資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
3.3 垂徑定理(1)
學習目標 1．經歷探索垂徑定理的過程． 2．探索并掌握垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧(垂徑定理)． 3．會運用垂徑定理解決一些簡單的幾何問題．
學習過程
在白紙上任意作一個圓和這個圓的任意一條直徑CD，然后沿著直徑所在的直線把紙折疊，你發現了什么？ 結論
思考：如圖，AB是⊙O的一條弦，CD是⊙O直徑． (1)該圖是軸對稱圖形嗎？ (2)能不能通過改變AB、CD的位置關系，使它成為軸對稱圖形？
在剛才操作的基礎上，令AB與CD相交于點E，然后沿著直徑CD所在的直線把紙折疊，你發現哪些點、線互相重合？ 結論
垂徑定理 基本圖形 定理的幾何語言
如圖，AB是⊙0的直徑，CD為弦，CD⊥AB于E，則下列結論中不一定成立的是（ ） A．∠COE＝∠DOE B．CE＝DE C．OE＝BE D．＝
例1 已知，用直尺和圓規作這條弧的中點． 求弧AB的四等分點．
如圖，M為⊙O內的一點，利用尺規作一條弦AB， 使AB過點M．并且使AM＝BM． 你能畫過點M最長的弦呢？ 你還能畫過點M最短的弦呢？
例2 如圖，一條排水管的截面．已知排水管的半徑OB＝10，水面寬AB＝16．求截面圓心O到水面的距離OC．
已知：如圖，在以O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C，D兩點． 求證：AC＝BD．
如圖，CD為圓O的直徑，弦AB交CD于E，∠CEB＝30°，DE＝9㎝，CE＝3㎝，求弦AB的長．
小結
拓展題
1、過⊙O內一點M的最長弦長為10cm，最短弦長為8cm，那么OM長為（ ） A．3 B．6cm C． cm D．9cm
2、如圖，⊙O的直徑為10，弦AB長為8，M是弦AB上的動點，則OM的長的取值范圍是（ ） A．3≤OM≤5 B．4≤OM≤5 C．3＜OM＜5 D．4＜OM＜5
3、已知⊙O的半徑為10，弦AB∥CD，AB＝12，CD＝16，則AB和CD的距離為_________________．
4、已知⊙O的半徑為13cm，圓心O到弦AB的弦心距為5cm，求弦AB的長．
5、在半徑為50㎜的圓O中，有長50㎜的弦AB，計算： (1)點O與AB的距離； (2)∠AOB的度數．
作業題
1．⊙O的弦AB的長為8cm，弦AB的弦心距為3cm，則⊙O的半徑為（ ） A．4cm B．5cm C．8cm D．10cm．
2．如圖，在⊙O中，半徑OC⊥AB于點D．已知⊙O的半徑為2，AB＝3．求DC的長(精確到0.01)．
3．過已知⊙O內一點A作弦，使A是該弦的中點，然后作出弦所對的兩條弧的中點．
4．如圖，在⊙O中，弦AB垂直平分半徑OC． (1)求∠C的度數． (2)若⊙O的半徑為r，求弦AB的長．
5．一個底部呈球形的燒瓶，球的半徑為5cm，瓶內液體的最大深度CD＝2cm(如圖)．求截面圓中弦AB的長．
6．點A在⊙O內，過點A作一條弦BC，使BC是所有過點A的弦中最短的弦．


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數學浙教版 九年級上
3.3垂徑定理(1)

3.3垂徑定理(1)
教學目標
1.經歷探索垂徑定理的過程．
2.探索并掌握垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧（垂徑定理）．
3.會運用垂徑定理解決一些簡單的幾何問題．
重點和難點
本節教學的重點是圓的軸對稱性的重要體現——垂徑定理．
垂徑定理的導出過程有一定難度，是本節教學的難點．

請觀察下列三個銀行標志有何共同點？

結論：
圓是軸對稱圖形，每一條直徑所在的直線都是對稱軸.
強調：
1.圓的對稱軸是直線，不能說每一條直徑都是圓的對稱軸．
2.圓的對稱軸有無數條．

O

C
D
在白紙上任意作一個圓和這個圓的任意一條直徑CD，然后沿著直徑所在的直線把紙折疊，你發現了什么？
思考：如圖，AB是⊙O的一條弦，CD是⊙O直徑．
(1)該圖是軸對稱圖形嗎？
(2)能不能通過改變AB、CD的位置關系，使它成為軸對稱圖形？



O
C
D

A
B
E
在剛才操作的基礎上，令AB與CD相交于點E，然后沿著直徑CD所在的直線把紙折疊，你發現哪些點、線互相重合？
如果把能夠重合的圓弧叫做相等的圓弧，那么在右圖中，哪些圓弧相等？
請用命題的形式表述
你的結論．


A
B
E

O

C
D
理由如下：
∵∠OEA=∠OEB=Rt∠，
根據圓的軸對稱性，可得射線EA與EB重合，
∴點A與點B重合，AC和BC重合，AD和BD重合．
∴ EA=EB，AC=BC，AD=BD．
結論
AE=BE，AD=BD，AC=BC．
思考：你能利用等腰三角形的性質，說明OC平分AB嗎？

O

C
D

A
B
E
分一條弧成相等的兩條弧的點，
叫做這條弧的中點．


















A
B
C
D
O
E
垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧．
定理的幾何語言
∵ CD為直徑，CD⊥AB
∴ EA=EB，AC=BC，AD=BD．
⌒
⌒
⌒
⌒
OC⊥AB
條件

CD為直徑
CD⊥AB

CD平分弧 ADB
CD平分弧 AB

CD平分弦 AB

結論








E

D

C

O

A

B







D

O

B

C

A








O

B

C

A

D







O

B

A

C







D

O

B

A

C
垂徑定理的幾個基本圖形



A
B
C
O
D
E


如圖，AB是⊙0的直徑，CD為弦，CD⊥AB于E，則下列結論中不一定成立的是（ ）
A．∠COE=∠DOE B．CE=DE
C．OE=BE D．BD=BC
⌒
⌒
C
例1 已知AB，用直尺和圓規作這條弧的中點．
作法
1.連結AB．
2.作AB的垂直平分線
CD，交弧AB于點E.
點E就是所求作的
弧AB的中點．

求弧AB的四等分點．


C
D
A
B
E





F
G


m
n

●O
●M
你能畫過點M最長的弦呢？
你還能畫過點M最短的弦呢？
如圖，M為⊙O內的一點，利用尺規作一條弦AB，使AB過點M．并且使AM=BM．
例2 如圖，一條排水管的截面．已知排水管的半徑OB=10，水面寬AB=16．求截面圓心O到水面的距離OC．
解：由題意得OC⊥AB,
AC=BC=AB=0.5×16=8
由勾股定理得：
=6
圓心到圓的一條弦的距離叫做弦心距．
如上圖中的OC的長就是弦AB的弦心距．
答：截面圓心O到水面的距離為6．


.

A
C
D
B
O

E
已知：如圖，在以O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C，D兩點．
求證：AC＝BD．

如圖，CD為圓O的直徑，弦AB交CD于E，∠CEB=30°，DE=9㎝，CE=3㎝，求弦AB的長．
解：作OF⊥AB于F，連接OA，
CD=DE+CE=9+3=12cm，
即圓O的直徑為12cm．
OE=OC-CE=6-3=3cm，
在Rt△OEF中，∠CEB=30°，
OF=OE=×3=cm．
在Rt△OFA中，
AF===cm．
∴ AB=2AF=3cm．
F
談談你的收獲、感受！
１、本節課主要內容：
（1）圓的軸對稱性；（2）垂徑定理．
2、垂徑定理的應用：
（1）作圖；（2）計算和證明．
3、解題的主要方法：
（1）畫弦心距是圓中常見的輔助線；
（2）半徑（r)、半弦、弦心距(d)組成的直角三角形是研究與圓有關問題的主要思路，它們之間的關系：弦長AB=2．
A
1、過⊙O內一點M的最長弦長為10cm，最短弦長為8cm，那么OM長為（ ）
A．3 B．6cm C． cm D．9cm

2、如圖，⊙O的直徑為10，弦AB長為8，M是弦AB上的動點，則OM的長的取值范圍是（ ）
A．3≤OM≤5 B．4≤OM≤5
C．3＜OM＜5 D．4＜OM＜5

A
3、已知⊙O的半徑為10，弦AB∥CD，AB=12，CD=16，則AB和CD的距離為_________________.
2或14
4、已知⊙O的半徑為13cm，圓心O到弦AB的弦心距為5cm，求弦AB的長．

5、在半徑為50㎜的圓O中，有長50㎜的弦AB，計算：
(1)點O與AB的距離；
(2)∠AOB的度數．

謝謝
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1．⊙O的弦AB的長為8cm，弦AB的弦心距為3cm，則⊙O的半徑為（ ）
A．4cm B．5cm C．8cm D．10cm．
答案：B
2．如圖，在⊙O中，半徑OC⊥AB于點D．已知⊙O的半徑為2，AB＝3．求DC的長(精確到0.01)．

答案：0.68．
3．過已知⊙O內一點A作弦，使A是該弦的中點，然后作出弦所對的兩條弧的中點．

答案：
作法：如圖．

(1)作直線OA，交⊙O于點E，F．
(2)過點A作OA的垂線，交圓于C，D兩點，弦CD就是所求的弦，E，F分別是弦CD所對的兩條弧的中點．
4．如圖，在⊙O中，弦AB垂直平分半徑OC．
(1)求∠C的度數．
(2)若⊙O的半徑為r，求弦AB的長．

答案：
(1)60°．
(2)r．
5．一個底部呈球形的燒瓶，球的半徑為5cm，瓶內液體的最大深度CD＝2cm(如圖)．求截面圓中弦AB的長．

答案：8cm．
6．已知：如圖，在⊙O中，弦AB∥CD．求證：＝．

答案：
證明：過點O作OE⊥AB，交⊙O于點E．
∵AB∥CD，
∴OE⊥CD，
則＝，＝
∴ －＝－，即＝．
7．點A在⊙O內，過點A作一條弦BC，使BC是所有過點A的弦中最短的弦．
答案：
連結OA，過點A作OA的垂線，交⊙O于B，C，所得弦BC就是最短的弦．設EF是過點A不與OA垂直的弦，OD⊥EF，于點D．由OA＞OD，可得DF＞AC，EF＞BC．


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