資源簡介

3.1.1數系的擴充和復數的概念
教學目標：
1.知識與技能：了解引進復數的必要性；理解并掌握虛數的單位i
2. 過程與方法：理解并掌握虛數單位與實數進行四則運算的規律
3. 情感、態度與價值觀：理解并掌握復數的有關概念(復數集、代數形式、虛數、純虛數、實部、虛部) 理解并掌握復數相等的有關概念
教學重點：復數的概念，虛數單位i，復數的分類(實數、虛數、純虛數)和復數相等等概念；
教學難點：虛數單位i的引進及復數的概念．
學情解析：
數系的擴充與復數的引入是選修1，2與選修2－2的內容，是高中生的共同數學基礎之一．數系的擴充過程體現了數學的發現和創造過程，同時了解數學產生、發展的客觀需求，復數的引入是中學階段數系的又一次擴充．《課標》將復數作為數系擴充的結果引入，體現了實際需求與數學內部的矛盾在數系擴充過程中的作用，以及數系擴充過程中數系結構與運算性質的變化．這部分內容的學習，有助于學生體會理論產生與發展的過程，認識到數學產生和發展既有來自外部的動力，也有來自數學內部的動力，從而形成正確的數學觀；有助于發展學生的全新意識和創新能力．復數的內容是高中數學課程中的傳統內容．對于復數，《課標》要求 在 問 題 情 境 中了解數系的擴充過程，體會實際需求與數學內部的矛盾（數的運算規則、方程理論）在數系擴充過程中的作用，感受人類理性思維的作用以數與現實世界的聯系；理解復數的基本概念以及復數相等的充要條件；了解復數的代數表示法及其幾何意義；能進行復數代數形式的四則運算，了解復數代數形式的加、減運算的幾何意義。
教學策略：
本著“以學 生為主體，教師為主導”的理念，采用探 究式教學方法，按 照提 出問題，思考、流進而分析得出結論的方法進行啟發式教學。本節課主要采用“問題發現”與“討論探究”等方式組織教學，凸顯學生的主體地位，讓教師成為活動的組織者、引導者、合作者，課堂展示學生的研究過程來激發學生的探索勇氣。并靈活運用多媒體輔助教學，增強教學的直觀性，激發學生的學習興趣。
教法分析：
本節課的教學是一個教師“導”，學生學及其教學中的“悟”為三個子系統組成多樣性的和諧體。教師的“導”也就是教師的啟發，誘導，激烈，評價等為學生打下支架，把學習的任務轉移給學生。“學”就是學生接受任務，看見問題，完成任務。在教學中把教與學完美的結合，那就是以問題為核心，利用問題驅使。本節課我通過問題引導，小組合作來完成目標。
教學過程設計
（一）、情景引入，激發興趣。
【引入背景】 ：數的概念是從實踐中產生和發展起來的.早在人類社會初期，人們在狩獵、采集果實等勞動中，由于計數的需要，就產生了1，2，3，4等數以及表示“沒有”的數0.自然數的全體構成自然數集N為了解決測量、分配中遇到的將某些量進行等分的問題，人們引進了分數；為了表示各種具有相反意義的量以及滿足記數的需要，人們又引進了負數.這樣就把數集擴充到有理數集Q.顯然NQ.如果把自然數集(含正整數和0)與負整數集合并在一起，構成整數集Z，則有ZQ、NZ.如果把整數看作分母為1的分數，那么有理數集實際上就是分數集
有些量與量之間的比值，例如用正方形的邊長去度量它的對角線所得的結果，無法用有理數表示，為了解決這個矛盾，人們又引進了無理數.所謂無理數，就是無限不循環小數.有理數集與無理數集合并在一起，構成實數集R.因為有理數都可看作循環小數(包括整數、有限小數)，無理數都是無限不循環小數，所以實數集實際上就是小數集
因生產和科學發展的需要而逐步擴充，數集的每一次擴充，對數學學科本身來說，也解決了在原有數集中某種運算不是永遠可以實施的矛盾，分數解決了在整數集中不能整除的矛盾，負數解決了在正有理數集中不夠減的矛盾，無理數解決了開方開不盡的矛盾.但是，數集擴到實數集R以后，像x2=－1這樣的方程還是無解的，因為沒有一個實數的平方等于－1.由于解方程的需要，人們引入了一個新數，叫做虛數單位.并由此產生的了復數
【引入方式】
(1)在自然數集內解方程x＋2＝0． 答： 無解。添加負整數，在整數集內方程的根為x＝－2．
　(2)在整數集內解方程3x－2＝0．
答：無解。添加分數，在有理數集內方程的根為
(3)在有理數集內解方程x2－2＝0．
答：無解。添加無理數，
(二)、探究新知，揭示概念
1，自然數，整數，有理數，實數（每一步引入了新的數）
2，關系：NZQR
3，探索：在實數集范圍內解方程：x2+1＝0
x2＝-1沒有實數解（能否將實數集進行擴充，使得在新數集中，該問題能得到圓滿解決呢？）
引入一個新數:使它的平方等于-1，即　;
4，i的歷史：
1）1545年，卡爾丹在《大衍術》中寫道：“要把10分成兩部分，使二者乘積為40，這是不可能的，不過我卻用下列方式解決了．

能作為“數”嗎？ 1637年，法國數學家笛卡爾把這樣的數叫做“虛數”
2）1777年 歐拉首次提出用i表示平方等于-1的新數
3）1801年 高斯系統使用了i這個符號 使之通行于世．
（三）、分析歸納，抽象概括
1.虛數單位:
(1)它的平方等于-1，即　;
(2)實數可以與它進行四則運算，進行四則運算時，原有加、乘運算律仍然成立.
2. 與－1的關系: 就是－1的一個平方根，即方程x2=－1的一個根，方程x2=－1的另一個根是－!　
3. 的周期性：4n+1=i, 4n+2=-1, 4n+3=-i, 4n=1
4.復數的定義：形如的數叫復數，叫復數的實部，叫復數的虛部全體復數所成的集合叫做復數集，用字母C表示*　
3. 復數的代數形式: 復數通常用字母z表示，即，把復數表示成a+bi的形式，叫做復數的代數形式
4. 復數與實數、虛數、純虛數及0的關系：對于復數，當且僅當b=0時，復數a+bi(a、b∈R)是實數a；當b≠0時，復數z=a+bi叫做虛數；當a=0且b≠0時，z=bi叫做純虛數；當且僅當a=b=0時，z就是實數0.
5.復數集與其它數集之間的關系：NZQRC.
　
（四）、知識應用，深化理解
例1請說出復數的實部和虛部，有沒有純虛數？
答：它們都是虛數，它們的實部分別是2，－3，0，－;虛部分別是3，，－，－;－i是純虛數.
練習1：說明下列數中，那些是實數，哪些是虛數，哪些是純虛數，并指出復數的實部與虛部
例2實數m取什么數值時，復數z=m+1+(m－1)i是:
(1)實數？ (2)虛數？ (3)純虛數？
［分析］因為m∈R，所以m+1，m－1都是實數，由復數z=a+bi是實數、虛數和純虛數的條件可以確定m的值.
解：(1)當m－1=0，即m=1時，復數z是實數；
(2)當m－1≠0，即m≠1時，復數z是虛數；
(3)當m+1=0，且m－1≠0時，即m=－1時，復數z 是純虛數.
練習2：　 當m為何實數時，復數　是
（1）實數？ （2）虛數？ （3）純虛數？
思考1　 a ＝ 0 是 z ＝ a ＋ b i(a，b?R)為純虛數的_________ 條件.
思考2　復數z ＝ 1-m ＋（n+1）i，當m和n為何值時,復數 z 和 6＋2i 相等？
歸納概括
兩個復數相等的定義：如果兩個復數的實部和虛部分別相等，那么我們就說這兩個復數相等
這就是說，如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+dia=c，b=d　
復數相等的定義是求復數值，在復數集中解方程的重要依據　一般地，兩個復數只能說相等或不相等，而不能比較大小.如3+5i與4+3i不能比較大小.
如：現有一個命題：“任何兩個復數都不能比較大小”對嗎？不對　如果兩個復數都是實數，就可以比較大小　只有當兩個復數不全是實數時才不能比較大小　
例4　已知(2x－1)+i=y－(3－y)i，其中x，y∈R，求x與y.
解：根據復數相等的定義，得方程組，所以x=，y=4
練習3：若(2x2－3x－2)＋(x2－5x+5)i＝-i，求x的值.
練習4：
（五）、歸納小結、布置作業
布置作業：課本第106頁 習題3.1 1 , 2 , 3；
課件19張PPT。3.1.1數系的擴充和復數的概念 (1)在自然數集內解方程x＋2＝0．

　　(2)在整數集內解方程3x－2＝0．
　　(3)在有理數集內解方程x2－2＝0．
無解．添加負整數，在整數集內方程的根為x＝－2． 數集擴充到了實數集問題情境數系的擴充用圖形表示包含關系：引入新數學生活動沒有實數解1637年，法國數學家笛卡爾把這樣的數叫做“虛數”i的歷史 引入一個數 i ，把 i 叫做虛數單位，并且規定：
（1）i2＝－1；
（2）實數可以與 i進行四則運算，在進行四則運算時，原有的加法與乘法的運算律(包括交換律、結合律和分配律)仍然成立． 復數　形如a＋bi(a，b∈R)的數叫做復數.復數集　全體復數所形成的集合叫做復數集，一般用字母C表示 .知識建構復數的代數形式：通常用字母 z 表示，即
復數a＋bi例1寫出下列復數的實部與虛部，并指出哪些是實數，哪些是虛數，哪些是純虛數.　　說明下列數中，那些是實數，哪些是虛數，哪些是純虛數，并指出復數的實部與虛部．練習1例2　實數m取什么值時，復數 　　　　　　　　是

（1）實數？ （2）虛數？（3）純虛數？　　　　
　 當m為何實數時，復數　　　　　　　　　　　　是
（1）實數？ （2）虛數？ （3）純虛數？練習2思考1　 a ＝ 0 是 z ＝ a ＋ b i(a，b?R)為純虛數的

條件. 思考2　復數z ＝ 1-m ＋（n+1）i，當m和n為何值時,復數 z 和 6＋2i 相等?必要而不充分 如果兩個復數的實部和虛部分別相等，那么我們就說這兩個復數相等．若(2x2－3x－2)＋(x2－5x+5)i＝-i，求x的值.練習31．說明下列復數的實部和虛部,并指出哪些是實數,哪些是虛數,哪些是純虛數。2 已知
其中求x與y?3，Z=i+i2+i3+i4 的值是（ ）
A. -1 B . 0 C . 1 D . i練習41-2i，1+ ，2+ ，i sin ，7+（ -2）i 1.虛數單位i的引入；小結謝謝大家！ “數系的擴充和復數的引入”課例反思
本節課是在學生充分了解實數的相關概念和法則后，為了解決實際問題的需要，添加新的數構建成復數集的。數系的擴充過程體現了數學的發現和創造過程，同時了數學產生、發展的客觀需求，復數的引入是中學階段數系的又一次擴充。
本節課的目標是了解引進復數的必要性；理解并掌握虛數的單位i 及與實數進行四則運算的規律 ，理解并掌握復數的有關概念(復數集、代數形式、虛數、純虛數、實部、虛部) 理解并掌握復數相等的有關概念。
在課堂教學中，教師本著“以學 生為主體，教師為主導”的理念，采用探 究式教學方法，按 照提 出問題，思考、流進而分析得出結論的方法進行啟發式教學。本節課主要采用“問題發現”與“討論探究”等方式組織教學，凸顯學生的主體地位，讓教師成為活動的組織者、引導者、合作者，課堂展示學生的研究過程來激發學生的探索勇氣。
本節課的亮點有二：1，復數概念的引入及i的歷史背景，激發了學生的興趣和探知欲，效果明顯。2，復數相關概念的理解和掌握，通過比較練習，充分發揮學生的積極性，做，講，鞏固，都交由學生來完成。值得改進的地方有三：1，i和復數概念的引入必要性分析不夠，學生感受不夠強烈。2，數學思想和方法的提煉不夠。3，立足于學生數學核心素養的培養不足，過于強調數學的運算性，數學抽象和數學建模方面可以試著探索。

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