資源簡介

第八單元
數學廣角——優化
一、教學目標
1．通過簡單的生活事例，使學生初步體會運籌學在解決實際問題中的作用。
2．讓學生經歷自主探究的過程，體驗解決問題策略的多樣性，并在尋求解決問題最優方案的過程中積累數學的基本活動經驗，感悟優化的數學思想。
3．凸顯數學與生活的緊密聯系，使學生初步形成從數學的角度發現、提出問題的能力以及分析、解決問題的能力，增強應用意識和實踐能力。
二、內容安排及其特點
1．教學內容和作用
本單元教材通過對生動有趣的生活事例及古代
( http: / / www.21cnjy.com )故事的分析，讓學生從數學的角度經歷在多種解決問題的方案中尋求最優方案的過程，初步體會運籌策略及其在解決實際問題中的應用，進而理解優化的數學思想，感悟優化思想在解決問題的策略中所發揮的重要作用。
本單元具體內容編排如下：
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本單元教學的核心目標是讓學生感受并初步理解
( http: / / www.21cnjy.com )優化的數學思想。隨著社會的發展，優化思想在工農業、國防、交通、金融、能源、通信等眾多領域的應用越來越廣泛。例如，如何使有限的材料得到充分利用，如何利用有限的空間使存儲量、貨運量更大，如何合理安排員工，使工作效率最大化等。又如，生活中我們常遇到出門旅行時需要考慮選擇怎樣的路線和交通工具，才能使旅行所需費用最少或消耗的時間最短等。
2．教材編排特點
基于學生的認知水平及實驗教材的實踐經驗，與實驗教材相比，本單元的內容進行了一些調整，其特點主要體現在以下幾個方面：
(1)例題層次合理，利于學生理解、體會數學思想。
本單元編排了3個例題。例1沏茶，思考怎樣合
( http: / / www.21cnjy.com )理安排沏茶的各環節才能讓客人盡快喝上茶，其中“合理”、“省時”是優化沏茶各程序的思考角度；例2烙餅，在探究烙3張餅怎樣省時的基礎上，需探索烙更多張餅的最優策略和方法，探究其中的規律且明確道理，難度略深于例1；例3田忌賽馬，其中蘊含的策略方法更抽象一些。3個例題的編排順序由淺人深，層次清晰，符合學生的認知水平和思維水平，有利于學生理解和體會數學思想。
(2)借助圖表展現學生操作、探究的過程，為教與學提供支撐。
與實驗教材相比，本單元增加
( http: / / www.21cnjy.com )了圖示和圖表，如例1中的流程圖展現了思考的順序；例2中新增加的圖示，展現了烙3張餅的具體操作過程；例3呈現了完整的6種應對策略圖表，使學生一目了然，可深刻感悟有序思考的優越性。總之，無論是流程圖、圖示還是圖表不僅展現了操作、探究、思考的過程，而且為教師的教和學生的學提供了一種具體的方法或路徑。
(3)注重學生自主探究。
無論是真實的生活情境（沏茶、烙餅），還
( http: / / www.21cnjy.com )是生動有趣的歷史故事，都能極大引發學生探究生活中的數學問題的欲望和興趣。同時，教材中具有啟發性的提示語及非結論性的思考問題都為學生提供了自主探究的空間。例如，例1中的“怎樣才能盡快讓客人喝上茶？”例2中的
“哪種方法比較合理？”“要烙4張餅、5張餅、6張餅……呢？你發現了什么？”例3中的“田忌所用的這種策略是不是唯一能贏齊王的方法？”等探究性問題，為學生指明了動手實踐和研究探索的方向。又如，“等待水開的時間可以做點什么呢？”“為什么烙2張餅和1張餅都用6分鐘？”等提示語，為學生提供了思考、探究的方法，避免了探究的盲目性和形式化。此外，教材中出現的“每次總烙(
)張餅，別讓鍋(
)，這樣應該最省時間。”這種總結性提示語，更是學生思維提升的節點，引領學生將具體的感性經驗上升為理性的數學規律或模型。這些問題和提示為學生提供了開放、探究和思考的空間，不僅提高學生的思維能力，而且可以很好地幫助學生積累豐富的數學活動經驗。
三、教學建議
(1)由具體到抽象，循序漸進，發展數學思維，理解優化思想。
本單元教學難點在于如何讓學生在具體
( http: / / www.21cnjy.com )問題的解決中感悟抽象的數學思想。解決這個難點的關鍵就是將“做”與“思”有機結合，循序漸進，發展學生的抽象能力和推理能力。如何讓學生經歷由具體到抽象這一循序漸進的過程呢？一方面，為學生營造實踐感悟的空間，實踐中體驗解決問題的多種策略，比較中尋求最優策略，體驗中感悟優化思想，避免只有直觀沒有抽象，或直接闡述數學思想而疏漏體驗感悟的過程。另一方面可利用圖表將外化的“做”濃縮為內隱的“思”，在動手操作中提升思維活動，將行為的感知升華為理性的思維認知，使學生發展思維能力的同時理解抽象的數學思想。
(2)本單元內容建議用3課時教學。《數學廣角──優化》教材分析
《數學廣角》是人教版教材中一個獨有的精致
( http: / / www.21cnjy.com )的小單元。它系統而有步驟地滲透數學思想方法，嘗試把重要的數學思想方法通過學生日常生活中最簡單的事例呈現出來，并運用操作、實驗、猜測等直觀手段解決這些問題，重在向學生滲透這些數學思想方法。使他們感受數學思想方法的奇妙與作用，受到數學思維的訓練，逐步形成有序地、嚴密地思考問題的意識，從而達到《標準》中提出的“在解決問題的過程中，使學生能進行簡單的、有條理的思考”的目標。
本冊數學廣角這單元滲透了運籌思想。運
( http: / / www.21cnjy.com )籌思想包括著：優化思想和對策論。本單元主要是通過日常生活中的一些簡單事例，讓學生嘗試從優化的角度在解決問題的多種方案中尋找最優的方案，初步體會運籌思想在實際生活中的應用以及對策論方法在解決問題中的運用。例1分析家里來客人需要沏茶時，怎樣安排各種事情能讓客人盡快喝上茶；討論如何用優化的思想選擇合理、快捷的解決問題的方法。教材在情境圖下給出了沏茶所要做的各種工序，以及做每件事情所需的時間。然后呈現學生們討論怎樣安排的場面。在這些內容中包含了解決這一問題的思考方法：首先要明確沏茶的大致順序，也就是說哪些事情要先做，然后再考慮還有哪些事情可以同時做，能同時做的事盡量同時做，這樣才能節省時間。教材還提示可以用流程圖的方式表示解決問題的順序或方案，教給學生設計方案的具體方法。
例2討論烙餅時怎樣操作最省時間，讓學生
( http: / / www.21cnjy.com )體會在解決問題中優化思想的應用。教材首先給出一幅生動有趣的情境圖，讓學生探索發現：3張餅的烙法，最好的方法是先烙1，2號餅的正面，接著烙1號餅的反面和3號餅的正面，最后烙2，3號餅的反面，這種方法只需9分鐘。然后還可以讓學生在實驗的基礎上獨立完成：如果要烙的是4張餅，5張餅……10張餅，怎樣安排最節省時間？再通過小組討論交流發現：如果要烙的餅的張數是雙數，2張2張的烙就可以了，如果要烙的餅的張數是單數，可以先2個2個的烙，最后3張餅按上面的最優方法烙，最節省時間。例3呈現了“田忌賽馬”的故事。這個故事學生可能已經了解，但是并不是從數學的角度去理解的。在這里，通過這個故事讓學生體會對策論方法在實際中的應用。教材首先引導學生回憶這個故事，并讓學生把田忌在賽馬中使用的方法通過表格的形式列出來。
通過比較讓學生看到：雖然在同等
( http: / / www.21cnjy.com )級的馬中，田忌的馬都不如齊王的馬；如果拿同等級的馬進行比賽田忌一定會輸，但是田忌所采用的策略卻讓他贏了。從而讓學生體會到對策論的方法在這場比賽中的重要性。接下來讓學生思考：田忌所用的這種策略是不是唯一能贏齊王的方法？并讓學生把田忌所有可以采用的策略列出來，通過對照來找到答案。田忌可以采用的策略一共有6種，但只有一種也就是他所使用的方法是唯一可以獲勝的。
（田忌1代表他的第一種策略）
最后教材讓學生說一說田忌的這種策略在生活中還有哪些應用，讓學生體會對策論方法在生活中的應用。（比如乒乓球團體比賽）練習二十
編寫意圖
(1)第1題是配合例1的練習，需要從兩個
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(2)第2題是例2的鞏固練習，保證每項檢查沒有空閑是節省時間的最有效策略。至少要用9分鐘。
(3)第3題是配合例3的練習，每隊
( http: / / www.21cnjy.com )五人之間的拍球比賽，取勝標準是五局三勝，第2隊取勝的策略不唯一，意在訓練學生嚴謹、周密的思維，進一步強化學生對對策論的理解和應用。
教學建議
(1)關注多種策略，在比較中體會優化思想。
第1題可以從兩個角度考慮。一是比較兩
( http: / / www.21cnjy.com )種情況（如編寫意圖中所述）所用時間的長短，來確定至少需用的時間；二是抓住“至少”一詞進行分析，要保證時間最少，需開車從街心花園到商場。因此，可直接計算所用時間。第3題中獲勝策略不唯一，練習時，教師要引導學生對“五局三勝”的理解，即五局中只要勝三局就可以了。
(2)優化探究問題的方法，提高學生的抽象和推理能力。
第2題可注重引導學生通過圖示的方法來呈
( http: / / www.21cnjy.com )現檢查的順序；第3題在探究解決問題策略的過程中，為簡化環節，可引導學生用字母代表隊員的名字，用圖示方法簡化解決問題的過程，不僅體現符號意識的培養，而且達到提高學生抽象推理能力的目的。
編寫意圖
(1)第4題是一道開放性的題目，題目中沒有提出三位顧客盡快吃上飯的要求，考查學生是否有自覺運用優化思想解決問題的意識。
(2)數學游戲欄目設置目的是
( http: / / www.21cnjy.com )強化優化思想的應用。在尋求獲勝的策略和方法時，不僅需要運用本單元學習的優化思想，而且還可以結合學生已有的知識基礎，采用靈活多樣的方法，培養學生綜合運用知識的能力。
教學建議
(1)讓學生在對比、交流中形成優化策略和意識。
如第4題，讓學生在交流、比
( http: / / www.21cnjy.com )較和評價中，意識到最優方法就是既要保證讓三個人盡快吃上菜，又要兼顧三個人來的先后順序，則兩位廚師應先分別給前兩個人各炒一菜，然后給第一個人和第三個人各炒一菜，最后再給后兩個人各炒一菜。
(2)借助有趣的素材，提高數學思維的深度。
做“數學游戲”時，先讓學生明確游戲規則，嘗
( http: / / www.21cnjy.com )試游戲。然后帶著問題再做游戲，這時要思考：要想獲勝，第一次應報幾？接下來該怎樣報？此題可這樣思考：因為每次可報1或2，那么如果一方報1，另一方就可以報2；一方報2，另一方就可以報1，這樣總能保證每個回合連續兩次報數之和是3。因為誰最后報數使和是10誰獲勝，所以一定要設法報數使和是7，這樣對方無論怎樣接著報數，你都可以保證最后報數使和是10。同理，要想保證報數使和是7，倒推一步就是一定要先報數使和是4。如果兩個人都清楚這個策略，那么，誰先報誰獲勝。
此題還可利用減法原理來思考解決。《數學廣角──優化》重難點突破
由具體到抽象，循序漸進，發展數學思維，理解優化思想
突破建議：
1．根據“數學教學是數學活動的教學”這
( http: / / www.21cnjy.com )一理念，通過課前交流自然引出
“合理安排”這一內容，要讓學生建立正確的表象很不容易。因此，在教學中應設計很多實踐活動，讓學生在動手操作中經歷優化的思想，尋找解決問題最優方案，提高學生解決問題的能力。可以通過用硬幣擺一擺幫助學生理解。還可以用流程圖的方式表示解決問題的順序或方案，教給學生設計方案的具體方法。
2．對烙餅問題可以打破課本常規，不是先
( http: / / www.21cnjy.com )求1張，2張，3張，這樣一直求下去，而是求完2張之后，接著求的4張、6張、8張、10張……雙數的張數，再求的3張。3張在這里是重點也是難點，把這個問題放給學生討論、合作、探究，解決了問題，再接著求5張、7張……這些單數的餅數的時間。這樣處理的目的是為了降低題目的難度，有利于學生思考、解決問題。
在眾多類不同的問題中，讓學生再次的歸納類
( http: / / www.21cnjy.com )比中，發現要統籌規劃時間、事情等才能夠提高效率！老師給出這就是數學的一個分支運籌學中的“優化思想”。再進一步的發展學生優化思想運用的關鍵是什么？思考的過程是什么？從而達到觸類旁通、舉一反三的目的。
但是運籌思想和對策方論的理論都是比較系統、抽
( http: / / www.21cnjy.com )象的數學思想方法，在這里只是讓學生通過簡單的事例，初步體會運籌思想和對策方法在解決實際問題中的應用，初步培養學生的應用意識，提高解決實際問題的能力。學生只要能從解決問題的多種方案中尋找出最優的方案，初步體會優化思想的應用就可以了，并不要求學生一看到問題就能從優化的角度給出最優的方案。另外老師在教學中也不要使用運籌、優化和對策等數學化的語言進行描述。

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