資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
3.4 圓心角(2)
學習目標 1．經歷探索圓心角定理的逆定理的過程． 2．掌握“在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦、兩個弦心距中有一對量相等，那么它們所對應的其余各對量都相等”這個圓的性質． 3．會運用關于圓心角、弧、弦、弦心距之間相互關系的定理解決簡單的幾何問題．
學習過程
一、圓心角定理 二、請把題設中“圓心角相等”與三個結論中任意一個交換，寫出新命題． 三、請結合右圖判斷以上命題是否為真命題． 結論： 幾何語言：
例3 如圖，等邊三角形ABC內接于⊙O，連結OA，OB，OC，延長AO，分別交BC于點P，交弧BC于點D．連結BD，CD．判斷四邊形BDCO是哪一種特殊的平行四邊形，并給出證明．
已知等邊三角形ABC的邊長為2，求它的外接圓半徑．
例4 已知：如圖，△ABC為等邊三角形，以AB為直徑的⊙O分別交AC，BC于點D，E． 求證：＝＝．
1．求半徑為r的圓的內接等邊三角形的邊長．
2．已知：如圖，在⊙O中，弦AB＝CD， 求證：AD＝BC．
3．根據“等弧對等弦”，小明認為：如圖，若＝2，則AB＝2CD．你同意他的說法嗎？請說明理由．
作業題
1．如圖，AB是⊙O的直徑，OC⊥AB，交⊙O于點C．判斷△ABC是哪一種特殊的三角形，并說明理由．
2．如圖的齒輪有20個齒，每兩齒之間間隔相等．相鄰兩齒間的圓心角α為多少度？如果讓這樣的齒輪旋轉1周，那么在旋轉過程中有多少次和原圖形重合？
3．已知：如圖，AB，DE 是⊙O 的直徑，C是⊙O上一點，且＝．求證：BE＝CE．
4．在一根軸的正中位置打一個正三角形孔(如圖)，正三角形的邊長為15cm，AB長為5cm．求這根軸的直徑．
5．如圖，在直徑為10cm的⊙O中，直徑AC與BD所成的角∠AOB＝120°．求四邊形ABCD的周長和面積．
6．已知：如圖，AB，AC是⊙的兩條弦，OA平分∠BAC．求證：＝．


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數學浙教版 九年級上
3.4 圓心角(2)
3.4 圓心角(2)
教學目標
1.經歷探索圓心角定理的逆定理的過程.
2.掌握“在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦、兩個弦心距中有一對量相等，那么它們所對應的其余各對量都相等”這個圓的性質.
3.會運用關于圓心角、弧、弦、弦心距之間相互關系的定理解決簡單的幾何問題.

重點與難點
本節教學的重點是關于圓心角、弧、弦、弦心距之間的相互關系的性質.
例4需輔助線，思路不易形成，是本節教學的難點.


圓心角所對的弧相等
圓心角所對的弦相等
圓心角所對的弦的
弦心距相等
在同圓或等圓中
如果圓心角相等
一、圓心角定理

新命題一：
二、請把題設中“圓心角相等”與三個結論中任意一個交換，寫出新命題．

弧所對的圓心角相等
弧所對的弦相等
弧所對的弦的
弦心距相等
在同圓或等圓中
如果弧相等
新命題二：
二、請把題設中“圓心角相等”與三個結論中任意一個交換，寫出新命題．

弦所對的圓心角相等
弦所對的弧(同為劣弧或優弧)相等
弦的弦心距相等
在同圓或等圓中
如果弦相等
新命題三：
二、請把題設中“圓心角相等”與三個結論中任意一個交換，寫出新命題．

弦心距所對的弧相等
弦心距所對的弦相等
弦心距所對的
圓心角相等
在同圓或等圓中
如果弦心距相等
結論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦、兩個弦心距中有一對量相等，那么它們所對應的其余各對量都相等.
幾何語言：
如圖，∵ ∠AOB=∠COD，
∴ AB=CD，OE=OF，AB=CD．
三、請結合右圖判斷以上三個命題是否為真命題.


例3 如圖，等邊三角形ABC內接于⊙O，連結OA,OB,OC，延長AO，分別交BC于點P，交弧BC于點D．連結BD,CD．判斷四邊形BDCO是哪一種特殊的平行四邊形，并給出證明．
解 四邊形BDCO是菱形.證明如下：
∵AB=BC=CA，
∴∠AOB=∠BOC=∠COA=120°．
（圓心角定理）
∴∠BOD=180°-∠AOB
=180°-120°=60°．
又∵OB=OD，
∴△BOD是等邊三角形．
同理，△COD是等邊三角形．
∴OB=OC=BD=CD，即四邊形BDCO是菱形．

解 如圖所示，連結OA,OB,OC，并延長AO交BC于點D.
∵AB=BC=AC，
∴OD⊥BC，
∴∠BAD=30°，BD== .
∵OB=OC，
∴∠AOB=∠COB=∠AOC=120°.
∴r=2cm.
設OB=r，則OD=r.
已知等邊三角形ABC的邊長為2，求它的外接圓半徑.

∴ +()2=r2，
例4 已知：如圖，△ABC為等邊三角形，以AB為直徑的⊙O分別交AC，BC于點D，E．求證：AD=DE=EB.
分析：連結OD,OE.這樣我們只要證明∠AOD=∠DOE=∠BOE，就能得到AD=DE=EB.


A
B
O
C
D
E






證明 如圖，連結OD,OE，
在等邊三角形ABC中，∠A=60°.
∵OA=OD，
∴△AOD是等邊三角形.
∴∠AOD=60°.
同理，∠BOE=60°.
∴∠DOE=180°-∠AOD-∠BOE=180°-60°-60°=60°.
∴∠AOD=∠DOE=∠BOE，
∴ AD=DE=EB．


A
B
O
C
D
E



小結
邊長為r
1.求半徑為r的圓的內接等邊三角形的邊長．
∴AB-BD=CD-BD，即AD=BC.
∴AB=CD.
2.已知：如圖,在⊙O中，弦AB=CD,
求證：AD=BC.

證明：∵AB=CD，
∴AD=BC.








∴AE=EB=CD，
解：取AB的中點E，
∵AB=2CD，
∴AE=EB=CD.
又∵AE+BE>AB，
∴2CD>AB.
3.根據“等弧對等弦”，小明認為：如圖，若AB=2CD，則AB=2CD.你同意他的說法嗎？請說明理由.








E
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1．如圖，AB是⊙O的直徑，OC⊥AB，交⊙O于點C．判斷△ABC是哪一種特殊的三角形，并說明理由．

解：△ABC是等腰直角三角形．
理由：
∵ ∠AOC＝ ∠BOC，
∴ AC＝BC．
又 ∵ OA＝OB＝OC，
∴ ∠ACB＝Rt∠．
2．如圖的齒輪有20個齒，每兩齒之間間隔相等．相鄰兩齒間的圓心角α為多少度？如果讓這樣的齒輪旋轉1周，那么在旋轉過程中有多少次和原圖形重合？

解：18°，旋轉一周的過程中，有20次和原圖形重合．
3．已知：如圖，AB，DE 是⊙O 的直徑，C是⊙O上一點，且＝．
求證：BE＝CE．

證明：如圖，連結OC
∵＝，
∴ ∠AOD＝∠COE
又∵ ∠AOD＝∠BOE，
∴ ∠BOE＝∠COE，
∴ BE＝CE．

4．在一根軸的正中位置打一個正三角形孔(如圖)，正三角形的邊長為15cm，AB長為5cm．求這根軸的直徑．

解：10(1＋)cm．
5．如圖，在直徑為10cm的⊙O中，直徑AC與BD所成的角∠AOB＝120°．求四邊形ABCD的周長和面積．

解：周長為10(1＋)cm，面積為25cm2．
6．已知：如圖，AB，AC是⊙的兩條弦，OA平分∠BAC．
求證：＝．

證明：如圖，過O點作ODAB于點D，作OEAC于點E．

∵ OA平分∠BAC，
∴ OD＝OE．
∴ AB＝AC．
∴ ＝．

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