資源簡介

《整式的乘法》知識精講與專項(xiàng)練習(xí)
1．同底數(shù)冪的乘法
（1）同底數(shù)冪的乘法法則，其推到過程是特殊到一般的過程，即由10· 10，3· 3到a· a到a· a，把冪的底數(shù)與指數(shù)分兩步進(jìn)行概括抽象，要注意推出這一法則每一步的依據(jù)
（2）同底數(shù)冪的乘法法則是：
同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加
a· a= a（字母m，n表示正整數(shù)）
當(dāng)三個或三個以上的同底數(shù)冪相乘時，也具有這樣的性質(zhì)，即：
a· a· a= a（字母m，n，p表示正整數(shù)）
說明：
（1）同底數(shù)冪相乘，就應(yīng)用同底數(shù)冪的乘法法則；整式加減就要合并同類項(xiàng)。兩者不能混淆。
（2）、—a?的底數(shù)a，不是—a。計(jì)算—a?·a?的結(jié)果是—（a?·a?）=—a，而不是（—a）=a。
（3）、若底數(shù)是多項(xiàng)式時，要把底數(shù)看成一個整體進(jìn)行計(jì)算
2、冪的乘方
（1）、冪的乘方的性質(zhì)推導(dǎo)
當(dāng)乘方的運(yùn)算中底數(shù)變成冪時，這種運(yùn)算就變成一種新的運(yùn)算：即冪的乘方，其運(yùn)算法則可由乘方運(yùn)算的定義和同底數(shù)冪的乘法法則推導(dǎo)出來。
（2）、冪的乘方法則
冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。用字母表示就是（a）=a（m、n都是正整數(shù)）。如（10）=10
說明：
（1）、冪的乘方是單項(xiàng)式乘除運(yùn)算的基礎(chǔ)，應(yīng)學(xué)會運(yùn)用乘方的定義及同底數(shù)冪乘法推導(dǎo)其運(yùn)算法則，同時注意與同底數(shù)冪乘法法則的區(qū)別，應(yīng)用時不能混淆。
（2）、不管是同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算，還是冪的乘方運(yùn)算，要學(xué)會正確識別冪的“底”是什么？冪的指數(shù)是什么？乘方的“指數(shù)”是什么？若在底數(shù)中有負(fù)號，則要根據(jù)指數(shù)的奇偶性決定正負(fù)號，即乘方的指數(shù)為奇數(shù)，負(fù)號保留，乘方的指數(shù)為偶數(shù)，負(fù)號去掉。
3、積的乘方
（1）積的乘方
當(dāng)冪的底數(shù)有兩個或兩個以上數(shù)或字母相乘時，就是積的乘方。如（2×3），（abc）等等。
（2）積的乘方法則
積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘，用字母表示就是（ab）=ab（n為正整數(shù)）。三個或三個以上的積的乘方，也具有這一性質(zhì)。如（abc）=abc。
說明：
（1）用積的乘方的法則進(jìn)行計(jì)算時，我們要認(rèn)清“因式有幾個？分別是什么？”特別是系數(shù)和負(fù)號這樣的特殊因式不能搞錯。
（2）在同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方與積的乘方的混合運(yùn)算中，要學(xué)會靈活正確的分析算式的每一部分和每一種運(yùn)算，然后采取合理簡捷的方法進(jìn)行運(yùn)算。
4、 整式的乘法
（1）整式的乘法有3種：單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘、單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘、多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘。其中單項(xiàng)式與單項(xiàng)式的乘法是整式的乘法的基礎(chǔ)，其他兩種乘法都可以轉(zhuǎn)化為這種運(yùn)算，所以我們要熟練、牢固地掌握單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式的運(yùn)算法則。
（2）單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘的運(yùn)算法則：單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘的積作為積的因式，其余的字母連同它的指數(shù)不變，也作為積的因式
（3）單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的運(yùn)算法則：單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，用單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加，用字母表示為
b·（p+q）=bp+bq或（p+q）·b=bp+bq
（4）多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的運(yùn)算法則：多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個多項(xiàng)式的每一項(xiàng)去乘以另一個多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。用字母表示為
（a+m）（b+n）=ab+an+bm+mn
說明：
（1）整式的乘法包括單項(xiàng)式與單項(xiàng)式、單項(xiàng)式與多項(xiàng)式、多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法三種。其中單項(xiàng)式與單項(xiàng)式的乘法是整式的乘法的基礎(chǔ)，其他兩種乘法都可以轉(zhuǎn)化為這種運(yùn)算，所以我們要熟練、牢固地掌握單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式的運(yùn)算法則
（2）在學(xué)習(xí)多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法時，要熟練地掌握公式：
（x+a）（x+b）=x+（a+b）x+ab
這可以為以后學(xué)習(xí)乘法公式打下良好的基礎(chǔ)
5、 同底數(shù)冪的除法
（1）同底數(shù)冪的除法法則
同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減
（m、n是正整數(shù)且m＞n，a≠0）
（2）規(guī)定任何不等于零的數(shù)的零次冪為1，即（a≠0）
說明：
（1）始終抓住法則中的二個要素：判定同底，指數(shù)相減，并注意過程和運(yùn)算結(jié)果的規(guī)范表示
6、單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式
（1）一般地，單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式有如下法則：
兩個單項(xiàng)式相除，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個因式
說明：
（1）計(jì)算的時候分三步：①系數(shù)相除②同底數(shù)冪相除③只在被除式里的冪不變
7、多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式
（1）多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式有如下法則：
多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以單項(xiàng)式，再把所得的商相加

方法引導(dǎo)
1、冪的運(yùn)算
例1 下列計(jì)算錯誤的是 ( )
(A)a2·a4=a8 (B)2a3÷a=2a2 (C)(－a3)2=a6 (D)(a－1)2=
難度等級：A
　　解：選A
【知識體驗(yàn)】根據(jù)同底數(shù)的冪的乘法法則，a2·a4=a2+4=a6，所以A不對，根據(jù)單項(xiàng)式除法的運(yùn)算法則，結(jié)合同底數(shù)冪的除法法則，2a3÷a=2a3-1=2a2 ，所以B是正確的；根據(jù)冪的乘方性質(zhì)，(－a3)2= a3×2=a6 ， (a－1)2= a－1×2= a－2=，所以C、D都是正確的
【搭配練習(xí)】
在下列計(jì)算中,正確的是（ ）
A.（ab2）3=ab6 B.（3xy）3=9x3y3 C.（－2a2）2=－4a4 D.（－2）－2=

例2 計(jì)算x2y3÷(xy)2的結(jié)果是( )
A．xy B． x C ．y D. xy2
難度等級：A
　　解：C
【知識體驗(yàn)】利用單項(xiàng)式除法的運(yùn)算法則，結(jié)合積的乘方運(yùn)算性質(zhì)，可以解得，x2y3÷(xy)2= x2y3÷x2y2 = y，故選C.
【搭配練習(xí)】
計(jì)算：（-2y5）2÷（2y3）

例3 若aa–3=1,則a等于（ ）
A.1，0； B.1，3； C.1，-1； D.1，-1，3.
難度等級：B
　　解：D
【知識體驗(yàn)】此題貌似簡單，實(shí)際上要想解對并非易事，應(yīng)該對可能出現(xiàn)的各種情況都考慮到，即采用分類討論思想.
【解題技巧】
(1)因?yàn)槿魏我粋€不等于0的數(shù)的0次冪都等于1，所以，當(dāng)a≠0，并且a-3=0時，aa–3=1能成立，解得a=3;
(2)因?yàn)?的任何次冪都等于1，所以當(dāng)a=1時，aa–3=1也能成立；
(3)因?yàn)?1的偶數(shù)次冪等于1，所以當(dāng)a=-1時，a-3=-1-3=-4，則aa–3=1也能成立.
綜合以上三種情況，可知a=3, 1或者-1. 故選D.
【搭配練習(xí)】
若(2x+1)0=1，則( )
A.x≥－ B.x≠－ C.x≤－ D.x≠

例4 計(jì)算：
(1)(a＋2b)(3a－7b)；
(2)(16x2y3z+8x3y2z)÷8x2y2
難度等級：A
　　解：（1）(a＋2b)(3a－7b)=3a2-7ab+6ab-14b2=3a2-ab-14b2.
（2）(16x2y3z+8x3y2z)÷8x2y2=2yz+xz.
【知識體驗(yàn)】（1）題是利用多項(xiàng)式乘法法則進(jìn)行計(jì)算；（2）題利用多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則進(jìn)行運(yùn)算
【解題技巧】在計(jì)算的過程，要按照計(jì)算的順序，遇到符號問題時，要進(jìn)行細(xì)節(jié)處理，無論是乘法或是除法，在乘或除的時候一定要連同每一項(xiàng)的符號；剩下的就是同底數(shù)冪的乘法或除法了。
【搭配練習(xí)】
計(jì)算
1、(－2ax)2·(－x4y3z3) ÷(－a5xy2)
2、(an+2+2an+1) ÷(－an－1)

2、巧用冪的運(yùn)算簡化計(jì)算
例5
(1) 計(jì)算：。
(2) 已知3×9m×27 m＝321，求m的值。
(3) 已知x2n＝4，求(3x3n)2－4(x2) 2n的值。
難度等級：B
　　解：（1）

（2）
∵

∴

∴
即1+5m=21
∴m=4
(3) 已知x2n＝4，求(3x3n)2－4(x2) 2n的值
∵
∴

【知識體驗(yàn)】第一道題目使用的是同底數(shù)冪的乘法法則a· a= a（m、n都是正整數(shù)）；把題目變得簡單，后兩道題目使用的是同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方（a）=a（m、n都是正整數(shù)）；積的乘方（ab）=ab（n是正整數(shù)）。從公式表面來看，公式是從左到右進(jìn)行的，但按照等式來說，等式從左到右，和從右到左的轉(zhuǎn)化都是等價的，所以公式是可以逆用的
【解題技巧】在看到和公式相似的式子時，要從基本出發(fā)，找到題目和公式的聯(lián)系，遇到較大的數(shù)字或指數(shù)，肯定是可以利用基本的變形來使式子變得簡單
【搭配練習(xí)】
1、已知：，求m.
2、若,求的值.
3、已知，求x的值。

例題講解
(一）題型分類全析
1、整式乘除類型題
例1：下列計(jì)算正確的是( )
（A） （B）
（C） （D）
難度等級：A
【思維直現(xiàn)】本題要在四個選項(xiàng)中，選出正確的一個，那就需要把四個式子都計(jì)算一遍。
解：D
【閱讀筆記】計(jì)算的過程中，要注意等號連接的式子之間是否是相等的關(guān)系，在從原來的式子都最后化簡的結(jié)果過程中，每一步都可能出錯。
【題評解說】本題主要考察的是同底數(shù)冪的乘法，還有互為相反數(shù)的底數(shù)在偶次冪和奇次冪的時候不同的轉(zhuǎn)化。
【建議】在完成的時候，嚴(yán)格按照同底數(shù)冪的乘法法則，認(rèn)清相同的底數(shù)是哪一個，不同的底數(shù)之間是否可以轉(zhuǎn)化
【搭配練習(xí)】

1、計(jì)算:=_____________
2、計(jì)算:_____________
3、下列計(jì)算中正確的是（ ）
(A)xn+2÷xn+1=x2 (B)(xy)5÷xy3=(xy)2
(C)x10÷(x4÷x2)=x8 (D)(x4n÷x2n) ·x3n=x3n+2

例2：計(jì)算:=_____________.
難度等級：B
【思維直現(xiàn)】直接利用冪的乘法公式來計(jì)算，先利用積的乘方，在利用同底數(shù)冪的乘法，把它看做以10為底數(shù)的冪，最后的結(jié)果最好以科學(xué)記數(shù)法的形式表示。
解：

【閱讀筆記】數(shù)字也是式子的組成部分，所以該題也符合冪的公式，分清底數(shù)和指數(shù)，按照公式的要求得出結(jié)果。
【題評解說】本題實(shí)質(zhì)也是考察冪的運(yùn)算的應(yīng)用，解題時應(yīng)該把10看做平常的底數(shù)，然后依次按照積的乘方，同底數(shù)冪的乘法來計(jì)算，最后的結(jié)果如果較大，還應(yīng)該化為的形式。
【建議】一定要分清底數(shù)是10，在做同底數(shù)冪乘法時，把冪的式子放在一起，其他系數(shù)相乘；結(jié)果以科學(xué)記數(shù)法的形式出現(xiàn)，注意系數(shù)一定是在0和1之間
【搭配練習(xí)】
計(jì)算

2、求值的題型
例3 若，求的值

難度等級：C
【思維直現(xiàn)】給出條件求值，就說明條件是要使用的，所以在化簡的式子中一定要出現(xiàn)2x和5y，那么就要把化為以2為底數(shù)的冪，化為以2為底數(shù)的冪，這樣后續(xù)也可以用同底數(shù)冪的乘法，使式子中出現(xiàn)
解：∵
∴
∴

【閱讀筆記】要求出最后的結(jié)果，關(guān)鍵是善于利用條件，有x和y的條件只有一個，也就是說具體x、y的值是無法求出的，所以只能利用2x+5y的值來進(jìn)行代入
【題評解說】本題主要考察的還是同底數(shù)冪的乘法、積的乘方的逆用，思考題目的時候要明白題目的意圖，發(fā)現(xiàn)條件和待求式子之間的聯(lián)系，找到解題的關(guān)鍵
【建議】最好熟記以2為底數(shù)的1-10次冪的結(jié)果，以3為底數(shù)的1-5次冪的結(jié)果，以4為底數(shù)的1-4次冪的結(jié)果，在看到題目的時候能夠很快的反應(yīng)過來
【搭配練習(xí)】
1、xn＝5，yn＝3，則(xy)2n＝　　　　　　，若2x＝m，2y＝n，則8x+y＝　　　　　　.
2、已知，，求的值。

（二）思維重點(diǎn)突破
例4一個長方形的長增加4 cm，寬減少1 cm，面積保持不變；長減少2 cm，寬增加1 cm，面積仍保持不變。求這個長方形的面積
難度等級：C
【思維直現(xiàn)】長方形的面積公式就是長×寬，總共有兩種變換方法。按照兩句話，可以得出兩個式子。
解：設(shè)這個長方形的長為a cm，寬為b cm，由題意得
　即
解得
因?yàn)閍b＝8×3＝24，所以這個長方形面積為24 cm2
【閱讀筆記】按照正常的思考模式列出式子就可以了，然后依次進(jìn)行化簡，會發(fā)現(xiàn)得出的是普通的二元一次方程，求解就能得出最后結(jié)果。
【題評解說】本題是一道多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式和列二元一次方程組解應(yīng)用題的綜合題。列式子的時候不要被它的形式所迷惑，本章整體所講就是化簡，式子原本的形式不是所熟悉的，但經(jīng)由化簡后所得的式子就是以往所學(xué)
【建議】解題時，先正向思考，列出復(fù)合題目意思的式子，在根據(jù)式子本身的特點(diǎn)，選擇合適的方法進(jìn)行化簡
【搭配練習(xí)】
1、求不等式(x＋16)(x＋4)＞(x＋12)2的解集
2、解方程3(x＋2)2＋(2x－1)2－7(x＋3)(x－3)＝28
3、四個連續(xù)自然數(shù)中，已知兩個大數(shù)的積與其余兩個數(shù)的積的差等于58，求這四個數(shù)的和

例5．比較25180，64120，8190的大小
難度等級：C
【思維直現(xiàn)】把這三個數(shù)變成同底數(shù)的形式無法辦到，可以先把變成以5為底的冪，把變成以4為底的冪，變成3為底的冪的，就變成同指數(shù)的，再比較大小就很容易了
解：




即
【閱讀筆記】要比較大小，通常也是將要比較的兩個數(shù)化為底數(shù)相同或指數(shù)相同的形式，再進(jìn)行比較。
【題評解說】本題主要考的是逆用冪的運(yùn)算，從復(fù)雜的形式轉(zhuǎn)化為所熟悉的形式，即將要解決的問題轉(zhuǎn)化為另一個較易解決的問題或已經(jīng)解決的問題，這是初中數(shù)學(xué)中最常用的化歸思想方法。
【建議】在把、的底數(shù)轉(zhuǎn)化時，要進(jìn)行篩選，64是化為4為底數(shù)，還是2為底數(shù)；81是化為9為底數(shù)，還是3為底數(shù)。
【搭配練習(xí)】
1、比較a=233，b=322，c=411的大小
2、比較的大小

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