資源簡介

牛頓和萊布尼茨的微積分是不嚴格的，特別在使用無限小概念上的隨意與混亂，這使他們的學說從一開始就受到懷疑和批評。1695年，荷蘭物理學家紐汶蒂在其著作《無限小分析》中指責牛頓的流數術敘述“模糊不清”，萊布尼茨的高階微分“缺乏根據”等。最令人震撼的抨擊是來自英國哲學家、牧師伯克萊，伯克萊在1734年擔任克羅因（在今愛爾蘭境內）主教，同年發表小冊子《分析學家，或致一位不信神的數學家》，副題中“不信神的數學家”是指曾幫助牛頓出版《原理》的哈雷（E.Haley）。伯克萊在書中認為當時的數學家們以歸納代替演繹，沒有為他們的方法提供合法性證明。他集中攻擊牛頓流數論中關于無限小量的混亂假設，例如在首末比方法中，為了求冪的流數，牛頓假設有一個增量，并以它去除的增量得，然后又讓“消失”，得到的流數，伯克萊指出這里關于增量的假設前后矛盾，是“分明的詭辯”。他譏諷地問道：“這些消失的增量究竟是什么呢？它們既不是有限量，也不是無限小，又不是零，難道我們不能稱它們為消逝量的鬼魂嗎？”《分析學家》的主要矛頭是牛頓的流數術，但對萊布尼茨的微積分也同樣竭力非難，認為其中的正確結論，是從錯誤的原理出發通過“錯誤的抵消”而獲得。
牛頓和萊布尼茨的微積分有什么異同？
相同點：
①經過兩人的努力微積分不再是古希臘幾何的附庸 和延伸，而是一門獨立的科學，用來處理較前更 為廣泛的問題。
②兩人都算術化了微積分，即在代數的概念上建立微積分，其中解析幾何成為重要工具。兩人使用的代數符號和方法，不僅給他們提供了比幾何更為有效的工具，而且還允許許多不同的幾何和物理問題用同樣方法處理。
③兩人平分的第三個極端重要的貢獻是把面積、體積及其他以前作為和來處理的問題歸并到反微分（即定積分）。
因此，四個主要問題——速率、切線、最大值和最小值、求和——全部歸結為微分和反微分（即定積分）。
不同點：
①牛頓把x和y 的無窮小增量作為求流數或導數的手 段。當增量越來越小的時候，流數（或導數）實際上就是增量的比的極限。萊布尼茨卻直接用x和y 的無窮小增量（即微分）求出它們之間的關系。這個差別反映了牛頓的物理方向和萊布尼茨 的哲學方向。
①牛頓以微分作為基礎，從考慮變化率出發解決面積和體積問題。萊布尼茨首先想到求和，得到一批求面積的公式，而后才悟出這些和可以用反微分（即定積分）計算。
③牛頓自由地使用級數表示函數，而萊布尼茨寧愿用有限形式。
在創立微積分方面，萊布尼茨與牛頓功績相當．他們各自獨立地發現了微積分基本定理，并建立起一套有效的微分和積分算法；他們都把微積分作為一種適用于一般函數的普遍方法；都把微積分從幾何形式中解脫出來，采用了代數方法和記號，從而擴展了它的應用范圍；都把面積、體積及以前作為和來處理的問題歸結到反微分(積分)．這樣，四個主要問題——速度、切線、極值、求和，便全部歸結為微分和積分．
但是，如果我們認真比較一下牛頓和萊布尼茨的工作，仍會發現一些明顯的不同之處．
第一，牛頓微積分的出發點是力學，他以速度為模型建立起最初的微分學；而萊布尼茨的微積分工作則是從研究和、差可逆性開始的．
第二，在積分方面，牛頓偏重于不定積分，即由給定的流數來確定流量．他把面積和體積問題當作變化率的反問題來解決．而萊布尼茨則偏重于把積分看作微分的無窮和，他把這種算法叫做“求和計算”．所以，萊布尼茨的積分主要是定積分．
第三，盡管牛頓和萊布尼茨的微積分基礎都是無窮小量，但他們對無窮小的理解是不同的．萊布尼茨把無窮小理解為離散的，可分為不同層次，因此他給出高階微分的概念及符號；實際上，他認為一階微分是橫坐標x或縱坐標y的序列的差的序列，二階微分則是這些差的差所組成的序列．反復取差，便可得到k階微分dkx或dky．而牛頓則認為無窮小量無層次可言，他把導數定義為增量比的極限．其結果，牛頓的極限概念比萊布尼茨清楚，但卻未能進入高階微分領域．
第四，牛頓比萊布尼茨更重視微積分的應用，但對于采用什么樣的微積分符號卻不大關心．萊布尼茨對于符號卻是精心設計，反復改進，盡量選用能反映微積分實質的、既方便又醒目的符號．其結果，牛頓的微積分理論對科學技術的影響要大一些，但他那套以點為特征的微積分至今盛行不衰．
第五，兩人的學風也不相同．牛頓比較謹慎而萊布尼茨比較大膽；牛頓注重經驗而萊布尼茨富于想象．牛頓之所以遲遲不愿發表他的微積分成果，就是擔心自己的理論不完善，受到別人反對；而萊布尼茨一旦取得理論上的進展就大膽推廣，例如他在n是整數時得到d(xn)＝nxn－1dx后，便宣布n為分數時也適用．在發表自己的著作方面，他也比牛頓大膽．他說：“我不贊成因過分的細密而阻礙了創造的技巧．”這種學風上的差異似與兩人的哲學傾向有關——牛頓強調經驗而萊布尼茨強調理性．
二、《數學筆記》
從萊布尼茨的《數學筆記》可以看出，他的微積分思想來源于對和、差可逆性的研究．實際上，這一問題可追溯到他于1666年發表的論文《論組合的藝術》(De Art Combinatoria)．他在這篇文章中對數列問題進行了研究，例如，他給出自然數的平方數列
0，1，4，9，16，25，36，… (1)
又給出它的一階差序列
1，3，5，7，9，11，… (2)
及二階差序列
2，2，2，2，2，… (3)
萊布尼茨注意到如下幾個事實：自然數列的二階差消失而平方序列的三階差消失；如果原數列從0開始，則一階差的和等于原數列的最后一項；數列(2)中每項是(1)中相鄰兩項之差而(1)中每項是(2)中左邊各項之和．這些事實對他后來發明微積分是有啟發的．
1673年初，萊布尼茨已經熟悉了費馬、巴羅等人的數學著作，他本人對切線問題及求積問題也有了某些研究．他在惠更斯的勸告下，開始攻讀帕斯卡的著作．他發現在帕斯卡三角形(見下表)中，任何元素是上面一行左邊各項之和，也是下面一行相鄰兩項之差．他立即同自己在1666年的工作聯系起來，洞察到這種和與差之間的互逆性，正和依賴于坐標之差的切線問題及依賴于坐標之和的求積問題的互逆性相一致．所不同的只是，帕斯卡三角形和平方序列中的兩元素之差是有限值，而曲線的縱坐標之差則是無窮小量．
當然，要把一個數列的求和運算與求差運算的互逆關系同微積分聯系起來，必須把數列看作函數的y值，而把任何兩項的差看作兩個y值的差．萊布尼茨正是這樣做的，他用x表示數列的項數而y表示這一項的值，用dx表示數列的相鄰項的序數差而用dy表示相鄰項的值的差．這時，dx顯然為1．借助于數學直觀，萊布尼茨把在有限序列表現出來的和與差之間的可逆關系表示成y=∫dg，符號∫表示和．例如，在萊布尼茨的平方序列中，若x＝4，則y＝(9－4)＋(4-1)＋(1-0)．萊布尼茨進一步用dx表示一般函數的相鄰自變量的差，用dy表示相鄰函數值的差，發者說表示曲線上相鄰兩點的縱坐標之差．于是，∫dy便表示所有這些差的和．這說明萊布尼茨已經把求和問題與積分聯系起來了．
圖11．18清楚地說明了y=∫dy的幾何含義，該圖出現在萊布尼茨的1673年筆記中．不過他在當時還未發明dx，dy和∫等符號，圖中的l相當于dy，至于dx和∫，他當時寫作a和omn(即拉丁文omnia的頭三個字母)．在y＝x的條件下，萊布尼茨得到omn．l=y(即∫dy=y)．若以omn．l表示首項為0的序列的一階差的和，則上式給出序列的最　 到1675年10月，萊布尼茨已經推導出分部積分公式，即
∫xdy=xy-∫ydx．
10月29日的筆記中，他以原來的符號(即omn，l等)記錄了這一公式，但他接著便改用符號∫(sum的頭一個字母s的變形)代替了omn．他明確指出：“∫意味著和，d意味著差．”11月11日，他開始采用dx表示兩個相鄰x值的差，用dy表示相鄰y值的差，即曲線上相鄰兩點的縱坐標之差，萊布尼茨稱其為“微差”．從此，他一直采用符號∫和dx，dy來表示積分與微分(微差)．由于這些符號十分簡明，逐漸流行于世界，沿用至今．
萊布尼茨深刻認識到∫同d的互逆關系，他在10—11月的筆記中斷言：作為求和過程的積分是微分的逆．這一思想的產生是萊布尼茨創立微積分的標志．實際上，他的微積分理論就是以這個被稱為微積分基本定理的重要結論為出發點的．在定積分中，這一定理直接導致了牛頓—萊布尼茨公式(如前所述)的發現．
從11月11日的筆記可以看出，萊布尼茨認為dy和dx可以任意小，他在帕斯卡和巴羅工作的基礎上構造出一個包含dx，dy的“特征三角形”，借以表述他的微積分理論．
如圖11．19，P，Q是曲線上相鄰兩點，PR=dx，QR=dy，所謂特征三角形即由dx，dy和弦PQ組成的無窮小三角形PRQ．萊布尼茨認為，在這個三角形中，弦PQ也是P和Q之間的曲線及過T點的切線的一部分．他進一步認為：三角形PRQ相似于由次切線SU，T點的縱坐標及切線ST組成的三角形SUT．所以dy與dx之比有確定的意義，即：尼茨利用上述理論解決了一個確定的問題，即尋求次法線與縱坐標成反比的曲線．
在圖11．19中，法線是TV而次法線是UV，設UV=p，則由三角形PRQ及TUV的相似性得到

即 pdx＝ydy． (4)

1676年11月左右，萊布尼茨在微積分基本定理的基礎上給出一般的分數．從萊布尼茨的筆記可以看出，他和牛頓一樣，在微積分中常常采用略去無窮小的方法．例如，為了求出曲線下的面(圖11．20)，需要計算曲線下各矩形之和．他說可以忽略剩余的三角形，“因為它們同矩形相比是無窮小……，所以在我的微積分中，我用∫ydx表示面積．”
1676—1677年的數學筆記中還提出如下的微積分法則：
(1)微分中的變量代換法即鏈式法則(1676年)；
(2)函數的和、差、積、商的微分法則(1677年)，即
d(x±y)＝dx±dy，
d(xy)＝xdy+ydx，

(4)曲線繞x軸旋轉而得到的旋轉體體積公式
V=π∫y2dx(1677年)．
綜上所述，萊布尼茨在發現微積分基本定理的基礎上，建立起一套相當系統的微分和積分方法．他成為與牛頓同時代的另一個微積分發明者．當然，他們的成果都是獨立取得的，當他們開始聯系時，已經各自建立起一套具有特色的微積分理論了．
三、《新方法》
這是萊布尼茨公開發表的第一篇微積分論文，是對他的微分成果的概括．
萊布尼茨在論文中對微分給出如下定義：“橫坐標x的微分dx是一個任意量，而縱坐標y的微分dy則可定義為它與dx之比等于縱坐標與次切線之比的那個量．”即
用現代標準來衡量，這個定義是相當好的，因為y與次切線之比就是切線的斜率，所以該定義與我們的導數定義一致．不過萊布尼茨沒有給出嚴格的切線定義，他只是說“求切線就是畫一條連接曲線上距離為無窮小的兩點的直線．”
萊布尼茨還給出微分法則d(xn)＝nxn-1dx的證明及函數的和、差、積、商的微分法則的證明．例如，為求d(uv)(其中u，v是x的函數)，先讓u變為u＋du，v變為v＋dv，于是
d(uv)＝(u＋du)(v＋dv)-uv．
而 (u＋du)(v＋dv)＝uv＋udv＋vdu＋dudv，
所以 d(uv)＝udv＋vdu+dudv．
萊布尼茨認為dudv對于udv+vdu來說是無窮小，可以舍去，從而得出
d(uv)=udv+vdu．
萊布尼茨十分注意微分法的應用，他在文章中討論了用微分法求切線、求極大值、極小值以及求拐點的方法．他指出，當縱坐標v隨x增加而增加時，dv是正的；當v減少時，dv是負的；“當v既不增加也不減少時，就不會出現這兩種情況，這時v是平穩的．”所以v取得極大值或極小值的必要條件是dv＝0，這對應于水平切線．他還說明了拐點的必要條件是d(dv)＝0，即二階微分為0．
在文章的末尾，萊布尼茨解決了一個笛卡兒未能解決的問題：求縱坐標為w的曲線，使其次切距為常數a．對于這樣的曲線，有
　
萊布尼茨考慮x值的一個等差數列，其公差為dx＝b，代入(1)，得

顯然，w的序列與其差的序列成正比，這正是幾何級數特有的性質，所以萊布尼茨斷言：如果x值構成算術序列，則w值構成幾何序列．換句話說，如果w是一些數，則x是它們的對數．因此，所求的曲線是對數曲線．”
萊布尼茨充分認識到微分法的威力，他說：這種方法“可以用來解決一些最困難的、最奇妙的數學問題，如果沒有我們的微分學或者類似的方法，這些問題處理起來決不會這樣容易．”
1686年，萊布尼茨又在《博學學報》上發表了一篇題為“論一種深刻的幾何學與不可分元分析”(De Geometria recon－dita et Analysi Indivisibilium atque Infinitorum)的論文，它與《新方法》是姊妹篇，前者以討論微分為主而本文以討論積分為主．文中的積分號∫是在出版物中首次出現的．萊布尼茨強調說，不能在∫下忽略乘以dx，因為積分是無窮小矩形ydx之和．他在文中用積分方法導出了擺線方程，即

他說：“這個方程完全表示出縱坐標y同橫坐標x間的關系，并能由此推出擺線的一切性質．”他還通過積分來計算圓在第一象限的面積，從而得到π的一個十分漂亮的表達式(圖11．22)．由分部積分公式
　
　
　
1686年以后，萊布尼茨繼續研究微積分．在求曲線曲率、曲線族包絡、判斷級數收斂和求解微分方程方面都取得出色成果．

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