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笛卡兒坐標系 素材 (3)

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笛卡兒坐標系 素材 (3)

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笛卡兒坐標系
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圖 1 - 紅色的圓圈,半徑是 2 ,圓心位于直角坐標系的原點。圓圈的公式為 。
在數學里,笛卡兒坐標系,也稱直角坐標系,是一種正交坐標系。參閱圖 1 ,二維的直角坐標系是由兩條相互垂直、0 點重合的數軸構成的。在平面內,任何一點的坐標 是根據數軸上對應的點的坐標設定的。在平面內,任何一點與坐標的對應關系,類似于數軸上點與坐標的對應關系。
采用直角坐標,幾何形狀可以用代數公式明確的表達出來。幾何形狀的每一個點的直角坐標必須遵守這代數公式。例如,一個圓圈,半徑是 2 ,圓心位于直角坐標系的原點。圓圈可以用公式表達為 。
歷史
笛卡兒坐標系是由法國數學家笛卡兒創建的。1637年,笛卡兒發表了巨作《方法論》(Discours de la méthode) 。這本專門研究與討論西方治學方法的書,提供了許多正確的見解與良好的建議,對于未來的西方學術發展,有很大的貢獻。為了顯示新方法的優點與果效,以及對他個人在科學研究方面的幫助,在《方法論》的附錄中,他增添了另外一本書《幾何》。有關笛卡兒坐標系的研究,就是出現于《幾何》這本書內。笛卡兒在坐標系這方面的研究結合了代數與歐幾里德幾何,對于后來解析幾何、微積分、與地圖學的建樹,具有關鍵的開導力。
二維坐標系統
圖 2 - 直角坐標系。圖中四點的坐標分別為,綠點: ,紅點: ,藍點: ,紫點: 。
圖 3 - 直角坐標系的四個象限,按照逆時針方向,從象限 到象限 。坐標軸的頭部象征著,往所指的方向,無限的延伸。
參閱圖 2 ,二維的直角坐標系通常由兩個互相垂直的坐標軸設定。每一個軸都指向一個特定的方向。這兩個不同線的坐標軸,決定了一個平面,稱為 xy-平面,又稱為笛卡兒平面。通常,橫軸稱為 x-軸。縱軸稱為 y-軸。兩個坐標軸的相交點,稱為原點,通常標記為 O 。
為了要知道坐標軸的任何一點,離原點的距離。假設,我們可以刻畫數值于坐標軸。那么,從原點開始,往坐標軸所指的方向,每隔一個單位長度,就刻畫數值于坐標軸。這數值是刻畫的次數,也是離原點的正值整數距離;同樣地,背著坐標軸所指的方向,我們也可以刻畫出離原點的負值整數距離。稱 x-軸刻畫的數值為 x-坐標,又稱橫坐標,稱 y-軸刻畫的數值為 y-坐標,又稱縱坐標。雖然,在這里,這兩個坐標都是整數,對應于坐標軸特定的點。按照比例,我們可以推廣至實數坐標和其所對應的坐標軸的每一個點。這兩個坐標就是直角坐標系的直角坐標,標記為 。
任何一個點 P 在平面的位置,可以用直角坐標來獨特表達。只要從點 P 畫一條垂直于 x-軸的直線。從這條直線與 x-軸的相交點,可以找到點 P 的 x-坐標。同樣地,可以找到點 P 的 y-坐標。這樣,我們可以得到點 P 的直角坐標。例如,參閱圖 3 ,點 P 的直角坐標是 。
直角坐標系也可以推廣至三維空間與高維空間 (higher dimension) 。
參閱圖 3 ,直角坐標系的兩個坐標軸將平面分成了四個部分,稱為象限,分別用羅馬數字編號為 , , , 。依照慣例,象限 的兩個坐標都是正值;象限 的 x-坐標是負值, y-坐標是正值;象限 的兩個坐標都是負值的;象限 的 x-坐標是正值, y-坐標是負值。所以,象限的編號是按照逆時針方向,從象限 編到象限 。
三維坐標系統
圖 4 - 直角坐標系的幾個坐標曲面。紅色平面的 。黃色平面的 。藍色平面的 。z-軸是垂直的,以白色表示。x-軸以綠色表示。三個坐標曲面相交于點 P (以黑色的圓球表示),直角坐標大約為 。
圖 5 - 三維直角坐標系。y-軸的方向是遠離讀者。
圖 6 - 三維直角坐標系。x-軸的方向是親近讀者。
在原本的二維直角坐標系,再添加一個垂直于 x-軸,y-軸的坐標軸,稱為 z-軸。假若,這三個坐標軸滿足右手定則,則可得到三維的直角坐標系。這 z-軸與 x-軸,y-軸相互正交于原點。在三維空間的任何一點 P ,可以用直角坐標 來表達其位置。例如,參閱圖 5 ,兩個點 P 與 Q 的直角坐標分別為 與 。
三個平面,xy-平面,yz-平面,xz-平面,將三維空間分成了八個部分,稱為卦限 (octant) 。與二維空間的四個象限不同,只有一個卦限有編號。第一號卦限的每一個點的三個坐標都是正值的。
取向
二維空間
直角坐標系的 x-軸與 y-軸必須相互垂直。稱包含 y-軸的直線為 y-線。在二維空間里,當我們設定了 x-軸的位置與方向的同時,我們也設定了 y-線的方向。可是,我們仍舊必須選擇,在 y-線的以原點為共同點的兩條半線中,那一條半線的點的坐標是正值的,那一條是負值的?任何一種選擇決定了 xy-平面的取向。
參閱圖 1 。通常,我們選擇的取向是,正值的 x-軸橫地指向右方,正值的 y-軸縱地指向上方。這種取向稱為正值取向,標準取向,或右手取向。
右手定則是一種常用的記憶方法,專門用來辨認正值取向:將一只半握拳的右手放在平面上,大拇指往上指,那么,其它的手指都從 x-軸指向 y-軸。
另外一種取向,采用左手定則,專門用來辨認負值取向,或左手取向:將一只半握拳的左手放在 xy-平面上,大拇指往上指,那么,其它的手指都從 y-軸指向 x-軸。
不論坐標軸是何種取向,將坐標系統做任何角度的旋轉,取向仍舊會保持不變。
三維空間
圖 7 - 右手定則。
圖 8 – 左邊是左手取向,右邊是右手取向。
直角坐標系的 x-軸,y-軸,與 z-軸必須相互垂直。稱包含 z-軸的直線為 z-線。在三維空間里,當我們設定了 x-軸,y-軸的位置與方向的同時,我們也設定了 z-線的方向。可是,我們仍舊必須選擇,在 z-線以原點為共同點的兩條半線中,那一條半線的點的坐標是正值的,那一條是負值的?這兩種不同的坐標系統,稱為右手坐標系與左手坐標系。右手坐標系又稱為標準坐標系,或正值坐標系。
右手坐標系這名詞是由右手定則而來的。先將右手的手掌與手指伸直。然后,將中指指向往手掌的掌面半空間,與食指呈直角關系。再將大拇指往上指去,與中指,食指都呈直角關系。則大拇指,食指,與中指分別表示了右手坐標系的 x-軸,y-軸,與 z-軸。同樣地,用左手也可以表示出左手坐標系。
圖 8 試著展示出一個左手坐標系與一個右手坐標系。因為我們用二維畫面來展示三維物體,會造成扭曲或模棱兩可的圖形。指向下方與右方的軸,也有指向讀者的意思;而位置居于中間的軸,也有指向讀者正在看的方向的意思。平行于 xy-平面的紅色圓形曲箭,其紅色箭頭從 z-軸前面經過,表示從 x-軸往y-軸的旋轉方向。
向量
采用直角坐標系,在三維空間里,任何一點 P 都可以用向量來表示。我們可以想像向量為一只直箭,其尾部在原點,首部在點 P 。假若點 P 的向量是 ,直角坐標是 。那么,

其中,單位向量 , 與 分別指向 x-軸,y-軸,與 z-軸指向的正無窮值方向。

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