資源簡介

《等比數列的概念與通項公式》教學設計
一、 教學內容解析
等比數列是學生學習了等差數列后的一個特殊而又重要數列, 是數列整個章節的重要組成部分. 等比數列與實際生活有密切的聯系, 如細胞分裂、銀行貸款問題等都可以用等比數列的知識來解決, 在這個過程中可讓學生體驗數學的實用性, 激發他們的學習興趣. 通過對等比數列的學習, 既是對等差數列學習的一種鞏固和提高, 也為學習等比數列前n項和奠定基礎. 而且在研究等比數列的過程中, 學生可以體驗類比思想、特殊到一般的數學思想、函數思想和方程思想等, 這些都可以提升他們分析問題解決問題的能力, 提升他們的學科素養.
二、 教學目標設置
1.知識與技能：理解等比數列的定義, 掌握等比數列的通項公式及推導過程.
2.過程與方法：在教學過程中, 讓學生觀察、動手體驗知識發生發展的過程, 增強學生在學習過程中的互相合作, 提高他們分析、類比猜想、歸納、證明的能力.
3.情感態度與價值觀：以國學經典作為導入, 激發學生學習數學的興趣與愛國主義熱情, 培養學生勇于探索敢于創新的精神, 養成細心觀察、認真分析、善于總結的良好思維習慣.
教學重點: 等比數列的定義及通項公式.
教學難點: 等比數列通項公式的推導過程.
三、學生學情分析
學生在學習等比數列前已經完成了對函數知識的學習和以及等差數列有關知識的學習, 但對于孫子算經里的問題還有些陌生, 不能用已學的等差數列來表示. 本課由此入手, 引發學生的認知沖突, 產生求知的欲望. 而研究等比數列的過程中學生可以類比等差數列的定義和性質去研究等比數列, 又是符合他們“跳一跳, 摘得到”的最近發展區. 另外, 高一學生正處于從初中到高中的過渡階段, 是他們從形象思維過渡到抽象思維的關鍵時期. 因此, 本堂課的教學設計一方面要遵循從特殊到一般的認知規律, 讓學生學會觀察、分析問題, 并嘗試自主解決；另一方面也重視邏輯推理、歸納概括能力的培養, 為后續的學習打下堅實的基礎. ?
四、教學策略分析
等比數列與等差數列較為類似, 可以利用類比的方式來學習等比數列. 如由等差數列的通項公式類比到等比數列的通項公式, 由累加法類比到累乘法等. 在這個過程中需要學生經歷從類比猜想到邏輯證明, 從特殊到一般, 從形象思維到抽象思維的過程, 培養學生發現問題、分析問題、解決問題的能力. 而在證明等比數列的過程中, 讓學生回歸課本定義, 訓練學生邏輯思維的嚴密性和深刻性, 提升他們的思維能力和數學學科的核心素養. ?
五、教學過程
（一）創設情境, 提出問題
（1）《孫子算經》中有這樣一個問題：出門見九堤, 每堤有九木, 每木有九巢, 每巢有九鳥, 每鳥有九雛, 每雛有九毛, 問共有幾堤, 幾木, 幾巢, 幾鳥, 幾雛, 幾毛, 幾色？ 可以構成怎樣的數列？
解答：9,92,93,94,95,96,97
（2）如下圖為謝賓斯基三角形, 著色的小三角形個數一次構成一個數列的前5項, 依此規律, 第6幅圖有多少個小三角形？可以得到怎樣的數列？如果假設第一幅圖中三角形的面積為1, 則圖中每幅圖中黑色面積又可以構成怎樣的數列？
解答：第6幅圖有個小三角形, 數列為
面積構成的數列為
設計意圖：以國學經典作為引入, 可以讓學生們從數學的角度去重新認識國學經典, 激起學生學習興趣和愛國熱情；謝賓斯基三角形在數列的遞推公式中已經碰到過, 但未點出是等比數列, 在這里介紹引入起到很好的前后呼應作用.
（二）自主探究, 引入概念
探究：上面的三個數列有什么共同點？
引入等比數列的概念: 一般地,如果一個數列,從第二項起,每一項與它的前一項的比都等于同一常數, 那么這個數列叫做等比數列.這個常數叫做等比數列的公比, 通常用字母q來表示(q≠0). 即
類比引入等比中項的定義:
等差中項
等比中項
如果a, A, b成等差數列, 那么A叫做a與b的等差中項.
即2A=a+b
如果a, G, b成等比數列, 那么G叫做a與b的等比中項.
即G2=a·b(a·b>0)
設計意圖: 在學生對等比數列有初步了解的基礎上,通過具體例子,經歷從特殊到一般的過程, 加深對概念的理解,培養學生辨證思維能力.
（三）深入探究, 合作學習
例1. 判斷下列數列是否為等比數列? 若是,找出公比;不是,請說明理由．
(1) 1, 4, 16, 32．
(2) 0, 2, 4, 6, 8.
(3) 1,－10,100,－1000,10000．
(4) 3, 3, 3, 3, 3.　　　　　
(5) a, a, a, a, a.
請以四人小組為單位, 合作討論, 并派代表發言.
解答：(1)不是；
(2)不是；
(3)是, 公比是-10；
(4)是, 公比是1；
(5) 當時不是等比數列；當時是等比數列, 公比是1.
設計意圖：前4個數列重在考察等比數列的定義, 其中第4個又為第5個做了鋪墊, 讓學生養成分類討論的好習慣, 讓學生自主思考公比能否為0.
練習1：已知數列的前n項和為,且,試判斷是否為等比數列.
解答：而,,則不是等比數列.
設計意圖：練一練旨在提醒學生利用求通項時需分類討論,并利用定義判斷是否為等比數列,是學生的易錯點所在.
探究：等比數列的通項公式:
提問: 在等差數列中an可以用a1和d表示, 類似地, 在等比數列中an可以用a1和q表示嗎?怎樣表示呢? 請同學們想想等差數列通項公式的推導過程, 試著推出等比數列的通項公式.
請以四人小組為單位, 合作討論, 并派代表發言.
法一：不完全歸納法
等差數列的通項公式
推導過程
等比數列的通項公式
推導過程
法二：累加(乘)法
等差數列的通項公式
推導過程
等比數列的通項公式
推導過程
累加法
累乘法
由定義式可得：（n-1）個等式
a2－a1=d
a3－a2=d
……
an－an-1=d
將上述式子累加得
an=a1+(n-1)d
由定義式可得：（n-1）個等式
……
將上述式子累乘得
an=a1qn-1
法三：迭代法
等差數列的通項公式
推導過程
等比數列的通項公式
推導過程
由定義式可得：
由定義式可得：
由以上方法可知：等比數列通項公式為： an= a1qn-1（a1, q≠0）, 以上方法均強調n=1時等式也成立, 養成嚴謹的思維態度.
設計意圖: 類比等差數列通項公式的推導過程, 讓學生通過不完全歸納法、迭代法和累乘法三種不同的方式得出等比數列的通項公式. 培養學生類比、猜想的能力, 在這個過程中學會知識、方法的遷移, 轉化難點.
試一試、請寫出引題中的三個數列的通項公式
解答：① ② ③
設計意圖：解決引題中的數列的通項公式, 前后呼應, 有始有終.
探究：在直角坐標系中, 畫出通項公式為的數列的圖象和函數的圖象, 你發現了什么？類似地, 在同一直角坐標系中, 畫出通項公式為的數列的圖象和函數的圖象, 并觀察等比數列和指數函數之間的關系.
請以四人小組為單位, 合作討論, 并派代表發言.
等比數列的圖象是相應函數圖象上的孤立的點.
設計意圖: 通過這個環節, 讓學生理解等比通項公式的圖象和相應函數的圖象的關系, 體現了函數思想.
（四）課堂演練, 思維碰撞
例2、一個等比數列的第3項與第4項分別是12與18, 求它的第1項與第2項.
解：設這個等比數列的首項是, 公比是q,
易得=16/3,=8
答：這個數列的第1項與第2項分別是,8.
設計意圖: 解決本題可采用啟發式和討論式教學方法. 啟發學生要求a1 , a2只要求出an, 而要求an只要求出a1,q, 使學生知道解決本題關鍵是求基本量a1,q.
追問：等比數列通項公式中涉及哪幾個量？
設計意圖：加強對通項公式的認識,用方程思想知三求一.
練習2、已知等比數列滿足求.
請以四人小組為單位, 合作討論, 并派代表發言.
法一：由知或均可解得.
法二：由, 得.
設計意圖: 本題從兩種方法來解決問題, 方法一, 基本量法, 使學生熟悉等比數列的通項公式, 體現了分類討論思想；方法二：本題并非必須解出, 而可以利用整體思想, 由解出, 提高學生靈活應用知識的能力.
練習3：已知數列的前n項和為,且
(1)設證明為等比數列;
(2)求的通項公式.
解答：(1)略；
(2) ,則，有
故數列是首項為, 公差為的等差數列,

設計意圖：本題通過鋪設臺階, 構造新數列的方法, 求出數列的通項公式, 考查了等比數列的定義與證明, 體現了數學的轉化思想, 也為后續的學習中, 利用待定系數構造新數列求通項公式埋下伏筆.
（五）歸納總結, 提高升華
1、通過本堂課的學習，你掌握了哪些新的知識、方法、技巧？
2、本堂課你“悟”到了哪些數學思想方法？
3、你有何心得和收獲？
知識內容
技巧方法
思想方法
等比數列的定義
等比數列的通項公式
等比中項
一、不完全歸納法、累乘法、迭代法
二、類比、歸納
三、基本量法、構造法
方程思想
整體思想
函數思想
轉化思想
分類討論思想
作業：教材P52 NO.1 NO.2 習題2.4A組
設計意圖：通過對本堂課的回顧, 讓學生重溫回憶知識點和過程方法, 有助于幫助他們加深記憶；對思想方法的點撥, 可以讓他們形成良好的認知結構的紐帶, 將知識轉化成能力, 培養他們的數學意識, 對數學的教學有著重要的促進作用.
（六）板書設計
等比數列的定義
等比中項的定義
等比數列的通項公式
練習1 練習3
練習3
課件17張PPT。等比數列的概念
與通項公式引題1：《孫子算經》中有這樣一個問題：出門見九堤，每堤有九木，每木有九巢，每巢有九鳥，每鳥有九雛，每雛有九毛，每毛有九色. 問有幾堤，幾木，幾巢，幾鳥，幾雛，幾毛，幾色？ 可以構成怎樣的數列？9,92,93,94,95,96,97引題2：如下圖為謝賓斯基三角形，著黑色的小三角形個數一次構成一個數列的前5項，依此規律，第6幅圖有多少個小三角形？可以得到怎樣的數列？
如果假設第一幅圖中三角形的面積為1，則每幅圖中黑色面積又可以構成怎樣的數列？探究：這三個數列有什么共同點？ (1)9,92,93,94,95,96,97等比中項的概念:如果a，G，b成等比數列，那么G叫做a與b的等比中項. 等比數列的概念: 一般地,如果一個數列,從第二項起,每一項與它的前一項的比都等于同一常數，那么這個數列叫做等比數列.這個常數叫做等比數列的公比，通常用字母q來表示(q≠0).引入概念例1. 判斷下列數列是否為等比數列?若是,找出公比;
若不是,請說明理由．
(1) 1, 4, 16, 32．
(2) 0, 2, 4, 6, 8.
(3) 1,－10,100,－1000,10000．
(4) 3, 3, 3, 3, 3.　　　　　
(5) a, a, a, a, a.(1)不是；
(2)不是；
(3)是，公比是-10；
(4)是，公比是1；合作探究合作探究在等差數列中an可以用a1和d表示, 類似地, 在等比數列中an可以用a1和q表示嗎?怎樣表示呢? 請同學們類比等差數列通項公式的推導過程，試著推出等比數列的通項公式. 探究：等比數列的通項公式合作探究n=1時等式也成立n=1時等式也成立n=1時等式也成立試一試：請寫出引題中的三個數列的通項公式首項為a1，公比為q的等比數列{an}的通項公式為通項公式(1)9,92,93,94,95,96,97探究：等比數列通項公式的圖象合作探究例2、一個等比數列的第2項與第3項分別是8與12, 求它的第6項.合作探究合作探究課堂小結 1、通過本堂課的學習，你掌握了哪些新的知識、技巧方法？
2、本堂課你“悟”到了哪些數學思想方法？
3、你有何心得和收獲？等比數列的定義
等比數列的通項公式
等比中項的定義一、不完全歸納法、
累乘法、迭代法
二、歸納、類比
三、基本量法、
構造法方程思想
整體思想
函數思想
轉化思想
分類討論思想《等比數列的概念與通項公式》課例點評
《等比數列的概念與通項公式》這堂課，以國學經典中的《孫子算經》作為引入，很好地激發了學生的興趣和愛國熱情。教學重點放在等比數列的定義及通項公式的推導上，首先讓學生回憶等差數列的定義和通項公式的推導過程，由此類比得到等比數列通項公式的求法，讓學生的思維產生碰撞，激活他們的主觀能動性，符合他們的最近發展區。在這個過程中，學生自主觀察、思考、分析、歸納并進行證明，很好地體現了學生在課堂中的主體地位，同時發展了他們的理性思維能力。學生在學習過程中相互交流、密切合作，對于他們自主探索，發現問題和解決問題能力的提高很有幫助。教師在課堂上適時拋出問題加以引導，使學生有的放矢，有針對性，明確自己下一步應該做什么。在上課的過程中，信息技術作為教學輔助手段，呈現出形象直觀與便捷的特點，充分展現出執教者優秀的運用能力。
當然課堂中也存在一些需要改進的地方，如有個別學生不太善于合作學習，應該思考一下如何更好地激發和培養他們的合作學習能力，以適應大時代的環境。再如數學思想的滲透如何做到潛移默化，讓學生自己“悟”出來，還需再下點功夫。

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