資源簡介

高三數學文科解答題專項檢測（一）
1．自2017年2月底，90多所自主招生試點高校將陸續出臺2017年自主招生簡章，某校高三年級選取了在期中考試中成績優異的100名學生作為調查對象，對是否準備參加2017年的自主招生考試進行了問卷調查，其中“準備參加”、“不準備參加”和“待定”的人數如表：
準備參加 不準備參加 待定
男生 30 6 15
女生 15 9 25

（I）在所有參加調查的同學中，在三種類型中用分層抽樣的方法抽取20人進行座談交流，則在“準備參加”、“不準備參加”和“待定”的同學中應各抽取多少人？
（II）在“準備參加”自主招生的同學中用分層抽樣方法抽取6人，從這6人中任意抽取2人，求至少有一名女生的概率．





2．設函數．
（I）求的最小正周期及值域；
（II）已知△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，求△ABC的面積．









3．如圖所示，已知ABCD是直角梯形，∠BAD=90°，AD∥BC，AD=2AB=2BC，PA⊥面ABCD．
（I）證明：PC⊥CD；（II）在線段PA上確定一點E，使得BE∥面PCD．









4．已知二次函數的圖象經過坐標原點，其導函數為，數列{an}的前n項和為Sn，點均在函數的圖象上．
（I）求數列{an}的通項公式；
（II）設，求數列{bn}的前n項和Tn．












高三數學文科解答題專項檢測（一）參考答案
1.解：（Ⅰ）分層抽樣時的比值為，
所以，在“準備參加”的同學中應抽取（30+15）×0.2=9（人），
在“不準備參加”的同學中應抽取（6+9）×0.2=3（人），
在“待定”的同學中應抽取（15+25）×0.2=8（人）．
（Ⅱ）在“準備參加”自主招生的同學中用分層抽樣方法抽取6人，則男生應抽4人，女生抽2人，男生4人分別記作1，2，3，4，女生2人分別記作5，6．
從6人中任取2人共有以下15種情況：
（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），
（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），
（3，4），（3，5），（3，6），
（4，5），（4，6），
（5，6）．
其中至少有一名女生的情況共有9種：
（1,5），（1,6）,（2,5），（2,6），（3,5），（3,6），（4,5），（4,6），（5,6）．
所以，至少有一名女生的概率．
2. 解：（Ⅰ）
=，
所以f（x）的最小正周期T=，
∵x∈R，∴，則，
∴函數f（x）的值域為．
（Ⅱ）由（I）得，則，
由0＜A＜π得，∴
由余弦定理得， =（b+c）2﹣3bc，
又a=，b+c=3，解得bc=2，所以△ABC的面積S===

3. 證明：（Ⅰ）如圖，取AD的中點F，連接CF，
∵BC∥AF，BC=AF，∴ABCF為平行四邊形，
∵AB=BC，∠BAD=90°，∴ABCF為正方形，
設AB=1，則BC=1，AD=2，
∴，，∴AC2+CD2=AD2，∴AC⊥CD，
∵PA⊥面ABCD，CD?面ABCD，∴PA⊥CD，
∵PA與AC相交，PA?面PAC，AC?面PAC，∴CD⊥面PAC，
∵PC?面PAC，∴PC⊥CD.
（Ⅱ）取線段PA的中點E，可使得BE∥面PCD．
如圖所示，取PD的中點M，連接ME，MC，
∴，
∵，∴BC∥ME，BC=ME，
∴BCME為平行四邊形，∴BE∥CM，
∵CM?面PCD，BE 面PCD，∴BE∥面PCD．
4. 解：（Ⅰ）設這二次函數f（x）=ax2+bx（a≠0），則f'（x）=2ax+b，
由于f'（x）=6x+2，得a=3，b=2，所以，f（x）=3x2+2x．
又因為點均在函數y=f（x）的圖象上，
所以．
當n≥2時，，
當n=1時，a1=S1=5，所以，．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得知==，
故．




高三數學文科解答題專項檢測（七）
1. 某網站體育版塊足球欄目組發起了“射手的連續進球與射手在場上的位置是
否有關系”的調查活動，在所有參與調查的人中，持“有關系”“無關系”“不知道”
態度的人數如表所示：
有關系 無關系 不知道
40歲以下 800 450 200
40歲以上（含40歲） 100 150 300

（I）在所有參與調查的人中，用分層抽樣的方法抽取n個人，已知從持“有關系”態度的人中抽取45人，求n的值；
（II）在持“不知道”態度的人中，用分層抽樣的方法抽取5人看成一個總體，從這5人中任選取2人，求至少一人在40歲以下的概率；
（III）在接受調查的人中，有8人給這項活動打出分數如下：9.4、8.6、9.2、9.6、8.7、9.3、9.0、8.2，把這8個人打出的分數看做一個總體，從中任取1個數，求該數與總體平均數之差的絕對值超過0.6的概率.








2. 已知向量，，函數．
（Ⅰ）求函數的最小正周期；
（Ⅱ）在中，分別是角的對邊，且，，且，求的值．










3. 如圖所示，在正三棱柱ABC -A1B1C1中，底面邊長和側棱長都是2，
D是側棱CC1上任意一點，E是A1B1的中點。
（I）求證：A1B1//平面ABD；
（II）求證：AB⊥CE；
（III）求三棱錐C-ABE的體積。













4．已知數列的前項和是，且．
（Ⅰ）求數列的通項公式；
（Ⅱ）設，，求










高三數學文科解答題專項檢測（七）參考答案
1. 解：（Ⅰ）由題意，得，
（Ⅱ）設所選取的人中，有m人在40歲以下，則，解得m=2.
即40歲以下抽取了2人，另一部分抽取了3人，分別記作
則從中任取2人的所有基本事件為
共10個
其中至少有1人在40歲以下的基本事件為
共7個
所以所求事件的概率.
（Ⅲ）總體的平均數為，那么與總體平均數之差的絕對超過0.6的數只有8.2，所以該數與總體平均數之差的絕對值超過0.6的概率為.
2. 解：（1）
，故最小正周期
(2），，
C是三角形內角，∴ 即：
即：．
將代入可得：，解之得：或4,
，.


3. 解：（Ⅰ）證明：由正三木棱住的性質知∥AB，
因為，所以∥平面ABD
（Ⅱ）設AB中點為G，連結GE，GC。

又EG∥，
又
而
(Ⅲ)由題意可知：
4.解：（1） 當時，，由，
當時，
∴是以為首項，為公比的等比數列． 故
（2）由（1）知，




高三數學文科解答題專項檢測（三）
1．一廠家生產A、B、C三類空氣凈化器，每類凈化器均有經典版和至尊版兩種型號，某月的產量如右表(單位：臺)：
(I)在C類空氣凈化器中，用分層抽樣的方法抽取一個容量為5的樣本．將該樣本看成一個總體，從中任取2輛，求至少有1臺經典版空氣凈化器的概率；
(Ⅱ)用隨機抽樣的方法從B類空氣凈化器中抽取8臺，經檢測它們的得分如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2．把這8臺空氣凈化器的得分看作一個總體，從中任取一個數，求該數與樣本平均數之差的絕對值不超過0.5的概率．








2．已知，其中
(I)求在區間上的單調遞增區間；
(Ⅱ)在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為且向量垂直，求邊長b和c的值．


















3．如圖，在四棱錐P—ABCD中，平面ABCD，底面ABCD為菱形，AB=1，，E為PD中點，PA=1．
(I)求證：PB∥平面AEC；
(Ⅱ)在棱PC上是否存在點M，使得直線平面BMD?若存在，求出點M的位置；若不存在，說明理由．

















4．已知數列的前項和為,且等差數列的前n項和為，且
(I)求數列的通項公式；
(Ⅱ)令，求數列的前n項和
















高三數學文科解答題專項檢測（三）參考答案









（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以
①
①2，得
②
①－②，得



高三數學文科解答題專項檢測（九）
1. 空氣質量指數(Air Quality Index簡稱AQI)是定量描述空氣質量狀況的指數.空氣質量的分級與AQI大小關系如下表所示：
某環保人士從2016年11月甲地的AQI記錄數據中，隨機抽取了7天的AQI數據，用莖葉圖記錄如下：
(I)若甲地每年同期的空氣質量狀況變化不大，請根據統計數據估計2017年11月甲地的空氣質量為良的天數（結果精確到天）
(II)從甲地的這7個數據中任意抽取2個，求AQI均超過100的概率.





2. △ABC內角A,B,C的對邊分別是a,b,c， A為銳角，且．
(I)求角A的大小；
(Ⅱ)設函數，其圖象上相鄰兩條對稱軸間的距離為．將函數的圖象向左平移個單位，得到函數的圖象，求函數在區間上的值域．
















3. 在如圖所示的空間幾何體中，EC⊥平面ABCD，四邊形ABCD是菱形，CE//BF，且CE=2BF，G，H，P分別為AF，DE，AE的中點. 求證：
（I）GH//平面BCEF；
（II）FP⊥平面ACE.














4. 已知數列是等差數列，其前n項和為。數列是公比大于0的等比數列，且，，．
(I)求數列和的通項公式；
(Ⅱ)設,求數列的前項和.













高三數學文科解答題專項檢測（九）參考答案




















令，解得，
的單調遞增區間為.
當時，，
在上的增區間為，減區間為.
又，
，
，
在上的最大值為1最小值為，即值域為.





高三數學文科解答題專項檢測（二）
1．某校對高二年級選學生物的學生的某次測試成績進行了統計，隨機抽取了m名學生的成績作為樣本，根據此數據作出了頻率分布統計表和頻率分布直方圖如下:





(I)求表中n,p的值和頻率分布直方圖中a的值；
(II)如果用分層抽樣的方法，從樣本成績在[60，70]和[90，100]的學生中共抽取5人，再從5人中選2人，求這2人成績在[60，70]的概率．








2．在銳角△ABC中，內角A,B,C的對邊分別是a,b,c且
(I)求A；
(II)若△ABC的外接圓半徑為,求△ABC面積的最大值．

















3．如圖，在直角梯形ABCD中，AB//CD，∠BCD=90。，
BC=CD=，AE=BE，M是AB的中點，ED⊥平面ABCD．
(I)求證：平面CEM⊥平面BDE；
(II)若N為BE的中點，求證：CN//平面ADE．












4．已知數列的前項和為且
成等差數列．
(I)求數列的通項公式；
(II)令，求數列的前2n項和




















高三數學文科解答題專項檢測（二）參考答案











高三數學文科解答題專項檢測（五）
1. 袋中有五張卡片，其中紅色卡片三張，標號分別為1，2，3；藍色卡片兩張，標號分別為1，2.
(1)從五張卡片中任取兩張，求這兩張卡片顏色不同且標號之和小于4的概率；
(2)現袋中再放入一張標號為0的綠色卡片，從這六張卡片中任取兩張，求這兩張卡片顏色不同且標號之和小于4的概率.







2. 函數（其中）的圖象如圖所示，把函數
的圖象向右平移個單位，再向下平移1個單位，得到函數的圖象．
（Ⅰ）求函數的表達式；
（Ⅱ）已知△ABC內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且c=3，．若向量與共線，求a，b的值．












3. 如圖所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分別為AB，BC的中點，點F在側棱B1B上，且 ，. 求證：
（1）直線DE∥平面A1C1F；（2）平面B1DE⊥平面A1C1F.
















4. 已知數列的前項和,.
（1）求的通項公式；
（2）設，數列的前項和為,若對恒成立，求實數的最大值.


















高三數學文科解答題專項檢測（五）參考答案
1. (I)三張紅色卡片分別編號為紅1，紅2，紅3，兩張藍色卡片分別編號為藍1，藍2，從五張卡片中任取兩張的所有可能情況有如下10種：
紅1紅2，紅1紅3，紅1藍1，紅1藍2，
紅2紅3，紅2藍1，紅2藍2，
紅3藍1，紅3藍2，
藍1藍2.
其中兩張卡片的顏色不同且標號之和小于4的有3種情況，故所求的概率為.
(II)加入一張標號為0的綠色卡片后，從六張卡片中任取兩張，除上面的10種情況外，多出5種情況：紅1綠0，紅2綠0，紅3綠0，藍1綠0，藍2綠0，即共有15種情況，其中顏色不同且標號之和小于4的有8種情況，所以概率為.
2.（Ⅰ）由函數的圖象可得A=1，，求得ω=2．∴．
又過點，則，∴，，
所以．把函數的圖象向右平移個單位，再向下平移1個單位，得到函數的圖象，
即．
（Ⅱ）已知△ABC中，c=3,g（C）=sin（2C﹣）﹣1=0，∴sin（2C﹣）=1．
由0＜C＜π，可得﹣＜2C﹣＜，∴2C﹣=，C=．
∵向量與共線，∴==，∴b=2a．
再由余弦定理可得c2=9=a2+4a2﹣2?a?2a?cos，求得a=，∴b=2．



3. 證明：（1）在直三棱柱中，
在三角形ABC中，因為D,E分別為AB,BC的中點.
所以，于是
又因為DE平面平面
所以直線DE//平面
（2）在直三棱柱中，
因為平面，所以
又因為
所以平面
因為平面，所以
又因為
所以
因為直線，所以
4. （1）當時，
.
當時，，
（2）由（1）知，，，，

又因為恒成立，只需，
又因為，
，即的最大值為1.
高三數學文科解答題專項檢測（八）
1. 甲、乙兩家商場對同一種商品開展促銷活動，對購買該商品的顧客兩家商場的獎勵方案如下：
甲商場：顧客轉動如圖所示圓盤，當指針指向陰影部分(圖中四個陰影部分均為扇形，且每個扇形圓心角均為，邊界忽略不計)即為中獎．
乙商場：從裝有3個白球3個紅球的盒子中一次性摸出2球(球除顏色外不加區分)，如果摸到的是2個紅球，即為中獎．
問：購買該商品的顧客在哪家商場中獎的可能性大?







2. 已知函數．
（Ⅰ）求函數的單調遞減區間；
（Ⅱ）在中，內角的對邊分別為，且，若恒成立，求實數的取值范圍．









3. 如圖所示，底面是等腰梯形的四棱錐E—ABCD中，EA平面ABCD，AB//CD，AB=2CD，ABC=．
(I)設F為EA的中點，證明：DF//平面EBC；
(II)若AE=AB=2，求三棱錐B—CDE的體積．















4. 已知數列{}的前n項和，數列{}滿足.
(I)求，；
(Ⅱ)設為數列{}的前n項和，求．












高三數學文科解答題專項檢測（八）參考答案


高三數學文科解答題專項檢測（六）
1. 在2016珠海航展志愿服務開始前，團珠海市委調查了北京師范大學珠海分校某班50名志愿者參加志愿服務禮儀培訓和賽會應急救援培訓的情況，數據如下表：(單位：人)
參加志愿服務禮儀培訓 未參加志愿服務禮儀培訓
參加賽會應急救援培訓 8 8
未參加賽會應急救援培訓 4 30

（I）從該班隨機選1名同學，求該同學至少參加上述一個培訓的概率；
（II）在既參加志愿服務禮儀培訓又參加賽會應急救援培訓的8名同學中，有5名男同學A1，A2，A3，A4，A5, 3名女同學B1，B2，B3.現從這5名男同學和3名女同學中各隨機選1人，求A1被選中且B1未被選中的概率．










2. 已知函數，x∈R．
（1）求函數的最小正周期；
（2）求函數在區間上的最大值和最小值．















3. 如圖：四棱錐中，，，，為的中點. 證明：
（Ⅰ）
（Ⅱ）












4. 已知等比數列的前項和為，公比，
（I）求數列的通項公式；
（Ⅱ）設，為的前項和，求．















高三數學文科解答題專項檢測（六）參考答案
1.解：（I）由調查數據可知，既未參加志愿服務禮儀培訓又未參加賽會應急救援培訓的有30人，故至少參加上述一個培訓的共有50－30＝20人．所以從該班隨機選1名同學，該同學至少參加上述一個培訓的概率為.
（II）從這5名男同學和3名女同學中各隨機選1人，其一切可能的結果組成的基本事件有：
{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，
{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{A4，B1}，
{A4，B2}，{A4，B3}，{A5，B1}，{A5，B2}，{A5，B3}，
共15個，根據題意，這些基本事件的出現是等可能的．事件“A1被選中且B1未被選中”所包含的基本事件有：{A1，B2}，{A1，B3}，共2個
因此A1被選中且B1未被選中的概率為P＝
2. 解：（1）∵f（x）=sin2x?cos+cos2x?sin+sin2x?cos﹣cos2x?sin+
(cos2x+1)=sin2x+cos2x+=2sin（2x+）+，
∴函數f（x）的最小正周期T==π.
（2）令，解得，
的單調遞增區間為.
當時，，
∴函數f（x）在區間[]上是增函數，在區間上是減函數.
又

，
∴函數f（x）在區間上的最大值為2+，最小值為0．


3. 證明：（Ⅰ）取的中點,連接.
為的中點,且
,.
又
,四邊形為平行四邊形.
又
（Ⅱ）取中點，連接.

,
四邊形為正方形.而

又
4. 解：（I）由已知 ① ②
①-②得即.
又 .
（Ⅱ）由（1）知
所以


設，
則，
兩式相減得，
整理得， 所以．

高三數學文科解答題專項檢測（十）
1．某大學高等數學老師這學期分別用A,B兩種不同的教學方式試驗甲、乙兩個大一新班（人數均為60人，入學數學平均分數和優秀率都相同；勤奮程度和自覺性都一樣）.現隨機抽取甲、乙兩班各20名的高等數學期末考試成績，得到莖葉圖：






（I）學校規定：成績不得低于85分的為優秀，請填寫上面的2×2列聯表，并判斷“能否在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認為成績優秀與教學方式有關？”
下面臨界值表僅供參考：
（參考公式：，其中）
（II）現從甲班高等數學成績不得低于80分的同學中隨機抽取兩名同學，求成績為86分的同學至少有一個被抽中的概率.







2．已知函數的最小值為．
(I)求m的值；
(Ⅱ)在△ABC中，已知，延長AB至D，使BC=BD，且AD=5，求△ACD的面積．











3．如圖，在四棱錐中，四邊形ABCD為平行四邊形，AC,BD相交于點O，點E、F、G分別為PC、AD、PD的中點，OP=OA，PA⊥PD. 求證：
（I）FG//平面BDE；
（II）平面平面PCD.


















4．若數列是公差為2的等差數列，數列滿足
(I)求數列的通項公式；
(Ⅱ)設數列滿足，數列的前n項和為，則 ＜4.



















高三數學文科解答題專項檢測（十）參考答案










高三數學文科解答題專項檢測（四）
1. 已知某中學聯盟舉行了一次“盟校質量調研考試”活動．為了解本次考試學生的某學科成績情況，從中抽取部分學生的分數（滿分為100分，得分取正整數，抽取學生的分數均在[50，100]之內）作為樣本（樣本容量為n）進行統計．按照[50，60]，[60，70]，[70，80]，[80，90]，[90，100]的分組作出頻率分布直方圖（圖1），并作出樣本分數的莖葉圖（圖2）（莖葉圖中僅列出了得分在[50，60]，[90，100]的數據）．
（Ⅰ）求樣本容量n和頻率分布直方圖中的x、y的值；
（Ⅱ）在選取的樣本中，從成績在80分以上（含80分）的學生中隨機抽取2名學生參加“省級學科基礎知識競賽”，求所抽取的2名學生中恰有一人得分在[90，100]內的概率．













2. 設.
（1）求的單調遞減區間；
（2）把的圖像向左平移個單位，得到函數的圖像，求在區間上的最大值和最小值.












3. 如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，點E是PC的中點.
（I）求證：BE∥平面PAD；
（II）已知平面PCD⊥底面ABCD，且PC=DC. 在棱PD上是否存在點F，使CF⊥PA?請說明理由.















4. 已知數列是等差數列，前n項和為，且.
（I）求數列的通項公式；
（II）設，求.




















高三數學文科解答題專項檢測（四）參考答案
1. （Ⅰ）由題意可知，樣本容量，，
x=0.100﹣0.004﹣0.010﹣0.016﹣0.040=0.030．
（Ⅱ）由題意可知，分數在[80，90]內的學生有5人，記這5人分別為a1，a2，a3，a4，a5，分數在[90，100]內的學生有2人，記這2人分別為b1，b2，
抽取2名學生的所有情況有21種，分別為：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，a5），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，a4），（a2，a5），（a2，b1），（a2，b2），（a3，a4），（a3，a5），（a3，b1），（a3，b2），（a4，a5），（a4，b1），（a4，b2），（a5，b1），（a5，b2），（b1，b2）．
其中2名同學的分數恰有一人在[90，100]內的情況有10種，
∴所抽取的2名學生中恰有一人得分在[90，100]內的概率．

令，解之，得，
的單調遞增區間為.當時,，
在的單調遞增區間為，單調遞減區間為.
又∵


在的最大值為，最小值為.

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