∠BRD，又∵PQ＝QR＝DB，∴DQ＝DB，∴∠DQB＝∠DBQ．另外，DF∥BC，∴∠BRD＝∠RBC，故∠DBQ＝2∠RBC，直線BR是∠ABC的三等分線．
　　上面二種作法都能將任意角三等分，但是，已經(jīng)突破了希臘時(shí)期的“初等幾何作圖法”的要求．
　　若用代數(shù)思想解釋這兩個(gè)古老問題，也是很清晰的．實(shí)際上，倍立方和任意角三等分問題，都是屬于求解三次方程問題．直尺畫出的直線可表示為一次方程
ax＋by＋c＝0
　　而用圓規(guī)畫圓，其方程可表示為二次方程
x2+y2＋ax+by+c=0
　　僅用直線和圓構(gòu)成的圖形是不能求解三次方程的．因此，用初等作圖法解決如上兩個(gè)問題是不可能的．
　　(3)化圓為方問題．即：求作一正方形，使其面積等于一已知圓．
　　遠(yuǎn)在公元前1800年，古代埃及人就取正方形的邊長等于給定圓的直 
　　希臘時(shí)期的希波克拉底(Hippocrates)成功地求出了某些特殊的由兩個(gè)圓弧圍成的月形面積，當(dāng)然沒有解決化圓為方問題，但確實(shí)解決了一個(gè)有關(guān)的問題．設(shè)ABC是一等腰三角形(圖3．8)，并設(shè)它內(nèi)接于中心為O的半圓，設(shè)AEB是以AB為直徑的半圓．則有：半圓ABC的面積∶半圓AEB的面積E＝AC2∶AB2＝2∶1，所以，OADB的面積等于半圓AEB的面積．現(xiàn)在把兩者的公共面積ADB去掉，則有月牙形(陰影部分)的面積等于三角形AOB的面積．
　　上邊的例子說明希波克拉底從探索曲邊形面積與直邊形面積相等的思路，試圖來解決“化圓為方”的問題．
　　希波克拉底另一個(gè)月形求積問題是，設(shè)ABCD等于以AD為直徑的圓的內(nèi)接正六邊形的一半．作該圓與以AB為直徑的半圓之間的月形．試證明：梯形ABCD的面積等于該月形面積的3倍加上以AB為直徑的半圓的面積．
　　若取消作圖工具的限制，“化圓為方”問題也是可以解決的．歐洲文藝復(fù)興時(shí)代的大師達(dá)·芬奇(L．Davinci，1452---1519)曾創(chuàng)建用圓柱來解決化圓為方問題的巧妙方法．取一圓柱，使底和已知圓相等，高是半徑之半，將這圓柱在平面上滾動(dòng)一周，產(chǎn)生一個(gè)矩形，使矩形的形．
　　2000多年來，“三大幾何難題”顯現(xiàn)出經(jīng)久不息的魅力，無數(shù)具有聰明才智的有志之士曾做出不懈的努力，都未如愿以償．直到1637年，法國數(shù)學(xué)家笛卡兒(Descartes，1596---1650)創(chuàng)建解析幾何，尺規(guī)作圖的可能性才有了準(zhǔn)則．1837年，數(shù)學(xué)家凡齊爾(P．L．Wantzel，1814---1848)給出了“倍立方”，“任意角三等分”不可能性的證明．1882年，數(shù)學(xué)家林德曼(F．Lindemann，1852---1939)證明π的超越性，“化圓為方問題”的不可能也得以確立．1895年，克萊因(F．Kline，1849---1925)給出了三大幾何難題不可能用“初等幾何作圖法”解決的簡單而明晰的證明，徹底解決了2000多年的懸案．
　　值得注意的是，隨著人們對“幾何三大難題”的研究，激發(fā)了人們對數(shù)學(xué)新概念的研究和探索，例如，對圓錐曲線，三、四次代數(shù)曲線及割圓曲線等等的發(fā)現(xiàn)，就是在尋求解決“幾何三大難題”中應(yīng)刃而生的．對數(shù)學(xué)理論的發(fā)展，也是有重要作用的．譬如，在對“化圓為方”的研究中，希臘學(xué)者安蒂豐先作圓內(nèi)接正方形，將邊數(shù)加倍，得內(nèi)接正八邊形，再加倍，得正十六邊形，這樣繼續(xù)下去，最后的正多邊形必與圓周相合．也就是多邊形與圓的“差”必會(huì)“窮竭”，于是可以化圓為方了．結(jié)論雖然是錯(cuò)誤的，但提出了一種有重要價(jià)值的“窮竭法”，它是近代極限理論的雛形．
四、厄勒亞學(xué)派
　　這個(gè)學(xué)派主要活動(dòng)在厄勒亞(Elea，意大利的南um耑)地區(qū)，主要代表人物是芝諾(Zeno約公元前496---430)．他首次用量的觀點(diǎn)揭示運(yùn)動(dòng)中的矛盾，提出了4個(gè)違背運(yùn)動(dòng)常識的悖論．芝諾提出4個(gè)悖論的目的尚需進(jìn)一步探索．而其背景是，當(dāng)時(shí)人們對空間和時(shí)間有兩種對立的看法：一種認(rèn)為空間和時(shí)間無限可分，這樣，運(yùn)動(dòng)則是連續(xù)而平滑的；另一種認(rèn)為空間和時(shí)間是由不可分的小段組成的，這樣，運(yùn)動(dòng)則是一連串的小跳動(dòng)．芝諾的悖論是針對這兩種理論的，他的關(guān)于運(yùn)動(dòng)的4條悖論的前兩條是反對第一種學(xué)說的，而后兩條是反對第二種學(xué)說的．我們不妨簡略地考察一下4條悖論．
　　(1)二分法說(dichotomy)：認(rèn)為運(yùn)動(dòng)不存在，因?yàn)橐粋€(gè)物體從A到B，首先要通過AB距離的一半，但要通過一半，必須通過一半的諾認(rèn)為此物體永遠(yuǎn)不能到達(dá)B地．
　　也有人把芝諾的悖論理解為：要通過有限長度就必須通過無窮多的點(diǎn)，這就意味著必須到達(dá)沒有終點(diǎn)的某種東西的終點(diǎn)．
　　(2)追龜說：據(jù)說在希臘有一位快走如飛的阿基里斯(A－chilles)，芝諾認(rèn)為他永遠(yuǎn)追不上步履遲鈍的龜．譬如說，阿基里斯以10倍的速度追逐距離他100米處爬行的龜．當(dāng)阿基里斯走100米時(shí)，龜爬了10米，
米，這樣永遠(yuǎn)相隔1小段距離，所以，總也追不上．
　 實(shí)際上，這個(gè)問題用極限方法可以馬上得出結(jié)論．他(它)們走過何處阿基里斯能追逐到龜，可從下列式子得出：
　　
　　
　　(3)飛箭靜止說：芝諾認(rèn)為飛箭在任一瞬刻必在一確定位置，因而是靜止的，于是，所謂運(yùn)動(dòng)不過是多個(gè)靜止點(diǎn)的總和．
　　(4)運(yùn)動(dòng)場(Stadium)論：兩組個(gè)數(shù)相同的物體沿跑道相向移動(dòng)，一組從終點(diǎn)出發(fā)，而另一組是從中點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，兩者以相同速度移動(dòng)，芝諾認(rèn)為一半的時(shí)間和整個(gè)時(shí)間相等．
　　按照芝諾提出的觀點(diǎn)，設(shè)有甲、乙、丙三排運(yùn)動(dòng)員，(如圖3．9)，并設(shè)在單位時(shí)間內(nèi)，乙排往左移動(dòng)一步，而丙排則往右移動(dòng)一步，于是相對于乙排而看丙排就移動(dòng)了兩步．因此使丙向右方移動(dòng)一步所需的時(shí)間為半個(gè)單位，所以半個(gè)時(shí)間單位等于一個(gè)時(shí)間單位．
　　悖論思想不僅在運(yùn)動(dòng)方面存在，而且滲透到社會(huì)領(lǐng)域．相傳在遠(yuǎn)古時(shí)期就曾產(chǎn)生過悖論．據(jù)說一個(gè)殘忍的國王，下令不許外地人進(jìn)入他的領(lǐng)地，否則就要處以死刑．并規(guī)定進(jìn)入他的領(lǐng)地若說真話，要處以砍頭罪，若說假話處以淹死罪．一天，一個(gè)聰明的外地農(nóng)民大搖大擺地進(jìn)入了他的領(lǐng)地，說：我是來被淹死的．守衛(wèi)領(lǐng)土的士兵無法處刑，如果認(rèn)為他說的是真話，應(yīng)處以砍頭罪，如果一旦執(zhí)行，他的話便是假話．如果認(rèn)為他說的假話，應(yīng)處以淹死罪，一旦執(zhí)行，他的話又變成真話．這樣，使國王也束手無策，只好放走農(nóng)民．這說明悖論思想充滿了矛盾，需要我們認(rèn)真研究與探索．
　　芝諾在描述運(yùn)動(dòng)中，產(chǎn)生了悖論思想，實(shí)際上，芝諾的認(rèn)識已經(jīng)接近極限觀念的邊緣，但他最終還是否認(rèn)了運(yùn)動(dòng)的真實(shí)性，沒能認(rèn)識極限．值此，應(yīng)該認(rèn)識到，悖論思想給數(shù)學(xué)界以極大的影響，直到集合理論建立時(shí)，仍余波未盡．
五、柏拉圖學(xué)派
　　這個(gè)學(xué)派是繼詭辯學(xué)派之后興起的．其主要代表人物是柏拉圖(Plato，約公元前427---347)，他年輕時(shí)曾跟隨希臘哲學(xué)家蘇格拉底(Socrates，公元前468---399)學(xué)習(xí)哲學(xué)，受到邏輯思想影響，爾后成為雅典舉世矚目的大哲學(xué)家．柏拉圖在雅典建立了自己的學(xué)派，對其哲學(xué)思想的產(chǎn)生和擴(kuò)大影響具有重要意義．柏拉圖從畢達(dá)哥拉斯學(xué)派吸收了許多數(shù)學(xué)觀點(diǎn)，并運(yùn)用到自己的學(xué)說中，因此，柏拉圖的哲學(xué)提高了對數(shù)學(xué)科學(xué)的興趣．他認(rèn)為，不知道數(shù)學(xué)的人，不可能接受哲學(xué)知識，充分認(rèn)識到了數(shù)學(xué)對研究哲學(xué)和宇宙的重要作用，并積極鼓勵(lì)自己的朋友、學(xué)生學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)．據(jù)說，在他的學(xué)園門口寫著：“不懂幾何者不得入內(nèi)．”
　　柏拉圖在其著作《共和國》(Republic)中，曾強(qiáng)調(diào)：我們必須竭力奉勸我國未來的主人學(xué)習(xí)算術(shù)，不是像業(yè)余愛好者那樣來學(xué)，而必須學(xué)到唯有靠心智才能認(rèn)識數(shù)的性質(zhì)那種程度；也不像商人和小販那樣，僅是為著做買賣去學(xué)，而是為了軍事上的應(yīng)用，為了靈魂本身去學(xué)的．(學(xué)習(xí)算術(shù))是使靈魂從暫存過渡到真理和永存的捷徑．我所說的意思是算術(shù)有偉大和崇高的作用，它迫使靈魂用抽象的數(shù)來進(jìn)行推理，而厭棄在辯論中引入可見和可捉摸的對象……．
　　柏拉圖學(xué)派重視數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，在教學(xué)中，堅(jiān)持準(zhǔn)確地定義數(shù)學(xué)概念，強(qiáng)調(diào)清晰地闡述邏輯證明，系統(tǒng)地運(yùn)用分析方法和推理方法；例如，在推理中，假設(shè)已知所求未知數(shù)，再以這個(gè)假設(shè)為基礎(chǔ)，得出已知量與未知量應(yīng)當(dāng)存在的關(guān)系式的結(jié)論，歸根到底是化為求未知量．柏拉圖學(xué)派把這種方法運(yùn)用到作幾何圖形上．
　　在柏拉圖思想的影響下，希臘學(xué)者重視對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究，出現(xiàn)了一批對數(shù)學(xué)發(fā)展作出貢獻(xiàn)的數(shù)學(xué)家．例如，歐多克索斯(Eudoxus，約公元前408---355))曾是柏拉圖的學(xué)生，他創(chuàng)造性地排除了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派只能適用于可通約量的算術(shù)方法，用公理法建立比例論，歐幾里得《幾何原本》第五卷《比例論》的大部分內(nèi)容是歐多克索斯的工作成果．
　　歐多克索斯曾證明了對近代極限理論發(fā)展起重要作用的命題，例如，“取去一量之半，再取去所余之半，這樣繼續(xù)下去，可使所余的量小于另一任給的小量．”他也曾提出過：“對任意兩個(gè)正數(shù)a，b，必存在自然數(shù)n，使得na＞b”的重要命題．(這里采用現(xiàn)代分析學(xué)的說法)．后來，在阿基米德的名著《論球和柱》(On the Sphere and Cylinder)中，給予了幾何意義的闡述，在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中，被譽(yù)為“阿基米德公理”．
　　歐多克索斯比較熟練地利用“窮舉法”證明了“圓錐、棱錐的體積
棱錐體積V2，兩者關(guān)系有三種可能：V1＞3V2；V1＜3V2；V1=3V2，排除前二種情況，則只有V1=3V2成立．
　　柏拉圖的另一位學(xué)生亞里士多德是呂園學(xué)派的創(chuàng)始人和領(lǐng)導(dǎo)者，被譽(yù)為形式邏輯的鼻祖，其思想影響西方數(shù)千年，他也非常重視數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究，他所給出的點(diǎn)、線、面、體的定義，廣為傳播．他還應(yīng)用演繹邏輯的方法對許多數(shù)學(xué)問題作出了證明．
　　柏拉圖學(xué)派主張科學(xué)的任務(wù)是發(fā)現(xiàn)自然界的結(jié)構(gòu)，并把它在演繹系統(tǒng)里表述出來，首次提出了應(yīng)該把嚴(yán)格推理法則系統(tǒng)化，從而為數(shù)學(xué)走向新的階段起到了前導(dǎo)作用．
綜上，我們列舉了希臘時(shí)期的幾個(gè)學(xué)派的工作，以此來了解這個(gè)時(shí)期數(shù)學(xué)的發(fā)展．實(shí)際上，希臘學(xué)派的建立是推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展和傳播的重要因素，在數(shù)學(xué)歷史中，產(chǎn)生很大影響．可謂創(chuàng)建學(xué)派的師徒相傳，對數(shù)學(xué)發(fā)展產(chǎn)生莫大的推動(dòng)力．
第三節(jié) 撰寫名著，始創(chuàng)初等數(shù)學(xué)體系
　　值此之前，希臘各學(xué)派積累了很多數(shù)學(xué)知識，但都沒有形成比較完整的體系，到了亞歷山大時(shí)期，希臘數(shù)學(xué)家們在柏拉圖幾何思想的啟示下，開始將數(shù)學(xué)知識進(jìn)行系統(tǒng)整理，使之脫離哲學(xué)而成獨(dú)立學(xué)科，從用實(shí)驗(yàn)和觀察而建立起來的經(jīng)驗(yàn)科學(xué)，過渡為演繹的科學(xué)，把邏輯證明系統(tǒng)地引入數(shù)學(xué)中．完成此項(xiàng)具有劃時(shí)代意義工作的是亞歷山大前期第一個(gè)大數(shù)學(xué)家歐幾里得(Eu－clid，約公元前330---前270)，他撰寫名著《幾何原本》(Elemen-ts)開創(chuàng)了數(shù)學(xué)發(fā)展的新時(shí)期，使初等數(shù)學(xué)形成了體系．
一、歐幾里得《幾何原本》產(chǎn)生的背景
　　公元前338年，馬其頓的菲力蒲王征服了雅典，希臘便淪為馬其頓帝國的一部分，從此，雅典處于衰敗的狀態(tài)．在公元前336年時(shí)，菲力蒲王去世，由其子亞歷山大大帝繼承王位．亞歷山大大帝野心勃勃，發(fā)動(dòng)了空前的侵略戰(zhàn)爭，將文明世界的大部分區(qū)域并入新興的馬其頓帝國之版圖．當(dāng)亞歷山大大帝進(jìn)入埃及后，于公元前332年建造了亞歷山大里亞城，公元前323年亞歷山大大帝去世后，緊接著內(nèi)部混亂，軍閥割據(jù)，而埃及由托勒密(Ptolemy)掌管，他是亞里士多德的學(xué)生，并從老師那里學(xué)到了治學(xué)思想，便努力發(fā)展科學(xué)文化，繁榮經(jīng)濟(jì)，很快使亞歷山大里亞成為當(dāng)時(shí)世界的文化中心和商業(yè)中心，并創(chuàng)建了著名的博物館和圖書館，培育了年輕一代學(xué)者．當(dāng)時(shí)，這座繁榮的城市吸引著眾多的有志學(xué)者，其中兩個(gè)人是最主要的人物，他們有力地推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展．他們是歐幾里得和阿基米德．
　　歐幾里得的生平，現(xiàn)在知道的甚少，由帕波斯(Pappus，約300---350)記述，歐幾里得在公元前300年左右，在托勒密王的邀請下，來到亞歷山大里亞教學(xué)．人們稱贊歐幾里得治學(xué)精神嚴(yán)謹(jǐn)、謙虛，是一個(gè)溫良敦厚的數(shù)學(xué)教育家．歐幾里得在從事數(shù)學(xué)教育中，總是循循善誘地啟發(fā)學(xué)生，提倡刻苦鉆研，弄懂弄通，反對投機(jī)取巧、急功近利的狹隘思想．斯特比亞斯記述一個(gè)有趣的故事：“一個(gè)學(xué)生學(xué)習(xí)幾何時(shí)，才開始學(xué)習(xí)完一個(gè)定理，就問老師---;歐幾里得，學(xué)了之后能得到什么好處呢？歐幾里得說：給他三個(gè)錢幣算了，他就想得到這點(diǎn)利益．”
　　歐幾里得在從事數(shù)學(xué)教育中，善于積累數(shù)學(xué)知識，并進(jìn)行了拓寬與創(chuàng)新．他的巨著《幾何原本》是一生中最重要的工作，這部著作的形成具有無以倫比的歷史意義．他精僻地總結(jié)了人類長時(shí)期積累的數(shù)學(xué)成就，建立了數(shù)學(xué)的科學(xué)體系，為后世繼續(xù)學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)提供了課題和資料，使幾何學(xué)的發(fā)展充滿了活的生機(jī)．這部著作長時(shí)期被人崇拜、信仰，從來沒有一本教科書，象《幾何原本》那樣長期廣為傳頌．從1482年到19世紀(jì)末，歐幾里得《幾何原本》的印刷本竟用各種文字印刷1000版以上，在此之前，它的手抄本統(tǒng)御幾何學(xué)也已達(dá)近1800年之久．
　　歐幾里得繼承和發(fā)展了前人的數(shù)學(xué)知識，《幾何原本》所用到的材料大部分是希臘前期各學(xué)派創(chuàng)建的成果．據(jù)普羅克洛斯[Proclus，410(另一說412)---472]記載，歐幾里得是柏拉圖的門徒，他的著作基本沿續(xù)了柏拉圖的傳統(tǒng)思想，承襲了《共和國》中所論及的科學(xué)方法．歐幾里得在《幾何原本》中，發(fā)展了柏拉圖的以哲學(xué)為基礎(chǔ)，“數(shù)論、幾何、音樂、天文”4科為內(nèi)容的科學(xué)思想．
　　另外，歐幾里得還采用了歐多克索斯等學(xué)者的一些定理，并加以完善．《幾何原本》所采用的公理、定理都是經(jīng)過細(xì)致斟酌、篩選而成，并按嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)體系進(jìn)行編排，使之系統(tǒng)化、理論化，超過了以前的所有著作，因此，當(dāng)《幾何原本》問世之后，其它諸類逐漸消聲匿跡了．
　　歐幾里得還曾撰寫過其它的著作，據(jù)一些材料記載，主要是《光學(xué)》(Optica)；《反射光學(xué)》(Catoptrica)解決鏡的反射問題；《論音樂》(Sectiocanonis)研究音樂理論；《論天文現(xiàn)象》(Phaenomena)，天文學(xué)的初步理論，主要解決天體運(yùn)轉(zhuǎn)、黃道分割等問題．
二、歐幾里得《幾何原本》的主要內(nèi)容
　　歐幾里得本人撰寫的《幾何原本》手稿現(xiàn)已無存，所以他的著作只能參考其他作者的許多修訂本、評注本和簡評重新整理出來．歐幾里得的《幾何原本》的所有英文版和拉丁文版都來源于希臘人的手稿．這些來源是亞歷山大里亞城的戴恩(Theon，公元4世紀(jì)末)對歐幾里得《幾何原本》的修訂本，戴恩修訂本的抄本，戴恩講課記錄以及佩拉(F．Peyrard，1760---1822)在梵蒂岡圖書館里發(fā)現(xiàn)的一本希臘手稿．這本10世紀(jì)的手稿是賽翁以前出版的一本歐幾里得著作手抄本．?dāng)?shù)學(xué)史家海伯格(J．L Heiberg)最早編集了《歐幾里得全集》八篇，這是我們能見到的標(biāo)準(zhǔn)的《歐幾里得原本》，后來，又根據(jù)海伯格的深入研究，進(jìn)行各種考證，開始定本．從第一篇到第五篇，有從希臘文譯成的拉丁文本，并附有詳細(xì)腳注，其余各篇由達(dá)塔(Data)等學(xué)者完成．
　　在這個(gè)基礎(chǔ)上，英國數(shù)學(xué)史家希思(T．L．Heath，1861---1940)把海伯格等校訂的希臘原文翻譯成英文，并附有詳細(xì)的注釋．對現(xiàn)在研究《幾何原本》有重要參考價(jià)值．
　　另外，有人又把海伯格版的著作譯成德文．這種德文版沒有希思那樣的詳細(xì)注釋，但是對進(jìn)一步研究《幾何原本》，尚有方便之處．
　　希思還用現(xiàn)代數(shù)學(xué)符號注釋希臘古代數(shù)學(xué)書籍，撰寫成：Histoy of Greek Mathematics，2 Vols，Oxford，1921．
　　希思在同一年，又撰寫成：Euclid in Greek，Book I，Cambridge，1921．在此著作中，收錄了《幾何原本》的第一篇，并對序論做了適當(dāng)?shù)淖⑨專?br/>　　現(xiàn)在流行的《幾何原本》(希思版本)，由13篇組成，將內(nèi)容簡要介紹如下．首先看一下歐幾里得《幾何原本》的基本結(jié)構(gòu)，歸納成下表，會(huì)一目了然．
　　在希臘時(shí)期，公理和公設(shè)是有區(qū)別的．公理是數(shù)學(xué)各分支都承認(rèn)的基本道理，公設(shè)則只是幾何學(xué)中所需要的基本道理．按照希臘時(shí)期的含義，不承認(rèn)公理，整個(gè)數(shù)學(xué)體系都將產(chǎn)生變化；不承認(rèn)公設(shè)，只牽涉到幾何學(xué)體系．現(xiàn)代學(xué)者已不再將它們區(qū)分，而統(tǒng)稱為公理了．
　　第一篇：主要敘述全等形的一些定理、平行線、畢達(dá)哥拉斯定理、初等作圖法、平行四邊形等．在一些命題的證明中，顯現(xiàn)出希臘人的聰明和才智．
　　例如命題5：等腰三角形兩底角相等．
　　歐幾里得延長AB到F(圖3．10)，延長AC到G，使BF＝CG．于是，△AFC≌△AGB．因而，F(xiàn)C＝GB，∠ACF=∠ABG，且∠3＝∠4．
　　∵△CBF≌△BCG，則∠5=∠6，
　　故∠1＝∠2
　　《幾何原本》中的證法比目前一些初級中學(xué)課本中的證明還好，因?yàn)楹笳咴诖司图俣私茿存在角平分線．但這個(gè)存在性的證明要依靠命題5．
　　第二篇：主要闡述了幾何代數(shù)法．由于希臘人不承認(rèn)無理數(shù)，這就很難從數(shù)量上解決長度、面積、體積等問題，他們曾用線段來代替數(shù)．第二篇的頭10個(gè)命題，揭示了一些代數(shù)恒等式的幾何等價(jià)關(guān)系．尤其是命題12和命題13更引人注意．這兩個(gè)命題合并在一起用現(xiàn)代語言敘述，即：在一個(gè)鈍角(銳角)三角形中，該鈍角(銳角)的對邊的平方等于三角形其余兩邊的平方和加上(減去)這兩邊之一與另一邊在其上的投影之積的2倍．實(shí)際上，這兩個(gè)命題是畢達(dá)哥拉斯定理的推廣，現(xiàn)在我們稱之為“余弦定理”．
　　第三篇：首先給出有關(guān)圖的定義，然后著手討論弦、切線、割線、圓心角及圓周角等等．這些定理多數(shù)是現(xiàn)代中學(xué)幾何課本中的內(nèi)容．例如：
　　命題16，通過圓直徑一端垂直于直徑的直線全在圓外，且在這直線和圓周之間的空間內(nèi)不能再插入另一直線；半圓和直徑夾角大于而半圓和垂線夾角小于直線間的任何銳角．
　　此定理的新穎之處在于考察了切線與圓弧間的空間，他不僅說在這空間里不能作過切點(diǎn)并全部在圓外的直線，并考察了切線與圓弧的夾角．
　　第四篇：主要論述圓的內(nèi)接和外切圖形---三角形、正方形、正五邊形和正六邊形，最后一命題講怎樣在一給定圓內(nèi)作正15邊形．
　　第五篇：對歐多克索斯比例理論作了精彩的闡述．歐多克索斯的比例定義(即兩個(gè)比相等)是很重要的，即：如果有4個(gè)量，取第一個(gè)量和第三個(gè)量的任何相等的倍數(shù)，取第二個(gè)量和第四個(gè)量的任何相等的倍數(shù)，當(dāng)?shù)谝粋€(gè)量的倍數(shù)大于、等于或小于第二個(gè)量的倍數(shù)時(shí)，相應(yīng)地有第三個(gè)量的倍數(shù)大于、等于或小于第四個(gè)量的倍數(shù)，那么我們就說，第一個(gè)量與第二個(gè)量的比等于第三個(gè)量與第四個(gè)量的比．換言之，如果a，b，c，d是4個(gè)不分正負(fù)的量，a和b為同類量(均為線段或角或面積或體積)，c和d為同類量，且對于任意正整數(shù)λ和μ，相應(yīng)于λc=μd(或λc＞μd或λc＜μd)有λα=μb(或λ＞αμb或λα＜μb)則a∶b=c∶d．歐多克索斯的比例理論為數(shù)學(xué)分析實(shí)數(shù)系的建立提供了條件．
　　第六篇：將比例理論應(yīng)用于平面幾何．主要討論相似形問題．還有二次方程的幾何解，并對畢達(dá)哥拉斯定理作了推廣．
　　第七、八、九篇總共包括102個(gè)命題，主要是初等數(shù)論的內(nèi)容．定義了奇數(shù)和偶數(shù)，素?cái)?shù)和合成數(shù)，平方數(shù)和立方數(shù)，完全數(shù)等等．
　　第七篇：命題1指出，“若在兩個(gè)不等數(shù)中，每當(dāng)從大數(shù)中盡可能地減去小數(shù)，再從小數(shù)中盡可能地減去所得余數(shù)，又從前一余數(shù)中盡可能地減去下一余數(shù)，如此下去，并且任何余數(shù)都不是前一余數(shù)的約數(shù)，直至達(dá)到1為止，則此兩給定數(shù)互為素?cái)?shù)”．這個(gè)命題是用歸謬法證明的，從此可以得出求不是互素的兩個(gè)或三個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)的方法．第七篇其余部分討論素?cái)?shù)的性質(zhì)．
　　第八篇：研究有關(guān)連比例數(shù)的定理．該篇指出如何在兩個(gè)數(shù)之間插入若干幾何中項(xiàng)，并證明了，如果兩個(gè)數(shù)a與b之比等于另外兩個(gè)數(shù)c與d之比，且a與b之間有n個(gè)幾何中項(xiàng)，則在c與d之間也有n個(gè)幾何中項(xiàng)．
　　第九篇：在此篇中發(fā)展了素?cái)?shù)的理論，并且指出素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)是無限的．命題20：“素?cái)?shù)比任何指定的數(shù)目都多”．歐幾里得對此定理的證明，已被數(shù)學(xué)家們普遍地認(rèn)為是數(shù)學(xué)的典范．此證明是用間接方法即歸謬法(reductio ad absurdum)完成的．現(xiàn)簡述為：若只有有限個(gè)素?cái)?shù)，不妨用α，β，…，l表示，設(shè)Q＝αβ…l，則Q＋1要么是素?cái)?shù)，要么是合數(shù)．但是，因?yàn)棣粒拢琹是全部素?cái)?shù)．而Q＋1大于α，β，…，l中的任一個(gè)數(shù)，所以不可能是素?cái)?shù)．另一方面，若Q＋1是合數(shù)，它必定能被某素?cái)?shù)q整除．但是q必定是全部素?cái)?shù)α，β，…，l的集合中的一個(gè)元素，這就是說， q是Q的一個(gè)因子，結(jié)果q不能整除Q＋1，于是我們最初假設(shè)(素?cái)?shù)只有有限個(gè))不能成立，此定理得證．
　　在本篇命題35采用了比較巧妙的方法來求幾何級數(shù)的和：如果有任意多個(gè)數(shù)連成比例，并且第二個(gè)數(shù)與最后一數(shù)都可以減去第一個(gè)數(shù)，則第二個(gè)數(shù)的增量與第一個(gè)數(shù)之比，將等于最后一數(shù)的增量與最后一數(shù)前面的所有數(shù)之和的比．例如，若級數(shù)是
　　a1，a2，a3，…，an，an+1
　　 現(xiàn)在，如果有任意多個(gè)數(shù)成連比例，則由于任一前項(xiàng)與后項(xiàng)之比等于所有前項(xiàng)的和與所有后項(xiàng)的和之比(第七篇命題12)，故將所有前項(xiàng)與所有后項(xiàng)相加，即得
　　
　　這個(gè)關(guān)系即可確定Sn，即a1+a2+a3+…+an．但歐幾里得實(shí)際上沒有用這個(gè)方法來求幾何級數(shù)的和，而是用它來建立確定完全數(shù)的法則．
　　第十篇：主要討論無理量．本篇中的16個(gè)定義可分為三類，第一類(4個(gè)定義)：主要闡述可通約量(Symmetra mege－the)，不可通約量(asymmetra de)，有理性和無理性的一般定義．第二類(6個(gè)定義)：為了表示6個(gè)和無理量，確定6個(gè)二項(xiàng)線段(ek du honomaton)．第三類：為了表示6個(gè)差形無理量，確定6個(gè)余線段(apotome)．應(yīng)該說這一篇是歐幾里得的杰作，一些數(shù)學(xué)史家認(rèn)為第十篇最為完美，遠(yuǎn)非其它各篇甚至第五篇所能比擬的．
　　值得注意的是命題1，它提供了窮竭法的基礎(chǔ)，實(shí)際上，此種方法早在歐多克索斯時(shí)已經(jīng)使用過，到了歐幾里得手中已經(jīng)能運(yùn)用自如了．命題1的含意是，取兩不等量，若從大量中減去一個(gè)大于或等于它本身一半的量，再從余量中減去大于或等于這余量一半的量，并且不斷重復(fù)這一程序，則最后剩下的將是一個(gè)比所取二量中較小的一個(gè)還要小的量．歐幾里得的證明如下：
　　設(shè)AB與c為二給定的不等量，AB＞c．同時(shí)c的某一倍數(shù)一定會(huì)大于AB(定義4)．不妨設(shè)EF是c的倍數(shù)，則EF＞AB．將EF分成幾部分，即EM，MN，NF各與c相等．從AB割去大于它本身一半的AD，再從剩下的DB割去大于本身之一半的DG，這樣不斷繼續(xù)下去，直到AB的分段數(shù)目與EF的分段數(shù)目相等．
　　設(shè)AD，DG，GB為AB的分段，其段數(shù)與EM，MN，NF的段數(shù)相等．由于EF大于AB，并從EF已經(jīng)割去了小于其一半的FN從AB已經(jīng)割去了大于其一半的AD，所以剩下來的NE大于剩下來的DB．
　　由于NF＞DB，并且從NE已經(jīng)割去了其一半，即MN，從DB已經(jīng)割去了大于其一半的DG，由此可知剩下來的EM大于剩下來的GB．但是，EM＝c即GB＜c，亦即剩下來的量小于給定二量中較小的量．此命題得證．
　　第十一篇至第十三篇集中討論了立體幾何問題．第十一篇把平面直線和平面角的幾何學(xué)推廣到平面和平面所構(gòu)成的角上．立體角的定義是由兩個(gè)以上的平面角所包圍的角，這些平面角不在同一平面內(nèi)，但都是從同一點(diǎn)作出的．
　　第十二篇：主要應(yīng)用“窮竭法”證明一些命題．窮竭法(Method of exhaustion)的“窮竭”一詞起源于相繼作正內(nèi)接多邊形“窮竭”了圓的面積．希臘人并沒有用這個(gè)詞，到了17世紀(jì)，人們才使用這個(gè)名詞．這種方法，僅僅是走向嚴(yán)格極限概念的一步，但是，我們會(huì)看到這種方法是嚴(yán)格的．它依賴于間接證法，不含明確的極限步驟，實(shí)際上，有人認(rèn)為歐幾里得在面積和體積方面的工作比牛頓和萊布尼茲這方面的工作嚴(yán)密可靠，因后者試圖建立代數(shù)方法和數(shù)系并想用極限概念．
　　命題1：圓內(nèi)接相似多邊形之比等于圓直徑平方比．
　　命題2：圓與圓之比等于其直徑平方之比．
　　歐幾里得對命題2的證明步驟如下：
　　設(shè)兩圓分別為ABCD和abcd；BD與bd分別是兩圓直徑．若圓ABCD面積：圓abcd面積≠BD2∶bd2，則BD2與bd2之比將等于圓ABCD與某一大于或小于圓abcd面積之比．
　　(1)設(shè)BD2與bd2之比等于圓ABCD與一較小面積之比，令比較小面積為S．在圓abcd內(nèi)作正方形abcd，如圖3．12．通過a，b，c，d作圓的切線，于是構(gòu)成一圓外切正方形，并且它的面積將是正方形abcd的面積的2倍．由于圓的面積小于其外切正方形的面積，所以內(nèi)接正方形的面積大于圓abcd的面積的一半．
　　現(xiàn)在將弧ab，bc，cd，da在e，f，g，h處平分，并連接ae，eb，bf，fc，cg，gd，dh，ha．在e點(diǎn)作切線，于是在ab上完成了一個(gè)長方形．此長方形是三角形abe的2倍，因?yàn)楣蝍eb小于此長方形，所以，三角形abe大于弓形aeb的一半．同理，對于弓形bfc等等也是如此．若把余下的各弧，例如ae再予以平分，且把它們的中點(diǎn)同a和e等點(diǎn)連接，最后就會(huì)得到一些弓形，其面積小于圓abcd的面積與面積S之差．由第十篇命題1(即：對于兩個(gè)不相等的量，若從較大量減去一個(gè)比它的一半還要大量，再從所余量減去大于其半的量，并繼續(xù)重復(fù)執(zhí)行這一步驟，就能使所余的一個(gè)量小于原來那個(gè)較小量)，多邊形aebfcgdh就大于面積S．再在圓ABCD內(nèi)作內(nèi)接多邊形AEBFCGDH，它與多邊形aebfcgdh相似．于是多邊形AEBFCGDH之面積：多邊形aebfcgdh的面積=BD2∶bd2．
　　而BD2∶bd2=圓AEBFCGDH∶S，
　　所以，圓AEBFCGDH∶S=多邊形 AEBFCGDH∶多邊形aebfcgdh，故圓AEBFCGDH∶多邊形AEBFCGDH=S∶多邊形aebfcgdh．又因?yàn)閳AAEBFCGDH大于其內(nèi)接多邊形，所以面積S大于多邊形aebfcgdh之面積．由假設(shè)，它也小于多邊形aebfcgdh之面積，這是不對的．
　　(2)同理可證，圓ABCD與一個(gè)大于圓abcd的面積之比，不可能等于BD2與bd2之比．
　　第十三篇：敘述了球的五種內(nèi)接正多面體(即四面體、立方體、八面體、十二面體和二十面體)的作圖法，實(shí)際上是要建立立體的邊(棱)與球的半徑之間的關(guān)系．歐幾里得通過巧妙的推理得出了下列結(jié)果：
　　
　　
　　在最后的命題18，證明了正多面體不能多于5種．
三、歐幾里得《幾何原本》的歷史意義
　　歐幾里得《幾何原本》是一部最早且內(nèi)容豐富的數(shù)學(xué)著作，是在公理法的基礎(chǔ)上，邏輯地創(chuàng)造幾何學(xué)的首次嘗試．
　　1．歐幾里得創(chuàng)造性地建立了初等數(shù)學(xué)體系，采用先擺出所用公理，明確提出所用的定義，由淺入深地揭示一系列定理的方法．這樣編排符合人們的認(rèn)識規(guī)律，所以，一直被人們所沿用．
　　2．歐幾里得在《幾何原本》中，對公理的選擇是很出色的，使得用一小批公理證出幾百個(gè)定理，其中，有很多是深?yuàn)W的，尤其對平行公理的處理更顯得高明．在定理的取舍方面，他是經(jīng)過認(rèn)真篩選的．例如：在《幾何原本》中沒有列入三角形三條高交于一點(diǎn)(在初等數(shù)學(xué)中最一般)的定理，還有一些歐幾里得其它著作中的定理，在此他也不屑一顧．
　　3．歐幾里得把邏輯證明系統(tǒng)地引入數(shù)學(xué)中，強(qiáng)調(diào)邏輯證明是確立數(shù)學(xué)命題真實(shí)性的一個(gè)基本方法，從而把數(shù)學(xué)作為演繹系統(tǒng)建立起來，使數(shù)學(xué)從經(jīng)驗(yàn)知識上升成為理論知識，真正意義的數(shù)學(xué)科學(xué)從此誕生，并相對獨(dú)立地得到發(fā)展．
　　4．歐幾里得示范地規(guī)定了幾何證明的方法：分析法，綜合法及歸謬法．有的證明相當(dāng)精練，有獨(dú)道之處．
　　5．對歐幾里得撰寫《幾何原本》的目的有不同看法，有人認(rèn)為是給數(shù)學(xué)家看的學(xué)術(shù)著作，也有人說是寫給學(xué)生的課本，普羅克洛斯比較相信后一種說法．確實(shí)《幾何原本》對數(shù)學(xué)教育產(chǎn)生了極為深遠(yuǎn)的影響，兩千年來，一直被公認(rèn)為初等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)教材．
　　當(dāng)然，《幾何原本》也有其不完善的地方，例如，沒有邏輯依據(jù)地運(yùn)用了運(yùn)動(dòng)的概念，認(rèn)為把圖形從一處移動(dòng)到另一處時(shí)所有性質(zhì)保持不變，等等．
　　總之，歐幾里得《幾何原本》的著成與傳播，標(biāo)志著數(shù)學(xué)進(jìn)入一個(gè)新的階段．在中國，17世紀(jì)始有《幾何原本》前6卷的譯本，直到19世紀(jì)中葉，才有完整的《幾何原本》的譯本．《幾何原本》的傳入，曾對中國數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)教育產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響．
第四節(jié) 阿基米德對數(shù)學(xué)發(fā)展的貢獻(xiàn)
　　阿基米德(Archimedes，公元前287---前212)是數(shù)學(xué)歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家之一，近代數(shù)學(xué)史家貝爾(E．T．Bell，1883---1960)說：“任何一張列出有史以來三個(gè)最偉大的數(shù)學(xué)家的名單中，必定包括阿基米德，另外兩個(gè)通常是牛頓和高斯．不過以他們的豐功偉績和所處的時(shí)代背景來比，拿他們影響當(dāng)代和后世的深邃久遠(yuǎn)來比較，還應(yīng)首推阿基米德．”阿基米德的名字在他同時(shí)代的人們中成為賢明的象征，他會(huì)用簡單的方法解最難的問題．古希臘著名的作家和歷史學(xué)家普魯塔克(Plutarch，公元前1世紀(jì))說：把這樣困難的題目解決得如此簡單和明白，在數(shù)學(xué)里沒有聽到過，假如有誰嘗試一下自己解這些題目，他會(huì)什么也得不到．但是，如果他熟悉了阿基米德的解法，那么他就會(huì)立刻得出這樣的印象，這個(gè)解法他自己也會(huì)找到．阿基米德用如此容易和簡明的方法把我們引向目的．
　　阿基米德出生于意大利半島南端西西里島的敘拉古，他的父親是天文學(xué)家，曾撰寫過有關(guān)太陽和月球直徑的文章．阿基米德早年在亞歷山大學(xué)習(xí)，以后和亞歷山大的學(xué)者一直保持聯(lián)系．
　　阿基米德終生傾心對科學(xué)的研究，常常沉浸于忘我的思考之中，普魯塔克曾寫道：阿基米德廢寢忘食，完全忽視關(guān)心自己的身體．經(jīng)常要強(qiáng)迫他去洗澡，在洗澡中，擦上香油膏，然而就在這時(shí)，他用手指在自己擦上油膏的身體上畫幾何圖形．古羅馬建筑師維脫羅衛(wèi)(Vitruvius，公元前2世紀(jì))記述的阿基米德發(fā)現(xiàn)浮體規(guī)律的情景，令人感嘆不已．有一次敘拉古的亥厄洛(Hieron)王讓人制造純金的皇冠．做成后國王懷疑是否完全用純金制成，便請素稱多能的阿基米德來鑒定．阿基米德曾長時(shí)間地思考解決的方法，正在苦悶之中，他到公共浴池洗澡，當(dāng)浸入裝滿水的浴盆中時(shí)，水漫溢到盆外，而身體重量頓覺減輕．于是，他忽然想到不同質(zhì)料的東西，雖然重量相同，但因體積不同，排去的水必不相等．根據(jù)這一道理，不僅可以判斷皇冠是否摻有雜質(zhì)，而且知道偷去黃金的重量．這次成功的發(fā)現(xiàn)使阿基米德大吃一驚，他光著身子跑出浴池，大聲喊：“我找到了”．經(jīng)過仔細(xì)地實(shí)驗(yàn)，他終于發(fā)現(xiàn)了流體靜力學(xué)的基本原理：“阿基米德原理”---物體在液體中減輕的重量，等于排去液體的重量．
　　在阿基米德一生的最后幾年中，表現(xiàn)出了真摯的愛國熱情．他為祖國的安危獻(xiàn)出了自己全部力量和智慧．當(dāng)羅馬軍隊(duì)首領(lǐng)馬塞拉斯率領(lǐng)大軍進(jìn)攻敘拉古時(shí)，阿基米德發(fā)揮了自己的聰明才智，制造新的機(jī)械對抗羅馬當(dāng)時(shí)先進(jìn)的軍事設(shè)施．他制造了許多武器，做好在任何情況下?lián)敉藬橙说臏?zhǔn)備．若敵人離城市很遠(yuǎn)，便用巨大的遠(yuǎn)射程投射機(jī)器，發(fā)射大量的“重炮彈”和“火箭”，擊敗敵人的戰(zhàn)船．當(dāng)阿基米德發(fā)覺炮彈落得太遠(yuǎn)，不能擊中船只時(shí)，便使用了適合較小距離的投射機(jī)器．這樣，使羅馬軍隊(duì)膽戰(zhàn)心驚，以致他們無力再向前推進(jìn)．希臘文獻(xiàn)記載，當(dāng)羅馬兵船靠近城下，阿基米德用巨大火鏡反射日光使兵船焚燒．另一種說法是他用投火器，將燃燒著的東西彈出去，燒毀敵人的戰(zhàn)船．總之，阿基米德竭盡全力，發(fā)明各種新式器械，給羅馬軍隊(duì)以沉重的打擊，為保衛(wèi)祖國作出了重大貢獻(xiàn)．后來，終因叛徒的出賣，敘拉古城失守了．一種說法是阿基米德似乎并不知道城池已破，仍沉迷于數(shù)學(xué)的深思，埋頭畫幾何圖形．當(dāng)一個(gè)羅馬士兵沖到他面前時(shí)，阿基米德嚴(yán)肅地說：“走開，不要?jiǎng)游业膱D．”羅馬士兵聽了，覺得受到污辱，就拔劍刺死了阿基米德．終年75歲．根據(jù)阿基米德生前遺囑，在墓碑上刻著球內(nèi)切于圓柱的圖形，象征著他特別珍視的發(fā)明．
　　阿基米德在數(shù)學(xué)中做出很多貢獻(xiàn)，他的許多著作的手稿一直保存到現(xiàn)在．一些數(shù)學(xué)史家都把他的原著譯成現(xiàn)代文字．例如，希思的英譯本，茲瓦利那的德譯本，維爾·埃斯克(P．Ver．Ee－cke)的法譯本，還有荷蘭的迪克特赫斯(E．J．Dijksterhuis)的名著《阿基米德》．其著作涉及的范圍很廣，也說明他對前人在數(shù)學(xué)中的一切發(fā)現(xiàn)具有淵博的知識．保存下來的阿基米德著作多半是幾何內(nèi)容的著作，也有一部分力學(xué)和計(jì)算問題的著作．主要是《論球與圓柱》(On the Sphere and Cylin der)，《論拋物線求積法》(On Quadrature of the Parabola)，《圓的度量》(Measurement of a Circle)，《論螺線》(OnSpirals)，《論平板的平衡》(On Plane Equilibriums)，《論錐型體與球型體》(On Conoids Spheroids)，《砂粒計(jì)算》(The Sand Reckoner)，《論方法》(On Method)(阿基米德給厄拉托塞的書信中，關(guān)于幾何學(xué)的某些定理)，《論浮體》(On Floating Bodies)，《引理》．在這些著作中的幾何方面，他補(bǔ)充了許多關(guān)于平面曲線圖形求積法和確定曲面所包圍體積方面的獨(dú)創(chuàng)研究．在這些研究中，他預(yù)見到了極微分割的概念，這個(gè)觀念在17世紀(jì)的數(shù)學(xué)中起到了重要作用，其本身就是微積分的先聲，但缺乏極限概念．阿基米德的求積法蘊(yùn)育著積分思想的萌芽，利用這種方法，發(fā)現(xiàn)了定理
　
　　阿基米德研究了曲線圖形求積的問題，并且用窮竭法建立了這樣的結(jié)果：“任何由直線和直角圓錐體的截面所包圍的弓形(即拋物線)，
　
　　下面是阿基米德的簡略證明，可以揭示他的研究方法．AQ1Q4是一拋物線弓形，拋物線頂點(diǎn)為A(如圖3．14)．Q1Q4交拋物線的軸于O點(diǎn)．Q1O和Q4O各在Q2和Q3處平分，作圖中所示的各線段就可完成圖形．現(xiàn)在，Q1O2＝4Q2O2＝4BC2，AO＝4AC，因此BQ2＝3AC．
　　
　　
　　
　　采用同樣方法重復(fù)把Q1Q2，Q2O平分就可證明(1)式的右方加上
等．在這些線上不斷這樣做下去，就可證明拋物線弓形面積是
　　
　　這里△是指△AQ1O4．
　　然而阿基米德沒有求極限的觀念，他是用歸謬法來證明他的結(jié)論的．這種證法的要點(diǎn)是，如果所求面積不等于給定的面積S，它就一定同時(shí)大于它又小于它．而這是不合理的，由此，推知拋物線弓形的面積等于
　　阿基米德在《圓的度量》(Measurement of acircle)一文中，利用外切與內(nèi)接96邊形求得圓周率π：
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
史上最早給出的關(guān)于圓周率的誤差估計(jì)．
　　在進(jìn)行證明時(shí)，阿基米德避免了借助無窮小量這個(gè)概念，因?yàn)檫@個(gè)概念一直是希臘人所懷疑的．他考慮了內(nèi)接多邊形和外切多邊形．他確立這個(gè)基本原理的方法是說明并證明：“給定二不等量，則不論大量與小量之比如何接近1，都有可能：(1)求出兩條直線，使得較長的與較短的之比更小(大于1)；(2)作一圓或扇形的相似外切多邊形和內(nèi)接多邊形，使得外切多邊形的周長或面積，與內(nèi)接多邊形的周長或面積之比小于給定的比”．然后就像歐幾里得所做過的那樣，他證明如果不斷把邊數(shù)加倍，最后會(huì)留下一些弓形，它們加起來比任何指定的面積都要小．阿基米德對此做了一點(diǎn)補(bǔ)充，即指出若把外切多邊形的邊數(shù)增加到足夠多，就能使多邊形的面積與圓的面積之差，小于任何給定的面積．
　　阿基米德還研究了螺線，撰寫了《論螺線》一書，有人認(rèn)為，從某種意義來說，這是阿基米德對數(shù)學(xué)的全部貢獻(xiàn)中最出色的部分．許多學(xué)者都在他的作螺線切線的方法中預(yù)見到了微積分方法．值得稱道的是，他用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)定義數(shù)學(xué)對象，如果一條射線繞其端點(diǎn)勻速旋轉(zhuǎn)，同時(shí)有一動(dòng)點(diǎn)從端點(diǎn)開始沿射線作勻速運(yùn)動(dòng)，那么這個(gè)點(diǎn)就描出一條螺線．這種螺線后來稱為“阿基米德螺線”．螺線有一個(gè)基本性質(zhì)，把矢徑的長度和初始線從初始位置旋轉(zhuǎn)時(shí)所通過的角度聯(lián)系起來．此基本性質(zhì)是以命題14出現(xiàn)的，現(xiàn)在都以r＝aθ這個(gè)方程來表示之．阿基米德然后證明了，在第一個(gè)周轉(zhuǎn)和初始線之間所包圍的面積，亦即在矢徑O與2
寫道：“我認(rèn)為螺線和回到原處的直線所圍的面積，等于以該固定點(diǎn)作 有一直線在螺線的末端與螺線相切’并從固定端另作一直線垂直于旋轉(zhuǎn)一周后返回到原處的直線，以致與切線相遇，我認(rèn)為這樣做成的與切線相遇的直線，就等于這個(gè)圓的圓周”．此即為《論螺線》一書中命題24．
　　阿基米德在《砂粒計(jì)算》(論數(shù)砂)著作中，設(shè)計(jì)出了一種表示大數(shù)的計(jì)數(shù)系統(tǒng)，能表示超出當(dāng)時(shí)希臘計(jì)數(shù)系統(tǒng)所能表示的數(shù)．在阿基米德之前，希臘人的計(jì)算擴(kuò)大到不超過10000，并將10000叫做無數(shù)之多．阿基米德把無數(shù)之多當(dāng)作一種新的單位，把無數(shù)之多引入計(jì)算，并且提出了更高位的單位．據(jù)說阿基米德向希臘數(shù)學(xué)家們提出過一個(gè)“群牛問題”．實(shí)質(zhì)上要從7個(gè)方程中，得出8個(gè)正整數(shù)解，最后歸結(jié)為一個(gè)二次不定方程
　　x2－472949y2＝1，
　　這個(gè)方程的解的位數(shù)相當(dāng)大．
　　《引理》(Liber Assumptorum)一書是阿基米德最早的著作，其中含有15個(gè)命題，例如：
　　命題2，如果做正方形的外接圓與內(nèi)切圓，那么外接圓的面積等于內(nèi)切圓面積的兩倍．
　　命題3，如果在圓內(nèi)作兩條相交成直角的弦，那么由交點(diǎn)分成的4條線段的平方和等于直徑的平方．
　　在《論浮體》(on Floating Bodies)一文中，阿基米德首先給出了比重比流體小的物體、相同的物體、大的物體浮力?

展開更多......

收起↑