資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
3.5 圓周角(1)
學(xué)習(xí)目標(biāo) 1．理解圓周角的概念． 2．經(jīng)歷探索圓周角定理的過程． 3．掌握圓周角定理和它的推論． 4．會運(yùn)用圓周角定理及其推論解決簡單的幾何問題．
學(xué)習(xí)過程
圓周角：
找一找：請找出圖中所有的圓周角
想一想：一個圓的圓心與圓周角在位置上可能有幾種關(guān)系？請大家在練習(xí)本上畫一畫．
想一想：一個圓的圓心與圓周角可能有幾種關(guān)系？
如果圓周角和圓心角對著同一條弧，那么這兩個角存在怎樣的關(guān)系？請告訴大家你的數(shù)學(xué)猜想．
已知一條弧所對的圓周角等于50°，則這條弧所對的圓心角是多少度？
已知一條弧的度數(shù)為40°． 求這條弧所對的圓心角和圓周角的度數(shù)．
1．如圖所示，若AB是⊙O的直徑，則半圓ADB所對的圓心角是哪一個角？角度是多少？ 2． 半圓ADB所對圓周角是哪一個角？ 3． ∠C是多少度？為什么？ 4． 若已知∠C是直角，能否說明AB是⊙O的直徑？為什么？
推論
例1 等腰三角形ABC的頂角∠BAC為50°，以腰AB為直徑作半圓，交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，求，和的度數(shù)．
3．只給你一把三角尺，你能找出一個圓(如圖)的圓心嗎？試一試．
作業(yè)題
1．一條弧所對的圓心角的度數(shù)為95°．求這條弧的度數(shù)和這條弧所對的圓周角的度數(shù)．
2．如圖，∠A是⊙O的圓周角，∠A＝40°．求∠OBC的度數(shù)．
3．如圖，在⊙O中，∠AOC＝140°，∠ACB＝50°．求∠BAC的度數(shù)．
4．如圖，C是上一點(diǎn)，∠AOB＝n°．求∠ACB的度數(shù)．
5．如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AD是⊙的直徑，∠ABC＝50°．求∠CAD的度數(shù)．
6．已知：如圖，OA是⊙O的半徑，以O(shè)A為直徑的⊙C與⊙O的弦AB相交于點(diǎn)D． 求證：AD＝DB．


21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)
數(shù)學(xué)浙教版 九年級上
3.5 圓周角（1）



O
A
B
頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角．
1、請說出圓心角的定義
頂點(diǎn)在圓心的角叫圓心角．
2、如圖，已知∠AOB=80°，
①求AB弧的度數(shù)；
②延長AO交⊙O于點(diǎn)C，連結(jié)CB，



C
80°
圓周角：
則∠C與圓心角∠AOB有什么不同呢?
3.5 圓周角（1）
教學(xué)目標(biāo)
1.理解圓周角的概念.
2.經(jīng)歷探索圓周角定理的過程.
3.掌握圓周角定理和它的推論.
4.會運(yùn)用圓周角定理及其推論解決簡單的幾何問題.

重點(diǎn)與難點(diǎn)
本節(jié)教學(xué)的重點(diǎn)是圓周角定理.
圓周角定理的證明要分三種情況討論，有一定的難度，是本節(jié)教學(xué)的難點(diǎn).

判斷下列圖形中的角是否是圓周角？并說明理由．















找一找
請找出圖中所有的圓周角
圖中的圓周角有:
∠BAC ∠BAD ∠BDA
∠DBA ∠DAC
想一想
一個圓的圓心與圓周角在位置上可能有幾種關(guān)系？請大家在練習(xí)本上畫一畫．
在這三個圖中，哪個圖形最特殊？其余兩個可以轉(zhuǎn)化成這個圖形嗎？

D

D
圓周角∠BAC和圓心角∠BOC所對的弧分別是哪一條?



A
B
C
O





A
B
C
O



B
O

C


A



想一想：一個圓的圓心與圓周角可能有幾種關(guān)系？
探索研究：
如果圓周角和圓心角對著同一條弧，那么這兩個角存在怎樣的關(guān)系？請告訴大家你的數(shù)學(xué)猜想．
命題：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．
已知：∠BOC,∠BAC分別是同一條弧所對的圓心角和圓周角.
分析 由于圓心有在圓周角內(nèi)、圓周角外和圓周角的一條邊上三類情況，因此需分別對三類不同情況給出證明.
求證：∠BAC=∠BOC.
圓周角定理：圓周角的度數(shù)等于它所對弧上的圓心角度數(shù)的一半.
證明(1)當(dāng)圓心O在圓周角∠BAC的一邊AB上時，
∵OA=OC，
∴∠A=∠C.
∵∠BOC是△OAC的外角，
∴∠BOC=∠C+∠A=2∠A，
∴ ∠A=∠BOC．



A
B
C
O


證明(2)當(dāng)圓心O在圓周角∠BAC的內(nèi)部時，
連結(jié)AO并延長，交⊙O于點(diǎn)D.
利用(1)的結(jié)果，
有∠BAD=∠BOD，
∠DAC=∠DOC,
∴ ∠BAD+∠DAC=(∠BOD+∠DOC),
∴ ∠BAC=∠BOC．

D



A
B
C
O



證明(3)當(dāng)圓心O在圓周角∠BAC的外部時，
連結(jié)AO并延長，交⊙O于點(diǎn)D.
利用(1)的結(jié)果，
有∠DAC=∠DOC，
∠DAC=∠DOB，
∴ ∠DAC-∠DAB=(∠DOC-∠DOB)．
∴ ∠BAC=∠BOC．

D
B
O

C


A



已知一條弧所對的圓周角等于50°，則這條弧所對的圓心角是多少度？
答案:100°.

已知一條弧的度數(shù)為40°. 求這條弧所對的圓心角和圓周角的度數(shù).
答案:圓心角為40°,圓周角為20°.
?

1.如圖所示，若AB是⊙O的直徑，則半圓ADB所對的圓心角是哪一個角？角度是多少？
答：∠AOB，180°.
2. 半圓ADB所對圓周角是哪一個角？
答：∠C.
3. ∠C是多少度？為什么？
答：∠C=90°，一條弧所對的圓周角
等于它所對圓心角的一半.




由此我們得到圓周角定理的一個推論：
半圓（或直徑）所對的圓周角是直角.
90°的圓周角所對的弦是直徑.
4. 若已知∠C是直角，能否說明AB是⊙O的直徑？為什么？
答：若已知∠C是直角，則∠AOB=180°，所以點(diǎn)A,O,B在一條直線上，AB是⊙O的直徑.

例1 等腰三角形ABC的頂角∠BAC為50°，以腰AB為直徑作半圓，交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，求BD，DE和AE的度數(shù)．

A
B
C
D
E



證明 如圖，連結(jié)BE,AD.
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AEB=∠ADB=90°
(直徑所對的圓周角是直角).
∵∠BAC=50°，
∴∠ABE=90-∠BAC=90-50=40°.
又∵△ABC是等腰三角形，
∴ ∠ABC=∠C===65°，
∠BAD=∠CAD=∠BAC=×50°=25°．
由圓周角定理，得BD=2∠BAD=2×25°=50°，
DE=2∠CAD=2×25°=50°，AE=2∠ABE=2×40°=80°．
A
B
C
D
E



3.只給你一把三角尺,你能找出一個圓（如圖）的圓心嗎？試一試.

答案:能.利用“90°的圓周角所對的弦是直徑”畫出兩條不同的直徑,交點(diǎn)即為圓心.

小結(jié)
說一說你今天學(xué)習(xí)了哪些知識
謝謝
21世紀(jì)教育網(wǎng)（www.21cnjy.com) 中小學(xué)教育資源網(wǎng)站
有大把高質(zhì)量資料？一線教師？一線教研員？
歡迎加入21世紀(jì)教育網(wǎng)教師合作團(tuán)隊！！月薪過萬不是夢！！
詳情請看：
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php


中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
1．一條弧所對的圓心角的度數(shù)為95°．求這條弧的度數(shù)和這條弧所對的圓周角的度數(shù)．
解：這條弧的度數(shù)為95°，弧所對的圓周角的度數(shù)為47.5°．
2．如圖，∠A是⊙O的圓周角，∠A＝40°．求∠OBC的度數(shù)．

解：∠BOC＝80°．
在△OBC中，OB＝OC，
∴∠OBC＝50°．
3．如圖，在⊙O中，∠AOC＝140°，∠ACB＝50°．求∠BAC的度數(shù)．

解：由∠ACB＝50°．得∠AOB＝100°．
∠BOC＝∠AOC－∠AOB＝140°－100°＝40°，
∴ BAC＝20°．
4．如圖，C是上一點(diǎn)，∠AOB＝n°．求∠ACB的度數(shù)．

解：＝n°，則＝360°－n°，∴ ∠ACB＝180°－．
5．如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AD是⊙的直徑，∠ABC＝50°．求∠CAD的度數(shù)．

解：∵ ∠ABC＝50°，∴ ＝100°．
又AD是⊙O的直徑，
∴ ＝180°，＝－＝180°－100°＝80°．
∴ ∠CAD＝40°．
6．已知：如圖，OA是⊙O的半徑，以O(shè)A為直徑的⊙C與⊙O的弦AB相交于點(diǎn)D．
求證：AD＝DB．

證明：如圖，連結(jié)OD．

∵ OA是⊙C的直徑，
∴ ∠ODA＝Rt∠，
即OD⊥AB，
∴ AD＝DB．
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑