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第三講：中世紀的東西方數學I
從公元476年西羅馬帝國滅亡到14世紀文藝復興長達1000多年的歐洲歷史稱為歐洲中世紀。
中國傳統數學的形成與興盛：公元前1世紀至公元14世紀。
1、中算發展的第一次高峰：數學體系的形成
秦漢時期形成中國傳統數學體系。
《算數書》：中國現存最早的數學專著。
《周髀算經》：編纂于西漢末年，天文學著作。兩項重要數學成就：勾股定理的普遍形式，數學在天文測量中的應用。
《九章算術》：中國傳統數學最重要的著作，全書246個問題，分成九章。它完整地敘述了當時已有的數學成就，在長達一千多年間，一直作為中國的數學教科書，并被公認為世界數學古典名著之一。
《九章算術》標志以籌算為基礎的中國古代數學體系正式形成。
2、中算發展的第二次高峰：數學穩步發展
從公元220年東漢分裂，到公元581年隋朝建立，史稱魏晉南北朝。數學上以注釋《周髀算經》、《九章算術》的形式出現。這是中國數學史上一個獨特而豐產的時期，是中國傳統數學穩步發展的時期。
《九章算術》注釋中最杰出的代表是劉徽和祖沖之父子。
2.1 劉徽（公元3世紀）
公元263年撰《九章算術注》，系統地闡述了中國傳統數學的理論體系與數學原理，奠定了這位數學家在中國數學史上的不朽地位，成為中國傳統數學最具代表性的人物。
劉徽數學成就中最突出的是“割圓術”，求出圓周率為3927/1250（=3．1416），主張利用圓內接正192邊形的面積求出157/50（=3．14）作為圓周率，后人常把這個值稱為“徽率”。這使劉徽成為中算史上第一位用可靠的理論來推算圓周率的數學家，享有國際聲譽。
2.2 祖沖之（429－500年）
著作《綴術》取得了圓周率的計算和球體體積的推導兩大數學成就。祖沖之算出圓周率在3．1415926與3．1415927之間，并以355/113（=3．1415929…）為密率，22/7（=3．1428…）為約率。
《綴術》的另一貢獻是祖氏原理 ：冪勢既同則積不容異，在西方文獻中稱為卡瓦列里原理，或不可分量原理。
唐代主要的數學成就在于建立中國數學教育制度。唐初李淳風（604－672年）等人注釋并校訂了《算經十書》（約656年），十部算經對繼承古代數學經典有積極的意義，顯示了漢唐千余年間中國數學發展的水平，是當時科舉考試的必讀書。
3、中算發展的第三次高峰：數學全盛時期
宋元時期（960—1368年）重新統一了的中國社會發生了一系列有利于數學發展的變化，以籌算為主要內容的中國傳統數學達到了鼎盛時期。這一時期涌現許多杰出的數學家和先進的數學計算技術，其印刷出版、記載著中國傳統數學最高成就的宋元算書，是世界文化的重要遺產。
3.1 賈憲三角
賈憲（約公元11世紀）約1050年完成《黃帝九章算術細草》，發明了“增乘開方法”，創造了“開方作法本源圖”。
3.2 隙積術
沈括（1030－1094年）《夢溪筆談》（1093年）影響極大，被李約瑟譽為“中國科學史的里程碑”。他對數學的主要成就有“會圓術”與“隙積術”。
3.3天元術
李冶（1192－1279年）1248年撰成代數名著《測圓海鏡》，該書是首部系統論述“天元術”的著作，是符號代數的嘗試，在數學史上具有里程碑意義。
3.4 大衍術
秦九韶（約1202－1261年）1247年完成數學名著《數書九章》，其中兩項貢獻使得宋代算書在中世紀世界數學史上占有突出的地位。一是創立了“大衍求一術”（中國剩余定理），二是提出了“正負開方術”（秦九韶法）。
3.5 垛積術
楊輝（公元13世紀）1261年完成《詳解九章算法》，其中主要的數學貢獻是“垛積術”，另一貢獻是所謂的“楊輝三角”，其實是記載了賈憲的工作。
3.6 四元術
朱世杰（約1260－1320年）1303年在揚州刊刻了他的代表作《四元玉鑒》，它是中國宋元數學高峰的又一個標志，主要貢獻有四元術。
美國著名科學史家薩頓（1884－1956年）說：朱世杰是漢民族，他所生存時代的，同時也是貫穿古今的一位最杰出的數學家。
3.7 內插法
郭守敬（1231－1316年）1280年完成了中國古代最精密的歷法《授時歷》。郭守敬建造的河南登封觀星臺（1276）留存至今。
古希臘數學以幾何定理的演繹推理為特征、具有公理化模式，與中國傳統數學以計算為中心、具有程序性和機械性的算法化模式相輝映，交替影響世界數學的發展。
4、中算的衰落
朱世杰可以被看作是中國宋元時期數學發展的總結性人物，是中國以籌算為主要計算工具的古代數學發展的頂峰，而《四元玉鑒》可以說是宋元（960－1368年）數學的絕唱。明清兩朝（1368－1911年）共543年，不僅未能產生出與《數書九章》、《四元玉鑒》相媲美的數學杰作，而且在18世紀中葉“乾嘉學派”重新發掘研究以前，像“四元術”這樣一些宋元數學的精粹長期失傳、無人通曉。

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