資源簡介

《三角函數模型的簡單應用二》教學設計
（人教A版高中課標教材數學必修4第一章1.6節）
教學內容解析
本節課是普通高中新課程標準實驗教科書《數學》（必修4）中第一章《三角函數》第六節“三角函數模型的簡單應用”的第二課時。
“三角函數模型的簡單應用”一節教材共設置了4個例題，循序漸進地從四個層次來介紹三角函數模型的應用。教學共分兩個課時，通過第一課時的學習，學生已經初步掌握了由函數圖象建立解析式的方法，這為第二課時的學習做好了知識上的鋪墊。第二課時由拖地什么情況比較省力引入，實現從具體事例中抽象出三角函數模型的過程，再由學生動手解決無論推力多大，拖把都不會動的問題，讓學生經歷由實際問題到數學模型，再還原到實際問題的過程。緊接著第4個例題，即給出寧波港隨著潮汐變化時水深與時刻的變化數據，通過作散點圖，選擇恰當的函數模型，建立函數模型，并用得到的函數模型解決有關問題。這一課時的內容是一個比較完整的建立三角函數模型解決實際問題的例子，可以讓學生經歷運用三角函數模型描述周期現象、解決實際問題的全過程。
教科書《三角函數》這章專門設置“三角函數模型的簡單應用”一節，目的是讓學生感受到三角函數在解決具有周期變化規律的問題中的作用，體驗三角函數與日常生活和其他學科的聯系。以使學生體會三角函數的價值和作用，增強應用意識，同時還使學生加深對有關知識的理解．通過例4的教學，可以使學生經歷用三角函數模型刻畫周期現象的全過程，掌握從實際問題抽象出數學模型的一般方法，進一步體會三角函數是刻畫周期變化規律的重要模型。
三角函數模型的建立和應用，蘊含著豐富的數學思想。首先，是函數建模思想。本節內容需要對給出的數據細心觀察，尋找規律，發現表格中的數量關系；畫出散點圖，用曲線擬合這些數據，并找出恰當的函數模型，求其解析式；最后利用所求得的函數模型解決實際問題，這體現了數學建模的思想。其次，是數形結合思想。在用代數方法處理一些問題遇到困難時，常通過對圖象的分析，采用數形結合的思想，使問題得以解決。三角函數模型其本身就是“數”與“形”的統一體。就本節所涉及的實際問題，根據所提供的數據很難一目了然地觀察到其變化的規律，而畫出它的散點圖，可直觀地反映出數據的周期性變化規律，這樣將“數”與“形”結合，使得模型“形”的建立水到渠成．雖然“數形結合”的思想在之前學習分段函數、指數函數、對數函數等具體函數模型時，學生已經接觸過，但結合本課內容，發揮從“數”和“形”兩個方面共同分析解決問題的優勢，可以進一步加強對數形結合思想方法的理解。此外，在運用三角函數模型解決數學問題的過程中，“函數與方程”的數學思想也得到了體現。
三角函數模型是在學習了分段函數、指數函數、對數函數等具體函數模型之后學習的又一具體函數模型，在知識的形成過程中，突出體現了建立模型和應用模型兩個核心環節．
二、教學目標設置
（一）教學目標
1．利用收集到的數據作出散點圖，根據散點圖進行函數擬合，建立三角函數模型，掌握利用三角函數模型解決實際問題的方法。
2．經歷由實際問題選擇數學模型、研究數學模型、解決實際問題的數學建模過程，感悟“數形結合”、“函數與方程”的數學思想，并能理解應用“數形結合”、“函數與方程”思想解決有關具有周期運動規律的實際問題。
3．培養學生的觀察、分析、探究、歸納及概括能力以及運用圖形計算器等信息技術手段解決實際問題的能力，增強學生的應用意識。
（二）目標解析
1．學生在學習了分段函數、指數函數、對數函數等函數模型后，對建立函數模型的基本步驟有所了解，但對數據呈現周期性變化規律的數學建模還是初次接觸，特別是對如何根據實際背景及問題的條件，注意考慮實際意義，對問題的解進行具體分析，學生的理解并不深刻．因此如何建立和應用數學建模是本節的學習目標之一。
2．數學思想的教學一般要經過滲透孕育期、領悟形成期、應用發展期、鞏固深化期四個階段，而非通過簡單如“復制與灌輸”手段得以實現．所以通過數學建模的過程，讓學生領悟到“數學建模思想”、“數形結合思想”、“函數思想”等，并能運用這些數學思想分析三角函數的圖象，通過解決一些具有實際背景的綜合性問題，培養他們綜合應用數學和其他學科知識解決問題的能力。
3．通過數學建模的過程，使學生在觀察、分析、探究、歸納、概括等思維活動中獲取新知，這不僅可以提高學生的思維能力，培養學生運用圖形計算器等信息技術手段解決實際問題的能力，同時也可以增強學生的應用意識，促進學生良好思維品質的形成。
教學重點：用三角函數模型解決一些具有周期性變化規律的實際問題；從實際問題中發現周期變化的規律，并將所發現的規律抽象為恰當的三角函數模型。
教學難點：分析、整理、提取和利用信息，將實際問題抽象轉化成三角函數模型，并綜合運用相關知識解決實際問題。
三、學生學情分析?
在學習了分段函數、指數函數、對數函數等基本函數模型后，學生已經歷過觀察散點圖，抽象成函數模型，分析圖象的特征，運用圖形計算器等信息技術手段求解的數學建模過程，部分學生對模型的建立和應用往往還停留在操作層面上，對其中的數學意義和蘊含的數學思想的理解并不深刻；當面對三角函數解決實際問題的陌生背景、復雜的數據處理等，學生會感到困難；尤其是明確問題的實際背景、分析問題的復雜條件，考慮問題的實際意義，及對問題的解的分析等都會有一定的困難。因此在教學時，應重視審題環節，通過有針對性的引導，讓學生認真閱讀，抓住關鍵的詞和句子，弄清題意；注意幫助學生在分析問題中提取其中的數量關系；借助散點圖，引導學生從“形”的特征發現各個量之間的關系及他們的變化規律；同時注意指導學生根據問題的實際意義對問題的解進行具體的分析。
四、教學策略分析
根據本節課教材內容的特點，為了更直觀、形象地突出重點，突破難點，借助信息技術工具，以EXCEL繪制散點圖等，變抽象為直觀；同時輔之以計算器強大的計算功能，為學生的數學探究與數學思維提供支持。
五、教學過程設計
? ?（一）開門見山——呈現問題
同學們，我們已經知道函數的解析式、圖像、性質三者緊密相連。本節課我們要來研究解決一些生活生產中的實際問題。首先來看拖地的問題，拖把勻速前進時什么情況下比較省力??
抽象出數學關系，三角函數知識解決
引導學生分析出實際問題中蘊含著受力平衡這個實際模型，轉化為數學關系
式，既水平和豎直方向受力平衡，進而運用數學運算求出F的表達式，運用函數思想求出F的最小值。
師：當拖桿與豎直方向的角度越大時，越省力，也就是說角度越小越費力。當推力垂直地面向下時，拖把不會動，在這個變化過程中有個臨界角，不管推力多大，拖把都不會動，現在我們要解決這個問題。
生：交流討論出F水平分解力比最大靜摩擦力小，拖把不會動，從手里角度出發，列出數學關系式求解。
教師課堂巡視，指導，學生扮演，講解過程，最后還原回實際問題，今后拖地過程中如何有效的拖地。
【設計意圖】通過學生動手再練習，可以有效鞏固這個實際問題中的三角知識，同時解決避免拖地死角出現的實際問題。
(三）閱讀材料，分析實際問題
材料一：寧波港地處我國大陸海岸線中部，南北和長江“ T ”型結構的交匯點上，地理位置適中，是中國大陸著名的深水良港。寧波港由北侖港區、鎮海港區、寧波港區、大榭港區、穿山港區組成，是一個集內河港、河口港和海港于一體的多功能、綜合性的現代化深水大港。現有生產性泊位309座，其中萬噸級以上深水泊位60座。
材料二：海水受日月的引力，在一定的時候發生漲落的現象叫潮。一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐。在通常情況下，船在漲潮時駛進航道，靠近碼頭；卸貨后，在落潮時返回海洋。
材料三：按安全條例規定，寧波港進港航道水深在 18.2 米 以上，20 萬噸以下船舶自由進港，25 萬噸 30 萬噸船舶可候潮進出港。
問題1：安全規定的依據是什么？
題組形式，激發學生抽取實際模型的能力。有效引導學生進入解決模型的過程。
（四）觀察數據——建立模型
材料四：下面是寧波港口在某季節每天的時間與水深關系表:
時刻 水深/米 時刻 水深/米 時刻 水深/米
0:00 25.0 9:00 20.0 18:00 25.0
3:00 30.0 12:00 25.0 21:00 20.0
6:00 25.0 15:00 30.0 24:00 25.0
問題2：如果從函數角度思考，哪個是自變量，哪個是因變量？
問題3：選用一個適當的函數來近似描述這個水深和時間的函數關系，并給出整點時間的水深近似值？（精確到0.01)
問題4：觀察散點圖，你發現了一些什么結論？
師生活動：教師提問，學生思考、回答，教師根據學生回答的情況加以補充，主要從變量間的關系、水深的最值、水深隨時間變化有無規律等方面去研究．
【設計意圖】通過觀察表格中的數據，先發現水深有變化，盡可能發現或猜想這種變化呈現一種周期性變化規律，為用散點圖來表示這些數據做好鋪墊．
問題2：怎么畫這些數據的散點圖？用EXCEL工具。???
【設計意圖】讓學生復習用描點法畫出散點圖的方法．
問題3：如果我們用一條光滑的曲線把這些點連接起來，根據曲線的形狀和走勢，能用什么樣的函數來近似擬合這個圖象？
師生活動：教師引導學生利用圖形計算器的連線功能將散點連接起來，如下圖.觀察、分析繪出的曲線的形狀和特征，思考、判斷、選擇函數模型．教師根據學生回答的情況加以補充，突出對“周期性”的引導，最后確定可以用形如的正弦型函數來近似擬合.
? 【設計意圖】引導學生根據由散點圖連成的曲線呈周期性的特點選擇正弦型函數模型，培養學生的觀察、分析、推理、判斷、抽象概括等能力.
問題4：如何求出函數中的，，，和的值，從而確定函數模型的解析式呢？
師生活動：師生通過問答的形式，結合圖象，求出,,,。
（1）求振幅。由圖象可以得到最大值是7.5，最小值是2.5，最大值與最小值之差的一半是振幅，=5
（2）求。的值跟周期有關，從圖象可以看到，完成一次往復運動要用12小時，所以周期是12.所以,。
（3）求。圖象向上平移了25個單位。
（4）求。代入一個特殊點，得到。
【設計意圖】讓學生結合函數圖象以及已知表格中的數據，求出各參數的值，體會“數形結合”的數學思想，利用圖形計算器驗證所求結果，并兩人合作求出整點時刻的水深。
(三）回歸現實——提出問題
我們已經知道港口在某季節每天的時間與水深關系可以近似用函數模型來刻畫，下面利用該模型解決有關貨船進出港的一些實際問題.
問題5：（進出港時間問題）一條貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為24.5 m，安全條例規定至少要有1.5 m的安全間隙（船底與洋底的距離），該船何時能進入港口？在港口能呆多久？
師生活動：教師通過以下問題，引導學生探究.
（1）貨船能夠進入港口所需要滿足的條件是什么？（實際水深≥安全水深）
（2）怎樣用數學表達式來表述這一條件？
（3）如何解不等式？
（4）若把不等式兩端看成是兩個函數，分別作出它們的函數圖象，用數形結合的思想解決問題，那么滿足我們條件的解是圖象的哪部分？
（5）在[0，24]內滿足條件的解集是什么？
（6）結合圖象，貨船應該選擇什么時間進港，什么時間出港？
（7）貨船在港口能呆多久？
（8）如何使用圖形計算器幫助我們解決其中的問題？
學生利用圖形計算器分別畫出和y=26的圖象，找出兩圖象的交點，通過數形結合得到不等式的解集.
【設計意圖】通過問題串，幫助學生弄清楚題目的意思，引導學生建立函數模型，借助圖形計算器，利用數形結合思想解決問題.得出答案后，通過檢驗它是否與實際意義相符，對答案的合理性做出解釋.
問題6：（游客登船問題）一條客船停靠在寧波港口，潮汐作用下，當水深達到最高點時，甲板剛好與碼頭地面平齊。已知地面與甲板的高度差不超過10cm時，游客能舒服地登船。觀察此表，客船什么時候開始登船檢票比較合適？乘客有多少舒服的登船時間？
師生活動：教師啟發學生類比、思考，組織學生討論如下問題：
（1）“舒服登船”的含義是什么？你能用一個關系式來表述嗎？
（2）舒服水深如何表示呢？
（3）如何解不等式 ？
學生在這些問題的引導下思考探究，對于要求解的不等式，學生根據剛才解題的經歷，相互討論尋求解決的途徑，利用圖形計算器通過剛才類似方法求出不等式的解集。
【設計意圖】引導學生用函數模型刻畫貨船安全水深與時間的關系，將實際問題轉化為不等式問題. 讓學生進一步體驗“數形結合”思想和“函數與方程”思想在解決數學問題中的作用.
師生活動：在教師的引導下，學生獨立思考、討論，然后給出回答。下午發船的話，游客在14:40左右到15:20可以登船，有40分鐘左右登船時間。
【設計意圖】將所得的數學解釋轉化為實際問題的解釋.
（四）課時小結，認識深化
問題9：通過這節課的學習，大家有什么收獲嗎？? （師生一起歸納）
1. 通過本節課的學習，學會了數據處理的基本方法和步驟：
（1）觀察收集到的數據，尋找規律，發現數據間的數量關系；
（2）根據已知數據繪制散點圖；
（3）用光滑的曲線連接散點圖；
（4）通過比較，選擇恰當的函數模型擬合數據；
（5）求函數模型的解析式.??
在數據處理的過程中，運用了函數的三種不同的表示方法，分析問題并解決問題．
2. 在解決實際問題時運用了“數學建模思想”、“數形結合思想”、“函數與方程思想”等數學思想方法．
【設計意圖】讓學生通過思考和回答問題，歸納總結建立三角函數等數學模型解決實際問題的基本步驟，理清解決實際問題的基本思路，滲透數學思想方法，培養學生的歸納總結能力和語言表達能力．
（五）布置作業——延時探究
過渡語：在今天我們所研究的實際問題的基礎上，同學們課后可以進一步深入研究，請大家看拓展作業．
作業1（卸貨速度問題）：若貨船的吃水深度為4米，安全間隙為1.5 m，該船在2:00開始卸貨，貨物卸空后吃水深度為2 m，為了保證貨船進入碼頭后一次性卸空貨物，又能安全駛離碼頭，那么每小時吃水深度至少要以多少速度減少？
【設計意圖】讓學生利用函數模型解決實際問題，理清解決問題的基本思路，培養分析和探究能力.這是本節內容的一個提高與拓展.
作業2：以下是同學們在互聯網上得到的北京每月15日日出時間的數據：
日期
1月15日
2月15日
3月15日
4月15日
5月15日
6月15日
時刻
7:35
7:08
6:27
5:38
5:00
4:45
日期
7月15日
8月15日
9月15日
10月15日
11月15日
12月15日
時刻
4:58
5:26
5:55
6:24
6:58
7:29
（1）畫出散點圖，并用曲線去擬合這些數據，同時找出函數模型，求出函數解析式．
（2）如果你準備在國慶節去北京天安門廣場看升旗，你最好在什么時間到達天安門廣場？
【設計意圖】通過訓練，鞏固課堂所學內容，讓學生進一步熟練三角函數應用問題的解決方法.把數學的學術形態轉化為生活服務的教育形態．
課件11張PPT。數學 源于生活用于生活1.6三角函數模型的簡單應用（二）瞻前顧后函數解析式、圖像、性質三者緊密相聯。本節課
我們將研究解決一些生活生產中遇到的問題，如：
(1)在日常生活中的拖地（數學與物理）；
(2)在航海運輸中的應用；教室是我家，環境靠大家例3：拖把的構造：拖桿和拖把頭（如圖），設拖把頭的質量為m，拖桿質量可以忽略；拖把頭與地板之間的動摩擦因數為常數μ，重力加速度為g，某同學用該拖把在水平地板上拖地時，沿拖桿方向推拖把的力F，拖桿與豎直方向的夾角為θ，設能使該拖把在地板上從靜止剛好開始運動的水平推力與此時地板對拖把的正壓力的比值為λ（靜摩擦因數）拖地的學問：
拖把勻速前進時，什么情況比較省力？2、拖把死角：存在一臨界角θ0，若θ≤θ0，則不管沿拖桿方向的推力多大，都不可能使拖把從靜止開始運動，求這一臨界角的正切tanθ0
1、勻速拖地：受力平衡實際情景抽取數學關系材料一：寧波港地處我國大陸海岸線中部，南北和長江“ T ”型結構的交匯點上，地理位置適中，是中國大陸著名的深水良港。寧波港由北侖港區、鎮海港區、寧波港區、大榭港區、穿山港區組成，是一個集內河港、河口港和海港于一體的多功能、綜合性的現代化深水大港。現有生產性泊位309座，其中萬噸級以上深水泊位60座。材料三：按安全條例規定，寧波港進港航道水深在 18.2 米 以上，20 萬噸以下船舶自由進港，25 萬噸 30 萬噸船舶可候潮進出港。問題1：安全規定的依據是什么？材料二：海水受日月的引力，在一定的時候發生漲落的現象叫潮。一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐。在通常情況下，船在漲潮時駛進航道，靠近碼頭；卸貨后，在落潮時返回海洋。材料四：下面是寧波港口在某季節每天的時間與水深關系表:問題2：如果從函數角度思考，哪個是自變量，哪個是因變量？問題3：選用一個適當的函數來近似描述這個水深和時間的函數關系，并給出整點時間的水深近似值？（精確到0.01)
xyO3691215182124102030(4)貨船需要的安全水深為24.5+1.5=26.0(米),所以當y≥26.0時就可以進港 。問題4：一條貨船的吃水深度(船底與水面的距離)為24.5米,安全例規定至少要有1.5米的安全間隙 (船底與洋底的距離),該船何時能進入港口?在港口能呆多久?
因此,貨船可以在0時30分左右進港,早晨5時30分左右出港;或在中午12時30分左右進港,下午17時30分左右出港.每次可以在港口停留5小時左右。在區間[0,12]內，函數 的圖像
與直線y=26有兩個交點A,B，因此(5)一條客船停靠在寧波港口，潮汐作用下，當水深達到最高點時，甲板剛好與碼頭地面平齊。已知地面與甲板的高度差不超過10cm時，游客能舒服地登船。觀察此表，客船什么時候開始登船檢票比較合適？乘客有多少舒服的登船時間？下午發船的話，游客在14:40左右到15:20可以登船，有40分鐘左右登船時間。小結:1、建立三角函數模型的一般步聚:2、數據處理方式：列圖表、畫圖像
運用的數學思想：數形結合、化歸、轉化思想等　　　　　　1.6三角函數模型的簡單應用（二）
我認為本節課成功之處有三點：　　
1. 課標要求：“學生的數學學習內容應當是現實的、有意義的、富有挑戰性的。”從拖地這個身邊的情境出發，即熟悉又蘊含三角模型的本質，選題新穎，可見教學設計是經過深思熟慮的。
　　2.靈活處理教材，教法學法得當。課標指出：“學生是數學學習的主人，教師是數學學習的組織者、引導者和合作者。”縱觀這節課，教師不是簡單的知識傳授者，教學時采用討論，小組合作等活動調動了大部分學生的學習主動性，通過學生合作、交流，使他們真正成為學習的主人，積極地參與教學的每一個環節，通過問題組形式讓學生努力地探索解決問題的方法，大膽地發表自己的見解。學生始終保持著高昂的學習情緒，感受到學習數學的快樂，體驗到成功的喜悅。　　
3.教師在教學中非常注意語言的準確性和規范性。講課普通話標準；語調注意抑揚頓挫；語言做到盡可能地精煉，不說重復話(有些該特別強調的除外)。　　
教學因學生而精彩，因缺憾而美麗。這節課雖然也有一點點缺憾，但整體上是成功的一堂課。　　
　

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