資源簡介

隨機(jī)變量的數(shù)字特征
學(xué)習(xí)目的與要求：
本章主要討論隨機(jī)變量的數(shù)字特征，概率分布全面地描述隨機(jī)變量取值的統(tǒng)計規(guī)律性，而數(shù)字特征則描述這種統(tǒng)計規(guī)律性的某些重要特征。本章總的要求是：理解期望與方差的概念，掌握期望與方差的性質(zhì)與計算，會計算隨機(jī)變量函數(shù)的期望；掌握兩點(diǎn)分布、二項分布、泊松分布、均勻分布、指數(shù)分布和正態(tài)分布的期望與方差；了解協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)的概念和性質(zhì)，會求相關(guān)系數(shù)，知道矩與協(xié)方差陣的概念及求法。重點(diǎn)內(nèi)容是：期望、方差、協(xié)方差的計算，隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)字期望；難點(diǎn)內(nèi)容是：隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望。
3.1 數(shù)學(xué)期望與方差
3.2 協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)、協(xié)方差矩陣
3.3 條件數(shù)學(xué)期望與回歸
3.4 特征函數(shù)及其性質(zhì)
3.1 數(shù)學(xué)期望與方差
1. 隨機(jī)變量的期望
１）離散型隨機(jī)變量的期望
設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布律為，
則的數(shù)學(xué)期望（簡稱均值或期望）為。
２）連續(xù)型隨機(jī)變量的期望
設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度為，
則隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望（或稱期望或均值），記為，即 。
連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望
設(shè)為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為，又隨機(jī)變量，則 。
３）二維隨機(jī)變量函數(shù)的期望
若為離散型隨機(jī)變量，若其分布律為 ，邊緣分布律為和
則，
若為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，，，分別為的概率密度與邊緣概率密度，則，。
設(shè)為連續(xù)函數(shù)，對于二維隨機(jī)變量的函數(shù)，
若為離散型隨機(jī)變量，則；
若為連續(xù)型隨機(jī)變量，則。
2. 期望的性質(zhì)
　　 １）常數(shù)的期望等于這個常數(shù)，即，其中為常數(shù)。
常數(shù)與隨機(jī)變量乘積的期望等于該常數(shù)與隨機(jī)變量的期望的乘積，即
隨機(jī)變量和的期望等于隨機(jī)變量期望的和，即，
若，是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則
3. 隨機(jī)變量的方差
１）隨機(jī)變量的方差：設(shè)隨機(jī)變量的期望存在，則稱為隨機(jī)變量的方差，記作，即=，稱為的標(biāo)準(zhǔn)差（或均方差）。
２）離散型隨機(jī)變量的方差
設(shè)為離散型隨機(jī)變量，其分布律為，則
３）連續(xù)型隨機(jī)變量的方差
設(shè)為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為，則
４）方差計算的重要公式：
4 方差的性質(zhì)
１）常數(shù)的方差等于零，隨機(jī)變量與常數(shù)之和的方差等于隨機(jī)變量的方差，即， 。
２）常數(shù)與隨機(jī)變量乘積的方差等于這個常數(shù)的平方與隨機(jī)變量方差的乘積，即 ，其中為常數(shù)。
３）若，是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則。
5. 幾種重要的隨機(jī)變量的數(shù)字特征匯總表
離散型
分布
期望
方差
服從參數(shù)為的0-1分布
服從二項分布
服從泊松分布
連續(xù)型
均勻分布
指數(shù)分布
正態(tài)分布
3.2 協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)、協(xié)方差矩陣
1. 協(xié)方差
設(shè)有二維隨機(jī)變量，且存在，如果存在，則稱此值為與的協(xié)方差，記為，即。
當(dāng)為二維離散型隨機(jī)變量時，
其分布律為
則。
當(dāng)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量時，為的概率密度，則 。
協(xié)方差有下列計算公式：（重要公式）
，特別的取時，
有
2. 協(xié)方差的性質(zhì)
；
，其中為任意常數(shù)；
；
若，是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則。
3. 相關(guān)系數(shù)
若,稱為與的相關(guān)系數(shù)，記為，即。
4. 相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)
１） ；
２）的充分必要條件是存在常數(shù)使且。
兩個隨機(jī)變量的相關(guān)系數(shù)是兩個隨機(jī)變量間線性聯(lián)系密切程度的度量，越接近1， 與之間的線性關(guān)系越密切。當(dāng)時，與存在完全的線性關(guān)系，即；時，與之間無線性關(guān)系。
若相關(guān)系數(shù)，則稱與不相關(guān)。
很明顯，當(dāng)時，隨機(jī)變量與不相關(guān)的充分必要條件是。
注意：若隨即變量與相互獨(dú)立，則 ，因此與不相關(guān)，
反之，隨機(jī)變量與不相關(guān)，但與不一定相互獨(dú)立。
若二維隨機(jī)變量服從二維正態(tài)分布，與 的相關(guān)系數(shù)，從而與不相關(guān)的充要條件是與相互獨(dú)立，因此與不相關(guān)和與相互獨(dú)立都等價于。
3.3 條件數(shù)學(xué)期望與回歸
數(shù)學(xué)期望在實際生活中的應(yīng)用
摘要
在現(xiàn)代快速發(fā)展的社會中，數(shù)學(xué)期望作為一門重要的數(shù)學(xué)學(xué)科，它是隨機(jī)變量的重要數(shù)字特征之一，也是隨機(jī)變量最基本的特征之一。通過幾個例子，闡述數(shù)學(xué)期望在實際生活中的應(yīng)用包括經(jīng)濟(jì)決策、彩票抽獎、求職決策、醫(yī)療、體育比賽等方面的一些實例，體現(xiàn)出數(shù)學(xué)期望在實際生活中頗有價值的應(yīng)用。 通過探討數(shù)學(xué)期望在實際生活中的應(yīng)用，以起到讓大家了解知識與人類實踐緊密聯(lián)系的豐富底蘊(yùn)，切身體會到“數(shù)學(xué)的確有用”。 所謂的求數(shù)學(xué)期望其實就是去求隨機(jī)變量的以概率為權(quán)數(shù)的加權(quán)平均值，而平均值這一概念又是我們在實際應(yīng)用中最常用的一個指標(biāo),在預(yù)測中使用是很具有科學(xué)性的。
關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)期望 隨機(jī)變量 性質(zhì) 實際應(yīng)用
Abstract

In the rapid development of modern society, the mathematical expectation as an important mathematical subject, it is one of the important digital features of random variables, is also one of the basic characteristics of random variables. Through several examples, in this paper, the mathematical expectation in the practical application of life including economic decision-making, lottery tickets, job, health, sports, etc. In some instances, manifests the mathematical expectation valuable application in real life. Through discuss the application of mathematical expectation in real life to play let everybody understand the knowledge and practice closely linked human rich background, personal experience "mathematics really useful". So-called mathematical expectation is to actually ask for random variables of the probability weighted average of the weight, and mean value in actual application of this concept is our one of the most commonly used indicators, used in the forecast, it is very scientific.
Key words: Mathematical Expectation; Stochastic Variable; quality; Practical Application
目錄
摘要 1
Abstract 2
第一章 緒論 4
1.1數(shù)學(xué)期望的起源及定義 4
1.2數(shù)學(xué)期望的意義 5
第二章 數(shù)學(xué)期望前瞻 5
2.1離散型 5
2.2連續(xù)型 6
2.3隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望值 7
2.4單獨(dú)數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)期望的算法 7
2.5數(shù)學(xué)期望的基本性質(zhì) 8
第三章 數(shù)學(xué)期望在實際中的應(yīng)用 8
3.1 經(jīng)濟(jì)決策中的應(yīng)用 9
3.2 彩票、抽獎問題 9
3.2.1彩票問題 9
3.2.2抽獎問題 11
3.3 求職決策問題 12
3.4醫(yī)療問題 13
3.5體育比賽問題 14
結(jié)論 16
參考文獻(xiàn) 16
緒論

1.1數(shù)學(xué)期望的起源及定義
早在17世紀(jì)，有一個賭徒向法國著名數(shù)學(xué)家帕斯卡挑戰(zhàn)，給他出了一道題目：甲乙兩個人賭博，他們兩人獲勝的機(jī)率相等，比賽規(guī)則是先勝三局者為贏家，贏家可以獲得100法郎的獎勵。當(dāng)比賽進(jìn)行到第三局的時候，甲勝了兩局，乙勝了一局，這時由于某些原因中止了比賽，那么如何分配這100法郎才比較公平？用概率論的知識，不難得知，甲獲勝的概率為1/2+(1/2)*(1/2)=3/4，或者分析乙獲勝的概率為(1/2)*(1/2)=1/4。因此由此引出了甲的期望所得值為100*3/4=75法郎，乙的期望所得值為25法郎。這個故事里出現(xiàn)了“期望”這個詞，數(shù)學(xué)期望由此而來。
數(shù)學(xué)期望(mathematical expectation)簡稱期望，又稱均值，是概率論中一項重要的數(shù)字特征，其定義我們可以通過一個數(shù)學(xué)例題來了解：擲一枚質(zhì)地均勻的骰子次，觀察每次出現(xiàn)點(diǎn)數(shù).它是一個隨機(jī)變量，如果用、、、、、表示出現(xiàn)1、2、3、4、5、6點(diǎn)的次數(shù)，那么每次投擲骰子出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)的平均值為
=
表示事件投擲骰子出現(xiàn)點(diǎn)的頻率，由于頻率具有波動性，因此該平均值也具有波動性，并不能代表每次投擲骰子出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)的平均值，當(dāng)很大時，應(yīng)穩(wěn)定于，故該平均值也應(yīng)該穩(wěn)定于
1+2+3+4+5+6
=（1+2+3+4+5+6）=
那么，這使得平均值是真正的每次投擲骰子出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)的平均值，他是隨機(jī)變量的可能取值與所對應(yīng)的概率乘積的總和，這是一個常數(shù)，可以用來描述隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)特征，稱之為的數(shù)學(xué)期望，記作E。
定義1 若離散型隨機(jī)變量可能取值為（=1，2，3 ，…），其分布列為（=1，2，3， …），則當(dāng)<時，則稱存在數(shù)學(xué)期望，并且數(shù)學(xué)期望為E=，如果=，則數(shù)學(xué)期望不存在。
定義2 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為, 若積分是一個有限值，則稱積分為的數(shù)學(xué)期望，記作，即。
1.2數(shù)學(xué)期望的意義
數(shù)學(xué)期望在實際中的應(yīng)用涉及面又大又廣泛，作為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論中統(tǒng)計學(xué)上的數(shù)字特征，廣泛應(yīng)用于數(shù)據(jù)分析、經(jīng)濟(jì)、社會、醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域。其意義是解決實踐中抽象出來的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分析的方法，從而達(dá)到認(rèn)識客觀世界規(guī)律的目的，為進(jìn)一步的決策分析等提供準(zhǔn)確的理論依據(jù)。

數(shù)學(xué)期望前瞻
2.1離散型

離散型隨機(jī)變量的分類：隨機(jī)取值的變量就是隨機(jī)變量，隨機(jī)變量分為離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量兩種（變量分為定性和定量兩類，其中定性變量又分為分類變量和有序變量；定量變量分為離散型和連續(xù)型），隨機(jī)變量的函數(shù)仍為隨機(jī)變量。
有些隨機(jī)變量,它全部可能取到的不相同的值是有限個或無限多個，這種隨機(jī)變量稱為"離散型隨機(jī)變量"。
離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)的取值的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率的和。
定義2.1：如果隨機(jī)變量X只可能取有限個或至多可列個值，則稱X為離散型隨機(jī)變量。
定義2.2：設(shè)X為離散型隨機(jī)變量，它的一切可能取值為X1，X2，……，Xn，……，記P=P{X=xn},n=1,2……(2.1)
稱(2.1)式為X的概率函數(shù)，又稱為X的概率分布，簡稱分布。
離散型隨機(jī)變量的概率分布有兩條基本性質(zhì)：
(1)非負(fù)性 Pn≥0 n=1,2,…
(2)歸一性 ∑pn=1
對于集合{xn,n=1,2,……}中的任何一個子集A,事件“X在A中取值”即“X∈A”的概率為
P{X∈A}=∑Pn
特別的，如果一個試驗所包含的事件只有兩個，其概率分布為
P{X=x1}=p(0P{X=x2}=1-p=q
這種分布稱為兩點(diǎn)分布。 如果x1=1,x2=0,有
P{X=1}=p
P{X=0}=q
這時稱X服從參數(shù)為p的0-1分布，它是離散型隨機(jī)變量分布中最簡單的一種。由于是數(shù)學(xué)家伯努利最先研究發(fā)現(xiàn)的，為了紀(jì)念他，我們也把服從這種分布的試驗叫伯努利試驗。習(xí)慣上，把伯努利的一種結(jié)果稱為“成功”，另一種稱為“失敗”。
2.2連續(xù)型
若隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x)可表示成一個非負(fù)可積函數(shù)f(x)的積分，則稱X為連續(xù)性隨機(jī)變量，f(x)稱為X的概率密度函數(shù)（分布密度函數(shù)）。能按一定次序一一列出，其值域為一個或若干個有限或無限區(qū)間，這樣的隨機(jī)變量稱為離散型隨機(jī)變量。
離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量也是由隨機(jī)變量取值范圍(取值)確定，變量取值只能取離散型的自然數(shù)，就是離散型隨機(jī)變量；
比如，一次擲20個硬幣，k個硬幣正面朝上，k是隨機(jī)變量，k的取值只能是自然數(shù)0，1，2，…，20，而不能取小數(shù)3.5、無理數(shù)√20，因而k是離散型隨機(jī)變量。
如果變量可以在某個區(qū)間內(nèi)取任一實數(shù)，即變量的取值可以是連續(xù)的，這隨機(jī)變量就稱為連續(xù)型隨機(jī)變量；
比如，公共汽車每15分鐘一班，某人在站臺等車時間x是個隨機(jī)變量，x的取值范圍是[0,15），它是一個區(qū)間，從理論上說在這個區(qū)間內(nèi)可取任一實數(shù)3.5、√20等，因而稱這隨機(jī)變量是連續(xù)型隨機(jī)變量。
連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為f(x)，若積分：
絕對收斂，則稱此積分值為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，記為：
2.3隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望值
在概率論和統(tǒng)計學(xué)中，一個離散性隨機(jī)變量的期望值（或數(shù)學(xué)期望、或均值，亦簡稱期望）是試驗中每次可能結(jié)果的概率乘以其結(jié)果的總和。換句話說，期望值是隨機(jī)試驗在同樣的機(jī)會下重復(fù)多次的結(jié)果計算出的等同“期望”的平均值。需要注意的是，期望值并不一定等同于常識中的“期望”——“期望值”也許與每一個結(jié)果都不相等（我們可以用一道簡單的數(shù)學(xué)題目來參照）。
假設(shè)：某大廈的一部電梯從底層出發(fā)后只能在第18、19、20層可以停靠。若該電梯在底層載有3位乘客,且每位乘客在第三層下電梯的概率均為3分之一，用期望值表示這3位乘客在第20曾下電梯的人數(shù)，求：1.隨機(jī)變量"E"(隨機(jī)變量)的分布列2.隨機(jī)變量"E"(隨機(jī)變量)的期望
設(shè)A為這三個乘客中在第20層下電梯人數(shù)，則A的可能取值為0，1，2，3，下面計算每一種可能取值的概率：P(A=0)=P(三個人都不在20層下)=（2/3）^3=8/27 ,P(A=1)=P(其中兩人不在20層下另一人在20層下) =C（3，2）（2/3）^2 1/3=4/9 ,P(A=2)=P(其中兩人在20層下另一人不在20層下) =C（3，2）（1/3）^2 2/3=2/9 ,P(A=3)=P(三人都在20層下)=（1/3）^3=1/27檢驗P(0)+P(1)+P(2)+P(3)=1 ,滿足歸一條件。分布列及數(shù)學(xué)期望便即可得出：
A
0
1
2
3
P
8/27
4/9
2/9
1/27
數(shù)學(xué)期望E=1.數(shù)學(xué)期望的計算還有更簡單的方法：每個人在三層中的任一層下電梯是等概率的，等可能事件，概率為1/3，所以在每層下的人數(shù)的期望E=總?cè)藬?shù)*每個人在每層下的概率=31/3=1。本題若改為有6人，則期望=61/3=2。
2.4單獨(dú)數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)期望的算法
數(shù)學(xué)期望：E(X) = X1p(X1） + X2p(X2） + …… + Xnp(Xn)
X1,X2,X3，……，Xn為這幾個數(shù)據(jù)，p(X1）,p(X2）,p(X3），……p(Xn)為這幾個數(shù)據(jù)的概率函數(shù)。在隨機(jī)出現(xiàn)的幾個數(shù)據(jù)中p(X1）,p(X2）,p(X3），……p(Xn) 概率函數(shù)就理解為數(shù)據(jù)X1,X2,X3，……，Xn出現(xiàn)的頻率f(Xi).則：
E(X) = X1p(X1） + X2p(X2） + …… + Xnp(Xn) = X1f1(X1） + X2f2(X2） + …… + Xnfn(Xn)
很容易證明E(X)對于這幾個數(shù)據(jù)來說就是他們的算術(shù)平均值。
我們舉個例子，比如說有這么幾個數(shù)：
1，1，2，5，2，6，5，8，9，4，8，1
1出現(xiàn)的次數(shù)為3次，占所有數(shù)據(jù)出現(xiàn)次數(shù)的3/12，這個3/12就是1所對應(yīng)的頻率。同理，可以計算出f(2) = 2/12, f(5) = 2/12,f(6) = 1/12,f(8) = 2/12,f(9) = 1/12,f(4) = 1/12 根據(jù)數(shù)學(xué)期望的定義：
E(X) = 1f(1) + 2f(2) + 5f(5) + 6f(6) + 8f(8) + 9f(9) + 4f(4) = 13/3
所以 E(X) = 13/3,
現(xiàn)在算這些數(shù)的算術(shù)平均值：
Xa = （1+1+2+5+2+6+5+8+9+4+8+1）/12 = 13/3
所以E(X) = 13/3。
2.5數(shù)學(xué)期望的基本性質(zhì)
設(shè)C、a、b為常數(shù)，ξ為隨機(jī)變量，則有如下性質(zhì)
性質(zhì)1 常數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于本身：.
證明：以離散隨機(jī)變量為例來證明，對于連續(xù)隨機(jī)變量可類似地證明。下同，
把常數(shù)視為概率1取本身值的離散隨機(jī)變量，即得 .
性質(zhì)2
證明：設(shè)隨機(jī)變量的概率分布為=,（=1,2,…）則
.
性質(zhì)3 .
證明：.
性質(zhì)4 .
證明：利用前三個性質(zhì)得。
數(shù)學(xué)期望在實際中的應(yīng)用
3.1 經(jīng)濟(jì)決策中的應(yīng)用
假設(shè)某一超市出售的某種商品，每周的需求量在10至30范圍內(nèi)等可能取值，該商品的進(jìn)貨量也在10至30范圍內(nèi)等可能取值（每周只進(jìn)一次貨）超市每銷售一單位商品可獲利500元，若供大于求，則削價處理，每處理一單位商品虧損100元；若供不應(yīng)求，可從其他超市調(diào)撥，此時超市商品可獲利300元。試計算進(jìn)貨量多少時，超市可獲得最佳利潤？并求出最大利潤的期望值。
分析：由于該商品的需求量（銷售量）是一個隨機(jī)變量，它在區(qū)間上均勻分布，而銷售該商品的利潤值也是隨機(jī)變量，它是的函數(shù)，稱為隨機(jī)變量的函數(shù)。題中所涉及的最佳利潤只能是利潤的數(shù)學(xué)期望（即平均利潤的最大值）。因此，本問題的解算過程是先確定與的函數(shù)關(guān)系，再求出的期望。最后利用極值法求出的極大值點(diǎn)及最大值。
先假設(shè)每周的進(jìn)貨量為，則
=
=
利潤的數(shù)學(xué)期望為：
=+
=-7.5+350+5250
=-15+350=0
=23.33
的最大值=-7.5+350+52509333.3元
根據(jù)結(jié)果可知，周最佳進(jìn)貨量為23.33（單位），最大利潤的期望值為9333.3元。
3.2 彩票、抽獎問題
3.2.1彩票問題
隨著社會生活的豐富，人們購買彩票，談?wù)摬势敝歇劦臒岢闭谂d起。報紙上不時發(fā)表談?wù)摬势钡奈恼拢袝r也談到摸彩與數(shù)學(xué)的關(guān)系。但眾所紛紜，也說不詳，論也不確。眾所周知，彩票抽獎屬于“獨(dú)立隨機(jī)事件”，彩票預(yù)測違背科學(xué)。但從總體上來說，中獎號碼有服從于某些統(tǒng)計規(guī)律。 為了研究彩票中的概率統(tǒng)計問題，我們選取了體育彩票和七樂彩及一些簡單的模擬實驗來幫助我們研究，例如：我們進(jìn)行了模紅白球的實驗，先進(jìn)性簡單的概率計算問題，我們又以體育彩票和七樂彩為輔助實驗并根據(jù)。由此我們計算出體彩的中獎概率如下（以一注為單位）特等獎P0=1/10000000
一等獎P1=1/1000000
二等獎P2=20/1000000
三等獎P3=300/1000000
四等獎P4=4000/1000000
五等獎P5=50000/1000000
P=P0+P1+P2+P3+P4+P5=0.0543211這就是說每1000注彩票約有54注中獎經(jīng)過公式計算我們計算出了七樂彩的中獎概率：一等獎C30~1/2035
二等獎P1=1/290829
三等獎P2=1/13219
四等獎P3=1/4406
五等獎P4=1/420
六等獎P5=1/252
七等獎P6=1/38 一般來說，各類彩票各獎級的中獎幾率總和在4%-5%左右。如果要中獎金數(shù)目大的最高獎，概率一般為幾十萬至幾百萬分之一，難度更大，是可遇不可求的。對于購買題材只能是本著對中國體育事業(yè)的支持的想法，而不能對回報有過高的期望。 彩票的中獎概率與數(shù)學(xué)里的統(tǒng)計學(xué)有著密切的關(guān)系，通過統(tǒng)計概率，我們可以更好的發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)統(tǒng)計學(xué)與生活的密切關(guān)系。在彩票市場異常火爆的今天作為一個理性的彩迷，我們應(yīng)該對彩票有正確的認(rèn)識，買彩票是一種自愿的活動，是彩民的個人愛好，理智的彩民不該抱著賭博的心態(tài)，孤注一擲，投入極大的資金，應(yīng)量力而出以平常健康重在參與的心態(tài)買彩票。
3.2.2抽獎問題
假設(shè)某百貨超市現(xiàn)有一批快到期的日用產(chǎn)品急需處理，超市老板設(shè)計了免費(fèi)抽獎活動來處理掉了這些商品。紙箱中裝有大小相同的個球，個分，個分，從中摸出個球，摸出的個球的分?jǐn)?shù)之和即為中獎分?jǐn)?shù)，獲獎如下：
一等獎 分，冰柜一個，價值元；
二等獎 分， 電視機(jī)一個，價值元；
三等獎 分， 洗發(fā)液瓶，價值元；
四等獎 分， 洗發(fā)液瓶，價值元；
五等獎 分， 洗發(fā)液瓶，價值元；
六等獎 分， 牙膏一盒， 價值元；
七等獎 分， 洗衣粉一袋，價值元；
八等獎 分， 香皂一塊， 價值元；
九等獎 分， 牙刷一把， 價值元；
十等獎 分與分為優(yōu)惠獎，只収成本價元，將獲得洗發(fā)液一瓶；
解析：表面上看整個活動對顧客都是有利的，一等獎到就等獎都是白得的，只有十等獎才收取一點(diǎn)成本價。但經(jīng)過分析可以知道商家真的就虧損了嗎？顧客就真能從中獲得抽取大獎的機(jī)會嗎？用以上方法分析一下并求得其期望值真相就可大白了。摸出個球的分值只有種情況，用X表示摸獎?wù)攉@得的獎勵金額數(shù)，一等獎等分分，其對應(yīng)
事件，
的取值為，概率可以類似求出，其概率分布為：
X
2500
1000
176
88
44
P
0.000 005
0.000 005
0.000 541
0.000 541
0.010 96
X
8
5
3
2
P
0.077 941
0.238 693
0.077 941
0.010 96
0.582 411
表明商家在平均每一次的抽獎中將獲得元，而平均每個抽獎?wù)邔⒒ㄔ獊硐硎苓@種免費(fèi)的抽獎。從而可以看出顧客真的就站到大便宜了嗎？相反，商家采用這種方法不僅把快要到期的商品處理出去了，而且還為超市大量集聚了人氣，不愧為一舉多得。此百貨超市老板運(yùn)用數(shù)學(xué)期望估計出了他不會虧損而做了這個免費(fèi)抽獎活動，最后一舉多得，從中也看出了數(shù)學(xué)期望這一科學(xué)的方法在經(jīng)濟(jì)決策中的重要性。

3.3 求職決策問題
有三家公司為大學(xué)畢業(yè)生甲提供應(yīng)聘機(jī)會，按面試的時間順序，這三家公司分別記為x、y、z，每家公司都可提供極好、好和一般三種職位。每家公司根據(jù)面試情況決定給求職者何種職位或拒絕提供職位。按規(guī)定，雙方在面試后要立即做出決定提供，接受或拒絕某種職位，且不能毀約。咨詢專家在為甲的學(xué)業(yè)成績和綜合素質(zhì)進(jìn)行評估后，認(rèn)為甲獲得極好、好和一般的可能性依次為0.2、0.3和0.4.三家公司的工資承諾如表：
公司
極好
好
一般
x
3500
3000
2200
y
3900
2950
2500
c
4000
3000
2500
如果甲把工資作為首選條件，那么甲在各公司面試時，對該公司提供的各種職位應(yīng)作何種選擇？
分析：由于面試從x公司開始，甲在選擇x公司三種職位是必須考慮后面y、z公司提供的工資待遇，同樣在y公司面試后，也必須考慮z公司的待遇。因此我們先從z公司開始討論。由于z公司工資期望值為：
（）=40000.2+30000.3+25000.4=2700元
再考慮y公司，由于y公司一般職位工資只有2500，低于z公司的平均工資，因此甲在面對y公司時，只接受極好和好兩種職位，否則去z公司。如此決策時加工資的期望值為：
（）=39000.2+29500.3+27000.5=3015元
最后考慮x公司，x公司只有極好職位工資超過3015，因此甲只接受公司的極好職位。否則去y公司。
甲的整體決策應(yīng)該如此：先去x公司應(yīng)聘，若x公司提供極好職位就接受之。否則去y公司，若y公司提供極好或好的職位就接受之，否則去z公司應(yīng)聘任意一種職位。在這一決策下，甲工資的期望值為：
（）=35000.2+30150.8=3112元
大學(xué)生的就業(yè)問題已引起社會的廣泛關(guān)注。隨著社會生產(chǎn)力水平的不斷提高，各行各業(yè)的就業(yè)崗位已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿足即將從業(yè)者的需求。尤其是一些比較好的崗位，公司，所以興起了公務(wù)員熱，事業(yè)單位熱等社會現(xiàn)象。對于一名即將畢業(yè)的大學(xué)生，面對強(qiáng)手如林的競爭場面，除了刻苦學(xué)習(xí)必備的基礎(chǔ)知識，努力訓(xùn)練從業(yè)的基本技能以外，在求職過程中，應(yīng)該如何進(jìn)行決策，使自己的求職更順利一些，已是一個擺在大學(xué)生面前不容忽視的問題。同時如何提高自己的創(chuàng)新能力，學(xué)習(xí)接受能力也是對畢業(yè)生的一大考驗。
3.4醫(yī)療問題
在某地區(qū)進(jìn)行某種疾病普查，為此要檢驗每個人的血液，如果當(dāng)?shù)赜蠳個人，若逐個檢驗就需要檢驗N次，現(xiàn)在要問：有沒有辦法減少檢驗的工作量？
我們先把受檢驗者分組，假設(shè)每組有k個人，把這k個人的血液混合在一起進(jìn)行檢驗，如果檢驗的結(jié)果為陰性，這說明k個人的血液全為陰性，因而這k個人總共只要檢驗一次就夠了，檢驗的工作量顯然是減少了，但是如果檢驗的結(jié)果是陽性，為了明確k個人中究竟是哪幾個人為陽性，就要對這k個人再逐個進(jìn)行檢驗，這時k個人檢驗的總次數(shù)為k+1次，檢驗的工作量反而有所增加，顯然，這時k個人需要的檢驗次數(shù)可能只要1次，也可能要檢驗k+1次，是一個隨機(jī)變量，為了和老方法比較工作量的大小，應(yīng)該求出它的平均值（也是平均檢驗次數(shù)）。
在接受檢驗的人群中，各個人的檢驗結(jié)果是陽性還是陰性，一般都是獨(dú)立的（如果這種病不是傳染病或遺傳吧遺傳病），并且每個人是陽性結(jié)果的概率為p，就是陰性結(jié)果的概率為q=1-p，這時k個人一組的混合血液呈陰性結(jié)果的概率為，呈陽性結(jié)果的概率則為1－,現(xiàn)在令η為k個人一組混合檢驗時每人所需的檢驗次數(shù)，由上述討論可知η的分布列為：
η
1+
P
1-
由此即可求得每個人所需得平均檢驗次數(shù)為
Eη=.+（1+）（1-）
=1-+
而按原來得老方法每人應(yīng)該檢驗1次，所以當(dāng)
1-+＜1，即q＞
時，用分組的辦法（k個人一組）就能減少檢驗的次數(shù)，如果q是已知的，還可以從
Eη=1-+中選取最合適的整數(shù)，使得平均檢驗次數(shù)Eη達(dá)到最小值，從而使平均檢驗次數(shù)減少。
對一些不同的p值，如下表給出了使Eη達(dá)到最小的值。
陽性反應(yīng)率
陽性反應(yīng)率
0.140
3
0.016
8
0.130
3
0.015
9
0.120
4
0.014
9
0.110
4
0.013
9
0.100
4
0.012
10
0.090
4
0.011
10
0.080
4
0.010
11
0.070
4
0.009
11
0.060
5
0.008
12
0.050
5
0.007
12
0.040
6
0.006
13
0.030
6
0.005
15
0.020
8
0.004
16
0.019
8
0.003
19
0.018
8
0.002
23
0.017
8
0.001
32
我國某醫(yī)療機(jī)構(gòu)在一次普查中，由于采用了上述這種分組的方法，結(jié)果每100個人的平均檢驗次數(shù)為21，減少工作量達(dá)79%。當(dāng)然，減少的工作量的大小與p的數(shù)值由關(guān)，也與每組人數(shù)k有關(guān)。
3.5體育比賽問題
乒乓球是我們的國球，上世界兵兵球也為中國帶了一些外交。中國隊在這項運(yùn)動中具有絕對的優(yōu)勢。現(xiàn)就乒乓球比賽的安排提出一個問題：假設(shè)德國國隊（德國隊名將波爾在中國也有很多球迷）和中國隊比賽。賽制有兩種，一種是雙方各出3人, 三場兩勝制, 一種是雙方各出5人，五場三勝制, 哪一種賽制對中國隊更有利？下面,我們利用數(shù)學(xué)期望解答這個問題。由于中國隊在這項比賽中的優(yōu)勢，我們不妨設(shè)中國隊中每一位隊員德國隊員的勝率都為60%。根據(jù)前面的分析，下面我們只需要比較兩個隊對應(yīng)的數(shù)學(xué)期望即可。
在五場三勝制中，中國隊要取得勝利, 獲勝的場數(shù)有3、4、5三種結(jié)果。我們計算三種結(jié)果對應(yīng)的概率。應(yīng)用二項式定理可知，恰好獲勝三場(即其中兩場失利)對應(yīng)的概率：；
恰好獲勝四場對應(yīng)的概率為：；
五場全部獲勝的概率為： 。
設(shè)隨機(jī)變量為x為為該賽制下中國隊在比賽中獲勝的場數(shù)，則可建立x分布律：
X
3
4
5
P
0.3456
0.2592
0.07776
計算隨機(jī)變量X 的數(shù)學(xué)期望:
E (X ) = 30. 346 5 + 40. 259 2 + 50. 077 76= 2.465 1。在三場兩勝制中，中國隊取得勝利,，獲勝的場數(shù)有2、3兩種結(jié)果。對應(yīng)的概率分別為：恰好獲勝兩場(其中有一場失利)對應(yīng)的概率：；
三場全部獲勝的概率為：
設(shè)隨機(jī)變量Y為該賽制下中國隊在比賽中獲勝的場數(shù), 則可建立Y的分布律：
Y
2
3
P
0.432
0.216
E ( Y) = 20. 432+ 30. 216= 1. 512
比較兩個期望值得：E (X ) > E ( Y)。所以我們可以得出結(jié)論，五場三勝制對中國隊更有利。
結(jié)論
數(shù)學(xué)期望是反映隨機(jī)變量總體取值平均水平的一個重要的數(shù)字特征,而在現(xiàn)實社會中由于不確定因素太多，加上商業(yè)競爭太嚴(yán)重，因此人們在做經(jīng)濟(jì)決策時就會相當(dāng)謹(jǐn)慎，常常會在多個決策中找出最好的一個方案。數(shù)學(xué)期望則成為了決策者們首選的一個幫助決策的科學(xué)方法。本文通過舉例來說明了數(shù)學(xué)期望在實際生活中的重要應(yīng)用，它作為一個數(shù)學(xué)工具被我們的管理者們廣泛的運(yùn)用著。通過以上的舉例還總結(jié)出了數(shù)學(xué)期望在經(jīng)濟(jì)決策中運(yùn)用的一般方法。要學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光去觀察我們身邊發(fā)生的事情，用數(shù)學(xué)眼光看世界。通過運(yùn)用我們所學(xué)習(xí)的排列。組合及概率的知識，綜合運(yùn)用分類計數(shù)分部計數(shù)原理，插孔法、間接法等培養(yǎng)了我們分析問題，解決問題的能力及應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識。
參考文獻(xiàn)
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數(shù)學(xué)期望在生活中的應(yīng)用
摘 要： 數(shù)學(xué)期望是隨機(jī)變量的重要數(shù)字特征之一，也是隨機(jī)變量最基本的特征之一。通過幾個例子,闡述了概率論與數(shù)理統(tǒng)計中的教學(xué)期望在生活中的應(yīng)用,文章內(nèi)容包括決策、利潤、彩票、醫(yī)療等方面的一些實例，闡述了數(shù)學(xué)期望在經(jīng)濟(jì)和實際問題中頗有價值的應(yīng)用。 　　 關(guān)鍵詞： 隨機(jī)變量， 數(shù)學(xué)期望， 概率 ， 統(tǒng)計 　　 　　
數(shù)學(xué)期望(mathematical expectation)簡稱期望，又稱均值，是概率論中一項重要的數(shù)字特征，在經(jīng)濟(jì)管理工作中有著重要的應(yīng)用。本文通過探討數(shù)學(xué)期望在經(jīng)濟(jì)和實際問題中的一些簡單應(yīng)用，以期起到讓學(xué)生了解知識與人類實踐緊密聯(lián)系的豐富底蘊(yùn)，切身體會到“數(shù)學(xué)的確有用”。 
隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望值：
在概率論和統(tǒng)計學(xué)中，一個離散性隨機(jī)變量的期望值（或數(shù)學(xué)期望、或均值，亦簡稱期望）是試驗中每次可能結(jié)果的概率乘以其結(jié)果的總和。換句話說，期望值是隨機(jī)試驗在同樣的機(jī)會下重復(fù)多次的結(jié)果計算出的等同“期望”的平均值。需要注意的是，期望值并不一定等同于常識中的“期望”——“期望值”也許與每一個結(jié)果都不相等。（換句話說，期望值是該變量輸出值的平均數(shù)。期望值并不一定包含于變量的輸出值集合里。）
單獨(dú)數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)期望值算法：
　　對于數(shù)學(xué)期望的定義是這樣的。數(shù)學(xué)期望
　　E(X) = X1*p(X1) + X2*p(X2) + …… + Xn*p(Xn)
　　X1,X2,X3,……,Xn為這幾個數(shù)據(jù)，p(X1),p(X2),p(X3),……p(Xn)為這幾個數(shù)據(jù)的概率函數(shù)。在隨機(jī)出現(xiàn)的幾個數(shù)據(jù)中p(X1),p(X2),p(X3),……p(Xn)概率函數(shù)就理解為數(shù)據(jù)X1,X2,X3,……,Xn出現(xiàn)的頻率f(Xi).則：
　　E(X) = X1*p(X1) + X2*p(X2) + …… + Xn*p(Xn) = X1*f1(X1) + X2*f2(X2) + …… + Xn*fn(Xn)
　　很容易證明E(X)對于這幾個數(shù)據(jù)來說就是他們的算術(shù)平均值。
1 決策方案問題 　決策方案即將數(shù)學(xué)期望最大的方案作為最佳方案加以決策。它幫助人們在復(fù)雜的情況下從可能采取的方案中做出選擇和決定。具體做法為：如果知道任一方案Ai(i=1,2,…m)在每個影響因素Sj(j=1,2,…,n)發(fā)生的情況下，實施某種方案所產(chǎn)生的盈利值及各影響因素發(fā)生的概率,則可以比較各個方案的期望盈利，從而選擇其中期望盈利最高的為最佳方案。　　 　　1.1投資方案 　　假設(shè)某人用10萬元進(jìn)行為期一年的投資，有兩種投資方案：一是購買股票;二是存入銀行獲取利息。買股票的收益取決于經(jīng)濟(jì)形勢，若經(jīng)濟(jì)形勢好可獲利4萬元，形勢中等可獲利1萬元，形勢不好要損失2萬元。如果存入銀行，假設(shè)利率為8%，可得利息8000元，又設(shè)經(jīng)濟(jì)形勢好、中、差的概率分別為30%、50%、20%。試問應(yīng)選擇哪一種方案可使投資的效益較大？ 　　比較兩種投資方案獲利的期望大小： 　　購買股票的獲利期望是E(A1)=4×0.3+1×0.5+(-2)×0.2=1.3(萬元）,存入銀行的獲利期望是E(A2)=0.8（萬元），由于E(A1)>E(A2),所以購買股票的期望收益比存入銀行的期望收益大，應(yīng)采用購買股票的方案。在這里，投資方案有兩種，但經(jīng)濟(jì)形勢是一個不確定因素,做出選擇的根據(jù)必須是數(shù)學(xué)期望高的方案。 　　1.2面試方案 　　設(shè)想某人在求職過程中得到了兩個公司的面試通知，假定每個公司有三種不同的職位:極好的,工資4萬;好的,工資3萬;一般的,工資2.5萬。估計能得到這些職位的概率為0.2、0.3、0.4，有0.1的可能得不到任何職位。由于每家公司都要求在面試時表態(tài)接受或拒絕所提供職位，那么，應(yīng)遵循什么策略應(yīng)答呢？ 　　極端的情況是很好處理的，如提供極好的職位或沒工作，當(dāng)然不用做決定了。對于其他情況，我們的方案是，采取期望受益最大的原則。 先考慮現(xiàn)在進(jìn)行的是最后一次面試，工資的數(shù)學(xué)期望值為: E（A1）=4×0.2+3×0.3+2.5×0.4+0×0.1=2.7萬。 　　那么在進(jìn)行第一次面試時，我們可以認(rèn)為，如果接受一般的值位，期望工資為2.5萬，但若放棄(可到下一家公司碰運(yùn)氣），期望工資為2.7萬，因此可選擇只接受極好的和好的職位。這一策略下工資總的期望　如果此人接到了三份這樣的面試通知,又應(yīng)如何決策呢? 　　最后一次面試,工資的期望值仍為2.7萬。第二次面試的期望值可由下列數(shù)據(jù)求知:極好的職位，工資4萬;好的，工資3萬；一般的，工資2.5萬;沒工作(接受第三次面試），2.7萬。期望值為:E（A2）=4×0.2+3×0.3+2.5×0.4+2.7×0.1=3.05萬。 　　這樣，對于三次面試應(yīng)采取的行動是：第一次只接受極好的職位，否則進(jìn)行第二次面試；第二次面試可接受極好的和好的職位，否則進(jìn)行第三次面試；第三次面試則接受任何可能提供的職位。這一策略下工資總的期望值為4×0.2+3.05×0.8=3.24萬。故此在求職時收到多份面試通知時，應(yīng)用期望受益最大的原則不僅提高就業(yè)機(jī)會，同時可提高工資的期望值。 　　2 生產(chǎn)和銷售利潤問題 　　在經(jīng)濟(jì)活動中，不論是廠家的生產(chǎn)還是商家的銷售，總是追求利潤的最大化,供大于求或供不應(yīng)求都不利于獲得最大利潤。但供應(yīng)量和需求量又不是預(yù)先知道的。理性的廠家或商家往往根據(jù)過去的數(shù)據(jù)(概率），用數(shù)學(xué)期望結(jié)合微積分的有關(guān)知識，制定最佳的生產(chǎn)或銷售策略。 　　假定某公司計劃開發(fā)一種新產(chǎn)品市場，并試圖確定其產(chǎn)量。估計出售一件產(chǎn)品，公司可獲利m元，而積壓一件產(chǎn)品，可導(dǎo)致?lián)p失n元，另外，該公司預(yù)測產(chǎn)品的銷售量X為一個隨機(jī)變量，其分布為p(χ)，那么，產(chǎn)品的產(chǎn)量該如何制定，才能獲得最大利潤。 　　假設(shè)該公司每年生產(chǎn)該產(chǎn)品χ件，盡管χ是確定的，但由于需求量(銷售量)是一個隨機(jī)變量，所以收益Ｙ是一個隨機(jī)變量，它是Ｘ的函數(shù)： 　　公司收益的數(shù)學(xué)期望為：Eζ=pmX+(1-p)n(x-X)　　問題轉(zhuǎn)化為,當(dāng)χ為何值時,期望收益可以達(dá)到最大值。這個問題的解決,就是求目標(biāo)函數(shù)期望的最大最小值。 　　3 彩票問題 　　3.1設(shè)每張福利彩票售價5元，各有一個兌獎號。每售出100萬張設(shè)一個開獎組，用搖獎器當(dāng)眾搖出一個6位數(shù)的中獎號碼（可以認(rèn)為從000000到999999的每個數(shù)等可能出現(xiàn)），兌獎規(guī)則如下： 如果兌獎號與中獎號的最后一位相同者獲六等獎，獎金10元（中獎概率為0.1）；兌獎號與中獎號的最后二位相同者獲五等獎，獎金50元（中獎概率為0.01）；兌獎號與中獎號的最后三位相同者獲四等獎,獎金500元(中獎概率為0.001);兌獎號與中獎號的最后四位相同者獲三等獎,獎金5000元（中獎概率為0.0001）；兌獎號與中獎號的最后五位相同者獲二等獎，獎金50000元(中獎概率為0.00001）;兌獎號與中獎號全部相同者獲一等獎，獎金500000元（中獎概率為0.000001）。另外規(guī)定，只領(lǐng)取其中最高額的獎金，試求每張彩票的平均所得。 　　所以彩民的每張彩票的售價數(shù)學(xué)期望所得為:Eζ=10*0.1+50*0.01+500*0.001+5000*0.0001+50000*0.00001+500000*0.000001=3.5 　　 那么，一個開獎組（100萬張）可將所籌得的500萬元中的350萬元以獎金形式返還給彩民，其余150萬元則可用于福利事業(yè)及管理費(fèi)用。因此，彩票中獎與否雖然是隨機(jī)的，但一種彩票的期望所得是可以預(yù)先算出的，計算期望所得也是設(shè)計一種彩票的基礎(chǔ)。
3.2還有一種玩法和設(shè)獎方法：
彩票的玩法比較簡單，2元買一注，每一注填寫一張彩票，每一張彩票由一個6位數(shù)字和一個特別號碼組成，每位數(shù)字均可填寫0、1、……、9這10個數(shù)字中的一個。每期設(shè)六個獎項，由彩票中心隨機(jī)開出一個獎號--一個6位數(shù)號碼另加一個特別號碼。中獎號碼情況如下所示(假設(shè)一等獎號碼是123456，特別號碼是7)：
?
獎級 中獎號碼 每注獎金
特等獎 123456+7 不一定
一等獎 123456 不一定
二等獎 12345△、△23456 不一定
三等獎 1234△△、△2345△、△△3456 300元
四等獎 123△△△，△234△△、△△345△、△△△456 20元
五等獎 12△△△△、△23△△△、△△34△△、△△△45△、△△△△56 5元
§3.1中獎概率
以一注為單位，計算每一注彩票的中獎概率：
特等獎 P0 = 1/10000000 = 0.0000001
一等獎 P1 = 1/1000000 = 0.000001
二等獎 P2 = 20/1000000 = 0.00002
三等獎 P3 = 300/1000000 = 0.0003
四等獎 P4 = 4000/1000000 = 0.004
五等獎 P5 =50000/1000000 = 0.05
合起來，每一注總的中獎概率為：
P = P0+ P1+ P2 +P3+ P4+ P5 = 0.0543211
這就是說每1000注彩票約有54注中獎(包括五等獎到特等獎)
§3.2彩票中獎的期望值
從理論上講彩票獎金的返還率50%，所以每一注彩票的期望值應(yīng)該是1元。現(xiàn)在，我們來實際計算一下，看是否如此。
體育彩票各獎級的概率、獎金數(shù)額列如下： ?
獎級 中獎概率 每注獎金
特等獎 00000001 2500000(元)
一等獎 0000001 50000(元)
二等獎 000002 5000(元)
三等獎 00003 300(元)
四等獎 0004 20(元)
五等獎 005 5(元)
期望值 Eζ = 0.0000001×2500000+0.000001×50000+0.0002×5000+0.0003×300+0.004×20+0.05×5≈0.82(元)
即每一注體育彩票中獎的期望值約為0.82元。這與理論值1元相差不大，誤差的原因主要是對前三級獎金的估計不夠精確。
4 醫(yī)療問題
在某地區(qū)進(jìn)行某種疾病普查，為此要檢驗每個人的血液，如果當(dāng)?shù)赜蠳個人，若逐個檢驗就需要檢驗N次，現(xiàn)在要問：有沒有辦法減少檢驗的工作量？
我們先把受檢驗者分組，假設(shè)每組有k個人，把這k個人的血液混合在一起進(jìn)行檢驗，如果檢驗的結(jié)果為陰性，這說明k個人的血液全為陰性，因而這k個人總共只要檢驗一次就夠了，檢驗的工作量顯然是減少了，但是如果檢驗的結(jié)果是陽性，為了明確k個人中究竟是哪幾個人為陽性，就要對這k個人再逐個進(jìn)行檢驗，這時k個人檢驗的總次數(shù)為k+1次，檢驗的工作量反而有所增加，顯然，這時k個人需要的檢驗次數(shù)可能只要1次，也可能要檢驗k+1次，是一個隨機(jī)變量，為了和老方法比較工作量的大小，應(yīng)該求出它的平均值（也是平均檢驗次數(shù)）。
在接受檢驗的人群中，各個人的檢驗結(jié)果是陽性還是陰性，一般都是獨(dú)立的（如果這種病不是傳染病或遺傳吧遺傳病），并且每個人是陽性結(jié)果的概率為p，就是陰性結(jié)果的概率為q=1-p，這時k個人一組的混合血液呈陰性結(jié)果的概率為,呈陽性結(jié)果的概率則為1－,現(xiàn)在令η為k個人一組混合檢驗時每人所需的檢驗次數(shù)，由上述討論可知η的分布列為：
η
1+
P
1-
由此即可求得每個人所需得平均檢驗次數(shù)為
Eη=.+（1+）（1-）
=1-+
而按原來得老方法每人應(yīng)該檢驗1次，所以當(dāng)
1-+＜1，即q＞
時，用分組的辦法（k個人一組）就能減少檢驗的次數(shù)，如果q是已知的，還可以從
Eη=1-+中選取最合適的整數(shù)，使得平均檢驗次數(shù)Eη達(dá)到最小值，從而使平均檢驗次數(shù)減少。
對一些不同的p值，如下表給出了使Eη達(dá)到最小的值。
陽性反應(yīng)率
陽性反應(yīng)率
0.140
0.130
0.120
0.110
0.100
0.090.
0.080
0.070
0.060
0.050
0.040
0.030
0.020
0.019
0.018
0.017
3
3
4
4
4
4
4
4
5
5
6
6
8
8
8
8


0.016
0.015
0.014
0.013
0.012
0.011
0.010
0.009
0.008
0.007
0.006
0.005
0.004
0.003
0.002
0.001
8
9
9
9
10
10
11
11
12
12
13
15
16
19
23
32
我國某醫(yī)療機(jī)構(gòu)在一次普查中，由于采用了上述這種分組的方法，結(jié)果每100個人的平均檢驗次數(shù)為21，減少工作量達(dá)79%。當(dāng)然，減少的工作量的大小與p的數(shù)值由關(guān)，也與每組人數(shù)k有關(guān)。
　　 　　
參考文獻(xiàn): 　　[1]高鴻業(yè):西方經(jīng)濟(jì)學(xué)[M]. 中國人民大學(xué)出版社,2006 .　　[2]趙秀恒等:概率論與數(shù)理統(tǒng)計 [M]. 河北教育出版社,2006 .　　[3]盛驟等:概率論與數(shù)理統(tǒng)計 [M]. 高等教育出版社,2003 .　　[4]魏宗舒等:概率論與數(shù)理統(tǒng)計 [M]. 高等教育出版社,1983 .
數(shù)學(xué)期望的計算方法及其應(yīng)用
摘要：在概率論中，數(shù)學(xué)期望是隨機(jī)變量一個重要的數(shù)字特征，它比較集中的反映了隨機(jī)變量的某個側(cè)面的平均性，而且隨機(jī)變量的其他數(shù)字特征都是由數(shù)學(xué)期望來定義的，因此對隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的計算方法的研究與探討具有很深的實際意義。本論文著重總結(jié)了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望在離散型隨機(jī)變量分布與連續(xù)型隨機(jī)變量分布下的一些常用的計算方法，如利用數(shù)學(xué)期望的定義和性質(zhì)，利用不同分布的數(shù)學(xué)期望公式等等，并通過一些具體的例子說明不停的計算方法在不同情況下的應(yīng)用，以達(dá)到計算最簡化的目的。本文還通過介紹了一些隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的計算技巧，并探討了各種簡化計算隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的方法，利用一些特殊求和與積分公式，利用數(shù)學(xué)期望定義的不同形式，利用隨機(jī)變量分布的對稱性、重期望公式以及特征函數(shù)等，并通過例題使我們更加了解和掌握這些計算技巧，已達(dá)到學(xué)習(xí)該內(nèi)容的目的。
關(guān)鍵詞：離散型隨機(jī)變量 連續(xù)型隨機(jī)變量 數(shù)學(xué)期望 計算方法
ABSTRACT：
離散型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的計算方法及應(yīng)用
利用數(shù)學(xué)期望的定義，即定義法[1]
定義：設(shè)離散型隨機(jī)變量Ｘ分布列為
……
……
則隨機(jī)變量Ｘ的數(shù)學(xué)期望E(X)=
注意：這里要求級數(shù)絕對收斂，若級數(shù)不收斂，則隨機(jī)變量Ｘ的數(shù)學(xué)期望不存在
例1 某推銷人與工廠約定，永川把一箱貨物按期無損地運(yùn)到目的地可得傭金10元，若不按期則扣2元，若貨物有損則扣5元，若既不按期又有損壞則扣16元。推銷人按他的經(jīng)驗認(rèn)為，一箱貨物按期無損的的運(yùn)到目的地有60﹪把握，不按期到達(dá)占20﹪，貨物有損占10﹪，不按期又有損的占10﹪。試問推銷人在用船運(yùn)送貨物時，每箱期望得到多少？
解 設(shè)Ｘ表示該推銷人用船運(yùn)送貨物時每箱可得錢數(shù)，則按題意，Ｘ的分布為
8 5 -6
0.6 0.2 0.1
按數(shù)學(xué)期望定義，該推銷人每箱期望可得
10×0.6＋8×0.2＋5×0.1－6×0.1＝7.5元
公式法
對于實際問題中的隨機(jī)變量，假如我能夠判定它服從某重點(diǎn)性分布特征（如二項分布，泊松分布，超幾何分布等），則我們就可以直接利用典型分布的數(shù)學(xué)期望公式來求此隨機(jī)變量的期望。
二點(diǎn)分布：~，則
二項分布：，，則
幾何分布：,則有
泊松分布：，有
超幾何分布：,有
例2 一個實驗競賽考試方式為：參賽者從6道題中一次性隨機(jī)抽取3道題,按要求獨(dú)立完成題目.競賽規(guī)定：至少正確完成其中2題者方可通過,已知6道備選題中參賽者甲有4題能正確完成,2題不能完成；參賽者乙每題能正確完成的概率都是,且每題正確完成與否互不影響. 分別求出甲、乙兩參賽者正確完成題數(shù)的數(shù)學(xué)期望.
解 設(shè)參賽者甲正確完成的題數(shù)為,則服從超幾何分布,其中,
∴
設(shè)參賽者乙正確完成的題數(shù)為,則
,
1.3 性質(zhì)法
利用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)求期望，主要性質(zhì)有：

其中為隨機(jī)變量，為常數(shù)。
例3 某工程隊完成某項工程的時間(單位：月)是一個隨機(jī)變量，它的分布列為


（1）試求該工程隊完成此項任務(wù)的平均月數(shù)；
（2）社該工程隊所獲利潤為,單位為萬元。試求工程隊的平均利潤。
解（1）根據(jù)題意，我們可求平均月數(shù)為：
月
（2）由（1）知，則可得

利用逐項微分法
這種方法是對于概率分布中含有參數(shù)的隨機(jī)變量而言的，我們可以通過逐項求微分的方法求解出隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，關(guān)鍵步驟是對分布列的性質(zhì)兩邊關(guān)于參數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，從而解出數(shù)學(xué)期望。
例5 設(shè)隨機(jī)變量，求。
解 因為，故 其中
則 （1）
對（1）式兩邊關(guān)于求導(dǎo)得

根據(jù)數(shù)學(xué)期望的定義知：且知
因此上式可以寫成：
從而解得
1.6 利用條件數(shù)學(xué)期望公式法
條件分布的數(shù)學(xué)期望稱為條件數(shù)學(xué)期望，它主要應(yīng)用于二維隨機(jī)變量。在為二維離散隨機(jī)變量場合下，其計算公式為：
或
例6 設(shè)二維離散隨機(jī)變量的聯(lián)合分布列為

0 1 2 3
0
1
2
3
4
5
0 0.01 0.01 0.01
0.01 0.02 0.03 0.02
0.03 0.04 0.05 0.04
0.05 0.05 0.05 0.06
0.07 0.06 0.05 0.06
0.09 0.08 0.06 0.05
試求和
解 要求，首先得求
同理可得

用同樣的方法，我們可得
1.7 利用重期望公式法
重期望是在條件期望的基礎(chǔ)之下產(chǎn)生的，是的函數(shù)，對的不同取值，條件期望的取值也在變化，因此我們可以把看作一個隨機(jī)變量。重期望的公式是,此公式的前提是存在。如果是一個離散隨機(jī)變量，則重期望公式可改寫成為
例7 口袋中有編碼為的個球，從中任取一球，若取到1號球，則得1分，且停止摸球；若取得號球，則得分，且將此球放回，重新摸球。如此下去，試求得到的平均總分?jǐn)?shù)。
解 記為得到的總分?jǐn)?shù)，為第一次取到的球的號碼，則
又因為，而當(dāng)時， 所以
由此解得
第二節(jié) 連續(xù)型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的計算方法及應(yīng)用
連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義和含義完全類似于離散隨機(jī)變量的，只要在離散隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望定義中用密度函數(shù)代替分布列，用積分是代替和式，即得到連續(xù)場合下數(shù)學(xué)期望的定義。
2.1 定義法
設(shè)連續(xù)隨機(jī)變量有密度函數(shù)，如果積分
有限（收斂），
則稱 為的數(shù)學(xué)期望。
若 無限（不收斂），則說的數(shù)學(xué)期望不存在。
例8 設(shè)隨機(jī)變量服從均勻分布，求它的數(shù)學(xué)期望。
解 由于，則它的密度函數(shù)為

則根據(jù)定義它的數(shù)學(xué)期望為


可見，均勻分布的數(shù)學(xué)期望位于區(qū)間的中點(diǎn)，即均勻分布具有對稱性，下一節(jié)中我們將介紹利用分布圖像的對稱性來求數(shù)學(xué)期望。
例9 密度函數(shù)為 的分布稱為柯西分布。
其數(shù)學(xué)期望不存在，這是因為積分 無限。
2.2 特殊積分法
連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為，在計算連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望時，常常會用到一些特殊的求積分的性質(zhì)和方法，如基函數(shù)在對稱區(qū)間的積分值為0，還有第一換元積分等，都會給我們的計算帶來簡便。
例10 設(shè)隨機(jī)變量，證明．
證 在的積分表達(dá)始終做變換
可得

由于上式右端第一個積分的被積函數(shù)為奇函數(shù)，鼓起積分為0，第二個積分恰為，故得．
2.3 利用特征函數(shù)
特征函數(shù)的定義：設(shè)是一個隨機(jī)變量，稱 , ，為的特征函數(shù)，設(shè)連續(xù)隨機(jī)變量有密度函數(shù)，則的特征函數(shù)為

根據(jù)上式，我們可以求出隨機(jī)變量分布的特征函數(shù)，然后利用特征函數(shù)的性質(zhì)：求出數(shù)學(xué)期望，即．
例11 設(shè)隨機(jī)變量，求．
解 因為隨機(jī)變量，則的特征函數(shù)為
其一階導(dǎo)數(shù)為
則
由特征函數(shù)的性質(zhì)得
注：此題關(guān)鍵是球正態(tài)分布的特征函數(shù)，我們可以先求出標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的特征函數(shù)，在利用特征函數(shù)的性質(zhì)求出正態(tài)分布的特征函數(shù)。
2.4 逐項微分法
這種方法同樣適用于密度函數(shù)中含有參數(shù)的連續(xù)型隨機(jī)變量分布，也是對兩邊對參數(shù)求導(dǎo)數(shù)來解出數(shù)學(xué)期望。
例12 設(shè)隨機(jī)變量服從指數(shù)分布即，求
解 因為，則的密度函數(shù)
則由， 得

對兩邊關(guān)于參數(shù)求導(dǎo)得

從而解得
2.5 條件數(shù)學(xué)期望公式
在連續(xù)型隨機(jī)變量場合下，條件數(shù)學(xué)期望同樣適用，其計算公式為

例13 設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合密度函數(shù)為

試在．
解 由題意知，


2.6 利用重期望公式
在是一個連續(xù)隨機(jī)變量時，重期望公式可改寫成為．
例14 設(shè)電力公司每月可以供應(yīng)某工廠的電力服從上的均勻分布，而該工廠每月實際需要的電力服從上的均勻分布。如果工廠能從電力公司得到足夠的電力，則每電可以創(chuàng)造30萬元的利潤，若工廠得不到足夠的電力，則不足部分由工廠通過其他途徑解決，由其他途徑得到的電力每獲利10萬元，失球該廠每個月的平均利潤。
解 從題意知，每月供應(yīng)電力,而工廠實際需要電力。若設(shè)工廠每月的利潤為萬元，則按題意可得

在給定時，僅是的函數(shù)，于是當(dāng)時，的條件期望為
當(dāng)時，的條件期望為
然后用的分布對條件期望再作一次平均，即得
所以該廠每月的平均利潤為433萬元．
第三節(jié) 隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的計算技巧
3.1 利用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)，化整為零
當(dāng)一個隨機(jī)變量的分布列較為復(fù)雜時，若直接求它的數(shù)學(xué)期望會很困難，我們可以通過將它轉(zhuǎn)化成比較常見的簡單的隨機(jī)變量之和來解決。主要是利用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)來時問題簡單化。
例15 設(shè)一袋中裝有只顏色各不相同的球，每次從中任取一只，有放回地摸取次，以表示在次摸球中摸到球的不同顏色的數(shù)目，求
解 直接寫出的分布列較為困難，其原因在于：若第種顏色的球被取到過，則此種顏色的球又可被取到過一次、二次次，情況較多，而其對立事件 “第種顏色的球沒被取到過”的概率容易寫出為
為此令
這些相當(dāng)于是計數(shù)器，分別記錄下第種顏色的球是否被取到過，而是取到過的不同顏色總數(shù)，所以．由可得

所以
例16 設(shè)，求
解 由題意知，，
方法一：根據(jù)數(shù)學(xué)期望的定義有

方法二：令表示貝努力試驗中的出現(xiàn)的次數(shù)，則相互獨(dú)立而且同分布，均服從
3.2 利用二重積分的極坐標(biāo)變換求解
這種方法只是用于二維連續(xù)型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的求解。
例17 設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，且均服從分布，求的數(shù)學(xué)期望。
解 由題意知的密度函數(shù)為
可得
令 則可得
3.3 巧用特殊求和公式
例18 對一批產(chǎn)品進(jìn)行檢驗,如果檢查到第件仍未發(fā)現(xiàn)不合格品就認(rèn)為這批產(chǎn)品合格,如在尚未超過第件時已檢查到不合格品即停止繼續(xù)檢查,且認(rèn)為這批產(chǎn)品為不合格.設(shè)產(chǎn)品數(shù)量很大,可以認(rèn)為每次檢查查到不合格品的概率都是,問平均每批要檢查多少件？
解 設(shè)表示每批所需檢驗的產(chǎn)品數(shù)，那的分布列是
注：這里主要用到的求和公式是．
3.4利用分布圖象的對稱性6
當(dāng)分布列或密度函數(shù)具有對稱性時，隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的取值集中位置就是對稱中心或?qū)ΨQ軸，我們可以利用對稱性使比較復(fù)雜的問題簡單化。尤其，當(dāng)隨機(jī)變量服從均勻分布時，它的數(shù)學(xué)期望取值為它的對稱中心，即；當(dāng)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布時，我們由它的圖象知是它的對稱軸，故它的數(shù)學(xué)期望取值為．
例19 若正的獨(dú)立隨機(jī)變量，服從相同的發(fā)布，是證明
證明 由分布的對稱性知 同分布，故
例20 設(shè)在區(qū)間上隨機(jī)地取個點(diǎn)，以表示相距最遠(yuǎn)的兩點(diǎn)間的距離，求
解 由題意知，個點(diǎn)把區(qū)間分成了段，它們的長度依次記為，根據(jù)對稱性，每個都有相同的概率分布和數(shù)學(xué)期望，且，故，又因為個點(diǎn)中相距最遠(yuǎn)的兩點(diǎn)間的距離為，所以
魏宗舒,概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M].高等教育出版社,2006,96~112.
茆詩松、程依明、濮曉龍概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程. 高等教育出版社,2004
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概率論與數(shù)理統(tǒng)計公式整理第1章 隨機(jī)事件及其概率
隨機(jī)試驗和隨機(jī)事件
如果一個試驗在相同條件下可以重復(fù)進(jìn)行，而每次試驗的可能結(jié)果不止一個，但在進(jìn)行一次試驗之前卻不能斷言它出現(xiàn)哪個結(jié)果，則稱這種試驗為隨機(jī)試驗。
試驗的可能結(jié)果稱為隨機(jī)事件。
基本事件、樣本空間和事件
在一個試驗下，不管事件有多少個，總可以從其中找出這樣一組事件，它具有如下性質(zhì)：
①每進(jìn)行一次試驗，必須發(fā)生且只能發(fā)生這一組中的一個事件；
②任何事件，都是由這一組中的部分事件組成的。
這樣一組事件中的每一個事件稱為基本事件，用來表示。
基本事件的全體，稱為試驗的樣本空間，用表示。
一個事件就是由中的部分點(diǎn)（基本事件）組成的集合。通常用大寫字母A，B，C，…表示事件，它們是的子集。
為必然事件，?為不可能事件。
不可能事件（?）的概率為零，而概率為零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率為1，而概率為1的事件也不一定是必然事件。
）事件的關(guān)系與運(yùn)算
①關(guān)系：
如果事件A的組成部分也是事件B的組成部分，（A發(fā)生必有事件B發(fā)生）：
如果同時有，，則稱事件A與事件B等價，或稱A等于B：A=B。
A、B中至少有一個發(fā)生的事件：AB，或者A+B。
屬于A而不屬于B的部分所構(gòu)成的事件，稱為A與B的差，記為A-B，也可表示為A-AB或者，它表示A發(fā)生而B不發(fā)生的事件。
A、B同時發(fā)生：AB，或者AB。AB=?，則表示A與B不可能同時發(fā)生，稱事件A與事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。
-A稱為事件A的逆事件，或稱A的對立事件，記為。它表示A不發(fā)生的事件。互斥未必對立。
②運(yùn)算：
結(jié)合率：A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C
分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC)
德摩根率： ，
概率的公理化定義
設(shè)為樣本空間，為事件，對每一個事件都有一個實數(shù)P(A)，若滿足下列三個條件：
1° 0≤P(A)≤1，
2° P(Ω) =1
3° 對于兩兩互不相容的事件，，…有
常稱為可列（完全）可加性。
則稱P(A)為事件的概率。
古典概型
1° ，
2° 。
設(shè)任一事件，它是由組成的，則有
P(A)= =
幾何概型
若隨機(jī)試驗的結(jié)果為無限不可數(shù)并且每個結(jié)果出現(xiàn)的可能性均勻，同時樣本空間中的每一個基本事件可以使用一個有界區(qū)域來描述，則稱此隨機(jī)試驗為幾何概型。對任一事件A，
。其中L為幾何度量（長度、面積、體積）。
加法公式
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
當(dāng)P(AB)＝0時，P(A+B)=P(A)+P(B)
減法公式
P(A-B)=P(A)-P(AB)
當(dāng)BA時，P(A-B)=P(A)-P(B)
當(dāng)A=Ω時，P()=1- P(B)
條件概率
定義 設(shè)A、B是兩個事件，且P(A)>0，則稱為事件A發(fā)生條件下，事件B發(fā)生的條件概率，記為。
條件概率是概率的一種，所有概率的性質(zhì)都適合于條件概率。
例如P(Ω/B)=1P(/A)=1-P(B/A)
）乘法公式
乘法公式：
更一般地，對事件A1，A2，…An，若P(A1A2…An-1)>0，則有
…………。
獨(dú)立性
①兩個事件的獨(dú)立性
設(shè)事件、滿足，則稱事件、是相互獨(dú)立的。
若事件、相互獨(dú)立，且，則有
若事件、相互獨(dú)立，則可得到與、與、與也都相互獨(dú)立。
必然事件和不可能事件?與任何事件都相互獨(dú)立。
?與任何事件都互斥。
②多個事件的獨(dú)立性
設(shè)ABC是三個事件，如果滿足兩兩獨(dú)立的條件，
P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)
并且同時滿足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
那么A、B、C相互獨(dú)立。
對于n個事件類似。
全概公式
設(shè)事件滿足
1°兩兩互不相容，，
2°，
則有
。
貝葉斯公式
設(shè)事件，，…，及滿足
1° ，，…，兩兩互不相容，>0，1，2，…，，
2° ，，
則
，i=1，2，…n。
此公式即為貝葉斯公式。
，（，，…，），通常叫先驗概率。，（，，…，），通常稱為后驗概率。貝葉斯公式反映了“因果”的概率規(guī)律，并作出了“由果朔因”的推斷。
伯努利概型
我們作了次試驗，且滿足
每次試驗只有兩種可能結(jié)果，發(fā)生或不發(fā)生；
次試驗是重復(fù)進(jìn)行的，即發(fā)生的概率每次均一樣；
每次試驗是獨(dú)立的，即每次試驗發(fā)生與否與其他次試驗發(fā)生與否是互不影響的。
這種試驗稱為伯努利概型，或稱為重伯努利試驗。
用表示每次試驗發(fā)生的概率，則發(fā)生的概率為，用表示重伯努利試驗中出現(xiàn)次的概率，
，。
第二章 隨機(jī)變量及其分布
（1）離散型隨機(jī)變量的分布律
設(shè)離散型隨機(jī)變量的可能取值為Xk(k=1,2,…)且取各個值的概率，即事件(X=Xk)的概率為
P(X=xk)=pk，k=1,2,…，
則稱上式為離散型隨機(jī)變量的概率分布或分布律。有時也用分布列的形式給出：
。
顯然分布律應(yīng)滿足下列條件：
（1），， （2）。
（2）連續(xù)型隨機(jī)變量的分布密度
設(shè)是隨機(jī)變量的分布函數(shù)，若存在非負(fù)函數(shù)，對任意實數(shù)，有
，
則稱為連續(xù)型隨機(jī)變量。稱為的概率密度函數(shù)或密度函數(shù)，簡稱概率密度。
密度函數(shù)具有下面4個性質(zhì)：
1° 。
2° 。
（3）離散與連續(xù)型隨機(jī)變量的關(guān)系
積分元在連續(xù)型隨機(jī)變量理論中所起的作用與在離散型隨機(jī)變量理論中所起的作用相類似。
（4）分布函數(shù)
設(shè)為隨機(jī)變量，是任意實數(shù)，則函數(shù)
稱為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，本質(zhì)上是一個累積函數(shù)。
可以得到X落入?yún)^(qū)間的概率。分布函數(shù)表示隨機(jī)變量落入?yún)^(qū)間（– ∞，x]內(nèi)的概率。
分布函數(shù)具有如下性質(zhì)：
1° ；
2° 是單調(diào)不減的函數(shù)，即時，有 ；
3° ， ；
4° ，即是右連續(xù)的；
5° 。
對于離散型隨機(jī)變量，；
對于連續(xù)型隨機(jī)變量， 。
（5）八大分布
0-1分布
P(X=1)=p, P(X=0)=q
二項分布
在重貝努里試驗中，設(shè)事件發(fā)生的概率為。事件發(fā)生的次數(shù)是隨機(jī)變量，設(shè)為，則可能取值為。
， 其中，
則稱隨機(jī)變量服從參數(shù)為，的二項分布。記為。
當(dāng)時，，，這就是（0-1）分布，所以（0-1）分布是二項分布的特例。
泊松分布
設(shè)隨機(jī)變量的分布律為
，，，
則稱隨機(jī)變量服從參數(shù)為的泊松分布，記為或者P()。
泊松分布為二項分布的極限分布（np=λ，n→∞）。
超幾何分布
隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n,N,M的超幾何分布，記為H(n,N,M)。
幾何分布
，其中p≥0，q=1-p。
隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的幾何分布，記為G(p)。
均勻分布
設(shè)隨機(jī)變量的值只落在[a，b]內(nèi)，其密度函數(shù)在[a，b]上為常數(shù)，即
?
其他，
則稱隨機(jī)變量在[a，b]上服從均勻分布，記為X~U(a，b)。
分布函數(shù)為
?
?
?
?
當(dāng)a≤x1。
指數(shù)分布
?
?
?
?其中，則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為的指數(shù)分布。
X的分布函數(shù)為

?
?
?記住積分公式：
正態(tài)分布
設(shè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)為
， ，
其中、為常數(shù)，則稱隨機(jī)變量服從參數(shù)為、的正態(tài)分布或高斯（Gauss）分布，記為。
具有如下性質(zhì)：
1° 的圖形是關(guān)于對稱的；
2° 當(dāng)時，為最大值；
若，則的分布函數(shù)為
。
參數(shù)、時的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為，其密度函數(shù)記為
，，
分布函數(shù)為
。
是不可求積函數(shù)，其函數(shù)值，已編制成表可供查用。
Φ(-x)＝1-Φ(x)且Φ(0)＝。
如果~，則~。
。
（6）分位數(shù)
下分位表：；
（7）函數(shù)分布
離散型
已知的分布列為
?，
的分布列（互不相等）如下：
，
若有某些相等，則應(yīng)將對應(yīng)的相加作為的概率。
連續(xù)型
先利用X的概率密度fX(x)寫出Y的分布函數(shù)FY(y)＝P(g(X)≤y)，再利用變上下限積分的求導(dǎo)公式求出fY(y)。
第三章 二維隨機(jī)變量及其分布
（1）聯(lián)合分布
離散型
如果二維隨機(jī)向量（X，Y）的所有可能取值為至多可列個有序?qū)Γ▁,y），則稱為離散型隨機(jī)量。
設(shè)=（X，Y）的所有可能取值為，且事件{=}的概率為pij,,稱
為=（X，Y）的分布律或稱為X和Y的聯(lián)合分布律。聯(lián)合分布有時也用下面的概率分布表來表示：
Y
X
y1
y2
…
yj
…
x1
p11
p12
…
p1j
…
x2
p21
p22
…
p2j
…
xi
pi1
…
…
這里pij具有下面兩個性質(zhì)：
（1）pij≥0（i,j=1,2,…）；
（2）
連續(xù)型
對于二維隨機(jī)向量，如果存在非負(fù)函數(shù)，使對任意一個其鄰邊分別平行于坐標(biāo)軸的矩形區(qū)域D，即D={(X,Y)|a則稱為連續(xù)型隨機(jī)向量；并稱f(x,y)為=（X，Y）的分布密度或稱為X和Y的聯(lián)合分布密度。
分布密度f(x,y)具有下面兩個性質(zhì)：
f(x,y)≥0;
（2）
（2）二維隨機(jī)變量的本質(zhì)
（3）聯(lián)合分布函數(shù)
設(shè)（X，Y）為二維隨機(jī)變量，對于任意實數(shù)x,y,二元函數(shù)
稱為二維隨機(jī)向量（X，Y）的分布函數(shù)，或稱為隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)。
分布函數(shù)是一個以全平面為其定義域，以事件的概率為函數(shù)值的一個實值函數(shù)。分布函數(shù)F(x,y)具有以下的基本性質(zhì)：
（1）
（2）F（x,y）分別對x和y是非減的，即
當(dāng)x2>x1時，有F（x2,y）≥F(x1,y);當(dāng)y2>y1時，有F(x,y2) ≥F(x,y1);
（3）F（x,y）分別對x和y是右連續(xù)的，即
（4）
（5）對于
.
（4）離散型與連續(xù)型的關(guān)系
（5）邊緣分布
離散型
X的邊緣分布為
；
Y的邊緣分布為
。
連續(xù)型
X的邊緣分布密度為
Y的邊緣分布密度為
（6）條件分布
離散型
在已知X=xi的條件下，Y取值的條件分布為
在已知Y=yj的條件下，X取值的條件分布為
連續(xù)型
在已知Y=y的條件下，X的條件分布密度為
；
在已知X=x的條件下，Y的條件分布密度為
（7）獨(dú)立性
一般型
F(X,Y)=FX(x)FY(y)
離散型
有零不獨(dú)立
連續(xù)型
f(x,y)=fX(x)fY(y)
直接判斷，充要條件：
①可分離變量
②正概率密度區(qū)間為矩形
二維正態(tài)分布
＝0
隨機(jī)變量的函數(shù)
若X1,X2,…Xm,Xm+1,…Xn相互獨(dú)立， h,g為連續(xù)函數(shù)，則：
h（X1，X2,…Xm）和g（Xm+1,…Xn）相互獨(dú)立。
特例：若X與Y獨(dú)立，則：h（X）和g（Y）獨(dú)立。
例如：若X與Y獨(dú)立，則：3X+1和5Y-2獨(dú)立。
（8）二維均勻分布
設(shè)隨機(jī)向量（X，Y）的分布密度函數(shù)為
其中SD為區(qū)域D的面積，則稱（X，Y）服從D上的均勻分布，記為（X，Y）～U（D）。
例如圖3.1、圖3.2和圖3.3。
y
1
D1
O 1 x
圖3.1
y
1

O 2 x
圖3.2
y
d
c
O a b x
圖3.3
（9）二維正態(tài)分布
設(shè)隨機(jī)向量（X，Y）的分布密度函數(shù)為
其中是5個參數(shù)，則稱（X，Y）服從二維正態(tài)分布，
記為（X，Y）～N（
由邊緣密度的計算公式，可以推出二維正態(tài)分布的兩個邊緣分布仍為正態(tài)分布，
即X～N（
但是若X～N（，(X，Y)未必是二維正態(tài)分布。
（10）函數(shù)分布
Z=X+Y
根據(jù)定義計算：
對于連續(xù)型，fZ(z)＝
兩個獨(dú)立的正態(tài)分布的和仍為正態(tài)分布（）。
n個相互獨(dú)立的正態(tài)分布的線性組合，仍服從正態(tài)分布。
，
Z=max,min(X1,X2,…Xn)
若相互獨(dú)立，其分布函數(shù)分別為，則Z=max,min(X1,X2,…Xn)的分布函數(shù)為：
分布
設(shè)n個隨機(jī)變量相互獨(dú)立，且服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，可以證明它們的平方和
服從自由度為n的分布，記為W～。
所謂自由度是指獨(dú)立正態(tài)隨機(jī)變量的個數(shù)，它是隨機(jī)變量分布中的一個重要參數(shù)。
分布滿足可加性：設(shè)
則
t分布
設(shè)X，Y是兩個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且
可以證明函數(shù)
服從自由度為n的t分布，記為T～t(n)。
F分布
設(shè)，且X與Y獨(dú)立，可以證明
服從第一個自由度為n1，第二個自由度為n2的F分布，記為F～f(n1, n2).
第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征
（1）一維隨機(jī)變量的數(shù)字特征
離散型
連續(xù)型
期望
期望就是平均值
設(shè)X是離散型隨機(jī)變量，其分布律為P()＝pk，k=1,2,…,n，
（要求絕對收斂）
設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為f(x)，
（要求絕對收斂）
函數(shù)的期望
Y=g(X)

Y=g(X)
方差
D(X)=E[X-E(X)]2，
標(biāo)準(zhǔn)差
，
矩
①對于正整數(shù)k，稱隨機(jī)變量X的k次冪的數(shù)學(xué)期望為X的k階原點(diǎn)矩，記為vk,即
νk=E(Xk)= , k=1,2, ….
②對于正整數(shù)k，稱隨機(jī)變量X與E（X）差的k次冪的數(shù)學(xué)期望為X的k階中心矩，記為，即
=， k=1,2, ….
①對于正整數(shù)k，稱隨機(jī)變量X的k次冪的數(shù)學(xué)期望為X的k階原點(diǎn)矩，記為vk,即
νk=E(Xk)=
k=1,2, ….
②對于正整數(shù)k，稱隨機(jī)變量X與E（X）差的k次冪的數(shù)學(xué)期望為X的k階中心矩，記為，即
=
k=1,2, ….
切比雪夫不等式
設(shè)隨機(jī)變量X具有數(shù)學(xué)期望E（X）=μ，方差D（X）=σ2，則對于任意正數(shù)ε，有下列切比雪夫不等式
切比雪夫不等式給出了在未知X的分布的情況下，對概率
的一種估計，它在理論上有重要意義。
（2）期望的性質(zhì)
E(C)=C
E(CX)=CE(X)
E(X+Y)=E(X)+E(Y)，
E(XY)=E(X) E(Y)，充分條件：X和Y獨(dú)立；
充要條件：X和Y不相關(guān)。
（3）方差的性質(zhì)
D(C)=0；E(C)=C
D(aX)=a2D(X)； E(aX)=aE(X)
D(aX+b)= a2D(X)； E(aX+b)=aE(X)+b
D(X)=E(X2)-E2(X)
D(X±Y)=D(X)+D(Y)，充分條件：X和Y獨(dú)立；
充要條件：X和Y不相關(guān)。
D(X±Y)=D(X)+D(Y) ±2E[(X-E(X))(Y-E(Y))]，無條件成立。
而E(X+Y)=E(X)+E(Y)，無條件成立。
（4）常見分布的期望和方差
期望
方差
0-1分布
p
二項分布
np
泊松分布
幾何分布
超幾何分布
均勻分布
指數(shù)分布
正態(tài)分布
n
2n
t分布
0
(n>2)
（5）二維隨機(jī)變量的數(shù)字特征
期望
函數(shù)的期望
＝
＝
方差
協(xié)方差
對于隨機(jī)變量X與Y，稱它們的二階混合中心矩為X與Y的協(xié)方差或相關(guān)矩，記為，即
與記號相對應(yīng)，X與Y的方差D（X）與D（Y）也可分別記為與。
相關(guān)系數(shù)
對于隨機(jī)變量X與Y，如果D（X）>0, D(Y)>0，則稱
為X與Y的相關(guān)系數(shù)，記作（有時可簡記為）。
||≤1，當(dāng)||=1時，稱X與Y完全相關(guān)：
完全相關(guān)
而當(dāng)時，稱X與Y不相關(guān)。
以下五個命題是等價的：
①；
②cov(X,Y)=0;
③E(XY)=E(X)E(Y);
④D(X+Y)=D(X)+D(Y);
⑤D(X-Y)=D(X)+D(Y).
協(xié)方差矩陣
混合矩
對于隨機(jī)變量X與Y，如果有存在，則稱之為X與Y的k+l階混合原點(diǎn)矩，記為；k+l階混合中心矩記為：
（6）協(xié)方差的性質(zhì)
cov (X, Y)=cov (Y, X);
cov(aX,bY)=ab cov(X,Y);
cov(X1+X2, Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y);
cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).
（7）獨(dú)立和不相關(guān)
若隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，則；反之不真。
若（X，Y）～N（），
則X與Y相互獨(dú)立的充要條件是X和Y不相關(guān)。
第五章 大數(shù)定律和中心極限定理
（1）大數(shù)定律
切比雪夫大數(shù)定律
設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，…相互獨(dú)立，均具有有限方差，且被同一常數(shù)C所界：D（Xi） 特殊情形：若X1，X2，…具有相同的數(shù)學(xué)期望E（XI）=μ，則上式成為
伯努利大數(shù)定律
設(shè)μ是n次獨(dú)立試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A在每次試驗中發(fā)生的概率，則對于任意的正數(shù)ε，有
伯努利大數(shù)定律說明，當(dāng)試驗次數(shù)n很大時，事件A發(fā)生的頻率與概率有較大判別的可能性很小，即
這就以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式描述了頻率的穩(wěn)定性。
辛欽大數(shù)定律
設(shè)X1，X2，…，Xn，…是相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且E（Xn）=μ，則對于任意的正數(shù)ε有
（2）中心極限定理
列維－林德伯格定理
設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，…相互獨(dú)立，服從同一分布，且具有相同的數(shù)學(xué)期望和方差：，則隨機(jī)變量
的分布函數(shù)Fn(x)對任意的實數(shù)x，有
此定理也稱為獨(dú)立同分布的中心極限定理。
棣莫弗－拉普拉斯定理
設(shè)隨機(jī)變量為具有參數(shù)n, p(0（3）泊松定理
若當(dāng)，則

其中k=0，1，2，…，n，…。
二項分布的極限分布為泊松分布。
第六章 樣本及抽樣分布
（1）數(shù)理統(tǒng)計的基本概念
總體
在數(shù)理統(tǒng)計中，常把被考察對象的某一個（或多個）指標(biāo)的全體稱為總體（或母體）。我們總是把總體看成一個具有分布的隨機(jī)變量（或隨機(jī)向量）。
個體
總體中的每一個單元稱為樣品（或個體）。
樣本
我們把從總體中抽取的部分樣品稱為樣本。樣本中所含的樣品數(shù)稱為樣本容量，一般用n表示。在一般情況下，總是把樣本看成是n個相互獨(dú)立的且與總體有相同分布的隨機(jī)變量，這樣的樣本稱為簡單隨機(jī)樣本。在泛指任一次抽取的結(jié)果時，表示n個隨機(jī)變量（樣本）；在具體的一次抽取之后，表示n個具體的數(shù)值（樣本值）。我們稱之為樣本的兩重性。
樣本函數(shù)和統(tǒng)計量
設(shè)為總體的一個樣本，稱
（）
為樣本函數(shù)，其中為一個連續(xù)函數(shù)。如果中不包含任何未知參數(shù)，則稱（）為一個統(tǒng)計量。
常見統(tǒng)計量及其性質(zhì)
樣本均值
樣本方差
樣本標(biāo)準(zhǔn)差
樣本k階原點(diǎn)矩
樣本k階中心矩
，，
，,
其中，為二階中心矩。
（2）正態(tài)總體下的四大分布
正態(tài)分布
設(shè)為來自正態(tài)總體的一個樣本，則樣本函數(shù)
t分布
設(shè)為來自正態(tài)總體的一個樣本，則樣本函數(shù)
其中t(n-1)表示自由度為n-1的t分布。
設(shè)為來自正態(tài)總體的一個樣本，則樣本函數(shù)
其中表示自由度為n-1的分布。
F分布
設(shè)為來自正態(tài)總體的一個樣本，而為來自正態(tài)總體的一個樣本，則樣本函數(shù)
其中

表示第一自由度為，第二自由度為的F分布。
（3）正態(tài)總體下分布的性質(zhì)
與獨(dú)立。
第七章 參數(shù)估計
（1）點(diǎn)估計
矩估計
設(shè)總體X的分布中包含有未知數(shù)，則其分布函數(shù)可以表成它的k階原點(diǎn)矩中也包含了未知參數(shù)，即。又設(shè)為總體X的n個樣本值，其樣本的k階原點(diǎn)矩為

這樣，我們按照“當(dāng)參數(shù)等于其估計量時，總體矩等于相應(yīng)的樣本矩”的原則建立方程，即有
由上面的m個方程中，解出的m個未知參數(shù)即為參數(shù)（）的矩估計量。
若為的矩估計，為連續(xù)函數(shù)，則為的矩估計。
極大似然估計
當(dāng)總體X為連續(xù)型隨機(jī)變量時，設(shè)其分布密度為，其中為未知參數(shù)。又設(shè)為總體的一個樣本，稱
為樣本的似然函數(shù)，簡記為Ln.
當(dāng)總體X為離型隨機(jī)變量時，設(shè)其分布律為，則稱
為樣本的似然函數(shù)。
若似然函數(shù)在處取到最大值，則稱分別為的最大似然估計值，相應(yīng)的統(tǒng)計量稱為最大似然估計量。
若為的極大似然估計，為單調(diào)函數(shù)，則為的極大似然估計。
（2）估計量的評選標(biāo)準(zhǔn)
無偏性
設(shè)為未知參數(shù)的估計量。若E （）=，則稱 為的無偏估計量。
E（）=E（X）， E（S2）=D（X）
有效性
設(shè)和是未知參數(shù)的兩個無偏估計量。若，則稱有效。
一致性
設(shè)是的一串估計量，如果對于任意的正數(shù)，都有
則稱為的一致估計量（或相合估計量）。
若為的無偏估計，且則為的一致估計。
只要總體的E(X)和D(X)存在，一切樣本矩和樣本矩的連續(xù)函數(shù)都是相應(yīng)總體的一致估計量。
（3）區(qū)間估計
置信區(qū)間和置信度
設(shè)總體X含有一個待估的未知參數(shù)。如果我們從樣本出發(fā)，找出兩個統(tǒng)計量與，使得區(qū)間以的概率包含這個待估參數(shù)，即
那么稱區(qū)間為的置信區(qū)間，為該區(qū)間的置信度（或置信水平）。
單正態(tài)總體的期望和方差的區(qū)間估計

設(shè)為總體的一個樣本，在置信度為下，我們來確定的置信區(qū)間。具體步驟如下：
（i）選擇樣本函數(shù)；
（ii）由置信度，查表找分位數(shù)；
（iii）導(dǎo)出置信區(qū)間。
已知方差，估計均值
（i）選擇樣本函數(shù)
(ii) 查表找分位數(shù)
（iii）導(dǎo)出置信區(qū)間
未知方差，估計均值
（i）選擇樣本函數(shù)
(ii)查表找分位數(shù)

（iii）導(dǎo)出置信區(qū)間
方差的區(qū)間估計
（i）選擇樣本函數(shù)
（ii）查表找分位數(shù)

（iii）導(dǎo)出的置信區(qū)間
第八章 假設(shè)檢驗
基本思想
假設(shè)檢驗的統(tǒng)計思想是，概率很小的事件在一次試驗中可以認(rèn)為基本上是不會發(fā)生的，即小概率原理。
為了檢驗一個假設(shè)H0是否成立。我們先假定H0是成立的。如果根據(jù)這個假定導(dǎo)致了一個不合理的事件發(fā)生，那就表明原來的假定H0是不正確的，我們拒絕接受H0；如果由此沒有導(dǎo)出不合理的現(xiàn)象，則不能拒絕接受H0，我們稱H0是相容的。與H0相對的假設(shè)稱為備擇假設(shè)，用H1表示。
這里所說的小概率事件就是事件，其概率就是檢驗水平α，通常我們?nèi)ˇ?0.05，有時也取0.01或0.10。
基本步驟
假設(shè)檢驗的基本步驟如下：
提出零假設(shè)H0；
選擇統(tǒng)計量K；
對于檢驗水平α查表找分位數(shù)λ；
由樣本值計算統(tǒng)計量之值K；
將進(jìn)行比較，作出判斷：當(dāng)時否定H0，否則認(rèn)為H0相容。
兩類錯誤
第一類錯誤
當(dāng)H0為真時，而樣本值卻落入了否定域，按照我們規(guī)定的檢驗法則，應(yīng)當(dāng)否定H0。這時，我們把客觀上H0成立判為H0為不成立（即否定了真實的假設(shè)），稱這種錯誤為“以真當(dāng)假”的錯誤或第一類錯誤，記為犯此類錯誤的概率，即
P{否定H0|H0為真}=；
此處的α恰好為檢驗水平。
第二類錯誤
當(dāng)H1為真時，而樣本值卻落入了相容域，按照我們規(guī)定的檢驗法則，應(yīng)當(dāng)接受H0。這時，我們把客觀上H0。不成立判為H0成立（即接受了不真實的假設(shè)），稱這種錯誤為“以假當(dāng)真”的錯誤或第二類錯誤，記為犯此類錯誤的概率，即
P{接受H0|H1為真}=。
兩類錯誤的關(guān)系
人們當(dāng)然希望犯兩類錯誤的概率同時都很小。但是，當(dāng)容量n一定時，變小，則變大；相反地，變小，則變大。取定要想使變小，則必須增加樣本容量。
在實際使用時，通常人們只能控制犯第一類錯誤的概率，即給定顯著性水平α。α大小的選取應(yīng)根據(jù)實際情況而定。當(dāng)我們寧可“以假為真”、而不愿“以真當(dāng)假”時，則應(yīng)把α取得很小，如0.01，甚至0.001。反之，則應(yīng)把α取得大些。
單正態(tài)總體均值和方差的假設(shè)檢驗
條件
零假設(shè)
統(tǒng)計量
對應(yīng)樣本
函數(shù)分布
否定域
已知
N（0，1）
未知
未知

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