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第三講 數論問題總復習（二）
模塊一、質數、合數、分解質因數
判斷一個數是否為質數的方法：
根據定義，如果能夠找到一個小于p的質數p（均為整數），使得p能夠整除P，那么P就不是質數，所以我們只要拿所有小于P的質數去除P就可以了；但是這樣計算量很大，對于不太大的P，我們可以先找一個大于且接近P的平方數K2，再列出所以不大于K的質數，用這些質數去除P，如果沒有能夠除盡的，那么P就為質數。
分解質因數：把一個合數用質因數相乘的形式表示出來，叫作分解質因數。
因數個數定理：設自然數n的質因數分解式如，那么n的個數為
。
例1．（1）分解質因數：160
（2）5×6×10×25×7×75×94的積的末尾共有 個0.
解：（1）160=25×5；
（2）5×6×10×25×7×75×94的乘積中含有6個5，3個2，所以乘積的末尾有3個0.
例2．（1）已知兩個自然數的積是180，差不大于5，則這兩個自然數的和是 ；
（2）A是一個一位數，B是一個兩位數，C是一個三位數，已知A、B、C三個數的積是2004，則A+B+C= 。
解：（1）180=22×32×5=12×15，所以這兩個自然數的和是12+15=27；
（2）2004=22×3×167，所以A=1，B=12，C=167，A+B+C=1+12+167=180.
模塊二、因數、倍數：
1．最大公因數與最小公倍數有如下一些基本關系：
①A×B=ma×mb=m×mab=(A，B)×[A，B]，即兩個數的最大公因數與最小公倍數之積等于這兩個數的積；
②最大公因數是A、B、A+B、A?B及最小公倍數的因數。
2．求一組最簡分數的最大公因數與最小公倍數：
（1）求一組最簡分數的最大公因數：先將各個分數化為假分數，求出各個分數分母的最小公倍數a，再求出各個分數的分子的最大公因數b，即為所求；
（2）求一組最簡分數的最小公倍數：先將各個分數化為假分數，求出各個分數分子的最小公倍數a，再求出各個分數分母的最大公因數b，即為所求；
例3．（1）(28，35)，(108，360)，(24，36，90)分別是 ， ， ；
（2）[28，35]，[108，360]，[24，36，90]分別是 ， ， 。
解：（1）(28，35)=7，(108，360)=36，(24，36，90)=6；
（2）[28，35]=140，[108，360]=1080，[24，36，90]=360.
例4．（1）已知A、B兩數的最小公倍數是180，最大公因數是30，若A=90，則B= ；
（2）已知兩個自然數的積為450，最小公倍數是150，求這兩個數的和的最大值是 。
解：（1）A=90=3×30，180=2×3×30，所以B=2×30=60。
（2）450=2×32×52，150=2×3×52，要使的兩個數的和盡可能大，則可以使得這兩個數的差盡可能大，
取A=2×3×52=150，B=3，所以A+B=153。
模塊三、完全平方數：
1．定義：我們把一個自然數平方所得到的數叫做完全平方數或平方數。
如12=1，22=4，32=9，……，112=121，122=144，其中1、4、9、…、121、144、…都叫做完全平方數。平方數分解質因數后，它的質因數必定會成對出現。
2．完全平方數的有關性質：
性質1：完全平方數的末位數字只可能是0，1，4，5，6，9；
性質2：完全平方數的因數一定有奇數個，反之亦然。因為完全平方數的質因數分解中每個質因數出現的次數都是偶數次。
性質3：如果一個完全平方數的個位是6，則十位是奇數，反之亦然；
性質4：如果一個完全平方數的個位是0，則末尾連續0的個數一定是偶數個。如果一個完全平方數的個位是5，則其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一個；
性質5：如果一個自然數介于兩個連續完全平方數之間，則它不是完全平方數；
性質6：平方差公式：a2?b2=(a+b)(a?b)；
性質7：偶數的完全平方數是4的倍數，奇數的完全平方被4除一定余1，任何自然數的平方數不可能被4除余2。
例5．2205乘一個非零自然數a，乘積是一個完全平方數，則a最小為 ，2205除以一個自然數b，商是完全平方數，則b最小為 .
解：2205=32×5×72，取a=5，則2205a是完全平方數，取b=5，則2205÷b是完全平方數。
例6．一個數減去100是一個平方數，減去63也是一個平方數，問這個數是 。
解：設該數為a，則a?100=m2，a?63=n2，兩式相減的n2?m2=37，
得(n+m)(n?m)=37=1×37，所以，解得n，
所以a=100+182=424.
隨 堂 測 試
1．已知300=2×2×3×5×5，則300一共有 個不同的因數。
解：不同因數的個數是(2+1)×(1+1)×(2+1)=18（個）。
2．把40、44、45、63、65、78、99、105這八個數平分為兩組，使每組四個數的乘積相等。
解：40=23×5，44=22×11，45=32×5，63=32×7，65=5×13，78=2×3×13，99=32×11，105=3×5×7，
所以分為兩組分別為(44、45、78、105)、(40、63、65、99)。
因數2
因數3
因數5
因數7
因數11
因數13
分組
40
3
1
B
44
2
1
A
45
2
1
A
63
2
2
B
65
1
1
B
78
1
1
1
A
99
2
1
B
105
1
1
7
A
3．已知兩個自然數的積為720，最小公倍數為120，則這兩個數分別是 。
解：720=24×32×5，120=23×3×5，
取M=23×3×5=120，N=2×3=6 或A=23×3=24，B=2×3×5=30。
4．156×a是完全平方數，則非零自然數a的最小值為 。
解：156=22×3×13，取a=3×13=39，此時156×a是完全平方數。
5．有一個正整數，將它加上15或減去4后都是完全平方數，則這個數是 。
解：設此數為a，則a+15=m2，a?4=n2，兩式相減得m2?n2=19，
所以(m+n)(m?n)=19，所以，解得，
所以a=102?15=85.

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