資源簡介

二、小數

101.小數是怎樣定義的？
　　把分母是10、100、1000、……的十進分數.改寫成不帶分母形式的數，叫做小數。

　　。象0.1、0.07、2.23、30.079 都是小數。小數中間的圓點“.”叫做小數點。小數點的左邊的部分叫做整數部分，小數點的右邊部分叫做小數部分。如2.23，“2”是整數部分，“23”是小數部分；30.079，“30”是整數部分，“079”是小數部分。整數部分是零的小數叫做純小數。純小數比1小，如0.1、0.07是純小數；整數部分不為零的小數叫做帶小數。帶小數比1大，如2.23、30.079是帶小數。
　　根據小數的定義可知，認識小數應在認識分數之后，但是，目前小學數學教材里一般把小數的認識分為兩個階段：第一階段通過認識貨幣、商品標價，讓學生有個初步的認識，不包括十進分數的意義。第二階段由十進復名數借助直觀教具進行抽象概括，使學生認識小數的本質是十進分數。
102.怎樣理解小數數位和小數計數單位？
　　在一個小數中，小數部分的各數位，叫做小數數位。小數數位有十分位、百分位、千分位、萬分位……。小數部分從小數點算起， 右邊第一位叫做十分位，也可以叫做小數第一位。如6.83的“8”就在十分位上。小數點右邊第二位叫做百分位，也可以叫做小數第二位。如6.83中的“3”就在百分位上。小數點右邊第三位叫做千分位，也可以叫做小數第三位。如4.095中的“5”就在千分位上。
　　小數的計數單位是：在一個小數部分中，十分位上的數字，它的計數單位是十分之一；百分位上的數字，它的計數單位是百分之一；千分位上的數字，它的計數單位是千分之一；……
　　下面列出整數和小數數位順序表：

　　這個數位順序表，是讀、寫小數的依據，是小數四則計算法則的依據，應該使學生熟練掌握。
103.怎樣讀小數和寫小數？
　　小數的讀法有兩種：
　　（1）直讀法：先讀出整數部分（按照整數的讀法），再讀小數點（讀作“點”），最后讀出小數部分（按照從左到右的順序讀出各位的數字）。
　　例如：436.25，讀作四百三十六點二五；0.875，讀作零點八七五；0.009，讀作零點零零九。
　　用直讀法時，應當注意：小數部分的讀法是從左到右的順序讀出各位數字，而不讀出數位的名稱。此外，遇到小數部分連續有幾個零和末尾的零都要一一讀出來，不能漏讀。例如：0.006讀作零點零零六，0.40讀作零點四零。
　　（2）按照分數的讀法來讀：

　　法有助于理解小數的意義。但是考慮到這時小學生對于分數還只有初步的認識，這種讀法難度較大，所以應不作要求。可以通過小數與分數的相互改寫使學生進一步理解。
　　寫小數時，整數部分按照整數部分的寫法來寫（整數部分是零的就寫“0”），小數點要寫在整數部分的個位的右下角，小數部分順序寫出每一位上的數字。小數點不可寫得“居中”，免得與乘號“·”相混。要特別細心，不得把小數點的位置點錯，假如點錯了位置，那就要相差10倍、100倍、1000倍、……。
　　例如：七點八五，寫作7.85；零點六八，寫作0.68；四十點零零二，寫作40.002；三百點零五，寫作300.05。
104.“幾位小數”的稱呼是怎樣規定的？
　　一個數的小數部分在幾個數位上有數字，就叫作幾位小數。不管它的整數部分有多少位。如：8.025、0.004都是三位小數，71.6、0.2都是一位小數。
　　小數的“位數”的概念，在學習小數四則計算和取小數的近似值時經常要用到。教學時，要讓學生把數位、數位上的數和位數區分開來，隨時糾正學生口頭敘述時出現的錯誤，要注意區分“一位數”與“一位小數”，“兩位數”與“兩位小數”，使學生理解“幾位小數”只與小數部分有幾位有關系，而與整數部分沒有關系。
105.給數軸上的點標數，給已知數在數軸上找對應點，目的是什么呢？
　　用數軸上的點表示小數，可以使學生對小數的認識進一步抽象化。小數和整數一樣，都是數。每個整數在數軸上都可以找到與它相對應的一個點，每個小數也都可以在數軸上找到與它相對應的一個點。使學生把小數這樣的數納入他們已有的關于數的認知結構之中。通過這樣的練習，除可以使學生對小數的認識更加抽象化之外，還可以使學生進一步認識小數同整數1的關系。
　　例如：用箭頭指0.2、0.5、0.95、1.6及2.35各數在數軸上的位置。

　　對于這道題里的兩位小數，如0.95、2.35，學生可能想到：這個百分之九十五，要在100份中取95份，而在數軸的0與1之間只均分10份（如圖），若按照圖上的份數去找，總也沒有100份，從哪里去取這95份呢？當小學生找不著0.95的對應點的時候，我們可以發現，學生還沒有弄清楚小數（指純小數）同整數1的關系。
　　通過這樣的練習，可以使學生認識到：凡是純小數，十分之幾也好，百分之幾也好，千分之幾也好，萬分之幾也好，它們在直線上的對應點總是在0與1之間。
　　雖然在所畫出的圖上，0與1之間只均分10份，但是，可以引導學生想：每一份還可以再均分為10份，這樣，整數1就被分成100份了。還可以再均分，再均分，……“1”就被均分成1000份、10000份了。這樣，可以豐富學生的想象力，發展學生的思維能力，對小數加深認識。
106.你知道小數有哪些性質？
　　小數的性質有以下兩條：
　　（1）小數的末尾添零或去掉零的性質。
　　小數的末尾添上“0”或去掉“0”，小數的大小不變。
　　例如：0.45=0.450 0.45=0.4500
　　9.600=9.6 9.600=9.60
　　小數的這條性質在除法運算中很有用處。當一個小數被另一個數除而除不盡時，可以在被除數的末尾添零繼續除下去。當一個整數被另一個數除而除不盡時，也可以先點小數點，后添零繼續除下去。這些添零的作法就是根據這條性質。
　　（2）小數點左右移動的性質。小數的小數點向右移動一位，小數就擴大10倍；向右移動二位，小數就擴大100倍；向右移動三位，小數就擴大1000倍；……；小數點向左移動一位，小數就縮小10倍；向左移動二位，小數就縮小100倍；向左移動三位，小數就縮小1000倍；……。
　　例如 8.625的小數點向右移動一位得86.25，它比8.625擴大10倍。
　　同樣的，8.625的小數點向右移動二位得862.5，它比8.625擴大100倍。
　　又如：8.625的小數點向左移動一位得0.8625，它比8.625縮小10倍。同理，0.08625比8.625縮小100倍。
　　小數的這條性質在運算中也很有用處。例如，一個小數乘以10、100、1000、……時，只要把小數點向右移動一位、二位、三位、…… 就可以了；一個小數除以10、100、1000、……時，只要把小數點向左移動一位、二位、三位、……就可以了。
　　整數可以看作是小數部分為“0”的小數。例如，75可以寫成75. 0，如果75. 0乘以10，可以把小數點向右移動一位，得750；如果 75.0除以 10，可以把小數點向左移動一位，得 7.5；等等。
107.你會比較小數的大小嗎？
　　比較兩個小數的大小時，分兩步進行。
　　首先，比較兩個小數的整數部分。整數部分大的小數比較大。
　　其次，整數部分相等時，看小數部分。十分位上的數字比較大的小數較大。十分位上的數字相同時，比較百分位上的數字，百分位上的數字比較大的小數較大。百分位上的數字相同時比較千分位，……這樣比較下去，如果所有小數部分的各位數字都相同，那么這兩個小數相等。
　　例如：54.27＞50.98
　　54.27＞54.268
　　54.27=54.27
　　總之，小數的大小比較方法和整數的大小比較在原則上是完全一樣的，即最高位上的數大的那個數較大；最高位上的數相同，則次高位上的數大的那個數較大，……。若所有數位上的數都相同，則兩個數相等。但在整數中，位數多的數一定較大，而在小數中，卻不一定。例如，0.256雖是三位小數，它比兩位小數0.42小。
108.怎樣理解“四舍五入法”？
　　四舍五入法是截取近似數的一種方法。當把一個數精確到某個數位時，如果這個數位右邊相鄰數位上的數字所表示的數小于5，則把這個數位右邊所有數字去掉，而這個數位上的數字不變，這叫四舍；如果這個數位右邊相鄰數位上的數字所表示的數等于或大于5，則把這個數位的數字加1，這叫五入。
　　例如：3.14159≈3.14（四舍）
　　3.14159≈3.142（五入）
109.怎樣理解準確數與近似數？
　　準確數--在計數、度量和計算過程中，有時得到和實際絲毫不差的真實數值，這種數叫準確數。例如35÷5=7；六年級學生共89人等都是準確數。
　　近似數--在計數、度量和計算過程中，大多數情況下，得到的是與真實數值相近而有一些誤差的數（如 22÷7≈3.14），這種數叫作近似數。例如，在度量的時候，由于受到度量工具的精確度和度量技能的限制，或者不需要很精確，這時只能得到一個近似數。比如，一段公路7300米長，7300這個數就是一個近似數。在計算的時候，有時只需要或者只能得到一個與實際大體相符的近似數。例如，23÷3≈7.67，這個商就是近似商。一個近似數，可以用它的不足近似值與過剩近似值表示。
　
　
　　精確到0.1，0.01，0.001，……的不足近似值；如果在上述各數的末一位
　
　　精確到0. 1，0.01，0.001，……的過剩近似值。
110.在求近似數時，有時使用“進一法”，有時使用“去尾法”，這是怎么一回事兒？
進一法--在截取數的近似值時，把舍去的部分去掉后，在保留部分的末位上加1，這種截取數的近似值的方法，叫做進一法。例如，把π=3.14159……用進一法截取到百分位時，近似值為3.15。
　　在日常生活中，針對實際情況需要采取進一法。例如：每條麻袋能裝糧食75公斤，現在有1380公斤糧食，需要麻袋多少條？
　　解：1380÷75=18.4（條），
　　或 1380÷75=18（余30）。
　　結果得18.4條，如果按照四舍五入法截取近似值，那么應該得18條麻袋。如果只用18條麻袋的話，余下的30公斤糧食往哪里裝呢？根據題意，要用進一法取近似值。即
　　1380÷75=18.4≈19（條）
　　答：需要麻袋19條。
　　去尾法--在截取數的近似值時，把舍去的部分去掉后，所保留的數不變，這種截取數的近似值的方法，叫做去尾法。例如，把π=3.14159……用去尾法截取到千分位時的值為3.141。
　　在日常生活中，針對實際情況需要采取去尾法。例如：每件兒童衣服要用布1. 2米，現有布17.6米，可以做這樣的衣服多少件？
　　解：17. 6÷1.2=14.66……
　　或 17.6÷1.2=14（余 0. 8）
　　結果得14. 66……，如果按照四舍五入法截取近似值，那么應該得15件。但是做衣服的事兒，大家都明白，剩下的布雖然能做0.6件，但是不夠做成一件的布，只能采取去尾法。即
　　17.6÷1.2=14.66……≈14（件）
　　答：可以做成這樣的衣服14件。
111.什么叫做精確度？
　　一個準確值用它的近似數表示時，允許有一定程度的誤差，并且誤差要根據條件或需要保證必要的精確度，這叫做精確度。例如：圓周率π=3.14159……，用去尾法精確到0.1，0.01，0.001，……的不足近似值為3.1，3.14，3.141，……；用進一法精確到0.1，0.01，0.001，……的過剩近似值是3.2，3.15，3.142，……。這里的0.1，0.01，0.001，……，就表示近似數的精確度。
112.什么叫做絕對誤差與相對誤差？
　　絕對誤差--一個量的準確數與近似數的差的絕對值，叫做這個數的絕對誤差。
　　例如：π=3.14159265…，如果取3.141，是π的不足近似值，誤差是： 3.14159265…-3.141=0.00059265…；如果取 3.142，是π的過剩近似值，誤差是：3.14159265--3.142=-0.00040734…
　　相對誤差--一個近似數的絕對誤差與它的準確數的比（常用百分率表示），叫做這個近似數的相對誤差。
　　例如：測量一塊長方形土地，測得長度是500米，絕對誤差不超過1米；寬是20米，絕對誤差不超過0.05米。哪一個精確度較高？
　　解：長：1÷500=0.2％；
　　寬：0.05÷20=0.25％。
　　答：測量土地的長的精確度較高。
113.取近似值時，是否可以采取連續“入”的辦法？
　　用四舍五入法截取某數的近似值時，不能采取連續“入”的辦法。例如：用四舍五入法把36.7249保留兩位小數。這個數舍去部分的首位數字是“4”，只能“四舍”，得36.72；不能把“4”右邊的“9”入上來，假如這樣做的話，于是“4”變成“5”，“5”再入，得36.73。而這個題的正確答案是：
　　36.7249≈36.72（保留兩位小數）。
114.取近似值時，在保留的小數數位里，小數的末一位或末幾位是“ 0”的，這些“0”是否可以劃掉？
　　取近似值時，在保留的小數數位里，有時會出現末一位或末幾位是“0”的情況，這種情況下的“0”，應當保留，不得劃掉。例如：5.4037，保留兩位小數，近似值應截取5.40，不應截取為5.4。這時5.40里的末一位的“0”不能去掉。因為5.40的取值范圍在5. 395～5.404之間，絕對誤差不超過0.005。如果把5.40里的末一位的“0”劃掉的話，精確度就相差多了，并且也不符合原題對截取近似值的要求。原題要求是保留兩位小數。
115.怎樣講解小數的意義？
　　在講解小數的意義時，可以做好以下幾點工作。
　　（1）由貨幣單位及商品標價引入小數。例如，一瓶墨水4角8分，可以寫成0.48元；一支鋼筆2元7角5分，可以寫做2.75元。
　　（2）由長度單位引入小數。一般情況下，長度單位以“米”為單位。例如，一根鋼條長3米2分米6厘米，以“米”為單位用小數表示就是3. 26米。使學生體會到，小數同復名數的關系是非常密切的，小數在實際生活中的應用是相當廣泛的。
　　（3）均分正方形。使學生認識到，純小數同單位1的關系。如圖。

　　通過這樣的圖解，可以使學生體會到部分同整體的關系。還可以使學生認識到：一位小數表示十分之幾，兩位小數表示百分之幾，三位小數表示千分之幾，……
　　總之，引入小數，常常是從十進位的計量單位引入（包括貨幣單位），再結合十進分數，作為認識小數的基礎。
116.小數加、減法的運算法則是怎樣規定的？
　　小數加法的法則和整數加法的法則一樣，也是相同的數位對齊，由于小數中有小數點，因此，只要小數點對齊，相同的數位就對齊了。具體步驟是：
　　（1）把各個加數的小數點上下對齊；
　　（2）按照整數加法的法則進行計算，從右邊最后一位加起，滿十進1；
　　（3）和的小數點要與加數的小數點上下對齊。
　　例如：24＋17.5＋8.96=50.46

　　小數減法的法則和整數減法的法則一樣，也是相同的數位對齊，由于小數中有小數點，因此，只要小數點對齊，相同的數位就對齊了。
　　具體步驟是：
　　（1）把被減數和減數的小數點上下對齊；
　　（2）按照整數減法的法則進行計算，從右邊最末一位減起，不夠減時借1當10；
　　（3）差的小數點要與被減數、減數的小數點上下對齊。
　　例如：64.75--9.948=54.802
　
117.小數乘法的運算法則是怎樣規定的？
　　小數乘法的法則可按照以下步驟進行：
　　（1）先按照整數乘法的法則求出積；
　　（2）再看被乘數和乘數一共有幾位小數，就從積的右邊起數出幾位，點上小數點；
　　（3）如果小數的末尾出現0時，根據小數的基本性質，把小數末尾的0劃去。
　　例1：6.49×7.5=48.675

　　例2：取積的近似值（得數保留兩位小數）
　　5.46×1.67=9.1182≈9.12

118.小數除法的運算法則是怎樣規定的？
　　（1）除數是整數的小數的除法
　　除數是整數的小數除法，可按照以下步驟進行計算：
　　①先按照整數除法的法則去除；
　　②商的小數點要和被除數的小數點對齊；
　　③除到被除數的末尾仍有余數時，就在余數后面添0，再繼續除。
　　例1：117÷36=3. 25

　　（2）除數是小數的小數除法
　　除數是小數的小數除法，可按照以下步驟進行計算：
　　①先把除數的小數點去掉使它變成整數；
　　②看除數原來有幾位小數，就把被除數小數點向右移動相同的幾位（位數不夠時補0）；
　　③按照除數是整數的除法進行計算。
　　例2：104.4÷7.25=14.4

　　（3）取商的近似值
　　在實際生活和生產中，常常遇到小數除法不能除盡或所得的
　　商的小數位數太多，但實際又不需要，可以根據要求和具體情況取商的近似值。
　　例 3：122÷16≈7.6（得數保留一位小數）

119.為什么說，分數不能包括所有小數？
　　把分數化為小數的時候，一種情況是，能化成有限小數；另一種情況是，能化成無限循環小數。一個分數，如果不能化為有限小數的話，它一定能化成循環小數。而無限不循環小數，不能用分數表示，是無理數的一種表現形式。所以說，分數不能包括所有的小數。列表如下：
　
120.循環小數是怎樣定義的？
　　一個無限小數，如果它的小數部分從某一位起，都是由一個或幾個數字，依照一定的順序不斷地重復出現，這樣的小數叫做循環小數。
　　例如：0.333……，1.732732……，3.14646……，都是循環小數。
　　一個循環小數的小數部分中，依次重復出現的一個或幾個數字，叫做循環節。例如，0. 333……的循環節是“3”，1.732732…的循環節是“732”，3.14646…的循環節是“46”。
　　為了書寫方便，一個循環小數只寫出不循環的部分和第一個循環節，并在這個循環節的最左和最右的數字上面各記上一個點，這個點叫做循環點。
　　
　　循環節從小數點后的第一位就開始的循環小數，叫做純循環小數。

　
　　讀作：三點一四六，四六循環。
121.你知道循環小數有哪些性質？
　　循環小數的性質有以下三條：
　　（1）循環節的位數增加到原循環節位數的2倍、3倍、……，循環小數的值不變。
　　　　　
　　
　　（2）純循環小數寫成混循環小數的形式，值不變。
　　
　　（3）有限小數也可以寫作以0或9為循環節的循環小數。
　　例如：3.27可以寫作3.270或者寫作3.269（一般不采用以9為循環節的形式）。
　　因為 3.27等于 3加 0.27，為了從簡，只寫一寫小數部分變化的情況。
　　
　　總之，循環小數雖然可以寫成不同形式，但是除特別需要時外，一般都寫成最簡形式。

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