資源簡介

　算法與程序框圖
知 識 梳 理
1.算法
(1)算法通常是指按照一定規(guī)則解決某一類問題的明確和有限的步驟.
(2)應(yīng)用：算法通常可以編成計算機程序，讓計算機執(zhí)行并解決問題.
2.程序框圖
定義：程序框圖又稱流程圖，是一種用程序框、流程線及文字說明來表示算法的圖形.
3.三種基本邏輯結(jié)構(gòu)
　 名稱
內(nèi)容
順序結(jié)構(gòu)
條件結(jié)構(gòu)
循環(huán)結(jié)構(gòu)
定義
由若干個按先后順序執(zhí)行的步驟組成，這是任何一個算法都離不開的基本結(jié)構(gòu)
算法的流程根據(jù)條件是否成立而選擇執(zhí)行不同的流向的結(jié)構(gòu)形式
從某處開始，按照一定的條件反復(fù)執(zhí)行某些步驟的情況，反復(fù)執(zhí)行的步驟稱為循環(huán)體
程序框圖
4.基本算法語句
(1)輸入、輸出、賦值語句的格式與功能
語句
一般格式
功能
輸入語句
INPUT“提示內(nèi)容”；變量
輸入信息
輸出語句
PRINT“提示內(nèi)容”；表達式
輸出常量、變量的值和系統(tǒng)信息
賦值語句
變量＝表達式
將表達式的值賦給變量
(2)條件語句的格式
①IF－THEN格式 ②IF－THEN－ELSE格式

(3)循環(huán)語句的格式
①WHILE語句
②UNTIL語句
5.流程圖與結(jié)構(gòu)圖
(1)由一些圖形符號和文字說明構(gòu)成的圖示稱為流程圖.
(2)描述系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的圖示稱為結(jié)構(gòu)圖，一般由構(gòu)成系統(tǒng)的若干要素和表達各要素之間關(guān)系的連線(或方向箭頭)構(gòu)成.
例題與練習(xí)
1(2017·北京海淀區(qū)模擬)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的a值為1，則輸出的k值為(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
2 (2016·全國Ⅰ卷)
執(zhí)行右邊的程序框圖，如果輸入的x＝0，y＝1，n＝1，則輸出x，y的值滿足(　　)
A.y＝2x B.y＝3x
C.y＝4x D.y＝5x
3.(2017·佛山質(zhì)檢)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的S值為－4時，則輸入的S0的值為(　　)
A.7 B.8
C.9 D.10
4.(2017·宜春模擬)如下是根據(jù)所輸入的x值計算y值的一個算法程序，若x依次取數(shù)列{}(n∈N*)的項，則所得y值的最小值為(　　)
INPUT　x
IF　x<5　THEN
y＝x^2
ELSE
y＝5*x
END　IF
PRINT　y
END
A.4 B.9 C.16 D.20
5.關(guān)于函數(shù)f(x)＝的程序框圖如圖所示，現(xiàn)輸入?yún)^(qū)間[a，b]，則輸出的區(qū)間是________.
　隨機抽樣
知 識 梳 理
1.簡單隨機抽樣
(1)定義：設(shè)一個總體含有N個個體，從中逐個不放回地抽取n個個體作為樣本(n≤N)，如果每次抽取時總體內(nèi)的各個個體被抽到的機會都相等，就把這種抽樣方法叫做簡單隨機抽樣.
(2)最常用的簡單隨機抽樣的方法：抽簽法和隨機數(shù)法.
2.系統(tǒng)抽樣
(1)定義：當(dāng)總體中的個體數(shù)目較多時，可將總體分成均衡的幾個部分，然后按照事先定出的規(guī)則，從每一部分抽取一個個體得到所需要的樣本，這種抽樣方法叫做系統(tǒng)抽樣.
(2)系統(tǒng)抽樣的操作步驟
假設(shè)要從容量為N的總體中抽取容量為n的樣本.
①先將總體的N個個體編號；
②確定分段間隔k，對編號進行分段，當(dāng)(n是樣本容量)是整數(shù)時，取k＝；
③在第1段用簡單隨機抽樣確定第一個個體編號l(l≤k)；
④按照一定的規(guī)則抽取樣本，通常是將l加上間隔k得到第2個個體編號(l＋k)，再加k得到第3個個體編號(l＋2k)，依次進行下去，直到獲取整個樣本.
3.分層抽樣
(1)定義：在抽樣時，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨立地抽取一定數(shù)量的個體，將各層取出的個體合在一起作為樣本，這種抽樣方法叫做分層抽樣.
(2)應(yīng)用范圍：當(dāng)總體是由差異明顯的幾個部分組成時，往往選用分層抽樣.
例題與練習(xí)
1.某初級中學(xué)有學(xué)生270人，其中一年級108人，二、三年級各81人，現(xiàn)要利用抽樣方法抽取10人參加某項調(diào)查，考慮選用簡單隨機抽樣、分層抽樣和系統(tǒng)抽樣三種方案，使用簡單隨機抽樣和分層抽樣時，將學(xué)生按一、二、三年級依次統(tǒng)一編號為1，2，…，270，使用系統(tǒng)抽樣時，將學(xué)生統(tǒng)一隨機編號為1，2，…，270，并將整個編號依次分為10段，如果抽得號碼有下列四種情況：
①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；
②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265；
③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254；
④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270.
關(guān)于上述樣本的下列結(jié)論中，正確的是(　　)
A.②、③都不能為系統(tǒng)抽樣 　 B.②、④都不能為分層抽樣
C.①、④都可能為系統(tǒng)抽樣 D.①、③都可能為分層抽樣
2.某城市修建經(jīng)濟適用房.已知甲、乙、丙三個社區(qū)分別有低收入家庭360戶、270戶、180戶，若首批經(jīng)濟適用房中有90套住房用于解決住房緊張問題，采用分層抽樣的方法決定各社區(qū)戶數(shù)，則應(yīng)從乙社區(qū)中抽取低收入家庭的戶數(shù)為(　　)
A.40 B.36 C.30 D.20
3.福利彩票“雙色球”中紅色球的號碼由編號為01，02，…，33的33個個體組成，某彩民利用下面的隨機數(shù)表選取6組數(shù)作為6個紅色球的編號，選取方法是從隨機數(shù)表第1行的第6列和第7列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個數(shù)字，則選出來的第6個紅色球的編號為(　　)
A.23 B.09 C.02 D.17
4.從編號為001，002，…，500的500個產(chǎn)品中用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個樣本，已知樣本中編號最小的兩個編號分別為007，032，則樣本中最大的編號應(yīng)該為(　　)
A.480 B.481 C.482 D.483
5.將參加夏令營的600名學(xué)生編號為001，002，…，600.采用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個容量為50的樣本，且隨機抽得的號碼為003.這600名學(xué)生分住在三個營區(qū)，從001到300在第Ⅰ營區(qū)，從301到495在第Ⅱ營區(qū)，從496到600在第Ⅲ營區(qū)，三個營區(qū)被抽中的人數(shù)依次為(　　)
A.26，16，8 B.25，17，8
C.25，16，9 D.24，17，9
6.某工廠的三個車間在12月份共生產(chǎn)了3 600雙皮靴，在出廠前要檢查這批產(chǎn)品的質(zhì)量，決定采用分層抽樣的方法進行抽取，若從第一、二、三車間抽取的產(chǎn)品數(shù)分別為a，b，c，且a，b，c構(gòu)成等差數(shù)列，則第二車間生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)為(　　)
A.800 B.1 000 C.1 200 D.1 500
8.某大學(xué)工程學(xué)院有840名學(xué)生，現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣方法，抽取42人做問卷調(diào)查，將840人按1，2，…，840隨機編號，則抽取的42人中，編號落入?yún)^(qū)間[481，720]的人數(shù)為(　　)
A.11 B.12 C.13 D.14
9.用系統(tǒng)抽樣法從160名學(xué)生中抽取容量為20的樣本，將160名學(xué)生從1～160編號，按編號順序平均分成20組(1～8號，9～16號，…，153～160號)，若第16組抽出的號碼為123，則第2組中應(yīng)抽出個體的號碼是________.
10.一個總體中有90個個體，隨機編號0，1，2，…，89，依從小到大的編號順序平均分成9個小組，組號依次為1，2，3，…，9.現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個容量為9的樣本，規(guī)定：如果在第1組隨機抽取的號碼為m，那么在第k組中抽取的號碼個位數(shù)字與m＋k的個位數(shù)字相同，若m＝8，則在第8組中抽取的號碼是________.
　用樣本估計總體
知 識 梳 理
1.頻率分布直方圖
(1)頻率分布表的畫法：
第一步：求極差，決定組數(shù)和組距，組距＝；
第二步：分組，通常對組內(nèi)數(shù)值所在區(qū)間取左閉右開區(qū)間，最后一組取閉區(qū)間；
第三步：登記頻數(shù)，計算頻率，列出頻率分布表.
(2)頻率分布直方圖：反映樣本頻率分布的直方圖(如圖)
橫軸表示樣本數(shù)據(jù)，縱軸表示，每個小矩形的面積表示樣本落在該組內(nèi)的頻率.
2.莖葉圖
統(tǒng)計中還有一種被用來表示數(shù)據(jù)的圖叫做莖葉圖，莖是指中間的一列數(shù)，葉是從莖的旁邊生長出來的數(shù).
3.樣本的數(shù)字特征
數(shù)字特征
定義
眾數(shù)
在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)
中位數(shù)
將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在最中間位置的一個數(shù)據(jù)(或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)
在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等
平均數(shù)
樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)，
即＝
方差
s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，其中s為標(biāo)準(zhǔn)差
例題與練習(xí)
1. (2017·佛山質(zhì)檢)某城市100戶居民的月平均用電量(單位：度)，以[160，180)，[180，200)，[200，220)，[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]分組的頻率分布直方圖如圖.
(1)求直方圖中x的值；
(2)求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù)；
(3)在月平均用電量為[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]的四組用戶中，用分層抽樣的方法抽取11戶居民，則從月平均用電量在[220，240)內(nèi)的用戶中應(yīng)抽取多少戶？
2. (2017·長沙一中檢測)某企業(yè)有甲、乙兩個研發(fā)小組.為了比較他們的研發(fā)水平，現(xiàn)隨機抽取這兩個小組往年研發(fā)新產(chǎn)品的結(jié)果如下：(a，b)，(a，)，(a，b)， (，b)，(，)，(a，b)，(a，b)，(a，)，(，b)，(，)，(a，)(a，b)，(a，)，(，b)，(a，b).其中a，分別表示甲組研發(fā)成功和失敗；b，b分別表示乙組研發(fā)成功和失敗.
(1)若某組成功研發(fā)一種新產(chǎn)品，則給該組記1分，否則記0分.試計算甲、乙兩組研發(fā)新產(chǎn)品的成績的平均數(shù)和方差，并比較甲、乙兩組的研發(fā)水平；
(2)若該企業(yè)安排甲、乙兩組各自研發(fā)一種新產(chǎn)品，試估計恰有一組研發(fā)成功的概率.
3.(2014·全國Ⅰ卷)從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取100件，測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標(biāo)值，由測量結(jié)果得如下頻數(shù)分布表：
質(zhì)量指標(biāo)值分組
[75，85)
[85，95)
[95，105)
[105，115)
[115，125]
頻數(shù)
6
26
38
22
8
(1)作出這些數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖；
(2)估計這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)及方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)；
(3)根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，能否認為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標(biāo)值不低于95的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品80%”的規(guī)定？
　變量間的相關(guān)關(guān)系
知 識 梳 理
1.相關(guān)關(guān)系與回歸分析
回歸分析是對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的一種常用方法；判斷相關(guān)性的常用統(tǒng)計圖是：散點圖；統(tǒng)計量有相關(guān)系數(shù)與相關(guān)指數(shù).
(1)在散點圖中，點散布在從左下角到右上角的區(qū)域，對于兩個變量的這種相關(guān)關(guān)系，我們將它稱為正相關(guān).
(2)在散點圖中，點散布在從左上角到右下角的區(qū)域，兩個變量的這種相關(guān)關(guān)系稱為負相關(guān).
(3)如果散點圖中點的分布從整體上看大致在一條直線附近，稱兩個變量具有線性相關(guān)關(guān)系.
2.線性回歸方程
(1)最小二乘法：使得樣本數(shù)據(jù)的點到回歸直線的距離的平方和最小的方法叫做最小二乘法.
(2)回歸方程：兩個具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回歸方程為＝x＋，則＝＝，＝－.其中，是回歸方程的斜率，是在y軸上的截距.
回歸直線一定過樣本點的中心(x，y).
例題與練習(xí)
1.(2017·西安模擬)某車間為了規(guī)定工時定額，需要確定加工零件所花費的時間，為此進行了5次試驗.根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)(如下表)，由最小二乘法求得回歸方程＝0.67x＋54.9.
零件數(shù)x(個)
10
20
30
40
50
加工時間y(min)
62
75
81
89
現(xiàn)發(fā)現(xiàn)表中有一個數(shù)據(jù)看不清，請你推斷出該數(shù)據(jù)的值為________.
2 (1)(2015·湖北卷)已知變量x和y滿足關(guān)系y＝－0.1x＋1，變量y與z正相關(guān).下列結(jié)論中正確的是(　　)
A.x與y正相關(guān)，x與z負相關(guān) B.x與y正相關(guān)，x與z正相關(guān)
C.x與y負相關(guān)，x與z負相關(guān) D.x與y負相關(guān)，x與z正相關(guān)
3.根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)
x
3
4
5
6
7
8
y
4.0
2.5
－0.5
0.5
－2.0
－3.0
得到的回歸方程為＝x＋，則(　　)
A.>0，>0 B.>0，<0
C.<0，>0 D.<0，<0
4.(2017·鄭州調(diào)研)某地區(qū)2009年至2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入y(單位：千元)的數(shù)據(jù)如下表：
年份
2009
2010
2011
2012
2013
2014
2015
年份代號t
1
2
3
4
5
6
7
人均純收入y
2.9
3.3
3.6
4.4
4.8
5.2
5.9
(1)求y關(guān)于t的線性回歸方程；
(2)利用(1)中的回歸方程，分析2009年至2015年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況，并預(yù)測該地區(qū)2017年農(nóng)村居民家庭人均純收入.
附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：
＝，＝－.
隨機事件的概率
知 識 梳 理
1.頻率與概率
(1)在相同的條件S下重復(fù)n次試驗，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)，稱事件A出現(xiàn)的比例fn(A)＝為事件A出現(xiàn)的頻率.
(2)對于給定的隨機事件A，如果隨著試驗次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率fn(A)穩(wěn)定在某個常數(shù)上，把這個常數(shù)記作P(A)，稱為事件A的概率，簡稱為A的概率.
2.事件的關(guān)系與運算
定義
符號表示
包含關(guān)系
如果事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，這時稱事件B包含事件A(或稱事件A包含于事件B)
B?A
(或A?B)
相等關(guān)系
若B?A且A?B
A＝B
并事件(和事件)
若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生或事件B發(fā)生，稱此事件為事件A與事件B的并事件(或和事件)
A∪B
(或A＋B)
交事件(積事件)
若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生且事件B發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的交事件(或積事件)
A∩B
(或AB)
互斥事件
若A∩B為不可能事件，則稱事件A與事件B互斥
A∩B＝?
對立事件
若A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對立事件
A∩B＝?
P(A∪B)＝1
3.概率的幾個基本性質(zhì)
(1)概率的取值范圍：0≤P(A)≤1.
(2)必然事件的概率P(E)＝1.
(3)不可能事件的概率P(F)＝0.
(4)互斥事件概率的加法公式
①如果事件A與事件B互斥，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B).
②若事件B與事件A互為對立事件，則P(A)＝1－P(B).
例題與練習(xí)
1.某班選派5人，參加學(xué)校舉行的數(shù)學(xué)競賽，獲獎的人數(shù)及其概率如下：
獲獎人數(shù)
0
1
2
3
4
5
概率
0.1
0.16
x
y
0.2
z
(1)若獲獎人數(shù)不超過2人的概率為0.56，求x的值；
(2)若獲獎人數(shù)最多4人的概率為0.96，最少3人的概率為0.44，求y，z的值.
2.(2015·陜西卷)隨機抽取一個年份，對西安市該年4月份的天氣情況進行統(tǒng)計，結(jié)果如下：
日期
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
天氣
晴
雨
陰
陰
陰
雨
陰
晴
晴
晴
陰
晴
晴
晴
晴
日期
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
天氣
晴
陰
雨
陰
陰
晴
陰
晴
晴
晴
陰
晴
晴
晴
雨
(1)在4月份任取一天，估計西安市在該天不下雨的概率；
(2)西安市某學(xué)校擬從4月份的一個晴天開始舉行連續(xù)2天的運動會，估計運動會期間不下雨的概率.
3.設(shè)事件A，B，已知P(A)＝，P(B)＝，P(A∪B)＝，則A，B之間的關(guān)系一定為(　　)
A.兩個任意事件 B.互斥事件 C.非互斥事件 D.對立事件
4.如圖所示的莖葉圖表示的是甲、乙兩人在5次綜合測評中的成績，其中一個數(shù)字被污損，則甲的平均成績超過乙的平均成績的概率是(　　)
A. B. C. D.
5.拋擲一枚均勻的正方體骰子(各面分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6)，事件A表示“朝上一面的數(shù)是奇數(shù)”，事件B表示“朝上一面的數(shù)不超過2”，則P(A∪B)＝________.
古典概型
知 識 梳 理
1.基本事件的特點
(1)任何兩個基本事件是互斥的.
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.
2.古典概型
具有以下兩個特點的概率模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型.
(1)試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個.
(2)每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等.
3.如果一次試驗中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每一個基本事件的概率都是；如果某個事件A包括的結(jié)果有m個，那么事件A的概率P(A)＝.
4.古典概型的概率公式
P(A)＝.
例題與練習(xí)
1. (2016·湖南東部六校聯(lián)考)某車間共有12名工人，隨機抽取6名作為樣本，他們某日加工零件個數(shù)的莖葉圖如圖所示，其中莖為十位數(shù)，葉為個位數(shù)，日加工零件個數(shù)大于樣本均值的工人為優(yōu)秀工人.要從這6人中，隨機選出2人參加一項技術(shù)比賽，選出的2人至少有1人為優(yōu)秀工人的概率為(　　)
A. B. C. D.
2.集合A＝{2，3}，B＝{1，2，3}，從A，B中各任意取一個數(shù)，則這兩數(shù)之和等于4的概率是(　　)
A. B. C. D.
3.(2017·黃山一模)從1，2，3，4，5中任取3個不同的數(shù)，則取出的3個數(shù)可作為三角形的三邊邊長的概率是(　　)
A. B. C. D.
4.(2017·馬鞍山一模)某同學(xué)先后投擲一枚骰子兩次，第一次向上的點數(shù)記為x，第二次向上的點數(shù)記為y，在直角坐標(biāo)系xOy中，以(x，y)為坐標(biāo)的點落在直線2x－y＝1上的概率為(　　)
A. B. C. D.
5.(2017·鄭州模擬)一個三位自然數(shù)百位、十位、個位上的數(shù)字依次為a，b，c，當(dāng)且僅當(dāng)a>b，bA. B. C. D.
6.(2015·江蘇卷)袋中有形狀、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只紅球，2只黃球，從中一次隨機摸出2只球，則這2只球顏色不同的概率為________.
7.海關(guān)對同時從A，B，C三個不同地區(qū)進口的某種商品進行抽樣檢測，從各地區(qū)進口此種商品的數(shù)量(單位：件)如表所示.工作人員用分層抽樣的方法從這些商品中共抽取6件樣品進行檢測.
地區(qū)
A
B
C
數(shù)量
50
150
100
(1)求這6件樣品中來自A，B，C各地區(qū)商品的數(shù)量；
(2)若在這6件樣品中隨機抽取2件送往甲機構(gòu)進行進一步檢測，求這2件商品來自相同地區(qū)的概率.
8.一個盒子里裝有三張卡片，分別標(biāo)記有數(shù)字1，2，3，這三張卡片除標(biāo)記的數(shù)字外完全相同.隨機有放回地抽取3次，每次抽取1張，將抽取的卡片上的數(shù)字依次記為a，b，c.
(1)求“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a＋b＝c”的概率；
(2)求“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同”的概率.
9.隨機擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，它們向上的點數(shù)之和不超過5的概率記為p1，點數(shù)之和大于5的概率記為p2，點數(shù)之和為偶數(shù)的概率記為p3，則(　　)
A.p1＜p2＜p3 B.p2＜p1＜p3
C.p1＜p3＜p2 D.p3＜p1＜p2
10.(2017·河南省八市重點高中質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝2x2－4ax＋2b2，若a∈{4，6，8}，b∈{3，5，7}，則該函數(shù)有兩個零點的概率為________.
幾何概型
知 識 梳 理
1.幾何概型的定義
如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱為幾何概型.
2.幾何概型的兩個基本特點
(1)無限性：在一次試驗中，可能出現(xiàn)的結(jié)果有無限多個；
(2)等可能性：每個結(jié)果的發(fā)生具有等可能性.
3.幾何概型的概率公式
P(A)＝.
例題與練習(xí)
1(2017·唐山質(zhì)檢)設(shè)A為圓周上一點，在圓周上等可能地任取一點與A連接，則弦長超過半徑的倍的概率是(　　)
A. B. C. D.
2.(2015·重慶卷)在區(qū)間[0，5]上隨機地選擇一個數(shù)p，則方程x2＋2px＋3p－2＝0有兩個負根的概率為________.
3.(2016·全國Ⅱ卷)從區(qū)間[0，1]隨機抽取2n個數(shù)x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，構(gòu)成n個數(shù)對(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對共有m個，則用隨機模擬的方法得到的圓周率π的近似值為(　　)
A. B. C. D.
4.(2017·石家莊調(diào)研)在滿足不等式組
的平面內(nèi)隨機取一點M(x0，y0)，設(shè)事件A＝“y0＜2x0”，那么事件A發(fā)生的概率是(　　)
A. B. C. D.
4.一個長方體空屋子，長、寬、高分別為5米、4米、3米，地面三個角上各裝有一個捕蠅器(大小忽略不計)，可捕捉距其一米空間內(nèi)的蒼蠅，若一只蒼蠅從位于另外一角處的門口飛入，并在房間內(nèi)盤旋，則蒼蠅被捕捉的概率是________.
5.(2016·山東卷)在[－1，1]上隨機地取一個數(shù)k，則事件“直線y＝kx與圓(x－5)2＋y2＝9相交”發(fā)生的概率為________.
6.(2017·唐山模擬)如圖，將半徑為1的圓分成相等的四段弧，再將四段弧圍成星形放在圓內(nèi)(陰影部分).現(xiàn)在往圓內(nèi)任投一點，此點落在星形區(qū)域內(nèi)的概率為________.
7.在區(qū)間[－1，4]內(nèi)取一個數(shù)x，則2x－x2≥的概率是(　　)
A. B. C. D.
8.已知平面區(qū)域D＝{(x，y)|－1≤x≤1，－1≤y≤1}，在區(qū)域D內(nèi)任取一點，則取到的點位于直線y＝kx(k∈R)下方的概率為(　　)
A. B. C. D.
9.(2017·長春質(zhì)檢)在區(qū)間[0，π]上隨機取一個實數(shù)x，使得sin x∈的概率為(　　)
A. B. C. D.
10.(2017·成都診斷)如圖，大正方形的面積是34，四個全等直角三角形圍成一個小正方形，直角三角形的較短邊長為3，向大正方形內(nèi)拋撒一枚幸運小花朵，則小花朵落在小正方形內(nèi)的概率為(　　)
A. B. C. D.
11.(2015·湖北卷)在區(qū)間[0，1]上隨機取兩個數(shù)x，y，記p1為事件“x＋y≤”的概率，p2為事件“xy≤”的概率，則(　　)
A.p112.在區(qū)間[－π，π]內(nèi)隨機取出兩個數(shù)分別記為a，b，則函數(shù)f(x)＝x2＋2ax－b2＋π2有零點的概率為(　　)
A.1－ B.1－ C.1－ D.1－
　命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件
知 識 梳 理
1.命題
用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句叫做命題，其中判斷為真的語句叫做真命題，判斷為假的語句叫做假命題.
2.四種命題及其相互關(guān)系
(1)四種命題間的相互關(guān)系
(2)四種命題的真假關(guān)系
①兩個命題互為逆否命題，它們具有相同的真假性.
②兩個命題為互逆命題或互否命題時，它們的真假性沒有關(guān)系.
3.充分條件、必要條件與充要條件的概念
若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件
p是q的充分不必要條件
p?q且qp
p是q的必要不充分條件
p且q?p
p是q的充要條件
p?q
p是q的既不充分也不必要條件
pq且q p
例題與練習(xí)
1.(2017·大連雙基檢測)已知函數(shù)f(x)的定義域為R，則命題p：“函數(shù)f(x)為偶函數(shù)”是命題q：“?x0∈R，f(x0)＝f(－x0)”的(　　)
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
2函數(shù)f(x)在x＝x0處導(dǎo)數(shù)存在.若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的極值點，則(　　)
A.p是q的充分必要條件
B.p是q的充分條件，但不是q的必要條件
C.p是q的必要條件，但不是q的充分條件
D.p既不是q的充分要件，也不是q的必要條件
3(2017·衡陽一模)“a＝1”是“直線ax＋y＋1＝0與直線(a＋2)x－3y－2＝0垂直”的(　　)
A.充要條件 B.充分不必要條件
C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件
5.已知命題p：x2＋2x－3＞0；命題q：x＞a，且綈q的一個充分不必要條件是綈p，則a的取值范圍是(　　)
A.[1，＋∞) B.(－∞，1]
C.[－1，＋∞) D.(－∞，－3]
6.(2016·四川卷)設(shè)p：實數(shù)x，y滿足(x－1)2＋(y－1)2≤2，q：實數(shù)x，y滿足則p是q的(　　)
A.必要不充分條件 B.充分不必要條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
7.(2017·南昌十所省重點中學(xué)聯(lián)考)已知m∈R，“函數(shù)y＝2x＋m－1有零點”是“函數(shù)y＝logmx在(0，＋∞)上為減函數(shù)”的(　　)
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
8.(2017·臨沂模擬)下列四個結(jié)論中正確的是________(填序號).
①“x2＋x－2>0”是“x>1”的充分不必要條件；②命題：“?x∈R，sin x≤1”的否定是“?x0∈R，sin x0>1”；③“若x＝，則tan x＝1”的逆命題為真命題；④若f(x)是R上的奇函數(shù)，則f(log32)＋f(log23)＝0.
9. (經(jīng)典母題)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}.若x∈P是x∈S的必要條件，求m的取值范圍.
【變式1】 本例條件不變，問是否存在實數(shù)m，使x∈P是x∈S的充要條件？
【變式2】 本例條件不變，若綈P是綈S的必要不充分條件，求實數(shù)m的取值范圍.
　
空間向量及其運算
知 識 梳 理
1.空間向量的有關(guān)概念
名稱
定義
空間向量
在空間中，具有大小和方向的量
相等向量
方向相同且模相等的向量
相反向量
方向相反且模相等的向量
共線向量
(或平行向量)
表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合的向量
共面向量
平行于同一個平面的向量
2.空間向量的有關(guān)定理
(1)共線向量定理：對空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ，使得a＝λb.
(2)共面向量定理：如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使p＝xa＋yb.
(3)空間向量基本定理：如果三個向量a，b，c不共面，那么對空間任一向量p，存在有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，其中，{a，b，c}叫做空間的一個基底.
3.空間向量的數(shù)量積及運算律
(1)數(shù)量積及相關(guān)概念
①兩向量的夾角
已知兩個非零向量a，b，在空間任取一點O，作＝a，＝b，則∠AOB叫做向量a與b的夾角，記作〈a，b〉，其范圍是[0，π]，若〈a，b〉＝，則稱a與b互相垂直，記作a⊥b.
②非零向量a，b的數(shù)量積a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.
(2)空間向量數(shù)量積的運算律：
①結(jié)合律：(λa)·b＝λ(a·b)；
②交換律：a·b＝b·a；
③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
4.空間向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用
設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
向量表示
坐標(biāo)表示
數(shù)量積
a·b
a1b1＋a2b2＋a3b3
共線
a＝λb(b≠0，λ∈R)
a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3
垂直
a·b＝0(a≠0，b≠0)
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
模
|a|
夾角
〈a，b〉(a≠0，b≠0)
cos〈a，b〉＝
例題與練習(xí)
1.如圖所示，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，M為A1C1與B1D1的交點.若＝a，＝b，1＝c，則下列向量中與相等的向量是(　　)
A.－a＋b＋c B.a＋b＋c
C.－a－b＋c D.a－b＋c
2.O為空間中任意一點，A，B，C三點不共線，且＝＋＋t，若P，A，B，C四點共面，則實數(shù)t＝________.
3 (2017·上饒期中)如圖，三棱錐O－ABC中，M，N分別是AB，OC的中點，設(shè)＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示，則＝(　　)
A.(－a＋b＋c) B.(a＋b－c)
C.(a－b＋c) D.(－a－b＋c)
4 已知A，B，C三點不共線，對平面ABC外的任一點O，若點M滿足＝(＋＋).
(1)判斷，，三個向量是否共面；
(2)判斷點M是否在平面ABC內(nèi).
5 如圖所示，已知空間四邊形ABCD的各邊和對角線的長都等于a，點M，N分別是AB，CD的中點.
(1)求證：MN⊥AB，MN⊥CD；
(2)求MN的長；
(3)求異面直線AN與CM所成角的余弦值.
　立體幾何中的向量方法(一)——證明平行與垂直
知 識 梳 理
1.直線的方向向量和平面的法向量
(1)直線的方向向量：如果表示非零向量a的有向線段所在直線與直線l平行或重合，則稱此向量a為直線l的方向向量.
(2)平面的法向量：直線l⊥α，取直線l的方向向量a，則向量a叫做平面α的法向量.
2.空間位置關(guān)系的向量表示
位置關(guān)系
向量表示
直線l1，l2的方向向量分別為n1，n2
l1∥l2
n1∥n2?n1＝λn2
l1⊥l2
n1⊥n2?n1·n2＝0
直線l的方向向量為n，平面α的法向量為m
l∥α
n⊥m?n·m＝0
l⊥α
n∥m?n＝λm
平面α，β的法向量分別為n，m
α∥β
n∥m?n＝λm
α⊥β
n⊥m?n·m＝0
例題與練習(xí)
1 如圖所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F(xiàn)，G分別是線段PA，PD，CD的中點.求證：PB∥平面EFG.
2 在四棱錐P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PD＝DC，E，F(xiàn)分別是AB，PB的中點.
(1)求證：EF⊥CD；
(2)在平面PAD內(nèi)是否存在一點G，使GF⊥平面PCB？若存在，求出點G坐標(biāo)；若不存在，試說明理由.
10.(2017·鄭州調(diào)研)如圖所示，四棱錐P－ABCD的底面是邊長為1的正方形，PA⊥CD，PA＝1，PD＝，E為PD上一點，PE＝2ED.
(1)求證：PA⊥平面ABCD；
(2)在側(cè)棱PC上是否存在一點F，使得BF∥平面AEC？若存在，指出F點的位置，并證明；若不存在，說明理由.
　
立體幾何中的向量方法(二)——求空間角
知 識 梳 理
1.異面直線所成的角
設(shè)a，b分別是兩異面直線l1，l2的方向向量，則
a與b的夾角β
l1與l2所成的角θ
范圍
(0，π)
求法
cos β＝
cos θ＝|cos β|＝
2.求直線與平面所成的角
設(shè)直線l的方向向量為a，平面α的法向量為n，直線l與平面α所成的角為θ，則sin θ＝|cos〈a，n〉|＝.
3.求二面角的大小
(1)如圖①，AB，CD是二面角α－l－β的兩個面內(nèi)與棱l垂直的直線，則二面角的大小θ＝__〈，〉.
(2)如圖②③，n1，n2 分別是二面角α－l－β的兩個半平面α，β的法向量，則二面角的大小θ滿足|cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1與n2的夾角(或其補角).
例題與練習(xí)
1.(2017·鄭州預(yù)測)過正方形ABCD的頂點A作線段PA⊥平面ABCD，若AB＝PA，則平面ABP與平面CDP所成的二面角為________.
2 如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中點.已知AB＝2，AD＝2，PA＝2.求：
(1)△PCD的面積.
(2)異面直線BC與AE所成的角的大小.
3 .(2016·全國Ⅲ卷)如圖，四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M為線段AD上一點，AM＝2MD，N為PC的中點.
(1)證明MN∥平面PAB；
(2)求直線AN與平面PMN所成角的正弦值.
4 (2017·商丘模擬)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，B1B＝B1A＝AB＝BC，∠B1BC＝90°，D為AC的中點，AB⊥B1D.
(1)求證：平面ABB1A1⊥平面ABC；
(2)求直線B1D與平面ACC1A1所成角的正弦值；
(3)求二面角B－B1D－C的余弦值.
　算法與程序框圖
知 識 梳 理
1.算法
(1)算法通常是指按照一定規(guī)則解決某一類問題的明確和有限的步驟.
(2)應(yīng)用：算法通常可以編成計算機程序，讓計算機執(zhí)行并解決問題.
2.程序框圖
定義：程序框圖又稱流程圖，是一種用程序框、流程線及文字說明來表示算法的圖形.
3.三種基本邏輯結(jié)構(gòu)
　 名稱
內(nèi)容
順序結(jié)構(gòu)
條件結(jié)構(gòu)
循環(huán)結(jié)構(gòu)
定義
由若干個按先后順序執(zhí)行的步驟組成，這是任何一個算法都離不開的基本結(jié)構(gòu)
算法的流程根據(jù)條件是否成立而選擇執(zhí)行不同的流向的結(jié)構(gòu)形式
從某處開始，按照一定的條件反復(fù)執(zhí)行某些步驟的情況，反復(fù)執(zhí)行的步驟稱為循環(huán)體
程序框圖
4.基本算法語句
(1)輸入、輸出、賦值語句的格式與功能
語句
一般格式
功能
輸入語句
INPUT“提示內(nèi)容”；變量
輸入信息
輸出語句
PRINT“提示內(nèi)容”；表達式
輸出常量、變量的值和系統(tǒng)信息
賦值語句
變量＝表達式
將表達式的值賦給變量
(2)條件語句的格式
①IF－THEN格式 ②IF－THEN－ELSE格式

(3)循環(huán)語句的格式
①WHILE語句
②UNTIL語句
5.流程圖與結(jié)構(gòu)圖
(1)由一些圖形符號和文字說明構(gòu)成的圖示稱為流程圖.
(2)描述系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的圖示稱為結(jié)構(gòu)圖，一般由構(gòu)成系統(tǒng)的若干要素和表達各要素之間關(guān)系的連線(或方向箭頭)構(gòu)成.
例題與練習(xí)
1(2017·北京海淀區(qū)模擬)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的a值為1，則輸出的k值為(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
2 (2016·全國Ⅰ卷)
執(zhí)行右邊的程序框圖，如果輸入的x＝0，y＝1，n＝1，則輸出x，y的值滿足(　　)
A.y＝2x B.y＝3x
C.y＝4x D.y＝5x
3.(2017·佛山質(zhì)檢)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的S值為－4時，則輸入的S0的值為(　　)
A.7 B.8
C.9 D.10
4.(2017·宜春模擬)如下是根據(jù)所輸入的x值計算y值的一個算法程序，若x依次取數(shù)列{}(n∈N*)的項，則所得y值的最小值為(　　)
INPUT　x
IF　x<5　THEN
y＝x^2
ELSE
y＝5*x
END　IF
PRINT　y
END
A.4 B.9 C.16 D.20
5.關(guān)于函數(shù)f(x)＝的程序框圖如圖所示，現(xiàn)輸入?yún)^(qū)間[a，b]，則輸出的區(qū)間是________.
　隨機抽樣
知 識 梳 理
1.簡單隨機抽樣
(1)定義：設(shè)一個總體含有N個個體，從中逐個不放回地抽取n個個體作為樣本(n≤N)，如果每次抽取時總體內(nèi)的各個個體被抽到的機會都相等，就把這種抽樣方法叫做簡單隨機抽樣.
(2)最常用的簡單隨機抽樣的方法：抽簽法和隨機數(shù)法.
2.系統(tǒng)抽樣
(1)定義：當(dāng)總體中的個體數(shù)目較多時，可將總體分成均衡的幾個部分，然后按照事先定出的規(guī)則，從每一部分抽取一個個體得到所需要的樣本，這種抽樣方法叫做系統(tǒng)抽樣.
(2)系統(tǒng)抽樣的操作步驟
假設(shè)要從容量為N的總體中抽取容量為n的樣本.
①先將總體的N個個體編號；
②確定分段間隔k，對編號進行分段，當(dāng)(n是樣本容量)是整數(shù)時，取k＝；
③在第1段用簡單隨機抽樣確定第一個個體編號l(l≤k)；
④按照一定的規(guī)則抽取樣本，通常是將l加上間隔k得到第2個個體編號(l＋k)，再加k得到第3個個體編號(l＋2k)，依次進行下去，直到獲取整個樣本.
3.分層抽樣
(1)定義：在抽樣時，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨立地抽取一定數(shù)量的個體，將各層取出的個體合在一起作為樣本，這種抽樣方法叫做分層抽樣.
(2)應(yīng)用范圍：當(dāng)總體是由差異明顯的幾個部分組成時，往往選用分層抽樣.
例題與練習(xí)
1.某初級中學(xué)有學(xué)生270人，其中一年級108人，二、三年級各81人，現(xiàn)要利用抽樣方法抽取10人參加某項調(diào)查，考慮選用簡單隨機抽樣、分層抽樣和系統(tǒng)抽樣三種方案，使用簡單隨機抽樣和分層抽樣時，將學(xué)生按一、二、三年級依次統(tǒng)一編號為1，2，…，270，使用系統(tǒng)抽樣時，將學(xué)生統(tǒng)一隨機編號為1，2，…，270，并將整個編號依次分為10段，如果抽得號碼有下列四種情況：
①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；
②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265；
③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254；
④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270.
關(guān)于上述樣本的下列結(jié)論中，正確的是(　　)
A.②、③都不能為系統(tǒng)抽樣 　 B.②、④都不能為分層抽樣
C.①、④都可能為系統(tǒng)抽樣 D.①、③都可能為分層抽樣
2.某城市修建經(jīng)濟適用房.已知甲、乙、丙三個社區(qū)分別有低收入家庭360戶、270戶、180戶，若首批經(jīng)濟適用房中有90套住房用于解決住房緊張問題，采用分層抽樣的方法決定各社區(qū)戶數(shù)，則應(yīng)從乙社區(qū)中抽取低收入家庭的戶數(shù)為(　　)
A.40 B.36 C.30 D.20
3.福利彩票“雙色球”中紅色球的號碼由編號為01，02，…，33的33個個體組成，某彩民利用下面的隨機數(shù)表選取6組數(shù)作為6個紅色球的編號，選取方法是從隨機數(shù)表第1行的第6列和第7列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個數(shù)字，則選出來的第6個紅色球的編號為(　　)
A.23 B.09 C.02 D.17
4.從編號為001，002，…，500的500個產(chǎn)品中用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個樣本，已知樣本中編號最小的兩個編號分別為007，032，則樣本中最大的編號應(yīng)該為(　　)
A.480 B.481 C.482 D.483
5.將參加夏令營的600名學(xué)生編號為001，002，…，600.采用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個容量為50的樣本，且隨機抽得的號碼為003.這600名學(xué)生分住在三個營區(qū)，從001到300在第Ⅰ營區(qū)，從301到495在第Ⅱ營區(qū)，從496到600在第Ⅲ營區(qū)，三個營區(qū)被抽中的人數(shù)依次為(　　)
A.26，16，8 B.25，17，8
C.25，16，9 D.24，17，9
6.某工廠的三個車間在12月份共生產(chǎn)了3 600雙皮靴，在出廠前要檢查這批產(chǎn)品的質(zhì)量，決定采用分層抽樣的方法進行抽取，若從第一、二、三車間抽取的產(chǎn)品數(shù)分別為a，b，c，且a，b，c構(gòu)成等差數(shù)列，則第二車間生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)為(　　)
A.800 B.1 000 C.1 200 D.1 500
8.某大學(xué)工程學(xué)院有840名學(xué)生，現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣方法，抽取42人做問卷調(diào)查，將840人按1，2，…，840隨機編號，則抽取的42人中，編號落入?yún)^(qū)間[481，720]的人數(shù)為(　　)
A.11 B.12 C.13 D.14
9.用系統(tǒng)抽樣法從160名學(xué)生中抽取容量為20的樣本，將160名學(xué)生從1～160編號，按編號順序平均分成20組(1～8號，9～16號，…，153～160號)，若第16組抽出的號碼為123，則第2組中應(yīng)抽出個體的號碼是________.
10.一個總體中有90個個體，隨機編號0，1，2，…，89，依從小到大的編號順序平均分成9個小組，組號依次為1，2，3，…，9.現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個容量為9的樣本，規(guī)定：如果在第1組隨機抽取的號碼為m，那么在第k組中抽取的號碼個位數(shù)字與m＋k的個位數(shù)字相同，若m＝8，則在第8組中抽取的號碼是________.
　用樣本估計總體
知 識 梳 理
1.頻率分布直方圖
(1)頻率分布表的畫法：
第一步：求極差，決定組數(shù)和組距，組距＝；
第二步：分組，通常對組內(nèi)數(shù)值所在區(qū)間取左閉右開區(qū)間，最后一組取閉區(qū)間；
第三步：登記頻數(shù)，計算頻率，列出頻率分布表.
(2)頻率分布直方圖：反映樣本頻率分布的直方圖(如圖)
橫軸表示樣本數(shù)據(jù)，縱軸表示，每個小矩形的面積表示樣本落在該組內(nèi)的頻率.
2.莖葉圖
統(tǒng)計中還有一種被用來表示數(shù)據(jù)的圖叫做莖葉圖，莖是指中間的一列數(shù)，葉是從莖的旁邊生長出來的數(shù).
3.樣本的數(shù)字特征
數(shù)字特征
定義
眾數(shù)
在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)
中位數(shù)
將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在最中間位置的一個數(shù)據(jù)(或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)
在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等
平均數(shù)
樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)，
即＝
方差
s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，其中s為標(biāo)準(zhǔn)差
例題與練習(xí)
1. (2017·佛山質(zhì)檢)某城市100戶居民的月平均用電量(單位：度)，以[160，180)，[180，200)，[200，220)，[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]分組的頻率分布直方圖如圖.
(1)求直方圖中x的值；
(2)求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù)；
(3)在月平均用電量為[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]的四組用戶中，用分層抽樣的方法抽取11戶居民，則從月平均用電量在[220，240)內(nèi)的用戶中應(yīng)抽取多少戶？
2. (2017·長沙一中檢測)某企業(yè)有甲、乙兩個研發(fā)小組.為了比較他們的研發(fā)水平，現(xiàn)隨機抽取這兩個小組往年研發(fā)新產(chǎn)品的結(jié)果如下：(a，b)，(a，)，(a，b)， (，b)，(，)，(a，b)，(a，b)，(a，)，(，b)，(，)，(a，)(a，b)，(a，)，(，b)，(a，b).其中a，分別表示甲組研發(fā)成功和失敗；b，b分別表示乙組研發(fā)成功和失敗.
(1)若某組成功研發(fā)一種新產(chǎn)品，則給該組記1分，否則記0分.試計算甲、乙兩組研發(fā)新產(chǎn)品的成績的平均數(shù)和方差，并比較甲、乙兩組的研發(fā)水平；
(2)若該企業(yè)安排甲、乙兩組各自研發(fā)一種新產(chǎn)品，試估計恰有一組研發(fā)成功的概率.
3.(2014·全國Ⅰ卷)從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取100件，測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標(biāo)值，由測量結(jié)果得如下頻數(shù)分布表：
質(zhì)量指標(biāo)值分組
[75，85)
[85，95)
[95，105)
[105，115)
[115，125]
頻數(shù)
6
26
38
22
8
(1)作出這些數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖；
(2)估計這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)及方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)；
(3)根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，能否認為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標(biāo)值不低于95的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品80%”的規(guī)定？
　變量間的相關(guān)關(guān)系
知 識 梳 理
1.相關(guān)關(guān)系與回歸分析
回歸分析是對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的一種常用方法；判斷相關(guān)性的常用統(tǒng)計圖是：散點圖；統(tǒng)計量有相關(guān)系數(shù)與相關(guān)指數(shù).
(1)在散點圖中，點散布在從左下角到右上角的區(qū)域，對于兩個變量的這種相關(guān)關(guān)系，我們將它稱為正相關(guān).
(2)在散點圖中，點散布在從左上角到右下角的區(qū)域，兩個變量的這種相關(guān)關(guān)系稱為負相關(guān).
(3)如果散點圖中點的分布從整體上看大致在一條直線附近，稱兩個變量具有線性相關(guān)關(guān)系.
2.線性回歸方程
(1)最小二乘法：使得樣本數(shù)據(jù)的點到回歸直線的距離的平方和最小的方法叫做最小二乘法.
(2)回歸方程：兩個具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回歸方程為＝x＋，則＝＝，＝－.其中，是回歸方程的斜率，是在y軸上的截距.
回歸直線一定過樣本點的中心(x，y).
例題與練習(xí)
1.(2017·西安模擬)某車間為了規(guī)定工時定額，需要確定加工零件所花費的時間，為此進行了5次試驗.根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)(如下表)，由最小二乘法求得回歸方程＝0.67x＋54.9.
零件數(shù)x(個)
10
20
30
40
50
加工時間y(min)
62
75
81
89
現(xiàn)發(fā)現(xiàn)表中有一個數(shù)據(jù)看不清，請你推斷出該數(shù)據(jù)的值為________.
2 (1)(2015·湖北卷)已知變量x和y滿足關(guān)系y＝－0.1x＋1，變量y與z正相關(guān).下列結(jié)論中正確的是(　　)
A.x與y正相關(guān)，x與z負相關(guān) B.x與y正相關(guān)，x與z正相關(guān)
C.x與y負相關(guān)，x與z負相關(guān) D.x與y負相關(guān)，x與z正相關(guān)
3.根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)
x
3
4
5
6
7
8
y
4.0
2.5
－0.5
0.5
－2.0
－3.0
得到的回歸方程為＝x＋，則(　　)
A.>0，>0 B.>0，<0
C.<0，>0 D.<0，<0
4.(2017·鄭州調(diào)研)某地區(qū)2009年至2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入y(單位：千元)的數(shù)據(jù)如下表：
年份
2009
2010
2011
2012
2013
2014
2015
年份代號t
1
2
3
4
5
6
7
人均純收入y
2.9
3.3
3.6
4.4
4.8
5.2
5.9
(1)求y關(guān)于t的線性回歸方程；
(2)利用(1)中的回歸方程，分析2009年至2015年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況，并預(yù)測該地區(qū)2017年農(nóng)村居民家庭人均純收入.
附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：
＝，＝－.
隨機事件的概率
知 識 梳 理
1.頻率與概率
(1)在相同的條件S下重復(fù)n次試驗，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)，稱事件A出現(xiàn)的比例fn(A)＝為事件A出現(xiàn)的頻率.
(2)對于給定的隨機事件A，如果隨著試驗次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率fn(A)穩(wěn)定在某個常數(shù)上，把這個常數(shù)記作P(A)，稱為事件A的概率，簡稱為A的概率.
2.事件的關(guān)系與運算
定義
符號表示
包含關(guān)系
如果事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，這時稱事件B包含事件A(或稱事件A包含于事件B)
B?A
(或A?B)
相等關(guān)系
若B?A且A?B
A＝B
并事件(和事件)
若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生或事件B發(fā)生，稱此事件為事件A與事件B的并事件(或和事件)
A∪B
(或A＋B)
交事件(積事件)
若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生且事件B發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的交事件(或積事件)
A∩B
(或AB)
互斥事件
若A∩B為不可能事件，則稱事件A與事件B互斥
A∩B＝?
對立事件
若A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對立事件
A∩B＝?
P(A∪B)＝1
3.概率的幾個基本性質(zhì)
(1)概率的取值范圍：0≤P(A)≤1.
(2)必然事件的概率P(E)＝1.
(3)不可能事件的概率P(F)＝0.
(4)互斥事件概率的加法公式
①如果事件A與事件B互斥，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B).
②若事件B與事件A互為對立事件，則P(A)＝1－P(B).
例題與練習(xí)
1.某班選派5人，參加學(xué)校舉行的數(shù)學(xué)競賽，獲獎的人數(shù)及其概率如下：
獲獎人數(shù)
0
1
2
3
4
5
概率
0.1
0.16
x
y
0.2
z
(1)若獲獎人數(shù)不超過2人的概率為0.56，求x的值；
(2)若獲獎人數(shù)最多4人的概率為0.96，最少3人的概率為0.44，求y，z的值.
2.(2015·陜西卷)隨機抽取一個年份，對西安市該年4月份的天氣情況進行統(tǒng)計，結(jié)果如下：
日期
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
天氣
晴
雨
陰
陰
陰
雨
陰
晴
晴
晴
陰
晴
晴
晴
晴
日期
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
天氣
晴
陰
雨
陰
陰
晴
陰
晴
晴
晴
陰
晴
晴
晴
雨
(1)在4月份任取一天，估計西安市在該天不下雨的概率；
(2)西安市某學(xué)校擬從4月份的一個晴天開始舉行連續(xù)2天的運動會，估計運動會期間不下雨的概率.
3.設(shè)事件A，B，已知P(A)＝，P(B)＝，P(A∪B)＝，則A，B之間的關(guān)系一定為(　　)
A.兩個任意事件 B.互斥事件 C.非互斥事件 D.對立事件
4.如圖所示的莖葉圖表示的是甲、乙兩人在5次綜合測評中的成績，其中一個數(shù)字被污損，則甲的平均成績超過乙的平均成績的概率是(　　)
A. B. C. D.
5.拋擲一枚均勻的正方體骰子(各面分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6)，事件A表示“朝上一面的數(shù)是奇數(shù)”，事件B表示“朝上一面的數(shù)不超過2”，則P(A∪B)＝________.
古典概型
知 識 梳 理
1.基本事件的特點
(1)任何兩個基本事件是互斥的.
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.
2.古典概型
具有以下兩個特點的概率模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型.
(1)試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個.
(2)每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等.
3.如果一次試驗中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每一個基本事件的概率都是；如果某個事件A包括的結(jié)果有m個，那么事件A的概率P(A)＝.
4.古典概型的概率公式
P(A)＝.
例題與練習(xí)
1. (2016·湖南東部六校聯(lián)考)某車間共有12名工人，隨機抽取6名作為樣本，他們某日加工零件個數(shù)的莖葉圖如圖所示，其中莖為十位數(shù)，葉為個位數(shù)，日加工零件個數(shù)大于樣本均值的工人為優(yōu)秀工人.要從這6人中，隨機選出2人參加一項技術(shù)比賽，選出的2人至少有1人為優(yōu)秀工人的概率為(　　)
A. B. C. D.
2.集合A＝{2，3}，B＝{1，2，3}，從A，B中各任意取一個數(shù)，則這兩數(shù)之和等于4的概率是(　　)
A. B. C. D.
3.(2017·黃山一模)從1，2，3，4，5中任取3個不同的數(shù)，則取出的3個數(shù)可作為三角形的三邊邊長的概率是(　　)
A. B. C. D.
4.(2017·馬鞍山一模)某同學(xué)先后投擲一枚骰子兩次，第一次向上的點數(shù)記為x，第二次向上的點數(shù)記為y，在直角坐標(biāo)系xOy中，以(x，y)為坐標(biāo)的點落在直線2x－y＝1上的概率為(　　)
A. B. C. D.
5.(2017·鄭州模擬)一個三位自然數(shù)百位、十位、個位上的數(shù)字依次為a，b，c，當(dāng)且僅當(dāng)a>b，bA. B. C. D.
6.(2015·江蘇卷)袋中有形狀、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只紅球，2只黃球，從中一次隨機摸出2只球，則這2只球顏色不同的概率為________.
7.海關(guān)對同時從A，B，C三個不同地區(qū)進口的某種商品進行抽樣檢測，從各地區(qū)進口此種商品的數(shù)量(單位：件)如表所示.工作人員用分層抽樣的方法從這些商品中共抽取6件樣品進行檢測.
地區(qū)
A
B
C
數(shù)量
50
150
100
(1)求這6件樣品中來自A，B，C各地區(qū)商品的數(shù)量；
(2)若在這6件樣品中隨機抽取2件送往甲機構(gòu)進行進一步檢測，求這2件商品來自相同地區(qū)的概率.
8.一個盒子里裝有三張卡片，分別標(biāo)記有數(shù)字1，2，3，這三張卡片除標(biāo)記的數(shù)字外完全相同.隨機有放回地抽取3次，每次抽取1張，將抽取的卡片上的數(shù)字依次記為a，b，c.
(1)求“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a＋b＝c”的概率；
(2)求“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同”的概率.
9.隨機擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，它們向上的點數(shù)之和不超過5的概率記為p1，點數(shù)之和大于5的概率記為p2，點數(shù)之和為偶數(shù)的概率記為p3，則(　　)
A.p1＜p2＜p3 B.p2＜p1＜p3
C.p1＜p3＜p2 D.p3＜p1＜p2
10.(2017·河南省八市重點高中質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝2x2－4ax＋2b2，若a∈{4，6，8}，b∈{3，5，7}，則該函數(shù)有兩個零點的概率為________.
幾何概型
知 識 梳 理
1.幾何概型的定義
如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱為幾何概型.
2.幾何概型的兩個基本特點
(1)無限性：在一次試驗中，可能出現(xiàn)的結(jié)果有無限多個；
(2)等可能性：每個結(jié)果的發(fā)生具有等可能性.
3.幾何概型的概率公式
P(A)＝.
例題與練習(xí)
1(2017·唐山質(zhì)檢)設(shè)A為圓周上一點，在圓周上等可能地任取一點與A連接，則弦長超過半徑的倍的概率是(　　)
A. B. C. D.
2.(2015·重慶卷)在區(qū)間[0，5]上隨機地選擇一個數(shù)p，則方程x2＋2px＋3p－2＝0有兩個負根的概率為________.
3.(2016·全國Ⅱ卷)從區(qū)間[0，1]隨機抽取2n個數(shù)x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，構(gòu)成n個數(shù)對(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對共有m個，則用隨機模擬的方法得到的圓周率π的近似值為(　　)
A. B. C. D.
4.(2017·石家莊調(diào)研)在滿足不等式組
的平面內(nèi)隨機取一點M(x0，y0)，設(shè)事件A＝“y0＜2x0”，那么事件A發(fā)生的概率是(　　)
A. B. C. D.
4.一個長方體空屋子，長、寬、高分別為5米、4米、3米，地面三個角上各裝有一個捕蠅器(大小忽略不計)，可捕捉距其一米空間內(nèi)的蒼蠅，若一只蒼蠅從位于另外一角處的門口飛入，并在房間內(nèi)盤旋，則蒼蠅被捕捉的概率是________.
5.(2016·山東卷)在[－1，1]上隨機地取一個數(shù)k，則事件“直線y＝kx與圓(x－5)2＋y2＝9相交”發(fā)生的概率為________.
6.(2017·唐山模擬)如圖，將半徑為1的圓分成相等的四段弧，再將四段弧圍成星形放在圓內(nèi)(陰影部分).現(xiàn)在往圓內(nèi)任投一點，此點落在星形區(qū)域內(nèi)的概率為________.
7.在區(qū)間[－1，4]內(nèi)取一個數(shù)x，則2x－x2≥的概率是(　　)
A. B. C. D.
8.已知平面區(qū)域D＝{(x，y)|－1≤x≤1，－1≤y≤1}，在區(qū)域D內(nèi)任取一點，則取到的點位于直線y＝kx(k∈R)下方的概率為(　　)
A. B. C. D.
9.(2017·長春質(zhì)檢)在區(qū)間[0，π]上隨機取一個實數(shù)x，使得sin x∈的概率為(　　)
A. B. C. D.
10.(2017·成都診斷)如圖，大正方形的面積是34，四個全等直角三角形圍成一個小正方形，直角三角形的較短邊長為3，向大正方形內(nèi)拋撒一枚幸運小花朵，則小花朵落在小正方形內(nèi)的概率為(　　)
A. B. C. D.
11.(2015·湖北卷)在區(qū)間[0，1]上隨機取兩個數(shù)x，y，記p1為事件“x＋y≤”的概率，p2為事件“xy≤”的概率，則(　　)
A.p112.在區(qū)間[－π，π]內(nèi)隨機取出兩個數(shù)分別記為a，b，則函數(shù)f(x)＝x2＋2ax－b2＋π2有零點的概率為(　　)
A.1－ B.1－ C.1－ D.1－
　命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件
知 識 梳 理
1.命題
用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句叫做命題，其中判斷為真的語句叫做真命題，判斷為假的語句叫做假命題.
2.四種命題及其相互關(guān)系
(1)四種命題間的相互關(guān)系
(2)四種命題的真假關(guān)系
①兩個命題互為逆否命題，它們具有相同的真假性.
②兩個命題為互逆命題或互否命題時，它們的真假性沒有關(guān)系.
3.充分條件、必要條件與充要條件的概念
若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件
p是q的充分不必要條件
p?q且qp
p是q的必要不充分條件
p且q?p
p是q的充要條件
p?q
p是q的既不充分也不必要條件
pq且q p
例題與練習(xí)
1.(2017·大連雙基檢測)已知函數(shù)f(x)的定義域為R，則命題p：“函數(shù)f(x)為偶函數(shù)”是命題q：“?x0∈R，f(x0)＝f(－x0)”的(　　)
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
2函數(shù)f(x)在x＝x0處導(dǎo)數(shù)存在.若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的極值點，則(　　)
A.p是q的充分必要條件
B.p是q的充分條件，但不是q的必要條件
C.p是q的必要條件，但不是q的充分條件
D.p既不是q的充分要件，也不是q的必要條件
3(2017·衡陽一模)“a＝1”是“直線ax＋y＋1＝0與直線(a＋2)x－3y－2＝0垂直”的(　　)
A.充要條件 B.充分不必要條件
C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件
5.已知命題p：x2＋2x－3＞0；命題q：x＞a，且綈q的一個充分不必要條件是綈p，則a的取值范圍是(　　)
A.[1，＋∞) B.(－∞，1]
C.[－1，＋∞) D.(－∞，－3]
6.(2016·四川卷)設(shè)p：實數(shù)x，y滿足(x－1)2＋(y－1)2≤2，q：實數(shù)x，y滿足則p是q的(　　)
A.必要不充分條件 B.充分不必要條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
7.(2017·南昌十所省重點中學(xué)聯(lián)考)已知m∈R，“函數(shù)y＝2x＋m－1有零點”是“函數(shù)y＝logmx在(0，＋∞)上為減函數(shù)”的(　　)
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
8.(2017·臨沂模擬)下列四個結(jié)論中正確的是________(填序號).
①“x2＋x－2>0”是“x>1”的充分不必要條件；②命題：“?x∈R，sin x≤1”的否定是“?x0∈R，sin x0>1”；③“若x＝，則tan x＝1”的逆命題為真命題；④若f(x)是R上的奇函數(shù)，則f(log32)＋f(log23)＝0.
9. (經(jīng)典母題)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}.若x∈P是x∈S的必要條件，求m的取值范圍.
【變式1】 本例條件不變，問是否存在實數(shù)m，使x∈P是x∈S的充要條件？
【變式2】 本例條件不變，若綈P是綈S的必要不充分條件，求實數(shù)m的取值范圍.
　
空間向量及其運算
知 識 梳 理
1.空間向量的有關(guān)概念
名稱
定義
空間向量
在空間中，具有大小和方向的量
相等向量
方向相同且模相等的向量
相反向量
方向相反且模相等的向量
共線向量
(或平行向量)
表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合的向量
共面向量
平行于同一個平面的向量
2.空間向量的有關(guān)定理
(1)共線向量定理：對空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ，使得a＝λb.
(2)共面向量定理：如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使p＝xa＋yb.
(3)空間向量基本定理：如果三個向量a，b，c不共面，那么對空間任一向量p，存在有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，其中，{a，b，c}叫做空間的一個基底.
3.空間向量的數(shù)量積及運算律
(1)數(shù)量積及相關(guān)概念
①兩向量的夾角
已知兩個非零向量a，b，在空間任取一點O，作＝a，＝b，則∠AOB叫做向量a與b的夾角，記作〈a，b〉，其范圍是[0，π]，若〈a，b〉＝，則稱a與b互相垂直，記作a⊥b.
②非零向量a，b的數(shù)量積a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.
(2)空間向量數(shù)量積的運算律：
①結(jié)合律：(λa)·b＝λ(a·b)；
②交換律：a·b＝b·a；
③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
4.空間向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用
設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
向量表示
坐標(biāo)表示
數(shù)量積
a·b
a1b1＋a2b2＋a3b3
共線
a＝λb(b≠0，λ∈R)
a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3
垂直
a·b＝0(a≠0，b≠0)
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
模
|a|
夾角
〈a，b〉(a≠0，b≠0)
cos〈a，b〉＝
例題與練習(xí)
1.如圖所示，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，M為A1C1與B1D1的交點.若＝a，＝b，1＝c，則下列向量中與相等的向量是(　　)
A.－a＋b＋c B.a＋b＋c
C.－a－b＋c D.a－b＋c
2.O為空間中任意一點，A，B，C三點不共線，且＝＋＋t，若P，A，B，C四點共面，則實數(shù)t＝________.
3 (2017·上饒期中)如圖，三棱錐O－ABC中，M，N分別是AB，OC的中點，設(shè)＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示，則＝(　　)
A.(－a＋b＋c) B.(a＋b－c)
C.(a－b＋c) D.(－a－b＋c)
4 已知A，B，C三點不共線，對平面ABC外的任一點O，若點M滿足＝(＋＋).
(1)判斷，，三個向量是否共面；
(2)判斷點M是否在平面ABC內(nèi).
5 如圖所示，已知空間四邊形ABCD的各邊和對角線的長都等于a，點M，N分別是AB，CD的中點.
(1)求證：MN⊥AB，MN⊥CD；
(2)求MN的長；
(3)求異面直線AN與CM所成角的余弦值.
　立體幾何中的向量方法(一)——證明平行與垂直
知 識 梳 理
1.直線的方向向量和平面的法向量
(1)直線的方向向量：如果表示非零向量a的有向線段所在直線與直線l平行或重合，則稱此向量a為直線l的方向向量.
(2)平面的法向量：直線l⊥α，取直線l的方向向量a，則向量a叫做平面α的法向量.
2.空間位置關(guān)系的向量表示
位置關(guān)系
向量表示
直線l1，l2的方向向量分別為n1，n2
l1∥l2
n1∥n2?n1＝λn2
l1⊥l2
n1⊥n2?n1·n2＝0
直線l的方向向量為n，平面α的法向量為m
l∥α
n⊥m?n·m＝0
l⊥α
n∥m?n＝λm
平面α，β的法向量分別為n，m
α∥β
n∥m?n＝λm
α⊥β
n⊥m?n·m＝0
例題與練習(xí)
1 如圖所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F(xiàn)，G分別是線段PA，PD，CD的中點.求證：PB∥平面EFG.
2 在四棱錐P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PD＝DC，E，F(xiàn)分別是AB，PB的中點.
(1)求證：EF⊥CD；
(2)在平面PAD內(nèi)是否存在一點G，使GF⊥平面PCB？若存在，求出點G坐標(biāo)；若不存在，試說明理由.
10.(2017·鄭州調(diào)研)如圖所示，四棱錐P－ABCD的底面是邊長為1的正方形，PA⊥CD，PA＝1，PD＝，E為PD上一點，PE＝2ED.
(1)求證：PA⊥平面ABCD；
(2)在側(cè)棱PC上是否存在一點F，使得BF∥平面AEC？若存在，指出F點的位置，并證明；若不存在，說明理由.
　
立體幾何中的向量方法(二)——求空間角
知 識 梳 理
1.異面直線所成的角
設(shè)a，b分別是兩異面直線l1，l2的方向向量，則
a與b的夾角β
l1與l2所成的角θ
范圍
(0，π)
求法
cos β＝
cos θ＝|cos β|＝
2.求直線與平面所成的角
設(shè)直線l的方向向量為a，平面α的法向量為n，直線l與平面α所成的角為θ，則sin θ＝|cos〈a，n〉|＝.
3.求二面角的大小
(1)如圖①，AB，CD是二面角α－l－β的兩個面內(nèi)與棱l垂直的直線，則二面角的大小θ＝__〈，〉.
(2)如圖②③，n1，n2 分別是二面角α－l－β的兩個半平面α，β的法向量，則二面角的大小θ滿足|cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1與n2的夾角(或其補角).
例題與練習(xí)
1.(2017·鄭州預(yù)測)過正方形ABCD的頂點A作線段PA⊥平面ABCD，若AB＝PA，則平面ABP與平面CDP所成的二面角為________.
2 如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中點.已知AB＝2，AD＝2，PA＝2.求：
(1)△PCD的面積.
(2)異面直線BC與AE所成的角的大小.
3 .(2016·全國Ⅲ卷)如圖，四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M為線段AD上一點，AM＝2MD，N為PC的中點.
(1)證明MN∥平面PAB；
(2)求直線AN與平面PMN所成角的正弦值.
4 (2017·商丘模擬)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，B1B＝B1A＝AB＝BC，∠B1BC＝90°，D為AC的中點，AB⊥B1D.
(1)求證：平面ABB1A1⊥平面ABC；
(2)求直線B1D與平面ACC1A1所成角的正弦值；
(3)求二面角B－B1D－C的余弦值.

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