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第二講 幾何問題總復習（二）
模塊一、圓與扇形：
一、相關公式：
圓的面積=πr2；扇形的面積=；
圓的周長=2πr；扇形的弧長=。
二、基本圖形：
1．“弓形”：弓形一半不要求求周長，主要求面積。
一般說來，弓形面積=扇形面積?三角形面積。（除了半圓）
2．“彎角”：彎角面積=正方形?扇形；
3．“谷子”：谷子面積=弓形面積×2。
4．圓環：圓環面積=π×(R2?r2)。
例1．求下列圖形中陰影部分的面積 ， ， 。（π取3.14）
解：①S1=π×52÷4?5×5÷2=7.125；
②S2=5×5?π×52÷4=5.375；
③S3=2×(π×52÷4?5×5÷2)=14.25.
例2．（1）求圖中陰影部分的面積是 平方厘米。（單位：厘米）（π取3.14）

（2）已知圖中陰影部分的面積是25cm2，則圓環的面積是 平方厘米。（π取3.14）
解：（1）S1=π×(152?102)=392.5（平方厘米）；
（2）S2=(R2?r2)÷2=25，解得R2?r2=50，
圓環的面積=π×(R2?r2)=157（平方厘米）。
模塊二、圖形變換技巧：
常用的思想方法：
1．轉化思想（復雜轉化為簡單，不熟悉的轉化為熟悉的）；
2．等積變形（割補、平移、旋轉等）；
3．借來還去（加減法）；
4．外圍入手（從會求的圖形或者能求的圖形入手，看與要求的部分之間的關系）；
5．容斥（實際上容斥的思想是貫穿于加減法始終的。我們把兩部分面積加起來，去掉總面積，剩下的就是重疊部分的面積）；
6．差不變。
例3．如圖，直角三角形ABC中，AB是圓的直徑，且AB=20，陰影甲的面積比陰影乙的面積大7，求BC長。（π取3.14）
解：陰影甲的面積與陰影乙的面積都加上半圓內的空白部分，分別成為半圓和三角形ABC，
所以π×102÷2?20×BC÷2=7，得157?10BC=7，
所以10BC=150，BC=15.
例4．（1）下圖中陰影部分的面積為 。（結果保留π）

（2）如圖，ABCD是正方形，且FA=AD=DE=EW=1，則陰影部分的面積為，其中a= ，b= 。（π取3）
解：（1）按圖所示，將中間的陰影部分分成兩部分，分別旋轉到對應位置，
則陰影部分成為一個大弓形，
則陰影部分的面積為S=π×42÷4?4×4÷2=4π?8；
（2）如圖所示，將弓形BF，旋轉到對應位置，
則陰影部分組合在一起，它是梯形減去一個三角形和一個扇形，
所以陰影部分面積S=(1+2)×1÷2?1×1÷2?π×12÷8
=，
所以a=5，b=8.
模塊三、旋轉與軌跡：
例5．如圖，以OA為斜邊的直角三角形的面積是24平方厘米，斜邊長是10厘米，將它以O點為中心旋轉90°，那么三角形掃過的面積是 平方厘米。（π取3）
解：三角形掃過的面積是扇形OAA’加上三角形的面積，
所以S=π×102÷4+24=99（平方厘米）。
例6．一只狗被栓在底座為邊長3m的等邊三角形建筑物的墻角上（如圖），繩子長是4米，則狗所能到的地方的總面積是 平方米。（π取3.14）

解：活動范圍是一個半徑為4，圓心角為300度的扇形加上兩個半徑為1圓心角為120度的小扇形，
S==43.96（平方米）。
隨 堂 練 習
1．下列各圖中陰影部分的面積分別是 平方厘米、 平方厘米、 平方厘米、（圖中單位為cm，π取3）
解：①S1=33÷2=； ②S2=π×22÷4?π×12÷2=1.5； ③S3=π×62÷8?62÷4=4.5.
2．已知：如圖，大圓半徑為R，小圓半徑為r，兩個同心圓構成一個圓環。以圓心O為頂點，半徑R為邊長做一個正方形，再以O為頂點，以r為邊長做一個小正方形，圖中陰影部分的面積為50平方厘米，則圓環面積是 平方厘米（π取3.14）
解：陰影部分面積是R2?r2=50，
圓環面積是S=π×(R2?r2)=50×3.14=157.
3．如圖，直角三角形ABC中，AB是圓的直徑，且AB=20，BC=15，陰影甲的面積與陰影乙的面積的差為 。（π取3.14）
解：陰影甲的面積與陰影乙的面積的差=π×102÷2?20×15÷2=7.
4．已知：如圖所示，四個全等的圓每個半徑均為2m，陰影部分的面積是 m2。
解：將陰影圓平分為4個扇形，將其中3個扇形移到另外三個圓中，
這樣陰影部分恰好組成一個正方形，正方形的邊長為4，所以S陰影=42=16（平方米）。
解2：陰影部分的面積S=4×(2×2?π×22÷4)+π×22=16（平方米）。
5．如圖，在一個很大的羊圈中，用一根長3米的繩子把一只羊栓在墻角，羊活動的區域面積是 平方米。（π取3.14）
解：羊的活動范圍是以墻角為圓心，繩子長3米為半徑的一個90°的扇形。
區域面積S=π×32÷4=7.065（平方米）。

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