資源簡介

偉大數學家歐拉對數學的貢獻

研究目的
通過對偉大數學家歐拉對數學的貢獻，提高數學素質，加強對數學的興趣，了解歐拉的精神，學習歐拉的思想。
數學是一種精神，一種理性的精神。正是這種精神，激發、促進、鼓舞并驅使人類的思維得以運用到最完善的程度，亦正是這種精神，試圖決定性地影響人類的物質、道德和社會生活；試圖回答有關人類自身存在提出的問題；努力去理解和控制自然；盡力去探求和確立已經獲得知識的最深刻的和最完美的內涵?！　巳R因《西方文化中的數學》
目錄
第一部分………………………………歐拉介紹（歐拉在數學方面的成果）4頁
第二部分………………………………我對歐拉的一個定理的研究7頁
第三部分………………………………對歐拉貢獻總結10頁
第四部分………………………………過程資料（照片）11頁
歐拉介紹
一．歐拉的生平
1707年出生在瑞士的巴塞爾（Basel）城，小時候他就特別喜歡數學，不滿10歲就開始自學《代數學》。這本書連他的幾位老師都沒讀過，可小歐拉卻讀得津津有味，遇到不懂的地方，就用筆作個記號，事后再向別人請教。13歲就進巴塞爾大學讀書，這在當時是個奇跡，曾轟動了數學界。小歐拉是這所大學，也是整個瑞士大學校園里年齡最小的學生。在大學里得到當時最有名的數學家微積分權威約翰·伯努利（Johann Bernoulli，1667-1748年）的精心指導，并逐漸與其建立了深厚的友誼。約翰·伯努利后來曾這樣稱贊青出于藍而勝于藍的學生：“我介紹高等分析時，它還是個孩子，而你將他帶大成人?！眱赡旰蟮南奶?，歐拉獲得巴塞爾大學的學士學位，次年，歐拉又獲得巴塞爾大學的哲學碩士學位。1725年，歐拉開始了他的數學生涯。
　　1725年約翰·伯努利的兒子丹尼爾·伯努利赴俄國，并向沙皇喀德林一世推薦了歐拉，這樣，在1727年5月17日歐拉來到了彼得堡．1733年，年僅26歲的歐拉擔任了彼得堡科學院數學教授．1735年，歐拉解決了一個天文學的難題（計算彗星軌道），這個問題經幾個著名數學家幾個月的努力才得到解決，而歐拉卻用自己發明的方法，三天便完成了．然而過度的工作使他得了眼病，并且不幸右眼失明了，這時他才28歲．1741年歐拉應普魯士彼德烈大帝的邀請，到柏林擔任科學院物理數學所所長，直到1766年，后來在沙皇喀德林二世的誠懇敦聘下重回彼得堡，不料沒有多久，左眼視力衰退，最后完全失明．不幸的事情接踵而來，1771年彼得堡的大火災殃及歐拉住宅，帶病而失明的64歲的歐拉被圍困在大火中，雖然他被別人從火海中救了出來，但他的書房和大量研究成果全部化為灰燼了．
　　沉重的打擊，仍然沒有使歐拉倒下，他發誓要把損失奪回來．歐拉完全失明以后，雖然生活在黑暗中，但仍然以驚人的毅力與黑暗搏斗，憑著記憶和心算進行研究，直到逝世，竟達17年之久．
1783年9月18日，在不久前才剛計算完氣球上升定律的歐拉，在興奮中突然停止了呼吸，享年76歲。歐拉生活、工作過的三個國家：瑞士、俄國、德國，都把歐拉作為自己的數學家，為有他而感到驕傲。
二．歐拉的名言
1.如果命運是塊頑石，我就化為大錘，將它砸得粉碎！
2.雖然不允許我們看透自然界本質的秘密，從而認識現象的真實原因，但仍可能發生這樣的情形：一定的虛構假設足以解釋許多現象。
三．歐拉的著作
《代數學入門》、《微分學原理》、《無窮分析引論》、《積分學原理》、《尋求具有某種極大或極小性質的曲線的方法》、《關于曲面上曲線的研究》、《代數學入門》…
四．歐拉解決的著名七橋問題
1七橋問題Seven Bridges Problem
18世紀著名古典數學問題之一。在哥尼斯堡的一個公園里，有七座橋將普雷格爾河中兩個島及島與河岸連接起來(如圖)。問是否可能從這四塊陸地中任一塊出發，恰好通過每座橋一次，再回到起點？歐拉于1736年研究并解決了此問題，他把問題歸結為如左圖的“一筆畫”問題，證明上述走法是不可能的。
Euler把每一塊陸地考慮成一個點，連接兩塊陸地的橋以線表示。
后來推論出此種走法是不可能的。他的論點是這樣的，除了起點以外，每一次當一個人由一座橋進入一塊陸地（或點）時，他（或她）同時也由另一座橋離開此點。所以每行經一點時，計算兩座橋（或線），從起點離開的線與最后回到始點的線亦計算兩座橋，因此每一個陸地與其他陸地連接的橋數必為偶數。
五．歐拉在數學得出的結論
1.歐拉線
歐拉于1765年在他的著作《三角形的幾何學》中首次提出定理：三角形的重心在歐拉線上，即三角形的重心、垂心和外心共線。他證明了在任意三角形中，以上四點共線。歐拉線上的四點中，九點圓圓心到垂心和外心的距離相等，而且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半。
如又圖，歐拉線（圖中的紅線）是指過三角形的垂心（藍）、外心（綠）、重心（黃）和歐拉圓圓心（紅點）的一條直線
2.歐拉函數
φ(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…..(1-1/pn),其中p1, p2……pn為x的所有質因數，x是不為0的整數。φ(1)=1（唯一和1互質的數(小于等于1)就是1本身）。 (注意：每種質因數只一個。比如12=2*2*3
若n是質數p的k次冪，φ(n)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1)，因為除了p的倍數外，其他數都跟n互質。
設n為正整數，以 φ(n)表示不超過n且與n互
素的正整數的個數，稱為n的歐拉函數值，這里函數
φ：N→N，n→φ(n)稱為歐拉函數。
3.歐拉定理
在數論中，歐拉定理,（也稱費馬-歐拉定理）是一個關于同余的性質。歐拉定理表明，若n,a為正整數，且n,a互質，則:
4.歐拉恒等式
其中e是自然指數的底，i是虛數單位，π是圓周率。
這條恒等式第一次出現于1748年歐拉在洛桑出版的書Introduction。這是復分析的歐拉公式的特例：對任何實數x，
，作代入即給出恒等式。
理查德·費曼稱這恒等式為“數學最奇妙的公式”，因為它把5個最基本的數學常數簡潔地連系起來。
這個等式也叫做歐拉公式，它是數學里最令人著迷的一個公式，它將數學里最重要的幾個數學聯系到了一起：兩個超越數：自然對數的底e，圓周率π，兩個單位：虛數單位i和自然數的單位1，以及數學里常見的0。數學家們評價它是“上帝創造的公式”，我們只能看它而不能理解它
5.歐拉多面體
若用f表示一個正多面體的面數，e表示棱數，v表示頂點數，則有f＋v－e=2
我對歐拉的一個定理的研究
——歐拉線
萊昂哈德·歐拉于1765年在他的著作《三角形的幾何學》中首次提出定理：三角形的重心在歐拉線上，即三角形的重心、垂心和外心共線。他證明了在任意三角形中，以上四點共線。歐拉線上的四點中，九點圓圓心到垂心和外心的 距離相等，而且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半。
歐拉線是指過三角形的垂心、外心、重心和歐拉圓圓心的一條直線。
注：三角形三邊的中點,三高的垂足和三個歐拉點（連結三角形各頂點與垂心所得三線段的中點）九點共圓，稱為歐拉圓。
證明：
證法1
作△ABC的外接圓?連結并延長BO?交外接圓于點D。連結AD、CD、AH、CH、OH。作中線AM?設AM交OH于點G’
∵ BD是直徑
∴ ∠BAD、∠BCD是直角
∴ AD⊥AB，DC⊥BC
∵ CH⊥AB，AH⊥BC
∴ DA//CH，DC//AH
∴ 四邊形ADCH是平行四邊形
∴ AH=DC
∵ M是BC的中點，O是BD的中點
∴ OM= 1/2DC
∴ OM= 1/2AH
∵ OM//AH
∴ △OMG’ ∽△HAG’
∴AG’/MG’=AH/MO=2/1
∴ G’是△ABC的重心
∴ G與G’重合
∴ O、G、H三點在同一條直線上
∴△OMG ∽△HAG,OM/AH=1/2
∴OG/HG=1/2
證法2
設H,G,O,分別為△ABC的垂心、重心、外心
。聯結AG并延長交BC于D, 則可知D為BC中點。
聯結OD ，又因為O為外心，所以OD⊥BC。聯結AH并延長交BC于E,因H為垂心,所以 AE⊥BC。所以OD//AE，有∠ODA=∠EAD。由于G為重心，則GA:GD=2:1。
聯結CG并延長交BA于F,則可知F為AB中點。同理，OF//CM.所以有∠OFC=∠MCF
聯結FD，有FD平行AC,且有DF:AC=1:2。FD平行AC，所以∠DFC=∠FCA，∠FDA=∠CAD，又∠OFC=∠MCF，∠ODA=∠EAD，相減可得∠OFD=∠HCA,∠ODF=∠EAC,所以有△OFD∽△HCA,所以OD:HA=DF:AC=1:2；又GA:GD=2:1所以HA:OD=GA:GD=2:1
又∠ODA=∠EAD，所以△OGD∽△HGA。所以∠OGD=∠AGH,又聯結AG并延長，所以∠AGH+∠DGH=180°,所以∠OGD+∠DGH=180°。即O、G、H三點共線。
證法3
利用向量證明，簡單明了
設H,G,O,分別為△ABC的垂心、重心、外心.，D為BC邊上的中點。
∵向量OH=向量OA+向量AH=向量OA+2向量OD……………………………………………………………………（1）
=向量OA+向量OB+向量BD+向量OC+向量CD
=向量OA+向量OB+向量OC；
而向量OG=向量OA+向量AG
=向量OA+1/3（向量AB+向量AC）……………………………………………（2）
=1/3[向量OA+（向量OA+向量AB）+（向量OA+向量AC）]
=1/3（向量OA+向量OB+向量OC）.
∴向量OG=1/3向量OH，
∴O、G、H三點共線且OG=1/3OH。
歐拉線的應用1 ： 平面上共圓的5個點,任取其中3點組成三角形,過其重心作另外兩點連線的垂線,共有10條。則這10線交于一點。
證明：設5個點對應的向量分別是z1, z2, z3, z4, z5，且它們的模相等。
因為|z1|=|z2|，所以0, z1, z2, z1+z2這四個點構成一個菱形，所以它們的對角線垂直，所以垂直于z1、z2的連線就相當于平行于z1+z2。
這樣經過三角形z3, z4, z5的重心，且垂直于z1, z2連線的直線方程就是
z(t) = (z3+z4+z5)/3 + t(z1+z2)，其中t是任意實數。
取 t=1/3，就得到(z1+z2+z3+z4+z5)/3在這直線上。同理可得這點在所有這類直線上。
2：平面上共圓的5個點,任取其中3點組成三角形,過其垂心作另外兩點連線的垂線,共有10條。則這10線交于一點。
3：平面上共圓的5個點,任取其中3點組成三角形,過其九點圓圓心作另外兩點連線的垂線,共有10條。則這10線交于一點。
證明：第2，3個結論緣于以下事實：歐拉線上的四點中，九點圓圓心到垂心和外心的距離相等，而且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半。
對歐拉貢獻研究總結
一．瑞士教育與研究國務秘書Charles Kleiber曾表示：“沒有歐拉的眾多科學發現，今天的我們將過著完全不一樣的生活。”法國數學家拉普拉斯則認為：讀讀歐拉，他是所有人的老師。[2]2007年，為慶祝歐拉誕辰300周年，瑞士政府、中國科學院及中國教育部于2007年4月23日下午在北京的中國科學院文獻情報中心共同舉辦紀念活動，回顧歐拉的生平、工作以及對現代生活的影響。
我認為歐拉是是18世紀數學界最杰出的人物之一，他不但為數學界作出貢獻，更把整個數學推至物理的領域，，平均每年寫出八百多頁的論文，他是數學史上最多產的數學家。正因為他的驚人的記憶力與口算速度震驚世界。
“天才在于勤奮，歐拉就是這條真理的化身。”李文林表示，“很多科學家都很勤奮，而歐拉最為典型。他失明后的十多年都是在完全看不見的情況下作研究。歐拉心算能力很強，可以通過口述讓別人記錄。有一次歐拉的兩個學生算無窮級數求和，算到第17項時兩人在小數點后第50位數字上發生爭執，歐拉這時進行心算，迅速給出了正確答案?！?br/>二．通過這次對偉大數學家歐拉對數學貢獻的研究，加深了自己對數學的興趣，同時也讓我學會了歐拉鍥而不舍的精神。
如果命運是塊頑石，我就化為大錘，將它砸得粉碎！
研究過程資料
初等數論中歐拉定理的學習
初中競賽時學到的歐拉線
我做出的歐拉線的證法
參考文獻--------
百度網頁
百度知道
中國知網
第一范文網

展開更多......

收起↑