資源簡介

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3.3 垂徑定理(2)
學習目標 1．經歷探索垂徑定理的逆定理的過程． 2．掌握定理“平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧”及定理“平分弧的直徑平分弧所對的弦”． 3．會運用垂徑定理的逆定理解決一些簡單的幾何問題．
學習過程
垂徑定理： 垂徑定理的逆命題是什么？
規律
定理1： 證明：
辨一辨 (1)垂直于弦的直線平分弦，并且平分弦所對的弧 (2)弦所對的兩弧中點的連線，垂直于弦，并且經過圓心 (3)圓的不與直徑垂直的弦必不被這條直徑平分 (4)平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧 (5)圓內兩條非直徑的弦不能互相平分 (6)平分弦的直徑，平分這條弦所對的弧． (7)平分弦的直線，必定過圓心． (8)一條直線平分弦(這條弦不是直徑)，那么這條直線垂直這條弦． (9)弦的垂直平分線一定是圓的直徑． (10)平分弧的直線，平分這條弧所對的弦． (11)弦垂直于直徑，這條直徑就被弦平分．
例3 1300多年前，我國隋朝建造的趙州石拱橋(如圖)的橋拱是圓弧形，它的跨度(弧所對是弦的長)為 37.02 m，拱高(弧的中點到弦的距離，也叫弓形高)為7.23m，求橋拱的半徑(精確到0.1m)．
已知：如圖，⊙O 中，弦AB∥CD，AB＜CD，直徑MN⊥AB，垂足為E，交弦CD于點F． 圖中相等的線段有： ． 圖中相等的劣弧有： ．
已知：如圖，⊙O的直徑PQ分別交弦AB，CD于點M，N，AM＝BM，AB∥CD． 求證：DN＝CN．
如圖，在直徑為130mm的圓形鐵片上切下一塊高為32mm的弓形鐵片，求弓形的弦AB的長．
【活動探究】某一公路隧道的形狀如圖所示，半圓拱的圓心距離地面2m，半徑為1.5m．一輛高3m，寬2.3m的集裝箱卡車能順利通過這個隧道嗎？如果要使高度不超過4m，寬為2.3m的大貨車也能順利通過這個隧道，且不改變圓心到地面的距離，半圓拱的半徑至少為多少米？
作業題
1．已知：如圖，在以點O為圓心的兩個圓中，大圓的弦AB和小圓交于點C，D．求證：AC＝BD．
2．如圖，破殘的輪子上，弓形的弦AB為4cm，高CD為1cm．求這個輪子的直徑長．
3．要在直徑為120mm的軸上銑出寬為30mm的一塊平面(如圖)，吃刀深度h為多少(精確到0.1mm)？
4．如圖，一圓弧形鋼梁的拱高為8m，跨徑為40m．求這鋼梁圓弧的半徑長．
5．如圖，⊙O的直徑CD垂直弦AB于點E，且CE＝3cm，DE＝7cm．求AB的長．
6．已知O的半徑為5cm，弦AB∥CD，AB＝6cm，CD＝8cm．求AB與CD之間的距離．


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數學浙教版 九年級上
3.3垂徑定理(2)

3.3垂徑定理(2)
教學目標
1.經歷探索垂徑定理的逆定理的過程．
2.掌握定理“平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧”及定理“平分弧的直徑平分弧所對的弦”．
3.會運用垂徑定理的逆定理解決一些簡單的幾何問題．

重點和難點
本節教學的重點是垂徑定理的逆定理．
例3的問題情境較為復雜，是本節教學的難點．

CD平分ADB
CD平分ACB

CD平分弦AB


結論
定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧．
幾何語言：
∵ CD是直徑，CD⊥AB，
∴AM=BM，AC =BC，AD=BD．
⌒
⌒
⌒
⌒
條件

垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧．

條件

結論1

結論2
逆命題1：平分弦的直徑垂直于弦．
逆命題2：平分弧的直徑垂直于弧所對的弦．
垂徑定理的逆命題是什么？

C
D
AB是⊙O的一條弦，且AM=BM．
過點M作直徑CD．
右圖是軸對稱圖形嗎？
如果是，其對稱軸是什么？
你能發現圖中有哪些等量關系？
與同伴說說你的想法和理由．




如果AB是直徑，結論還成立么？
探索規律
CD⊥AB
AC=BC
AD=BD
⌒
⌒
⌒
⌒

O

M

A
B





┗
CD是直徑
AM=BM
平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.
過點C作直徑CD．
右圖是軸對稱圖形嗎？
如果是，其對稱軸是什么？
你能發現圖中有哪些等量關系？
說說你的想法和理由．


平分弧的直徑垂直平分弧所對的弦．
⌒
⌒
⌒
AB是⊙O的一條弧，且AC=BC.
探索規律

C
D

O

M

A
B





CD⊥AB
AM=BM
AD=BD
⌒
⌒
CD是直徑
AC=BC
⌒
⌒
如圖，對于一個圓和一條直線來說．如果在下列五個條件中:
①CD是直徑；② CD⊥AB；③ AM=BM；
④AC=BC；⑤AD=BD.
只要具備其中兩個條件，
就可推出其余三個結論．
⌒
⌒

⌒
⌒


C
D

O

M

A
B

┗
規律
（3）
（1）


（2）
（4）
（5）

（2）
（3）


（1）
（4）
（5）
（1）
（4）

（3）
（2）
（5）



（1）
（5）
（3）
（4）
（2）



命題（1）：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧
命題（2）：弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條弧
命題（3）：平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧
①CD是直徑；② CD⊥AB；③ AM=BM；
④AC=BC；⑤AD=BD．
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⌒
⌒
⌒
垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧．
逆定理
定理1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于 弦，并且平分弦所對的弧
定理2：平分弧的直徑垂直平分弧所對的弦
垂徑定理
已知：⊙O的直徑CD交弦AB（不是直徑）于點E，且AE=BE．
求證：CD⊥AB，AD＝BD，AC＝BC
⌒
⌒
⌒
⌒


證明：連結OA，OB，則OA=OB
∴△AOB是等腰三角形
∵AE=BE
∴CD⊥AB
（等腰三角形三線合一）
（垂徑定理）
∴AD=BD，AC=BC
⌒
⌒
⌒
⌒
定理1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧．




O
A
E
B
D
C

(1)垂直于弦的直線平分弦，并且平分弦所對的弧
(2)弦所對的兩弧中點的連線，垂直于弦，并且經過圓心
(3)圓的不與直徑垂直的弦必不被這條直徑平分
(4)平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧
(5)圓內兩條非直徑的弦不能互相平分
錯
對
錯
錯
對
辨一辨
(11)弦垂直于直徑，這條直徑就被弦平分．
(6)平分弦的直徑，平分這條弦所對的弧．
(7)平分弦的直線，必定過圓心．
(8)一條直線平分弦（這條弦不是直徑），那么這
條直線垂直這條弦．
錯
錯
錯
錯
錯
錯
(9)弦的垂直平分線一定是圓的直徑．
(10)平分弧的直線，平分這條弧所對的弦．
例3 1300多年前，我國隋朝建造的趙州石拱橋(如圖)的橋拱是圓弧形，它的跨度(弧所對是弦的長)為 37.02 m，拱高(弧的中點到弦的距離，也叫弓形高)為7.23m,求橋拱的半徑(精確到0.1m)．
∴OC⊥AB
∴DC就是拱高
∴AD=AB=0.5×37.02=18.51
OD=OC-DC=（R-7.23）
在Rt△OAD中，OA2=OD2+AD2
∴R2=18.512+(R-7.23)2
解得,R≈27.31
答：趙州橋的橋拱半徑約為27.31m．
∵C是AB的中點
⌒
解： AB表示橋拱，設AB所在的圓的圓心為O，半徑為R，C為AB的中點，連結OC，交AB于點D
⌒
⌒
⌒




A
O
N
M
F
E
D
C
B

已知：如圖，⊙O 中，弦AB∥CD，AB＜CD，直徑MN⊥AB，垂足為E，交弦CD于點F．
圖中相等的線段有： ．
圖中相等的劣弧有： ．

已知：如圖，⊙O的直徑PQ分別交弦AB,CD于點M,N，AM=BM，AB∥CD.
求證：DN=CN.
證明：∵PQ是⊙O的直徑，
且AM=BM，
∴PQ⊥AB(平分弦(不是直徑)
的直徑垂直于弦).
又∵AB∥CD，
∴PQ⊥CD，
∴DN=CN(垂直于弦的直徑平分這條弦).

如圖，在直徑為130mm的圓形鐵片上切下一塊高為32mm的弓形鐵片，求弓形的弦AB的長.
解 過點O作OC⊥AB，連結OA.
∴∠OAC=90°，OA2=AC2+OC2，AB=2AC.
又∵鐵片的直徑為130mm，
∴OA=65mm，
OC=65-32=33mm，
∴652=AC2+332，
∴AC=56mm，
∴AB=112mm.
課堂小結:
解決有關弦的問題，經常是過圓心作弦的垂線，或作垂直于弦的直徑，連結半徑等輔助線，為應用垂徑定理創造條件。
.



C
D
A
B
O

M
N

E


.

A
C
D
B
O

.


A
B
O
某一公路隧道的形狀如圖所示，半圓拱的圓心距離地面2m，半徑為1.5m.一輛高3m，寬2.3m的集裝箱卡車能順利通過這個隧道嗎?如果要使高度不超過4m，寬為2.3m的大貨車也能順利通過這個隧道，且不改變圓心到地面的距離，半圓拱的半徑至少為多少米?
解 如圖，OB＝1.5，OA＝1.15，
∵ AB2=OB2-OA2，
∴ AB≈0.96m.
∵ 0.96+2＝2.96＜3,
∴高為3m，寬為2.3m的集裝箱
車不能順利通過.
由題意,若OA＝1.15,AB＝4-2＝2,
又∵AB2=OB2-OA2，
∴OB≈2.31m.
∴要使高度不超過4m，寬為2.3m的大貨車能順利通過,半圓拱半徑至少為2.31m.

O
B

A
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1．已知：如圖，在以點O為圓心的兩個圓中，大圓的弦AB和小圓交于點C，D．求證：AC＝BD．

答案：
證明：過點O作OE⊥AB于E點，則AE＝BE，CE＝DE(垂直于弦的直徑平分這條弦)，
∴AE－CE＝EB－ED，即AC＝BD．
2．如圖，破殘的輪子上，弓形的弦AB為4cm，高CD為1cm．求這個輪子的直徑長．

答案：設輪子的半徑為r(cm)，則r2＝(r－1)2＋22，解得r＝．
∴這個輪子的直徑是5cm．
3．要在直徑為120mm的軸上銑出寬為30mm的一塊平面(如圖)，吃刀深度h為多少(精確到0.1mm)？

答案：
由題意，得602＝(60－h)2＋152，
解得h1＝1.9，
h2＝118.1(舍去)．
∴吃刀深度h約為1.9mm．
4．如圖，一圓弧形鋼梁的拱高為8m，跨徑為40m．求這鋼梁圓弧的半徑長．

答案：
設鋼梁的半徑為x(m)，則(x－8)2＋202＝x2，
解得x＝29．
∴鋼梁的半徑為29m．
5．如圖，⊙O的直徑CD垂直弦AB于點E，且CE＝3cm，DE＝7cm．求AB的長．

答案：
連結OB，則OB＝CD＝(CE＋DE)＝5(cm)．
∴OE2＋EB2＝OB2，
∴22＋EB2＝52，
解得EB＝，
∴AB＝2(cm)．
6．已知O的半徑為5cm，弦AB∥CD，AB＝6cm，CD＝8cm．求AB與CD之間的距離．
答案：
分兩種情況討論．
(1)若AB與CD在圓心O的同側，如圖．

過點O作AB的垂線，垂足為E，與CO交于點F．
在Rt△OEB中，OE＝＝4(cm)；
在Rt△OFB中，OF＝＝3(cm)；
∴AB與CD的距離EF＝1cm．
(2)若AB與CD在圓心O的兩側，如圖．

同理可得，AB與CD的距離EF＝7cm．

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