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課件20張PPT。卡爾·弗里德里希·高斯 德國(guó)著名數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、
天文學(xué)家、大地測(cè)量學(xué)家。和牛頓、
阿基米德，被譽(yù)為有史以來(lái)的三大數(shù)
學(xué)家，是近代數(shù)學(xué)奠基者之一，18歲
的發(fā)現(xiàn)了質(zhì)數(shù)分布定理和最小二乘法。
通過(guò)對(duì)足夠多的測(cè)量數(shù)據(jù)的處理后，
可以得到一個(gè)新的、概率性質(zhì)的測(cè)量結(jié)果。
在這些基礎(chǔ)之上，高斯隨后專(zhuān)注于曲面與曲線的計(jì)算，并成功
得到高斯鐘形曲線（正態(tài)分布曲線）。其函數(shù)被命名
為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（或高斯分布），并在概率計(jì)算中大
量使用。1799年高斯于黑爾姆施泰特大學(xué)因證明代數(shù)基本定理
獲博士學(xué)位。從1807年起擔(dān)任哥廷根大學(xué)教授兼哥廷根天文臺(tái)
臺(tái)長(zhǎng)直至逝世。高斯的肖像被印在從1989年至2001年流通的
10德國(guó)馬克的紙幣上。引例： 某學(xué)校要招開(kāi)學(xué)生代表大會(huì)，規(guī)定各班每
10人推選一名代表，當(dāng)各班人數(shù)除以10的余數(shù)大
于6時(shí)再增選一名代表.那么，各班可推選代表人數(shù)y與
該班人數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系式是怎么樣的呢？如果班級(jí)人數(shù)不是10的倍數(shù)時(shí)，y與x的函數(shù)關(guān)系式怎么表示呢？專(zhuān)題：高斯函數(shù)[x]又名“取整函數(shù)” 設(shè) x 為任意實(shí)數(shù)，不超過(guò)x的最大整數(shù)稱(chēng)為 x的整數(shù)部分，記作 [x] ,稱(chēng)為高斯函數(shù)（或方括號(hào)函數(shù)）．稱(chēng)x －[x] 為 x 的小數(shù)部分，記作{x}．
　　例如，[0.25] = 0，[ ] = 7，[－3] = －3， {π}=0.14159，[－π]=－4，…由定義1可直接推得下列性質(zhì)：
1 x = [x] + {x}； ０≤ {x} <1．
2 x－1< [x] ≤ x < [x]+1.
定義 1定理1(1) 若x ≤ y,則 [ x] ≤ [ y];
(2) 當(dāng) n∈Z時(shí), [n+x] = n + [x],{n+x} = {x}.設(shè)x, y ∈R, ，則有(1)證：∵[ x] ≤ x ≤ y < [ y] ＋1 , ∴ [ x] ≤ [ y].嚴(yán)格不等式 !探索： [ x-y]與[ x]-[ y]之間的關(guān)系 證：因0≤ {x},{y} <1，故0≤{x}+{y}<2. 于是由x+y = [x] + [y]+{x}+{y}即知故[x] + [y] ≤[ x+y] ≤[x] + [y] ＋1．證畢．而0≤{x + y}是顯然的.定義 !上述第一種等號(hào),第二種小于號(hào) !據(jù)此，又可得定理1.28 若x ∈R＋, n ∈Z＋,則從1到 x 所有整數(shù)中, n 的倍數(shù)有 [ ]個(gè)例1重新思考：帶余數(shù)除法的表達(dá)式例1 求在 200到 500 的整數(shù)中， 7 的倍數(shù)有多少個(gè)？解∴所求7 的倍數(shù)有 71 － 28 = 43 （個(gè)）.定理1 設(shè)n≥2，則在 n! 的標(biāo)準(zhǔn)分解式中，記素因數(shù) p 的指數(shù)α= fp (n!) , 則證：若p>n，則p | n!，即在 n! 的標(biāo)準(zhǔn)分解式中p的指數(shù)是零，此時(shí)(1)顯然成立．現(xiàn)設(shè) p≤n， 可知數(shù)列1, 2, …, n 中，p 的倍數(shù)共有[ ]個(gè)：p，2p，…，[ ] p．它們的積是注意 在定理中如果 p 不是質(zhì)數(shù)，則結(jié)論不成立．比如 n = 15 ， p = 4 時(shí). 例 數(shù)100! 末尾連續(xù)地有多少位全是零? 解：命題等價(jià)于求100!可被10的多少次方整除．因10=2× 5，而由定理1知100! 中2的指數(shù)大于5的指數(shù)，因而100! 中 5 的指數(shù) α就是需求的100! 末尾全是零的位數(shù)．但推論 n!的標(biāo)準(zhǔn)分解式是100!=93326215443944152681699238856266700490715968264381621468592963895217599993229915608941463976156518286253697920827223758251185210916864000000000000000000000000定理4 設(shè)n是正整數(shù)，1≤k≤n-1，則若n是素?cái)?shù)，則 例 試證埃爾米特(Hermite)恒等式：證明思路1: 湊整：
等式左邊可以分成兩部分：一是 x 的整數(shù)部分相加．二是由 x 的小數(shù)部分加上 i / n ( i =1, 2, …, n－1), 然后取整得到的．再與右邊比較。 證明思路2：函數(shù)思想 ( 構(gòu)造函數(shù) f(x) 為等式右側(cè)減左側(cè)的差。 ) 證明過(guò)程當(dāng)x是任意正實(shí)數(shù)時(shí),即厄米特恒等式成立.證畢.當(dāng)是任意正實(shí)數(shù)時(shí),即厄米特恒等式成立.定理證畢.問(wèn)題探討1設(shè)n正整數(shù)，則
進(jìn)一步問(wèn)題探討2設(shè)x和y是正無(wú)理數(shù)，證明：數(shù)列[x],[2x], …,[kx], …與[y],[2y], …,[ky], …聯(lián)合構(gòu)成了整個(gè)正整數(shù)集合，而且，兩個(gè)數(shù)列中的數(shù)互不相同。證明思路：
1.在上述數(shù)列中有一個(gè)數(shù)等于給定的正整數(shù)n;
2.對(duì)于任意給定的正整數(shù) n，總可找到某個(gè)正整數(shù)k，使得n等于[kx]或者[ky]。思路: 化為求不等式的整數(shù)解, 因?yàn)檎麛?shù)解只有有限個(gè).
化的依據(jù): [x] ≤ x < [x]+1 (定義導(dǎo)出的最基本性質(zhì))解關(guān)于 y 的不等式得

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