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例談二次函數綜合與學科核心素養培養
當陽市半月初級中學 陳永華
二次函數是描述現實世界中變量之間關系的一種重要的數學模型，是學生學習其他高等函數的重要基礎.同時二次函數在解決一些數學實際問題時，也是非常有力的工具。對學生而言既能培養他們嚴謹的數學思維能力；也能提高他們的運算、分析問題、解決問題的核心素養.下面就某地區中考最后一道二次函數綜合題與大家談談二次函數與核心素養的問題.21·cn·jy·com
一、試題呈現
拋物線y＝－x2＋bx＋c與x軸交于點A和點B，與y軸交于點C，點B坐標為(6，0)，點C坐標為(0，6)，點D是拋物線的頂點，過點D作x軸的垂線，垂足E，連接BD.21世紀教育網版權所有
（1）求拋物線的解析式及D的坐標；
（2）點F是拋物線上的動點，當∠FBA＝∠BDE時，求點F的坐標；
（3）若點M是拋物線上的動點，過點M作MN∥x軸與拋物線交于點N，點P在x軸上，點Q在坐標平面內，以線段MN為對角線作正方形MPNQ，請寫出點Q的坐標．【來源：21·世紀·教育·網】
二、解題分析
1.解題思路分析
（1）由B，C的坐標，利用待定系數法可求得拋物線解析式，再求其頂點D的坐標即可；
（2）過F作FG⊥x軸于點G，可設出F點坐標，利用△FBG∽△BDE，由相似三角形的性質可得到關于F點坐標的方程，可求得F點的坐標；
（3）由于M，N兩點關于對稱軸對稱，可知點P為對稱軸與x軸的交點，點Q在對稱軸上，可設出Q點的坐標，則可表示出M的坐標，代入拋物線解析式可求得點Q的坐標.21cnjy.com
2.解題過程展示
（1）把B，C兩點坐標代入拋物線解析式，可得－18＋6b＋6＝0，解得b＝2.
∴拋物線解析式為y＝－x2＋2x＋6.
∵y＝－x2＋2x＋6＝－(x－2)2＋8，∴點D的坐標為(2，8).
（2）過點F作FG⊥x軸于點G.
∵點F在拋物線上，∴設點F的坐標為（x，－x2＋2x＋6）.
則FG＝∣－x2＋2x＋6∣.
∵∠FBA＝∠BDE，∠FGB＝∠BED＝90°，
∴△FGB∽△BED＝90°. ∴＝.
∵點B(6，0)，點D(2，8)，∴點E(2，0).
∴BE＝4，DE＝8，OB＝6，∴BG＝6－x.
∴＝.
當點F在x軸上方時，有＝.
解得，x＝－1或x＝6（舍去），此時點F的坐標為（－1，）.
當點F在x軸下方時，有＝－.
解得，x＝－3或x＝6（舍去），此時點F的坐標為（－3，－）.
（3）如圖，設MN與PQ交于點O′.
∵點M，N關于拋物線的對稱軸對稱，且四邊形MPNQ為正方形，
∴點P為拋物線的對稱軸與x軸的交點，且點Q在拋物線的對稱軸上.
設點Q的坐標為（2，n）則點M的坐標可表示為（2－n，n）.
∵點M在拋物線y＝－x2＋2x＋6上，
∴n＝－(2－n)2＋2(2－n)＋6.
解得n＝－1＋或n＝－1－.
∴點Q的坐標為（2，－1＋）或（2，－1－）.
三、試題特點
本題為二次函數與幾何圖形的綜合應用。從知識的角度：涉及二次函數的圖形與性質（如拋物線的解析式，頂點坐標，對稱軸等），解一元二次方程，相似三角形的判定和性質、正方形的性質，圖形的對稱等；從方法的角度：涉及待定系數法，配方法，公式法等；從數學思想的角度：滲透了方程思想，數形結合思想，分類討論思想，空間想象等，能有效考查學生的數學學科核心素養．在問題（1）中注意待定系數法的應用；在問題（2）中構造三角形相似是解題的關鍵，注意有兩種情況，在問題（3）中確定出P，Q的位置是解決問題的關鍵，同樣要注意兩種情況．
四、教學策略
在教學時，我將采用自主探究、合作交流、點撥歸納的方式進行，注意以下幾個方面的問題：
1.體現學生主體. 首先引導學生審題，弄清題目中的已知條件及要解決的問題.問題（1）比較基礎，讓學生獨立思考完成，然后全部交流；問題（2）有一定難度，先讓學生獨立思考，在思考的基礎上討論交流解決問題；問題（3）難度有所提升，可首先引導學生想象，正確畫出圖形，在此基礎上解決問題.通過數學活動，讓學生感受“經歷”知識的形成過程，幫助學生建構數學模型，獲取具有數學本質的數學活動經驗。21教育網
2.關注核心素養. 將方程思想，數形結合思想，分類討論思想有效貫穿解決問題的全過程之中. 引導學生借助圖形進行思考，在解決問題（2）時，從數的角度看，解方程得到兩個解，從形的角度看，分點F在x軸上下兩種情況，在每一種情況中，方程的解為什么要舍去一個？引導學生借助圖形進行分析；問題（3）同樣要借助圖形分析兩個解存在的可能性，即點Q在x軸上下兩種情況. 強化數學思想的滲透，培養學生的數學學科核心素養.www.21-cn-jy.com
3.有效點撥歸納. 問題解決后，要引導學生對解決問題的思路與策略進行總結歸納. 讓學生從給定的信息中產生新的信息、發現新的方法、尋找新的規律、探索新的路徑。依據原有知識經驗或生活經驗，能夠迅速從大腦中搜索出來，進行有效的比較選擇，進而重現或重新組合，以達到解決問題的能力。2·1·c·n·j·y

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