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高中數學100個常用公式及常用結論(文)
1． 集合
的子集個數共有個；真子集有–1個；非空子集有–1個；非空的真子集有–2個.
2.真值表
ｐ ｑ 非ｐ ｐ或ｑ ｐ且ｑ
真 真 假 真 真
真 假 假 真 假
假 真 真 真 假
假 假 真 假 假
3.常見結論的否定形式

原結論 反設詞 原結論 反設詞
是 不是 至少有一個 一個也沒有
都是 不都是 至多有一個 至少有兩個
大于 不大于 至少有個 至多有（）個
小于 不小于 至多有個 至少有（）個
對所有， 成立 存在某， 不成立 或 且
對任何， 不成立 存在某， 成立 且 或

4.四種命題的相互關系

原命題　　　　　　　互逆　　　　　　　逆命題
若ｐ則ｑ　　　　　　　　　　　　　　　若ｑ則ｐ
　　　　　　　互　　　　　　　互
　　互　　　　　　　　為　　　為　　　　　　　　互
　　否　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　否
　　　　　　　　　　　逆　　　逆　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　否　　　　　　 否
否命題　　　　　　　　　　　　　　　逆否命題　　　
若非ｐ則非ｑ　　　　互逆　　　　　　若非ｑ則非ｐ

5.充要條件
（1）充分條件：若，則是充分條件.
（2）必要條件：若，則是必要條件.
（3）充要條件：若，且，則是充要條件.
注：如果甲是乙的充分條件，則乙是甲的必要條件；反之亦然.
6.函數的單調性
(1)設那么
上是增函數；
上是減函數.
(2)設函數在某個區間內可導，如果，則為增函數；如果，則為減函數.
7.如果函數和都是減函數,則在公共定義域內,和函數也是減函數; 如果函數和在其對應的定義域上都是減函數,則復合函數是增函數.
8．奇偶函數的圖象特征
奇函數的圖象關于原點對稱，偶函數的圖象關于y軸對稱;反過來，如果一個函數的圖象關于原點對稱，那么這個函數是奇函數；如果一個函數的圖象關于y軸對稱，那么這個函數是偶函數．
9.對于函數(),
恒成立,則函數的對稱軸是;
兩個函數與 的圖象關于直線對稱.
10.兩個函數圖象的對稱性
(1)函數與函數的圖象關于直線(即軸)對稱.
(2)函數和的圖象關于直線y=x對稱.
11.幾個常見的函數方程
(1)正比例函數,.
(2)指數函數,.
(3)對數函數,.
(4)冪函數,.
(5)余弦函數,正弦函數，.
12.幾個函數方程的周期(約定a>0)
（1），則的周期T=a；
（2），或，或,
則的周期T=2a；
13.分數指數冪
(1)（，且）.(2)（，且）.
14．根式的性質
（1）.（2）當為奇數時，；當為偶數時，.
15．有理指數冪的運算性質
(1) .(2) .
(3).
16.指數式與對數式的互化式： .
17.對數的換底公式 ： (,且,,且, ).
推論： (,且,,且,, ).
18．對數的四則運算法則：若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，則
(1);(2) ;
(3).
19.數列的同項公式與前n項的和的關系
( 數列的前n項的和為).
20.等差數列的通項公式：；
其前n項和公式為：.
21.等比數列的通項公式：；其前n項的和公式為
或.
22．常見三角不等式
（1）若，則.(2) 若，則.
23.同角三角函數的基本關系式 ：，=
24.正弦、余弦的誘導公式


25.和角與差角公式
;;
.=
26.二倍角公式
..
.
27.三角函數的周期公式
函數，x∈R及函數，x∈R(A,ω,為常數，且A≠0，ω＞0)的周期；函數，(A,ω,為常數，且A≠0，ω＞0)的周期.
28.正弦定理?：.
29.余弦定理：;;.
30.面積定理：（1）（分別表示a、b、c邊上的高）.
（2）.(3).
31.三角形內角和定理 在△ABC中，有
.
32.平面向量基本定理：
如果e1、e 2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量，有且只有一對實數λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2．不共線的向量e1、e2叫做表示這一平面內所有向量的一組基底．
33．向量平行的坐標表示：
設a=,b=，且b0，則ab(b0).
a與b的數量積(或內積) a·b=|a||b|cosθ．
34. a·b的幾何意義：數量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積．
35.平面向量的坐標運算
(1)設a=,b=，則a+b=.
(2)設a=,b=，則a-b=.
(3)設A，B,則.
(4)設a=，則a=.
(5)設a=,b=，則a·b=.
36.兩向量的夾角公式
(a=,b=).
37.平面兩點間的距離公式
=(A，B).
38.向量的平行與垂直
設a=,b=，且b0，則a||bb=λa .
ab(a0)a·b=0.
39.三角形的重心坐標公式 ：△ABC三個頂點的坐標分別為、、,則△ABC的重心的坐標是.
40.常用不等式：
（1）(當且僅當a＝b時取“=”號)．
（2）(當且僅當a＝b時取“=”號)．
（3）
（4）柯西不等式

（5）.
41.利用基本不等式求最值：
已知都是正數，則有：
（1）若積是定值，則當時和有最小值；
（2）若和是定值，則當時積有最大值.
42.一元二次不等式
，如果與同號，則其解集在兩根之外；如果與異號，則其解集在兩根之間.簡言之：同號兩根之外，異號兩根之間.；.
43.含有絕對值的不等式 當a> 0時，有
.
或.
44.直線的五種方程
（1）點斜式 (直線過點，且斜率為)．
（2）斜截式 (b為直線在y軸上的截距).
（3）兩點式 ()(、 ()).
(4)截距式 (分別為直線的橫、縱截距，)
（5）一般式 (其中A、B不同時為0).
45.兩條直線的平行和垂直
(1)若，①;②.
(2)若,,且A1、A2、B1、B2都不為零,
①；②；
46．四種常用直線系方程
(1)定點直線系方程：經過定點的直線系方程為(除直線),其中是待定的系數; 經過定點的直線系方程為,其中是待定的系數．
(2)共點直線系方程：經過兩直線,的交點的直線系方程為(除)，其中λ是待定的系數．
(3)平行直線系方程：直線中當斜率k一定而b變動時，表示平行直線系方程．與直線平行的直線系方程是()，λ是參變量．
(4)垂直直線系方程：與直線 (A≠0，B≠0)垂直的直線系方程是,λ是參變量．
47.點到直線的距離 ：(點,直線：).
48. 圓的四種方程
（1）圓的標準方程 .
（2）圓的一般方程 (＞0).
（3）圓的參數方程 .
（4）圓的直徑式方程 (圓的直徑的端點是、).
49. 圓系方程
(1)過點,的圓系方程是

,其中是直線的方程,λ是待定的系數．
(2)過直線:與圓:的交點的圓系方程是,λ是待定的系數．
(3) 過圓:與圓:的交點的圓系方程是,λ是待定的系數．
50.點與圓的位置關系
點與圓的位置關系有三種：若，則點在圓外;點在圓上;點在圓內.
51.直線與圓的位置關系
直線與圓的位置關系有三種:;;.
其中.
52.兩圓位置關系的判定方法：
設兩圓圓心分別為O1，O2，半徑分別為r1，r2，
;;
;;
.
53.圓的切線方程
已知圓．①過圓上的點的切線方程為;
②斜率為的圓的切線方程為.
54.橢圓的參數方程是.
55.雙曲線的方程與漸近線方程的關系
(1）若雙曲線方程為漸近線方程：.
(2)若漸近線方程為雙曲線可設為.
(3)若雙曲線與有公共漸近線，可設為（，焦點在x軸上，，焦點在y軸上）.
56.直線與圓錐曲線相交的弦長公式
或
（弦端點A，由方程 消去y得到，,為直線的傾斜角，為直線的斜率）.
57. 斜棱柱的直截面：
已知斜棱柱的側棱長是,側面積和體積分別是和,它的直截面的周長和面積分別是和,則①.②.
58．棱錐的平行截面的性質
如果棱錐被平行于底面的平面所截，那么所得的截面與底面相似，截面面積與底面面積的比等于頂點到截面距離與棱錐高的平方比（對應角相等，對應邊對應成比例的多邊形是相似多邊形，相似多邊形面積的比等于對應邊的比的平方）；相應小棱錐與小棱錐的側面積的比等于頂點到截面距離與棱錐高的平方比．
59.歐拉定理(歐拉公式) ：(簡單多面體的頂點數V、棱數E和面數F).
60.球的半徑是R，則其體積,其表面積．
61. 球與正四面體的組合體:
棱長為的正四面體的內切球的半徑為,外接球的半徑為.
62．柱體、錐體的體積：
（是柱體的底面積、是柱體的高）.
（是錐體的底面積、是錐體的高）.
63.古典概型：（）
求基本事件個數：列舉法、圖表法
64．幾何概型：
注：試驗出現的結果無限個
65．加法公式：若事件和互斥，則

互斥事件:不可能同時發生的事件
對立事件:不同時發生，但必有一個發生的事件
66．用樣本估計總體
眾數：出現次數最多的數據
中位數：按從小到大，處在中間的一個數據（或中間兩個數的平均數）
平均數：
67.方差 標準差
68．頻率分布直方圖
小長方形面積=組距×=頻率
各小長方形面積之和為1
眾數—最高矩形中點的橫坐標
中位數—垂直于軸且平分直方圖面積的直線與軸交點的橫坐標
69.莖葉圖：由莖葉圖可得到所有的數據信息如 眾數、中位數、平均數等

70.回歸直線方程
，其中.
71.相關系數
.
|r|≤1，且|r|越接近于1，相關程度越大；|r|越接近于0，相關程度越小.

72．獨立性檢驗：

隨機變量越大，說明兩個分類變量，關系越強，反之，越弱。
73.歸納推理：
由某類食物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者有個別事實概括出一般結論的推理，稱為歸納推理，簡稱歸納。
注：歸納推理是由部分到整體，由個別到一般的推理。
74.類比推理：
由兩類對象具有類似和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理，稱為類比推理，簡稱類比。
注：類比推理是特殊到特殊的推理。
75演繹推理：從一般的原理出發，推出某個特殊情況下的結論，這種推理叫演繹推理。
注：演繹推理是由一般到特殊的推理。
76.“三段論”是演繹推理的一般模式，包括：⑴大前提---------已知的一般結論；⑵小前提---------所研究的特殊情況；⑶結 論---------根據一般原理，對特殊情況得出的判
77.直接證明
⑴綜合法
一般地，利用已知條件和某些數學定義、定理、公理等，經過一系列的推理論證，最后推導出所要證明的結論成立，這種證明方法叫做綜合法。綜合法又叫順推法或由因導果法。
⑵分析法
一般地，從要證明的結論出發，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件（已知條件、定義、定理、公理等），這種證明的方法叫分析法。分析法又叫逆推證法或執果索因法。
78．間接證明------反證法
一般地，假設原命題不成立，經過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設錯誤，從而證明原命題成立，這種證明方法叫反證法。
79.極坐標系的概念：
在平面內取一個定點，叫做極點；自極點引一條射線叫做極軸；再選定一個長度單位、一個角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向)，這樣就建立了一個極坐標系。
80．點的極坐標：
設是平面內一點，極點與點的距離叫做點的極徑，記為；以極軸為始邊，射線為終邊的叫做點的極角，記為。有序數對叫做點的極坐標，記為.
極坐標與表示同一個點。極點的坐標為.
81.若,則,規定點與點關于極點對稱，即與表示同一點。
82.如果規定，那么除極點外，平面內的點可用唯一的極坐標表示；同時，極坐標表示的點也是唯一確定的。




83．極坐標與直角坐標的互化：



84.圓的極坐標方程：
在極坐標系中，以極點為圓心，為半徑的圓的極坐標方程是 ；
在極坐標系中，以 為圓心， 為半徑的圓的極坐標方程是 ；
在極坐標系中，以 為圓心，為半徑的圓的極坐標方程是；
85.在極坐標系中，表示以極點為起點的一條射線；表示過極點的一條直線.
在極坐標系中，過點，且垂直于極軸的直線l的極坐標方程是.
86.導數定義：在點處的導數記作；．
87. 函數在點處的導數的幾何意義
函數在點處的導數是曲線在處的切線的斜率，相應的切線方程是.
88.幾種常見函數的導數
(1) （C為常數）.(2) .
(3) .(4) .
(5) ；.(6) ; .
89.導數的運算法則
（1）.（2）.
（3）.
90.復合函數的求導法則
設函數在點處有導數，函數在點處的對應點U處有導數，則復合函數在點處有導數，且，或寫作.
91.判別是極大（小）值的方法：
當函數在點處連續時，
（1）如果在附近的左側，右側，則是極大值；
（2）如果在附近的左側，右側，則是極小值.
92. 求函數在上的最大值與最小值的步驟是：
求函數在內的極值；
將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值．
93．復數概念：
(1) z=a+bi∈Rb=0 (a,b∈R)z= z2≥0；
(2) z=a+bi是虛數b≠0(a,b∈R)；
(3) z=a+bi是純虛數a=0且b≠0(a,b∈R)z＋＝0（z≠0）z2<0；
(4) a+bi=c+dia=c且c=d(a,b,c,d∈R)；
94.復數的相等：
.（）
95.復數的模（或絕對值）：
==.
96.復數的四則運算法則：
(1);
(2);
(3);
(4).
97． ；
98. 性質：
T=4；；
99. 。
100.復平面上的兩點間的距離公式
（，）.


(n為偶數)

(n為奇數)

(n為偶數)

(n為奇數)





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