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康托與集合論
康托（Georg
Cantor，1845-1918）
德國數學家，19世紀數學偉大成就之一——集合論的創立人。1845年3月3日生于俄國彼得堡一個猶太商人的家庭。1856年全家遷居德國法蘭克福。康托先后就學于蘇黎世大學、哥廷根大學、法蘭克福大學和柏林大學，主要學習哲學、數學和物理。
十九世紀初，許多迫切問題得到解決后，出現了一場重建數學基礎的運動。正是在這場運動中，康托爾開始探討了前人從未碰過的實數點集。
這是集合論研究的開端。1874年，德國數學家康托爾在著名的《克雷爾數學雜志》上發表了關于無窮集合論的第一章革命性文章。從1874年到1884年，康托爾的一系列關于集合的文章，奠定了集合論的基礎。他對集合所下的定義是：把若干確定的、有區別的（不論是具體的或抽象的）事物合并起來，看作一個整體，其中各事物稱為該集合的元素。
集合是數學的一個基本分支，在數學中占據著一個極其獨特的地位，其基本概念已滲透到數學的所有領域。如果把現代數學比作一座無比輝煌的大廈，那么可以說集合論正是構成這座大廈的基石，由此可見它在數學中的重要性。其創始人康托爾也以其集合論的成就被譽為對二十世紀數學發展影響最深的學者之一。
但是如同每一個新事物的出現一樣，集合論一經問世就遭到許多數學家及其他學者的激烈反對。當時的權威數學家克羅內克(Kronecker)非常敵視康托爾的集合論思想，時間達整整十年之久，法國數學大家龐加萊(Poincare)則預測后一代人將把集合論當作一種疾病。在猛烈的攻擊下與過度的用腦思考中，康托爾本人一度成為這一激烈論爭的犧牲品，他得了精神分裂癥，幾次陷于精神崩潰。然而烏云遮不住太陽，經歷二十余年后，集合論最終獲得了世界公認。到二十世紀初集合論已得到數學家們的贊同。數學家們樂觀地認為從算術公理系統出發，只要借助集合論的概念，便可以建造起整個數學的大廈。在1900年第二次國際數學大會上，著名數學家龐加萊就曾興高采烈地宣布“……數學已被算術化了。我們可以說，現在數學已經達到了絕對的嚴格。”然而這種自得的情緒并沒能持續多久。英國哲學家羅素(Russell)就很懷疑數學的這種嚴密性，他經過三年的苦思冥想，于1902年找到了一個能證明自己觀點的簡單明確的“羅素悖論”。不久，集合論是有漏洞的消息迅速就傳遍了數學界。
羅素悖論還有一些較為通俗的版本，如理發師悖論。
在某個城市中有一位理發師，他的廣告詞是這樣寫的：“本人的理發技藝十分高超，譽滿全城。我將為本城所有不給自己刮臉的人刮臉，我也只給這些人刮臉。我對各位表示熱誠歡迎！”來找他刮臉的人絡繹不絕，自然都是那些不給自己刮臉的人。可是，有一天，這位理發師從鏡子里看見自己的胡子長了，他本能地抓起了剃刀，你們看他能不能給他自己刮臉呢？如果他不給自己刮臉，他就屬于“不給自己刮臉的人”，他就要給自己刮臉，而如果他給自己刮臉呢？他又屬于“給自己刮臉的人”，他就不該給自己刮臉。
號稱“天衣無縫”、“絕對嚴密”的數學陷入了自相矛盾之中。從此整個數學的基礎被動搖了，由此引發了數學史上的第三次數學危機。
危機產生后，眾多數學家投入到解決危機的工作中去。1908年，德國數學家策梅羅(E.Zermelo)提出公理化集合論，試圖把集合論公理化的方法來消除悖論。他認為悖論的出現是由于康托爾沒有把集合的概念加以限制，康托爾對集合的定義是含混的．策梅羅希望簡潔的公理能使集合的定義及其具有的性質更為顯然。策梅羅的公理化集合論后來演變成ZF或ZFS公理系統。從此原本直觀的集合概念被建立在嚴格的公理基礎之上，從而避免了悖論的出現。這就是集合論發展的第二個階段：公理化集合論。與此相對應，在1908年以前由康托爾創立的集合論被稱為樸素集合論。公理化集合論是對樸素集合論的嚴格處理。它保留了樸素集合論的有價值的成果并消除了其可能存在的悖論，因而較圓滿地解決了第三次數學危機。公理化集合論的建立，標志著著名數學家希耳伯特所表述的一種激情的勝利！
數學家康托
理發師悖論

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