資源簡介

2．1離散型隨機變量及其分布列
離散型隨機變量及其分布列（第1課時）
（人教A版高中數學教材選修2-3）
2017年3月
教學設計
一、教學內容解析
本節課是普通高中人民教育出版社A版《數學》（選修2-3）中第二章《隨機變量及其分布》第一節“離散型隨機變量及其分布列”的第一課時．
引入隨機變量的目的是為了更好地研究隨機現象發生的規律以及所有隨機事件發生的概率，而離散型隨機變量的分布列完全描述了由這個隨機變量所刻畫的隨機現象．對隨機變量的概率分布的研究，實現了隨機現象數學化．學生在必修模塊中已經學習了“隨機事件”，“基本事件”，“古典概型”等相關知識，對隨機現象有了一定的知識儲備.本節課通過兩個核心問題敘述了從隨機試驗結果到隨機變量的映射關系與建立了從隨機變量到概率值的函數關系,目的是將實際問題數字化，以便于用數學工具更好地研究問題，進一步體會數學建模的思想. 教師的重要作用體現于培養學生“數字化”觀察事物，把研究對象進行“數字化”處理，進而用數學的基本思想方法加以分析．本節課的主要任務是介紹兩個概念:一是隨機變量;二是隨機變量的概率分布列.而離散型隨機變量和其對應的概率之間是一種函數關系，因此可以類比函數來研究. 教師引導學生用數學的思維分析問題，用數學的思想方法解決問題. 通過類比函數的表示方法，獲得對“離散型隨機變量的分布列”模型的初步認識，再從這些具體實例中抽象概括出離散型隨機變量的分布列的一般定義并進一步探索性質(概率值的特點),在概念得出的過程中，可以培養學生的抽象概括能力.
因此，本節課的教學重點在于：理解隨機變量與離散型隨機變量分布列的概念，理解分布列對于刻畫隨機現象的重要性(直觀準確).
二、教學目標設置
1．通過具體實例引導學生理解隨機變量與離散型隨機變量的概念以及離散型隨機變量分布列的概念;理解分布列對于刻畫隨機現象的重要性；類比函數的幾種表示法學習離散型隨機變量的表示方法；探索離散型隨機變量分布列的性質．在教學中,教師注重揭示相關知識的數學本質,給學生以潛移默化的作用.
2．通過學生的動手操作,自主探究，進一步體會數學抽象、數學建模的思想，培養學生抽象概括能力．
3．通過數字化、類比、建模等一系列數學思維構建活動，體會處理隨機現象的基本方法. 在解決實際問題的過程中，同學們加深對有關數學概念本質的理解，認識數學知識與實際的聯系.
4．通過創設情境調動學生參與課堂的熱情，激發學生學習數學的情感,態度與價值觀，從而建立學習數學的自信．
三、學生學情分析
（一）學生程度
我所授課的對象是奉化高級中學高二10班的學生．學生的水平一般，基礎知識掌握尚可，理解能力方面有所欠缺,雖然已經經歷了必修模塊概率知識的學習，但對數與隨機現象的聯系仍處于初期階段，一些數學方法和數學思想落實還不夠到位．
（二）知識層面
學生學習過概率相關知識(隨機事件,基本事件,古典概型)
（三）能力層面
1．具有一定的數學抽象能力；
2．具有一定的數學建模基礎．
【教學重點】1.理解隨機變量,離散型隨機變量的概念;
2.理解離散型隨機變量分布列的概念和性質。
【教學難點】1.如何將隨機試驗的結果進行數字化;
2.如何運用數字化的結果.
四、教學策略分析
《高中數學課程標準》倡導自主探索、動手實踐、合作交流等學習方式．根據本節課的教學內容以問題串驅動整個課堂的進行，采用啟發、引導、探究相結合的教學方法．
首先從“數字化時代”入手,這是學生非常感興趣的話題,而隨機變量這個概念的建立正是基于隨機試驗結果數字化表示,開頭新穎又能引向知識的本質.進而通過學生的學號引出數字化描述的第一種形式:概率.回顧必修3中已經學習的概率知識中的三個概念，并進一步提出后續問題，即“基本事件本身與數字之間也有著密切的聯系”，通過種樹苗,擲骰子,次品抽樣為背景,引導學生體會對于隨機現象,其試驗結果可以進行數字化.通過游戲的形式讓學生理解用于表示隨機試驗結果的數字不唯一,選取時應當恰當,同時讓學生體會隨機試驗結果數字化的兩種構建模式,一是自然對應;二是人為建立.通過問題引導學生理解用字母表示數,體會字母其實是一個變量.引入隨機變量的目的是為了更好地研究隨機現象,如何用隨機變量表示隨機事件,為此,需要約定表示,思維的形成循序漸進,順理成章.類比函數的表示方法，研究離散型隨機變量分布列的表示方法，進而抽象概括隨機變量分布列的概念；探索離散型隨機變量的性質，并辨析概念.通過小組合作交流，同桌協作探究的方式，借助多媒體等信息技術手段，為學生的數學探究與數學思維提供支持.
五、教學過程
FS演示圖片1:課前呈現
FS演示圖片2：同學們,有沒有聽說過數字化時代?現在我們有了數字化電視,數字化醫療,數字化課堂等等.馬克思有句名言說的是一門科學,只有當它成功地運用數學時,才算達到了真正完善的地步!是的,當一種事物或者一種狀態,如果能夠用數字來表述的話,不僅簡潔明了,而且還能加以運算,使得問題的研究達到一種新的高度.其實,就數學內部而言,將研究對象進行數字化的做法比比皆是.比如,我現在提出一個問題,然后隨機地請一位同學來回答我的問題,那么我點到學號為10號同學的可能性大小能用一個什么數字來描述?這涉及了什么數學知識?說到概率,不妨回放一下必修3中所學的幾個概念.
FS演示圖片3: 課前呈現
FS演示圖片4：不知同學們有沒有注意過這樣一個事實:在隨機試驗中,除了概率值是一個數字以外,很多情況下基本事件本身也與數字有著密切的聯系.對于這些隨機現象,其試驗的結果都可以用數字來描述,并且隨著試驗結果的變化而取不同的數值.數學家們正是抓住了這一點點的聯系,就想到把隨機試驗的結果進行數字化,這正是本節課研究問題的一個基本思想.
FS演示圖片5：作為<選修2-3>第二章的起始課,本節課我們將要學習的是離散型隨機變量及其概率分布列.在這堂課中,我們將致力于研究這樣兩個核心問題:
①.如何對隨機試驗的結果進行數字化？
②.如何運用這個數字化的結果？
FS演示圖片6：請同學們以桌為單位來完成游戲1，同時在白紙上記錄該試驗結果.
教師提問:為什么試驗結果會不同？
學生作答:因為隨機試驗的結果是隨機發生的.
現在我們完成游戲2，每桌擲硬幣5次，請記錄試驗結果.
教師提問:這樣的試驗結果是否也可以用數字表示？
學生作答:可以,用1表示正面向上,0表示反面向上.
教師提問：還能用其他數字來表示這個試驗的結果嗎？
學生作答:可以,用1表示正面向上,2表示反面向上.
用于表示隨機試驗結果的數字不唯一，這就要求我們選取恰當的數字區表示隨機試驗.同學們，如果說擲骰子試驗結果很自然地對應著一個數字的話,那么擲硬幣的試驗結果與數字之間的對應關系則是人為建立起來的.
FS演示圖片7：下面我們來思考這樣的一個問題(字母表示).
在初中我們就曾學過用字母表示數.在擲骰子試驗中，一個字母就表示6種情形.也就是說,字母都對應著隨機試驗,雖然它能取哪些值是確定的,但在一次具體餓試驗之前又不能確定它到底取什么數值.因此,字母其實是一個變量,而這個變量又是用來表示隨機試驗的,所以,我們將它稱為隨機變量.這樣,我們就得到了隨機變量的描述性定義.
FS演示圖片8：引入隨機變量的目的是為了更好地研究隨機現象，那么如何通過隨機變量表示所關心的隨機事件呢？為此，我們約定表示.為了能簡化書寫,我們將文字部分省略.(變式1學生作答)
有了隨機變量的表示,我們就搭建起了連接數與隨機現象的橋梁.通過上面的三個例子我們發現隨機變量所有取值個數是有限的并且可以被一一列出，這樣的隨機變量稱為離散型隨機變量.
變式2學生作答:不是,取值無法一一列出.
教師提問:如果用取值范圍表示,應該是一個什么樣的區間呢?
這與上面我們討論的隨機變量不一樣,是一個連續的區間,這樣的隨機變量稱為連續性隨機變量.本章我們只研究離散型隨機變量的相關問題.
FS演示圖片9：我們指定隨機事件與指定隨機變量取值的概率.教師板演
FS演示圖片10：回顧剛才所做的工作,我們實際上建立了兩種對應關系,其一:將基本事件對應到隨機變量;其二:將隨機變量對應到概率值.如果我們把基本事件構成的集合記為A,把隨機變量Y的取值構成的集合記為B,再把對應的概率值構成的集合記為C,引導學生類比函數來研究隨機變量.函數關系可表述為,對于函數,想到了哪幾種表示方法?板演三種表示方法:解析式,表格,圖像.
通過比較,刻畫隨機變量與概率值之間的函數關系最直觀準確是哪種表示方法?(表格法)
FS演示圖片11：因此,我們定義:一般地,若離散型隨機變量X可能的取值為，X取每一個值的概率,以表格的形式呈現,上述的表格稱為離散型隨機變量X的分布列,簡稱X的分布列.事實上,解析式,圖像同樣也可以用來表示離散型隨機變量X的分布列.
FS演示圖片12：通過所學知識解決生活實例,請學生在白紙上恰當地定義隨機變量并寫出隨機變量的概率分布列.（學生板演,教師分析）
引導思考如何求隨機變量X的概率分布列?定數字,求概率,寫分布.
FS演示圖片13：通過觀察,并結合概率知識,對于離散型隨機變量分布列中的概率值,教師引發學生思考它的特點(性質):非負性，可列可加性.通過具體例子辨析離散型隨機變量分布列的性質.
FS演示圖片14：把“遇見我的三生三世”作為本節課的課堂小結.
論前世:我們回顧一下剛開始所提出的兩個核心問題:
如何對隨機試驗的結果進行數字化?關鍵在于用恰當地數字表示.
如何運用這個數字化的結果?
一方面,它表示了基本事件；另一方面,它又對應了概率值.
論今生：本堂課設計了三個環節:
首先,將隨機試驗的結果進行數字化;
其次,由這些數字聯想到了字母表示;
最后,我們建立了隨機變量與概率值之間的函數關系.
論后世:通過學習與交流,相信同學多多少少會有些感悟!我覺得最有啟發的是實現了數學思維的三次飛躍:
從定性到定量,從靜態到動態,從孤立到聯系.
遇見我的三生三世,下一次,我們不見不散!
教學點評
離散型隨機變量的分布列（第1課時）
夏老師是奉化高級中學的一名青年教師.作為人教A版選修2-3第二章第一節的第一課時《離散型隨機變量及其分布列》這節課有很多亮點，主要表現在以下幾方面:
1.注重教學三維目標
就數學學科而言,課堂內容一般會涉及到數學知識內容:數學本質,數學思維,數學方法等,同時也體現情感,態度,價值觀,具體體現于對學科的追求,對數學學習過程中非智力因素的開發.
2.揭示數學知識的本質
對于同一知識的再次學習,不是簡單地重復,而是體現了螺旋式上升.教師教學形式,內容設計,組織方式不同,學生對其本質的認識也不同.理解數學知識的意蘊是形成數學學科核心素養的前提.夏老師在對教材的精準解讀后，確立了正確的教學目標，通過具體實例，旨在培養學生的數學抽象素養.本節課首先從“數字化時代”入手,這是學生非常感興趣的話題,而隨機變量這個概念的建立正是基于隨機試驗結果數字化表示,開頭新穎又能引向知識的本質.對于分布列這一概念,以函數的概念作為鋪墊,在研究函數表示方法的基礎上自然地構建.這是對教材解讀的一個非常獨到之處.
3.提煉數學思維方式
在數學教學中,教師不僅要時刻揭示數學思想方法,還要注重提煉一些非數學化的思維方式,給予學生思維的一些啟發.本節課的課堂小結中提到的數學思維的三次提升:從定性到定量,從靜態到動態,從孤立到聯系,可見對教材內容挖掘的深度.本節課充分體現了“以學生為主體，以教師為主導”的教學理念，整節課教師給學生留出了足夠的動手操作、獨立思考和合作探究的時間與空間，學生的主體地位得到了體現，思維能力也得到了訓練.
美中不足的是,夏老師僅僅注重了自身對問題的研究,多少還是有點牽著學生鼻子走的味道,如果在課堂上能夠讓學生自己提出問題,解決問題將會使這堂課更加精彩.

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