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第八講 數論問題總復習（三）
模塊一、帶余除法：
余數的定義：
一般地，如果a是整數，b是整數(b≠0)，若有a÷b=q……r，或者a=b×q+r，0≤r當r=0時，我們稱a能被b整除；
當r≠0時，我們稱a不能被b整除，r為a除以b的余數，q為a除以b的商。
2．余數的性質：
① 被除數=除數×商+余數；
除數=(被除數?余數)÷商；
商=(被除數?余數)÷除數。
②余數小于除數：
③如果a，b除以c的余數相同，就稱a，b對于除數c來說是同余的，且有a與b的差能被c整除。(a，b，c均為非零自然數)；
例如：17與11除以3的余數都是2，所以(17?11)能被3整除。
④a與b的和除以c的余數，等于a，b分別除以c的余數之和或這個和除以c的余數。
例如：23，16除以5的余數分別是3和1，所以(23+16)除以5的余數等于3+1=4。
注意：當余數之和大于除數時，所求余數等于余數之和再除以c的余數。
例如：23，19除以5的余數分別是3和4，所以(23+19)除以5的余數等(3+4)除以5的余數
⑤ a與b的乘積除以c的余數，等于a，b分別除以c的余數之積(或這個積除以c的余數)；
例如：23，16除以5的余數分別是3和1，所以(23×16)除以5的余數等于3×1=3;
注意：當余數之積大于除數時，所求余數等于余數之積再除以c的余數。
例如：23，19除以5的余數分別是3和4，所以(23×9)除以5的余數等于(3×4)除以5的余數。
例1．一個除法式子里，被除數、除數、商和余數這四個數的和是1996。已知商是12，余數是69，則被除數是 。
解：被除數、除數的和是1996?69?12=1915，
再把被除數減去69得1915?69=1846，
1846÷(12+1)=142，即除數是142，被除數是142×12+69=1773.
例2．14389除以7的余數是 。
解：143÷7=20……3，所以14389除以7的余數等于389除以7的余數，
又32÷7余2，33÷7余6，34÷7余4，35÷7余5，36÷7余1，
有389=(36)14×35，所以389除以7的余數等于35除以7的余數，余數是5.
模塊二、同余
若兩個整數a、b被自然數m除有相同的余數，那么稱a、b對于模m同余，用同余式表示為a≡b (mod m).
例3．小芳在計算有余數的除法時，把被除數472錯看成427，結果商比原來小5，但余數恰好相等，則該題的余數是 。
解：472?427=45，45÷5=9，所以除數是9，即472÷9=52……4，427÷9=47……4，
所以該題的余數是4.
例4．一個大于1的數去除290、235、200時，得余數分別是a、a+2、a+5，則這個自然數是 。
解：235?2=233，200?5=195，290?233=57，233?195=38，(57，38)=19，
所以這個自然數是19.
模塊三、剩余：
剩余問題的四大絕招
，求N。
絕招一：減同余。若A?a=B?b=d，則有N+d=[A，B]n，而N的最小值是N=[A，B]?d；
絕招二：加同補。若A+a=B+b=e，則有N?e=[A，B]n，而N的最小值是N=e；
絕招三：中國的剩余定理；
絕招四：逐級滿足法。
例5．有一筐蘋果，若甲班分，每人3個還剩11個；若乙班分，每人4個還剩10個；若丙班分，每人5個還剩12個，那么這筐蘋果至少有 個。
解：設11÷3余2，10÷4余2，12÷5余2，則蘋果的數量除以3、4、5都余2個，
[3，4，5]=60，所以這筐蘋果最少有62個。
例6．一個自然數在1000到1200之間，且被3除余1，被5除余2，被7除余3，則符合條件的數是 。
解：用中國的剩余定理，即韓信點兵的方法得 1×70+2×21+3×15+n×105=157+n×105，
取n=9，得157+945=1102。
解法2：被3除余1且被5除余2的數最小是7，
所以此數滿足的條件是15m+7，再結合條件被7除余3，
15m+7≡3 （mod 7），所以m=3，滿足條件的最小數是15×3+7=52，
52+10×105=1102.
隨 堂 測 試
1．兩數相除，商15余6，被除數、除數、商、余數四個數之和等于139，則被除數是 。
解：139?15?6=118，118是被除數與除數的和，再減去6得118?6=112，
112÷16=7，即除數是7，所以被除數=7×15+6=111.
2．一個兩位數除200，余數是13，則這樣的兩位數是 。
解：200?13=187，187=11×17，因為余數是13，所以除數只能是17.
3．某個整數除67、151得到的余數都是11，那么這個整數可能是 。
解：67?11=56，151?11=140，56=23×7，140=22×5×7，
該數大于11，所以這個數可能是14、28.
4．幼兒園的老師給班里的小朋友送來40個桔子，200塊餅干，120粒奶糖。平均分發完畢，還剩4個桔子，20塊餅干，12粒奶糖。這個班里共有 位小朋友。
解：40?4=36，200?20=180，120?12=108，(180，108)=36，
所以班里有36位小朋友。
5．一個大于100小于200的數，除以3和除以5都余2，除以7余1，則這個數是 。
解：除以3和除以5都余2的最小自然數是2， 總數為15k+2，它與k+2除以7的余數相同，
要求除以7的余數是1，所以k=6，即15×6+2=92. 92+105=197.
這個數是197.

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