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數學六年級浙教版奧數專題班(無答案)

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  1. 二一教育資源

數學六年級浙教版奧數專題班(無答案)

資源簡介

第10講 巧求周長
姓名:___________
【例題精講】
【例1】求圖中所有線段的總長(單位:厘米)
【例2】如圖,正方形的邊長為,被分割成如下個小長方形,求這個小長方形的所有周長之和.
【例3】下圖表示一塊地,四周都用籬笆圍起來,轉彎處都是直角.已知西邊籬笆長米,南邊籬笆長米.四周籬笆長多少米?
【例4】一個周長是20厘米的正方形,剪下一個周長是6厘米的正方形,剩下的圖形的周長是多少?
【例5】求下圖的周長.
【例6】如下圖是某校的平面圖,已知線段a=120米,b=130米,c=70米,d=60米,l=250米.楊老師每天早晨繞學校跑3圈,問每天跑多少米?
【例7】下面兩張圖中,周長較大的是 .(在橫線上填寫表示圖名的字母)
【例8】用同樣的長方形條磚,在一個盆的周圍砌成一個正方形邊框,如右圖所示.已知外面大正方形的周長是厘米,里面小正方形的面積是平方厘米,每塊長方形條磚的長是_________厘米,寬是______厘米.
【回家作業】
1、如圖所示,一個大長方形被三條線段分成了四個小長方形,各條線段長度見圖(單位:厘米).求:圖中所有長方形的周長之和.
2、如右圖,正方形的邊長是厘米,過正方形內的任意兩點畫直線,可把正方形分成個小長方形。這個小長方形的周長之和是多少厘米?
3、求下面圖形的周長。
4、求下圖的周長.
5、下圖的小正方形邊長為1厘米.這個圖形的外沿的周長是多少厘米?
6、將若干個邊長為的正六邊形(即單位六邊形)拼接起來,得到一個拼接圖形,如圖:
那么,要拼接成周長等于的拼接圖形,需要多少個單位六邊形?畫出對應的一種圖形
7、馮大叔給兒子做玩具用個一樣大的小長方形拼圖,拼出了如圖甲、乙的兩種圖案:圖案甲是一個正方形,圖案乙是一個大的長方形;圖案甲的中間留下了邊長是的正方形小洞.求小長方形的長和寬?
8、下圖是一面磚墻的平面圖,每塊磚長20厘米,高8厘米,像圖中那樣一層、二層…一共擺十層,求擺好后這十層磚墻的周長是多少?
第11講 不規則圖形的面積
姓名:___________
【例題精講】
【例1】這是一個樓梯的截面圖,高280厘米,每級臺階的寬和高都是20 厘米.問,此樓梯截面的面積是多少?

【例2】有一塊菜地長米,寬米,菜地中間留了寬米的路,把菜地平均分成四塊,每一塊地的面積是多少?

【例3】下圖(單位:厘米)是兩個相同的直角梯形重疊在一起,求陰影部分的面積。
【例4】圖中,甲、乙兩個正方形的邊長的和是厘米,甲正方形比乙正方形的面積大平方厘米.求乙正方形的面積.
【例5】如圖所示,厘米,比的面積小平方厘米,求的長為多少厘米?
【例6】如圖,平行四邊形ABCD種,,直角三角形ECB的邊,已知陰影部分的總面積比三角形EFG的面積大,求平行四邊形ABCD的面積.
【例7】一張長方形紙片,先把長剪去8厘米,這時面積減少了72平方厘米,又把寬剪去5厘米,這時面積又減少了60平方厘米,原來這張長方形紙片的面積是多少平方厘米?
【例8】如圖,大正方形的邊長為10厘米.連接大正方形的各邊中點得小正方形,將小正方形每邊三等分,再將三等分點與大正方形的中心和一個頂點相連,那么圖中陰影部分的面積總和等于多少平方厘米?
【例9】已知圖中大正方形的面積是22平方厘米,小正方形面積是多少平方厘米?
【例10】甲、乙、丙三個正方形,它們的邊長分別是6、8、10厘米,乙的一個頂點在甲的中心上,丙的一個頂點在乙的中心上.這三個正方形的覆蓋面積是多少平方厘米?
【回家作業】
1、求圖中五邊形的面積.
2、右圖中甲的面積比乙的面積大多少?
3、右圖中,矩形的邊為厘米,為厘米,三角形比三角形的面積大平方厘米,求的長.
4、有一個長方形,如果寬減少米,或長減少3米,則面積均減少平方米,求這個長方形的面積?
5、如右圖所示,在一個正方形上先截去寬分米的長方形,再截去寬分米的長方形,所得圖形的面積比原正方形減少平方分米.原正方形的邊長是______分米。
6、一個邊長為20厘米的正方形,依次連接四邊中點得到第二個正方形,這樣繼續下去可得到第三個、第四個、第五個正方形.求第五個正方形的面積?
7、如圖所示,外側大正方形的邊長是,在里面畫兩條對角線、一個圓、兩個正方形,陰影的總面積為,最小的正方形的邊長為多少厘米?
8、如圖,平面上是正方形,是等腰梯形,它的上底厘米,下底厘米.求三角形的面積。
第12講 等積模型
姓名:___________
【知識要點】
我們已經知道三角形面積的計算公式:三角形面積底高
從這個公式我們可以發現:三角形面積的大小,取決于三角形底和高的乘積.
如果三角形的底不變,高越大(小),三角形面積也就越大(小);
如果三角形的高不變,底越大(小),三角形面積也就越大(小);
這說明當三角形的面積變化時,它的底和高之中至少有一個要發生變化.但是,當三角形的底和高同時發生變化時,三角形的面積不一定變化.比如當高變為原來的3倍,底變為原來的,則三角形面積與原來的一樣.這就是說:一個三角形的面積變化與否取決于它的高和底的乘積,而不僅僅取決于高或底的變化.同時也告訴我們:一個三角形在面積不改變的情況下,可以有無數多個不同的形狀.
在實際問題的研究中,我們還會常常用到以下結論:
①等底等高的兩個三角形面積相等;
②兩個三角形高相等,面積比等于它們的底之比;
兩個三角形底相等,面積比等于它們的高之比;
如左圖

③夾在一組平行線之間的等積變形,如右上圖;
反之,如果,則可知直線平行于.
④等底等高的兩個平行四邊形面積相等(長方形和正方形可以看作特殊的平行四邊形);
⑤三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半;
⑥兩個平行四邊形高相等,面積比等于它們的底之比;兩個平行四邊形底相等,面積比等于它們的高之比
【例題精講】
【例1】如圖,BD長12厘米,DC長4厘米,B、C和D在同一條直線上.
⑴ 求三角形ABC的面積是三角形ABD面積的多少倍?
⑵ 求三角形ABD的面積是三角形ADC面積的多少倍?
【例2】長方形的面積為36,、、為各邊中點,為邊上任意一點,問陰影部分面積是多少?
【例3】如右圖,,,已知陰影部分面積為5平方厘米,求的面積。
【例4】圖中三角形的面積是180平方厘米,是的中點,的長是長的3倍,的長是 長的3倍.那么三角形的面積是多少平方厘米?
【例5】如圖,大長方形由面積是12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的四個小長方形組合而成.求陰影部分的面積.
【例6】如圖,有三個正方形的頂點、、恰好在同一條直線上,其中正方形的邊長為10厘米,求陰影部分的面積.
【例7】已知正方形邊長為10,正方形邊長為6,求陰影部分的面積.
【例8】)如下圖,、分別是梯形的下底和腰上的點,,并且甲、乙、丙個三角形面積相等.已知梯形的面積是平方厘米.求圖中陰影部分的面積.
【回家作業】
如右圖,和都是矩形,的長是厘米,的長是厘米,那么圖中陰影部分的面積是多少?
如圖,長方形的面積是平方厘米,點、、分別是長方形邊上的中點,為邊上的任意一點,求陰影部分的面積
3、在邊長為6厘米的正方形內任取一點,將正方形的一組對邊二等分,另一組對邊三等分,分別與點連接,求陰影部分面積.
4、如圖,在平行四邊形ABCD中,EF平行AC,連結BE、AE、CF、BF那么與BEC等積的三角形一共有哪幾個三角形?
5、如圖,三角形ABC的面積是24,D、E和F分別是BC、AC和AD的中點.求三角形DEF的面積.
6、如圖所示,四邊形與都是平行四邊形,請你證明它們的面積相等.
7、如右圖,在平行四邊形中,直線交于,交延長線于,若,求 的面積.
8、右圖中,和是兩個正方形,和相交于,已知等于的三分之一,三角形的面積等于6平方厘米,求五邊形的面積.
第13講 鳥頭模型
姓名:___________
【知識要點】
兩個三角形中有一個角相等或互補,這兩個三角形叫做共角三角形.
共角三角形的面積比等于對應角(相等角或互補角)兩夾邊的乘積之比.
如圖在中,分別是上的點如圖 ⑴(或在的延長線上,在上),


【例題精講】
【例1】如圖在中,分別是上的點,且,,平方厘米,求的面積.
【例2】如圖所示,在平行四邊形ABCD中,E為AB的中點,,三角形AFE(圖中陰影部分)的面積為8平方厘米.平行四邊形的面積是多少平方厘米?

【例3】已知的面積為平方厘米,,求的面積.
【例4】如圖所示,正方形邊長為6厘米,,,求三角形的面積.
【例5】如圖,已知三角形面積為,延長至,使;延長至,使;延長至,使,求三角形的面積.

【例6】如圖,四邊形的面積是平方米,,,,,求四邊形的面積.
【例7】如圖,將四邊形的四條邊、、、分別延長兩倍至點、、、,若四邊形的面積為5,求四邊形的面積
【例8】如圖所示,正方形邊長為厘米,是的中點,是的中點,是的中點,三角形的面積是多少平方厘米?
【回家作業】
1、如圖,三角形中,是的5倍,是的3倍,如果三角形的面積等于1,那么三角形的面積是多少?
2、如圖,三角形ABC被分成了甲(陰影部分)、乙兩部分,,,,乙部分面積是甲部分面積的幾倍?
3、如圖在中,在的延長線上,在上,且,,平方厘米,求的面積.
4、如圖,三角形的面積為3平方厘米,其中,,三角形的面積是多少?
5、如圖,平行四邊形,,,,,平行四邊形的面積是, 求平行四邊形與四邊形的面積比.
6、如圖,在中,延長至,使,延長至,使,是的中點,若的面積是,則的面積是多少?
7、如圖,,,,,.求.
第1講 分數的簡便運算
姓名:___________
【知識要點】
一、常用運算定律
加法交換律:a+b=b+a
加法結合律:a+b+c=(a+b)+c a+(b+c)=(a+c)+b
乘法交換律:ab=ba
乘法結合律:abc=(ab)c=a(bc)=(ac)b
乘法分配律:a(b+c)=ab+ac ab+ac= a(b+c)
減法的運算性質:a-b-c=a-(b+c)
除法的運算性質:a÷b÷c=a÷(b×c) a÷(b×c)= a÷b÷c=a÷c÷b
a÷b×c=a÷(b÷c) a÷(b÷c)= a÷b×c
二、分數的基本性質:分數的分子和分母同時乘以或者除以相同的數(0除外),分數的大小不變。這叫做分數的基本性質。
三、湊整、拆分:將一個比整十、整百、整千稍大或稍小的數寫成整十、整百、整千與一個較小分數的和或差的形式;或將一個分數拆成兩個數的乘式。
【例題精講】
類型一、分數的簡便運算
【例1】計算:
【例2】計算:
【例3】計算:
【例4】計算:
【例5】計算:
【例6】計算:
【例7】計算:
【例8】計算:
【例9】計算:
【例10】計算:
【例11】計算:
【例12】計算:
【例13】計算:
【回家作業】
1.計算:73×
2.計算:166÷41
3.計算:2004×
4.計算:
5.計算:
6.計算:
7.計算:
8.計算:
第2講 分數的裂項
姓名:___________
【例題精講】
【例1】將表示成形如的表達式,其中為不同的非零自然數。
【例2】將表示成形如的表達式,其中為不同的非零自然數。
【例3】計算:
【例4】
【例5】計算:
【例6】計算:
【例7】計算:
【例8】計算:
第3講 比較大小和估值
姓名:___________
【例題精講】
【例1】如果a,b,那么a,b中較大的數是哪個?
【例2】 試比較和的大小。
【例3】把下列分數用“”號連接起來: ,,,,
【例4】如果,比較A和B的大小。
【例5】 ,在上式的方框內填入一個整數,使兩端的不等號成立,那么要填的整數是多少?
【例6】與相比,哪個更大,為什么?
【例7】求數 的整數部分。
【例8】求數的整數部分是幾?
【例9】已知x0.90.990.9990.9999999999.求x的整數部分。
【例10】下式中五個分數都是最簡真分數,要使不等式成立,這些分母的和最小是多少?
【回家作業】
1.在,,中,最小的分數是幾?
2.設a= ,b= ,比較a和b的大小。
3.的值最接近哪個整數?
4. 求的整數部分是多少?
第4講 巧用公式計算
姓名:___________
【例題精講】
【例1】若A*B表示(A+3B)×(A+B),求5*7的值。
【例2】[A]表示自然數A的約數的個數.例如,4有1,2,4三個約數,可以表示成[4]=3.計算:= .
【例3】設a,b是兩個非零的數,定義a※b.
(1)計算(2※3)※4與2※(3※4).
(2)如果已知a是一個自然數,且a※3=2,試求出a的值.
【例4】計算:
【例5】計算:
【例6】計算:
【例7】計算:
【例8】計算
【回家作業】
1、已知a,b是任意自然數,我們規定: a⊕b= a+b-1,,那么
.
2、表示成;表示成.
試求下列的值:( ),,
3、計算:
下列數陣中有100個數,它們的和是多少?

計算:
計算:
計算:
在這二百個自然數中,所有能被4整除或能被11整除的數的和是多少?
第5講 數的整除
姓名:___________
【知識要點】
一、常見數字的整除判定方法
1. 一個數的末位能被2或5整除,這個數就能被2或5整除;
一個數的末兩位能被4或25整除,這個數就能被4或25整除;
一個數的末三位能被8或125整除,這個數就能被8或125整除;
2. 一個位數數字和能被3整除,這個數就能被3整除;
一個數各位數數字和能被9整除,這個數就能被9整除;
3. 如果一個整數的奇數位上的數字之和與偶數位上的數字之和的差能被11整除,那么這個數能被11整除.
4. 如果一個整數的末三位與末三位以前的數字組成的數之差能被7、11或13整除,那么這個數能被7、11或13整除.
【備注】(以上規律僅在十進制數中成立.)
二、整除性質
性質1 如果數a和數b都能被數c整除,那么它們的和或差也能被c整除.即如果c︱a,
c︱b,那么c︱(a±b).
性質2 如果數a能被數b整除,b又能被數c整除,那么a也能被c整除.即如果b∣a,
c∣b,那么c∣a.
用同樣的方法,我們還可以得出:
性質3 如果數a能被數b與數c的積整除,那么a也能被b或c整除.即如果bc∣a,那
么b∣a,c∣a.
性質4 如果數a能被數b整除,也能被數c整除,且數b和數c互質,那么a一定能被b
與c的乘積整除.即如果b∣a,c∣a,且(b,c)=1,那么bc∣a.
例如:如果3∣12,4∣12,且(3,4)=1,那么(3×4) ∣12.
性質5 如果數a能被數b整除,那么am也能被bm整除.如果 b|a,那么bm|am(m為非0整數);
性質6 如果數a能被數b整除,且數c能被數d整除,那么ac也能被bd整除.如果 b|a ,且d|c ,那么bd|ac
【例題精講】
【例1】已知道六位數20□279是13的倍數,求□中的數字是幾?
【例2】六位數能被99整除,是多少?
【例3】若,則所有滿足要求的五位數之和等于幾?
【例4】兩個七位數和均能被3整除。則C的最小值為幾?
【例5】一個六位數能被9和11整除,則這個六位數是幾?
【例6】若,則所有滿足要求的五位數中,最大的數是幾?
【例7】一個五位數,能被91整除,并且末三位組成的三位數與前兩位組成的兩位數的總和為320,這個五位數是幾?
【例8】五位數能同時被11和25整除。這個五位數是多少?
【例9】在235后面補上三個數字,組成一個六位數,使它能分別被3、4、5整除,并且要求這個數值盡可能小,這個六位數是多少?
【例10】兩個四位數和相乘,要使它們的乘積能被36整除,求A和B。
【回家作業】
1、173□是個四位數字。數學老師說:“我在這個□中先后填人3個數字,所得到的3個四位數,依次可被9、11、6整除。”問:數學老師先后填入的3個數字的和是多少?
2、如果六位數1992□□能被105整除,那么它的最后兩位數是多少?
3、在方框中填上兩個數字,可以相同也可以不同,使4□32□是9的倍數. ⑴請隨便填出一種,并檢查自己填的是否正確; ⑵一共有多少種滿足條件的填法?
4、一位后勤人員買了72本筆記本,可是由于他吸煙不小心,火星落在帳本上,把這筆帳的總數燒去兩個數字.帳本是這樣的:72本筆記本,共□□元(□為被燒掉的數字),請把□處數字補上,并求筆記本的單價。
5、各位數碼是0、1或2,且能被225整除的最小自然數是多少?
6、張老師帶領同學們去種樹,學生的人數恰好等分成三組.已知老師和學生共種樹312棵,老師與學生每人種的樹一樣多,并且不超過10棵.問:一共有多少學生?每人種了幾棵樹?
7、在865后面補上三個數字,組成一個六位數,使它能分別被3、4、5整除,且使這個數值盡可能的小。
8、要使能被36整除,而且所得的商最小,那么分別是多少?
第6講 質數、合數、約數與倍數
姓名:___________
【例題精講】
【例1】不成倍數的兩個自然數a和b。已知(a,b)=6,[a,b]=72,求a+b的值。
【例2】兩個數的最大公約數和最小公倍數分別是3和135,則這兩個數的差最小是幾?
【例3】三個連續自然數的乘積等于39270。這三個連續自然數的和等于多少?
【例4】2001個連續的自然數的和等于,其中為質數,求的最小值。
【例5】為質數,求。
【例6】如果一個數,將它的數字倒排后所得的數仍是這個數,我們稱這個數為回文數。如年份數1991,具有如下兩個性質:①1991是一個回文數;②1991可以分解成一個兩位質數回文數和一個三位質數回文數的積。在1000年到2000年之間的一千年中,除了1991外,具有性質①和②的年份數,有哪些?
【例7】甲乙兩數的最小公倍數是90,乙丙兩數的最小公倍數是105,甲丙兩數的最小公倍數是126,那么甲數是多少?
【例8】有4個不同的正整數,它們的和是1111。請問:它們的最大公約數最大能是多少?
【回家作業】
1、把一張長1米3分米5厘米、寬1米5厘米的紙裁成同樣大小的正方形紙塊,而沒有剩余,問:能裁成最大的正方形紙塊的邊長是多少?共可裁成幾塊?
2、一個房間長450厘米,寬330厘米.現計劃用方磚鋪地,問需要用邊長最大為多少厘米的方磚多少塊(整塊),才能正好把房間地面鋪滿?
3、有336個蘋果,252個桔子,210個梨,用這些水果最多可以分成多少份同樣的禮物?在每份禮物中,三樣水果各多少?
4、把20個梨和25個蘋果平均分給小朋友,分完后梨剩下2個,而蘋果還缺2個,一共最多有多少個小朋友?
5、兩個自然數的和是50,它們的最大公約數是5,試求這兩個數的差。
6、一個兩位數有6個約數,且這個數最小的3個約數之和為10,那么此數為幾?
7、甲、乙兩人同時從A點背向出發,沿400米的環形跑道行走,甲每分鐘走80米,乙每分鐘走50米,兩人至少經過多長時間才能在A點相遇?
8、已知兩個自然數的積為240,最小公倍數為60,求這兩個數。
第7講 位值原理
姓名:___________
【知識要點】
位值原理的定義:同一個數字,由于它在所寫的數里的位置不同,所表示的數值也不同。也就是說,每一個數字除了有自身的一個值外,還有一個“位置值”。例如“2”,寫在個位上,就表示2個一,寫在百位上,就表示2個百,這種數字和數位結合起來表示數的原則,稱為寫數的位值原理。
位值原理的表達形式:以六位數為例:a×100000+b×10000+c×1000+d×100+e×10+f。
【例題精講】
【例1】某三位數和它的反序數的差被99除,商等于______與______的差。
【例2】如果一個自然數的各個數碼之積加上各個數碼之和,正好等于這個自然數,我們就稱這個自然數為“巧數”。例如,99就是一個巧數,因為9×9+(9+9)=99。可以證明,所有的巧數都是兩位數。請你寫出所有的巧數。
【例3】有三個數字能組成6個不同的三位數,這6個三位數的和是2886,求所有這樣的6個三位數中最小的三位數。
【例4】一輛汽車進入高速公路時,入口處里程碑上是一個兩位數,汽車勻速行使,一小時后看到里程碑上的數是原來兩位數字交換后的數。又經一小時后看到里程碑上的數是入口處兩個數字中間多一個0的三位數,請問:再行多少小時,可看到里程碑上的數是前面這個三位數首末兩個數字交換所得的三位數。
【例5】已知
【例6】一個六位數,如果滿足,則稱為“迎春數”(例如,則102564就是“迎春數”)。請你求出所有“迎春數”的總和。
【例7】 A是一個兩位數,它的6倍是一個三位數B,如果把B放在A的左邊或者右邊得到兩個不同的五位數,并且這兩個五位數的差是一個完全平方數(整數的平方),那么A的所有可能取值之和為多少?
【例8】將四位數的數字順序重新排列后,可以得到一些新的四位數.現有一個四位數碼互不相同,且沒有0的四位數,它比新數中最大的小3834,比新數中最小的大4338.求這個四位數。
【回家作業】
1、與的差被9除,商等于______與______的差。
2、把一個兩位數的十位與個位上的數字加以交換,得到一個新的兩位數.如果原來的兩位數和交換后的新的兩位數的差是45,試求這樣的兩位數中最大的是多少?
3、有3個不同的數字,用它們組成6個不同的三位數,如果這6個三位數的和是1554,那么這3個數字分別是多少?
4、在兩位自然數的十位與個位中間插入0~9中的一個數碼,這個兩位數就變成了三位數,有些兩位數中間插入某個數碼后變成的三位數,恰好是原來兩位數的9倍。求出所有這樣的三位數。
5、已知一個四位數加上它的各位數字之和后等于2008,則所有這樣的四位數之和為多少?
6、如果把數碼5加寫在某自然數的右端,則該數增加,這里A表示一個看不清的數碼,求這個數和A。
7、有一個兩位數,如果把數碼3加寫在它的前面,則可得到一個三位數,如果把數碼3加寫在它的后面,則可得到一個三位數,如果在它前后各加寫一個數碼3,則可得到一個四位數.將這兩個三位數和一個四位數相加等于.求原來的兩位數。
8、某八位數形如,它與3的乘積形如,則七位數應是多少?
第8講 完全平方數
姓名:___________
【例題精講】
【例1】 1016與正整數的乘積是一個完全平方數,則的最小值是多少?
【例2】一個數減去100是一個平方數,減去63也是一個平方數,問這個數是多少?
【例3】 已知是一個四位數,若兩位數是一個質數,是一個完全平方數,是一個質數與一個不為1的完全平方數之積,則滿足條件的所有四位數是多少?
【例4】已知自然數n滿足:除以n得到一個完全平方數,則n的最小值是多少?
【例5】 、都是三位數,且是的倍,若將放在的左右兩邊,可以得到兩個六位數,已知這兩個六位數的差是一個完全平方數,那么求滿足條件的所有的平均數。
【例6】有兩個兩位數,它們的差是14,將它們分別平方,得到的兩個平方數的末兩位數(個位數和十位數)相同,那么這兩個兩位數是多少?
【例7】考慮下列32個數:,,,……,,請你去掉其中的一個數,使得其余各數的乘積為一個完全平方數,劃去的那個數是幾?
【例8】100名同學,編號為1~100,面向南站成一排,第1次全體同學向后轉;第2次編號為2的倍數的同學向后轉;第3次編號為3的倍數的同學向后轉;……;第100次編號為100的倍數的同學向后轉;這時,面向南的同學有多少名?
【回家作業】
1、3個互不相同的自然數之和為55,其中每兩個數之和是完全平方數,那么這三個自然數分別是多少?
2、 三個自然數,它們都是完全平方數,最大的數減去第二大的數的差為80,第二大的數減去最小的數的差為60,求這三個數。
3、從1到2008的所有自然數中,乘以72后是完全平方數的數共有多少個?
4、兩個完全平方數的差為77,則這兩個完全平方數的和最大是多少?最小是多少?
5、A是一個兩位數,它的6倍是一個三位數B,如果把B放在A的左邊或者右邊得到兩個不同的五位數,并且這兩個五位數的差是一個完全平方數(整數的平方),那么A的所有可能取值之和為多少?
6、寫出從360到630的自然數中有奇數個約數的數。
7、已知恰是自然數b的平方數,a的最小值是幾?
8、能否找到這么一個數,它加上24,和減去30所得的兩個數都是完全平方數?
第9講 余數問題
姓名:___________
【知識要點】
1.余數的加法定理
a與b的和除以c的余數,等于a,b分別除以c的余數之和,或這個和除以c的余數。
例如:23,16除以5的余數分別是3和1,所以23+16=39除以5的余數等
于4,即兩個余數的和3+1.
當余數的和比除數大時,所求的余數等于余數之和再除以c的余數。
例如:23,19除以5的余數分別是3和4,所以23+19=42除以5的余數等于3+4=7除以5的余數,即2.
2.余數的乘法定理
a與b的乘積除以c的余數,等于a,b分別除以c的余數的積,或者這個積除以c所得的余數。
例如:23,16除以5的余數分別是3和1,所以23×16除以5的余數等于3×1=3。
當余數的和比除數大時,所求的余數等于余數之積再除以c的余數。
例如:23,19除以5的余數分別是3和4,所以23×19除以5的余數等于3×4除以5的余數,即2.
3.同余定理
若兩個整數a、b被自然數m除有相同的余數,那么稱a、b對于模m同余,用式子表示為:a≡b ( mod m ),左邊的式子叫做同余式。
同余式讀作:a同余于b,模m。由同余的性質,我們可以得到一個非常重要的推論:
若兩個數a,b除以同一個數m得到的余數相同,則a,b的差一定能被m整除
用式子表示為:如果有a≡b ( mod m ),那么一定有a-b=mk,k是整數,即m|(a-b)
【例題精講】
【例1】除以一個兩位數,余數是,求出符合條件的所有的兩位數。
【例2】甲、乙兩數的和是,甲數除以乙數商余,求甲、乙兩數。
【例3】求的余數。
【例4】與的和除以7的余數是幾?
【例5】除以13所得余數是幾?
【例6】有一個自然數,除345和543所得的余數相同,且商相差33,求這個數是多少?
【例7】一個自然數在1000和1200之間,且被3除余1,被5除余2,被7除余3,求符合條件的數。
【例8】一個數除以3、5、7、11的余數分別是2、3、4、5,求符合條件的最小的數。
【回家作業】
1、一個兩位數除310,余數是37,求這樣的兩位數。
2、有兩個自然數相除,商是,余數是,已知被除數、除數、商與余數之和為,則被除數是多少?
3、一個兩位數除以13的商是6,除以11所得的余數是6,求這個兩位數。
4、有一個整數,除39,51,147所得的余數都是3,求這個數。
5、兩位自然數與除以7都余1,并且,求
6、三個不同的自然數的和為2001,它們分別除以19,23,31所得的商相同,所得的余數也相同,這三個數分別是幾?
7、一個大于10的數,除以3余1,除以5余2,除以11余7,問滿足條件的最小自然數是多少?
8、試求不大于100,且使能被11整除的所有自然數n的和。

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