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《數學廣角──數與形》教材分析
數形結合是一種非常重要的數學思想，把數和形結合起來解決問題，可以使復雜的問題變得更簡單，使抽象的問題變得更直觀。
數與形相結合的例子在小學數學教材與教學中隨處可見。有些情況下，是圖形中隱含著數的規律，可利用數的規律來解決圖形的問題。本單元的例1以及相關練習就屬于這種情況。例如，第109頁第2題（如下圖），使學生通過觀察，發現第2個圖比第1個圖增加2個小圓，第3個圖比第2個圖增加3個小圓，第4個圖比第3個圖增加4個小圓……這樣依次下去，各個圖形中的小圓個數分別是1，3，6，10，…，即1，1+2，1+2+3，1+2+3+4，…如果是第個圖，小圓的個數是。等學生將來學習了等差數列的有關知識，就知道第個圖形中小圓的個數是。
而有些情況下，是利用圖形來直觀地解釋一些
( http: / / www.21cnjy.com )比較抽象的數學原理與事實，讓人一目了然。尤其是對于小學生，其思維的抽象程度還不夠高，經常需要借助直觀模型來幫助理解。例如，利用長方形模型來教學分數乘法的算理，利用線段圖來幫助學生理解分數除法的算理，利用面積模型來解釋兩位數乘兩位數的算理、乘法分配律、完全平方公式等。
還有的時候，數與形密不可分，可用“數”來解
( http: / / www.21cnjy.com )決“形”的問題，也可用“形”來解決“數”的問題。例如，解析幾何中，函數圖象與方程、方程組互為工具，互為解釋，有機融合。小學中的正比例關系和反比例關系圖象也很好地反映了這樣的思想。
本單元教材以“”“”為例，引導學生認識利用數和形的結合解決一些有趣的數學問題。
一、與實驗教材（《義務教育課程標準實驗教科書數學六年級》，下同）的主要區別
新教材把《義務教育課程標準實驗教科書數學六
( http: / / www.21cnjy.com )年級》上冊的“雞兔同籠”問題移至四年級下冊，新編“數形結合”的內容。本冊的數學廣角，編排了一個新的內容──數與形。
二、教材例題分析
例1：連續奇數的等差數列之和等于某平方數。
本例讓學生計算從1開始的連續若干奇數之和。在計算時，即使不借助圖形，也可以通過，，…發現規律：從1開始，連續個奇數之和，就是的平方。但把圖形與算式對應起來，更具直觀性，更能讓學生體會到數學之美。圖中有的規律顯而易見（每個圖都是一個大的正方形，第個圖形中，大正方形的每行、每列都有個小正方形，因此，小正方形的總數是）,有的規律相對比較隱蔽(從左下角到右上角，每個“┓”形的小正方形的個數分別是1，3，5，7，…)。每個圖中都“隱藏”著一個等式，如第個圖中的等式就是。從圖形的角度直觀理解“正方形數”或“平方數”的特點，顯然，使學生通過數與形的對照，利用圖形直觀形象的特點得到關于數的規律。
例2：等比數列之和等于1。
本例讓學生計算的得數。學生在計算的過程中發現
，，，…
加數有規律，即后一個加數是前一個加數的；和也有規律，每次相加所得的和都等于1減去最后一個加數；加數的項數越多，和越接近1。
這些加數無限地加下去，最后
( http: / / www.21cnjy.com )的和無限接近于1。但這個無限接近于1的數到底是多少呢？教材利用“分數的認識”中的面積模型和長度模型，在圓上和線段上表示出這些加數，使學生借助圖理解：無限加下去，最終的得數為1。由此，教材借助圖形解決了比較抽象的、復雜的、不好解決的問題。
但在實際教學中，即使有了圖形的直觀支持，仍有學生對最終結果為1這一事實不能理解，這也是非常正常的。可以有兩種解釋的方法：第一種，如果學生認為和為，教師可以追問：如果再加上一項呢？加上，和就變成了。不管找到一個多么接近1的數，總還能再加一項，得到一個比它更接近1的和，這恰恰是極限思想的精髓所在。第二種，可以利用反推的方法來使學生明白其中的道理：
……
本單元的教學重點是自主探索圖形中隱藏著
( http: / / www.21cnjy.com )的數的規律，會利用圖形來解決一些有關數的問題，并學會應用所發現的規律。教學難點是體會和掌握數形結合、歸納推理、極限等基本數學思想。《數學廣角──數與形》重難點突破
一、自主探索圖形中隱藏著的數的規律，會利用圖形來解決一些有關數的問題，并學會應用所發現的規律
突破建議：
1．引導學生數形結合，從不同角度尋
( http: / / www.21cnjy.com )找規律。形的問題中包含著數的規律，數的問題也可以用形來幫助解決，教學時，要讓學生通過解決問題體會到數與形的這種完美結合。既可以從數的角度出發，讓學生看看可以怎樣用圖形來表示數的規律，也可以讓學生尋找圖形中所包含的數的規律。通過數與形的對應關系，互相印證結果，感受數學的魅力。例如，教學例1時，可從形引入，先讓學生說一說三幅圖中分別有多少個小正方形？你是怎么發現的？通過學生的討論，學生容易得出小正方形數為12，22，32，…的結論；也可以使學生看到三個圖中的小正方形數還可以分別表示成1，1+3，1+3+5，…的結論。也可以從數引入，讓學生通過計算，發現1+3=4，1+3+5=9，…有的學生可能很快發現4=22，9=32，…此時老師可以引導學生用正方形來表示這些算式，使學生通過數與形的比照，看到這些連續的奇數在圖形中的什么地方，平方數代表的又是圖形中的什么。從而對規律形成更為直觀的認識。
2．充分發揮教師的指導作用，讓學生感受用形來解決數的有關問題的直觀性與簡捷性。例2中，“無限”的概念非常抽象，學生不易理解。因此，在教學過程中，教師要積極發揮自身的主導作用，幫助學生深刻理解。比如說，教師可以出示一個圓或者一條線段或者一個正方形，讓學生根據分數的意義表示出這些加數，使學生直觀地看到最終的結果是“1”。從而進一步感受到“化數為形”的直觀、形象、簡捷特點。當然，如果學生還是有困難，教師也可以通過反推的方法幫助學生理解。
二、體會和掌握數形結合、歸納推理、極限等基本數學思想
突破建議：
1．在學生經歷發現模式、應用模式的過程中
( http: / / www.21cnjy.com )滲透數形結合、歸納推理等數學思想。本單元教學通過數與形的比照，引導學生從不同角度探索規律。例如，通過觀察與計算1，1+3，1+3+5，1+3+5+7，…既能發現加數的規律，又能發現和的規律。在發現規律的基礎上，通過推理，逐步抽象，形成模式，再引導學生把規律應用于一般的情形，解決問題。顯然，這樣的一個教學過程，既是學生自主探究獲取知識的過程，更是有機滲透數學思想方法的過程，使學生在潛移默化的過程體會與領悟推理和數形結合的思想。
2．在利用數形結合解決問題的過程中積
( http: / / www.21cnjy.com )累基本的數學經驗，培養基本的數學思想。例如，在例2教學中，讓學生通過計算，發現和越來越趨向于1，感受什么叫“無限接近”。雖然無法一一窮舉所得的結果，但可以利用觀察到的規律進行“無窮無盡”類推，使學生在這一過程中體會推理和極限的思想。

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