資源簡介

教學設計說明
《絕對值三角不等式》
教學內容解析：本節屬于選修4-5第一講第二塊絕對值不等式中第一節內容。《絕對值三角不等式》雖屬于選修內容，但近幾年特別受浙江高考、各高校自主招生、三位一體命題組的青睞。因此，本人覺得很有必要對此塊內容進行系統全面的研究。
此外，本節課問題本身具備代數與幾何兩個思考角度，能很好地體現數形結合的思想，讓學生深刻體會高中數學學習中概念、技巧、思想三個不同層次。
二、教學目標設置：
1、知識與技能
1、理解絕對值三角不等式的幾何意義；2、會用向量解釋絕對值三角不等式；
3、會用代數方法證明絕對值三角不等式；4、會用絕對值三角不等式解決有關問題
2、過程與方法
1.培養學生運用公式進行合理代數變形的能力。
2．通過學習，進一步理解數形結合的思想方法。
3、情感態度與價值觀
1.經歷絕對值三角不等式的公式推導過程，感受研究公式定理的一般思路與方法。
2.通過運用數形結合的思想方法，讓學生體會數學之美。
3.培養學生掌握基本概念、基本公式變形技巧、基本數學思想方法三個層次處理所有數
學問題的能力，以及遷移到生活中其他技能學習的類似方式。
三、學生學情分析
知識結構：學生初中就已經學過絕對值的概念及簡單幾何意義，能解簡單絕對值不等式，以及對向量概念、運算有基本了解。
能力結構：本節課雖然出自選修4-5，對高一學生在知識準備結構上亦是完整的。學生所缺的的對公式變形技巧的梳理以及對絕對值三角不等式與其他一些結合問題的翻譯能力。因此，教師要做的是從初次認識的懵懂，到再次熟識的套路化總結。
四、教學策略分析
本節課是按照數學概念生成、變形技巧梳理、思想方法歸納的三個流程展開教學。為了讓學生更好地理解高中數學學習方法，本節課從絕對值、不等式兩個概念出發，由簡到難，絕對值三角不等式的實數關系到向量關系，并從代數與幾何兩個角度推廣維度，有形象的幾何證明，也有嚴謹的代數推理，很好地體現了數形結合的數學思想。特別的，在變形技巧的梳理過程中，采用試誤、類比、遷移、套路的方式，逐步提高和鞏固學生處理復雜問題的能力，并在此過程中樹立學生學習數學的自信心！
五、教學過程：
教學目標：1：了解絕對值三角不等式的含義，理解絕對值三角不等式公式及推導方法， 會
進行簡單的應用。
2：充分運用觀察、類比、猜想、分析證明的數學思維方法，體會轉化和數形結合的數學思想，并能運用絕對值三角不等式公式進行推理和證明。
教學重點：絕對值三角不等式的含義，絕對值三角不等式的理解和運用。
教學難點：絕對值三角不等式的發現和推導、取等條件。
一、復習引入：
關于含有絕對值的不等式的問題，主要包括兩類：一類是解不等式，另一類是證明不等式。本節課探討不等式證明這類問題。
1．請同學們回憶一下絕對值的意義。
。
幾何意義：在數軸上，一個點到原點的距離稱為這個點所表示的數的絕對值。
2．證明一個含有絕對值的不等式成立，除了要應用一般不等式的基本性質之外，經常還要用到關于絕對值的和、差、積、商的性質：
（1），當且僅當時等號成立，當且僅當時等號成立。
（2）， （3）， （4）
那么
二、講解新課：
結論：（當且僅當時，等號成立.）
已知是實數，試證明：（當且僅當時，等號成立.）
方法一：證明:10 .當ab≥0時, 20. 當ab<0時,
綜合10, 20知定理成立.
方法二：分析法，兩邊平方（略）
定理1 如果是實數，則（當且僅當時，等號成立.）
（1）若把換為向量情形又怎樣呢？

根據定理1，有，就是，。 所以，。
定理（絕對值三角形不等式）
如果是實數，則
注：當為復數或向量時結論也成立.
推論1：
推論2：如果是實數,那么,當且僅當時,等號成立.
思考：如何利用數軸給出推論2的幾何解釋？
（設A，B，C為數軸上的3個點，分別表示數a，b，c，則線段當且僅當C在A，B之間時，等號成立。這就是上面的例3。特別的，取c＝0（即C為原點），就得到例2的后半部分。）
三、典型例題：
，

設計意圖：初步認識代數變形中“拆、整體代換”技巧。
變式2.設a、b∈R，關于x的方程x2+ax+b=0的實根為α、β，若|a|+|b|<1，求證：|α|<1，|β|<1.
設計意圖：初步認識絕對值三角不等式與其他知識的綜合問題，學會“翻譯—合理公式選用”這一處理問題流程，并了解“因式分解”技巧。
設計意圖：處理流程應用與鞏固，并掌握“消元”技巧。
1.若不等式|x-4|+|3-x|2.若|x+1|-|x-a|<2對任意實數x恒成立,則a的取 值范圍是_________.
3.若不等式|2x-1|+|x+1|≥a,(x∈R)恒成立,則常數a的取值范圍是_________.
設計意圖：絕對值幾何意義的直接應用，由簡到難，思維難度層層遞進，進一步強化“數形結合”這一數學思想，并讓學生體會不同角度思考中“秒題”的快感，并樹立學生學習數學的信心與樂趣！
課件13張PPT。2018年9月26日星期三絕對值三角不等式關于絕對值有什么運算性質呢?表示數軸上坐標為a的點A到原點O的距離.證明:10 .當ab≥0時, 20. 當ab<0時, 綜合10,20知定理成立.定理2 如果a、b、c是實數, --------那么|a-c|≤|a-b|+|b-c| 當且僅當
(a-b)(b-c) ≥0時,等號成立.定理3 如果a、b是實數, 那么
||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b| 當且僅當ab ≤0時,
等號成立.當且僅當ab ≥0時,
等號成立.拆整體代換變式2.設a、b∈R，關于x的方程x2+ax+b=0的實根為α、β，若|a|+|b|<1，求證：|α|<1，|β|<1.因式分解高考鏈接消元1.若不等式|x-4|+|3-x|這堂課選自全日制普通高級中學教科書人教A版選修4-5第1講第2節《絕對值不等式》第一課時。對于絕對值與不等式，學生在初中就已接觸過，并且，對向量學生在高一上學期也已有研究。有了一定的了解，因此對于本節課，葉老師主要按照概念復習、公式引出、技巧梳理、思想歸納、套路總結這一流程展開教學，整堂課自然完整，學生收獲頗豐！
主要優點有：1.思維難度由淺入深，絕對值三角不等式公式推導數形皆備，形象高效而又嚴謹科學；2.技巧引出有鋪設過程，有利于活躍較高一部分層次學生思維，更有遷移鞏固過程，有利于一般學生理解掌握；3.緊緊圍繞數與形兩個角度展開教學，有利于培養學生從不同角度看問題的良好習慣，更有利于讓學生體會數學中不同思維模式，對于解決問題的“神奇高效”方式。

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