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第四講 計數(shù)問題總復習（二）
模塊一、排列組合：
排列數(shù)公式：；
全排列公式：；
組合數(shù)公式：；
關(guān)于組合數(shù)的幾個重要結(jié)論：
；；。
例1．一臺晚會上有6個演唱節(jié)目和四個舞蹈節(jié)目，求：
（1）當4個舞蹈節(jié)目要排在一起時，有 種不同的安排方法；
（2）當要求兩個舞蹈節(jié)目之間至少安排一個演唱節(jié)目時，一共有 種不同的安排方法。
解：（1）4個舞蹈節(jié)目看做一個大節(jié)目，與6個演唱節(jié)目排序，同時4個舞蹈節(jié)目內(nèi)部有順序，
所以一共有=120×24=2880種不同的安排方法；
（2）把4個舞蹈節(jié)目插入到排好順序的6個演唱節(jié)目中，
所以一共有種不同的安排方法；
例2．在6名內(nèi)科醫(yī)生和4名外科醫(yī)生中，內(nèi)科主任和外科主任各一名，現(xiàn)要組成5人醫(yī)療小組送醫(yī)下鄉(xiāng)。
（1）若要求有3名內(nèi)科醫(yī)生和2名外科醫(yī)生，則有 種選派方法；
（2）若要求既有內(nèi)科醫(yī)生又有外科醫(yī)生，則有 種選派方法；
（3）若要求至少有一名主任參加，則有 種選派方法；
解：（1）從6名內(nèi)科醫(yī)生中選3人，再從4名外科醫(yī)生中選2人，
有=20×6=120種選派方法；
（2）從10人選5人，有=252種方法，其中若5人全是內(nèi)科醫(yī)生的方法有=6種，
所以既有內(nèi)科醫(yī)生又有外科醫(yī)生的方法有252?6=246種；
（3）從10人中任意選派5人的方法中減去沒有主任參加的方法種數(shù)，
即=252?56=196（種）方法。
例3．（1）10個蘋果放入4個不同的盤子里，要求每個盤子至少1個，共有 種不同的方法；
（2）有10個相同的球要分給3個小朋友，保證每個小朋友至少能分到2個球，共有 種不同的分法。
解：（1）把10個蘋果排成一排，在中間9個空中插入3塊插板，就把10個蘋果分成了從左到右的4份，
所以一共有種不同的分法；
解法2：首先每個盤子中先放入1個，剩下的6個蘋果再分配：
若6個蘋果一起放入其中1個盤子中，有4種分法；
若6個蘋果分成兩份，有6=5+1、6=4+2、6=3+3，對于前兩種分法，各有=12種分法，對于3+3的情況，有=6種分法，這樣有12+12+6=30種分法；
若6個蘋果分成三份，有6=2+2+2和6=3+2+1，6=4+1+1分別有=4和=24和=12種分法，共有4+24+12=40種分法；
若6個蘋果分成4份，有6=3+1+1+1和6=2+2+1+1，分別有=4和=6，共有4+6=10種分法；
綜上所述一共有4+30+40+10=84（種）分法。
（2）把10個球中拿出6個，分給3個小朋友，每人2個，
剩下的4個球排成一排，再加入兩塊插板，這樣連球帶插板一共有6個位置；
再從這6個位置中任意選2個，放入插板，其他位置放入球，于是這4個球被分成了3份（如果插板在邊上，相當于它的空白一邊放0個球，若兩塊插板挨在一起，它們之間也相當于有一個0），
所以共有種分法。
例4．將書架上2本相同的漫畫書、2本相同的故事書和3本相同的科學書排成一排，有 種不同的擺法。
解：將7本書排列，其中相同的的書交換位置與原來的沒有變化，
所以一共有210（種）不同的擺法。
解2：在7個位置中選出3個位置放置科學書，剩下的4個位置中選2個放置漫畫書，最后剩下的2個位置放故事書，有=35×6=210（種）不同的擺法。
模塊二、概率問題：
例5．在一個不透明的袋子里，有5個除顏色外其他都相同的小球，其中3個是紅球，2個是綠球，每次拿一個球然后放回去，拿2次，則至少有一次取到綠球的概率是 。
解：拿的方法一共有5×5=25種，兩次都沒有拿綠球的方法有3×3=9種，
所以至少一次取到綠球的概率是P=。
例6．媽媽去家樂福購物，正好碰上橘子、香蕉、葡萄和榴蓮大降價。于是她決定從這4種水果中任選一種買回家。爸爸下班時路過集貿(mào)市場，發(fā)現(xiàn)有蘋果、橘子、香蕉、葡萄和梨出售，他也簡單任選一種買回家，請問他們買了不同水果的概率是 。
解：相同的水果有橘子、香蕉和葡萄，
他們買了相同的水果的概率是，
所以買了不同水果的概率是P=1?=。
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1．用1、2、3、4、5、6六張數(shù)字卡片，每次取3張卡片組成三位數(shù)，一共可以組成 個不同的偶數(shù)（6不能看做9）。
解：從2、4、6中選1張放在個位，在剩下的五張中選2張放在百位和十位，
所以一共有=3×20=60（個）不同的偶數(shù)。
2．學校乒乓球隊一共有4名男生和3名女生，某次比賽后，他們站成一排照相，請問：
（1）如果要求男生不能相鄰，一共有 種不同的站法；
（2）如果要求女生都站在一起，一共有 種不同的站法；
解：（1）4名男生先排隊，有種排法，然后3名女生插入到男生之間（正好3個空），有種方法，所以一共有24×6=144種方法；
（2）女生看做一個大團體，與男生排隊，女生之間在排列，
所以一共有=120×6=720（種）不同的站法。
3．甲、乙、丙、丁、戊、己六個人站隊，如果甲、乙兩人之間恰好有兩個人，一共有 種站法
解：甲、乙兩人先站好，有2種站法，
再從丙、丁、戊、己中選2人站到他們中間（有順序），有=12種站法，
最后這4人看做一個整體與其余兩人排隊，有=6種站法；
所以一共有2×12×6=144（種）不同的站法。
4．有2克、5克、20克的砝碼個1個，只用砝碼和一架已經(jīng)調(diào)節(jié)平衡的天平，能稱出 種不同的重量。
解：若只用1個砝碼，每個砝碼能稱出1個重量，分別為2、5、20克；
若用兩個砝碼，如2、5克，則都放在一邊，可以稱出2+5=7克，若允許放在兩邊，可以稱出5?2=3克，
所以每用兩個砝碼都可以稱出2個重量，這樣可以稱出2×3=6個重量；
若三個砝碼一起用，都放在同一邊，可以稱出2+5+20=27克，若允許放在兩邊，有20+5?2=23、20+2?5=17、20?5?2=13，共4個重量，
綜上所述，有3+6+4=13（種）不同的重量。
5．約翰和湯姆擲硬幣，約翰擲兩次，湯姆擲兩次，約翰擲兩次，……，這樣輪流擲下去。若約翰連續(xù)兩次擲的結(jié)果相同，則記1分，否則記0分；若湯姆連續(xù)兩次擲的結(jié)果中至少有1次硬幣的正面向上，則記1分，否則記0分；誰先記滿10分誰就贏， 贏的可能性較大（請?zhí)顪坊蚣s翰）。
解：約翰得1分的情況有兩次都是正面或兩次都是反面，概率是=；
湯姆得0分的概率是兩次都是反面，所以得1分的概率是=，
所以湯姆贏的可能性較大。

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