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第十講 組合問題總復習（二）
模塊一、邏輯推理：
把不同排列順序的意識進行相關性的推導就是邏輯推理，而我們小學階段題目多以形式邏輯為主，在既定的情況下，通過對題目條件的分析推導出一個題目設定的結論。
一、真假型：
前提：題目所給的條件有真有假；
方法：假設法，通過有順序的假設去尋找正確的條件(真命題)，從而推導出題目設定的結論。
假設的結果無外乎兩種
有矛盾：重新假設；
無矛盾：推出結論。
特殊：說的正好相反的兩句話(兩個條件)一定一對一錯。
二、條件型：
前提：題目所給的條件全是真命題，即都是真話，可以直接用來推導分析。
方法：列表法。
構造表格：
根據條件在相應的位置畫出√和×；
結合對應關系判斷(如一行一列有且只有一個√，那其他位置都是×)，在判斷不出的位置根據情況少的原則進行合理假設。
例1．在神話王國內，居民不是騎士就是騙子，騎士不說謊，騙子永遠說謊，有一天國王遇到該國的居民小白、小黑、小藍。小白說：“小藍是騎士，小黑是騙子。”小藍說：“小白和我不同，一個是騎士，一個是騙子。”國王很快判斷出誰是騎士，誰是騙子。請你分析并判斷：三人中 是騎士。（小白填1，小黑填2，小藍填3）
解：如果小白是騎士，則小白說：“小藍是騎士，小黑是騙子。”都是真的，那么小藍也是騎士，
而小藍說：“小白和我不同，一個是騎士，一個是騙子。”矛盾了，所以小白是騙子；
因為小白是騙子，所以他說的都是謊話，四小藍是騙子，小黑是騎士。
填2.
例2．小王、小張和小李一位是工人，一位是農民，一位是教師。現在只知道：小李比教師年齡大；小王與農民不同歲；農民比小張年齡小，則 是工人； 是農民； 是教師。
解：
小王
小張
小李
工人
×
√
×
農民
×
×
√
教師
√
×
×
容易推出，小李是農民，
再回到題中，農民小李比小張年齡小，農民小李比教師年齡大，
所以小張不是教師，小張是工人，小王是教師。
模塊二、容斥原理：
二量重疊：總量等于滿足一個條件的減去滿足兩個條件的，再加上滿足零個條件的；
三量重疊：總量等于滿足一個條件的減去滿足兩個條件的，加上滿足三個條件的加上滿足零個條件的。

例3．某校四年級有102人，其中50人去過北京，48個去過上海，35人去過廣州；17人去過北京和上海，8人去過北京和廣州，7人去過上海和廣州，3個地方都去過的有 1 人；只去過廣州的有 21 人。（班里每個人都至少去過上述一個地方）
解：設3個地方都去過的有x人，
則50+48+35?(17+8+7)+x=102，解得x=1，
其中去過廣州和北京的8人中有7人去過廣州，去過廣州和上海的7人中有6人去過廣州，
所以只去過廣州的有35?7?6?1=21（人）。
例4．在1到2004的所有自然數中，不是2、3、5的倍數的數有 個。
解：在1到2004中，是2的倍數的有1002個，是3的倍數的有668個，是5的倍數的有400個，
既是2的倍數，又是3的倍數的有334個，既是2的倍數，又是5的倍數的有200個，既是3的倍數，又是5的倍數的有133個，既是2的倍數，又是3和5的倍數的有66個，
所以不是2、3、5的倍數的數有2004?(1002+668+400)+(334+200+133)?66=535（個）。
模塊三、抽屜原理：
抽屜原理推廣到一般情況有以下兩種表現形式：
抽屜原理1：將多于n件的物品任意放到n個抽屜中，那么至少有一個抽屜中的物品不少于2件；
抽屜原理2：將多于mn件的物品任意放到n個抽屜中，那么至少有一個抽屜中的物品不少于(m+1)件。
例5．（1）向陽小學有730個學生，那么至少有 個學生生日是同一天。
（2）把十只小兔放進至多 個籠子里，才能保證至少有一個籠子里有2只或兩只以上的小兔。
解：（1）730÷12=60……10，所以至少有61個同學的生日是同一天；
（2）把十只小兔放進至多 9 個籠子里，才能保證至少有一個籠子里有2只或兩只以上的小兔。
例6．將400本書隨意分給若干名同學，每人至少分得1本，但是不許超過11本，那么至少有 個同學分到的書的本數相同。
解：1+2+3+……+11=66， 400÷66=6……4，所以至少有5名同學分到的書的本數相同。
隨 堂 練 習
1．四張卡片上分別寫著奧、林、匹、克四個字（一張上寫一個字），取出三張字朝下放在桌上，A、B、C三人分別猜每張卡片上是什么字，猜的情況見下表：
第一張
第二張
第三張
A
林
奧
克
B
林
匹
克
C
匹
奧
林
結果有1人一張也沒有猜中，1人猜中兩張，另1人猜中三張。那么這三張卡片上各寫著 ， ，
字。
解：假設A猜中三張，則B猜中兩張，而C猜中一張，矛盾；
假設B猜中三張，則A猜中兩張，C一張也沒有猜中，所以中符合題意。
所以這三張卡片上分別寫著“林”、“匹”、“克”。
2．甲說：“乙和丙都說謊。”乙說：“甲和丙都說謊。”丙說：“甲和乙都說謊。”根據三人所說，下面的結論
正確；
（1）三人都說謊；（2）三人都不說謊；（3）三人中只有一人說謊；（4）三人中只有一人不說謊；
解：假設（1）正確，則甲、乙、丙都沒說錯，與假設矛盾；???
假設（2）正確，則甲、乙、丙都說錯了，與假設矛盾；???
假設（3）正確，可是三個人都說有兩人說謊，即三人都說錯了，與假設矛盾；?
?? 假設（4）正確，推不出矛盾，符合題意。
3．在自然數列1、2、3、……、1000中，能被3或5整除的自然數有 個。
解：在1到1000中，能被3整除的有333個，能被5整除的有200個，同時能被3和5整除的有66個，
能被3或5整除的有333+200?66=467（個）。
4．某學校五年級1班，有20人參加了科技興趣小組，有17人參加了英語興趣小組，有9人兩個小組都參加了，那么有 人只參加了科技小組而沒有參加英語小組。
解：20?9=11，即有11人只參加了科技小組而沒有參加英語小組。
5．從1、2、3、……、100這100各個數中任意挑出51個數來，證明在這51個數中，一定有兩個數的差為50.
證明：把這100個數分成50組：（1、51）；（2、52）；（3、53）；……；（50、100），
從中挑出51個數，那么至少有2個數在同一小組，這兩個數的差為50.

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